Tema 2.pdf
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2.- Sistemas de ecuaciones Lineales 2.1.- Definicin, Clasificacin de los sistemas lineales y tipos de solucin. Definicin
Una ecuacin lineal con las variables nxx ,...,1 es una ecuacin que puede
escribirse en la forma
bxaxaxa nn =+++ ...2211
Donde b y los coeficientes naa ,...,1 son nmeros reales complejos.
Clasificacin
Sistema incompatible si no tiene ninguna solucin. Sistema compatible si tiene alguna solucin, en este caso adems puede
distinguirse entre: o Sistema compatible determinado cuando tiene un nmero finito de
soluciones. o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto
infinito de soluciones
Tipos de solucin Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas x y y
11211 bxaxa =+
22221 bxaxa =+
A partir del tipo de solucin tendremos: 2.2. Interpretacin geomtrica de las soluciones
1. Un sistema con una solucin nica x
y
Rectas no paralelas;
Un punto de interseccin
x
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22221 bxaxa =+
11211 bxaxa =+
22221 bxaxa =+
11211 bxaxa =+
22221 bxaxa =+
11211 bxaxa =+
22221 bxaxa =+
11211 bxaxa =+
22221 bxaxa =+
2. Un sistema con un nmero infinito de soluciones
3. Un sistema sin solucin
2.3. Mtodos de solucin de un sistema de ecuaciones lineales Mtodo grfico
x
x
y
y
Rectas paralelas;
Sin punto de interseccin
Rectas que coinciden;
Un nmero infinito de puntos de
interseccin
x
-
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En este mtodo se grafican las ecuaciones y el en punto de interseccin se encontrar la solucin de existir Mtodo por sustitucin Observe el siguiente sistema de ecuaciones
2
53
932
=
=+
=+
z
zy
zyx
.
Aplicando el mtodo tenemos sustituyendo z=2 en (1) y (2)
2
52
=
=
y
yx
Sustituyendo (5) en (4)
( )
1
5)22
=
=
x
x
Mtodo por eliminacin Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
17552
43
932
=+
=+
=+
zyx
yx
zyx
Existen varias formas de empezar Sumamos la primera ecuacin a la segunda
932 =+ zyx
Al sumar -2 a la primera ecuacin se obtiene la tercera nueva ecuacin
......(1)
......(2)
......(3)
......(4)
......(5)
53 =+ zy
17552 =+ zyx
932 =+ zyx
53 =+ zy
1= zy
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Ahora que todo se ha eliminado de la primera columna, excepto la primera x, se procede con la segunda. Al sumar la segunda ecuacin a la tercera se obtiene una nueva tercera ecuacin
Al multiplicar por 2
1 la tercera ecuacin se obtiene una nueva tercera ecuacin
Por lo tanto se concluye que Mtodo de eliminacin Gauss-jordan
Operaciones elementales de renglones I. Multiplicar(o dividir) un rengln por un nmero diferente de cero. II. Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln. III. Intercambiar renglones.
Resolver el siguiente sistema de ecuacin por el mtodo de eliminacin Gauss Jordan
Usaremos el smbolo para indicar que la matriz presedente ha cambiado debido a una
operacin especifica; la matriz resultante mostrara el resultado de dicha operacin.
932 =+ zyx
53 =+ zy
42 =z
932 =+ zyx
53 =+ zy
2=z
2,1,1 === zyx
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En este punto tenemos un coeficiente diagonal de la matriz. .el paso fina del mtodo es
hacer que cada valos de la diagonal se 1. Para hacer esto dividimos cada rengln de la
matriz argumento por el elemento diagonal en cada rengln..
Por lo tanto
Eliminacin Gaussiana.
Considerar un sistema lineal.
1. Construya una matriz argumentada del sistema. 2. Use operaciones elementales en los renglones para transformar la matriz
argumentada en una triangular 3. Escriba abajo el nuevo sistema lineal para cada matriz asociada al a matriz
argumentada. 4. Resuelva el nuevo sistema. Quizs necesites asignar algunos valores para
mtricos a algunos desconocidos y entonces aplicar el mtodo de sustitucin para resolver el nuevo sistema.
Como se puede observar ambos mtodos de gauss son en si una variacin uno de otro.
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Ejemplo
Por lo tanto la matriz argumentada ser
Mantenemos el primer rengln y sustraemos el primer rengln multiplicando por 2 el segundo rengln y obtenemos.
Esta es la matriz triangular. El sistema asociado ser
Y observamos que el sistema no tiene solucin
Ejercicios
El alumno:
Resolver el sistema por eliminacin gaussiana
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Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por medio de eliminacin gauss jordan
301272
24654
18642
321
321
321
=++
=++
=++
xxx
xxx
xxx