TEMA 4 Teoría de Contacto Mecanismos de Fricción y...

ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS

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TEMA 4TEMA 4Teoría de Contacto MecanismosTeoría de Contacto Mecanismos

de Fricción y Adherenciade Fricción y AdherenciaObjetivos: Introducir los conceptos básicos que gobiernan el contacto entre dos superficies; describir los

mecanismos que rigen el comportamiento de la fricción seca y la adherencia entre superficies; descripción deelementos de máquinas que hacen uso de los mecanismos de fricción: frenos de tambor, frenos de disco,

embragues de disco, embragues cónicos, cintas, tornillos de transmisión de potencia, etc.

Problemas: cálculo y diseño de elementos de máquinas que hagan uso de mecanismos de fricción: frenos detambor, frenos de disco, embragues de disco, embragues cónicos, cintas, tornillos de transmisión de potencia, etc.

ObjetivosObjetivos: Introducir los conceptos básicos que gobiernan el contacto entre dos superficies; describir losmecanismos que rigen el comportamiento de la fricción seca y la adherencia entre superficies; descripción de

elementos de máquinas que hacen uso de los mecanismos de fricción: frenos de tambor, frenos de disco,embragues de disco, embragues cónicos, cintas, tornillos de transmisión de potencia, etc.

ProblemasProblemas: cálculo y diseño de elementos de máquinas que hagan uso de mecanismos de fricción: frenos detambor, frenos de disco, embragues de disco, embragues cónicos, cintas, tornillos de transmisión de potencia, etc.

ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS - 4.- 4.22 - -

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Tema 4TEORÍA DE CONTACTO

Tema 4Tema 4TEORÍA DE CONTACTOTEORÍA DE CONTACTO

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila


IndiceIndice

q Teoría de contactoðContacto normalðContacto tangencialðRozamiento y desgaste

q Elementos de máquinasðTornillos de transmisión de potenciaðFrenos de zapataðFrenos y embragues cónicosðFrenos y embragues de discoðFrenos de cinta


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Teoría de Contacto (I)Teoría de Contacto (I)

q La teoría de contacto estudia fenómenos macroscópicosresultantes de la interacción entre superficies de sólidos encontacto:ðRozamientoðDesgasteðAdhesión

q Son fenómenos importantes porque producen:ðFallos de maquinaríaðPérdidas energéticasðCostes de mantenimiento


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Teoría de Contacto (II)Teoría de Contacto (II)q La teoría de contacto trata dos problemas:ðEstudio geométrico (cinemático) del contactoðEstudio de las fuerzas presentes en el contacto:ù Fuerzas normales: problema normal

– Las deformaciones en los materiales se deben a las fuerzas normales– Estudiado por Hertz

ù Fuerzas tangenciales: problema tangencial– Las deformaciones en el contacto se deben a fuerzas tangenciales– Se debe tener en consideración el rozamiento; se trata de un problema no lineal– Teorías para casos particulares desarrolladas por: Carter, Johnson y Haines y

Ollertonù Ambos problemas se abordan de forma independienteù Teoría general del contacto desarrollada por Kalker


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Teoría de Contacto (III)Teoría de Contacto (III)


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Problema NormalProblema Normalq El problema normal pretende determinar:ðLa superficie de contactoðLa distribución de

presiones en la superficiede contacto

q Se aborda el problema endos etapas:ðPresión entre dos cuerpos

esféricos en contactoðCaso general de presión

entre dos cuerpos en contacto


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Cuerpos Esféricos (I)Cuerpos Esféricos (I)q Sean dos cuerpos esféricos como se indica:ðRadios: R1 y R2

ðO: Punto de contactoðM y N: puntos de

las esferas situados sobrela misma verticalðz1 y z2: alturas sobre

el plano tangenteðr: distancia de M y N

al eje de simetríaðr << R1; r << R2


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Cuerpos Esféricos (II)Cuerpos Esféricos (II)

q Las alturas z1 y z2 se calculan como:

luego,

( )2

cos12

111θ

θ RRz ≅−=

θθ 11 sen RRr ≅=

2

2

1

2

21 22 Rr

Rr

zz +=+


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Cuerpos Esféricos (III)Cuerpos Esféricos (III)

q Al aplicar una fuerza P normal al plano tangente:ðSe produce una

deformación local en OðEl contacto se produce en

una superficie de contactoðLos centros de las esferas

se aproximan una distancia α


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Cuerpos Esféricos (IV)Cuerpos Esféricos (IV)

q Los puntos M y N se aproximanðSi los puntos M y N están en la superficie de contacto,

sufren deformaciones locales ω1 y ω2.ðSe verifica la relación:

luego, se cumple la relación2121 )( zz +=+− ωωα

22

21

212121 2)( rr

RRRR

zz βαααωω −=+

−=+−=+


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Cuerpos Esféricos (V)Cuerpos Esféricos (V)

qCálculo de las deformaciones locales ω1 y ω2

ðSe considera r << R1

ðSe calculan ω1 y ω2como si se trataran depuntos sobre un cuerposemi-infinito

( )Es

PA π

νω

21−=


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Cuerpos Esféricos (VI)Cuerpos Esféricos (VI)

q En una fuerza distribuida q, la deformación es:

q Se supone una distribución simétrica de presionesù q0: presión máximaù a: radio de la superficie de contactoù z: altura de una semi-esfera apoyada

sobre la superficie de contacto

( )∫∫

−=

EsqdA

M πν

ω21

zaq

q 0=


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Cuerpos Esféricos (VII)Cuerpos Esféricos (VII)

qConsiderando el elemento de área representado:( )

∫∫−

=s

qsdsdEM

ψπ

νω

21

( )∫∫

−= ψ

πν

ω qdsdEM

21

( )∫∫

−= ψ

πν

ω zdsdaq

EM0

21


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Cuerpos Esféricos (VIII)Cuerpos Esféricos (VIII)

q Sustituyendo las expresiones, se obtiene:

q Integrando:

( ) ( ) 20

2

22

1

21

2111

rzdsdaq

EEβαψ

πν

πν

ωω −=

−+

−=+ ∫∫

( )ψπ 22200 sen2

raaq

zdsaq

−=∫

( ) ( ) 220

22221

0 sen rdrakkaq

βαψψπ π

−=−+ ∫

( ) ( ) 2222

021 2

4rra

aq

kk βαπ

−=−+

( )1

21

11

Ek

πν−

=

( )2

22

21

Ek

πν−

=


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Cuerpos Esféricos (IX)Cuerpos Esféricos (IX)

q Se han de cumplir lassiguientes relaciones:

q La presión máxima q0viene dada por:

( )2

2

021a

qkkπ

α +=

( )β

π4

2

021 qkka +=

== ∫∫ 30

32

aaq

qdAP π

mediaqaP

q23

23

20 ==π


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Cuerpos Esféricos (X)Cuerpos Esféricos (X)

qConocida la superficie de contacto y la distribuciónde presiones, se calculan:ðTensiones normales (en la superficie)

ðTensiones tangenciales(en la superficie)

0qz −=σ ( ) 221 0qyx νσσ +−==

( ) 2zyyz σστ −=

( ) 2zxxz σστ −=


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Caso General (I)Caso General (I)

q Sean dos cuerpos cualquiera como se indicaðO: Punto de contactoðM y N: puntos de

las superficies sobrela misma verticalðz1 y z2: alturas sobre

el plano tangenteðr: distancia de M y N

al eje zðr << R1; r << R2


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Caso General (II)Caso General (II)

q Las alturas z1 y z2 se calculan como:

luego,

111211

2111 yxCyBxAz ++=

( ) ( ) 221

22121 yBBxAAzz ′+′+′+′=+

222222

2222 yxCyBxAz ++=


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Caso General (III)Caso General (III)

q Los puntos M y N se aproximanðSi los puntos M y N están en la superficie de contacto,

sufren deformaciones locales ω1 y ω2.ðSe verifica la relación:

luego, se cumple la relación2121 )( zz +=+− ωωα

222121 )( ByAxzz −−=+−=+ ααωω


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Caso General (IV)Caso General (IV)

q Se supone una distribuciónsimétrica de presionesð q0: presión máximað z: altura de un semi-elipsoide

apoyada sobre la superficie decontacto

ð a y b: semi-ejes del elipsoide

22

0 1

−

−=

by

axqq


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Caso General (V)Caso General (V)

q La presión máxima q0 viene dada por:

q La deformación en un punto de la superficie decontacto se calcula como:

=== ∫∫∫∫ abqzdAqqdAP π

32

00

mediaqabP

q23

23

0 ==π

( )∫∫

−=

EsqdA

M πν

ω21


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Caso General (VI)Caso General (VI)

q Sustituyendo las expresiones anteriores, se obtiene:

q Integrando:

( )( ) ( )

2222

22

021

1

23

ByAxdudvvyux

bv

au

abq

kk −−=−+−

−

−

+ ∫∫ απ

( )( )

3/1

21

43

++

=BAkkP

maπ

( )( )

3/1

21

43

++

=BAkkP

nbπ


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Caso General (VII)Caso General (VII)

q Los parámetros de la solución se obtienen de la tablasiguiente:

( )( )

3/1

21

43

++

=BAkkP

maπ ( )

( )

3/1

21

43

++

=BAkkP

nbπ

θ 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

m 2,731 2,397 2,136 1,926 1,754 1,611 1,486 1,378 1,284 1,202 1,128 1,061 1,000

n 0,493 0,530 0,567 0,604 0,641 0,678 0,717 0,759 0,802 0,846 0,893 0,944 1,000

BAAB

+−

=θcos


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Caso General (VIII)Caso General (VIII)

q Con la solución anterior, se puede estudiar el caso de doscilindros de ejes paralelos

siendo P la carga por unidad de longitud

021

bqP π=

bP

qπ2

0 =

( ) 2/1

21

21214

+

+=

RRRRkkP

b


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Problema Tangencial (I)Problema Tangencial (I)q El problema tangencial pretende determinar:ð La relación entre las velocidades y las fuerzas

tangencialesð Calculadas estas relaciones y usando las

ecuaciones de la elasticidad se calculan lastensiones en el material

ð Se consideran los sólidos en contacto por la acciónde una fuerza normal y con un movimiento relativo

q Diversas aproximacionesð Carterð Johnsonð Haines y Ollertonð Solución general: Kalker


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Problema Tangencial (II)Problema Tangencial (II)q Las velocidades tangenciales

de los sólidos no son iguales:no hay contacto de rodadura

q El deslizamiento se cuantificacon un parámetro adimensional:el “pseudo-deslizamiento”

( ) 2/21

21

VVVV

x +−=ν


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Aproximación de Aproximación de Carter Carter (I)(I)

q Considera el caso de doscilindros de ejes paralelos

q Se produce deslizamiento en ladirección de rodadura

q Divide la zona de contacto endos partes:ð Zona de adhesiónð Zona de deslizamiento

q La distribución de fuerzas derozamiento se obtiene comodiferencia de dos distribucionescirculares


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Aproximación de Aproximación de Carter Carter (II)(II)

qDimensiones de las zonas de deslizamiento yadhesión

siendo

µ es el coeficiente de rozamiento y a el semiancho de la zona de contacto

( ) 2/21

21

VVVV

x +−=ν

12

−=aa

b x

µρν

+=

21

11411

RRρ


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( )

2

22

4a

baa

NFx π

πµ

−−

=

Aproximación de Aproximación de Carter Carter (III)(III)

q En el caso de rodadura pura, no hay zona dedeslizamiento (νx=0)

q En el caso de deslizamiento puro, la zona deadhesión desaparece por completo

q La fuerza total de rozamiento varía entre 0 y µN

40 <<a

x

µρνSi


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Aproximación de Aproximación de JohnsonJohnson

q Generaliza la teoría de Carterpara pseudo-deslizamientoslongitudinal y transversal yspin nulo

q Aproxima la zona deadhesión por un área elíptica

q La distribución de fuerzas derozamiento es diferencia dedos distribuciones semi-elipsoidales

Experimentalmente, se comprueba quela parte anterior de la zona de contactono responde a esta teoría


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Aproximación deAproximación deHainesHaines y y Ollerton Ollerton (I)(I)

q Estudian el problema tangencialconsiderando deslizamiento enla dirección de rodadura

q Consideran la teoría de Carteraplicable en “láminas” de la zonade contacto paralelas a ladirección de rodadura


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Aproximación deAproximación deHainesHaines y y Ollerton Ollerton (II)(II)

q De la teoría de Carter

suponiendo constantes νx y ρ, se tiene

q El límite posterior de la zona de adhesión se mantiene adistancia constante del límite posterior de la zona decontacto

12

−=aa

b x

µρν

ab x −=µρν

2

constanteab x ==+µρν

2


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Teoría General de Teoría General de KalkerKalker (I) (I)

q La teoría general de Kalker pretende relacionar las pseudo-deslizamientos con las fuerzas tangenciales y el momentosegún z.

q La resolución del problema normal proporciona lasdimensiones de la superficie de contacto y la distribuciónnormal de presiones. Los problemas normal y tangencial sesuponen independientes.

q La compresión y la fricción producen deformaciones queafectan a las velocidades de deslizamiento.


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Teoría General de Teoría General de KalkerKalker (II) (II)

Velocidad de deslizamiento

Deformaciones

Distribución de fuerzas de rozamiento

Fuerzas tangenciales y

momento normal

Ecuaciones de la elasticidad

Cinemática

Rozamiento

Ecuaciones deequilibrio


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Teoría General de Teoría General de KalkerKalker (III) (III)

qCinemática

( )

( )t

udtdx

xu

xVv

tu

dtdx

xu

yVv

yyyxy

xxxx

∂∂

+∂

∂++=

∂∂

+∂∂

+−=

φν

φν

txV

∂∂

+∂∂

−=uu

svrrrr

ydfysry

xdfxsrx

vvv

vvv

..

..

+=

+=


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Teoría General de Teoría General de KalkerKalker (IV) (IV)

q Ecuaciones del rozamientoðZona de adhesión

ðZona de deslizamiento

( )

( )

∂∂

+∂∂

++==

∂∂+

∂∂+−==

tu

dtdx

xu

xVv

tu

dtdx

xuyVv

yyyxy

xxxx

φν

φν

0

0qµ≤P

r

vvP rrr

qµ−=


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Teoría General de Teoría General de KalkerKalker (V) (V)

q Ecuaciones de equilibrioðFuerzas tangenciales

ðMomento normal

Ω=

Ω=

∫∫∫∫

Ω

Ω

dpF

dpF

yy

xx

∫∫Ω

Ω×= dM z pr rr


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Teoría General de Teoría General de KalkerKalker (VI) (VI)

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