1. Tema 7 Introduccin a las derivadas y sus aplicaciones. 2. 1. Tasa de variacin media e instantnea En muchas situaciones reales interesa conocer propiedades dinmicas de las funciones, es decir, propiedades relativas al cambio o variacin que experimenta una variable respecto de la otra. Esta variacin se puede evaluar a travs del cociente entre el incremento que sufre la variable dependiente y el incremento de la variable independiente. A este cociente lo llamamos tasa de variacin media de la funcin. Llamamos tasa de variacin media de una funcin entre los valores x0 y x0 + h al cociente entre el incremento que experimenta la variable dependiente y el de la variable independiente: tvm [x0 , x0+h]= [ f x ][x0 , x0+h] = f (x0+h) f (x0) h 3. 1.2 Tasa de variacin media e instantnea Si h es muy pequeo, o prximo a cero, obtenemos una informacin ms precisa sobre cmo vara la funcin en el punto de abscisa x0 . Por esta razn, cuando h tiende a cero, la tasa de variacin correspondiente se llama tasa de variacin instantnea. Llamamos tasa de variacin instantnea de una funcin en un punto de abscisa x0 al lmite, cuando h tiende a cero, de la tasa de variacin media. tvi[ x0]=lim h0 [f x ][x0 , x0 +h] =lim h0 f ( x0+h) f (x0) h 4. 2. Derivada de una funcin en un punto. La tasa de variacin instantnea de una funcin f(x) en un punto de abscisa x0 se llama derivada de la funcin f(x) en el punto de abscisa x0 . Cuando una funcin tiene derivada en un punto, se dice que es derivable en ese punto. f '(x0)=y'(x0)= df dx [x0 ]=D[f (x0)]=lim h0 f (x0+h)f (x0) h 5. 2.2. Significado geomtrico Vamos a ver el sentido geomtrico de la derivada. Para ello, consideramos una funcin f(x) y tomamos en ella dos puntos P y Q. La tasa de variacin media en el intervalo [x0 , x0 +h] es: Cuando h tiende a cero, la recta secante se convierte en la recta tangente a la curva en el punto P y la pendiente de la recta secante en la pendiente de la recta tangente. tvm [x0 , x0+h]= f ( x0+h) f (x0) h =tg lim h0 f (x0+h)f(x0) h =lim h0 tgD[f (x0)]=f '(x0)=tg La derivada de una funcin f(x) en un punto x0 coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x0 D[f (x0)]=f '(x0)=mrectatangente en x0 6. 2.3. Funcin derivada y derivadas sucesivas derivada La funcin derivada de una funcin f dada o simplemente derivada es una funcin que asocia a cada x, donde la funcin es derivable, su derivada f'( x): Si f es derivable, la funcin derivada de f es f' y es la derivada primera de f, la derivada de f' es f" y es la derivada segunda de f y as sucesivamente. f ' : x f '(x) f ' (x)=D[f (x)]=lim h0 f (x+h) f (x) h 7. 3. Derivadas de las operaciones con funciones Derivada de la suma de dos funciones La derivada de una suma de dos funciones es la suma de las derivadas de estas funciones. Ejemplo: Derivada del producto de un nmero real por una funcin La derivada del producto de un nmero real por una funcin es igual al nmero real por la derivada de la funcin. D[f(x)+g(x)]=D[f(x)]+D[g(x)] f (x)=7x3 3x; D[f (x)]=21x2 3 g(x)=3x+5; D[g(x)]=3 D[f (x)+g(x)]=D[f (x)]+D[g(x)]=21x2 3+3=21x2 D[tf (x)]=tD[f (x)];t 8. 3.2 Derivadas de las operaciones con funciones Derivada del producto de dos funciones La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera funcin por la segunda sin derivar ms la primera funcin sin derivar por la derivada de la segunda. Ejemplo: D[ f (x) g(x)]=D[ f (x)]g(x)+f ( x)D [g(x)] f (x)=x 2 2 D[f (x)]=2 x g(x)=x2 +2 D[g(x)]=2x D[f (x)g(x)]=2 x(x 2 +2)+(x 2 2)2x=8 x 3 9. 3.3 Derivadas de las operaciones con funciones Derivada del cociente de dos funciones La derivada de un cociente de funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y, todo ello, dividido por el denominador sin derivar al cuadrado. Ejemplo: f (x)=x 2 2 D[ f (x)]=2x g(x)=x 2 +2 D [g(x)]=2 x D [f (x) g(x) ]= 2x(x 2 +2) (x 2 2)2 x (x 2 +2) 2 = 8 x (x 2 +2) 2 D [f (x) g(x) ]= D[f (x)]g( x) f (x)D[g(x)] [g(x)]2 10. 3.3 Derivadas de las operaciones con funciones Derivada de una funcin compuesta. Regla de la cadena La derivada de una funcin de funcin es igual a la derivada de la funcin principal por la derivada de la funcin secundaria: Ejemplo: D[(gf )(x)]=D[ g(f )]D[f (x)] f ( x)=x2 2 D [f ( x)]=2 x g(x)=ln x D[ g(x)]= 1 x D [g[f (x)]]=D [ln [x2 2]]= 1 x 2 2 2 x= 2 x x 2 2 11. 4. Derivadas de las funciones elementales Derivada de la funcin constante La derivada de la funcin constante es cero. Demostracin: Derivada de la funcin identidad La derivada de la funcin identidad es la unidad. Demostracin: D[ K]=0 D[K]=lm h0 f (x+h) f (x) h =lm h0 K K h =lm h0 0=0 D[ x]=1 D[x]=lm h0 f (x+h)f (x) h =lm h0 x+hx h =lm h0 h h =1 12. 4.3. Derivada de la funcin potencial de exponente real La derivada de la funcin potencial simple es igual al exponente por la base elevada al exponente menos una unidad. La derivada de la funcin potencial compuesta es igual al exponente por la base elevada al exponente menos una unidad por la derivada de la base (regla de la cadena). Ejemplo x a D[ x a ]=ax a1 [ f ( x )] a D[ f a ]=af a 1 f ' f (x)=(x 2 2) 3 f ' (x)=3(x 2 2) 31 (2x 21 0)=6 x(x 2 2) 2 13. 4.4. Derivada de la funcin exponencial La derivada de la funcin exponencial simple es igual a la misma por el logaritmo neperiano de la base. La derivada de la funcin exponencial compuesta es igual a la misma por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada de la funcin exponente. Ejemplo a x D[ex ]=ex D[ax ]=ax lna a x a f (x ) D[ef ( x) ]=ef (x ) f ( x) ; D[af (x ) f ]=af (x ) ln af (x) f (x)=e3x 2 f '(x)=e 3x2 32x 21 =6xe 3x2 14. 4.5. Derivada de la funcin Logaritmica La derivada de la funcin logartmica simple loga x es igual a uno dividido por el producto de x por el logaritmo neperiano de la base. La derivada de la funcin logartmica compuesta loga f es igual a la derivada de la funcin f dividida por el producto de la funcin f por el logaritmo neperiano de la base. Ejemplo D[lnx]= 1 x ; D[logax]= 1 xlna D[ln f (x)]= f ' (x) f (x) ; D[loga f (x)]= f ' (x) f ( x)ln a f (x)=log(2x2 ) f '(x)= 1 (2x 2 )ln10 22x21 = 4x (2x 2 )ln10 = 2 xln10 15. 4.6. Derivada de las funciones Circulares Derivada de la funcin seno La derivada de la funcin simple sen x es cos x. La derivada de la funcin compuesta sen f es cos f por la derivada de la funcin f. Derivada de la funcin coseno La derivada de la funcin simple cos x es menos sen x. La derivada de la funcin compuesta cos f es menos el seno de la funcin f por la derivada de la funcin f. D[senx]=cosx D[senf (x)]=f '(x)cosf (x) D[cosx]=senx D[cosf(x)]=senf(x)f'(x) 16. 4.6. Derivada de las funciones Circulares Derivada de la funcin Tangente La derivada de la funcin simple tg x es igual a uno ms el cuadrado de la tangente. La derivada de la funcin compuesta tg f es igual a uno ms el cuadrado de la tangente de la funcin y, todo ello, multiplicado por la derivada de la funcin f. D[tg x]=1+tg 2 x= 1 cos 2 x D[tgf (x)]=(1+tg2 f (x))f '(x)= f '(x) cos2 f (x) 17. 5. Algunas aplicaciones de la derivada 5.1. Estudio de la monotona de una funcin Existe una relacin entre la monotona de una funcin y la tasa de variacin media. Y si tomamos lmites cuando h tiende a cero tendremos un relacin con la derivada. Para cualquier funcin f que tenga funcin derivada, se cumple: Si , entonces la funcin f es estrictamente creciente en x0 Si , entonces la funcin f es estrictamente decreciente en x0 En las situaciones que se cumpla , no podemos afirmar nada acerca del crecimiento o decrecimiento de la funcin f en el punto de x0 . Diremos que en ese punto tendremos un punto singular de la primera derivada f '(x0)>0 f '(x0)0Mnimorelativo(x0,f (x0)) f ''(x0)