Tema 3: Características de la programación funcional...Sesión 9: Recursión (1) martes 8 de marzo...

Tema 3: Características de la programación funcional

Sesión 9: El paradigma funcional (5)

martes 8 de marzo de 2011

Hoy veremos

• Características de la programación funcional en LISP/Scheme

• Tema 4: Procedimientos y estructuras recursivas


list devuelve la primera pareja de la lista

• La construcción de una lista devuelve la primera pareja de la misma. Así, tras evaluar la expresión:

• La variable lista tomará el valor de la primera pareja de la lista, la pareja formada por un 1 y el resto de la lista. Es lo mismo que cuando hacemos:

• cons para formar una nueva lista

(define lista (list 1 2 3))

(define lista (cons 1 (cons 2 (cons 3 '()))))

> (define l1 '(1 2 3 4))> (cons 'hola l1)(hola 1 2 3 4)


Scheme muestra las estructuras compuestas como listas

• Cuando Scheme imprime una estructura compuesta por parejas, va recorriendo la estructura intentando escribirla como una lista. Por ejemplo:

• Esta última estructura no es una lista

> (cons 1 (cons 2 (cons 3 '())))(1 2 3)>(cons 1 (cons 2 3))(1 2 . 3)


Listas con elementos compuestos

• Las listas pueden contener cualquier tipo de elementos, incluyendo otras parejas.

• La siguiente estructura se denomina lista de asociación: una lista cuyos elementos son parejas:

• ¿Cuál sería el diagrama de la lista anterior?

• La expresión equivalente utilizando parejas:

(list (cons 'a 1) (cons 'b 2) (cons 'c 3)) -> ((a.1)(b.2)(c.2))


Listas con elementos compuestos

• Las listas pueden contener cualquier tipo de elementos, incluyendo otras parejas.

• La siguiente estructura se denomina lista de asociación: una lista cuyos elementos son parejas:

• ¿Cuál sería el diagrama de la lista anterior?

• La expresión equivalente utilizando parejas:

(list (cons 'a 1) (cons 'b 2) (cons 'c 3)) -> ((a.1)(b.2)(c.2))

(cons (cons 'a 1) (cons (cons 'b 2) (cons (cons 'c 3) '())))


Listas de listas

• Las listas, al igual que las parejas, pueden contener cualquier tipo de dato, incluso otras listas:

• La lista anterior también la podemos definir con quote:

• ¿Cuál sería su representación con parejas?

• ¿Y su diagrama caja y puntero?

(define l1 (list 1 2 3))(define l2 (list 1 l1 2 3))

(define l2 '(1 (1 2 3) 2 3))


Implementación de funciones sobre listas

• Implementa la función mi-append que reciba dos listas como argumento y devuelva una nueva lista compuesta por la concatenación de las dos listas recibidas.



• Implementa la función mi-append que reciba dos listas como argumento y devuelva una nueva lista compuesta por la concatenación de las dos listas recibidas.

(define (mi-append l1 l2) (if (null? l1) l2 (cons (car l1) (mi-append (cdr l1) l2))))



• Implementa la función mi-length que reciba una lista como argumento y devuelva el número de elementos que contiene (en el primer nivel).

> (mi-length '(1 2 3 (4 5 6)))4



• Implementa la función mi-length que reciba una lista como argumento y devuelva el número de elementos que contiene (en el primer nivel).

> (mi-length '(1 2 3 (4 5 6)))4

(define (mi-length items) (if (null? items) 0 (+ 1 (mi-length (cdr items)))))


Los datos compuestos pueden ser funciones

• Definimos la función mi-cons como:

• La función anterior es equivalente a la función cons de Scheme.

• Se devuelve un procedimiento que admite un argumento m (mensaje).

• Cuando al procedimiento se le pasa el mensaje 'car devolverá el argumento x original de mi-cons y cuando se le pasa el mensaje 'cdr devolverá el argumento y

(define (mi-cons x y) (lambda (m) (cond ((equal? m 'car) x) ((equal? m 'cdr) y) (else (error "mensaje no definido: " m)) )))




• ¿Cómo la utilizamos? Pensad en un ejemplo





• ¿Cómo la utilizamos? Pensad en un ejemplo


> (define p (mi-cons 'hola #f))> (p 'car)hola> (p 'cdr)#f




• Funciones

• Funciones que encapsulan la llamada a la función:

• Ahora no hay ninguna diferencia entre el comportamiento de las funciones originales y el de las nuestras





• Funciones




(define (mi-car pareja) (pareja 'car))

(define (mi-cdr pareja) (pareja 'cdr))




• Funciones




(define (mi-car pareja) (pareja 'car))

(define (mi-cdr pareja) (pareja 'cdr))

(define p (mi-cons (mi-cons 1 (mi-cons 3 4)) 2))> (mi-car (mi-cdr (mi-car p)))3


Tema 4: Procedimientos y estructuras recursivas

Sesión 9: Recursión (1)


En este tema veremos...

• Diseño de procedimiento recursivos

• Recursión mutua

• Coste espacial de la recursión

• Recursión por la cola

• Expresiones S

• Árboles binarios y genéricos


Confía en la recursión

• Para diseñar procedimientos recursivos debemos fijarnos en lo que hace el procedimiento (programación declarativa):

• Debemos descomponer el problema de forma que podamos lanzar la recursión sobre una versión más sencilla del mismo

• Obtener la solución de la versión más pequeña

• Devolver la solución completa

• Debemos confiar en que la llamada recursiva va a hacer su trabajo y devolver el resultado correcto, sin preocuparnos de cómo lo va a hacer.

• Es útil utilizar una notación matemática antes de programar.


Longitud de una lista

• Definición matemática de la longitud de una lista:

• Implementación:





Longitud (l) = 1 + Longitud (resto (l)) Longitud (lista-vacía) = 0





Longitud (l) = 1 + Longitud (resto (l)) Longitud (lista-vacía) = 0

(define (mi-length items) (if (null? items) 0 (+ 1 (mi-length (cdr items)))))


Sumatorio

• Definición matemática del sumatorio:



Sumatorio



Sumatorio(min,max) = min + Sumatorio (min+1, max) Sumatorio(min,max) = min si min=max


Sumatorio



Sumatorio(min,max) = min + Sumatorio (min+1, max) Sumatorio(min,max) = min si min=max

(define (sumatorio min max) (if (= min max) min (+ min (sumatorio (+ 1 min) max))))


list-reverse

• ¿Cómo podríamos de invertir una lista forma recursiva? Un minuto para confiar en la recursión

• Escribe la definición matemática

• Escribe el programa en Scheme


mi-list-ref



mi-list-ref


(define (mi-list-ref lista n) (cond ((null? lista) (error "indice mayor que tamaño de lista")) ((= n 0) (car lista)) (else (mi-list-ref (cdr lista) (- n 1)))))


Recursión mutua

• Hay veces en que la definición de una función se puede realizar en función de una segunda, que a su vez se define en base a la primera.

• Ejemplo:

• Programas en Scheme:

x es par si x-1 es imparx es impar si x-1 es par0 es par


Recursión mutua


• Ejemplo:



(define (par? x) (if (= 0 x) #t (impar? (- x 1))))


Recursión mutua


• Ejemplo:



(define (par? x) (if (= 0 x) #t (impar? (- x 1))))

(define (impar? x) (if (= 0 x) #f (par? (- x 1))))


Ejemplo avanzado: curvas de Hilbert

• La curva de Hilbert es una curva fractal que tiene la propiedad de rellenar completamente el espacio. Su dibujo tiene una formulación recursiva.

• Vemos que la curva H3 se puede construir a partir de la curva H2.


Ejemplo avanzado: curvas de Hilbert

• Utilizamos la librería graphics/turtles que permite usar la tortuga y comandos de Logo en Scheme (draw y turn).

• La función (h-der i w) dibuja una curva de Hilbert de orden i con una longitud de trazo w a la derecha de la tortuga.

• La función (h-izq i w) dibuja una curva de Hilbert de orden i con una longitud de trazo w a la izquierda de la tortuga.


Algoritmo curva de Hilbert

• Para dibujar una curva de Hilbert de orden i a la derecha de la tortuga:

• El algoritmo para dibujar a la izquierda es simétrico.

Gira la tortuga -90Dibuja una curva de orden i-1 a la izquierdaAvanza w dibujandoGira 90Dibuja una curva de orden i-1 a la derechaAvanza w dibujandoDibuja una curva de orden i-1 a la derechaGira 90Avanza w dibujandoDibuja una curva de orden i-1 a la izquierdaGira -90


Algoritmo en Scheme

(require graphics/turtles)(turtles #t)(define (h-der i w) (if (> i 0) (begin (turn -90) (h-izq (- i 1) w) (draw w) (turn 90) (h-der (- i 1) w) (draw w) (h-der (- i 1) w) (turn 90) (draw w) (h-izq (- i 1) w) (turn -90))))

(define (h-izq i w) (if (> i 0) (begin (turn 90) (h-der (- i 1) w) (draw w) (turn -90) (h-izq (- i 1) w) (draw w) (h-izq (- i 1) w) (turn -90) (draw w) (h-der (- i 1) w) (turn 90))))


Lo probamos

• Podemos probarlo con distintos parámetros de grado de curva y longitud de trazo:

• El resultado de esta última llamada es:

(clear)(h-izq 3 20)(h-izq 6 5)


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