Tema 6 Cinematica Modelo Diferencial

Robotica Industrial- Modelado cinemtico 1

Modelo diferencial

Establece la relacin entre las velocidades de las articulaciones, con las velocidades del extremo del robot.

Es utilizado por el sistema de control del robot para establecer qu velocidades debe imprimir a cada articulacin (a travs de sus respectivos actuadores) para conseguir que el extremo desarrolle una trayectoria temporal concreta. El modelo diferencial queda concretado en la denominada matriz Jacobiana.


Observacin previa En general la matriz Jacobiana es la matriz de derivadas

parciales de un sistema de ecuaciones de varias variables

En robtica se tomarn las ecuaciones que definen el modelo cinemtico (Relacin entre (q1,q2,,qn) y ( x, y, z, ,,) . El modelo diferencial relacionara, mediante la matriz Jacobiana, las derivadas temporales de ambos vectores.

Pero tambin puede interesar conocer las velocidades de traslacin y rotacin del extremo (vx,vy,vz, wx,wy,wz) respecto de un sistema de coordenadas, en funcin de las velocidades articulares.

Se puede por ello hablar de diferentes tipos de Jacobianas (analtica, geomtrica). Se usar una u otra segn inters


Jacobiana analtica

Jacobiana analtica directa

? ?

Jacobiana analtica inversa

?

Velocidades de la localizacin del

extremo del robot

Velocidades articulares

Establece la relacin entre las velocidades (o incrementos) de (q1,q2,,qn) y ( x, y, z, ,,)


Obtencin de la Jacobiana analtica Diferenciacin con respecto del tiempo del modelo cinemtico directo

O expresado en forma matricial

Ja: Jacobiana Analtica


Jacobiana analtica de un robot SCARA (EWVW)


Jacobiana geomtrica

Jacobiana geomtrica directa

Jacobiana geomtrica inversa

Velocidades lineales y angulares del

extremo del robot

Velocidades articulares

Establece la relacin entre


Obtencin de la Jacobiana geomtrica

Las velocidades angulares se obtienen a partir de la matriz antisimtrica , que se obtiene a partir de la caja R de rotacin de [noap]

Las velocidades lineales se obtienen por diferenciacin (como la Jacobiana Analtica)


Obtencin numrica de la Jacobiana geomtrica

con

gdl de rotacin

gdl de traslacin


Relacin entre la Jacobiana analtica y geomtrica

Nota: Si =0 o =, resultan indeterminados los valores de y y por lo tanto no es posible obtener la matriz Q, no pudindose aplicar la relacin anterior

Siendo (,,) los ngulos de Euler ZVW Con


Jacobiana inversa

Permite obtener las velocidades articulares, a partir de las velocidades en el espacio de la tareas


Mtodos de clculo de la Jacobiana inversa Inversin simblica de la matriz jacobiana

Gran complejidad (matriz 6x6)

A partir del modelo cinemtico inverso

Evaluacin numrica de J e inversin numrica Necesidad de recmputo continuo En ocasiones J no es cuadrada Matriz pseudoinversa En ocasiones | J | = 0 Puntos singulares


Jacobiana Pseudoinversa (i) J+: Aplicable cuando J no es cuadrada Ms filas que columnas:

Grados de libertad del robot < dimensin espacio de la tarea El movimiento del robot est sometido a ciertas restricciones No existirn unas velocidades articulares que consigan las velocidades

cartesianas deseadas

Conformarse con las que minimizan el error cuadrtico (Pseudoinversa por la izquierda J+i )

Ms columnas que filas: Grados de libertad del robot > dimensin espacio de la tarea Robot redundante Existen infinitos vectores de velocidades articulares que consiguen las

velocidades cartesianas deseadas.

Utilizar la que minimiza la norma del vector de velocidades articulares (Pseudoinversa por la derecha J+d)


Jacobiana Pseudoinversa (ii)

Pseudoinversa por la izquierda. Vector de velocidades de q que minimiza el error en

Pseudoinversa por la derecha. Vector de velocidades de q de menor norma, que cumple


Configuraciones singulares Aquellas en las que | J | = 0 (Jacobiano nulo) Incremento infinitesimal coordenadas

cartesianas implica incremento infinito coordenadas articulares

Implica prdida de algn grado de libertad Tipos

Singularidades en los lmites del espacio de trabajo del robot

Singularidades en el interior del espacio de trabajo del robot

Requieren su estudio y eliminacin


Ejemplo paso por punto singular

La velocidad de q2, en las inmediaciones del punto singular (q2=) crece, siendo infinito en el mismo punto singular

Robot tipo SCARA en trayectoria en lnea recta velocidad lineal constante


Resumen modelo cinemtico Permite conocer las rdenes de mando a los

accionadores de cada articulacin para que el extremo del robot alcance una determinada localizacin espacial.

Permite saber donde est el extremo a partir de la lectura de los captadores de posicin de cada articulacin.

Permite relacionar las velocidades del extremo y de los actuadores

Los modelos son de obtencin relativamente compleja y deben ser utilizados en tiempo real durante el funcionamiento de robot

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