Tema 3.2. Poligonales y Calculo de Superficie

TEMA 3.2. POLIGONALES Y CALCULO DE SUPERFICIE

Prof: Msc. Jeiser GutiérrezProf: Msc. Jeiser Gutiérrez

POLIGONACION, GENERALIDADES Y CLASIFICACIÓN.POLIGONACION, GENERALIDADES Y CLASIFICACIÓN.

Poligonal: se define como una serie de líneas rectas sucesivas que están conectadas entre si. Puede ser cerrada, como en el caso de los limites de un terreno, o abierta, como la que se usa para el trazo de carreteras, líneas de ferrocarril y otras vías terrestres.

Levantamiento de Poligonales: se conoce como el proceso de medición de longitudes y direcciones de los lados de una poligonal, y tiene como finalidad encontrar las posiciones de puntos determinados.

Objetivos de la poligonal: La poligonación es un método rápido y cómodo para el establecimiento del control horizontal. Es particularmente útil en zonas densamente construidas y en regiones boscosas en las que la longitud de la visual es tan corta que no es adecuada la aplicación de los métodos de triangulación y trilateración. Las poligonales se trazan con múltiples objetivos, entre los que se incluyen:

1. La ubicación o establecimiento de limites o linderos en los levantamientos de la propiedad.2. El establecimiento de control suplementario en los levantamientos para planimetría

topográfica.

3. La realización de la localización y del trazo constructivo de carreteras, vías férreas y de otros trabajos públicos y privados.

4. La ejecución de levantamientos de control terrestre para la planimetría.

CLASIFICACIÓN:Hay dos tipos básicos de poligonales: la cerrada y la abierta

Poligonal Abierta: Es aquella que se origina en un punto de posición conocida y termina en un punto de posición desconocido. se utiliza por lo general en trabajos de localización de vías de comunicación y tienen la desventaja de que no cuentan con la posibilidad de revisarse aritméticamente. Por esta razón, debe tenerse mucho mas cuidado en su medición. las poligonales abiertas pueden dividirse en dos tipos, sin control y con control, siendo esta última aquella que finaliza en un punto de coordenadas conocidas.

Poligonal Cerrada: Es aquella que empieza y termina en el mismo punto. También puede ser aquella que empieza en un punto conocido y termina en otro punto conocido. Siempre que sea posible, se prefiere una poligonal cerrada que una poligonal abierta, ya que es mas fácil de revisar las distancias y los ángulos.

Poligonal Abierta

Poligonal Cerrada

MEDICIONES NECESARIAS Y CALCULO DE VINCULACIONES.MEDICIONES NECESARIAS Y CALCULO DE VINCULACIONES.

MEDICIONES NECESARIAS Ángulos y Direcciones

Los métodos que se usan para medir ángulos o direcciones de las líneas de las poligonales son:

1. Trazo de poligonales por Rumbos: La brújula del Topógrafo es el instrumento empleado en este método.

Los rumbos se leen directamente en la brújula a medida que se dirigen las visuales según las líneas o lados de la poligonal.

2. Trazo de poligonales por ángulos interiores: Los ángulos interiores se usan casi en forma exclusiva en las poligonales

para levantamientos catastrales o de propiedades. Pueden leerse en sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario (sin embargo, hay que mantener el mismo sentido para reducir los errores de lectura, registro y trazo).

3. Trazo de poligonales por ángulos de deflexión: Los levantamientos para vías terrestres se hacen comúnmente por

deflexiones medidas hacia la derecha o hacia la izquierda desde las prolongaciones de las líneas. Los ángulos de deflexión pueden obtenerse restando 180° de los ángulos a la derecha. Los valores positivos así obtenidos denotan ángulos de deflexión derechos; los valores negativos corresponden a los izquierdos.

4. Trazo de poligonales por ángulos a la derecha: Los ángulos medidos en el sentido del movimiento de las manecillas del

reloj desde una visual hacia atrás, según la línea anterior, se llaman ángulos a la derecha.


5. Trazo de poligonales por acimut: Los levantamientos topográficos se trazan a menudo por acimut. El

proceso permite la lectura de los acimut de todas las líneas directamente, eliminando así la necesidad de calcularlos. Los acimut se miden en el sentido de las agujas del reloj a partir de la dirección norte del meridiano que pasa por cada vértice.

Longitudes.La longitud de cada línea de la poligonal se obtiene generalmente por el método más

simple y económico capaz de satisfacer la precisión exigida en un proyecto dado. Los métodos que se emplean con mayor frecuencia son los de medición con cinta y los que utilizan dispositivos electrónicos, por ser los que proporcionan el orden más alto de precisión.. Las distancias medidas por estadía en uno y otro sentido dan un control adecuado para cierto tipo de trabajos, como, por ejemplo, en configuraciones de poca precisión.


CALCULO DE VINCULACIONES

Las poligonales se suelen arrancar de distintas formas, según los datos, equipos disponibles e importancia del trabajo; pero en general se arrancan de acuerdo a una de estas formas:

1. Partiendo de coordenadas arbitrarias y orientación azimutal arbitraria o magnética.

2. Partiendo de dos puntos con coordenadas conocidas.

3. Partiendo de un punto con coordenadas conocidas que pertenezca a una línea del polígono, tomando el azimut magnético, pudiendo trabajarse con éste o conociendo la declinación, se hace que el azimut magnético sea verdadero.

4. Partiendo de una línea de polígono a la cual se le determina su azimut verdadero a través de una observación solar, si no se conocen las coordenadas de uno de los puntos de la línea, se le pueden dar coordenadas arbitrarias.

La forma más habitual es la de partir de dos puntos con coordenadas conocidas o BM, los cuales deben estar referidos a un mismo sistema, (Coordenadas UTM, Coordenadas Geográficas, Coordenadas Planas, etc.) utilizando un mismo datum (SIRGAS-REGVEN, Provisional Sur América 1956, La Canoa, etc.) y preferiblemente de un mismo organismo.

CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA.CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA.

Ejemplo de calculo sobre poligonal Abierta:

1.- Se tiene sobre un terreno dos puntos referenciales o BM con coordenadas UTM, se requiere determinar las coordenadas de un tercer punto, utilizando los datos presentados en las figuras:

B =170º10'20"

E= 600N= 400

N= 500E= 450

50m

.

C

B

A

CÁLCULO DE POLIGONAL CERRADA.CÁLCULO DE POLIGONAL CERRADA.

nKT ×=

Calculo de poligonal Cerrada:

PROCEDIMIENTO DE CALCULO

1. Se calcula el azimut inicial apoyándonos con puntos referenciados obtenidos a través de un GPS ó por coordenadas existentes como BM.

2. Se procede al calculo de los ángulo, y para ello realiza la suma de los ángulos internos ó externos y se verifica el error de cierre angular a través de las ecuaciones:

3. Se compara el error de cierre angular con la tolerancia angular, siendo el mismo:

∑< int = (n-2) x 180º ∑< ext = (n+2) x 180º

Sumatoria de ángulos internos Sumatoria de ángulos externos

4. Se realiza la compensación de ángulos medidos: si el error de cierre de ángulo es menor que la cantidad especificada se procede a repartirlos por partes iguales entre todos los ángulos de los vértices. Si el error fuese por exceso se quita a cada ángulo la corrección (error / n ).

Siendo n = numero de ángulos ó vértices de la poligonal

Para levantamientos de poca precisión:

Para levantamientos de precisión:

nKT ×=


5. Calculo de acimutes.

6. Determinación de rumbos.

7. Calculo de las Proyecciones:.


Ejemplo de calculo: Se tienen los siguientes datos de una medición de campo.

Tabla de datos en campo.

Coordenadas UTM de P1 y P2.

429.3341.260.912P2

429.3351.260.901P1

EsteNortePuntos

429.3341.260.912P2

429.3351.260.901P1

EsteNortePuntos

¿Calcular los ángulos internos de la poligonal y los azimut de cada punto?

CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA.CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA.


Solución

1. Calculamos el azimut inicial:

AZP2

P1

RP2

P1

Diferencia de Norte: Diferencia de Este:

∆N = (N2-N1) ∆E = (E2-E1)

∆N = (1.260.912 - 1.260.901) ∆N = 11

∆E = (429.334 – 429.335) ∆E = 01

= Tan-1 (∆E / ∆N )

= Tan-1 (01 / 11) → = 5º 11’ 40”

Calculo del Azimut:

AZ = 180º – AZ = (1800 – 5º 11’ 40”)

AZ = 174º 48’ 20”

P2

P1

P2

P1

P2

P1

RP2

P1

RP2

P1 RP2

P1

RP2

P1

CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA.CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA.

n"30T ×=


2. Se procede al calculo de los ángulocalculo de los ángulo, en este caso determinaremos la suma de los ángulos internos luego verificamos el error de cierre angularerror de cierre angular a través de las ecuaciones:

∑< int = (n-2) x 180º

Sumatoria de ángulos internos

∑< int = (4-2) x 180º

n = cuatro (4) vértices

∑< int = (2) x 180º

∑< int = 360º

3. Se compara el error de cierre angular con la tolerancia angular, siendo el mismo:

αp1 = 87º 34’ 10”

αp2 = 105º 04’ 55”

αp3 = 97º 23’ 58”

αp4 = 69º 56’ 08”

∑ = 359º 59’ 11”

Sumatoria de ángulos int. medidos Error de cierre angular

∑ = 359º 59’ 11”

∑< int = 360º 00’ 00”

EA = 00º 00’ 49”

4"30T ×=T = 30”x 2T = 60”

EA < T

OK

CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA.CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA.Calculo de poligonal Cerrada:

4. Se realiza la compensación de ángulos medidos: En este caso el error de cierre de ángulo es menor que la tolerancia, se procede a repartirlos por partes iguales entre todos los ángulos de los vértices. (error / n ).

EA = (00º 00’ 49”)/4 = 12.25”

Se reparten de la siguiente forma

αp1 = 87º 34’ 10” + 12”

αp2 = 105º 04’ 55” + 13”

αp3 = 97º 23’ 58” + 12”

αp4 = 69º 56’ 08” + 12”

Se obtienen los ángulos corregidos

αp1 = 87º 34’ 22”

αp2 = 105º 05’ 08”

αp3 = 97º 24’ 10”

αp4 = 69º 56’ 20”

∑ = 360º 00’ 00”


AZ = 174º 48’ 20”P2

P1

AZP2

P3

AZP2

P1

= ( + αp2 ) AZP2

P3

= ( 174º 48’ 20” + 105º 05’ 08” )

AZP2

P3

= ( 279º 53’ 28” )

CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA.CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA.Calculo de poligonal Cerrada:


279º 53’ 28”

+ 97º 24’ 10”

377º 17’ 38” > 180º

-180º 00’ 00”

197º 17’ 38”

+ 69º 56’ 20”

267º 13’ 58” > 180º

-180º 00’ 00”

87º 13’ 58”

+ 87º 34’ 22”174º 48’ 20” < 180º

+ 180º 00’ 00”

354º 48’ 20”

+ 105º 05’ 08”

459º 53’ 28” > 180º

-180º 00’ 00”

279º 53’ 28”

CH

EQ

UE

O

AZ = P2

P3

AZ = P3

P4

AZ = P4

P1

AZ = P1

P2

AZ = P2

P3

αp3 =

αp4 =

αp1 =

αp2 =

R = P1

P2

N(360º - 354º48’20”)O N(5º11’40”)O

CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA..CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA..


6. Determinación de Rumbos.

R = P2

P3

N(360º - 279º53’28”)O N(80º06’32”)O

R = P3

P4

S(197º17’38” – 180º)O S(17º17’38”)O

R = P4

P1

N(87º13’58”)O N(87º13’58”)E

CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA..CÁLCULO DE POLIGONAL ABIERTA Y CERRADA..


7. Calculo de las Proyecciones.

DESCOMPOSICIÓN DE TRIANGULOS.DESCOMPOSICIÓN DE TRIANGULOS.

CASO 2 . Cuando se conocen las longitudes de dos lados y el ángulo que forman entre ellos, correspondientes a cualquier triangulo, su área se determina con la expresión:

a c

b

αÁrea = ½ x a x b x sen α

CASO 1 . Cuando el triangulo es rectángulo, su área se determina con la expresión:

h

b

Área = 2

b x h

El método de descomponer una superficie en figuras geométricas a las cuales se les pueda calcular su área por una simple fórmula trigonométrica, es un método que suele aplicarse a los lotes de terrenos de poca extensión, donde se puedan medir las diagonales necesarias para formar triángulos, que es la figura más usada.

METODOS DE CALCULOS DE ÁREA.METODOS DE CALCULOS DE ÁREA.

DESCOMPOSICIÓN DE TRIANGULOS.DESCOMPOSICIÓN DE TRIANGULOS.

CASO 3 . Cuando se conocen las longitudes de los tres lados de un triangulo, su área se determina con la ecuación:

a b

c

Área = √ s(s-a) (s-b) (s-c)

s = ½ x (a + b + c)

CASO 4 . Cuando la figura es un trapecio, su área se determina con la ecuación:

h2h1

b

Área = 2

b x (h1+h2)

CALCULO MECANIZADO DE GAUSS D’ HIULLER.CALCULO MECANIZADO DE GAUSS D’ HIULLER.

Este método consiste en multiplicar cada Norte por la diferencia entre el Este del punto inmediatamente inferior y la del inmediatamente superior. El signo de esta diferencia, determina el signo de cada producto. La suma algebraica de estos productos, proporcionara el doble del área.

2 A = N1 (E2 – E4) + N2 (E3 – E1) + N3 (E4 – E2) + N4 (E1 – E3)

½ x ∑( )

METODO MATRICIAL.METODO MATRICIAL.

Este método consiste en efectuar los productos en diagonal indicados por las flechas y consignando a estos los signos indicados ( Productos a la derecha: Positivos, y Productos a la izquierda: Negativos ) obtendremos que la suma algebraica de estos productos, proporcionara el doble del área.

2 A = N1 x E2 + N2 x E3 + N3 x E4 + N4 x E1 – E1 x N2 – E2 x N3 – E3 x N4 – E4 x N1

2 A = N1 (E2 – E4) + N2 (E3 – E1) + N3 (E4 – E2) + N4 (E1 – E3)

Si desarrollamos y reagrupamos la expresión obtenemos:

½ x ∑( )+ -

Calculo del Área. Continuación del ejemplo anterior

2

Area =(2,165351730404130E+12) – (2,16535173092618E+12)

Area = 261,0248 m^2

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