Tema 5: Razonamiento no monótono - cs.us.es · Limitaciones del razonamiento basado en la l´ogica...

Tema 5:Razonamiento no monotono

Felix Lara

Dpto. Ciencias de la Computacion Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla

Seminario de Inteligencia Artificial, Curso 2005–06

SIA, 2005–06 Razonamiento no monotono 2.1

Limitaciones del razonamiento basado en lalogica de primer orden

I Ningun lenguaje puede expresar todo el conocimiento sobre elentorno:

I Un conjunto de formulas es solo una aproximacion.I Una regla general esta sujeta a una serie (infinita) de

restricciones no codificables.

I Problema importante: Las reglas de inferencia son adecuadas.I Los teoremas son validos en todos los modelos de la base de

conocimiento (no descartan modelos no deseados; no refinan).I Las reglas de inferencia solo hacen explıcito conocimiento que

estaba implıcito en la base de conocimiento.

I Otro problema: La LPO solo utiliza hechos eternamenteverdaderos o eternamente falsos.

¿Como tratar la incertidumbre o la revision?


Problemas y ejemplos (I)

I Un ejemplo del lenguaje natural:Como Juan no me ha dicho que Pedro es su hermano, yopresupongo que no lo es

I ∆ 6|= Hermano(Juan,Pedro) =⇒∆ ¬Hermano(Juan,Pedro).

I Otro ejemplo:Si consultamos un horario de trenes entre dos ciudades, A yB, y no encontramos ninguno que salga a las 11:00, entoncesconcluimos que no hay ningun tren que salga a esa hora.

I Este modo de proceder es tıpico de la consulta de bases dedatos, pero difiere radicalmente del modo en que la LPOutiliza la informacion contenida en una base de conocimiento.


Problemas y ejemplos (II)

I Distincion entre enunciados universales y genericos:I Un enunciado universal es valido para todos los elementos

considerados.I Un enunciado generico es valido para todos los elementos

tıpicos (sin caracterısticas especiales) considerados.

I Representacion de relaciones (o reglas). La formula

∀x(Pajaro(x)→Vuela(x))

es, en muchas situaciones, valida. Sin embargo, es mascorrecta la regla

∀x(Pajaro(x) ∧ ¬Avestruz(x)→Vuela(x))

Aun ası no es fidedigna en general (pajaros muertos, crıas,...)


Cualificacion

I Cualificacion: Precision a una regla.

I Problema de la cualificacion:Toda regla necesita infinitas restricciones (presupuestos) paraajustarse a la realidad.

I Sin embargo, es practica comun usar reglas y/o formulas comosi fueran validas.

I Por defecto, asumimos presupuestos (cualificaciones) quepueden ser revisados.


Reglas no monotonas

I Disenar reglas R que no sean “correctas”; es decir, que notengan la propiedad

∆R F =⇒ ∆ |= F .

I Usualmente, la aplicacion de este tipo de reglas depende delconjunto ∆ completo, no solo de un subconjunto de premisas.

I Propiedad de este tipo de reglas:

La base ∆ + {F} tienen menos modelos que ∆.

I Los modelos de ∆ que no son modelos de F son descartadoscon ∆ + {F}.

I Las reglas que verifican esta propiedad se llaman reglas nomonotonas.


Algunas soluciones

I Hipotesis del mundo cerrado (CWA):

Si un hecho (formula atomica cerrada) no es demostrable,suponemos que su negacion es cierta.

I Completacion:

Calcular F tal que ∆ + F impone que los elementos queverifican cierto predicado son solo los que ∆ certifica.

I Razonamiento por defecto:

Aplicar las reglas sin cualificacion, y revisarlas en casonecesario

I Otros: Circunscripcion, Logica Autoepistemica.


La hipotesis del mundo cerrado (CWA)

I Es una formalizacion logica de la correspondiente hipotesisutilizada en la consulta de bases de datos.

I Las bases de conocimiento ideales son completas, es decir,dado cualquier atomo cerrado, contienen (o es consecuencialogica) a este o a su negacion.

I Ejemplo de BC no completa: sea ∆ la base formada por

{P(A), P(A)→Q(A), P(B)}

Los atomos cerrados que son consecuencia logica de ∆ son{P(A), Q(A), P(B)}.

I No contiene ni Q(B) ni ¬Q(B).I Idea de CWA:

Si A es un atomo cerrado tal que ∆ 6|= A, anadir ¬A a ∆.

I NO monotona: En el ejemplo, la base obtenida, ∆ + {¬Q(B)},descarta los modelos de K donde Q(B) es valido.


Formalizacion de CWA

I Como obtener CWA(∆):

1. Considerar T (∆) = {F : ∆ |= F}.2. Obtener el conjunto de creencias asumidas, ∆a:

¬A ∈ ∆a ⇐⇒ A /∈ T (∆)

(donde A es un atomo cerrado).3. CWA(∆) = {F : ∆ + ∆a |= F}

(es decir, CWA(∆) = T (∆ + ∆a)).

I En general, no se determina todo CWA(∆). Se preguntasobre la pertenencia de instancias concretas:

F ∈ CWA(∆) ⇐⇒ ∆ + ∆a |= F

I Ejemplo: Sea ∆ la base anterior

¬Q(B) ∈ ∆a (pues ∆ 6|= Q(B)), luego CWA(∆) |= ∃x¬Q(x)


Analisis y limitaciones de CWA

I Aplicacion: Bases de datos

I Sea ∆ la base de conexion entre provincias de Andalucıa:

∆ :=

C(Sevilla, Huelva) C(Sevilla, Cadiz) · · ·C(Huelva, Sevilla) C(Huelva, Cadiz) · · ·

......

...

I ∆ 6|= C(Huelva, Granada).

I ∆ + ∆a |= ¬C(Huelva, Granada).I ∆ 6|= ¬C(Huelva, Granada).


Dependencia sintactica

I El metodo CWA depende fuertemente de la sintaxis: Si ∆posee los sımbolos de predicados {P1, . . . , Pn} y utilizamosQi ≡ ¬Pi para reescribir la base a ∆′, el resultado puede serdistinto con respecto a los predicados originales.

I En el ejemplo anterior, si tomo D ≡ ¬C, ∆′ es

¬D(Sevilla, Huelva) ¬D(Sevilla, Cadiz) · · ·¬D(Huelva, Sevilla) ¬D(Huelva, Cadiz) · · ·

......

...

entonces ∆′a = ∆′ + {¬D(Sevilla, Almerıa), . . . }.I Con menos hechos positivos, mas eficiente (refina mas).


Consistencia de CWA

I Problema: CWA(∆) puede ser inconsistente (aunque ∆ seaconsistente).

I Ejemplo: si ∆ = {P(A) ∨ P(B)}, entonces CWA(∆) contiene aP(A) ∨ P(B),¬P(A),¬P(B); luego CWA(∆) es inconsistente.

I Teorema. Son equivalentes:

1. CWA(∆) es consistente.2. Para toda disyuncion de atomos cerrados L1 ∨ · · · ∨ Ln tal

que∆ |= L1 ∨ · · · ∨ Ln

existe i tal que ∆ |= Li .


Consistencia de CWA segun el lenguaje

I Problema: La consistencia de CWA(∆) depende de losterminos del lenguaje.

I En el lenguaje {P, A, B}, la base

∆ = {P(X) ∨ Q(X),¬P(A),¬Q(B)}

tiene CWA(∆) consistente.

I Si L = {P, A, B, C} CWA(∆) no es consistente:

P(C) ∨ Q(C),¬P(C),¬Q(C) ∈ CWA(∆)


Clausura de dominio

Consiste en:

1. Restringirse al lenguaje L(∆) (sımbolos no logicos de ∆) y

2. Utilizando la igualdad, expresar que los unicos elementosexistentes son los que tienen nombre.

I Si las constantes de L(∆) son {C1, . . . Cn}, anadimos a ∆ laformula G := ∀x(x = C1 ∨ · · · ∨ x = Cn)

I Ventaja: Cada formula existencial del tipo ∃xF(x) puede sersustituida por F(C1) ∨ · · · ∨ F(Cn)

I Desventajas: Finitud del dominio, tratamiento de la igualdad...I En el caso de la base de datos ∆, anterior, la formula

obtenida serıa G := ∀x(x = Sevilla ∨ x = Huelva ∨ ...).I Si F ≡ ∃x¬C(x, Sevilla), entonces F es equivalente en∆ + {G} a la formula

¬C(Huelva, Sevilla) ∨ ¬C(Sevilla, Sevilla) ∨ ...


Principio de Nombres Unicos

I Consiste en no utilizar constantes distintas para denotar elmismo elemento.

I Si las constantes de L(∆) son C1, . . . , Cn, entonces equivale aanadir la formula ∧

i 6=j

Ci 6= Cj

I Una forma debil puede obtenerse aplicando CWA al predicadode igualdad:

∆ 6|= t1 = t2 =⇒ CWA(∆) |= t1 6= t2

donde t1, t2 son terminos cerrados.I En el ejemplo, como ∆ 6|= Sevilla = Huelva, entoncesCWA(∆) |= Sevilla 6= Huelva.

I Tanto para la Clausura de dominio como para Nombres unicoses posible que la teorıa obtenida sea inconsistente.


Principio de Informacion Completa

Tanto CWA, como Clausura de Dominio y el Principio deNombres Unicos son formas de expresar un principio general:

I Principio de informacion completa: Toda la informacionpositiva existente acerca de un predicado esta disponible en labase de conocimiento.

I Una forma fuerte de expresar este principio es usarsimultaneamente CWA + Clausura de Dominio.

I Si el lenguaje L(∆) solo contienen un numero finito deconstantes y ningun sımbolo de funcion, CWA + Clausura deDominio reduce la base de conocimiento a una baseproposicional.


Refinamientos

I Refinamiento del resultado de consistencia:

Si cada clausula de ∆ tiene a lo sumo un literal positivo(clausulas de Horn) y ∆ es consistente, entonces CWA(∆)tambien lo es.

I Consecuencia: La base de datos de Andalucıa tiene unaextension CWA consistente.

I Estrategia: Representar el conocimiento con clausulas de Hornpara tener garantizada la consistencia.


Ejemplo

I Sea ∆ la base formada por las siguientes formulas:{∃xPadre(x, Ana)∀x∀y(Padre(x, y)↔∃zMadre(z, y))

Con esta representacion no podemos asegurar la consistenciade CWA(∆).

I La forma clausal de ∆, ∆C esPadre(C, Ana)¬Padre(x, y) ∨ Madre(f2(x, y), y)Padre(x, y) ∨ ¬Madre(f2(x, y), y)

son clausulas de Horn. Luego CWA(∆C ) es consistente.

I La condicion no es necesaria; existen bases formadas porclausulas que no son de Horn y que tienen CWA extensionesconsistentes.


Refinamientos (II)

Podemos evitar el problema de la consistencia modificando ladefinicion de CWA.

I Hipotesis del Mundo Cerrado Generalizada (GCWA):Dada una base de conocimiento ∆, y un atomo cerrado, A,por definicion ¬A ∈ ∆g si para cualesquiera atomos cerradosB1, . . . ,Bm, se verifica que

∆ |= A ∨ B1 ∨ · · · ∨ Bm =⇒ ∆ |= B1 ∨ · · · ∨ Bm.

Se define,

GCWA(∆) = {F : ∆ + ∆g |= F}.

I Si ∆ es consistente, entonces GCWA(∆) es consistente.I GCWA(∆) |= F =⇒ CWA(∆) |= F .I Si CWA(∆) es consistente, entonces

CWA(∆) |= F ⇐⇒ GCWA(∆) |= F .


Refinamientos (III)

I Localizar CWA en uno o varios predicados.I Justificacion: En algunas situaciones CWA es una hipotesis

exagerada, solo es aceptable para algun predicado concreto.I Si la base ∆ contiene informacion muy completa sobre un

predicado, P, es razonable aplicar CWA respecto de P. Pero sila informacion contenida en ∆ acerca de P es escasa (o pocorelevante) no es razonable aplicar CWA a P.

I Definicion: Dado P un sımbolo de predicado, CWAP(∆) sedefine de manera analoga a CWA(∆) pero ∆a solo contieneliterales negativos en el lenguaje P.

I Se pierde la garantıa de completitud con respecto a cualquieratomo cerrado del lenguaje original.


Ejemplo

I Consideremos la base de conocimiento

∆ :=

∀x(Padre(x, Pedro)→Hermano(x, Pablo))Padre(Antonio, Pablo)Madre(Paula, Pablo) ∨ Hermano(Paula, Pablo)

I Se verifica que

CWAHermano(∆) |= ¬Hermano(Paula, Pablo)

pues ∆ 6|= Hermano(Paula, Pablo). Luego

CWAHermano(∆) |= Madre(Paula, Pablo)


Ejemplo (II)

I Notese que CWA(∆) es inconsistente, pues

¬Madre(Paula, Pablo),¬Hermano(Paula, Pablo) ∈ CWA(∆)

I Ejercicio: Analizar la consistencia de CWAPadre(∆) y deCWAMadre(∆).

I Que CWAP(∆) sea consistente para todo predicado P noimplica que CWA(∆) lo sea.

I Ejemplo:

∆ = {Padre(Pablo, Pedro) ∨ Hermano(Pedro, Pablo)}


Completacion bajo CWA

I Sea ∆ un conjunto de creencias, y P un predicado de ∆.

¿Como expresar el hecho de que los unicos elementos quesatisfacen P son los que se concluyen logicamente de ∆?

I Una primera aproximacion serıa utilizar CWA, pero estemetodo no ofrece una formula logica, sino un conjunto(posiblemente infinito).


Ejemplo

I Ejemplo: Supongamos que ∆ = {P(A)}, y sea C otraconstante.

I ∆ 6|= P(C).

I En este caso CWA + Clausura de Dominio nos permiteobtener la base

∆′ = {P(A),∀x(x = A ∨ x = C),¬P(C)}

I La formula obtenida serıa

P(A) ∧ ∀x(x = A ∨ x = C) ∧ ¬P(C)

I Con sımbolos de funcion, la base obtenida no se reduce a unaformula.

I Ejemplo ∆ = {P(F(A))}.


Completacion de predicados. Ejemplo

I Siguiendo con ∆ = {P(A)}, la formula es equivalente a laexpresion

∀x(x = A→P(x))

I La formula que expresa que A es el unico elemento es

∀x(P(x)→x = A)

Se denomina la formula de completacion de P en ∆.I En este caso, se define la completacion de P en ∆ como

COMP(∆; P) = ∆ ∪ {∀x(P(x)→x = A)} ≡ {∀x(P(x)↔x = A)}.

I La formula anterior se denomina completacion de ∆.I Si ∆ = {P(A), P(B)}, entonces COMP(∆; P) debe ser

∀x(P(x)↔x = A ∨ x = B).


Aislando el predicado a completar

I Solo estudiaremos un caso especial en el que ∆ es unconjunto de clausulas.

I Una base ∆ aısla a P si para cada clausula C ∈ ∆ que poseeuna estancia positiva de P, dicha estancia es la unica estanciade P en C .

I Si C aısla a P, se puede escribir de la forma:

∀~y(L1 ∧ · · · ∧ Ln→P(~t))

donde ~t = t1, . . . tn son terminos.


Aislando el predicado

I Reescribiendo la formula anterior

∀~y∀~x(~x = ~t ∧ L1 ∧ · · · ∧ Ln→P(~x))

donde ~x son nuevas variables.

I Es equivalente a

∀~x(∃~y(~x = ~t ∧ L1 ∧ · · · ∧ Ln)→P(~x))

donde E ≡ ∃~y(~x = ~t ∧ L1 ∧ · · · ∧ Ln) es una formulaexistencial.

I La formula∀~x(E→P(~x))

Es la llamada forma completable.


Definicion de COMP(∆; P)

I Supongamos que ∆ aısla a P, y sean

∀~x(E1→P(~x))

...

∀~x(En→P(~x))

las formas completables (cerradas) de las clausulas dondeocurre P.

I Son equivalentes a ∀~x(E1 ∨ · · · ∨ En→P(~x)).I Su completacion es

COMP(∆; P) = ∆ ∪ {∀~x(P(~x)↔E1 ∨ · · · ∨ En)}.

I Si ∆ es consistente y aısla a P, entonces COMP(∆,P) esconsistente.

I Si se anade una nueva clausula, la completacion es distinta.


Ejemplo

I Sea

∆ :=

Avestruz(x)→Pajaro(x)Pajaro(Curro)¬Avestruz(Pedro)

I ∆ aısla a Pajaro.

I Las formas completables son:

∀x(Avestruz(x)→Pajaro(x))∀x(x = Curro→Pajaro(x))

luego

I La completacion con respecto a Pajaro, COMP(∆; Pajaro), es

∆ ∪ {∀x(Pajaro(x)↔x = Curro ∨ Avestruz(x))}


Razonando bajo completacion

I En este caso, si anadimos el axioma de nombres unicos, lacompletacion expresa:

I Los unicos pajaros son las avestruces o Curro.I Pedro 6= Curro.

I En este caso, tambien se concluye que Pedro no es un pajaro;

COMP(∆; Pajaro) |= ¬Pajaro(Pedro)


Completacion circular

I Si ∆ no aısla a P, se obtienen definiciones circulares, que enalgunos casos proporcionan resultados utiles:

I Consideremos la siguiente base, que no aısla a Fact:

x = 0→Fact(x , 1)x 6= 0 ∧ Fact(Menos(x , 1), y)→Fact(x ,Producto(x , y))

I Su forma completable es:

x = 0 ∧ z = 1→Fact(x , z)∃y [x 6= 0 ∧ z = Producto(x , y) ∧ Fact(Menos(x , 1), y)]→Fact(x , z)

I La completacion es

Fact(x , z)→(x = 0 ∧ z = 1) ∨ ∃y{

x 6= 0 ∧ z = Producto(x , y)∧Fact(Menos(x , 1), y))

Que es la definicion recursiva (circular) del factorial.


Casos especiales

I Si en la base ∆ esta la formula ∀xP(x) la completacion esinnecesaria. La forma completable es:

∀x(>→P(x))

(donde > es la formula x = x), luego su completacion es

∀x(>↔P(x))

que es equivalente a ∀xP(x).I Si en la base ∆ no aparece ninguna estancia positiva de P,

entonces podemos tomar la clausula

∀x(⊥→P(x))

(donde ⊥ es la formula x 6= x). Esta clausula aısla a P y sucompletacion es

∀x(⊥↔P(x))

que es equivalente a ∀x¬P(x).


Diferencias entre CWA y COMP

I CWA 6≡ COMP.I Si L = {A,B} y ∆ = {P(A)}, entonces CWA(∆) se obtiene

anadiendo ¬P(B).I La completacion de ∆ se obtiene anadiendo

∀x(P(x)→x = A)

I Las dos formulas no son equivalentes: tomar M conM |= A = B; M |= COMP(∆) pero M 6|= CWA(∆).

I CWA+ Clausura de Dominio:

∆ + {¬P(B),∀x(x = A ∨ x = B)} |= ∀x(P(x)→x = A)

I Completacion + Unicidad de Nombres:

∆ + {∀x(P(x)→x = A),B 6= A} |= ¬P(B)

(es decir, se concluye CWA(∆)).


No monotonıa de la completacion

I Si anadimos una nueva clausula aislando a P, entonces sedescartan modelos.

I Algunos hechos validos segun la base original dejan de serlo.

I Ejemplo

∆ :=

Avestruz(x)→Pajaro(x)Pajaro(Curro)¬Avestruz(Pedro)

I La completacion con respecto a Pajaro, COMP(∆; Pajaro), es

∆ ∪ {∀x(Pajaro(x)↔x = Curro ∨ Avestruz(x))}

I COMP(∆; Pajaro) + {Curro 6= Pedro} |= ¬Pajaro(Pedro).


No monotonıa de la completacion (II)

I Si ∆′ = ∆ + {C}, donde C es la clausula

Gallina(x)→Pajaro(x).

I La completacion de ∆′ es ∆ mas

∀x(Pajaro(x)↔x = Curro ∨ Avestruz(x) ∨ Gallina(x)).

I Pero

COMP(∆; Pajaro) + {Curro 6= Pedro} 6|= ¬Pajaro(Pedro)

(existen modelos M con M |= Gallina(Pedro)).


Completacion en paralelo

I Definicion de COMP(∆; P1, . . .Pn).I Supongamos que se pueden ordenar los Pi de tal manera que

si la forma completable de Pi es

∀x(Ei→Pi (x))

entonces, en Ei no aparecen Pi ,Pi+1, . . .Pn, ni las negacionesde P1, . . .Pi−1 (decimos que la base ∆ es ordenable).

I En tal caso, si las formas completables son

∀x(E1→P1(x))...

∀x(En→Pn(x))

La completacion es

∆ + {∀x(P1(x)→E1), · · · ,∀x(Pn(x)→En)}I Si ∆ es ordenable para {P1, . . . ,Pn}, entonces

COMP(∆; P1, . . .Pn) es consistente.I La completacion en paralelo no coincide, en general, con la

composicion secuencial de completaciones.


Completacion circular (II)

I Ejemplo de completacion circular en paralelo: Sea

∆ :=

Arco(A,B)Arco(C ,A)Conectado(x , y)← Arco(x , z),Conectado(z , y)Conectado(x , y)← Arco(x , y)

I ∆ 6|= ¬Conectado(B,C ) (sea M tal que M |= Arco(B,C )).

I La base ∆ no es ordenable. No obstante, si consideramos elorden {Arco,Conectado} para la completacion, entoncesCOMP(∆; Arco,Conectado) contiene a

∀x∀y(Arco(x , y)↔(x = A ∧ x = B) ∨ (x = C ∧ x = A))

∀x∀y(Conectado(x , y)↔Arco(x , y)∨∃z(Arco(x , z)∧Conectado(z , y)))

I COMP(∆; Arco,Conectado) |= ¬Conectado(B,C ).


Razonamiento por defecto

I Ejemplo: Es usual utilizar sentencias del tipo:

Todos los pajaros saben volar

Aunque, deberıamos anadir “normalmente”.

I Para precisar la regla, es necesario hacer un conjunto infinitode precisiones (cualificaciones). Este problema invalidaformalmente cualquier tipo de razonamiento monotono.

I Solucion: Anadir excepciones a las reglas cuando aparecenanomalıas:

Un pajaro x sabe volar salvo que sea anormal (una excepcion)

I Aplicable al analisis de sistemas jerarquicos (las propiedadesse heredan de las superclases, salvo que expresamente sedeclare lo contrario).

I Por ejemplo, el retıculo de conceptos.


Ejemplo

I Consideremos una base de conocimiento ∆ = ∆H ∪∆P , en laque existen predicados taxonomicos (contenidos en ∆H) ypredicados que se refieren a propiedades (en ∆P).

I Pajaro,Avestruz , . . . son taxonomicos, y Vuela una propiedadde los objetos.

I La base ∆P esta formada por las formulas en las que aparecelos predicados no taxonomicos, y ∆H el resto.

I Sea ∆H :=

Cosa(Piolin)Pajaro(x)→Cosa(x)Avestruz(x)→Pajaro(x)Avestruz–voladora(x)→Avestruz(x)


Propiedades de la jerarquıa

La jerarquıa representada por ∆H es:

PAJARO PIOLIN

AVESTRUZ

COSA

AVESTRUZ VOLADORA


Propiedades de la jerarquıa

I ∆P :

(a) Ninguna cosa, salvo los pajaros pueden volar

Cosa(x) ∧ ¬Pajaro(x)→¬Vuela(x)

(b) Los pajaros, salvo las avestruces, pueden volar

Pajaro(x) ∧ ¬Avestruz(x)→Vuela(x)

(c) Ningun avestruz, salvo las avestruces voladoras, vuela

Avestruz(x) ∧ ¬Avestruz–voladora(x)→¬Vuela(x)

Avestruz–voladora(x)→Vuela(x)


Razonamiento con la jerarquıa

I Opcion: Utilizar (b) como regla general (nuestro sentidocomun nos dice que no es valida).

I Idealmente, es posible listar todas las excepciones, pero en lapractica no es realizable.

I Cualquier revision de un principio general puede provocar unarevision de toda la base.

I Problemas:I ¿Como evitar esa revision contınua?I ¿Como cancelar la herencia de propiedades en la jerarquıa?


Solucion

I Entender, p.e. (b) como

Tıpicamente, los pajaros no avestruces vuelan salvo casosanormales.

I Anormal(x) es un nuevo predicado para la regla.

I Nueva formula:Pajaro(x) ∧ ¬Avestruz(x) ∧ ¬Anormal(x)→Vuela(x).

I Cada vez que encontremos una anormalidad a la regla, p.e.Pinguino, basta anadir a la base

Pinguino(x)→Anormal(x)

I De esta forma podemos cancelar la herencia de ciertaspropiedades en la jerarquıa, para evitar razonamientos como:

Las cosas no vuelan. Todo pajaro es una cosa. Luego lospajaros no vuelan.


Transformando la jerarquıa (I)

I Las cosas, salvo excepciones, no vuelan se expresa

Cosa(x) ∧ ¬Anormal1(x)→¬Vuela(x)

I Cada excepcion encontrada es un hecho anadido a la base:

Anormal1(BOEING − 747), . . .

I Ası, para cancelar la herencia entre cosa y pajaro anadimos

Pajaro(x)→Anormal1(x)

I Si se transforman todas las formulas de ∆, la revision de labase consiste en anadir excepciones, como p.e.

Avion(x)→Anormal1(x)

I El proceso se puede repetir en todos los niveles.


Transformando la jerarquıa (II)

I Las restantes herencias quedan como sigue:

Pajaro(x) ∧ ¬Anormal2(x)→Vuela(x)

Avestruz(x)→Anormal2(x)

Avestruz(x) ∧ ¬Anormal3(x)→¬Vuela(x)

Avestruz–voladora(x)→Anormal3(x).

I La base de conocimiento de la jerarquıa ∆H esAvestruz–voladora(x)→Avestruz(x)Avestruz–voladora(x)→Anormal3(x)Avestruz(x)→Pajaro(x)Avestruz(x)→Anormal2(x)Pajaro(x)→Cosa(x)Pajaro(x)→Anormal1(x)Cosa(Piolin).


La jerarquıa revisada

La jerarquıa obtenida es:

PIOLIN

ANORMAL_1 COSA

ANORMAL_2PAJARO

AVESTRUZ ANORMAL_3

AVESTRUZ_VOLADORA


Completando la jerarquıa

Completamos ∆H en paralelo utilizando los predicados:

{Anormal1,Anormal2,Anormal3,Avestruz–voladora,Avestruz ,Pajaro,Cosa}

I ∆H es ordenable para este conjunto de predicados.

I La completacion es:

Cosa(x)→Pajaro(x) ∨ x = Piolin

Pajaro(x)→Avestruz(x)

Avestruz(x)→Avestruz–voladora(x)

¬Avestruz–voladora(x)

Anormal1(x)→Pajaro(x)

Anormal2(x)→Avestruz(x)

Anormal3(x)→Avestruz–voladora(x)


La revision de ∆P

I ∆P se revisa como:

Cosa(x) ∧ ¬Anormal1(x)→¬Vuela(x)

Pajaro(x) ∧ ¬Anormal2(x)→Vuela(x)

Avestruz(x) ∧ ¬Anormal3(x)→¬Vuela(x)

Avestruz–voladora(x)→Vuela(x)

I Se deduce, utilizando COMP(∆H) + ∆P :

¬Avestruz–voladora(Piolin)

¬Avestruz(Piolin)

¬Pajaro(Piolin)

¬Anormal1(Piolin)


Anadiendo nuevo conocimiento

I Si anadimos a la base Pajaro(Piolin), la formula

Pajaro(x)→Avestruz(x)

cambia a

Pajaro(x)→Avestruz(x) ∨ x = Piolin

I En ese caso, se deduce

¬Anormal2(Piolin)

(pero no se deduce ¬Anormal1(Piolin)). Por tanto se deducede ∆p que

Vuela(Piolin)

I La revision puede ser contınua.


Completacion delimitada

I Notese que hacemos completacion sobre ∆H solamente, nohemos completado ∆P .

I Se le denomina completacion delimitada.

I Es mas natural cerrar la jerarquıa taxonomica.

I El resultado es distinto de la completacion de toda la base yes posible obtener obtener inconsistencias.

I Ejercicio: Calcular la completacion en paralelo que se habrıaobtenido utilizando toda la base ∆.


Logica para el razonamiento por defecto

I Logica de defecto = Logica clasica + Reglas de defecto.

I Reglas de defecto:

(R)A : B1, . . . ,Bn

C

siendo A,B1, . . . ,Bn y C formulas de un LPO.

A = pre(R) se denomina prerrequisito.{B1, . . . ,Bn} = just(R) se denominan justificaciones.C = conc(R) se denomina conclusion.

I Una regla de defecto R se denomina normal sijust(R) = {conc(R)}.

I Interpretacion intuitiva:“Si A es demostrable y para cada j = 1, . . . , n, no escontradictorio suponer Bj , entonces concluimos C”.


Teorıas

I Sea L un LPO. Una teorıa de defecto de lenguaje L es un parT = (W ,D) donde:

1. W es un conjunto de formulas cerradas de L.2. D es un conjunto de reglas de defecto.

I Para cada regla de defecto, R, debe garantizarse laconsistencia de just(R) antes y despues de aplicar la regla.Esto se expresa formalmente mediante la nocion deExtension.


Extensiones (I)

I Sean ∆1 y ∆2 conjuntos de formulas de L y R una regla dedefecto. Decimos que (∆1,∆2) dispara la regla R, si

1. ∆1 |= pre(R) y2. Para cada B ∈ just(R), ∆2 ∪ {B} es consistente.

I Dada una teorıa de defecto T = (W ,D) decimos que E esuna extension de T si

E = E0 ∪ E1 ∪ E2 ∪ · · ·

siendo, E0 = W y para cada j ,

Ej+1 = Ej ∪ {conc(R) : R ∈ D, (Ej ,E ) dispara la regla R}.

I Una teorıa de defecto T puede tener 0, 1 o mas extensiones.


Extensiones (II)

I Sea T = (W ,D) una teorıa de defecto. A cada conjunto deformulas, E , le asociamos un conjunto de reglas monotonas:

DE = { pre(R)

conc(R): R ∈ D y para toda ψ ∈ just(R), ¬ψ /∈ E}

I Dada una formula ϕ decimos que ϕ ∈ CnDE(W ) si existe una

sucesion finita de formulas ϕ1, . . . , ϕn tal que ϕn = ϕ y paratodo i = 1, . . . , n,

1. W ∪ {ϕ1, . . . , ϕi−1} |= ϕ, o2. ϕi se deduce de W ∪ {ϕ1, . . . , ϕi−1} aplicando una regla

de DE .

I Proposicion. E es una extension de T = (W ,D) si y solo si

E = CnDE(W )


Extensiones (III)

I Sea T = (W ,D) siendoI W = {Q(a),S(a)}

I D : (R1)Q(x) : P(x)

P(x)(R2)

S(x) : ¬P(x)

¬P(x)

I E1 = T (W ∪ {P(a)}) y E2 = T (W ∪ {¬P(a)}) sonextensiones de T .

I T (W ) no es una extension de T .

I En general, si T = (W ,D) es una teorıa de defecto y D solocontiene reglas normales, entonces

1. T tiene al menos una extension.2. Para cualesquiera dos extensiones E1 y E2 de T , E1 ∪ E2

es inconsistente.


Ejemplos

D W ExtensionesP(x) : V (x)

V (x)P(Piolin) T (W ∪ {V (Piolin)})

P(Piolin)P(x) : V (x)

V (x)A(Piolin) T (W )

∀x (A(x)→¬V (x))P(x) : V (x)

V (x)P(Piolin) T (W ∪ {V (Piolin)})

A(x) : ¬V (x)

¬V (x)A(Piolin) T (W ∪ {¬V (Piolin)})

P(x) : V (x) ∧ ¬A(x)

V (x)P(Piolin) T (W ∪ {¬V (Piolin)})

A(x) : ¬V (x)

¬V (x)A(Piolin)

(V (x) ≡ Vuela(x), P(x) ≡ Pajaro(x), A(x) ≡ Avestruz(x)).


Inferencia en Logica de Defecto

I Dada una teorıa de defecto T y una formula F decimos que:I F es consecuencia credula de T si existe una extension E de T

tal que F ∈ E .I F es consecuencia esceptica de T si para toda extension E deT tal que F ∈ E .

I Utilizando consecuencia credula podemos dar un tratamientoa las teorıas de anormalidad utilizadas para el razonamientopor defecto en taxonomıas.


Ejemplo

Recordemos la taxonomıa anterior:

I La jerarquıa revisada, ∆H , es:

Avestruz–voladora(x)→Avestruz(x)

Avestruz–voladora(x)→Anormal3(x)

Avestruz(x)→Pajaro(x)

Avestruz(x)→Anormal2(x)

Pajaro(x)→Cosa(x)

Pajaro(x)→Anormal1(x)

Cosa(Piolin)


Ejemplo (II)

Ahora ∆P se expresa mediante un conjunto D, de reglas dedefecto y una formula:

Cosa(x) ∧ ¬Anormal1(x) : ¬Vuela(x)

¬Vuela(x)

Cosa(x) : ¬Anormal1(x)

¬Anormal1(x)

Pajaro(x) ∧ ¬Anormal2(x) : Vuela(x)

Vuela(x)

Pajaro(x) : ¬Anormal2(x)

¬Anormal2(x)

Avestruz(x) ∧ ¬Anormal3(x) : ¬Vuela(x)

¬Vuela(x)

Avestruz(x) : ¬Anormal3(x)

¬Anormal3(x)

∀x (Avestruz–voladora(x)→Vuela(x))


Razonamiento por defecto

I Utilizando la teorıa de defectoT = (∆H ∪ {∀x (Avestruz–voladora(x)→Vuela(x))},D)obtenemos como consecuencias credulas:

¬Anormal1(Piolin)

¬Vuela(Piolin)

¬Avestruz–voladora(Piolin)

I Sin embargo, no podemos deducir que ¬Pajaro(Piolin).(Recordemos que utilizando completacion paralela SIpodıamos deducirlo).


Anadiendo nuevo conocimiento

I Si anadimos a la base ∆H la formula Pajaro(Piolin), se deduce

¬Anormal2(Piolin)

(pero no se deduce ¬Anormal1(Piolin) (Ejercicio))Por tanto, ahora se deduce

Vuela(Piolin).

I Este ejemplo muestra que la Logica de Defecto no esmonotona.

I Ejercicio: Estudiar que ocurre si anadimos Avestruz(Piolin).


Conclusiones

I El razonamiento no monotono es muy util para manejarconocimiento incompleto. En particular, para

I Formalizar razonamientos de sentido comun.I Organizar la revision de creencias. Gestionar conocimiento

actualizable.

I Ventajas:

1. Proporciona una representacion del conocimiento concisa.2. Facilita la revision de la base de conocimiento.

I Desventajas:

1. No existen algoritmos generales para la inferencia enLogica de Defecto de primer orden.

2. Es necesario restringir la expresividad del lenguaje paraobtener algoritmos eficientes.

3. La inferencia en Logica de Defecto tiene un alto costecomputacional, superior en general al de la Logica Clasica(incluso en el caso proposicional).


Bibliografıa

I Bibliografıa: Genesereth y Nilsson, Capıtulo 6.

I Jurgen Dix, Ulrich Furbach, Ilkka Niemela: NonmonotonicReasoning: Towards Efficient Calculi and Implementations. EnHandbook of Automatic Reasoning, Capıtulo 19, paginas1241–1354.

I Ilkka Niemela: Automating Default Reasoning.http://www.tcs.hut.fi/ ini/esslli99/niemela2.ps


Tema 5: Razonamiento no monótono - cs.us.es · Limitaciones del razonamiento basado en la l´ogica...

Documents

Transcript of Tema 5: Razonamiento no monótono - cs.us.es · Limitaciones del razonamiento basado en la l´ogica...