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Estadıstica. Grado en Relaciones Laborales y Recursos Humanos

Tema 6

Estadıstica poblacional.Fenomenos demograficos

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Tema 6. Estadıstica poblacional. Fenomenos demograficos

Variable estadıstica ”edad a la que ocurre un suceso”

Los fenomenos demograficos que inciden en una generacion son la mortalidad, nupcialidad,fecundidad, emigracion e inmigracion. Por ello estudiaremos tablas que presentan cada uno de

estos fenomenos en una determinada generacion.

Hay que destacar que en el estudio por generaciones es necesario gran cantidad de datos, ya queutilizaremos la informacion de individuos a lo largo de toda su vida. Este tipo de analisis es

denominado analisis longitudinal.

En el caso de no conocer datos por generacion, supondremos que el comportamiento de losindividuos en una generacion es similar al comportamiento de estos en el ano de nacimiento. De

esta forma estaremos creando una generacion ficticia.

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Variable estadıstica ”edad a la que ocurre un suceso”

En cualquier estudio longitudinal sobre un fenomeno podremos obtener dos medidas funda-mentales que nos indicaran el comportamiento del mismo en una generacion:

� Intensidad ↪→ Es el numero de sucesos que ocurren a cada una de las personas de unageneracion. (p.e.: la mortalidad tiene intensidad 1, es decir, es un suceso fatal y no renovable).

� Calendario ↪→ Es la distribucion de frecuencias de la variable edad a la que los individuosson alcanzados por el fenomeno en estudio. Un ındice del calendario suele ser la edad mediaa la que ocurre el suceso.

Para una mejor descripcion del fenomeno se construyen tablas de eliminacion en las que sesuponen poblaciones cerradas a otros fenomenos. En cualquiera de estas tablas apareceran comomınimo tres columnas: poblacion afectada, numero de sucesos y las probabilidades de ocurrencia.

Si consideramos intervalos de edad de amplitud 1, la tabla se denomina ”completa”; en casocontrario sera ”abreviada” (normalmente se utilizan intervalos de amplitud 5).

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Variable estadıstica ”edad a la que ocurre un suceso”.

Sea X la variable estadıstica ”edad a la que ocurre un suceso demografico” donde X ∈ [0, ω].Consideremos su distribucion (calendario):

� x ↪→ extremos inferiores de los intervalos de edad considerados de amplitud n, es decir,intervalos del tipo [x, x + n).

� e(x, x + n) ↪→ eventos observados entre la edad x y x + n o frecuencia de aparicion delfenomeno dentro de cada intervalo de edad.

A partir de la distribucion de frecuencias anterior, se puede obtener la edad media a la que ocurreun suceso:

x =

ω−n∑x=0

(x + n

2

)e(x, x + n)

ω−n∑x=0

e(x, x + n)

Por tanto, para cada componente demografica tendremos una distribucion de frecuencias y po-dremos calcular la edad media a la que ocurre el suceso asociado a dicha componente.

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Tablas de eliminacion: mortalidad

Vamos a particularizar lo anterior con el fenomeno ”mortalidad”, ya que es el mas utilizadoy de mejor comprension. La descripcion natural de la mortalidad consiste en observar un grupocerrado de individuos a los que se sigue desde su nacimiento hasta su extincion completa (0, ω).

Consideramos la variable estadıstica ”edad a la que fallecen los individuos de una cohorte” yobtenemos su distribucion:

� x ↪→ sucesion de aniversarios (0, . . . , ω − n)

� Sx ↪→ numero de supervivientes de la generacion a la edad exacta x.

� d(x, x + n) ↪→ defunciones entre la edad x y x + n

� nqx ↪→ probabilidad de fallecer antes de cumplir la edad x + n, supuesto que ha sobrevividohasta la edad x).

nqx =d(x, x + n)

Sx=

Sx − Sx+n

Sx= 1− Sx+n

Sx

� npx ↪→ probabilidad de supervivencia a la edad x + n si se ha sobrevivido a la edad x.

npx = 1−n qx =Sx+n

Sx

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Graficamente:

En la pagina siguiente, se muestra una tabla de mortalidad (completa) para la generacionfemenina francesa de 1820, en la que aparecen cuatro columnas: extremos inferiores de los inter-valos, supervivientes a cada edad exacta, numero de defunciones en cada intervalo y probabilidadde fallecer en dicho intervalo.

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Respecto a la intensidad de este fenomeno tenemos que:

I =

ω−n∑x=0

d(x, x + n)

S0= 1

y el calendario es la distribucion de frecuencias absolutas {(x, x + n), d(x, x + n)} o relativas:{(x, x + n),

d(x, x + n)

S0

}Como para cualquier variable estadıstica, es posible ofrecer una serie medidas que sinteticen la

informacion que proporciona, como la media, moda o mediana.

Si obtenemos la media de la distribucion, estamos hallando la esperanza de vida al nacimiento(e0) que ofrece el numero medio de anos que les queda por vivir a los recien nacidos. Tambien esposible hallar la esperanza de vida a las diferentes edades.

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Calculo de la esperanza de vida al nacimiento

Supongamos (por simplicidad) que la amplitud de los intervalos de edad es la unidad. Entonces:

e0 =

ω−1∑x=0

(x + 1

2

)d(x, x + 1)

ω−1∑x=0

d(x, x + 1)

=

ω−1∑x=0

(x + 1

2

)d(x, x + 1)

S0=

1

S0(0.5d(0, 1) + 1.5d(1, 2) + 2.5d(2, 3) + . . . + ((ω − 1) + 0.5)d(ω − 1, ω)) =

1

S0(0.5(S0 − S1) + 1.5(S1 − S2) + 2.5(S2 − S3) + . . . + ((ω − 1) + 0.5)(Sω−1 − Sω)) =

1

S0(0.5S0 + S1 + S2 + S3 + . . . + Sω−1)

ya que Sω = 0. Con todo ello, queda la siguiente expresion para la esperanza de vida al nacimientoen una tabla completa:

e0 = 0.5 +S1 + S2 + S3 + . . . + Sω−1

S0

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otra forma de calculo de la esperanza de vida al nacimiento

La obtencion de la esperanza de vida al nacimiento para intervalos de amplitud 1 es bastantesimple, pero ¿que ocurre si la tabla es abreviada e incluso si en la tabla se mezclan distintas ampli-tudes? ¿Y si queremos calcular la esperanza de vida a cualquier edad x?. El problema se complica.

Por este motivo, vamos a hallar una expresion de dicha esperanza aprovechando el hecho de queesta cantidad puede ser obtenida como el cociente del tiempo total vivido por todos los individuosde la generacion y el numero de individuos que la componen (bajo la hipotesis de uniformidad enla ocurrencia de las defunciones):

e0 =T0

S0

Entonces, pasemos a hallar T0. Si nos fijamos en el primer intervalo de edad (0,1) sabemos quetodos los individuos de la generacion que han cumplido un ano S1, han vivido un ano, por lo quetodos ellos habran vivido 1 ·S1 anos. Por otro lado y bajo la hipotesis de uniformidad, los que hanfallecido en dicho intervalo habran vivido por termino medio la mitad del ano, ası que en conjuntotendremos 0.5 · d(0, 1) anos.

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Si discurrimos de forma analoga en todos los intervalos, podemos obtener T0 de la siguienteforma:

T0 = S1 + 0.5d(0, 1) + S2 + 0.5d(1, 2) + S3 + 0.5d(2, 3) + . . . + Sω + 0.5d(ω − 1, ω) =

S1 + 0.5(S0 − S1) + S2 + 0.5(S1 − S2) + S3 + 0.5(S2 − S3) + . . . + Sω + 0.5(Sω−1 − Sω) =

0.5S0 + S1 + S2 + S3 + . . . + Sω−1

por lo que hemos llegado a la misma expresion de la esperanza de vida al nacimiento.

esperanza de vida a cualquier edad

Supongamos ahora que queremos hallar la esperanza de vida a los 20 anos en una tabla demortalidad generacional de amplitud 5; tendremos que e20 = T20

S20, ya que deberemos obtener el

numero medio de anos vividos por cada individuo a partir los 20 anos.

Si analizamos el primer intervalo (20,25) tendremos que todos los individuos que han sobrevividoa los 25 anos, han vivido en dicho intervalo 5 anos completos (en total, 5·S25 ); los fallecidos en esteintervalo habran vivido en media 2.5 anos (bajo hipotesis de uniformidad) y entre todos contaran2.5 · d(20, 25).

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Razonando del mismo modo en todos los intervalos nos queda:

T20 = 5S25 + 2.5d(20, 25) + 5S30 + 2.5d(25, 30) + 5S35 + 2.5d(30, 35) + . . . + 5Sω + 2.5d(ω − 5, ω) =

5S25 + 2.5(S20 − S25) + 5S30 + 2.5(S25 − S30) + 5S35 + 2.5(S30 − S35) + . . . + 5Sω + 2.5(Sω−5 − Sω) =

2.5S20 + 5S25 + 5S30 + 5S35 + . . . + 5Sω−1

por lo que dividiendo por S20 nos aparece la expresion final de la esperanza de vida a los 20 anos:

e20 = 2.5 +5 (S25 + S30 + S35 + . . . + Sω−5)

S20

por lo que si decimos por ejemplo, que la esperanza de vida a los 20 anos en una generacion es de35 anos, sabemos que un individuo de 20 anos vivira en media 35 anos mas.

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En general para una tabla de mortalidad completa, tendremos:

e0 = 0.5 +S1 + S2 + S3 + . . . + Sω−1

S0

ex = 0.5 +Sx+1 + Sx+2 + Sx+3 + . . . + Sω−1

Sx

y para una tabla de mortalidad abreviada en la que la amplitud de ”todos” los intervalos es n,queda:

e0 = n

[S0

2 + Sn + S2n + . . . + Sω−n

S0

]

ex = n

[Sx

2 + Sx+n + Sx+2n + . . . + Sω−n

Sx

]

y en el caso de que los intervalos tengan distinta amplitud, habra que desarrollar y obtener laexpresion de la esperanza de vida, con las amplitudes consideradas.

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Ejercicio: A partir de la siguiente informacion sobre mortalidad de una generacion:

x Sx

90 115091 84492 60793 42794 29595 20096 13397 8698 3599 14

100 0

1. Obtenga el numero de defunciones y el cociente de mortalidad en cada intervalo.

2. ¿Cual es la probabilidad de que un individuo con 91 anos fallezca antes de los 92?

3. ¿Cual es la probabilidad de que un individuo con 90 anos fallezca antes de los 92?

4. Calcule la esperanza de vida a los 90 anos.

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1. Si calculamos las dos series que nos solicitan queda:

2. Observando los cocientes de la tabla anterior: 0,281

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3. En este caso, la probabilidad no aparece en la tabla, pero si observamos lo que nos solicitan:

2q90 =306 + 237

1150= 0, 472

4. La esperanza de vida a los 90 anos sera, sustituyendo en la expresion:

e90 = 0.5 +S91 + S92 + . . . + S99

S90= 2, 83 anos

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Ejercicio: Supongamos que de una generacion, conocemos que S25 = 3500, S30 = 3250, S60 = 2280,S80 = 990, S100 = 0. Calcule la esperanza de vida a los 25 anos.

En esta ocasion no podemos aplicar ninguna de las expresiones de calculo vistas anteriormente,por lo que pasamos a desarrollarla:

e25 =T25

S25⇒ T25 = 5 · S30 + 2.5 · d(25, 30) + 30 · S60 + 15 · d(30, 60)+

20 · S80 + 10 · d(60, 80) + 20 · S100 + 10 · d(80, 100) =

= 5 · S30 + 2.5 · (S25 − S30) + 30 · S60 + 15 · (S30 − S60)+

+20 · S80 + 10 · (S60 − S80) + 20 · S100 + 10 · (S80 − S100) =

= 2.5 · S25 + 17.5 · S30 + 25 · S60 + 20 · S80 + 10 · S100 ⇒

e25 =2.5 · S25 + 17.5 · S30 + 25 · S60 + 20 · S80

S25= 40, 69 anos

(ya que S100 = 0)

Por tanto, una persona con 25 anos tiene una esperanza de vida de 40, 69 anos mas.

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Analisis estadıstico de la mortalidad: construccion de la tabla de mortalidad

Vamos a suponer que el comportamiento poblacional en lo que se refiere al fenomeno mortal-idad en la generacion de t (analisis longitudinal), es similar al comportamiento en el ano deobservacion t (analisis transversal):

En este segundo caso, no es posible la obtencion de los cocientes de mortalidad; solamente sepueden construir las tasas especıficas de mortalidad por edad, ya que la unica informacion quetendremos son las defunciones por edad en un periodo y la poblacion (stock) por edad en uninstante:

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Por este motivo, sera necesario estimar los cocientes de mortalidad por edad a partir de lastasas que se calculan con los datos observados en un periodo. La estimacion de estos cocientesse tratara mas adelante. Veamos entonces las columnas que va a tener la tabla de mortalidad demomento:

� x ↪→ edad exacta a inicio del intervalo (x, x + n) donde x ∈ (0, ω − n) siendo n la amplitudde los intervalos considerados.

� nPx ↪→ poblacion media del periodo observado en el intervalo (x, x + n)

� nDx ↪→ numero de defunciones observadas en el intervalo (x, x + n).

� nmx ↪→ tasa especıfica de mortalidad en el intervalo (x, x + n):

nmx =nDx

nPx

� nqx ↪→ cociente de mortalidad estimado en el intervalo (x, x + n).

� npx ↪→ probabilidad de supervivencia estimada en el intervalo (x, x+n), siendo npx = 1−n qx

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Cuando los cocientes de mortalidad han sido estimados, se procede a generar las series o colum-nas de la tabla de mortalidad asociada a la generacion ficticia, debiendo escoger una raız de lamisma que suele tomarse como potencia de 10, es decir, l0 = 10k:

� lx ↪→ numero de supervivientes a la edad exacta x, de forma que:

l0 = 10k

lx+n = lx − (lx ·n qx)

� ndx ↪→ numero de defunciones de individuos de la generacion ficticia en el intervalo de edad(x, x + n):

ndx = lx − lx+n

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� ax ↪→ coeficiente de reparto de las defunciones a la edad x (tambien llamado fraccion mediade anos vividos en el intervalo (x, x+1) ). En el caso de que supongamos que las defuncionesocurren uniformemente dentro del intervalo, este coeficiente es igual a 0.5. Normalmente suvalor solamente varıa en los primeros y ultimos intervalos de edad, ya que por ejemplo, enel intervalo (0, 1), la mayorıa de las defunciones ocurren poco despues del nacimiento por loque el tiempo medio vivido por estos ninos en dicho intervalo sera bastante bajo (ax < 0.5).Ademas, cada Instituto de Estadıstica toma sus propios ax, como resultado de sus analisisempıricos.

� nAx ↪→ coeficiente de reparto de las defunciones en el intervalo (x, x + n):

nAx = n · ax

� nLx ↪→ poblacion estacionaria de la tabla (o tiempo vivido por todos los individuos en elintervalo (x, x + n)). Esta serie representa la estructura por edad que tendrıa una poblacioncuya mortalidad fuera la de la tabla y para la que dicha mortalidad, ası como el numero denacimientos se mantuviera constante en el tiempo.

nLx = n · lx+n + n · ax ·n dx =

n · lx+n +n Ax(lx − lx+n) = (n−n Ax)lx+n +n Axlx =

(n− nax)lx+n + naxlx = n((1− ax)lx+n + axlx)

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y en el caso de que ax = 0.5 queda:

nLx = nlx+n + nndx2

= n

(lx+n +

lx − lx+n

2

)= n

(lx + lx+n

2

)� Tx ↪→ tiempo vivido por todos los individuos desde la edad x hasta el final de la vida (ω):

Tx =

ω−n∑i=x

(nLi)

� ex ↪→ esperanza de vida estimada a la edad x (tiempo medio estimado que le queda por vivira un individuo que ha alcanzado la edad x):

ex =Tx

lx

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En cualquier tabla de mortalidad real, nos vamos a encontrar con un intervalo de edad abierto(el ultimo); en este caso, se debe tener en cuenta lo siguiente:

qω = 1

dω = lω

Lω =lωmω

Tω = Lω

eω =Tω

lω=

Lω

lω=

lωmω

lω=

1

mω

En la estimacion de la esperanza de vida en el ultimo intervalo, a veces tambien cada Institutode Estadıstica fija la esperanza de vida en el intervalo abierto; es usual ver en una tabla que terminaen 100 anos como la esperanza de vida se ha fijado en 0.5.

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Existen diversos procedimientos para estimar el cociente de mortalidad a partir de la tasaobservada; todos ellos, propuestos por distintos autores son igualmente validos y proporcionanresultados bastante semejantes, por lo que usualmente se utiliza aquel cuya expresion es massencilla (metodo actuarial o lineal). Dicho metodo estima el cociente de mortalidad de lasiguiente forma:

nqx =2 · n ·n mx

2 + n ·n mx

Ejercicio: Construya la tabla de mortalidad de momento para una poblacion mediante el metodoactuarial o lineal con ax = 0.5, utilizando como raız de la misma 1000 individuos y conociendo losdatos de poblacion y defunciones en las primeras edades (T10 = 65000).

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Con la informacion dada, calculamos las tasas especıficas; a partir de ellas, estimamos el cocientede mortalidad aplicando la expresion del metodo actuarial. Hecho esto, tomamos l0 = 1000, quemultiplicamos por el cociente estimado (0, 00498753) para calcular las defunciones (redondeando,5). A continuacion restamos l0 = 1000 − 5, apareciendo el numero de supervivientes al anode edad (995), que volveremos a multiplicar por el cociente (0, 03921569) y obtendremos las 39defunciones del intervalo [1, 5). Ası sucesivamente...A continuacion, calculamos el tiempo vividoen cada intervalo nLx a traves de su expresion. El tiempo vivido a partir de la edad x no se puedecalcular, puesto que no tenemos los datos de toda la tabla; como sı sabemos que T10 = 65000,bastara ir acumulando dicha cantidad, agregando la columna de nLx. Por ultimo, la esperanza devida; en este caso, se ha obtenido una esperanza de vida al nacimiento de 74,6 anos.

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