Tema

Tema 6Lmites y Continuidad

1. Introduccin

El concepto de lmite es el fundamento del clculo. En el siglo XIX, eminentes matemticos, Augustin-Louis Cauchy y Karl Weiertrass entre otros trataron de precisar el concepto de lmite. Se incluye en este captulo tambin el estudio del concepto de continuidad de una funcin que est basado en el concepto de lmite.

Se incide en la aplicacin de los lmite para la representacin de funciones, sobre todo las racionales en el clculo de las Asntotas, horizontales, verticales y oblicuas.

2. Qu es un lmite?

Para una funcin matemtica y = f (x), en un punto x = a, la expresin lmite de f (x) cuando x es tan prximo a a como queramos (x a), es el valor al que se aproxima la funcin cuando el valor de x se acerca a a tanto como se quiera, simblicamente lo escribimos de la forma :

As decimos que pues cuando Hay una definicin formal de lmite pero por su dificultad se puede prescindir de ella y trabajar de una forma intuitiva.

Definicin

2.1. Clculo de lmite usando tablas

A continuacin usaremos una tcnica simple e intuitiva de calcular el lmite diseando una tabla de valores para la funcin.Vamos a verlo. Se la funcin y nos aproximamos a 4 por la izquierda ( ) entonces

Si nos aproximamos a 4 por la derecha ( ) entonces

Por lo tanto cuando Luego la funcin es convergente en x=4 es decir existe el lmite en x=4 y vale 8

2.1. Clculo de lmite usando tablas

Veamos ahora el comportamiento de la funcin g(x) = x E [x], o funcin que nos da la parte decimal de x, cuando x tiende a 1 por la izquierda y por la derecha.La tabla siguiente nos muestra la tendencia por la izquierda:

Si nos aproximamos por la derecha :

Luego:

2.1. Lmites laterales

Definicin

Una funcin f(x) tiene por lmite L cuando x tiende a x0 por la izquierda si al dar valores a x prximos a x0 y menores que x0 los correspondientes valores que toma la funcin f (x) se aproximan a LSimblicamente:

Una funcin f (x) tiene por lmite L cuando x tiende a x0 por la derecha si al dar valores a x prximos a x0 y mayores que x0 , los correspondientes valores que toma la funcin f (x) se aproximan a L.Simblicamente:

2.2.Lmite de una funcin

Definicin

Una funcin f(x) tiene por lmite L en x0 , Si existe el lmite por la izquierda y por la derecha y adems coinciden y valen L.Simblicamente:

Nota: Observar que en el ejemplo, la funcin no est definida en x =0 y an as f(x) parece aproximarse a un lmite a medida que x se aproxima a 0. Esto ocurre con frecuencia, y es importante percatarse de que la existencia o inexistencia de f(x) en x0 no guarda relacin con la existencia del lmite de f(x) cuando x se aproxima a x0.

Definicin

Una funcin f(x) es convergente en un punto x0 si tiene lmite en dicho punto.

2.2.Lmites Infinitos

Una funcin f(x) es Divergente en un punto x0 si al acercarnos a dicho punto la funcin crece o decrece indefinidamente, sin lmite.

Definicin

Observar que el signo de igualdad en la expresin lm f(x)= no significa que el lmite exista. Por el contrario, indica la razn de su no existencia al denotar el comportamiento no acotado o no limitado de f(x) cuando x se aproxima a x0.

2.3 Asntotas verticales

Una funcin presenta una asntota vertical en un punto x0, si la funcin es divergente en ese punto. Es decir:

Definicin

3. OPERACIONES CON LMITES

Si b y c son nmeros reales y n un entero positivo, f(x) y g(x) son funciones con los lmites siguientes:

4.1 CLCULO DE LMITES EN UN PUNTO

Para calcular el lmite de una funcin, cuando x tiende a x0, basta con sustituir x0 en la funcin y si nos da un nmero ya tenemos resuelto el lmite.Si obtenemos una indeterminacin tendremos que resolverla.Las expresiones indeterminadas son:

4.2 CLCULO DE LMITES EN INFINITO

Hablamos de Lmite en infinito cuando vemos que le pasa a la funcin para valores muy grandes de la variable independiente. Si la funcin crece indefinidamente el lmite ser infinito. Si los valores de la funcin se acercan a un valor finito, este ser el lmite.Ejemplos

4.3 OPERACIONES CON EXPRESIONES INFINITAS

5. RESOLUCIN DE INDETERMINACIONES

Aparece al calcular lmites de cociente entre polinomios o de funciones irracionales.En el primer caso se factorizan los polinomios y se simplifica.En el segundo, se racionaliza y despus se simplifica.Ejemplos

1. Indeterminacin

5. RESOLUCIN DE INDETERMINACIONES

Aparece al calcular lmites de cociente entre funciones. Ejemplos

Cuando las funciones son polinmicas, Para resolverlo solo hay que comprar los grados.Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador el lmite es infinito.

Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador el lmite es 0

Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador el lmite es el cociente entre los coeficiente de mayor grado.

2. Indeterminacin

5. RESOLUCIN DE INDETERMINACIONES

Aparece al calcular lmites de cociente entre polinomios.Para resolverla calculamos limites laterales.Ejemplos

3. Indeterminacin

5. RESOLUCIN DE INDETERMINACIONES

Este tipo de se transforma operando en una indeterminacin Ejemplos

4. Indeterminacin

5. Indeterminacin

Este tipo de se transforma operando en una indeterminacin

Ejemplos

5. RESOLUCIN DE INDETERMINACIONES

Para resolver esta indeterminacin aplicamos la propiedad:

Ejemplos

6. Indeterminacin

6. Asntotas

Una Asntota es una recta hacia la cual se dirige la grfica de la funcin sin llegar a tocarla.Una funcin puede poseer tres tipos de asntotas:Asntota vertical. Recta paralela al eje OY a la cual se acerca la funcin sin tocarla. Tiene la forma x=x0 donde x0 son los puntos que no pertenecen al dominio y se cumple que

Asntota Horizontal. Recta paralela a eje OX de la forma y=L donde

Asntotas oblicuas. Son recta de la forma y=mx+n donde

Definicin

7. Continuidad

Una funcin es continua en un punto, de abscisa x0, si y solo si se cumples las tres condiciones siguientes:Existe el limite en x0

La funcin est definida en x0

Los dos valores anteriores coinciden

Una funcin es continua en un intervalo (a, b) , si lo es en todos y cada uno de sus puntos

Definicin

7.1 Continuidad. Propiedades

Las funciones elementales ( Polinmicas, Exponenciales, Logartmicas, Circulares y sus inversas ) son continua en sus dominios de definicin.

Si f(x) y g(x) son funciones continuas en x0 entonces:

f(x) + g(x) es continua en x0

f(x) - g(x) es continua en x0

f(x) g(x) es continua en x0

t f(x) +g(x) es continua en x0 t

f(x) / g(x) es continua en x0 , siempre que g(x0) 0

7.2 Discontinuidades. Clasificacin

Una funcin es discontinua en un punto si no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.Las discontinuidades evitables son aquellas en las que no se cumple que:

Si no se cumple porque son dos valores distinto tendremos una discontinuidad evitable por punto desplazado.

Si no se cumple porque no existe f(x0), tendremos una discontinuidad evitable por falta de punto.

Las discontinuidades No evitables son aquellas en las que no existe linite en xo

Si no existe el limite por ser los limites laterales distinto tendremos una discontinuidad de salto finito

Si no existe el limite por ser infinito alguno de los limites laterales, tendremos una discontinuidad de salto infinito

7.2 Discontinuidades. Clasificacin

Ejemplos

Discontinuidad de salto finito

Discontinuidad de salto infinito

Discontinuidad evitable de punto desplazado

Discontinuidad evitable por falta de punto