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TEMA 6 INICIACIÓN AL CÁLCULO

DIFERENCIAL

CURSO CERO MATEMÁTICAS: 6. INICIACIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL

6.1. TASAS DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

• 6.1.1. Tasa de variación media

La tasa de variación media de una función f en un intervalo ba, es el cociente:

ab

afbfbafTVM

)()(),,( . La tasa de variación media puede ser positiva, negativa o nula.

EJEMPLOS:

1. El consumo de combustible de un vehículo a lo largo del año viene determinado por la tabla adjunta. Determina la tasa de variación media entre los meses de enero y junio y entre los meses de junio a diciembre e interpreta el resultad

Mes En Feb Mar Ab May Jun Jul Ag Sep Oct Nov Dic Consumo (litros) 105 106 107 108 102 110 135 240 108 110 115 128

2. Halla la tasa de variación media de la función 2510)( 2 xxxf en los intervalos

a) 6,3 b) 9,6 c) 9,3


6.1. TASAS DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

• 6.1.2. Tasa de variación instantánea.

Se define la tasa de variación instantánea de una función f en un punto 0x como hxxfTVMxfTVI

h

00

00 ,,(lim),( es decir:

h

xfhxfxfTVI

h

)()(lim),( 00

00

EJEMPLO

1. Sea la función lineal 13)( xxf

a) Calcula su tasa de variación media en los siguientes intervalos: 3,1 , 9,5 , h1,1 .

b) Calcula su tasa de variación instantánea en x=1, x=3, x=5 y x=c

2 Sea 103)( 2 xxxC la función de costes de una empresa, donde x indica el número de

unidades producidas en el artículo que fabrica. Calcula la tasa de variación media en los intervalos 100,0 y 150,100 e interpreta los

resultados obtenidos. Calcula la tasa de variación instantánea en x=100 e interpreta el resultado


6.1. EJERCICIOS

1. Dada la función 52)( xxf , calcula:

a) )2,2,( hfTVM b) )2,( fTVI

c) )1,1,( hfTVM d) )1,( fTVI

e) )1,1,( hfTVM f) )1,( fTVI

2. La función de costes de una empresa viene determinada por la función 123)( 2 tttc donde t indica el número de años desde la creación de la empresa.

Si la empresa se creó en el año 1985, determina: a) ¿Cuál fue el coste medio anual de la empresa durante sus dos primeros años

de vida? b) ¿Cuál ha sido el coste medio anual de la empresa desde 1995 hasta el año

2008? c) ¿Cuál ha sido el coste el año 1990?


6.2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

• 6.2.1. Definición.

La derivada de la función )(xf en un punto de abscisa 0x se escribe con el símbolo )(' 0xf y se define como:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(' 00

00

- Si el límite existe entonces diremos que la función f es derivable en el punto 0x . - La derivada de una función en un punto coincide con la tasa de variación instantánea

de la función en dicho punto. - La derivada de una función en un punto es un número real, que puede ser positivo,

negativo o cero.

Por ejemplo, dada la función 5)( 2 xxf , si deseamos calcular )1('f efectuaremos el

siguiente cálculo:

22limlimlimlimlim)1('0

2

0

6521

0

65)1(

0

)1()1(

0

222

hf

hhhh

hhhh

hh

h

hh

fhf

h


6.3. CÁLCULO DE DERIVADAS

• 6.3.1. Función derivada

Dada una función )(xf , definimos la función derivada de f o simplemente derivada de f , y la escribiremos como

)(' xf , a la función que asigna a cada abscisa x, el valor de su derivada, es decir:

)('

:'

xfx

RRf

donde

h

xfhxf

hxf

)()(

0lim)('

.

DERIVADAS DE FUNCIONES

ELEMENTALES )(xf )(' xf

k ( )Rk 0

x 1

nx 1 nxn

xe xe

xa , 0a aa x ln

xln

x

1

xalog , 0a ax ln

1

6.3.2. Reglas de derivación



• 6.3.3. Derivadas de la suma, producto y cociente

DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN. )('')( xfkxfk

DERIVADA DE LA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES. )(')('')()( xgxfxgxf

DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES. )(')()()('')()( xgxfxgxfxgxf

DERIVADA DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES.

2

'

))((

)(')()()('

)(

)(

xg

xgxfxgxf

xg

xf

EJEMPLOS:

Calcula la derivada de las siguientes

funciones:

xexxxxf 5239)( 25

)26)(23()( 22 xxxxg x

2523 34

)(

x

xxxxh



• 6.3.4. Regla de la cadena

Sea la función ))(())(( xgfxgf , la derivada de la función compuesta se obtiene mediante la regla de la cadena que indica lo siguiente:

)('))(('))'((( xgxgfxgf .

EJEMPLO:

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) )323( 23

)( xxxexf

b) 62 )733()( xxxg

c) )2354ln()( 23 xxxxh


6.3. EJERCICIOS

1 Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) 17)( xxf b) 5)( xxg c) xxh 3)(

d) )(log)( 6 xxi e) 324)( xj f) xxk 2)(

g) )log()( xxl h) 6)( xxm i) 4)( xxp

2 Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) 81234)( 23 xxxxf b) 280724)( 347 xxxxg

c)

12

54)(

3

x

xxh

d) )ln()( 6 xxxq

3 Aplica la regla de la cadena para obtener la derivada de las siguientes funciones:

a) )23ln()( 3 xxxf b) 134 2

)( xxexg

c) 52 )353()( xxxh d) 524 3

3)( xxxj

e) 23 35)( xxxk


6.4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADALa pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función )(xf por el punto de abscisa 0x viene determinada por la derivada de dicha función en ese punto: )(' 0xf . Por tanto la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función )(xf en el punto ))(,( 00 xfx viene determinada por:

))((')( 000 xxxfxfy .

EJEMPLO:

Dada la función 2

1)(

xxf :

a) Representa su gráfica. b) Calcula la derivada de la función en x=1. c) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva )(xfy en el punto de abscisa x=1 y

represéntala.

6.4. EJERCICIOS

1. Halla la ecuación de la recta tangente a la

gráfica de la función 3)( 2 xxf en el punto de

abscisa x=−1.

2. Calcula ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 14)( xxf en los puntos de abscisa x=0, x=1 y x=2.


6.5. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.

Si 0)(' 0 xf , entonces la función )(xf es estrictamente creciente en el punto de abscisa 0x . Si 0)(' 0 xf , entonces la función )(xf es estrictamente decreciente en el punto de abscisa 0x . Si 0)(' 0 xf , entonces la función )(xf tiene un punto crítico en el punto de abscisa 0x .

OBTENCIÓN INTERVALOS CREC/DECR 1.Calculamos el dominio D de la función. 2.Obtenemos los valores kxxx ,...,, 21 que anulan la derivada de la función, es decir resolvemos la ecuación 0)(' xf 3. Descomponemos el dominio D en un conjunto de intervalos determinados por aquellos valores obtenidos en el apartado anterior. 4. Estudiamos el signo de la función derivada en cada uno de los intervalos obtenidos. 5. La función será creciente en los intervalos en los que la derivada es positiva y decreciente en aquellos en los que la derivada es negativa.

EJEMPLO: xxxxf 6)( 2

274

41


6.5. EJERCICIOS.

Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

a)

2

3)(

xxf

b) 3159)( 23 xxxxg

c) xxxxi 23 3)(


6.6. MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES Si una función tiene un extremo relativo en el punto ))(,( 00 xfx y la función tiene derivada en ese punto, entonces se verifica que 0)(' 0 xf .

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA: Si una función verifica que 0)(' 0 xf entonces diremos que la función: - Tiene un máximo relativo o local en el punto de abscisa 0x si se verifica que la función es

creciente en el intervalo ),( 00 xhx , y decreciente en el intervalo ),( 00 hxx para cierto h>0. - Tiene un mínimo relativo o local en el punto de abscisa 0x si se verifica que la función es

decreciente en el intervalo ),( 00 xhx , y creciente en el intervalo ),( 00 hxx para cierto h>0.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Si una función verifica que 0)(' 0 xf , entonces diremos que la función: - Tiene un máximo relativo o local en el punto de abscisa 0x si 0)(" 0 xf - Tiene un mínimo relativo o local en el punto de abscisa 0x si 0)(" 0 xf .

EJEMPLO.

Halla los máximos y mínimos relativos de la función utilizando el criterio de la

primera derivada: 4

182)(

2

2

x

xxf


6.6. EJERCICIOS

Calcula los máximos y mínimos relativos de las funciones:

a) 23

2

3)( xxxf

b) 333

1)( 23 xxxxg

c) 2

42)(

2

x

xxxh

d) 9

4)(

2

2

x

xxi

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