Pgina 1

2.- Sistemas de ecuaciones Lineales 2.1.- Definicin, Clasificacin de los sistemas lineales y tipos de solucin. Definicin

Una ecuacin lineal con las variables nxx ,...,1 es una ecuacin que puede

escribirse en la forma

bxaxaxa nn =+++ ...2211

Donde b y los coeficientes naa ,...,1 son nmeros reales complejos.

Clasificacin

Sistema incompatible si no tiene ninguna solucin. Sistema compatible si tiene alguna solucin, en este caso adems puede

distinguirse entre: o Sistema compatible determinado cuando tiene un nmero finito de

soluciones. o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto

infinito de soluciones

Tipos de solucin Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas x y y

11211 bxaxa =+

22221 bxaxa =+

A partir del tipo de solucin tendremos: 2.2. Interpretacin geomtrica de las soluciones

1. Un sistema con una solucin nica x

y

Rectas no paralelas;

Un punto de interseccin

x

Pgina 2

22221 bxaxa =+

11211 bxaxa =+

22221 bxaxa =+

11211 bxaxa =+

22221 bxaxa =+

11211 bxaxa =+

22221 bxaxa =+

11211 bxaxa =+

22221 bxaxa =+

2. Un sistema con un nmero infinito de soluciones

3. Un sistema sin solucin

2.3. Mtodos de solucin de un sistema de ecuaciones lineales Mtodo grfico

x

x

y

y

Rectas paralelas;

Sin punto de interseccin

Rectas que coinciden;

Un nmero infinito de puntos de

interseccin

x

Pgina 3

En este mtodo se grafican las ecuaciones y el en punto de interseccin se encontrar la solucin de existir Mtodo por sustitucin Observe el siguiente sistema de ecuaciones

2

53

932

=

=+

=+

z

zy

zyx

.

Aplicando el mtodo tenemos sustituyendo z=2 en (1) y (2)

2

52

=

=

y

yx

Sustituyendo (5) en (4)

( )

1

5)22

=

=

x

x

Mtodo por eliminacin Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones

17552

43

932

=+

=+

=+

zyx

yx

zyx

Existen varias formas de empezar Sumamos la primera ecuacin a la segunda

932 =+ zyx

Al sumar -2 a la primera ecuacin se obtiene la tercera nueva ecuacin

......(1)

......(2)

......(3)

......(4)

......(5)

53 =+ zy

17552 =+ zyx

932 =+ zyx

53 =+ zy

1= zy

Pgina 4

Ahora que todo se ha eliminado de la primera columna, excepto la primera x, se procede con la segunda. Al sumar la segunda ecuacin a la tercera se obtiene una nueva tercera ecuacin

Al multiplicar por 2

1 la tercera ecuacin se obtiene una nueva tercera ecuacin

Por lo tanto se concluye que Mtodo de eliminacin Gauss-jordan

Operaciones elementales de renglones I. Multiplicar(o dividir) un rengln por un nmero diferente de cero. II. Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln. III. Intercambiar renglones.

Resolver el siguiente sistema de ecuacin por el mtodo de eliminacin Gauss Jordan

Usaremos el smbolo para indicar que la matriz presedente ha cambiado debido a una

operacin especifica; la matriz resultante mostrara el resultado de dicha operacin.

932 =+ zyx

53 =+ zy

42 =z

932 =+ zyx

53 =+ zy

2=z

2,1,1 === zyx

Pgina 5

En este punto tenemos un coeficiente diagonal de la matriz. .el paso fina del mtodo es

hacer que cada valos de la diagonal se 1. Para hacer esto dividimos cada rengln de la

matriz argumento por el elemento diagonal en cada rengln..

Por lo tanto

Eliminacin Gaussiana.

Considerar un sistema lineal.

1. Construya una matriz argumentada del sistema. 2. Use operaciones elementales en los renglones para transformar la matriz

argumentada en una triangular 3. Escriba abajo el nuevo sistema lineal para cada matriz asociada al a matriz

argumentada. 4. Resuelva el nuevo sistema. Quizs necesites asignar algunos valores para

mtricos a algunos desconocidos y entonces aplicar el mtodo de sustitucin para resolver el nuevo sistema.

Como se puede observar ambos mtodos de gauss son en si una variacin uno de otro.

Pgina 6

Ejemplo

Por lo tanto la matriz argumentada ser

Mantenemos el primer rengln y sustraemos el primer rengln multiplicando por 2 el segundo rengln y obtenemos.

Esta es la matriz triangular. El sistema asociado ser

Y observamos que el sistema no tiene solucin

Ejercicios

El alumno:

Resolver el sistema por eliminacin gaussiana

Pgina 7

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por medio de eliminacin gauss jordan

301272

24654

18642

321

321

321

=++

=++

=++

xxx

xxx

xxx