TEMA 3: Métodos para el análisis de sistemas - UHU

Dinámica de Sistemas

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TEMA 3: Métodos para el análisis

de sistemas

3.1.- Introducción.

3.2.- Solución de ecuaciones diferenciales lineales.

3.3.- Transformada de Laplace.

3.4.- Diagramas de bloques

3.5.- Matriz de Transferencia

3.6.- Métodos numéricos, simulación

3.7.- Problemas

3.1 Introducción

En este tema se aborda la descripción de diversos métodos que permiten obtener la

evolución temporal de las magnitudes fundamentales que definen un Sistema

Dinámico.

Al enfrentarse a este tipo de problemas siempre se plantean dos estrategias

alternativas: la resolución analítica o la simulación numérica.

La descripción de los métodos analíticos se justifica por dos razones. En primer

lugar representan una herramienta fundamental para el análisis; en segundo lugar, son

una referencia fundamental a la hora de testar los resultados obtenidos por los

métodos numéricos.

Por otro lado, la aplicación de los métodos numéricos se ha generalizado gracias al

uso del computador y la aparición de programas de simulación. Dichos métodos

suponen una herramienta fundamental para simular sistemas dinámicos cuando las

técnicas analíticas no permiten integrar las ecuaciones del modelo.

En la primera parte del tema se introduce el método analítico tradicional. A lo

largo de ella se aclaran algunos conceptos fundamentales como el Teorema de

Unicidad y el Principio de Superposición. Asimismo, se definen los conceptos de

respuesta libre y respuesta forzada.


-3-2-

En la segunda parte del tema se presenta el método operacional para la resolución

de ecuaciones diferenciales. Basándose en la Transformada de Laplace se introducen

elementos fundamentales como son la función de transferencia y los diagramas de

bloques.

Por último, se describe sucintamente la aplicación de algunos métodos numéricos

de integración, que permiten realizar la simulación y obtener el comportamiento de

sistemas tanto lineales como no lineales.

3.2 Solución de ecuaciones diferenciales lineales

3.2.1 Teorema se unicidad y principio de superposición

Encontrar el comportamiento temporal de un sistema o la evolución temporal de la

variable de salida equivale a, conocidas las condiciones iniciales, encontrar la

solución a la ecuación diferencial que define el modelo de representación escogido.

En primer lugar se enunciarán dos teoremas que establecen las condiciones en las

que se puede resolver una ecuación diferencial y ciertas propiedades de las soluciones.

Posteriormente se introducirán las principales técnicas utilizadas para encontrar dichas

soluciones.

3.2.1.1 Unicidad de las soluciones

Teorema de Existencia y Unicidad:

Supóngase una ecuación diferencial lineal en la forma:

)()(

)(0

tudt

tydtf

n

ii

i

i =⋅∑=

donde las funciones fi (t) son continuas en el intervalo abierto I que contiene

al punto a. Entonces, dados n números yo, ..., yn-1, que cumplen las

condiciones iniciales:

0)( yay = ;;; 1)( yadt

dy= ;;; 2

2

)( yadt

yd= ; ....; 1

1

)( −

−

= n

n

yadt

yd

Existe una y solo una solución y(t) de la ecuación diferencial que cumpla

las anteriores condiciones iniciales.


-3-3-

Si para una ecuación diferencial no están definidas las condiciones iniciales,

pueden encontrarse infinitas soluciones a la ecuación. Una expresión que resuma este

conjunto de infinitas soluciones se denomina Solución General de la ecuación .

La solución de la ecuación para unas condiciones iniciales dadas, ha de pertenecer

a esta familia y se denomina Solución Particular de la ecuación.

Cuando se busca conocer el comportamiento temporal de un sistema dinámico,

estamos interesados en conocer la solución particular de la ecuación diferencial en

unas circunstancias concretas. Por tanto, para obtener el comportamiento temporal

de un sistema dinámico, es necesario que esté bien definido el problema de

condiciones iniciales, es decir, si el orden de la ecuación diferencial es n, se ha de

disponer de n condiciones iniciales. Obsérvese que si el modelo viene dado por una

ecuación de estado, será necesario que estén definidas todas las componentes

iniciales de las n componentes del vector de estado y, por tanto, seguirán siendo

necesarias n condiciones iniciales.

3.2.1.2 Principio de Superposición

Una de las características fundamentales de los sistemas estudiados en este tema es

la linealidad.. Se dice que un sistema dinámico es lineal si, suponiendo todas las

condiciones iniciales nulas, dadas las entradas )(1 tg e )(2 tg que producen

respectivamente las salidas )(1 ty y )(2 ty (ver Figura 3.1) entonces, para una entrada

)()( 2211 tyctgc + se produce la salida )()( 2211 tyctgc + .

( ) →tg1 SISTEMA ( )ty1→ ( ) →tg2 SISTEMA ( )ty2→

( ) ( ) →+ tgctgc 2211 SISTEMA ( ) ( )tyctyc 2211 +→

Figura 3.1. Sistema lineal, principio de superposición

De esta propiedad de Linealidad se puede deducir el Principio de Superposición:

Principio de Superposición

“La respuesta y(t) de un Sistema Lineal, debido a varias entradas

)....(),( 21 tgtg que actúan simultáneamente, es igual a la suma de las


-3-4-

respuestas a cada entrada actuando solas, cuando todas las condiciones

iniciales del sistema son nulas.”

Esta propiedad permite resolver sistemas lineales con múltiples entradas con solo

considerar la acción de cada una de ellas de forma independiente

Cualquier sistema que satisfaga el Principio de Superproducción es un Sistema

Lineal.

3.2.2 Homogeneidad, Polinomio característico y Soluciones.

Antes de plantear ninguna estrategia de solución para una ecuación diferencial es

necesario la definición de una serie de términos.

Dada una ecuación diferencial lineal en la forma:

)()(

)(0

tudt

tydtf

n

ii

i

i =⋅∑=

se dice que la ecuación es homogénea si u(t) =0, es decir, si adopta la forma:

0)(

)(0

=⋅∑=

n

ii

i

i dt

tydtf ...

Si 0)( ≠tu se dice que la ecuación es no homogénea.

Cuando se trata de encontrar una solución general a una ecuación diferencial no

homogénea habrá que tener en cuenta también su versión homogénea.

Además, para el caso de las ecuaciones que se contemplan a lo largo de este

capítulo, es decir ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes lineales

invariantes en el tiempo, conviene definir el concepto de Polinomio Característico.

Para ello se considera el Operador Diferencial:

dt

dD = ; ...;

n

nn

dt

dD =

Así, por ejemplo , la ecuación diferencial:

)(23

2

2

tgydt

dy

dt

yd=++

tiene asociado su Polinomio Característico

232 ++ DD ( 232 ++ λλ en algunos autores).

y la llamada Ecuación Característica

0232 =++ DD ; Soluciones: ( D =-1 ; D = -2)


-3-5-

3.2.2.1 Solución de las ecuaciones homogéneas

La solución de una ecuación diferencial homogénea dependerá de los valores de las

raíces del Polinomio Característico. Es decir de las soluciones de:

00

=∑=

u

i

ii Da

Dependiendo de que valores adopten éstas se pueden dar varios casos:

* Si las raíces son todas diferentes, las soluciones vienen dadas por un

conjunto de n funciones linealmente independientes cuya forma es:

tDn

tDtD ueyeyey === ,, 2121

donde Di son las raíces del Polinomio Característico. La solución general de

dicha ecuación será una combinación lineal de las anteriores funciones.

Ejemplo:

0232

2

=++ ydt

dy

dt

yd

Ecuación característica: 0232 =++ DD ; Raíces: 2;1 21 −=−= DD

Soluciones

tety −=)(1 ; tety 22 )( −=

Comprobación:

023232

2

=+−=++ −−−−−−

tttttt

eeeedt

de

dt

ed

Por tanto, la Solución General de esta ecuación es:

ttg eCeCty 2

21)( −− ⋅+⋅=

donde C1 y C2 son dos constantes. Cuando se trate de encontrar una

solución particular, estas constantes tomarán valores determinados por las

condiciones iniciales.


-3-6-

* Si las raíces se repiten, el conjunto de soluciones viene dado por

tDutDtD iiiI ettee 1,...,, − donde iu en la multiplicidad de la raíz iD .

Ejemplo:

022

2

=++ ydt

dy

dt

yd

Ecuación característica: 0122 =++ DD ; Raíces: D =-1 doble.

Soluciones: tety −=)(1 ; ttety −=)(2

La Solución General de esta ecuación es:

ttg eCeCty 2

21)( −− ⋅+⋅=

Existen también otro tipo de posibles soluciones, dependiendo de si aparecen raíces

complejas o raíces complejas repetidas. No se detallan estas posibilidades pues no es

objeto de este tema desarrollar con detalle este método de solución de ecuaciones

diferenciales.

3.2.2.2 Solución de la ecuación no homogénea

Si se desea obtener la solución particular de una ecuación diferencial no homogénea

para unas condiciones iniciales determinadas es necesario: buscar primero la solución

general de la ecuación homogénea y determinar su solución particular para las

condiciones iniciales dadas (es lo que se llama respuesta libre de un sistema);

posteriormente se busca y una solución particular (normalmente para todas las

condiciones iniciales iguales a cero) para la ecuación no homogénea (es lo que se

llama respuesta forzada del sistema).

La Respuesta Libre es una combinación lineal de todas las soluciones de la Ecuación

Homogénea donde los coeficientes de la combinación están determinados por las

condiciones iniciales del problema.


-3-7-

Ejemplo: Se trata de encontrar la repuesta libre yL del siguiente problema

gydt

dy

dt

yd=++ 23

2

2

Condiciones iniciales: y(0) = 0; 10

==tdt

dy

Ecuación característica: D2+ 3·D + 2 =0; Raíces:

2;1 21 −=−= DD

Solución General Homogénea: ttH BeAetY 2)( += −

Sustituyendo:

1;1112

2

0)0(

0

2

200

==→=−→=−−=

−−=

−=→=+=+=

−−

−−

ABBBAdt

dy

BeAedt

dy

BABABeAey

tt

L

La respuesta libre es:

ttl eety 2)( −− −=

La Respuesta Forzada es la solución cuando todas las condiciones iniciales son

nulas y el sistema se encuentra sometido a la señal de entrada u(t).

Normalmente es difícil determinar. Existen distintos métodos entre los que cabe

citar el método de los coeficientes indeterminados, en el que la solución particular

depende mucho del tipo de función u(t) y se encuentra tabulada. El objetivo de este

texto no es detallar este tipo de métodos, por lo que parece pertinente remitir a

bibliografía más especializada en soluciones de ecuaciones diferenciales (Edwards y

Penney, 1993) a aquellas personas que se encuentren interesadas en este tipo de

métodos.

Como se ha dicho anteriormente, la Solución Completa para un sistema descrito

por una Ecuación Diferencial con coeficientes constantes se obtiene sumando la

Respuesta Libre y la Respuesta Forzada.


-3-8-

Ejemplo :

gydt

dy

dt

yd=++ 23

2

2

Condiciones iniciales: y(0) = 0; 10

==tdt

dy

considerando que g = cte. para t > 0.

La solución a la ecuación homogénea ya fue obtenida en el ejemplo

anterior.

Para obtener la Solución Forzada se supone una solución del tipo

tDtDf CeBeAty 21)( ++= ; considerando condiciones iniciales nulas:

00)0( 020 =++→=++= ⋅−− CBACeBeAy f

CBCeBedt

dyt

p 202 0200 −=→=−−= ⋅−−

=

por tanto: B = -2C A = C.

Calculando la segunda derivada de la función:

ttf CeBedt

yd 22

2−− +=

y sustituyendo el valor de la segunda derivada, de la deriva y de la función

en la ecuación diferencial:

223

2

2 gAgy

dt

dy

dt

yd=→=++

así :

)21(22

1

2

1)( 22 tttt

f eeg

eety −−−− +−=+−=

La Solución Completa será :

)21(2

1)()( 22 tttt

fl eeeeyyty −−−− +−+−=+=

−= − tety 2

2

1

2

1)(

3.2.3 Respuesta transitoria y estado estacionario.

La Respuesta Completa puede siempre separarse en una respuesta cuyo valor

cobra importancia cuando ∞→t , denominada respuesta de Estado Estacionario o

Permanente, y otra respuesta, cuyo valor cobra importancia durante los primeros


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instantes en los que se realiza la transición desde el estado inicial a la configuración

final, es la llamada Respuesta Transitoria.

En el caso del ejemplo anterior pueden identificarse claramente ambas respuestas

tety −−=2

1

2

1)(

3.2.4 Solución a la ecuación de estado

La solución de una ecuación matricial de estado viene dada por :

τττ duBexetxt tAAt )()0()(0

)( rrr ⋅+= ∫ −

donde Ate es una Función Matricial definida como :

....!3!2

3322

+⋅

+⋅

+⋅+=tAtA

tAIe At

con I matriz identidad de la misma dimensión que A.

Ejemplo: Encuentre la evolución de x1(t) y x2(t) para el siguiente modelo

de estado con las condiciones iniciales x1(0)=-1; x2 (0)=2

=

00

10A ;

=

1

0B ; u(t) = g = cte. para t >0.

Solución:

En este caso: 000

00

00

10

00

102 =

=

⋅

=A .

Por tanto: 02 =≥→ KAK ; en consecuencia:

=

+

=

10

1

00

0

10

01 tte At

−=

−⋅

=−⋅

10

1

10

1

10

1)( τττ tte tA

y la solución se obtiene:

R. Transitoria R. Estacionaria


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( )τ

τdg

t

x

xt

tx

tx t⋅⋅

−+

⋅

=

∫ 1

0

10

1

)0(

)0(

10

1

)(

)(0

2

1

2

1

2·21

221)(21)(

2

00

2

1

tgttgtdgtttx

tt

⋅++−=

−⋅⋅+⋅+−=⋅⋅−+⋅+−= ∫

ττττ

tgdgtxt

⋅+=⋅+= ∫ 22)(02 τ

⋅

⋅+

⋅+⋅+−=

tg

tgt

tx

tx

22

21)(

)(2

2

1

3.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE.

El método que se introduce en este apartado constituye la base del análisis de los

Sistemas Dinámicos. De hecho una de las aplicaciones más importantes es la

caracterización de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo, o sea , aquellos

descritos por Ecuaciones Diferenciales con coeficientes constantes.

La transformación de Laplace es un método operacional que permite transformar

una ecuación diferencial de variable real t en una ecuación algebraica de variable

compleja s. A partir de aquí la solución de la ecuación puede encontrarse utilizando

métodos algebraicos, como los empleados al resolver ecuaciones convencionales. La

solución final se obtiene aplicando las tablas de transformadas en sentido inverso.

La Figura 3.2 resume la aplicación del método.

Figura 3.2. Método operacional para la resolución de ecuaciones diferenciales

3.3.1 Revisión de números complejos.

Se da nombre de número complejo a un par de números reales x e y sumados en la

forma: iyxz −= , donde i es la unidad imaginaria pura i definida en la forma:

1−=i

A partir de un número complejo se definen las siguientes magnitudes:


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Números complejos iyxz −= →

=

+=

x

yarctg

yzz

θ

22

Se denomina número complejo conjugado de z al número iyxz −=

Existen distintas formas de escribir un número complejo. Por un lado se tiene la

forma rectangular : iyxz += )cos( θθ jsenzz += .

Por otro, la forma polar: θiezz =

La relación entre estas dos formas de escribir un número complejo queda

representada en la Figura 3.3:

Figura 3.3. Representación de un número complejo

Una de las propiedades más útiles de los números complejos es el llamado

Teorema de Euler:

θθθ jsenez i +== cos ; θθθ jsenez i −== − cos

de donde puede escribirse:

2cos

θθ

θii ee −+

= ; j

eesen

ii

2

θθ

θ−−

=

3.3.1.1 Variable compleja.

Una Variable Compleja es un número complejo cuya parte real e imaginaria son

variables: ωσ js += :

Por tanto:

§ →σ es la parte real

§ →ω es la parte imaginaria

§ →+= 22 ωσs Modulo o magnitud

§ ( ) →=∠=σω

arctgssarg Argumento o Fase.

módulo

argumento


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3.3.1.2 Función compleja

Una función compleja es una función con una parte real y otra imaginaria:

( ) jFyFxsF +=

donde

( ) 22 FyFxsF += Modulo

( )Fx

FyarctgsF =∠ Argumento

A lo largo de este capítulo se verán con frecuencia funciones de variable compleja

expresadas en forma de cociente de polinomios como el que sigue a continuación:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n

m

pspsps

zszszszsksF

++⋅+++⋅+⋅+

=....

....)(

21

321

3.3.2 Definición de Transformada de Laplace.

Sea ( )tf una función real de la variable real t , definida para 0>t . Se

denomina Transformada de Laplace de ( )tf a la integral

( ) dtetf st−∞⋅∫ 0

donde s es una Variable Compleja jws += σ

y se suele denota por :

( )[ ] ( )sFtfL =

Puede definirse también la Transformada Inversa de Laplace. Sea ( )sF la

Transformada de Laplace de ( )tf para t>0. Se denomina Transformada Inversa de

( )sF L-1 [F(s)] a la integral “de contorno”:

( ) ( ) dsesFj

tf stjc

jc⋅= ∫

∞+

∞−π2

1 ( )ot >

Calcular la transformada mediante la propia definición puede ser en diversas

situaciones un procedimiento complicado. Lo que se suele hacer es usar las tablas de

pares de transformadas. Dichas tablas se utilizan para calcular transformadas y

transformadas inversas, teniendo en cuenta que:

( )[ ] ( )sFtfL = ; ( )[ ] ( )tfsFL =−1


-3-13-

3.3.3 Tablas


-3-14-


-3-15-

3.3.4 Algunas propiedades de las transformadas de Laplace.

1º- Linealidad

Si ( ) ( )sFtf L1→← , ( ) ( )sFtf L

22 →← y 1a y 2a = constantes.

Entonces

( ) ( ) ( ) ( )sFasFatfatfa L22112211 +→←+

Ejemplo:

Calcular la transformada de ( ) tettf −+= 2 0>t

1º) En primer lugar se calcula la transformada del primer sumando: [ ]2tL

buscando en la tabla

( ) ( )atn

net

nas−−

−↔

+1

!1

11

identificamos 3=n

0=a así 3

2 1

2

1

st ↔

aplicando aquí la Linealidad

32 1

22

12

st ⋅↔⋅ -> [ ] ( )

312 2

ssFtL ==

2º) En segundo lugar se calcula la transformada del segundo sumando: [ ]teL −

buscando en la tabla

ateas

−↔+1

es inmediato que

[ ] ( )sFs

eL t21

1=

+=−

así

( ) ( ) ( ) ( )1

22

1

123

3

321 +++

=+

+=+=ss

ss

sssFsFsF


-3-16-

2º- Derivación real

Si ( ) ( )sFtf ↔ entonces ( ) ( ) ( )0fssFtfdt

d−↔

Ejemplo:

Calcular la transformada de la deriva de la función seno

( ) ( )22 ω

ωω

+=↔=

ssFtsentf

( ) ( ) ( ) 00cos 22 −+

=−⋅↔=ω

ωωωs

ssensFst

dt

tdf

Puede confirmarse este resultado con solo mirar las tablas:

[ ] [ ]22

coscosω

ωωωωω

+==

s

stLtL

3º- Transformada de la Integral

Si ( ) ( )sFtf ↔ entonces: ( ) ] ( )00

)([

s

dttf

s

sFdfL

t ∫∫

⋅+↔⋅ ττ

4º-Teorema del Valor Inicial

Si ( ) ( )sFtf ↔ entonces ( ) ( ) ( )ssFtffst ∞⇒⇒

== limlim00

para t > 0

5º- Teorema del Valor Final

Si ( ) ( )sFtf ↔ entonces ( ) ( ) ( )ssFtffst 0limlim

⇒∞⇒==∞

8º- Retraso en el Tiempo (Traslación en el tiempo).

Si ( ) ( )sFtf ↔ entonces ( ) ( ) ( )sFettfttu st000

−↔−⋅−


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9º- Traslación en la Frecuencia.

Si ( ) ( )sFtf ↔ entonces ( ) ( )asFtfe at +↔−

Ejemplo: Calcular la transformada de ( ) 410cos2 ttetf t −= − 0>t

Mirando las tablas y considerando la traslación en frecuencia:

( ) ( )1012

2210)1(

1210cos2

222 +++

=++

+=−

ss

s

s

steL t

( ) 5144 24!4

sstL == +

Aplicando la propiedad de la linealidad la transformada total es la suma delas

transformadas:

( )

567

256

52 1012242448242224

101212

)(sss

ssss

sss

ssF

++−−−+

=−++

+=

3.3.5 Funciones Singulares.

Los sistemas suelen excitarse con ciertas funciones singulares que facilitan el

estudio de la respuesta temporal:

• Escalón Unitario

Figura 3.4. Función escalón

La señal escalón suele utilizarse para considerar una entrada cuyo valor aparece a

partir del instante t0 y que se mantiene constante a partir de ese momento.

• Rampa Unitaria.

Es la integral del Escalón Unitario. Suele utilizarse para simular situaciones en las

que la señal de entrada evoluciona de forma creciente en el tiempo a partir del instante

t0.

1 para t > 0

0 para t < 0 L[u(t)]=

s

1 u(t)


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Figura 3.5. Función rampa unitaria

• Función Impulso: )(tδ

Es una señal que vale siempre cero, excepto en t = 0, momento en la que la función

alcanza un valor infinito.

Figura 3.6. Función impulso

Una característica de esta función es que su integral definida a lo largo de R es

igual a 1)( =∫+∞

∞−

tδ

La función impulsión no existe como fenómeno real, sin embargo esta función

puede considerarse como el límite de una señal pulso, de amplitud 1/d, que comienza

en a y termina en a+d, cuando d tiende a cero.

Este tipo de señal suele emplearse en sistemas mecánicos para representar una

interacción, que tiene lugar en un breve intervalo de tiempo, en la que se produce la

transferencia de impulso, energía etc.

3.3.6 Función de Transferencia

Una de los principales objetivos de la teoría de sistemas consiste en establecer las

relaciones entre las señales entradas y las señales de salida. Estas relaciones, como se

verá, depende de la naturaleza y configuración del sistema, siendo independientes del

t para t > 0

0 para t < 0 L[r(t)]= 2

1s

r(t)=u(t)· t

∞ para t = 0

0 para t ≠ 0

L[δ(t)]= 1 δ(t)


-3-19-

tipo de señales de entrada que se consideren. El concepto de función de transferencia

permite determinar dichas características propias y establece un mecanismo que

permite conocer a priori el tipo de comportamiento y respuesta del sistema estudiado.

La Función de Transferencia de un sistema descrito por Ecuaciones Diferenciales

Lineales Invariante en el Tiempo, se define como la relación entre la transformada

de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, cuando todas

las condiciones iniciales son nulas.

Por tanto, dado un sistema definido por la ecuación diferencial:

dt

tfdbtfbtxa

dt

txda

m

m

n

n

)()()(

)(00 ⋅++⋅=⋅++⋅ LK

Si se consideran condiciones iniciales nulas, aplicando la transformación de

Laplace es posible escribir:

)()()()( 00 sFsbsFbsXasXsa mm

nn ⋅++⋅=⋅++⋅ LK

Sacando factor común X(s) y F(s) es posible encontrar la relación entre ambas

transformadas:

sasa

sbsbsG

sF

sXn

n

mm

⋅++⋅⋅++⋅

==0

0)()()(

L

K

Dado que la función de transferencia se expresa como cociente de dos polinomios,

es frecuente escribir estos como producto de monomios:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n

m

pspsps

zszszszsksG

−⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅−

=....

....)(

21

321

Los punto puntos en los que ( ) 0=sG se llaman ceros, en este caso ....,, 321 zzz

Los puntos en los que el denominador se hace cero, es decir ∞→)(sG ,se llaman

polos, en este caso uppp ,....., 21 .

Si el Denominador contiene factores del tipo ( )kps + entonces ps −= es un polo

múltiple de orden κ . Si 1=κ el polo se llama polo simple.

Ejemplo: Calcular la función de transferencia a partir de la ecuación

diferencial

)(2 tfdt

dfy

dt

dy +=+ ; -> ( ) ( ) ( ) ( )sFssYs 12 +=+


-3-20-

( ) ( )( )

( )( )2

1

++

==s

s

sF

sYsG

Merece la pena realizar una serie de comentarios sobre la función de transferencia:

1- La aplicación del concepto definido de Función de Transferencia queda

limitado a sistema descritos por Ecuaciones Diferenciales Lineales e

Invariantes en el Tiempo.

2- La función de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta

del sistema a la señal impulso con condiciones iniciales nulas.

( ) →tδ SISTEMA ( )tyδ→

Figura 3.7. Respuesta impulsional

En efecto, a partir de la definición puede escribirse

( ) ( ) ( )SFsGsY ⋅=

Dado que

( ) ( )[ ] 1== tLsF δ

con lo que

( ) ( )sGsY = ( )[ ]sGLtgty 1)()( −==⇒

La función g(t) se denomina repuesta impulsional del sistema, y es

otra forma de descripción externa de un sistema dinámico, ya que es posible

encontrar a partir de ella la repuesta del sistema a cualquier señal de

entrada. En efecto, la repuesta temporal puede escribirse en la forma:

( ) τττ dftgtyt

⋅⋅−= ∫∞−

)()(

3- La Ecuación Diferencial de un sistema, puede obtenerse a partir de ( )sG

cambiando s por dt

d.


-3-21-

Ejemplo:

( ) ( ) ( )( )sU

sY

ss

ssG =

+++

=1

122

; -> )()(2)()()(2 sUssUsYssYsYs +=++

así udt

duy

dt

dy

dt

yd+=++

22

2

4- La Ecuación Característica corresponde al Denominador de la Función

de Transferencia.

5- Las raíces del Numerador son los ceros del sistema y las raíces del

Denominador son los polos del sistema.

Ejemplo: Determinar la función de transferencia del sistema eléctrico de la

figura

Figura 3.8. Circuito con fuente de corriente continua

En el tema anterior se vio que la ecuación que modelaba el comportamiento

del sistema era:

dt

dVI

Cdt

dIR i=+⋅

1

La transformada de la expresión es:

iVssIC

sIsR ⋅=+⋅⋅ )(1

)(

Sacando factor común y despejando la función de transferencia queda:

sRC

sC

sV

sIsG

i ⋅+⋅

==1)(

)()(

Observe que el sistema tiene un cero en s = 0 y un polo en s = RC

1−


-3-22-

Ejemplo: Determinar la función de transferencia del sistema mecánico de la

figura.

Figura 3.9. Sistema de masa con resorte y amortiguador

En el tema anterior se vio que la ecuación que modelaba el comportamiento

del sistema era:

Fykyym =⋅+⋅+•••

µ

La transformada de la expresión es:

)()()()(2 sFsYksYssYsm =⋅+⋅⋅+⋅⋅ µ

Sacando factor común y despejando la función de transferencia queda:

kssmsF

sYsG

i +⋅+⋅==

µ2

1

)(

)()(

3.3.7 Cálculo de la respuesta de un sistema a una señal de entrada

La transformada de Laplace permite encontrar la respuesta de un sistema a una

entrada específica cuando las condiciones iniciales son nulas (es decir obtener la

respuesta forzada):

A partir de la definición de Función de Transferencia se puede escribir:

( ) ( ) ( )sFsGsY ⋅=

( )ty se puede calcular simplemente calculando la transformada Inversa:

( )[ ] ( ) ( )[ ]sFsGLsYLty ⋅== −− 11)(


-3-23-

Otra alternativa es utilizar la función impulsional:

( ) ( ) ( ) τττ dutgtyt

⋅−= ∫ ∞−

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento para calcular la respuesta forzada de

un sistema.

Ejemplo : Calcular la respuesta de un sistema mecánico descrito por:

)(tfkxxm =+••

donde : m = masa y k = constante elástica, cuando la fuerza de entrada es

igual a la señal impulso y sus condiciones iniciales son nulas.

La entrada la señal impulso , por tanto:

( )tkxxm δ=+••

con condiciones iniciales nulas.

La función de transferencia :

( ) ( ) )(2 sFsXksXsm =⋅+⋅ ; ( )

m

ks

mkms

sG+

=+

=2

2

11

Por tanto: [ ])()()( 1 sFsGLty ⋅= − .

Como ( ) 1[ =tL δ :

+= −

m

ks

mLty2

1

1

)(

puede verse en la tabla que :

tsens

⋅↔+

ωω

ω22

si hace m

k=2ω ;

m

k=ω es posible escribir:


-3-24-

( )

+

=2

2

1

m

ks

m

k

m

k

msX

entonces

( ) tm

ksen

m

kmtx ⋅=

1

si se simplifica es posible escribir

( ) tm

ksen

kmtx

1=

3.3.8 Cálculo de transformadas inversas

El método más aplicado en el cálculo de la Transformada Inversa de Laplace es el

llamado método de expansión en fracciones parciales. Primero se considera que ( )sF

puede expresarse de forma racional :

( ) ( )( )sD

sNsF =

Para hacer la expansión, debe cumplirse que grado ( )[ ] ( )[ ]sDgradosN < . En caso

contrario se realiza la división ( )( ) ( ) ( )

[ ]sD

sRsC

sD

sN+= y luego se realiza la expansión de

( )( )sD

sR.

A continuación se introducen las técnicas de expansión en fracciones múltiples

mediante ejemplos.

Básicamente pueden encontrase dos casos:

1.- ( )sF contiene polos simples:

( )23

222

2

++++

=ss

sssF

como grado ( )[ ] ( )[ ]sDgradosN = se divide:


-3-25-

123

23

22 2

2

2 ++−−−

++

−

ss

ss

ss

S

así ( )23

12 ++

−=ss

ssF

Polos s = -1 y s = -2

( ) ( )21)2)(1(232 ++

+=

++=

++ s

B

s

A

ss

s

ss

s

Las constantes A y B se denominan residuo de la función en el polo

correspondiente y se calculan como sigue :

Se multiplican ambos lados de la expresión por (s+1)

( ) ( )( )

( )( )2

1

1

1

)2)(1(

1

++⋅

++

+⋅=

+++⋅

s

sB

s

sA

ss

ss

Si se evalúan ambos lados de la expresión para s=-1

( ) 11

1

21

=−

=

+

=−=s

s

sA

Para calcular B se multiplican ambos lados de la expresión por (s+2) y se

evalúan para s = -2:

212

2

)1(2

=+−

−=

+

=−=s

s

sB

Así queda:

( )2

2

1

11

+−

++=

sssF

y usando las tablas

( ) ( ) tt eettf 22 −− −+= δ t >0

2.- ( )sF contiene polos múltiples:

( )( ) ( ) ( ) ( )3

32

213

2

1111

32

++

++

+⇒=

+++

=s

A

s

A

s

A

s

sssF


-3-26-

Se calcula 3A multiplicando izquierda y derecha por ( )31+s

( )( )

( ) ( ) 322

13

23 11

1

321 AsAsA

s

sss ++++=

+++

+

evaluando para s = -1

2321 33 =⇒=+− AA

Se calcula 2A derivando una vez la expresión anterior

[ ] ( ) ( )[ ]322

12 1132 AsAsA

ds

dss

ds

d++++=++

( ) 21 1222 AsAs ++=+

y evaluando en s =-1: 20 A=⇒

1A se calcula derivando dos veces la expresión original y evaluando:

[ ] ( ) ( )[ ]322

12

22

2

2

1132 AsAsAds

dss

ds

d++++=++

122 11 =⇒= AA

Así

( )( )31

2

1

1

++

+=

sssF

y usando tablas

( ) tt etetf −− ⋅+= 2

2

2 t > 0

Ejemplo: Calcular la transformada inversa de ( ) ( )( )( )31

252 ++

+=

sss

ssF

No hay que realizar la división ya que grado N(s) < grado D(s)


-3-27-

Polos :

3

1

0

−=−=

=

s

s

s

( )312

21

++

+++=

s

C

s

B

s

A

s

AsF

primero se calcula B y C

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( ) 18

5

18

5

31

253

2

5

31

251

32

12

=−−

=

++

++=

=

++

++=

−=

−=

s

s

sss

ssC

sss

ssB

Se calcula ahora A2 multiplicando izquierda y derecha por 2s

( )( )( ) ( ) 3131

25 22

21 ++

+++=

+++

s

Cs

s

BsAsA

ss

s

evaluando en s = 0 23

10A=

Para calcular 1A se deriva la expresión anterior

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) )2(

)3(2

)1(

)1(2

31

125325315 22

122 +−+

++

−++=

++++−++−++

s

CssCs

s

BssBsA

ss

ssssss

evaluando en 0=s

9

25

9

10301511

−=⇒=

−−AA

así

( )3

1

18

5

1

1

2

51

3

10

5

1

9

252 +

++

++−

=sss

sF

con lo que, usando las tablas, se obtiene:

( ) ( ) tt eettutf 3

18

5

2

5

3

10

9

25 −− +++−= t > 0


-3-28-

3.3.9 Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de

Ecuaciones Diferenciales.

La idea fundamental del método consiste en someter a la ecuación diferencial a la

transformada de Laplace. Una vez hecho esto, en la expresión obtenida aparece la

transformada Y(s) de la función incógnita y(t) tal y como si se tratara de una incógnita

en una ecuación tradicional . En ese punto, el método consiste en despejar Y(s) y

expresarla en función de todos los términos conocidos. a la expresión obtenida se le

aplica la transformada inversa y de esta manera se alcanza el valor de y(t).

Para facilitar la comprensión del método se presenta un ejemplo:

Sea la ecuación homogénea: 063 =++•••

xxx con las condiciones iniciales

( ) 00 =x ; ( ) 30 −=•

x

Si se aplica la Transformada de Laplace a la ecuación :

( ) ( )0xssXx −↔•

( ) ( ) ( )002•••

−−↔ xsxsXsx

así la ecuación diferencial se transforma en :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 06033002 =+−+−−•

sXxssXxsxsXs

es decir:

( ) ( ) ( ) ( )63

03002 ++

++=

•

ss

xxsxsX

sustituyendo valores

( )63

32 ++

−=

sssX

Para calcular la respuesta ( )tx se buscan los polos de ( )sX

2

15

2

3

2

2493632 jsss ±

−=

−±−=⇒++

Son dos polos complejos conjugados, por tanto se puede escribir:


-3-29-

( )

−+

+

++

=

js

B

js

AsX

2

15

2

3

2

15

2

3

calculando los residuos

jjss

jsA

js

15

3

2

15

2

3

2

15

2

3

3

2

15

2

3

2

15

2

3

=

−+

++

−

++=

−−=

jjA5

153

15

15 −=

−=

y

jj

jsjs

jsB

js

515

15

3

215

23

215

23

3215

23

2

15

2

3

=−=

++

−+

−

−+=

+−

=

jB5

15=

así

( )

−+

+

++

−=

js

j

js

jsX

2

15

2

35

15

2

15

2

35

15

dado que:

tj

e

js

jL

+−

− −=

++

−2

15

2

3

1

5

15

2

15

2

35

15

y que


-3-30-

tj

e

js

jL

−−

− =

−+

2

15

2

3

1

5

15

2

15

2

35

15

el resultado es:

( )

−=

−− jtjtt

eeejtX 2

15

2

15

2

3

5

15

como jsenxee jxjx 2=− − ; la solución es:

( ) tsenetxt

2

15

5

1522

3−

−=

A esta misma solución se puede llegar aplicando las herramientas de cálculo

simbólico de MATLAB. Para ello en primer lugar hay que definir los elementos

simbólicos que se utilizarán:

s=sym('s'); t=sym('t');

después se introduce la función a invertir

f=-3/((s^2+3*s+6));

y se calcula la transformada inversa

g=ilaplace(f);

para ver el resultado de forma más estética se utiliza el comando pretty:

pretty(g)

1/2 1/2 1/2

1/5 (-15) (exp((-3/2 + 1/2 (-15) ) t) - exp((-3/2 - 1/2 (-15) ) t))

solución que coincide con la obtenida anteriormente.

Si se quisiera obtener una representación gráfica bastaría con hacer:

x=0:0.01:10;

y=subs(g,x,t);

plot(x,y)

la gráfica obtenida es:


-3-31-

0 1 2 3 4 5-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Figura 3.10. Representación gráfica de la solución a la ecuación diferencial

Hay que señalar que se trataba de solucionar una ecuación homogénea, la solución

que se ha obtenido se corresponde con una respuesta libre. En el caso de tratarse de

una ecuación no homogénea habría que añadir la respuesta forzada que se

calcularía a partir de la función de transferencia.

Por tanto, En términos generales la solución de una ecuación diferencial

involucrará tanto términos debidos a la repuesta libre, cómo términos debidos a la

respuesta forzada. En consecuencia puede escribirse de forma general que la solución

de una ecuación diferencial LTI aplicando la transformada de Laplace adquiere la

forma:

[ ]

⋅+⋅+⋅+⋅=

==

−−

0010

11 )()()0()()()()(t

n

nt dt

xdsD

dt

dxsDxsDLsFsGLtx K

3.4 DIAGRAMAS DE BLOQUES

Loa sistemas reales suelen estar formados por distintos subsistemas, cada uno de

los cuales presentan sus correspondientes entradas y salidas. Los Diagramas de

Bloques constituyen una herramienta gráfica y abreviada de expresar la

representación externa un sistema global mediante la ilustración de las relaciones que

se establecen entre los subsistemas que lo componen. De esta forma las entrada de

ciertos subsistemas se corresponden con la salida de otros y viceversa. El presente

apartado está dedicado a obtener diagramas de bloques de los sistemas y a

simplificarlos de manera que sea posible obtener la función de transferencia a partir

de la función de transferencia de cada uno de los elementos que lo componen.


-3-32-

En general un Diagrama de Bloques consiste en una configuración específica de

cuatro tipos de elementos:

§ Bloques

§ Puntos de Suma

§ Puntos de Toma

§ Flechas que representan la señal de Flujo Unidireccional

Figura 3.11. Diagrama de bloques

El bloque representa una operación que se efectúa sobre una señal de entrada para

generar la señal de salida. Para el caso de representación de sistemas mediante

funciones de transferencia, éstas se sitúan dentro del bloque, con lo que la operación

matemática que se efectúa sobre la entrada es el producto.

( ) →sF ( )sG ( )sX→ ( ) ( ) ( )sGsFsX ⋅=

Figura 3.12. Operación con funciones de transferencia

Las cantidades en el dominio del tiempo se escriben en minúsculas; y cuando se

usan bloques para las transformadas se escriben en mayúsculas.

3.4.1 Bloques en Cascada

Cualquier número finito de bloques en serie se puede combinar algebraicamente

por medio de la multiplicación de Funciones de Transferencia es decir la cadena de

bloques de la siguiente figura:

( ) →sU ( )sG1 → ( )sG2 → ( )sG3 ( )sX→

Figura 3.13. Bloques en cascada

Punto de Toma

F(s) G(s)

H(s)

X(s) Bloque Punto de suma


-3-33-

es equivalente a

( ) →sU ( )sG ( )sX→

Figura 3.14. Bloque global

con ( ) ( ) ( ) ( )sGsGsGsG 321 ⋅⋅=

3.4.2 Bloques en Paralelo

Una configuración de bloques como los de la figura

XPXPY 21 ±=

Figura 3.15. Bloques en Paralelo

puede simplificarse cómo:

→x 21 PP ± y→

Figura 3.16. Bloques en paralelo simplificados

Observe la similitud con la operación algebraica conocida como obtener factor

común.

3.4.3 Simplificación de un bucle

Es frecuente encontrarse estructura en bucle como la siguiente

Figura 3.17. Diagrama de bloques de un bucle negativo

P1

X

P2

G(s) X(s)

H(s)

F(s)


-3-34-

El resultado de esta estructura puede escribirse: ( ))()()()()( sHsXsFsGsX ⋅−⋅= .

Si se despeja X(s) de esta expresión, el bucle puede ser reescrito en la forma

→)(sF)()(1

)( 1

sHsG

sG

⋅+ → X(s)

Figura 3.18. Diagrama de un bucle negativo simplificado

Si el bucle tiene signo positivo:

Figura 3.19. Diagrama de un bucle positivo

se simplifica en la forma:

→)(sF)()(1

)( 1

sHsG

sG

⋅− → X(s)

Figura 3.20. Diagrama de un bucle positivo simplificado

Cualquiera de las dos estructuras anteriores puede convertirse en una estructura de

realimentación unitaria como la siguiente:

Figura 3.21. Reducción a un bucle de realimentación unitaria

Es importante resaltar que cuando aparece un diagrama con realimentación

unitaria como el mostrado en la siguiente figura:

G(s) X(s)

H(s)

F (s) G·H 1/H X (s)


-3-35-

Figura 3.22. Diagrama con realimentación unitaria

La simplificación se realiza suponiendo que el boque situado en la realimentación es

igual a uno, con lo cual el diagrama queda simplificado en la forma:

→)(sF)(1

)( 1

sG

sG

− → X(s)

Figura 3.23. Diagrama con realimentación positiva simplificado

3.4.4 Reordenamiento de Puntos de Suma

La estructura de adición de las señales ( ) ( )sYsX , y ( )sW que se muestra en la figura

Figura 3.24. Confluencia de señales a un punto de suma

puede expresarse algebraicamente: YXWZ ±±= por tanto, puede ser escrita en la

forma:

Figura 3.25. Reordenación del punto de suma

Z(s) W(s)

X(s)

Y(s)

Z(s) W(s)

X(s)

Y(s)

G(s) X(s) F(s)


-3-36-

Ejemplo: Determinar la función de transferencia del sistema mecánico de la

figura a partir de un diagrama de bloques

Figura 3.26. Sistema de masa con resorte y amortiguador

A partir de la ecuación de newton Fym =••

es posible establecer un diagrama

original:

Figura 3.27. Diagrama de bloques para la masa

La fuerza total aplicada es la suma de la fuerza de entrada, de la fuerza

debida al muelle y de la fuerza debida al amortiguador.

El diagrama de bloques que representa al muelle es:

Figura 3.28. Diagrama de bloques del muelle

El diagrama de bloques que representa al amortiguador es:

Figura 3.29. Diagrama de bloques del amortiguador

Y(s) 2

1

sm ⋅F(s)

-k Fk(s) Y(s)

Y(s) Fa(s) s⋅− µ


-3-37-

El diagrama de bloques general queda:

Figura 3.30. Diagrama de bloques de una masa con resorte y amortiguador

Reordenando los puntos de suma el diagrama de bloques queda:

Figura 3.31. Diagrama de bloques tras reorientar los puntos de suma

Pueden identificarse claramente dos bucles de realimentación. Para

simplificarlos se resuelve en primer lugar el bucle más interno, el diagrama

queda tal y como se observa en la siguiente figura:

Figura 3.32. Simplificación del primer bucle

Por último se simplifica el bucle correspondiente a la realimentación del

amortiguador obteniendo un bloque final que contiene la función de

transferencia:

F(s)

k

X(s) 2

1

sm ⋅

s⋅µ

F(s)

k

X(s) 2

1

sm ⋅

s⋅µ

X(s) F(s) ksm +⋅ 2

1

s⋅µ


-3-38-

Figura 3.33. Bloque que contiene la función de transferencia

Como puede comprobarse, el resultado obtenido coincide con la expresión

presentada en los ejemplos de la sección anterior.

3.4.5 Superposición de entradas múltiples

Si en un Sistema Lineal están presentes múltiples entradas, de acuerdo al principio

de superposición cada una se trata independientemente, de tal forma que el

comportamiento final del sistema se obtendrá como suma de los comportamientos que

tendría el sistema si cada una de las entradas actuará en solitario.

Para simplificar un diagrama con múltiples entradas se procede de la siguiente

forma:

• Igualar todas las entradas a cero, excepto una.

• Simplificar el diagrama de bloques y obtener la función de

transferencia respecto de esa entrada.

• Repetir los pasos anteriores para todas las entradas.

• Sumar las salidas de los bloques encontrados, cada uno de los

cuales está afectado por su correspondiente entrada.

F(s) sksm ⋅++⋅ µ2

1 X(s)


-3-39-

Ejemplo: Encontrar la funciones de transferencia ( ) ( )

)(;

)( 21 sF

sX

sF

sX

Figura 3.34. Sistema con múltiples entradas

En primer lugar se considera F2 = 0

Figura 3.35. Diagrama de bloques para la entrada F1

Obsérvese, que el bucle negativo se ha convertido en positivo debido a que había

dos signos menos consecutivos. El bucle obtenido permite escribir una de las

funciones de transferencia buscadas:

( )( )

( ))()()()(1 4321

1

sGsGsGsG

sG

sF

sX

⋅⋅⋅−=

A continuación se considera que F1(s) =0 con lo que el diagrama queda:

Figura 3.36. Diagrama de bloques para la entrada F2

Observe, cómo dentro del bloque superior ha aparecido un signo menos. El

diagrama anterior permite escribir la otra función de transferencia buscada:

X (s) F1(s)

F2(s)

G2(s)

G1(s)

G3(s)

G4(s)

F1(s)

G1(s)

G2(s)· G3(s)· G4(s)

X (s)

F2(s) -G1(s)· G3(s)· G4(s)

G2(s)

X(s)


-3-40-

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sGsGsGsG

sGsGsG

sF

sX

4321

431

2 1 ⋅⋅⋅−⋅⋅−

=

Con lo cual la respuesta del sistema puede expresarse cómo:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) )(

1)(

)()()()(1)(

24321

4311

4321

1

2

sFsGsGsGsG

sGsGsGsF

sGsGsGsG

sG

sF

sX ⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅−+⋅

⋅⋅⋅−=

Que como diagrama de bloques queda:

Figura 3.37. Diagrama de bloques con múltiples entradas simplificado.

3.5 MODELO DE ESTADO Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA:

MATRIZ DE TRANSFERENCIA

En el tema anterior se describió una técnica para escribir un modelo de estado a

partir de una ecuación diferencial. No obstante, no se consideró la posibilidad de que

ésta involucrase derivadas de la señal de entrada. En esta sección se resuelve este

problema haciendo uso de algunas propiedades de los diagramas de bloques y de las

funciones de transferencia.

Generalmente, la obtención de un modelo de estado a partir de una función de

transferencia toma el nombre de realización. existen distintas técnicas de realización:

directa, en paralelo, encascada, etc. Aquí se desarrolla de forma gráfica la realización

en cascada.

Se utiliza un ejemplo para demostrar el método. Considere el sistema representado

por la ecuación diferencial:

)(2132

2

tfdt

df

dt

dy

dt

yd+=++

( )( )sF

sX

1

( )( )sF

sX

2

)(1 sF

)(2 sF

)(sX


-3-41-

Es posible representar este sistema mediante el diagrama de bloques:

Figura 3.38. Diagrama de bloques

este diagrama puede rescribirse en la forma:

Lo cual puede ser expresado como dos ecuaciones en la forma:

)(132

2

tfdt

dx

dt

xd =++ ; yxdt

dx =+2

Estas dos ecuaciones pueden ser transformadas en un modelo de estado donde x y

dt

dx son las variables de estado siendo y la variable de salida:

xx =1 ; dt

dxx =2 ; )(

1

0

31

10

2

1

2

1 tfx

x

x

x ⋅

+

⋅

−−

=

•

•

; [ ] [ ] )(0212

1 tfx

xy ⋅+

⋅=

3.5.1 Paso de modelo de estado a función de transferencia: la

matriz de transferencia

Una vez se ha detallado el método para transformar una función de transferencia en

modelo de estado, se describe a continuación un método para encontrar una función

de transferencia, o matriz de transferencia si se trata de un sistema con mas de una

salida, a partir de un modelo de estado.

13

122 +⋅+

+⋅ss

s)(1 sF )(sY

131

2 +⋅+ ss)(1 sF

)(sX12 +⋅ s )(sY


-3-42-

Supóngase un modelo de estado en la forma:

( )

)()( tuBtxAdt

txd rrr

⋅+⋅=

)()()( tuDtxCty rrv ⋅+⋅=

Se desea obtener una representación externa que vincule el vector de salida con el

vector de entrada. Para ello, se aplicará la transformada de la place a ambas

expresiones:

)()()( sUBsXAsXsrrr

⋅+⋅=⋅

)()()( sUDtXCsYrrr

⋅+⋅=

Despejando de la primera ecuación el valor de X(s) :

)()·(

)( sUAIs

BsX

rr⋅

−=

donde I representa la matriz identidad de la misma dimensión que A.

Sustituyendo el valor de X(s) en la segunda ecuación:

[ ] )(··)·()( 1 tUDBAIsCsYrr

+−⋅= −

Observe que esta expresión define una relación entre las entradas y las salidas en la

forma: [ ] )(·)()( tUsGsYrr

= donde [ ])(sG está definida según:

[ ] [ ]DBAIsCsG +−⋅= − ·)·()( 1

[G(s)] se denomina matriz de transferencia. Está claro que si la salida es un vector

de m componentes, y la entrada un vector de p componentes la matriz de transferencia

es de orden m·p . La fila k de la matriz de transferencia contiene las funciones de

transferencia de la salida k respecto de cada una de las p entradas. Si la salida es una

sola función, es decir se trata de una sola salida, no de un vector, la matriz de

transferencia será de dimensión 1·p y contendrá las funciones de transferencia de

dicha salida respecto de cada una de las entradas ,si solo hay una entra la matriz de

transferencia será de orden 1·1 y solo contendrá una función de transferencia.


-3-43-

Ejemplo: Encontrar la matriz de transferencia para las salidas definidas en

el siguiente modelo de estado:

)(·1

0

00

10

2

1

2

1 tux

x

x

x

+

⋅

=

&

&

)(·0

0

10

01

2

1

2

1 tux

x

y

y

+

⋅

=

Solución:

Se calcula la matriza s·I-A

−=

−

=−⋅

s

s

s

sAIs

0

1

00

10

0

0

Se obtiene la matriz inversa:

[ ] [ ][ ] 22

1 1

0

0

1

det s

s

s

s

s

sAdj

AIs

AIsAdjAs

T

T

=

−

=−⋅−⋅

=−Ι −

Recuerde que si

−

−=→

=

ab

cdHadj

dc

baH )(

Calculando: [ ] [ ]DBAIsCsG +−⋅= − ·)·()( 1 :

[ ]

+

=

0

0

1

0·

0

1

·10

01)(

2s

s

s

sG

[ ]

=

s

ssG1

1

)(2

Por tanto es posible escribir:

[ ] )(·1

1

)(2

sU

s

ssY

=

*

*


-3-44-

Observe cómo al calcular [G(s)] es necesario invertir la matriz s·I-A y por lo tanto

calcular su determinante. Dicho determinante resulta ser un polinomio en s, que

finalmente dividirá a todos los términos de la matriz de transferencia. Es decir, dicho

determinante coincide con el cociente de todas las funciones de transferencia y por

tanto se trata de la ecuación característica del sistema.

Finalmente, es muy importante destacar que las raíces de dicho polinomio

coinciden con los autovalores de A y con los polos las funciones de transferencia,

por tanto, dado un modelo de estado, es posible conocer sus polos, simplemente

calculando los autovalores de la matriz A.

3.6 Métodos numéricos, simulación

La integración no analítica de ecuaciones diferenciales puede realizarse de distintas

formas. En tiempos en los que aún no estaban desarrollados los microprocesadores, se

utilizaban técnicas de integración analógica. Estas técnicas consistía en desarrollar

circuitos electrónicos cuya ecuación diferencial era equivalente a la del sistema que

se deseaba estudiar.

El desarrollo de los computadores propició la aplicación de los métodos numéricos

que hasta entonces habían sido aplicados mediante lápiz, papel y mucho

meticulosidad.

La aplicación de técnicas numéricas es hoy en día el método más comúnmente

utilizado para la simulación de procesos en los que se ven involucraos modelos de

sistemas lineales y no lineales. Estos métodos permiten integrar el modelo

matemático, obteniendo la evolución temporal de la función incógnita sin necesidad

de disponer de una expresión analítica que la defina.

La integración mediante métodos numéricos se basa en la aplicación de un

algoritmo específico que convierte el modelo basado en ecuaciones diferencial en un

modelo basado en ecuaciones en diferencias. La solución se obtiene utilizando

operaciones iterativas. El tiempo se discretiza y las iteraciones terminan cuando se

complete el intervalo de tiempo que se desea simular.

En consecuencia, el resultado será una serie temporal de valores x(t) que aproxima

los valores que toma la señal incógnita a lo largo de una secuencia de instantes

determinados:

[t0, t1.... tf] -> tiempo discretizado

[x(t0), x(t1)... x(tf)] -> señal incógnita


-3-45-

Como se detallará más adelante, para la simulación numérica de un sistema

dinámico es especialmente útil la representación mediante modelo de estado, ya que el

problema se reduce a resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

Al igual que con los métodos analíticos, una correcta simulación numérica requiere

de la especificación completa de las condiciones iniciales y de las señales de entrada.

Este echo será de gran importancia a la hora de elaborar el diagrama de flujo del

algoritmo de simulación.

3.6.1 Algoritmo para la simulación de sistemas dinámicos

Los algoritmos clásicos de integración permiten encontrar la serie x(t) que cumple:

∫= )()( tftx

Estos métodos se basan en la estimación de la pendiente de la función incógnita

[ ]httdt

dx

+00 ,

en el intervalo definido por el paso de integración ]htt +0,0[ .

De esta forma el valor de la función en el siguiente instante de tiempo se estima en

la forma:

[ ]httdt

dxhtxhtx

+

+=+00 ,

00 )()(

donde h se denomina paso de integración.

Los diferentes métodos de integración se caracterizan por la forma en que se estima el

valor de [ ]httdt

dx

+00 ,

El primer problema que se plantea para la integración del modelo de un sistema

dinámico se encuentra en el tipo de modelo utilizado. Habitualmente los modelos se

expresan mediante ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno, mientras que,

como ya se ha indicado, los algoritmos realizan la integración de ecuaciones de

primer orden. Este contratiempo se supera gracias a la transformación de la ecuación

diferencial de orden n en un modelo de estado de n variables.

Como se ha aclarado en capítulos anteriores, un modelo de estado representa una

ecuación diferencial matricial de primer orden, lo que significa que los métodos de

integración numérica pueden aplicarse sin problema. En efecto, si el modelo de estado

viene dado en la forma:


-3-46-

=

),,,,(

),,,,(

1112

11111

m

m

n ggxxf

ggxxf

x

x

LL

M

LL

M

donde g1...gm representan m posibles entradas, la integración de dicho modelo se

realiza aplicando a cada una de las variables el método de integración elegido. La

pendiente de cada una de las variables de estado se calcula de acuerdo con:

),,,,( 111 mii ggxxf

dt

dxLL=

Una primera tentativa de integración ( que coincide con el método de Euler) es hacer:

iii fhtxhtx ⋅+=+ )()(

El algoritmo que se muestra en la figura 3.39 representa una estrategia para la

integración del modelo de estado referido anteriormente.

En primer lugar hay que fijar las condiciones iniciales y tener definido el valor de las

entradas en cada uno de los instantes de integración. En cada iteración las condiciones

iniciales serán los valores obtenidos en la iteración anterior, con lo cual, en cada paso

de integración hay que actualizar tanto dichos valores como la variable tiempo.

El método de integración evalúa las distinta funciones fi y calcula el valor de cada

una de las variables de estado para el siguiente instante de tiempo. El Algoritmo

finaliza cuando t alcanza el valor tf.

En el próximo apartado se comentan algunas de las características más destacables de

los principales métodos de integración.


-3-47-

Figura 3.39. Algoritmo de integración numérica de un modelo de estado

3.6.2 Algoritmos de integración

Los distintos algoritmos de integración se diferencian en la forma en que estiman

[ ]httdt

dx

+00 ,

. El algoritmo más sencillo conocido es el de Euler. Como se indicó en el

apartado anterior mediante esta técnica la pendiente se estima a partir del modelo de

estado en la forma:

),,,,( 111 mii ggxxf

dt

dxLL=

En el caso de tratarse de un modelo lineal, el algoritmo de integración de Euler

permite encontrar una expresión matricial en diferencias con solo considerar que:


-3-48-

)()()(.

tgBtxAtx ⋅+⋅=

por lo que se puede escribir una expresión discreta en la forma:

[ ] )()()( tgBtxAhIhtx ⋅+⋅⋅+=+

Si se desea realizar una integración que aplique el método de Euler con un error

admisible, hay que utilizar pasos de integración muy pequeños, lo que en

determinadas ocasiones supone un aumento de la carga computacional. Cabe citar

como mejora de esta técnica el llamado método de Euler hacia atrás y una

combinación de ambos, denominado algoritmo trapezoidal.

Otra técnica muy utilizada para integrar sistemas lineales es el método de la

exponencial de una matriz. Como se ha detallado en secciones anteriores, la solución

de la integración de una modelo de estado lineal para un tiempo inicial distinto de

cero, puede obtenerse según la expresión:

( ) τττ duBetxetxt

t

tAttA )()()(0

0 )(0

rrr ⋅+= ∫ −−

Si se desea obtener una solución basada en esta expresión es conveniente transformar

el modelo lineal según se describe a continuación. Para cierto tipo de entradas

(entradas constantes a tramos o continuas y lineales a tramos) el modelo lineal puede

ser expresado en la forma:

)()(·

tzAtz ⋅=

En efecto, el modelo:

fxx ⋅

+⋅

−−

=1

0

11

10.

sometido a una entrada constante (como es el caso de la función escalón), puede ser

escrito en la forma:

)(

000

111

010

)(.

tztz ⋅

−−=

con z3(0)=1, donde z contiene al vector de estado y una variable auxiliar para generar

la entrada. En este caso como B = 0, la solución puede expresarse como:

)()( 0)( 0 tzetz ttA −=

expresión que discretizada queda:

)()( tzehtz hA⋅=+


-3-49-

Una evaluación bastante aproximada se obtiene utilizando los tres primeros términos

del desarrollo de la exponencial matricial:

!3!2

3322 tAtAtAIe At ⋅

+⋅

+⋅+=

Este método es bastante útil para la integración de sistema lineales cuya entrada puede

descomponerse en tramos rectos, aproximándola mediante señales rampa.

Por último, uno de las técnicas de integración más conocida es el método de Ruge-

Kuta. En él, el valor de la pendiente de cada variable [ ]htt

i

dt

dx

+00 ,

se estiman en la

forma:

[ ]htt

i

dt

dx

+00 ,

=(k1i+2*k2 i +2*k3 i +k4 i)/6

donde

k1i =fi[x1(t) ... xn(t), g1(t) .... gm(t)];

k2i =fi[x1(t)+(k11 /2) ... xn(t)+(k1n/2); g1(t+h/2) .... gm(t+h/2)];

k3i =fi[x1(t)+(k21 /2) ... xn(t)+(k2n/2); g1(t+h/2) .... gm(t+h/2)];

k4i =fi[x1(t)+(k31) ... xn(t)+(k3n); g1(t+h/2) .... gm(t+h/2)];

Este método es de especial interés para la integración de sistemas no lineales.

MATLAB aplica versiones mejoradas de este tipo de técnicas en las que se adapta el

paso de integración, de forma que el coste computacional se reduce sensiblemente.

TEMA 3: Métodos para el análisis de sistemas - UHU

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