Tema 3. TRABAJO Y ENERGÍA

Física, J.W. Kane, M. M. Sternheim, Reverté, 1989

Tema 3 Trabajo y Energía Cap.6

Trabajo, energía y potencia Cap. 6, pp 129-139

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Trabajo, energía y potencia Cap. 6, pp 129-139

TS 6.12 La carrera Cap. 6, pp 156-157

2.1 INTRODUCCIÓN: TRABAJO Y ENERGÍA

• Conservación de la energía(principio matemático): hay cierta cantidad que llamaremos energía, que no cambia en los múltiples cambios que ocurren en la naturaleza.

Significa que hay una cantidad numérica asociada a todo sistema físico que no cambia cuando sobre el sistema ocurren cambios. No es una descripción de un mecanismo o de algo concreto. Ciertamente es un hecho raro que podamos calcular cierto número, y que cuando terminemos de observar que la Naturaleza hace sus

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cierto número, y que cuando terminemos de observar que la Naturaleza hace sus trucos y calculamos el número otra vez, éste sea el mismo.

Es algo así como el alfil en un cuadrado negro, que después de cierto número de movimientos, cuyos detalles son desconocidos, queda en el mismo color de cuadrado. La ley de la conservación de la energía es una ley de esta naturaleza, “Siempre que se mueve el alfil por un tablero de ajedrez, éste acaba en un cuadrado negro".Richard Feyman.

2.1 INTRODUCCIÓN: DEFINICIONES DE ENERGÍA

La energía es una magnitud física escalar que sirve de medida general a las distintas formas de movimiento de la materia que se estudian en física.

La energía es un número, que nos dice cómo reacciona el sistema físico frente a las posibles trasformaciones de su estado de movimiento.

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estado de movimiento.

Lo que se conserva es la energía total (mecánica, eléctrica, térmica, etc), aunque cada una de ellas por separado no se conserve. En la Naturaleza se produce un intercambio de energía de un tipo a otro, manteniéndose constante su suma.

2.1 INTRODUCCIÓN: DEFINICIÓN DE TRABAJO

Un sistema físico realiza un trabajo sobre el exterior (W<0), o el exterior realiza un trabajo sobre el medio (W>0), cuando el sistema está

La definición de trabajo es más precisa. Realizamos trabajo ejerciendo una fuerza sobre un cuerpo mientras éste se desplaza de un lugar a otro, lo que provoca un cambio en su estado dinámico.

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realiza un trabajo sobre el medio (W>0), cuando el sistema está transformando el estado dinámico del exterior, o el exterior está trasformando el estado dinámico del sistema, venciendo las fuerzas que se oponen a dicha transformación.

La energía es la capacidad de realizar trabajo

2.1 INTRODUCCIÓN: Relación Leyes de Newton-Trabajo y energía

• Los conceptos de trabajo y energía se basan en las leyes de Newton, no son principios nuevos de la dinámica.

• La utilidad de los conceptos de trabajo y energía residen en que permiten facilitar la resolución de problemas dinámicos, especialmente en los casos en

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problemas dinámicos, especialmente en los casos en que la resultante de fuerzas sobre el sistema no es constante, y la integración de la segunda ley de Newton puede llegar a ser muy complicada.

• El uso de los principios de energía y trabajo, nos dan directamente la velocidad del sistema sin tener que integrar la aceleración.

2.2 TRABAJO DE UNA FUERZA

Se define el trabajo de una fuerzasobre una partícula de masa m, como el producto de la componente de la fuerza por el módulo del desplazamiento.

φ== cosFss·FW rr

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La componente normal (F⊥) de la fuerza afecta a la dirección del movimiento, pero no a la velocidad. La componente tangencial (Ft) cambia el módulo de la velocidad, pero no su dirección. Sólo esta componente realiza trabajo sobre la partícula

Unidades: Julio (J)

2.2.1 SIGNIFICADO FÍSICO DEL TRABAJO

Cuando atrapamos una pelota, la pelota y la mano se mueven juntas, la pelota ejerce una fuerza sobre la mano, Fpm en la dirección del desplazamiento (el trabajo realizado por la pelota sobre la mano es positivo). Por la tercera ley de Newton, Fmp = -Fpm. Esta fuerza, que detiene la pelota, actúa opuesta al movimiento, por lo tanto el trabajo es negativo.

Cuando un cuerpo realiza trabajo negativo sobre otro, éste realiza un trabajo igual y positivo sobre el primero.

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1 Joule es el trabajo que realiza una fuerza de 1 Newton cuando se desplaza 1 metro. Como 1 N son más o menos 0,1 kilogramos fuerza, si elevamos algo que pese 100 gramos a 1 m de altura, el W realizado es 1 Joule.

En la práctica al levantar una calculadora a una altura de 1 metro, estás haciendo un trabajo aproximado de 1 Joule.

Si levantamos un libro, ejercemos una fuerza hacia arriba sobre el libro, y éste se desplaza hacia arriba (W>0). En cambio, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre el libro es negativo, porque esta fuerza se opone al movimiento.

2.2.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TRABAJO

El trabajo de una fuerza a lo largo de una curva C, es el área que forma la componente tangencial de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula, en la representación gráfica de dicha componente, frente al desplazamiento a lo largo de dicha curva, entre la posición inicial y final.

Fuerza constante

Fuerza no constante (es necesario integrar)

8

Fuerza constante

∫=b

a

rdFWrr

·

3.1Una fuerza que actúa sobre una partícula material dotada de movimiento unidimensional, varía con la distancia al origen (x), como indica la figura. Obtener el trabajo efectuado por la fuerza en el desplazamiento desde xi =0 hasta xf = 6m.

5

F (N)Calculamos el trabajo total como la suma de las dos áreas A1 y A2, siendo

J )m)·(N(A 2045 ==

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X(m)4

6

A1 A2

El trabajo total será J25=A+A=W 21

J )m)·(N(A 20451 ==

J )m)·(N(A 52521

2 ==

3.2Un hombre aplica una fuerza de 600 N sobre un mueble y lo desplaza 2 m. Calcular el trabajo realizado por la fuerza en los tres casos siguientes: (a) Fuerza y desplazamiento son paralelos, (b) forman un ángulo recto y (c) sus sentidos son opuestos.

F

F

Fs s s

10

φ = 0 φ = 90º φ = 180º

1=cosφ 0=cosφ 1=cos −φ

W= 600·2= 1200J W= 0 ( ) J1200=1·2·600=W −−El hombre realiza trabajo sobre el mueble

El trabajo es nulo El mueble realiza trabajo sobre el hombre

3.3Un niño arrastra un coche de juguete con una fuerza de 10 N que forma un ángulo de 20º con la horizontal. Si el coche avanza 6 m ¿Cuánto trabajo ha hecho el niño?

φ

F

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Aplicando la definición de trabajo φcos Fs=s·F=W rr

Sustituyendo los valores numéricos cos20·6·10=W

J 56.4=W

3.4Una chica arrastra una caja que pesa 40 N una distancia de 10 m sobre el suelo con velocidad constante. ¿Cuánto trabajo realiza si el coeficiente de rozamiento cinético vale 0.2?

En este caso es la fuerza de rozamiento la que realiza un trabajo sobre la caja.

Como se encuentra sobre una superficie horizontal, se cumple que

mg µ=µN=FrN

v

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mg µ=µN=Fr

El trabajo realizado por la fuerza cuando se ha desplazado una cierta distancia es φcos sF=W r

Teniendo en cuenta que la fuerza y el desplazamiento son paralelos y sustituyendo los valores numéricos, se obtiene

W= 80J

mg

Fr

2.3 ENERGÍA CINÉTICA

“Teorema de las fuerzas vivas o teorema del trabajo y la energía”

Si sobre un sistema físico actúan fuerzas, por la segunda ley de Newton la resultante de dichas fuerzas causa una variación del estado de movimiento (aceleración) del sistema. Esta resultante produce un trabajo que hace variar su energía cinética.

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“El trabajo neto realizado sobre una partícula material por la resultante de las fuerzas que actúan sobre la misma, es igual al cambio de energía cinética sufrido por la partícula”.

c2i

2fT ∆E=mv

21

mv21

=W −

Si se realiza trabajo sobre un objeto, su energía cinética aumenta. Si un objeto realiza trabajo sobre un agente externo, su energía cinética disminuye

Demostración

Sea F la fuerza neta que actúa sobre una partícula a lo largo del eje positivo de las X

A partir de la segunda ley de Newton F= ma

Suponemos:Aceleración constanteLa rapidez cambia de vi a vfMientras, la partícula se desplaza de xi a xf

∆x a2+v=v 2i

2f ( )2

i2f vv

∆x21

=a −

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Sustituyendo la aceleración en la segunda ley de Newton y multiplicando por ∆x

2i

2f mv

21

mv21

xF −=∆Trabajo desarrollado por la fuerza

Energía cinética

c2i

2fT ∆E=mv

21

mv21

=W −

Trabajo y energía tienen las mismas dimensiones y unidades

2.4 ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS

Energía potencial:asociada con la posición o configuración del sistema, no con su movimiento.

Almacenamiento de la energía y una medida del potencial o la posibilidad de efectuar trabajo

Definición: Una fuerza es conservativa, si el trabajo

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Definición: Una fuerza es conservativa, si el trabajo realizado por la fuerza al actuar sobre una partícula material que se mueve entre dos puntos del espacio euclídeo, a lo largo de una trayectoria cualesquiera, es independiente de la misma.

Conversión bidireccional entre energía cinética y potencial

Propiedades del trabajo desarrollado por las fuerzas conservativas

�Siempre puede expresarse como diferencia entre los valores inicial y final de una función potencial.� Es independiente de la trayectoria seguida y depende sólo de los puntos inicial y final.� Si la trayectoria es cerrada, el trabajo es cero.

2.4 ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS

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Si las únicas fuerzas que actúan son conservativas, la energía mecánica total se conserva.

m c p E E E cte∆ = ∆ + ∆ =

2.4 ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS

Sea F una fuerza conservativa (fuerza que un campo de fuerzas realiza sobre una partícula de masa m).

La circulación de la misma a lo largo de cualquier trayectoria, es una función escalar de variable vectorial, que sólo depende del valor de la misma en los puntos P1 de partida y P2 de llegada relativos a la curva C.

energía potencial

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Esa función se denomina energía potencial

Interpretación física: el trabajo realizado por la fuerza de campo es igual a la disminución de energía potencial.

[ ] )r(Ep)P(Ep)P(Eprd)·r(FWc 12

P

P

2

1

rrrr∆−=−−== ∫

2.4.1 ENERGÍA POTENCIAL. EJEMPLOS

Energía potencial gravitatoria

Elección de origen de potenciales: Ep(z=0)=0.Tomamos energía potencial nula en la superficie de la tierra.

mgz)z(Ep =r

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Elección de origen de potenciales, Ep(x=0)=0.Tomamos energía potencial nula para el muelle en reposo.

Energía potencial de una muelle

2

21

x k)x(Ep =r

2.5 FUERZAS NO CONSERVATIVAS

�Las fuerza no conservativas se consideran de tipo disipativo. Esto es, el trabajo desarrollado por la fuerza a lo largo de una trayectoria cerrada no es nulo. Si un coche con los frenos bloqueados derrapa con rapidez (y energía cinética) decreciente, esta energía cinética perdida no se puede recuperar invirtiendo el movimiento(la energía mecánica no se conserva).

�Aplicando el teorema del trabajo y la energía, la energía cinética inicial y final no son iguales. Esa variación de energía se disipa en forma de calor.

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final no son iguales. Esa variación de energía se disipa en forma de calor.

Un ejemplo tipo de fuerzas no conservativas son las fuerzas de rozamiento (W<0). Supongamos un coche que se desliza por una rampa con rozamiento. Dicha fuerza siempre realiza un trabajo negativo, ya sea de subida o de bajada porque se opone al movimiento

� No hay función energía potencial para la fuerza de rozamiento.

2.6 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNI CA

ctotal EW ∆=

NCpNCCtotal WEWWW +∆−=+=

El trabajo total realizado sobre una partícula coincide con el cambio en la energía cinética que experimenta, de forma que

pcNC EEW ∆+∆=NCpNCCtotal WEWWW +∆−=+=

[ ] [ ])1(E)1(E)2(E)2(E)1(E)2(EEW pcpcmmmNC +−+=−=∆=

Si el trabajo de las fuerzas no conservativas es nulo, la energía mecánicatotal del sistema se conserva.

pcNC EEW ∆+∆=

∫=C

NCNC rd)·r(FW rr

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2.7 EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

METODOLOGÍA:

Dibujar el diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula.

Distinguir entre fuerzas conservativas y no conservativasElegir dos puntos entre los cuales aplicar el principio de

conservación de la energía.Calcular el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas y la

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Calcular el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas y la energía mecánica en estos dos puntos y sustituir en la expresión

pcNC EEW ∆+∆=

1. Un bloque de 5 kg se mueve en línea recta sobre una superficie horizontal sin rozamiento, bajo la influencia de una fuerza que varía con la posición según se muestra en la figura.a) ¿Qué trabajo hace la fuerza la moverse el bloque desde el origen hasta que ha recorrido 8 m?b) ¿Si la rapidez de la partícula al pasar por el origen era de 4 m/s ¿con qué rapidez pasa por el

punto x = 8 m?

F(N)

5

10

A1

(a) Calculamos el trabajo a partir del área encerrada en cada una de las figuras representadas por A1, A2 y A3.

5·2·1

10·2·1

2·10 −+=++= AAAW J 25=W

22

x(m)

10

5

2 4 6

A2

A3

5·2·2

110·2·

2

12·10321 −+=++= AAAW J 25=W

(b) Aplicando el Teorema de las Fuerzas vivas, que relaciona el trabajo con la energía cinética

22

2

1

2

1ifc mvmvEW −=∆=

Sustituyendo los valores numéricos y despejando la velocidad final m/s 1.5=fv

2. Un paquete que pesa 25 N desciende por una rampa según indica la figura. El coeficiente de rozamiento estático entre el paquete y la rampa vale 0.5 y el cinético 0.4. El ánguloθ vale 20º. Si el paquete lleva una velocidad en módulo, en el punto A de la figura igual a 2.4m/s, determinar:a) El módulo de la velocidad del paquete cuando sale de la rampa.b) La energía disipada en el movimiento del paquete sobre la rampa.c) La distancia d entre el pie de la rampa y el punto en el que el paquete incide sobre el suelo.

rFr

Nr

y

L

23

Pr

x

Ep = 0

hA hA- hB

hB

La única fuerza no conservativa en este sistema es la fuerza de rozamiento que actúa durante el tiempo que el bloque baja por la rampa.

(a) Teniendo en cuenta el sistema de referencia que hemos tomado, podemos saber cuánto vale la fuerza de rozamiento (el coeficiente de rozamiento que actúa es el cinético) NF cr µ=

Del diagrama de fuerzas representado, podemos relacionar la normal con el peso 0cos =− θmgN

θµ cosmgF cr =

Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica entre los puntos A y B pcNC EEW ∆+∆=

)()( AEBEW mmnc −=

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Vamos a calcular cada uno de los términos

LmgLFrdFW cr

B

Arnc cos·· θµ−=−== ∫

rr La fuerza de rozamiento se opone al movimiento (producto escalar negativo)

BBpcm

AApcm

mghmvBEBEBE

mghmvAEAEAE

+=+=

+=+=

2

2

2

1)()()(

2

1)()()(

El bloque tiene velocidad no nula tanto en el punto A como en el punto B

Se sustituyen en la ecuación

)(2

1

2

1 cos 22

ABABc hhmgmvmvLmg −+−=− θµ

m/s 94.1 22 =⇒+= BAB vaLvv

De la figura, podemos saber cuánto vale la diferencia de alturas L

hh BA −=θsin θsinLhh AB −=−

θθµ sin2

1

2

1 cos 22 gLvvLg ABc −−=−Sustituyendo en la expresión anterior m/s 94.1=Bv

Método alternativo: aplicando laSegunda ley de Newton

0cos =− θmgN

amFmg r sin =−θ

θµ cosmgF cr =siendo

2m/s 35.0)cos(sin −=−= θµθ cga

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(b) La energía disipada coincide con el trabajo desarrollado por la única fuerza no conservativa que aparece en el sistema, que es la fuerza de rozamiento.

LmgW cnc cosθµ−= J 2.28−=ncW

(c) Como sabemos la velocidad en el punto B, aplicamos el principio de conservación de la energía entre los puntos B y C. En este caso no hay fuerza de rozamiento, por tanto Wcn = 0 y Em(B) = Em(A)

22

2

2

1

2

1)()()(

2

1)()()(

CCCpcm

BBpcm

mvmghmvCECECE

mghmvBEBEBE

=+=+=

+=+=0 m/s 63.4=Cv

Para calcular la distancia d a la que cae de la rampa, tenemos en cuenta que entre B y C el movimiento es parabólico, por lo tanto

200

0

2

1- tsinyy

tcos

gtv

vx

θ

θ

+=

=

gtv

vvx

-sinv

cos

0y

0

θθ

==Ecuaciones del

movimiento parabólico

Particularizando para nuestro problema

x = dy = 0y0 = hB

v0 = vB

Calculamos el tiempo que tarda en llegar al suelo s 5.0=t

Calculamos la distancia máxima

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tcos0 θvx = m 91.0== dx

3. Un bloque de masa 0.8 kg cae desde una altura h = 0.5 m por un plano inclinado 30º, como muestra la figura. Cuando llega al plano horizontal se desliza sin fricción y comprime un muelle de constante elástica k = 100 N/m. Los coeficientes de fricción estático y dinámico son 0.3 y 0.2 respectivamente. Calcular:a. La velocidad con la que llega el bloque a la parte más baja del plano inclinado.b. La longitud de compresión máxima del muelle.c. La altura que alcanzaráel bloque en el plano inclinado después de rebotar contra el muelle.

(a) Aplicamos el principio de conservación de la energía entre los puntos 1 y 2. En este caso hay fuerza de rozamiento, por tanto

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L

Ep = 0

1

2

1121

222

22

2

1)1()1()1(

2

1

2

1)2()2()2(

mghmghmvEEE

mvmghmvEEE

pcm

pcm

=+=+=

=+=+=

)1()2( mmnc EEW −=

LmgLFrdFW crrnc cos··2

1

θµ−=−== ∫rr

Procediendo de manera análoga al problema anterior

mghmvLmgc −=− 222

1 cosθµ

θsin

hL =

ghvh

gc −=− 222

1

sin cos

θθµ

m/s 1.32 =v

(b) Para calcular la compresión máxima del muelle aplicamos el principio de conservación de la energía entre los puntos 2 y 3 en el que el muelle está totalmente comprimido(ver figura), teniendo en cuenta que en este caso no hay fuerzas disipativas, por lo tanto )3()2( mm EE =

22 11)2()2()2( mvmghmvEEE =+=+=

28

2 322

121

222

22

2

1

2

1

2

1)3()3()3()3(

2

1

2

1)2()2()2(

kxkxmghmvEEEE

mvmghmvEEE

elasticpcm

pcm

=++=++=

=+=+=

222

2

1

2

1xkmv = m 23.0=x

(c) En este último caso volvemos a aplicar el principio de conservación de la energía entre los puntos 3 y 4 (altura máxima que alcanza el bloque después de rebotar)

3

4

h4

θ

L’

)3()4( mmnc EEW −=

223

23

4424

2

1

2

1

2

1)3()3()3(

2

1)4()4()4(

xkxkmghmvEEE

mghmghmvEEE

pcm

pcm

=++=+=

=+=+=

' cos··2

1

LmgLFrdFW crrnc θµ−=−== ∫rr

21−=− θµ

De la figura, podemos escribir θsin'4 Lh =

29

24 x

2

1' cos kmghLmgc −=− θµ

m 23.04 =h