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Funciones de una variable. Primeras definiciones y propiedades Funciones elementales Sucesiones Lımites Continuidad y teoremas relacionados

Tema 7: Funciones de una variable. Lımites ycontinuidad.

Jose M. Salazar

Noviembre de 2016


Tema 7: Funciones de una variable. Lımites y continuidad.

Leccion 8. Funciones de una variable. Lımites y continuidad.


Indice

1 Funciones de una variable. Primeras definiciones y propiedadesDefinicion y elementos principalesOperaciones

2 Funciones elementales

3 SucesionesDefiniciones y propiedadesTeorema de la convergencia monotona. Numero e

4 LımitesDefinicion y tipos. Unicidad del lımitePropiedades. Regla del Sandwich

5 Continuidad y teoremas relacionadosDefiniciones y propiedades principalesTeoremas de funciones continuas en intervalos cerrrados


Primeras definiciones

Ejemplos (Expresion de una funcion)

Expresion analıtica explıcita: Area de un cırculo A(r) = πr 2.

Representacion grafica.

Tablas de valores.

Descripcion verbal. Construccion de un recipiente rectangularsin tapa con volumen V = 10 m3. L = 2A, con L longitud dela base, A ancho de la base y H altura. ¿Coste del recipientesi el precio del material de la base es 10 e m2 y el de loslados de 6 e m2?

10 = 2A2H H =5

A2

C = 10[2A2] + 6[2AH + 2(2A)H] = 20A2 +180

A



Definicion (Funcion real de variable real y sus elementos)

Sea A ⊂ R. Una funcion real de variable real es una aplicacionf : A ⊂ R→ R.

Se llama dominio de f , Dom(f ), al conjunto A. Si f vienedada en forma analıtica, entonces:

Dom(f ) = {x ∈ R : ∃ f (x) ∈ R}Se llama imagen de f al conjunto

Im(f ) = {y = f (x) : x ∈ Dom(f )} = f (Dom(f ))

La grafica o grafo de f es

Gf = {(x , y) ∈ R2 : y = f (x) con x ∈ Dom(f )}




La funcion f es periodica si existe T > 0 tal quef (x) = f (x + T ) para todo x ∈ Dom(f ). El menor de talesT > 0 se llama perıodo de la funcion.

Si f (−x) = f (x) para todo x ∈ Dom(f ), se dice que f es par.Si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ Dom(f ), se dice que f esimpar.




Una funcion f : A→ R es creciente (resp. decreciente) si paratodo x1 < x2 es f (x1) ≤ f (x2) (resp. f (x1) ≥ f (x2)). Si ladesigualdad es estricta, decimos que f es estrictamentecreciente (resp. estrictamente decreciente).

Una funcion f es acotada inferiormente (resp. acotadasuperiormente) si existe k ∈ R tal que f (x) ≥ k (resp.f (x) ≤ k) para todo x ∈ Dom(f ). Decimos que f es acotadasi lo es superior e inferiormente.


Operaciones con funciones

Definicion (Operaciones)

Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x).

Producto: (fg)(x) = f (x)g(x).

Cociente: (f /g)(x) = f (x)/g(x).

Producto por escalar: (kf )(x) = kf (x).

Composicion: (g ◦ f )(x) = g(f (x)).

Definicion (Funcion inversa)

Dada f inyectiva (si x 6= y, entonces f (x) 6= f (y)), la funcionrecıproca o inversa de f , f −1 : Im(f )→ Dom(f ) ⊂ R, es la funciontal que (f −1 ◦ f )(x) = x ∀x ∈ Dom(f ). Se tiene que f −1 esinyectiva y (f ◦ f −1)(y) = y ∀y ∈ Im(f ).


Funciones elementales

Ejemplos (Tipos de funciones elementales)

Funciones polinomicas. P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 conn ∈ N y ai ∈ R. El grado del polinomio, gr(P), es el mayor mtal que am 6= 0. En estas funciones Dom(P) = R.

f(x) = x2

f(x) = mx+ n

f(x) = x3




Funciones racionales. f (x) =P(x)

Q(x)con P(x),Q(x)

polinomios. Dom(f ) = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.

f(x) = 1x




Funcion potencia. f (x) = xp con p ∈ R, x > 0.

y = x

y = x2y = x4

y = x1/2

y = x1/4

1

1




Funcion exponencial. f (x) = ax con a > 0.Al numero a se le llama base. Se tiene Dom(f ) = R. Ademas,si a 6= 1, Im(f ) = (0,+∞) y si a = 1, Im(f ) = {1}. Dadosa, b > 0, se cumple:

1. axay = ax+y 2. ax

ay = ax−y 3. (ax)y = axy

4. 1ax = a−x 5. (ab)x = axbx 6.

(ab

)x= ax

bx

La funcion f (x) = ax es estrictamente creciente si a > 1,estrictamente decreciente si a < 1 y constante si a = 1.

a > 1a < 1

a = 1

1




Funcion logarıtmica. f (x) = loga(x) con a > 0, a 6= 1.Al numero a se le llama base. Es la funcion inversa de ax . Setiene:

loga : (0,∞)→ R

Dom(f ) = (0,+∞) e Im(f ) = R.Dados a, b > 0 y distintos de 1, se cumple:

1. loga(xy) = loga(x) + loga(y).2. loga(x/y) = loga(x)− loga(y).3. loga(xy ) = y loga(x).4. loga x = logb(x)/ logb(a).5. ax = bx logb(a).




La funcion f (x) = loga(x) es estrictamente creciente si a > 1y estrictamente decreciente si 0 < a < 1.

a > 1

a < 1

1




Funciones trigonometricas. f (x) = sen x, f (x) = cos x y lasobtenidas a partir de ellas.

Funcion f (x) = sen x:Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1], f impar, f periodica conT = 2π.

π 2ππ/2 3π/2−π−2π −π/2−3π/2

f (x) = sen x




Funcion f (x) = cos x:Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1], f par, f periodica con T = 2π.

π/2 3π/2π 2ππ/2 3π/2π 2π−π−2π −π/2−3π/2

f (x) = cos(x)




Funcion f (x) = tg x:Dom(f ) = R \ {π/2 + kπ : k ∈ N}, Im(f ) = R, f impar, fperiodica con T = π.

π/2 π 3π/2 2π−π/2−π−3π/2−2π

f (x) = tg(x)




Funciones trigonometricas inversas. f (x) = arcsen x,f (x) = arccos x y el resto de inversas de las trigonometricas.Funcion f (x) = arcsen x:Inversa de sen(x) en el dominio [−π/2, π/2]. Se tiene:

arcsen : [−1, 1]→ [−π/2, π/2]

Dom(f ) = [−1, 1], Im(f ) = [−π/2, π/2] y f estrictamentecreciente.

−1 1

π/2

−π/2

f (x) = arcsen x




Funcion f (x) = arccos x:Inversa de cos(x) en el dominio [0, π]. Se tiene:

arccos : [−1, 1]→ [0, π]

Dom(f ) = [−1, 1], Im(f ) = [0, π] y f estrictamentedecreciente.

−1 1

π/2

π

f (x) = arccos x




Funcion f (x) = arctg x:Inversa de tg(x) en el dominio (−π/2, π/2). Se tiene:

arctg : R→ (−π/2, π/2)

Dom(f ) = R, Im(f ) = (−π/2, π/2) y f estrictamentecreciente.

π/2

−π/2

f (x) = arctg x


Sucesiones

Definicion (Sucesion)

Una sucesion es una funcion f : N→ R. Se escribe f (n) = an y sela denota por {an}. A an se le llama termino general de la sucesion.

Definicion (convergencia)

Se dice que {an} es convergente si existe un valor a ∈ R, tal quepara todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |an − a| < ε para todon ≥ n0. Al valor a se le llama lımite de la sucesion. Se escribelimn→∞

an = a o {an} → a. Si la sucesion no es convergente, se dice

que es divergente.

Teorema

El lımite de una sucesion {an}, si existe, es unico.


Sucesiones

Definicion (Lımite infinito)

Dada {an} divergente, escribimos limn→∞

an = +∞ (resp.

limn→∞

an = −∞) si:

∀M ∈ R ∃n0 ∈ N : an > M (resp. an < M) ∀n ≥ n0.Se dice que {an} diverge a +∞ (resp. −∞).

Propiedades

Si limn→∞

an = a ∈ R y limn→∞

bn = b ∈ R, entonces:

limn→∞

(an ± bn) = a± b.

limn→∞

(anbn) = ab.

limn→∞

(an/bn) = a/b si bn 6= 0 para todo n y b 6= 0.


Convergencia monotona

Definicion (Sucesion monotona)

Una sucesion {an} es creciente (resp. decreciente) sian ≤ an+1 ∀n (resp. an ≥ an+1 ∀n).La sucesion es monotona si es creciente o decreciente.

Definicion (Sucesion acotada)

Una sucesion {an} es acotada superiormente, acotadainferiormente o acotada si lo es el conjunto imagen de la sucesion{a1, . . . , an, . . . }.

Teorema (Convergencia monotona)

Toda sucesion monotona y acotada es convergente.


Subsucesiones

Definicion (Subsucesion)

Dada una sucesion {an}, y dada una familia estrictamentecreciente de numeros naturales n1 < n2 < · · · < nk < · · · , a lasucesion {ank} se la llama subsucesion de {an}.

Teorema

Si una sucesion converge a un valor a0, toda subsucesion suyatambien converge a a0.

Teorema

Toda sucesion admite una subsucesion monotona.


Numero e

Definicion (Numero e)

La sucesion{(

1 + 1n

)n}es monotona y acotada y, por tanto,

convergente. A su lımite se lo denota por

e = limn→∞

{(1 +

1

n

)n}

Observacion

De especial relevancia en el estudio del calculo seran las funcionesex y loge(x) = ln(x), inversas la una de la otra.


Lımite de una funcion en un punto

Definicion (Lımite)

Dada una sucesion {xn} ⊂ Dom(f ) tal que {xn} → c, con xn 6= cpara todo n, se dice que

limx→c

f (x) = l ∈ R

si ∀ ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < |x − c | < δ, conx ∈ Dom(f ), entonces |f (x)− l | < ε

Teorema

limx→c

f (x) = l si y solo si ∀ {xn} → c con xn 6= c y xn ∈ Dom(f )

para todo n, entonces {f (xn)} → l .

Teorema

El lımite, si existe, es unico.


Lımites laterales

En adelante, por simplicidad, trabajaremos en un intervalo I = (a, b)con c ∈ I y f una funcion definida en I (salvo quiza en c).

Definicion (Lımites laterales)

Dado l+ ∈ R, se dice que limx→c+

f (x) = l+ si y solo si ∀ ε > 0 existe

δ > 0 tal que si 0 < x − c < δ, entonces |f (x)− l+| < ε.El lımite por la izquierda, lim

x→c−f (x) = l−, se define de modo

analogo.Los lımites laterales tambien se pueden definir empleandosucesiones que se aproximen por cada uno de los lados de c.

Teorema

Existe limx→c

f (x) si y solo si existen los lımites laterales y coinciden,

esto es, limx→c+

f (x) = limx→c−

f (x) = l ∈ R


Lımites infinitos y en el infinito

DefinicionLımites infinitos. Decimos que lim

x→cf (x) = +∞ (resp. −∞) si

para todo M ∈ R existe un δ > 0 tal que f (x) > M (resp.f (x) < M) para todo x tal que 0 < |x − c | < δ.Los lımites laterales infinitos se definen de modo analogo,pero aproximandose por el lado adecuado de c.Lımite finito en el infinito. Si (a,+∞) ⊂ Dom(f ), se dice quef tiende a l cuando x → +∞, esto es, lim

x→∞f (x) = l si para

todo ε > 0 existe M ∈ R tal que si x > M entonces|f (x)− l | < ε.Lımite infinito en el infinito. Si (a,+∞) ⊂ Dom(f ), decimosque lim

x→+∞f (x) = +∞ si para todo M ∈ R, ∃N ∈ R tal que

si x > N entonces f (x) > M.De modo analogo se definen los lımites lim

x→+∞f (x) = −∞,

limx→−∞

f (x) = +∞ y limx→−∞

f (x) = −∞.


Propiedades de los lımites

Propiedades

Sean f , g tales que limx→c

f (x) = l1 y limx→c

g(x) = l2. Entonces:

limx→c

α = α, α ∈ R.

limx→c

αf (x) = αl1, α ∈ R.

limx→c

(f (x)± g(x)) = l1 ± l2.

limx→c

(f (x)g(x)) = l1l2.

limx→c

f (x)

g(x)=

l1l2

(l2 6= 0).

limx→c

(f (x))n = ln1 .

limx→c

f (x)g(x) = l l21 (l1 > 0).


Propiedades de los lımites

Observacion

Los casos0

0,∞∞ , 0∞, ∞−∞, 1∞, 00, ∞0

son indeterminaciones.

Ejemplos

limx→0

sen x

x= 1

limx→0

cos x − 1

x= 0


Regla del sandwich

Teorema (Regla del Sandwich)

Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en un entorno de c (salvo, quiza, en elpropio c) y lim

x→cf (x) = lim

x→ch(x) = l , entonces lim

x→cg(x) = l .


Coninuidad

Definicion (Continuidad)

Una funcion f es continua en c si se satisfacen las condicionessiguientes:

f (c) esta definida.

limx→c

f (x) = f (c).

Observacion

Otra caracterizacion de continuidad se hace con sucesiones: f escontinua en c ∈ Dom(f ) si para toda sucesion {xn} → c,{xn} ⊂ Dom(f ), se verifica que {f (xn)} → f (c).

Definicion

Decimos que f es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es encada punto del intervalo.


Continuidad lateral

Definicion (Continuidad lateral)

La funcion f es continua por la izquierda (resp. derecha) dec ∈ Dom(f ) si lim

x→c−f (x) = f (c) (resp. lim

x→c+f (x) = f (c)).

Teorema

La funcion f es continua en c si y solo si es continua por laderecha y por la izquierda de c.


Tipos de discontinuidades

Definicion

Si f no es continua en c, se dice que f tiene en c unadiscontinuidad. La discontinuidad es:

Evitable si existe limx→a

f (x) ∈ R.

Inevitable en caso contrario.


Propiedades de la continuidad

Teorema (Propiedades de la continuidad)

Sean f , g continuas en c ∈ R. Entonces

kf es continua en c para cualquier k ∈ R.

(f ± g) es continua en c.

(fg) es continua en c.

Si g(c) 6= 0, entonces fg es continua en c.

Si h es continua en g(c), entonces (h ◦ g)(x) = h(g(x)) escontinua en c.

Si f es continua y admite inversa, la inversa f −1 es continua.

Teorema

Las funciones elementales (polinomios, funciones racionales, raıces,funciones trigonometricas, trigonometricas inversas, funcionesexponenciales, logarıtmicas) son todas ellas continuas.


Teoremas de funciones continuas en intervalos cerrados

Teorema (Bolzano)

Si f es continua en I = [a, b] y tal que f (a) y f (b) tienen distintosigno, entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Teorema (Teorema del valor intermedio)

Si f es continua en I = [a, b] y k es un numero real entre f (a) yf (b), existe al menos un c ∈ I tal que f (c) = k.

Teorema (Teorema de Weierstrass)

Si f : [a, b]→ R es continua, entonces f alcanza un maximo y unmınimo en el intervalo [a, b], esto es, existen x1, x2 ∈ [a, b] talesque

f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) ∀ x ∈ [a, b]

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