Tema 3.

Dinámica 3.1 Concepto de fuerza. 3.2 Impulso mecánico. Cantidad de movimiento. 3.3 Leyes de Newton. 3.4 Tipos de fuerzas. 3.5 Aplicaciones.

3.1 Concepto de fuerza

En el tema anterior se ha estudiado el movimiento pero en ningún caso se analizaron las

causas que lo originan. El presente tema trata sobre las causas que provocan cambios en el

movimiento de los objetos, estas son las fuerzas. El estudio de las fuerzas se conoce en física

como dinámica.

Las primeras aproximaciones al estudio del movimiento parten de los griegos, quienes creían

erróneamente que la tendencia de los cuerpos es a permanecer en reposo, y que aquellos

cuerpos que se movían lo hacían para buscar su “lugar natural”, tierra abajo, encima el agua y

encima el aire y el fuego. Estas ideas permanecieron hasta que en el siglo XVII Galileo Galilei

formuló la primera aproximación al principio de inercia, que más adelante enunciaría Isaac

Newton. Según Galileo un objeto lanzado sobre el suelo tarda poco en detenerse y recorre

poca distancia; si el suelo está pulido el objeto llega más lejos, y si está impregnado de aceite

llega más lejos aún. Idealmente, si el objeto no sufriera roce con el suelo o el aire debería

moverse con velocidad constante indefinidamente. Las ideas de Galileo llevan al concepto de

las fuerzas como agentes que producen variaciones en el estado de movimiento de los objetos.

Cuando un sistema físico influye o afecta a otro se dice que ejerce una interacción. Las

interacciones pueden ser más o menos intensas, no es la misma interacción la caída de una

pluma sobre una mesa que la caída de una masa de 5000kg; además, no es lo mismo empujar

una tarta sobre una mesa hacia delante que hacia abajo.

Las fuerzas son las magnitudes físicas que representan y cuantifican las interacciones. La

fuerza es una magnitud vectorial y su unidad es el Newton (N). Las fuerzas se pueden ejercer

por contacto o a distancia y sus efectos sobre los sistemas físicos son producir cambios en el

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estado de movimiento o deformaciones. Como magnitudes vectoriales las fuerzas están

representadas por vectores; la dirección y el sentido indican hacia donde se ejerce la fuerza, el

módulo indica la intensidad y el punto de aplicación indica donde se ejerce la fuerza.

3.2 Impulso mecánico. Cantidad de movimiento.

3.2.1 Impulso mecánico

El efecto de una fuerza sobre un punto material depende, entre otras cosas, de la fuerza y del

tiempo que ésta está actuando. El impulso mecánico se define como el producto de la fuerza

por el tiempo que está actuando.

ΔtFI ⋅=rr

Es una magnitud vectorial con la dirección y el sentido de la fuerza y cuya unidad en el sistema

internacional es el N·s.

3.2.2. Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento o momento lineal mide la capacidad de un objeto de ejercer

fuerza. Se define como el producto de la masa de un objeto por su velocidad:

vmprr

⋅=

Es una magnitud vectorial con la dirección y el sentido de la velocidad y cuya unidad es el

Kg·m/s. Un objeto de baja masa puede tener una cantidad de movimiento muy elevada debido

a tener una velocidad muy alta como por ejemplo una pelota de tenis en el saque. Por otro lado

un objeto muy lento también puede tener una gran cantidad de movimiento si su masa es muy

grande, por ejemplo una trasatlántico atracando en un puerto.

3.2.3 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento

El impulso mecánico y la cantidad de movimiento tienen las mismas unidades lo que significa

que deben ser magnitudes que tengan algún tipo de relación. Esta relación consiste en que el

impulso mecánico ejercido sobre un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento

de dicho cuerpo.

pΔIrr

=

La anterior relación lleva a un principio físico muy importante de validez universal; su aplicación

va desde el interior de los átomos a las interacciones entre galaxias. El teorema de conservación de la cantidad de movimiento afirma que:

“Si sobre un sistema no actúa ninguna fuerza o la resultante de las que actúan

es nula, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante.”

Si cte.p0F =⇒=rr

36

Tema 3: Dinámica

3.2.4 Aplicaciones directas del teorema de conservación de la cantidad de movimiento

La conservación de la cantidad de movimiento se puede aplicar en gran cantidad de

fenómenos físicos. Aquí se van a resolver los más sencillos. En todos los casos se van a

considerar dos masas como un sistema de modo que las fuerzas entre sí se anulen por el

principio de acción y reacción (que se va a ver a continuación) y se cumplan las condiciones

del teorema de conservación de la cantidad de movimiento.

3.2.4.1 Colisiones

Una colisión o choque es una interacción entre dos o más masas que se caracteriza porque;

1. la duración es muy breve,

2. la intensidad es muy alta.

En todas las colisiones la fuerza que uno de los objetos realiza sobre otro es a su vez recibida

por el principio de acción y reacción, por lo tanto la fuerza total del sistema es nula y la cantidad

de movimiento se conserva.

despuésantes pprr

=

Si la energía se conserva se dice que la colisión es elástica, y en caso contrario se dice que es

inelástica. En el caso que los cuerpos permanezcan unidos tras la colisión se dice que ésta es

plástica o perfectamente inelástica. Teóricamente las colisiones pueden involucrar a varios

cuerpos y se producen en tres dimensiones. Aquí se van a tratar las colisiones sólo entre dos

masas y en una dimensión, por lo que el signo de la velocidad indica el sentido del movimiento.

Ejemplo 1 colisión elástica Dos masas de 4kg y 10kg se mueven con velocidades respectivas de 20m/s y -15m/s colisionando de manera elástica. Calcula las velocidades tras la colisión.

En las colisiones elásticas se conserva la energía cinética.

Antes de la colisión se tienen las velocidades v1 y v2 cada una con su signo y

después v1’ y v2’.

conservación de la cantidad de movimiento → m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’

conservación de la energía cinética → 222

211

222

211 v'm

21v'm

21vm

21vm

21

+=+

Sustituyendo y simplificando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

37

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

4·20 + 10·(–15) = 4v1’ + 10v2’

4·400 + 10·225 = 4 v’12 + 10 v’22

Resolviendo el sistema se obtiene v’1= –30m/s v’2=5m/s.

Ejemplo 2 colisión plástica Dos masas de 3kg y 7kg viajan a velocidades respectivas de 10m/s y 5m/s. Colisionan de manera que permanecen unidas tras el choque. Determina la velocidad del sistema.

conservación de la cantidad de movimiento → m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v’

3·10 + 7·5 = (3 + 7) v’ → v’ = 6.5m/s

3.2.4.2 Retroceso

Otro fenómeno relacionado con la conservación de la cantidad de movimiento es el retroceso.

Cuando una parte de un sistema es expelida con cierta velocidad en un sentido el resto del

sistema experimenta un cierto impulso en sentido contrario. Ejemplos son el globo que se

desinfla, los aviones a reacción, las armas de fuego...

Ejemplo retroceso Un niño de 50kg de masa salta desde una barca con una velocidad de 2m/s. Determina la velocidad de retroceso de la barca si su masa es de 1000kg e inicialmente el sistema barca-niño están en reposo.

conservación de la cantidad de movimiento → (m1 + m2) v0 = m1v’1 + m2 v’2

(1000 + 50) 0 = 50 · 2 + 1000 v’2 → v’2 = – 0.1 m/s

38

Tema 3: Dinámica

3.3 Leyes de Newton

Las leyes de Newton, también conocidas como leyes de la dinámica, son los principios

básicos que se van a emplear para resolver todos los problemas de la dinámica. La primera es

un resultado directo del teorema de conservación de la cantidad de movimiento. La segunda se

conoce como ley fundamental de la dinámica y establece la relación entre una magnitud

cinemática, la aceleración, y las fuerzas, y la tercera describe el proceso de interacción entre

dos sistemas.

3.3.1 Primera ley de Newton: principio de inercia

Newton se basó en el teorema de la conservación de la cantidad de movimiento para formular

la primera ley de la dinámica:

“Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de todas las que

actúan es nula, el cuerpo permanecerá indefinidamente en reposo o con

movimiento rectilíneo uniforme.”

De la primera ley se pueden extraer algunas conclusiones importantes:

1. Para un cuerpo no hay diferencia entre que no actúen fuerzas o que actúen varias y se

anulen entre sí.

2. El estado de reposo o movimiento del cuerpo es indefinido mientras no exista una

fuerza resultante no nula.

3. Los cuerpos se pueden mover sin necesidad que actúen fuerzas para ello.

4. Siempre hay que tener presente que la velocidad es un vector y por lo tanto se

caracteriza por su módulo, dirección y sentido. Una fuerza puede provocar cambios en

la dirección de la velocidad, en el sentido y en el módulo.

3.3.2 Segunda ley de Newton: ley fundamental de la dinámica

Si sobre una masa se aplica una fuerza se puede medir el cambio que experimenta su

velocidad a lo largo del tiempo, es decir se puede calcular su aceleración. Si se repite el

experimento aplicando el doble de fuerza se puede observar cómo la aceleración aumenta al

doble, es decir, existe una relación de proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la aceleración

que un cuerpo adquiere. Esa relación entre fuerza y aceleración depende del objeto en

cuestión. Concretamente esa magnitud es la masa del objeto. La segunda ley de Newton

afirma que:

“La fuerza resultante aplicada sobre un objeto es igual al producto de la

masa de ese objeto por la aceleración que adquiere:

amFr r

⋅= “

Conclusiones:

1. La masa de un objeto es una magnitud que representa la oposición de ese cuerpo a las

39

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

variaciones de su velocidad. Un objeto con mucha masa acelera menos que uno con

menos masa ante una misma fuerza, por otro lado, se necesita también más fuerza

para frenar un objeto con mucha masa que para frenar un objeto ligero.

2. La fuerza y la aceleración son vectores que siempre tienen la misma dirección y el

mismo sentido, que no tienen que coincidir con la dirección y sentido del movimiento.

3. La fuerza que aparece en la expresión es la fuerza resultante de todas las que actúan.

4. El primer principio se puede deducir a partir del segundo;

ctev0a0F =⇒=⇒=rrr

3.3.3 Tercera ley de Newton: principio de acción y reacción

La tercera ley de Newton relaciona la fuerza que dos cuerpos se ejercen entre sí:

“Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce a su vez

instantáneamente otra fuerza sobre el primero que es igual en módulo y

dirección y de sentido contrario.”

Conclusiones:

1. Las fuerzas de acción y reacción se ejercen de simultáneamente, no existe primero la

acción y después la reacción.

2. La fuerza recibida por ambos objetos es la misma, pero el efecto es diferente si las

masas son diferentes.

3. Este principio es válido para todas las fuerzas, tanto si se ejercen por contacto como a

distancia.

3.4 Tipos de fuerzas

3.4.1 Las cuatro interacciones de la naturaleza

Todas las fuerzas de la naturaleza se pueden englobar dentro de cuatro categorías;

1. Fuerzas gravitatorias. Se ejercen entre cualquier conjunto de masas, aunque sólo son

apreciables si las masas son muy grandes. Ejemplos son el peso, la atracción que

ejerce el Sol sobre la Tierra o la Tierra sobre la Luna.

2. Fuerzas eléctricas. Se ejercen entre cuerpos cargados y se deben al exceso o defecto

de electrones en los objetos. Ejemplos son los motores eléctricos, los imanes, las

pequeñas descargas que se producen con determinada ropa, etc.

3. Fuerzas nucleares fuertes. Son las responsables de la estabilidad de los núcleos

atómicos.

4. Fuerzas nucleares débiles. Se ejercen durante la emisión β, que es un tipo de

descomposición nuclear.

A continuación se van a estudiar algunos tipos concretos de fuerzas todos englobados en las

dos primeras categorías.

40

Tema 3: Dinámica

3.4.2 Fuerzas gravitatorias

Las fuerzas gravitatorias se ejercen entre las masas. Su expresión fue propuesta por Newton

en la ley de gravitación universal:

“Dos masas se atraen siempre con una fuerza proporcional al producto de

sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, que se

ejerce en la dirección de la línea que une los centros de las masas“

221

rmmGF =

Figura 3.1. Fuerza gravitatoria

Donde G=6,67·10–11Nm2/kg2 es un valor constante que recibe el nombre de constante de

gravitación universal. El pequeño valor de G hace necesaria una gran cantidad de masa para

que estas fuerzas sean apreciables, de manera que sólo es efectiva en el caso de los planetas,

estrellas, etc. Por el principio de acción y reacción la fuerza gravitatoria Estas fuerzas se

caracterizan porque:

• son siempre atractivas;

• aumentan proporcionalmente con el producto de las masas;

• decrecen inversamente con el cuadrado de la distancia;

• son centrales, es decir, se ejercen en la dirección de los centros de las masas;

• Su intensidad es baja, debido al pequeño valor del la constante G;

• su alcance es ilimitado.

3.4.3. Fuerzas electrostáticas

Basándose en la ley de gravitación universal, Coulomb enunció una ley similar para calcular la

fuerza que se ejercen entre sí las cargas:

“Dos cargas experimentan siempre una fuerza atractiva o repulsiva

proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia que las separa“

221

rqqKF =

41

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

Figura 3.2. Fuerzas eléctricas

q1 y q2 son las cargas, cuyo valor se mide en coulombios (C) y la constante eléctrica K vale

9·109Nm2/C2 en el vacío. Al igual que las gravitatorias, las fuerzas eléctricas son directamente

proporcionales al producto de las cargas, inversamente proporcionales al cuadrado de la

distancia y su alcance es ilimitado. A pesar de estas similitudes, las fuerzas eléctricas

presentan importantes diferencias respecto de las gravitatorias:

1. pueden ser repulsivas o atractivas dependiendo de si las cargas son iguales o

diferentes respectivamente;

2. solamente aparecen si los cuerpos están cargados;

3. su intensidad es muy alta;

4. dependen del medio a través del valor de K.

3.4.4 Fuerza peso

El peso es una fuerza de tipo gravitatorio que se aplica en el caso de los objetos generalmente

en la superficie de los planetas, donde la masa del planeta y la distancia entre los cuerpos son

constantes:

mgR

GMmR

mMGP 2P

P2P

P ===

2P

P

RGMg =

El término ‘g’ recibe el nombre de intensidad de campo gravitatorio o simplemente gravedad

y en el caso de la Tierra tiene un valor de 9.8m/s2. Como la fuerza gravitatoria es atractiva la

fuerza peso sobre un objeto siempre va dirigida hacia el centro del planeta.

3.4.5 Fuerza normal

Cuando un objeto está sobre una superficie recibe una fuerza de la misma que se llama fuerza normal (N), y representa la fuerza con que la superficie sostiene al objeto. Esta fuerza siempre

es perpendicular a las superficies y su valor depende del peso del objeto apoyado. En los

planos horizontales la fuerza normal es igual al peso. Si se apoya una masa pequeña sobre

una mesa, la normal y el peso se anulan entre si y la masa permanece en reposo. Si sobre la

mesa se apoya una masa mayor, la normal no puede igualar al peso y la mesa se hunde.

42

Tema 3: Dinámica

Figura 3.3. Fuerza normal

3.4.6 Fuerzas de rozamiento

Las fuerzas de rozamiento aparecen cuando un objeto se mueve a través de un medio que no

sea el vacío o cuando dos superficies se deslizan una sobre la otra. Se deben a las fuerzas de

cohesión entre las partículas de ambas superficies o a las imperfecciones o rugosidades de las

mismas. Solamente se van a tratar aquí las fuerzas de rozamiento por deslizamiento. Las

características de la misma son:

o se mueve a través de un medio que no

sea el vacío o cuando dos superficies se deslizan una sobre la otra. Se deben a las fuerzas de

cohesión entre las partículas de ambas superficies o a las imperfecciones o rugosidades de las

mismas. Solamente se van a tratar aquí las fuerzas de rozamiento por deslizamiento. Las

características de la misma son:

1. Dependen de la naturaleza del estado de las superficies, pero no de su tamaño. 1. Dependen de la naturaleza del estado de las superficies, pero no de su tamaño.

2. Dependen también de la fuerza que une ambas superficies. 2. Dependen también de la fuerza que une ambas superficies.

3. Son paralelas al plano de movimiento y siempre tienen sentido opuesto al movimiento. 3. Son paralelas al plano de movimiento y siempre tienen sentido opuesto al movimiento.

La expresión de la fuerza de rozamiento es: La expresión de la fuerza de rozamiento es:

FR = μ N FR = μ N

donde μ recibe el nombre de coeficiente de rozamiento y es un valor que depende de las

superficies. Existen dos coeficientes de rozamiento, el estático y el dinámico. Mientras que un

cuerpo está en reposo actúa el coeficiente de rozamiento estático pero si se mueve el

coeficiente será el dinámico, que es menor. Esto significa que la fuerza de rozamiento de un

cuerpo es mayor cuando está en reposo que cuando se mueve.

3.4.7. Fuerzas elásticas

Uno de los efectos de las fuerzas sobre la materia es producir deformaciones. Prácticamente

todos los cuerpos rígidos tienden a recuperar su forma cuando la fuerza deja de actuar. Esto se

debe a que las moléculas que forman el material tienden a volver a su posición original, luego

el origen de estas fuerzas son las fuerzas eléctricas de las partículas que componen la materia.

Un muelle o resorte es el ejemplo más claro de esto. Cuando sobre un muelle no se ejerce

Figura 3.4. Fuerzas elásticas.

43

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

ninguna fuerza se dice que está en la posición de equilibrio y tiene la longitud natural ‘l0’.

Cuando un muelle se encuentra comprimido o alargado su nueva longitud es ‘l’ y ejerce una

fuerza que es proporcional al incremento o disminución de longitud.

El valor de la fuerza es:

F= k Δl = k (l – l0)

La fuerza siempre lleva la dirección del eje del muelle y el sentido es siempre hacia la posición

de equilibrio. Es frecuente expresar la posición del extremo de muelle como una coordenada

‘x’, siendo x=0m la posición de equilibrio. En este caso la fuerza se suele expresar como:

F= – k x

donde el signo negativo indica el sentido de la fuerza según el criterio de signos común.

3.4.8. Tensión

Las fuerzas de tensión (T) aparecen cuando la fuerza se ejerce mediante una cuerda. Ejemplos

son los objetos suspendidos o los objetos movidos al tirar de una cuerda. En última instancia la

fuerza se transmite a lo largo de la cuerda debido a los enlaces de las moléculas que la

constituyen por lo que su origen es eléctrico.

3.4.9 Fuerza centrípeta

La fuerza centrípeta es un caso especial de fuerza que es la causante de que los cuerpos sigan

trayectorias circulares. La fuerza centrípeta es gravitatoria en el caso de la Luna en órbita

alrededor de la Tierra, de tensión en el caso de una onda, o una fuerza normal en el caso del

cubo girando sin que caiga el agua. Se calcula como el producto de la masa por la aceleración

centrípeta, siendo su dirección y sentido siempre hacia el centro de la trayectoria.

RmωRvmmaF 2

2

cc ===

Figura 3.5. Fuerza centrípeta

44

Tema 3: Dinámica

3.5 Aplicaciones

A continuación se van a resolver de manera general diversas situaciones en la que se van a

aplicar las leyes de Newton y las fuerzas estudiadas. Se van a estudiar los casos más

generales posibles de modo que las variaciones sobre los mismos sean fáciles de aplicar. En

general, el procedimiento de resolución de los ejercicios es el siguiente:

1. Dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el sistema y descomponer las fuerzas que

no se encuentren sobre los ejes.

2. Escribir la ecuación general de la dinámica, la suma de todas las fuerzas es igual al

producto de la masa por la aceleración. Como regla general se va a considerar el

sentido de movimiento como el positivo, por lo que a veces será necesario hacer un

estudio preliminar para determinar hacia donde tiende a moverse el sistema.

3. Despejar la aceleración y aplicar las ecuaciones cinemáticas correspondientes a cada

caso.

3.5.1 Plano horizontal

En el plano horizontal con rozamiento las fuerzas que actúan son como indica la figura 3.6.

Figura 3.6. Cuerpo sobre plano horizontal

En el eje y no hay movimiento, por lo que la resultante de fuerzas debe ser nula, es decir:

N = P = mg

La fuerza de rozamiento vale:

FR = μN = μ·mg

La segunda ley de Newton se escribe:

Ftotal = ma

F – FR = m·a

y la aceleración vale:

mμmgFa −

=

Casos posibles:

Si F>FR el objeto tiene aceleración positiva, y su velocidad aumenta

Si F<FR la aceleración es negativa y pueden ocurrir dos situaciones:

1. si el objeto tiene velocidad inicial está siendo frenado por el rozamiento;

2. si el objeto esta inicialmente en reposo permanece en reposo ya que la fuerza no es

capaz de vencer el rozamiento.

45

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

Si F=FR el objeto no tiene aceleración y permanece en reposo o con velocidad constante.

Si FR=0 el cuerpo adquiere una aceleración positiva.

Si F=0 sólo existe rozamiento y el cuerpo está frenando hasta detenerse.

Si la fuerza actúa oblicuamente es necesario descomponerla y el análisis en ese caso sería:

Fx = F cos α

Fy = F sen α

Figura 3.7. Cuerpo sobre plano horizontal con fuerza oblicua

En el eje y no hay movimiento por lo que se deben anular las fuerzas:

P = N + Fy

N = P – Fy = mg – F sen α

En el eje x se aplica la segunda ley de Newton

Fx – FR = m·a

F cos α – μ·N = m·a

F cos α – μ(mg – F sen α) = m·a

( )m

FsenαmgμFcosαa −−=

3.5.2 Plano inclinado

El plano inclinado es un caso muy frecuente de aplicación de la segunda ley de Newton. Los

planos se caracterizan por el ángulo de inclinación. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo

apoyado en un plano inclinado sin rozamiento son dos: peso y normal. El sistema de referencia

se sitúa de modo que el eje x cae en el sentido del movimiento.

Figura 3.8. Descomposición de la fuerza peso en el plano inclinado

46

Tema 3: Dinámica

En la figura 3.8 se supone que el objeto se ha dejado sobre el plano sin velocidad inicial. La

fuerza peso cae fuera de los ejes por lo que hay que descomponerla en una componente sobre

el eje x (Px) y otra sobre el eje y (Py). Los valores de estas componentes son:

Px = P·sen α = mg·sen α

Py = P·cos α =mg·cos α

Como en el eje y no hay movimiento se debe cumplir que:

N = Py

N = mg cos α

En el eje x sólo queda una fuerza, la Px. Aplicando la segunda ley de Newton:

Ftotal = ma

Px = ma

mg sen α = ma

a = g sen α

Si existiera rozamiento en el plano inclinado la fuerza de rozamiento se debe aplicar paralela a

la superficie y en sentido contrario al del movimiento, que en este caso es hacia abajo.

Figura 3.9. Cuerpo sobre

plano inclinado con rozamiento

La descomposición del peso se hace igual y la ecuación fundamental de la dinámica queda:

Ftotal = ma

Px – FR = ma

mg sen α – μN = ma

mg sen α – μmg cos α = ma

a = g(sen α – μ cos α)

Si al realizar los cálculos la aceleración resulta ser negativa, esto implicaría que la fuerza de

rozamiento es mayor que la Px, y por lo tanto el objeto no se movería.

47

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

3.5.3 Cuerpos suspendidos

Los cuerpos conectados mediante cables experimentan entre sí fuerzas transmitidas a través

de los mismos, es decir fuerzas de tensión. Si se supone que la cuerda no tiene masa, que es

inextensible (no es elástica) y las poleas no tienen masa, la fuerza de tensión es la misma a lo

largo de todo el cable. Como primer ejemplo se va a resolver el problema de la figura. El primer

paso es representar las tensiones, después se escribe la ecuación fundamental de la dinámica

y por último se calcula la aceleración.

Figura 3.10. Cuerpos suspendidos sin y con rozamiento

El cable define la dirección del movimiento. Este sistema de va a desplazar hacia la derecha ya

que no hay ninguna fuerza que lo impida.

Para el cuerpo 1 se tiene:

T1 = m1a

y para el cuerpo 2:

P2 – T2 = m2a

La aceleración es la misma para ambos bloques al estar conectados por la cuerda y las

tensiones también son iguales tal como se ha explicado antes. Haciendo un sistema de

ecuaciones se obtiene:

T = m1a

P2 – T = m2a

Sumando ambas expresiones se obtiene:

P2 = (m1 + m2)a

m2g = (m1 + m2)a

con lo que:

48

Tema 3: Dinámica

gmm

ma21

2

+=

El valor de la tensión se calcularía sustituyendo el valor de ‘a’ en cualquiera de las ecuaciones

anteriores:

gmm

mmT21

21

+=

Si en el sistema hubiera rozamiento, éste sólo afectaría a la masa 1 que es la que está

apoyada. El sistema de ecuaciones quedaría:

T – FR = m1a

P2 – T = m2a

y operando como antes y teniendo en cuenta que para la masa 1 se cumple que N=P1 = m1g

P2 – FR = (m1 + m2)a

m2g – μm1g = (m1 + m2)a

gmmμmma

21

12

+−

=

En este caso hay que comprobar que P2>FR ya que en caso contrario el rozamiento impediría

el movimiento.

49

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

Ejercicios

1. Pon un ejemplo de cada situación:

a) Fuerza ejercida a distancia cuyo resultado sea una deformación;

b) Fuerza ejercida por contacto cuyo resultado sea una deformación;

c) Fuerza ejercida a distancia cuyo resultado sea un cambio en el estado de movimiento;

d) Fuerza ejercida por contacto cuyo resultado sea un cambio en el estado de

movimiento;

2. ¿Puede en algún caso el vector cantidad de movimiento llevar dirección y/o sentido distinto

a la velocidad?

3. Demuestra que el impulso mecánico y la cantidad de movimiento tienen las mismas

unidades.

4. Dado el vector de posición de una partícula de 3kg de masa calcula la cantidad de

movimiento de esa partícula.

( ) ( )j4tti24tr 3 ˆˆ −++=r

(S.I.)

5. Una bola de 0.1kg de masa colisiona con una pared a 3m/s saliendo rebotada con la misma

velocidad que llegó. Si estuvo en contacto con la pared durante 0.02s, calcula la fuerza que

ejerció la pared sobre la bola.

6. Un avión de 30Tm viaja a 720Km/h cuando el motor ejerce una fuerza sobre él de 80000N

durante 20s. Calcula la nueva velocidad del avión.

7. Un coche de masa 1000kg pasa de 0 a 100km/h en 12s. Calcula la fuerza que ha ejercido el

motor.

8. Dos móviles de masas iguales a 5kg colisionan elásticamente. Si las velocidades iniciales

son 30m/s y –20m/s determina las velocidades finales.

9. Dos móviles de masas 4kg y 6kg viajan el primero al doble de velocidad que el segundo.

Colisionan y permanecen unidos viajando a 14m/s ¿A qué velocidad iba cada uno de ellos?

10. Un niño de 50kg de masa salta con una velocidad de 2m/s sobre una barca hinchable de

15kg inicialmente en reposo. Calcula la velocidad que adquiere el sistema barca-niño.

11. Un cañón de 1000kg de masa está montado sobre un vagón de 4000kg cuando dispara

horizontalmente una bala de 1kg a 500m/s. Calcula la velocidad de retroceso en los casos

siguientes:

a) inicialmente el cañón está en reposo;

b) inicialmente se mueve en el sentido del disparo a 2m/s;

c) inicialmente se mueve en sentido contrario al disparo a 3m/s;

d) inicialmente está en reposo y dispara con un ángulo de 30º.

12. Si dos masas de 2kg y 7kg que inicialmente viajan con velocidades de 8m/s y 6m/s

colisionan y tras la colisión las velocidades son de 10m/s y 5m/s ¿Se puede decir que la

colisión ha sido elástica?

50

Tema 3: Dinámica

13. Una bala de masa 20g viaja a 300m/s cuando se incrusta en un bloque de madera de 1kg

de masa inicialmente en reposo. ¿A qué velocidad se mueve el sistema tras el impacto?

14. Repite el problema anterior suponiendo que el bloque de madera se movía hacia la bala a

4m/s. ¿A qué velocidad y en qué sentido e debe mover el bloque para que el sistema esté en

reposo tras el impacto?

15. Dos patinadores sobre el hielo de masas m1=70kg y m2=90kg se empujan mutuamente,

saliendo el primero de ellos con una velocidad de 15 m/s. Calcular la dirección y velocidad del

otro.

16. Si un móvil se desplaza recorriendo siempre 25 metros en cada segundo:

a) ¿Se puede asegurar que no actúa ninguna fuerza?

b) ¿Se puede asegurar que la resultante de todas las fuerzas es nula?

17. Contesta verdadero o falso razonando las respuestas:

a) Si la resultante de fuerzas es nula el cuerpo permanece en reposo.

b) Si un cuerpo permanece en reposo la resultante de fuerzas es nula.

c) Si un cuerpo está en reposo sobre él no actúa ninguna fuerza.

18. En un ascensor se tienen dos fuerzas; el peso y la tensión que le ejerce el cable del que

cuelga. Haz un esquema del ascensor y de estas dos fuerzas. Si un ascensor sube a velocidad

constante ¿Cuál de estas fuerzas es mayor?

19. Contesta verdadero o falso razonando la respuesta:

a) en un movimiento circular uniforme la fuerza es inexistente

b) si un cuerpo colgado sube la tensión de la cuerda es mayor que el peso

c) como consecuencia del tercer principio de la dinámica si un cuerpo ejerce una fuerza

sobre el otro ambos salen con la misma velocidad en módulo y dirección, pero sentido

opuesto

20. Deduce la segunda ley de Newton a partir de la relación entre impulso mecánico y cantidad

de movimiento. Para ello supón que el movimiento es MRUA y por lo tanto la aceleración es

constante.

21. Sobre un objeto de 14kg actúa una fuerza de 42N. Calcula la aceleración del sistema.

¿Qué ocurriría si la masa fuera el doble?

22. Si la Tierra me atrae con la misma fuerza que yo a ella ¿Por qué cuando salto la Tierra no

viene hacia mí?

23. Tiramos de un cuerpo de masa 10Kg adquiriendo este una aceleración de 2m/s2. Calcular

la fuerza con que tiramos de él si μ=0, μ=0.2 y μ=0.5. Estimar antes de realizar los cálculos si la

fuerza ha de ser mayor, menor o igual en cada situación.

24. Se lanza un cuerpo por un plano con v0=20m/s y se detiene tras recorrer 100m. Calcular el

coeficiente de rozamiento. ¿Cómo evolucionaría un cuerpo del doble de masa?

25. Tiramos de un cuerpo de 2 Kg de masa apoyado sobre un plano con dos fuerzas

perpendiculares de valor 3N y 4N. ¿Qué aceleración adquirirá el bloque?

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Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

26. Dos personas tiran cada una en sentido contrario de un bloque de madera de 40 Kg que se

apoya en el suelo. Si una tira con una fuerza de 120N y otra con 169N, explicar cómo

evoluciona el bloque en los casos μ=0.1, μ=0.125, μ=0.2.

27. Un móvil de 10 Kg de masa se desliza por un plano sin rozamiento alejándose del origen

con una velocidad de 15m/s. Cuando el móvil está a 30m del origen se aplica una fuerza en

sentido contrario al del movimiento de 50N. Calcular velocidad y posición 10 segundos después

de empezar a ejercerse la fuerza. Describir el movimiento del móvil.

28. ¿Es correcta la expresión ese jarrón pesa 5kg?

29. Dos masas en el vacío se separan al triple de distancia ¿Aumenta o disminuye la fuerza

gravitatoria?¿En qué factor lo hace?

30. Calcular la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna. MT=5.9e24kg, ML=7.3e22,

RTL=384000Km.

31. Con los datos del ejercicio anterior. ¿En qué punto entre la Tierra y la Luna estaría en

equilibro una masa?

32. Calcula cuanto pesa en la Luna un vehículo que en la Tierra pesa 7500N. ML=7.3e22Kg,

RL=1700km.

33. La expresión “el plano horizontal posee un coeficiente de rozamiento de 0.25” es

incorrecta. Explica por qué.

34. Una masa es lanzada contra un muelle y comprime a este hasta detenerse. ¿En qué

instante ejerció la masa más fuerza sobre el muelle?

35. Un muelle se alarga 14cm al ejercer una fuerza de 2N. ¿Cuánto se va a alargar si se

ejercen 3N?

36. De un muelle de constante elástica 5000N/m se cuelga una masa de 10Kg. Calcula cuánto

se alarga.

37. Se ata una masa de 500g a una cuerda de radio 70cm y se hace girar a 60rmp. Calcula la

velocidad lineal de la piedra y la tensión de la cuerda.

38. ¿Cuál es la velocidad máxima de giro de una masa de 2kg atada a un cable de 80cm

capaz de aguantar 10000N?

39. Sobre un plano horizontal se tira con una fuerza de 40N de un objeto adquiriendo este una

aceleración de 2m/s2. Calcula la masa del objeto sin rozamiento o con μ=0.3.

40. Un objeto de 4kg de masa tiene una velocidad inicial de 50m/s. Calcula cuánto tardará en

detenerse y qué distancia recorrerá en los casos siguientes:

a) μ=0;

b) μ=0.5;

c) μ=0.5 y se tira del objeto con una fuerza de 10N;

41. Una bala de masa mb=50g se dispara con una velocidad de vb=250m/s contra un bloque de

madera mm=3Kg que está en reposo sobre un plano (μ=0.3). Calcular el tiempo que el bloque

tarda en detenerse y la distancia que recorre. ¿Qué hubiera pasado si μ=0?

42. Se tira de una masa de 10kg con una fuerza de 30N con un ángulo de 30º respecto la

horizontal. Calcula la aceleración de la masa sin rozamiento y con μ = 0.2.

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Tema 3: Dinámica

43. Un cuerpo de 5Kg de masa reposa sobre un plano inclinado cuyo ángulo es α=60º.

Calcular la aceleración que adquiere si μ=0 y μ=0.3.

44. Un objeto de 30kg está apoyado sobre un plano inclinado de 30º de ángulo. Calcula el

valor de Px y de la fuerza normal. Calcula la aceleración que adquiere el bloque sobre el plano.

45. Se lanza un bloque de m=0.2Kg hacia arriba a v0=12m/s desde el principio de un plano

inclinado de α=30º y μ=0.16. Calcular qué altura alcanza y velocidad lleva cuando vuelve al

origen (si es que vuelve).

46. Se lanza una masa de 5Kg desde un punto A con una velocidad inicial de v0=4m/s, sobre

una superficie horizontal de 3m, al final de la cual (punto B) comienza un plano inclinado de

α=30º. Si μ=0.2 a lo largo de todo el recorrido calcular: (llamar C al punto del plano inclinado

donde se detiene y D al punto final)

a) la velocidad a la que pasa por B la primera vez;

b) altura que alcanza;

c) la velocidad a la que vuelve a pasar por B;

d) la distancia de A al a que se detiene;

47. Un cuerpo de masa ‘m’ está apoyado en una superficie horizontal siendo el coeficiente de

rozamiento ‘μ’. Si se va inclinando cada vez más el plano inclinado de manera que ‘α’ va

aumentando ¿cual es el valor de α para que el cuerpo comience a moverse?

48. Una masa desliza hacia abajo a velocidad constante por un plano inclinado de ángulo 30º.

Calcula el coeficiente de rozamiento entre el objeto y el plano.

49. Se lanza hacia arriba por un plano inclinado (40º) una masa con velocidad inicial de 50m/s.

Calcula cuánta distancia recorre sobre el plano, cuanto tarda en detenerse y qué altura alcanza

si el coeficiente de rozamiento vale 0 y 0.4.

50. Se tira hacia arriba de una masa (m=100Kg) que sube por una rampa (α=15º) a velocidad

constante. Calcula la fuerza ejercida sabiendo que μ=0.5.

51. Un cuerpo de 15 Kg está en reposo en lo alto de un plano (α=45º y h=5m). Si dejamos

deslizar el cuerpo por el plano inclinado y después sigue por el suelo, analizar el movimiento

del mismo y calcular cuánto tiempo tarda en detenerse y la distancia recorrida en las

situaciones; μ=0 y μ=0.3.

52. Se ejerce una fuerza de 100N sobre la masa 1 (20Kg). Calcula la fuerza que la masa 2

(30Kg) ejerce sobre la masa 1.

m2

53. Calcula la fuerza máxima que se puede ejercer sobre el sistema sin que se rompa el cable

sabiendo que la tensión máxima que soporta la cuerda es de Tmáx=800N.

m1 F

m1=10Kg

m2=4Kg F

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Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

54. Calcula la fuerza que ejerce el primer bloque sobre el segundo y la fuerza que el segundo

bloque ejerce sobre el tercero.

m 2m 3m F=60N

55. Dos cuerpos de masas m1=10Kg y m2=15Kg cuelgan de los extremos de un hilo por polea.

Calcular la aceleración del sistema y las tensiones en la cuerda.

56. Una máquina de Atwood consiste en dos cuerpos colgados de una polea. Se usa para

medir la aceleración de la gravedad. Calcular la expresión de 'g' si conocemos m1, m2 (m1>m2),

la distancia (s) que baja la mayor de las masas y el tiempo (t) que invierte en hacerlo. Usar

estos datos para ver el valor de 'g' en el lugar que se realizó el experimento, m1=2.08Kg,

m2=2.Kg, el sistema recorre 39.4cm en 2 segundos, partiendo del reposo.

57. Determina el tiempo que tardará en descender un metro la masa 2 en los casos μ=0, μ=0.1

y μ=0.2. (m1 = 50Kg, m2=6Kg)

m1

m2

58. En el sistema de la figura determinar el sentido del movimiento, la aceleración del sistema y

las tensiones en las dos cuerdas. ¿Cuánto tendría que valer m2 para que el sistema no pudiera

iniciar el movimiento?

59. Calcular en el sistema de la figura la aceleración del sistema sabiendo que m1=5kg y

m2=2kg en los casos μ=0, μ=0.1 y μ=0.2.

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Tema 3: Dinámica

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60. En el sistema de la figura calcula la aceleración del sistema y las tensiones para m1=10kg y

m2=6kg en los casos μ=0, y μ=0.2. Calcula el valor máximo admisible del coeficiente de

rozamiento para que el sistema se mueva por si mismo.

61. Determina la aceleración del sistema y las dos tensiones de ambas cuerdas sabiendo que

m1=2Kg, m2=5Kg, m3=6Kg.

m1

m2

m3

45º

30º

60º

62. En la situación mostrada en el esquema se tiene que el muelle de constante elástica

100N/m se alarga 14.7cm cuando se le cuelga una masa de 3Kg. Calcula α.

α