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Algebra tensorial y diferencial

Giuseppe i Piero

20-2-2005

Indice general

1. Algebra Lineal Tensorial 51.1. Definiciones. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Algebra exterior n-esima de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. Metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6. Producto exterior y contraccion interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7. Algebra tensorial simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8. Modulo de diferenciales. Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9. Diferencial, contraccion por un campo, derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10. Calculo valorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.11. Modules de jets y operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2. Calculo Tensorial en Geometrıa Diferencial 392.1. Desarrollo de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2. Espacio tangente en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3. Derivaciones. Modulo de diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4. Variedades diferenciables. Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5. Anillo de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6. Localizacion en el algebra tensorial diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7. Integracion. Formula de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.8. Gradiente, divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.9. Apendice 1. Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10. Apendice 2. Teorema de existencia y unicidad en sistemas de ecuaciones diferenciales . 582.11. Apendice 3. Inmersion de variedades compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3. Aplicaciones de la teorıa 653.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2. Maximos y mınimos bajo condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3. Longitudes, areas y volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4. Ejemplos en Fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

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4 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Algebra Lineal Tensorial

Estas notas son provisionales. El capıtulo 2 todavıa no es logicamente consistente (ypuede contener erratas).

El calculo diferencial tensorial es una de las teorıas mas hermosas que aparecen en toda la Ma-tematica. En ella conviven en perfecta armonıa el Algebra, el Analisis, la Geometrıa Diferencial y laFısica.

El ochenta por ciento de lo que aquı se dice debiera constituir los conocimientos basicos (¡juntocon otros!) de todo matematico. Alguna vez he caıdo en la tentacion de detenerme en ciertas cues-tiones algebraicas que me preocupaban y que al lector quizas no le interesen tanto. El que escribees de formacion algebraica y aunque pueda parecer lo contrario ha renunciado muchas veces a unaprofundizacion mayor (y compresion mas clara) de los conceptos desarrollados. Por ejemplo, no heescrito las propiedades universales del algebra exterior y simetrica de un espacio vectorial y no se siperdonarmelo. En los nuevos planes de estudios que se estan perfilando no aparecen las palabras: pro-ducto tensorial, tensores, formas diferenciales, etc. Este hecho por sı solo califica a toda la comunidadmatematica espanola.

1.1. Definiciones. Construcciones

1. Comentario: El punto de partida de las Matematicas son los numeros naturales, a partir deellos vamos definiendo y construyendo toda la Matematica, “Dios nos dio los numeros naturales, elresto de las Matematicas la hicimos los hombres” (creo que dijo Kronecker). La piedra clave de lasdefiniciones y construcciones es la palabra “sea”, y a los matematicos nos parece bien (¡como en elGenesis!). Demos algunos ejemplos.

1. Los matematicos sabemos sustituir con todo rigor la palabra equivalente por la palabra igual, sa-bemos identificar una cosa con sus equivalentes. En efecto, consideremos una relacion de equivalenciaen un conjunto X. Un punto de X y todos sus equivalentes, los podemos identificar, hacerlos todosuna misma cosa, diciendo simplemente: “Sea el subconjunto de X formado por un punto x y todossus equivalentes. Denotemos este subconjunto por x. Del mismo modo dado un punto y ∈ X y todossus equivalentes, sea el subconjunto de X formado por y y todos sus equivalentes y denotemos estesubconjunto y. Ahora tendremos que x es equivalente a y si y solo si x es igual a y. Llamemos X elconjunto que se obtiene al identificar en X cada elemento con sus equivalentes, es decir,

X := x, x ∈ X, donde x = x′ si y solo si x es equivalente a x′

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6 Capıtulo 1. Algebra Lineal Tensorial

Mision cumplida”.

1.1 Si establecemos en Z la relacion de equivalencia n ≡ m si y solo si n −m es multiplo de 5,tendremos que n = m si y solo n − m es multiplo de 5. Si identificamos en Z cada entero con susequivalentes, tenemos solo cinco elementos distintos, es decir, Z = 0, 1 . . . , 4.

1.2 Sea A un anillo. Dado un ideal I ⊂ A, establezcamos la siguiente relacion de equivalencia:a ∈ A es equivalente a a′ ∈ A si y solo si a− a′ ∈ I, es decir, si y solo si existe algun i ∈ I de modoque a = a′ + i. En este caso, A := a, a ∈ A, de modo que a = a′ si y solo si a − a′ ∈ I se denotaA/I. Resulta que A/I tiene una estructura natural de anillo, definiendo la suma y el producto comosigue

a+ b := a+ b a · b := a · b

el elemento neutro para la suma es 0 y para el producto 1.

2. Dado el semianillo de numeros naturales N, definamos o construyamos el anillo de los numeroenteros Z. Para ello, en Matematicas, no podremos hablar de grados bajo cero ni de deudas como sehace con los ninos pequenos. Antes de empezar a construir Z, cualquiera que sea su construccion odefinicion, sabrıamos decir si n − m es igual a n′ − m′ (para n,m, n′,m′ ∈ N), sabrıamos sumar,multiplicar etc. Basta con saber esto, es decir, en saber como se comporta Z, para que un matematicosepa ya definirlos, gracias a la palabra sea: “Sea Z el conjunto de parejas de numeros naturales (n,m),que preferimos denotar n−m, donde diremos que n−m es igual a n′−m′ si n+m′ = m+n′ (observemosque con esta definicion n−m = n−m, que si n−m = n′ −m′ entonces n′ −m′ = n−m, y que sin−m = n′−m′ y n′−m′ = n′′−m′′ entonces n−m = n′′−m′′). Definido queda Z, ¿como definimosla suma? (n−m) + (n′ −m′) := (n+ n′)− (m+m′). Defina el lector el producto”. Mas ejemplos.

3. Hemos definido ya el anillo de los numeros enteros Z, definamos el cuerpo de los numerosracionales Q. En Matematicas no podemos hablar de pasteles y porciones de pasteles, como a los ninos.Pero antes de empezar a construir Q, sabrıamos decir cuando n

m es igual a n′

m′ (n,m, n′,m′ ∈ Z) ysabemos sumar numero racionales y multiplicarlos. No necesitamos nada mas, salvo la palabra “sea”:Sea Q el conjunto de parejas de numeros enteros (n,m), que preferimos denotar n

m , donde diremos

que nm es igual a n′

m′ si existen r, r′ 6= 0 tales que rnrm y r′n′

r′m′ tienen el mismo numerador y denominador

(observemos que nm = n

m , que si nm = n′

m′ entonces n′

m′ = nm , y que si n

m = n′

m′ y n′

m′ = n′′

m′′ entoncesnm = n′′

m′′ ). Definido queda Q ¿como definimos la suma? nm + n′

m′ := m′n+mn′

mm′ . Defina el lector elproducto. Mas ejemplos.

3.1 Sea A un anillo y S ⊂ A, un subconjunto que cumpla 1 ∈ S y si s, s′ ∈ S entonces s · s′ ∈ S.Queremos definir el anillo (que denotaremos por AS) formado por las fracciones a/s, a ∈ A, s ∈ S.Obviamente, queremos que se cumpla que a

s = tats , para todo t ∈ S. No hay mayor problema, digamos

que son equivalentes y a los equivalentes hagamoslos iguales:

AS := as, con a ∈ A y s ∈ S | a

s=a′

s′si existen t, t′ ∈ S tales que las fracciones

ta

tsyt′a′

t′s′tienen el mismo numerador y denominador

¿Como definimos la suma? as + b

t := at+bsst ¿Y el producto? a

s ·bt := ab

st .

4. Hemos definido Q, definamos ahora R. Aquı a los ninos se les habla de los numeros realesde un modo muy aproximado a lo que hacemos en Matematicas (la construccion de numero real enMatematicas es la objetivacion formal de la experiencia fısica de aproximacion (interminable)). Seles dice algo ası como: Vamos a ver cuanto mide media circunferencia. Mido y veo que es casi 3,pero si preciso mas es 3, 1, si preciso mas es 3, 14 y ası sucesivamente nos va saliendo que mide

1.2. Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual 7

3, 141592... con infinitas cifras infinitesimales. Ası, nos decıan que los numeros reales son los nume-ros con infinitas cifras decimales (despues nos decıan que 0, 999999999.... era el mismo numero que1 ¡Identificabamos dos numeros equivalentes!). La construccion que damos en Matematicas de losnumeros reales es esencialmente la misma que la que damos para completar cualquier espacio metrico(como la construccion de Q a partir de Z, es la misma esencialmente que la que damos para construirAS a partir de A y S). Tenemos claro cuando una sucesion de numeros racionales se aproximan aalgo 1, es decir, definimos primero que es una sucesion de Cauchy. Tenemos claro tambien, cuandodos aproximaciones son iguales o equivalentes (cuando la diferencia de las dos sucesiones de Cauchyse aproximen a 0). Ası pues, dar un numero real equivale a dar las aproximaciones a el, siempre queidentifiquemos estas aproximaciones. Nos basta con esto para definir R, salvo la palabra sea: “Sea R elconjunto de todas las sucesiones de Cauchy, donde diremos que dos sucesiones de Cauchy son igualessi son equivalentes”. Definido queda R.

1.2. Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual

“Un espacio vectorial es un conjunto en el que podemos sumar sus elementos y multiplicar cadaelemento por un escalar, y estas operaciones cumplen propiedades muy naturales”.

Sea k un cuerpo (ejemplos: k = Q,R o C).

1. Definicion : Un k-espacio vectorial es un conjunto, E, dotado de dos operaciones, una llamadasuma E ×E → E y se escribe (e, e′) 7→ e+ e′, y otra llamada producto por escalares k×E → E y seescribe (λ, e) 7→ λ · e, verificando:

1. (E,+) es un grupo abeliano, es decir,

a) e+ (e′ + e′′) = (e+ e′) + e′′, para todo e, e′, e′′ ∈ E.

b) Existe un elemento que denotamos por 0 tal que 0 + e = e+ 0 = e, para todo e ∈ E.

c) Para cada e ∈ E existe otro elemento que denotamos −e tal que e+ (−e) = 0.

d) e+ e′ = e′ + e, para todo e, e′ ∈ E.

2. λ · (e+ v) = λ · e+ λ · v, ∀λ ∈ k, e, v ∈ E

3. (λ+ µ) · e = λ · e+ µ · e ∀λ, µ ∈ k, e ∈ E

4. (λ · µ) · e = λ · (µ · e), ∀λ, µ ∈ k, e ∈ E

5. 1 · e = e, ∀e ∈ E.

Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores y los de k escalares. Si k es un anilloy no un cuerpo (ejemplo: k = Z) se dice que E es un k-modulo.

kn, con la suma (λi)+(µi) := (λi+µi) y el producto por escalares λ ·(λi) := (λ ·λi) es un k-espaciovectorial. R3 que es el espacio en el que pensamos que vivimos es un ejemplo de R-espacio vectorial.

Sea X un conjunto y C(X) = Aplic(X, k). C(X) con la suma estandar de funciones (f + g)(x) :=f(x) + g(x) y producto estandar por escalares (λ · f)(x) := λ · f(x) es un k-espacio vectorial.

Observemos que 0 · e = (0 + 0) · e = 0 · e+ 0 · e y por tanto 0 · e = 0. Observemos que si e+ e′ = 0sumando −e, obtenemos que e′ = −e. Como 0 = (1− 1) · e = e+ (−1) · e, tenemos que (−1) · e = −e.

1Aunque ese algo no sea un numero racional. En realidad, lo real, real de verdad son las aproximaciones, que estasse aproximen a algo realmente existente es otra cuestion. Ese algo es una abstraccion, sin embargo suele pensarse queeste algo es muy real y la aproximacion una abstraccion matematica, pero esto es otro tema...


Las aplicaciones que conservan la estructura de espacio vectorial (“los morfismos de la categorıade k-espacios vectoriales”) son las aplicaciones lineales. Con precision: Sean E,E′ dos k-espaciosvectoriales,

2. Definicion : Una aplicacion T : E → E′ es un morfismo de k-espacios vectoriales (o aplicacionk-lineal) si

T (e+ v) = T (e) + T (v) y T (λ · e) = λ · T (e)

para cualesquiera e, v ∈ E, λ ∈ k.

Es claro que la composicion T1 T2 : E → G de dos aplicaciones lineales T2 : E → F , T1 : F → G,es una aplicacion lineal.

3. Definicion : Una aplicacion lineal T : E → E′ es un isomorfismo si existe otra aplicacion linealS : E′ → E tal que T S = IdE′ , S T = IdE .

T es un isomorfismo de espacios vectoriales si y solo si es una aplicacion biyectiva (lineal).

4. Definicion : Decimos que F ⊂ E es un subespacio vectorial de E si f + f ′ ∈ F y λ · f ∈ F , paratodo f, f ′ ∈ F y λ ∈ k.

F con la suma y producto por escalares es un espacio vectorial y la inclusion F ⊂ E es unaaplicacion k-lineal. Si Fi son subespacios vectoriales de E entonces ∩iFi es un subespacio vectorial deE.

Sea E un espacio vectorial y F ⊂ E un subespacio vectorial. Consideremos la relacion de equi-valencia que dice que dos vectores e1, e2 ∈ E son equivalentes si y solo si difieren en un vector deF (los vectores de F son equivalentes a 0). Si identificamos cada vector de E con sus equivalentes,obtenemos el conjunto que denotamos E/F , que es el siguiente

E/F := e | e ∈ E, de modo que e1 = e2 ⇐⇒ e1 − e2 ∈ F

Observemos que e = 0 si y solo si e ∈ F y que e = v si y solo si existe un vector e′ ∈ F tal quev = e+ e′.

E/F es de modo natural un espacio vectorial: e+ v := e+ v y λ · e := λ · e. El morfismo naturalπ : E → E/F , π(e) := e es una aplicacion lineal epiyectiva.

Dada una aplicacion lineal T : E → E′, se denomina nucleo de la aplicacion lineal T , que denotamospor KerT , a

KerT := T−1(0) := e ∈ E | T (e) = 0

Es facil comprobar que KerT es un subespacio vectorial de E. T (e) = T (v) si y solo si T (e)− T (v) =T (e − v) = 0, es decir, e − v ∈ KerT . Es decir, T (e) = T (v) si y solo si existe un e′ ∈ KerT tal quev = e+ e′. Por tanto, T es inyectiva si y solo si KerT = 0.

La aplicacion T : E/KerT → E′, T (e) := T (e), esta bien definida, pues si e = v existe une′ ∈ KerT tal que v = e + e′ y T (v) = T (e) + T (e′) = T (e) (luego T (v) = T (e), como ha ser sihablamos con sentido). Ademas, la aplicacion T : E/KerT → E′ es inyectiva: 0 = T (e) = T (e) si ysolo si e ∈ KerT , es decir, si y solo si e = 0.

Definimos la imagen de T , que denotamos por ImT como

ImT := T (E) := T (e) ∈ E′, e ∈ E

Es facil comprobar que ImT es un subespacio de E′.


Se tiene el siguiente diagrama conmutativo

ET //

π

E′

E/KerTT∼// ImT?

i

OO e //_

T (e)

e // T (e) = T (e)_

OO

Donde la flecha horizontal inferior es isomorfismo porque es epiyectiva e inyectiva.Si C = cii∈I , con ci ∈ E. Llamamos subespacio vectorial de E generado por C al mınimo

subespacio vectorial de E que contiene a C, y lo denotamos 〈C〉. Es facil probar que

〈C〉 = e ∈ E | e = λ1 · c1 + · · ·+ λncn, ci ∈ C, λi ∈ k, n ∈ N

Si C = e1, . . . , er entonces denotamos 〈e1, . . . , er〉 = 〈C〉 y se cumple que 〈e1, . . . , er〉 = λ1 · e1 +· · ·+ λrer, λi ∈ k.

Se dice que los vectores de C son un sistema generador de E si 〈C〉 = E. Decimos que un espaciovectorial E es finito generado si existen e1, . . . , er ∈ E de modo que 〈e1, . . . , er〉 = E. Se dice que losvectores de C son linealmente independientes si λ1 · c1 + · · ·+λn · cn 6= 0 si algun λi 6= 0, para todo ny c1, . . . , cn ⊂ C. Se dice que los vectores de C forman una base de E si son un sistema generadorde E y son linealmente independientes.

Los vectores (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0. . . . , 1) forman una base de kn, denominada “baseestandar” de kn.

5. Teorema de la base: Todo espacio vectorial E 6= 0 contiene alguna base. Todas las bases de Etienen el mismo numero de vectores, tal numero se dice que es la dimension de E y se denota dimk E.

Demostracion. Voy a suponer que E es finito generado, para no embarullar al lector con la teorıa decardinales, lema de Zorn, etc.

Supongamos, pues, que E = 〈e1, . . . , en〉. Sea I ⊂ 1, . . . , n un subconjunto maximo con lacondicion de que los vectores eii∈I sean linealmente independientes. Obviamente I 6= ∅, pues si I = ∅entonces ei = 0 para todo i y E = 0. Veamos que los vectores eii∈I forman una base de E. Tenemosque probar que 〈ei〉i∈I = E. Dado ej , 1 ≤ j ≤ n, si ej /∈ 〈ei〉i∈I entonces ej , eii∈I serıan linealmenteindependientes, pues si λj · ej +

∑i λiei = 0 entonces: 1. Si λj 6= 0 tendremos que ej = −

∑iλiλj· ei

y ej ∈ 〈ei〉i∈I , contradiccion. 2. Si λj = 0, entonces∑i λiei = 0 y entonces λi = 0, para todo

i ∈ I, pues los vectores eii∈I son linealmente independientes. En conclusion, λj = λi = 0 paratodo i, luego ej , eii∈I son linealmente independientes. Ahora bien, por la maximalidad de I, esto escontradictorio. En conclusion, ej ∈ 〈ei〉i∈I , para todo 1 ≤ j ≤ n. Por tanto, E = 〈e1, . . . , en〉 ⊆ 〈ei〉i∈Iy E = 〈ei〉i∈I .

Veamos que todas las bases tienen el mismo numero de vectores. Sea n el numero de vectores deuna base (hay muchas) con el mınimo numero de vectores. Voy a proceder por induccion sobre n. Sin = 1, entonces E = 〈e〉 para cierto vector no nulo e. Dados dos vectores no nulos cualesquiera e′1, e

′2

tendremos que e′1 = λ1 · e y e′2 = λ2 · e, con λ1, λ2 6= 0, entonces 1λ1· e1 + −1

λ2· e2 = e− e = 0, luego e′1

y e′2 no son linealmente independientes. En conclusion, las bases de E han de estar formadas todaspor un unico vector.

Supongamos que el teorema es cierto hasta n − 1 ≤ 1, veamos que es cierto para n. Sea aho-ra e1, . . . , en y e′1, . . . , e′m dos bases de E. Tenemos que e1 =

∑i λie

′i, reordenando la base

e′1, . . . , e′m, podemos suponer que λ1 6= 0. Pruebe el lector que e2, . . . , en y e′2, . . . , e′m sonbases de E/〈e1〉 (le costara un poco mas ver que la segunda lo es). Obviamente, el numero de vectores


de una base de E/〈e1〉 con el numero mınimo de vectores es menor que n. Por induccion sobre n,tendremos que n− 1 = m− 1, luego n = m.

Si k es un anillo (y no un cuerpo) no es cierto en general que los k-modulos tengan bases. Porejemplo el Z-modulo Z/5Z no tiene bases, pues para todo n ∈ Z/5Z, 5 · n = 0. Los k-modulos quetienen bases se denominan k-modulos libres. kn es un k-modulo libre y una base de el es la baseestandar.

Si eii∈I son linealmente independientes y ejj∈J es una base de E/〈ei〉i∈I entonces ei, eji∈I,j∈Jes una base de E: Son linealmente independientes, pues si

∑i λiei +

∑j λjej = 0 entonces 0 =∑

i λiei +∑j λjej =

∑j λj ej , luego λj = 0, para todo j, luego

∑i λiei = 0 y λi = 0 para todo i.

Generan, pues dado e ∈ E, tendremos que e =∑j λj ej , luego e =

∑j λjej + e′, con e′ ∈ 〈ei〉i∈I , es

decir, e′ =∑i λiei y e =

∑j λjej +

∑i λiei.

Como consecuencias tenemos que si F es un subespacio vectorial de E entonces dimE = dimF +dimE/F , y todo sistema de vectores linealmente independiente se puede ampliar a un sistema devectores que formen base.

Dado un conjunto de espacios vectoriales Eii∈I , el conjunto∏i∈I Ei es de modo natural un

espacio vectorial:(ei)i∈I + (e′i)i∈I := (ei + e′i)i∈I λ · (ei)i∈I := (λ · ei)i∈I

Diremos que∏iEi es el producto directo de los espacios vectoriales Ei.

Definimos la suma directa de los espacios vectoriales Ei, que denotamos ⊕i∈IEi, como

⊕i∈IEi = (ei)i∈I ∈∏i∈I

Ei : todos los ei salvo un numero finito son nulos

eii∈I es un sistema generador de E si y solo si el morfismo

⊕i∈Ik → E, (λi)i∈I 7→∑i

λi · ei

es epiyectivo; son linealmente independientes si y solo si es inyectivo, y son una base si y solo si es unisomorfismo. Por tanto, todo espacio vectorial es isomorfo a un ⊕i∈Ik, pues siempre existen bases.

Observemos que si #I <∞ entonces ⊕i∈IEi =∏i∈I Ei.

Si F, F ′ son dos subespacios vectoriales de E se denota F+F ′ como el mınimo subespacio vectorialque contiene a F y F ′. Es facil probar que

F + F ′ = f + f ′ ∈ E, f ∈ F, f ′ ∈ F ′

El morfismo natural F ⊕ F ′ → F + F ′, (f, f ′) 7→ f + f ′ es epiyectivo y es inyectivo si y solo siF ∩ F ′ = 0. Se dice que E es la suma directa de dos subespacios F, F ′ si y solo si F ∩ F ′ = 0 yF + F ′ = E, es decir, el morfismo F ⊕ F ′ → E, (f, f ′) 7→ f + f ′ es un isomorfismo, es decir, todovector e ∈ E se escribe de modo unico como suma de un vector f ∈ F y otro vector f ′ ∈ F ′.

Sea Homk(E,E′) el conjunto de aplicaciones lineales de E en E′, que es un espacio vectorial demodo natural, con la suma y producto por escalares siguientes:

(T + T ′)(e) := T (e) + T ′(e) y (λ · T )(e) := λ · T (e)

Se cumple que el morfismo∏i∈I

Homk(E,E′i)→ Homk(E,∏i

E′i), (Ti)i∈I 7→ T, T (e) := (Ti(e))i∈I


es un isomorfismo de morfismo inverso T 7→ (πi T )i∈I , con πi :∏j E′j → E′i, πi((e

′j)j∈I) := e′i.

Se cumple que el morfismo∏i

Homk(Ei, E′)→ Homk(⊕i∈IEi, E′), (Ti)i∈I 7→ T, T ((ei)i∈I) :=

∑i

Ti(ei)

es isomorfismo de morfismo inverso T 7→ (Ti)i∈I , Ti(ei) := T ((0, . . . ,iei, . . . , 0)).

Sea eii∈I una base de E. Toda aplicacion lineal T : E → E′, esta determinada por los valoresT (ei), i ∈ I, pues dado e ∈ E entonces e =

∑i λiei y T (e) =

∑i λiT (ei). Recıprocamente, dados

vi ∈ E′, i ∈ I, la aplicacion lineal S : E → E′ definida por S(e) :=∑i λivi, para e =

∑i λiei, cumple

que S(ei) = vi. Formalmente,

Homk(E,E′) = Homk(⊕i∈Ik,E′) =∏i∈I

Homk(k,E′) =∏i∈I

E′, T 7→ (T (ei))i∈I

Si e′j es una base de E′, entonces T (ei) =∑j λjie

′j , para ciertos λij ∈ k (fijado i, todos los

λji son nulos salvo un numero finito) y existe una correspondencia biunıvoca entre T y las uplas deescalares (λji)(i,j)∈I×J , “caja” de numeros que es denominada matriz asociada a T en las bases eiy e′j de E y E′ respectivamente.

“Ası pues, T , que es una transformacion de un espacio en otro que supera facilmente nuestracapacidad de ideacion geometrica, esta determinada por unos cuantos escalares λij ∈ k, que puedenser mecanicamente tratados”.

Fijada una base e1, . . . , en (por sencillez digamos que n < ∞) de un espacio vectorial E, dadoun vector e =

∑i λiei suele escribirse de modo abreviado e = (λ1, . . . , λn) (es decir, tenemos un

isomorfismo E = kn). Igualmente, dada una base e′1, . . . , e′m de E′, escribiremos T (e) = e′ =(λ′1, . . . , λ

′m), ahora bien, T (e) = T (

∑i λiei) =

∑i λiT (ei) =

∑i λi(

∑j λjie

′j) =

∑j(∑i λjiλi)e

′j ,

luego λ′j =∑i λjiλi, para todo j. Ecuaciones que escribimos de modo abreviadoλ′1

...λ′m

=

λ11 · · · λ1n

......

λm1 · · · λmn

·λ1

...λn

o de modo mucho mas abreviado e′ = T (e).

Si T : E → E′ es una aplicacion lineal de matriz asociada (λji), entonces la matriz asociada a λ ·Tes (λ · λji). Escribiremos

λ · (λji) = (λ · λji)y diremos que es el producto de una matriz por un escalar.

Si T, T ′ : E → E′ son dos aplicaciones lineales de matrices asociadas (λji) y (λ′ji) entonces lamatriz asociada a T + T ′ es (λji + λ′ji). Escribiremos

(λji) + (λ′ji) = (λji + λ′ji)

y diremos que es la suma de matrices.Sea T : E → E′ y S : E′ → E′′ dos aplicaciones lineales. Sea eii∈I , e′jj∈J y e′′kk∈K bases de

E,E′ y E′′ respectivamente. Sea (λji) y (µkj) las matrices respectivas de T y S. Calculemos la matriz(cki) de S T : (S T )(ei) = S(

∑j λjie

′j) =

∑j λjiS(e′j) =

∑j λji · (

∑k µkje

′′k) =

∑k(∑j µkj ·λji) ·e′′k .

En conclusion, cki =∑j µkj · λji. Seguiremos la notacion,

(µkj) (λji) = (cki)

y diremos que (cki) es el producto de las matrices (µkj) y (λji).


6. Proposicion : Una aplicacion lineal T : E → E′ es inyectiva si y solo si aplica una (o toda) baseen un sistema de vectores linealmente independientes. T es epiyectiva si y solo si aplica una base (otoda) en un sistema generador. T es un isomorfismo si y solo si aplica una base (o toda) en una base.

7. Definicion : El espacio vectorial formado por el conjunto de aplicaciones lineales de un k-espaciovectorial E en k se denomina espacio vectorial dual de E y se denota E∗, es decir,

E∗ := Homk(E, k)

Los vectores w ∈ E∗ se denominan formas lineales.

8. Proposicion : Si E es un espacio vectorial de dimension finita, de base e1, . . . , en entonces lasformas lineales w1, . . . , wn, determinadas por wi(ej) = δij forman una base de E∗. Se dice quew1, . . . , wn es la base dual de e1, . . . , en.

Demostracion. Dada w ∈ E∗ se tiene que w = w(e1)·w1+. . .+w(en)·wn, porque ambas formas linealescoinciden sobre los vectores ei de la base de E. Si

∑i λiwi = 0 entonces 0 = (

∑i λiwi)(ej) = λj , para

todo j. En conclusion, w1, . . . , wn son un sistema generador de E∗ y son linealmente independientes,es decir, son una base.

9. Teorema de reflexividad: Sea E un espacio vectorial de dimension finita. La aplicacion linealcanonica

E → (E∗)∗, e 7→ e, e(w) := w(e)

es un isomorfismo.

Demostracion. Sea e1, . . . , en una base de E y w1, . . . , wn la base dual. Es inmediato que e1, . . . , enes la base dual de w1, . . . , wn. La aplicacion canonica aplica la base e1, . . . , en en la base e1, . . . , eny es un isomorfismo.

Sera usual escribir E = (E∗)∗ y e = e.Dada una aplicacion lineal T : E → E′ sea T ∗ : E′∗ → E∗ la aplicacion lineal definida por T ∗(w′) :=

w′ T . Se dice que T ∗ es el morfismo transpuesto de T .Si e1, . . . , en y e′1, . . . , e′m son bases de E y E′ y (λji) es la matriz asociada a T en estas bases,

calculemos la matriz (λ∗ij) de T ∗, en las bases duales w1, . . . , wn, w′1, . . . , w′m: T ∗(w′j) =∑i λ∗ijwi.

Entonces,

λ∗ij = T ∗(w′j)(ei) = w′j(T (ei)) = w′j(∑k

λkie′k) = λji

que se expresa diciendo que la matriz de T ∗ es la transpuesta de la matriz de T .

1.3. Producto tensorial

Queremos definir o construir el producto tensorial de dos espacios vectoriales E, E′. Veamosque cosas queremos y como queremos que operen.

Quiero un “producto” que denotare ⊗, entre los vectores de E (que escribire en primer lugar) ylos de E′ (en segundo lugar). Dados e ∈ E y e′ ∈ E′, quiero construir e ⊗ e′. Quiero sumar cosas deestas, quiero cosas de la forma e1 ⊗ e′1 + · · ·+ en ⊗ e′n, con ei ∈ E y e′i ∈ E′. Por ultimo quiero que elproducto verifique las siguientes propiedades (lineales):

1.3. Producto tensorial 13

(e1 + e2)⊗ e′ = e1 ⊗ e′ + e2 ⊗ e′λe⊗ e′ = e⊗ λe′e⊗ (e′1 + e′2) = e⊗ e′1 + e⊗ e′2

y no quiero imponer ninguna condicion mas (salvo las que se deriven de estas condiciones). Esto esmuy facil, con la palabra sea.

Hablemos con todo rigor.Sean E y E′ dos k-espacios vectoriales. Sea M el Z-modulo libre de base e⊗ e′e∈E,e′∈E′ . Es

decir,M := ⊕

e∈E,e′∈E′Z · e⊗ e′

“lo escrito en negrita es mera notacion, que conviene”. M es un k-espacio vectorial: λ·∑i ni ·ei ⊗ e′i :=∑

i ni(λei ⊗ e′i).“Queremos identificar (e1 + e2)⊗ e′ con e1⊗ e′+ e2⊗ e′; λe⊗ e′ con e⊗λe′; y e⊗ (e′1 + e′2) con

e⊗ e′1 + e⊗ e′2.”Sea N el subespacio vectorial de M , generado por los elementos, (e1 + e2)⊗ e′− e1⊗ e′− e2⊗ e′,

λe⊗ e′ − e⊗ λe′, y e⊗ (e′1 + e′2)− e⊗ e′1 − e⊗ e′2, es decir,

N :=

⟨ (e1 + e2)⊗ e′ − e1 ⊗ e′ − e2 ⊗ e′

e⊗ (e′1 + e′2)− e⊗ e′1 − e⊗ e′2λe⊗ e′ − e⊗ λe′

⟩e,e1,e2∈E,e′,e′1e′2∈E′,λ∈k

(∗)

1. Definicion : Llamaremos producto tensorial de E por E′, que denotaremos por E ⊗k E′, a

E ⊗k E′ := M/N

2. Notacion: Dado e⊗ e′ ∈M , denotaremos e⊗ e′ ∈M/N = E ⊗ E′ por e⊗ e′.Pues bien, E ⊗ E′ es un espacio vectorial y esta generado por los vectores e⊗ e′, variando e ∈ E

y e′ ∈ E′ (porque los vectores e⊗ e′ generan M y E ⊗ E′ = M/N). Tomando clases en (∗) se tienenlas igualdades

(e1 + e2)⊗ e′ = e1 ⊗ e′ + e2 ⊗ e′e⊗ (e′1 + e′2) = e⊗ e′1 + e⊗ e′2λe⊗ e′ = e⊗ λe′

(∗)

Calculemos las aplicaciones lineales de E ⊗E′ en otro espacio vectorial V . Como E ⊗E′ = M/N ,dar una aplicacion lineal ϕ : E⊗E′ → V equivale a dar una aplicacion lineal φ : M → V que se anule enN (de modo que ϕ(e⊗e′) = φ(e⊗ e′)). Ahora bien, M es un Z-modulo libre de base e⊗ e′e∈E,e′∈E′ ,ası pues, φ esta determinado por φ(e⊗ e′) (variando e ∈ E, e′ ∈ E′) y se anula en N si y solo si

φ((e1 + e2)⊗ e′) = φ(e1 ⊗ e′) + φ(e2 ⊗ e′)φ(λe⊗ e′) = φ(e⊗ λe′))φ(e⊗ (e′1 + e′2)) = φ(e⊗ e′1) + φ(e⊗ e′2)

Ademas, ϕ es k-lineal si y solo si φ(λe⊗ e′) = λφ(e⊗ e′).En conclusion, dar una aplicacion k-lineal ϕ : E⊗kE′ → V , equivale a definir ϕ(e⊗ e′) (para todo

e ∈ E, e′ ∈ E′) de modo que se cumpla

ϕ((e1 + e2)⊗ e′) = ϕ(e1 ⊗ e′) + ϕ(e2 ⊗ e′)ϕ(λe⊗ e′) = ϕ(e⊗ λe′) = λϕ(e⊗ e′)ϕ(e⊗ (e′1 + e′2)) = ϕ(e⊗ e′1) + ϕ(e⊗ e′2)


(De un modo mas elegante, esta conclusion se expresa en los textos diciendo que se tiene la igualdadHomk(E ⊗k E′, V ) = Bilk(E,E′;V )).

Dadas dos aplicaciones lineales T : E → V , T ′ : E′ → V ′ podemos definir el morfismo E ⊗ E′ →V ⊗ V ′, e⊗ e′ 7→ T (e)⊗ T ′(e′), morfismo que lo denotaremos por T ⊗ T ′.3. Proposicion : 1. E ⊗k E′ = E′ ⊗k E.

2. (E ⊕ E′)⊗k V = (E ⊗k V )⊕ (E′ ⊗k V ).

3. (⊕i∈IEi)⊗k V = ⊕

i(Ei ⊗ V ).

4. k ⊗k E = E.

Demostracion. 1. Tenemos el morfismo E⊗E′ → E′⊗E, e⊗e′ 7→ e′⊗e y su inverso E′⊗E → E⊗E′,e′ ⊗ e 7→ e⊗ e′.

2. Tenemos el morfismo (E ⊕ E′) ⊗ V → (E ⊗ V ) ⊕ (E′ ⊗ V ), (e, e′) ⊗ v 7→ (e ⊗ v, e′ ⊗ v) y elinverso (E ⊗ V )⊕ (E′ ⊗ V )→ (E ⊕ E′)⊗ V , (e⊗ v, e′ ⊗ v′) 7→ (e, 0)⊗ v + (0, e′)⊗ v′.

3. Idem que 2.4. Tenemos el morfismo k ⊗ E → E, λ⊗ e 7→ λe y el inverso E → k ⊗ E, e 7→ 1⊗ e.

4. Teorema : Si E es un espacio vectorial de base e1, . . . , en y E′ es un espacio vectorial de basee′1, . . . , e′m entonces E ⊗k E′ es un espacio vectorial de base ei ⊗ e′j1≤i≤n,1≤j≤m.

Demostracion. E⊗k E′ = 〈e⊗ e′〉e∈E,e′∈E′ . Dados e ∈ E y e′ ∈ E′ entonces e =∑i

λiei y e′ =∑j

λ′je′j

y

e⊗ e′ = (∑i

λiei)⊗ (∑j

λje′j) =

∑i,j

λiλ′j · ei ⊗ e′j

Por tanto, E ⊗ E′ = 〈ei ⊗ e′j〉1≤i≤n,1≤j≤m.

Ademas, E ⊗ E′ = kn ⊗ km = (k ⊗ km) ⊕ m· · · ⊗ (k ⊗ km) = km ⊕ m· · · ⊕ km = knm, luego E ⊗ E′es un espacio vectorial de dimension nm, de base ei ⊗ e′j1≤i≤n,1≤j≤m (de hecho puede comprobarel lector que esta base se aplica vıa las igualdades en la base estandar de knm).

Del mismo modo que hemos definido el producto tensorial de dos espacios vectoriales podrıamoshaber definido el producto tensorial de tres espacios vectoriales, e igualmente dar una aplicacion linealφ : E1 ⊗k E2 ⊗k E3 → V equivale a definir los φ(e1 ⊗ e2 ⊗ e3), para todo e1 ∈ E1, e2 ∈ E2, e3 ∈ E3,de modo que sea k-lineal en cada uno de los tres factores, es decir, Homk(E1 ⊗k E2 ⊗k E3, V ) =Multilin(E1×E2×E3, V ). Igualmente podemos definir el producto tensorial de n-espacios vectoriales.

5. Proposicion : Homk(E ⊗k E′, E′′) = Homk(E,Homk(E′, E′′)).

Demostracion. Asignamos a φ ∈ Homk(E ⊗k E′, E′′), φ ∈ Homk(E,Homk(E′, E′′)), definido porφ(e) := φ(e ⊗ −), donde φ(e ⊗ −)(e′) := φ(e ⊗ e′). Recıprocamente, asignamos al morfismo ϕ ∈Homk(E,Homk(E′, E′′)), ϕ ∈ Homk(E ⊗k E′, E′′), definido por ϕ(e⊗ e′) := (ϕ(e))(e′).

6. Proposicion : (E1 ⊗k · · · ⊗k En)⊗k (E′1 ⊗k · · · ⊗k E′m) = E1 ⊗k · · · ⊗k En ⊗k E′1 ⊗k · · · ⊗k E′m.

1.4. Algebra exterior n-esima de un espacio vectorial 15

Demostracion. Sea

φ ∈ Homk(E1 ⊗k · · · ⊗k En, Homk(E′1 ⊗k · · · ⊗k E′m, E1 ⊗k · · · ⊗k En ⊗k E′1 ⊗k · · · ⊗k E′m))

definido por φ(e1⊗· · ·⊗ en)(e′1⊗· · ·⊗ e′m) := e1⊗· · ·⊗ en⊗ e′1⊗· · ·⊗ e′m. Por la proposicion anteriortenemos el morfismo (E1 ⊗k · · · ⊗k En)⊗k (E′1 ⊗k · · · ⊗k E′m)→ E1 ⊗k · · · ⊗k En ⊗k E′1 ⊗k · · · ⊗k E′m,definido por (e1 ⊗ · · · ⊗ en)⊗ (e′1 ⊗ · · · ⊗ e′m) 7→ e1 ⊗ · · · ⊗ en ⊗ e′1 ⊗ · · · ⊗ e′m.

El morfismo E1 ⊗k · · · ⊗k En ⊗k E′1 ⊗k · · · ⊗k E′m → (E1 ⊗k · · · ⊗k En) ⊗k (E′1 ⊗k · · · ⊗k E′m),e1 ⊗ · · · ⊗ en ⊗ e′1 ⊗ · · · ⊗ e′m 7→ (e1 ⊗ · · · ⊗ en)⊗ (e′1 ⊗ · · · ⊗ e′m) es el morfismo inverso.

Hemos demostrado, ademas, la propiedad asociativa del producto tensorial, pues facilmente tene-mos que

E1 ⊗k (E2 ⊗k E3) = E1 ⊗k E2 ⊗k E3 = (E1 ⊗k E2)⊗k E3

7. Teorema : Sean Ei k-espacios vectoriales de dimension finita. La aplicacion lineal

E∗1 ⊗k . . .⊗k E∗nφ→ (E1 ⊗k · · · ⊗k En)∗ = Multilink(E1 × · · · × En, k)

w1 ⊗ · · · ⊗ wn 7→ ˜w1 ⊗ · · · ⊗ wn

con ˜w1 ⊗ · · · ⊗ wn(e1 ⊗ · · · ⊗ en) := w1(e1) · · ·wn(en), es un isomorfismo lineal.

Demostracion. Sea eiji una base de Ej y wiji la base dual. Por tanto, una base de E∗1⊗k · · ·⊗kE∗nes wi11 ⊗ · · · ⊗winni1,...,in , que resulta ser vıa φ la base dual de la base ei11 ⊗ · · · ⊗ einni1,...,in deE1 ⊗k · · · ⊗k En.

8. Notacion: Por abuso de notacion suele denotarse ˜w1 ⊗ · · · ⊗ wn por w1⊗· · ·⊗wn. Recıprocamente,w1 ⊗ · · · ⊗ wn suele pensarse como la aplicacion multilineal ˜w1 ⊗ · · · ⊗ wn.

Otra formula importante es:

9. Proposicion : Sea E′ un k-espacio vectorial de dimension finita. Entonces

E′∗ ⊗k E = Homk(E′, E)

Demostracion. Si E′ = k es obvio. En general, E′ = kn. Como Homk(−, E) y −⊗k E conmutan consumas directas finitas, hemos concluido.

Explıcitamente, el morfismo E′∗⊗kE → Homk(E′, E), w⊗e 7→ ˜w ⊗ e, donde ˜w ⊗ e(e′) := w(e′) ·e,es un isomorfismo canonico.

1.4. Algebra exterior n-esima de un espacio vectorial

“Queremos definir ahora un producto ∧, con las propiedades multilineales de ⊗ y de modo quev1 ∧ · · · ∧ vr sea cero si y solo v1, . . . , vn ∈ E no son linealmente dependientes. Basta imponer solo quev1 ∧ . . . ∧ vr es nulo si dos de los vi son iguales”.

Sea V el k-subespacio vectorial de E ⊗kn· · · ⊗k E, generado por los vectores

e1 ⊗ · · · ⊗ ej−1 ⊗ e⊗ · · · ⊗ ek−1 ⊗ e⊗ · · · ⊗ en

variando ei, e, j, k.


1. Definicion : Llamaremos algebra exterior n de E, que denotaremos por ΛnE, a

ΛnE := (E ⊗kn· · · ⊗k E)/V

2. Notacion: Denotaremos e1 ⊗ e2 ⊗ · · · ⊗ en ∈ (E ⊗kn· · · ⊗k E)/V = ΛnE por e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ en.

Observemos que ∧ ademas de las propiedades de multilinealidad heredadas de ⊗, cumple quee1 ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ en = 0. Si ei es combinacion lineal de los ejj 6=i, entonces e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ei ∧ · · · ∧ en = 0: ei =

∑j 6=iλjej , luego

e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ en = e1 ∧ · · · ∧ ei−1 ∧ (∑j 6=iλjej) ∧ ei+1 ∧ · · · ∧ en

=∑j 6=i

λje1 ∧ · · · ∧ ei−1 ∧ ej ∧ ei+1 ∧ · · · ∧ en = 0

Como 0 = e1∧· · ·∧ (e+e′)∧· · ·∧ (e+e′)∧· · ·∧en = e1∧· · ·∧e∧· · ·∧ (e+e′)∧· · ·∧en+e1∧· · ·∧e′∧· · ·∧ (e+e′)∧· · ·∧en = e1∧· · ·∧e∧· · ·∧e∧· · ·∧en+e1∧· · ·∧e∧· · ·∧e′∧· · ·∧en+e1∧· · ·∧e′∧· · ·∧e∧· · ·∧en+e1∧· · ·∧e′∧· · ·∧e′∧· · ·∧en = e1∧· · ·∧e∧· · ·∧e′∧· · ·∧en+e1∧· · ·∧e′∧· · ·∧e∧· · ·∧enobtenemos que

e1 ∧ · · · ∧ ej∧ · · · ∧ e

k

′ ∧ · · · ∧ en = −e1 ∧ · · · ∧ ej

′ ∧ · · · ∧ ek∧ · · · ∧ en

Recordemos que toda permutacion es producto de transposiciones y que el signo de la permutacion esigual a −1 elevado al numero de las transposiciones. Por tanto, dada una permutacion σ, de 1, . . . , n,tenemos que

eσ(1) ∧ eσ(2) ∧ · · · ∧ eσ(n) = signo(σ) · e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ en

3. Como ΛnE = (E ⊗ n· · · ⊗E)/V , dar un morfismo lineal φ : ΛnE → F equivale a dar un morfismo

E⊗ n· · ·⊗E → F , que se anule en V , es decir, equivale a definir φ(e1∧· · ·∧en) (para todo e1, . . . , en ∈ E)que sea k-lineal en cada factor y de modo que φ(e1 ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ en) = 0.

Dada una aplicacion lineal T : E → E′ induce el morfismo ΛnT : ΛnE → ΛnE′, definido porΛnT (e1 ∧ · · · ∧ en) := T (e1) ∧ · · · ∧ T (en).

4. Notacion: Diremos que Λ0E = k y que Λ1E = E.

5. Teorema: Sea E un espacio vectorial de base e1, . . . , en. Entonces ei1∧· · ·∧eir1≤i1<i2<···<ir≤nes una base de ΛrE.

Demostracion. Sabemos que ei1 ⊗ · · · ⊗ eir1≤ij≤n es una base de E ⊗ r· · · ⊗E. Por tanto, tomandoclases tenemos que ei1 ∧ · · · ∧ eir1≤ij≤n es un sistema generador de ΛrE. Si en el producto exteriorde r-vectores aparecen vectores repetidos entonces es nulo. Ademas

eσ(1) ∧ eσ(2) ∧ · · · ∧ eσ(r) = signo(σ) · e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ er

Por tanto, ei1 ∧ · · · ∧ eir1≤i1<i2<···<ir≤n es un sistema generador de ΛrE.

Supongamos que existe una combinacion lineal∑

1≤i1<i2<···<ir≤nλi1,i2,··· ,irei1 ∧ · · · ∧ eir = 0, con

algun λi1,i2,··· ,ir 6= 0. Reordenando la base, podemos suponer que λ1,2,··· ,r 6= 0.


Sea wi la base dual de ei. Consideremos la aplicacion lineal

w : ΛrE → k, v1 ∧ · · · ∧ vr 7→∑σ

signo(σ) · w1(vσ(1)) · · ·wr(vσ(r))

Se cumple que 0 = w(∑

1≤i1<i2<···<ir≤nλi1,i2,··· ,irei1 ∧ · · · ∧ eir ) = λ1,2,··· ,r.

6. Corolario : v1, . . . , vn ∈ E son linealmente independientes si y solo si v1 ∧ · · · ∧ vn 6= 0.

Demostracion. Si v1, . . . , vn ∈ E son linealmente independientes entonces forman parte de una base,luego v1 ∧ · · · ∧ vn forma parte de una base de ΛnE y es distinto de cero.

Si E es un espacio vectorial de dimension n y base e1, . . . , en entonces ΛnE es un espacio vectorial

de dimension 1 de base e1 ∧ · · · ∧ en. Dados v1, · · · , vn ∈ E, con vi =∑j

λijej , tendremos que

v1 ∧ · · · ∧ vn = (λ11e1 + · · ·+ λ1nen) ∧ · · · ∧ (λn1e1 + · · ·+ λnnen) =∑

i1 6=···6=inλ1i1 · · ·λninei1 ∧ · · · ∧ ein

=∑σ∈Sn

λ1σ(1) · · ·λnσ(n) · eσ(1) ∧ · · · ∧ eσ(n) = (∑σ∈Sn

signo(σ)λ1σ(1) · · ·λnσ(n)) · e1 ∧ · · · ∧ en

7. Definicion : Sea E un espacio vectorial de dimension n y T : E → E un endomorfismo lineal.Entonces ΛnE = k y ΛnT : ΛnE → ΛnE es la homotecia por cierto escalar de k, que llamaremosdeterminante de T y denotaremos det(T ).

Si e1, . . . , en es una base de E y la matriz de T en esa base es (λij), entonces T (e1)∧· · ·∧T (en) =

(∑σ∈Sn

signo(σ)λ1σ(1) · · ·λnσ(n)) · e1 ∧ · · · ∧ en, luego det(T ) =∑σ∈Sn

signo(σ)λ1σ(1) · · ·λnσ(n).

8. Proposicion : Sea E un espacio vectorial de dimension finita. T : E → E es un isomorfismo si ysolo si det(T ) 6= 0.

Demostracion. Sea e1, . . . , en una base de E. T es un isomorfismo ⇐⇒ T (e1), . . . , T (en) sonlinealmente independientes ⇐⇒ T (e1) ∧ · · · ∧ T (en) 6= 0 ⇐⇒ det(T ) 6= 0.

9. Teorema : det(T T ′) = det(T ) · det(T ′).

Demostracion. Se verifica que Λn(T ) Λn(T ′) = Λn(T T ′): (Λn(T ) Λn(T ′))(e1 ∧ · · · ∧ en) =Λn(T )(T ′(e1) ∧ · · · ∧ T ′(en)) = (T T ′)(e1) ∧ · · · ∧ (T T ′)(en) = Λn(T T ′)(e1 ∧ · · · ∧ en).

Por tanto, multiplicar (en ΛnE = k) por det(T ′) y despues multiplicar por det(T ) es igual amultiplicar por det(T T ′). Es decir, det(T T ′) = det(T ) · det(T ′).

10. Definicion : Dada una matriz A = (aij) llamaremos menor pq de la matriz, que denotaremospor Aqp, al determinante de la matriz que se obtiene suprimiendo en (aij) la columna p y la fila q.

11. Proposicion : det(aij) =∑q

(−1)qa1qAq1.


Demostracion. Sea ei una base. Entonces

det(aij)e1 ∧ · · · ∧ en = (∑j

a1jej) ∧ · · · ∧ (∑j

anjej) =∑k

a1kek ∧ (∑j

a2jej) ∧ · · · ∧ (∑j

anjej)

= a11e1 ∧ (∑j 6=1

a2jej) ∧ · · · ∧ (∑j 6=1

anjej) + · · ·+ a1nen ∧ (∑j 6=n

a2jej) ∧ · · · ∧ (∑j 6=n

anjej)

= a11A11 · e1 ∧ · · · ∧ en + · · ·+ a1nA

n1 · en ∧ e1 ∧ · · · ∧ en−1

= (∑j

(−1)ja1jAj1) · e1 ∧ · · · ∧ en

y hemos concluido.

Sea T : E → E un isomorfismo lineal y sea A = (aij) la matriz de T en una base ej de E.

Calculemos la matriz B = (bij) de T−1: T−1(ei) =∑j

bijej , luego

T−1(ei) ∧ e1 ∧ · · · ∧ ej ∧ · · · ∧ en = bijej ∧ e1 ∧ · · · ∧ ej ∧ · · · ∧ en = (−1)jbije1 ∧ · · · ∧ en

Aplicando ΛnT , obtenemos

ei ∧ T (e1) ∧ · · · ∧ ej ∧ · · · ∧ T (en) = bij(−1)j det(T )e1 ∧ · · · ∧ en

Como ei ∧ T (e1) ∧ · · · ∧ ej ∧ · · · ∧ T (en) = Aij · (−1)ie1 ∧ · · · ∧ en, entonces

bij = (−1)i+jAij

det(aij)

Hablemos, primero sin rigor, de orientacion de un R-espacio vectorial, para ligar la intuicion vagaque tenemos de orientacion con la definicion matematica de orientacion que daremos mas adelante.

“Decimos que un espacio vectorial E de dimension 1 (una recta) lo tenemos orientado, si sabemosdecir que esta a la derecha del cero y que esta a la izquierda del cero. Para esto es necesario y suficientecon que tengamos un vector no nulo e ∈ E, de modo que diremos que un punto e′ ∈ E distinto de 0,esta a la derecha de 0 si e′ = λ · e, con λ > 0, diremos que esta a la izquierda si λ < 0. Otro vector, vdefine la misma orientacion que e si y solo si v = µe, con µ > 0. En conclusion, dar una orientacionen E, equivale a dar un e ∈ E (o cualquier otro λe, con λ > 0).

Sea ahora E un plano. Decimos que en el plano E estamos orientados, si siempre que tengamosuna recta (pongamos que pasa por el origen) orientada sabemos decir que esta a la derecha de la rectao que esta a la izquierda de la recta. Ası si tenemos una recta orientada r = 〈e〉 ⊂ E (donde e orientala recta), dado e′ (que no yazca en la recta) sabemos decir si esta a la derecha o a la izquierda de larecta. Ademas, si e′ esta a la derecha de la recta, entonces los puntos de la derecha son de la formaλe + µe′, con µ > 0. Ası si fijamos la recta orientada r = 〈e〉 y decimos que e′ esta a la derecha der, definamos e ∧ e′ que es una base de Λ2E, entonces v = αe+ βe′ esta a la derecha de r, si y solo sie∧ v = β · e∧ e′ con β > 0. En conclusion, dada una dos coforma c2 ∈ Λ2E, tenemos una orientacionen E: Dada una recta orientada r = 〈e〉 (donde e, o λe con λ > 0, orienta la recta) diremos que e′

esta a la derecha de la recta r, si e∧ e′ = β · c2, con β > 0. Ası pues, dar una orientacion en E, es daruna c2 ∈ Λ2E (o cualquier otra λ · c2, con λ > 0).

Sea ahora E un R-espacio vectorial de dimension 3. Decimos que estamos orientados en E, si dadoun plano orientado sabemos decir que esta a su derecha y que esta a su izquierda. Dar un plano V ⊂ Eorientado, es dar una dos coforma c2 ∈ Λ2V (o cualquier otra λc2, con λ > 0). Ası si tengo, una trescoforma c3 ∈ Λ3E (o cualquier otra λ · c3, con λ > 0), dado e′ ∈ E, dire que esta a la derecha de V


si c2 ∧ e′ = α · c3, con α > 0. Observemos, que si e′′ = µe′ + v, con µ > 0 y con v ∈ V , entoncesc2∧e′′ = µ · c2∧e′ = µλc3. En conclusion, dar una orientacion en E, es dar una c3 ∈ Λ3E (o cualquierotra λ · c3, con λ > 0)”.

12. Definicion : Dar una orientacion en un R-espacio vectorial E de dimension n, es dar una n-coforma no nula cn ∈ ΛnE. Decimos que dos orientaciones cn y c′n son iguales si cn = λ · c′n, conλ > 0.

Como ΛnE ' R, en E solo podemos dar dos orientaciones, “una y su opuesta”.Dada una orientacion cn ∈ ΛnE existe una unica wn ∈ ΛnE∗, salvo un factor multiplicativo positi-

vo, de modo que wn(cn) ≥ 0. Equivalentemente, dada una n-forma wn, salvo un factor multiplicativopositivo, tenemos definida una orientacion.

Sea E un R-espacio vectorial de dimension n orientado, y e1 ∧ . . . ∧ en ∈ ΛnE una n-coforma queorienta E (o equivalentemente una n-forma wn que orienta E).

13. Definicion : Diremos que una base ordenada e′1, . . . , e′n esta positivamente ordenada si e′1 ∧· · · ∧ e′n = λ · e1 ∧ · · · ∧ en, con λ > 0 (o equivalentemente si wn(e′1, . . . , e

′n) > 0).

14. Proposicion : Sea e′i =∑j

λijej. Entonces e′1, . . . , e′n esta positivamente ordenada si y solo si

det(λij) > 0.

Demostracion. e′1 ∧ · · · ∧ e′n = det(λij) · e1 ∧ · · · ∧ en.

15. Definicion : Una aplicacion multilineal H : E × . . .×E → V es una aplicacion hemisimetrica siH(e1, · · · , en) = 0 si ei = ej , para un i 6= j.

Observemos que si ei es combinacion lineal de los demas ej , por la multilinealidad y hemisimetrıade H, se cumple que H(e1, . . . , en) = 0. Por otra parte,

0 = H(e1, · · · , e+ v, · · · , e+ v, · · · , en) = H(e1, · · · , e, · · · , v, · · · , en) +H(e1, · · · , v, · · · , e, · · · , en)

Luego H(e1, · · · , e, · · · , v, · · · , en) = −H(e1, · · · , v, · · · , e, · · · , en) y en general

H(e1, · · · , · · · , en) = signo(σ) ·H(eσ(1), · · · , eσ(n))

Denotemos Hemk(E × · · · × E, V ), el conjunto de aplicaciones hemisimetricas de E × · · · × E enV .

16. Proposicion : Hemk(E × m· · · × E, k) = (ΛmE)∗.

Demostracion. Estamos repitiendo 1.4.3. Toda aplicacion hemisimetrica H : E × m· · · × E → k, definela aplicacion H : E ⊗ m. . . ⊗ E → k, H(e1 ⊗ · · · ⊗ em) = H(e1, . . . , em), que factoriza vıa ΛmE → k,e1∧· · ·∧em 7→ H(e1, . . . , em). Recıprocamente, dada una aplicacion lineal, ΛmE → k, la composicion

E × m· · · × E → ΛmE → k es hemisimetrica.

17. Proposicion : Sea E un espacio vectorial de dimension finita. Entonces,

ΛmE∗ = (ΛmE)∗

Demostracion. La aplicacion, ΛmE∗φ→ (ΛmE)∗, ω1 ∧ · · · ∧ ωm 7→ ˜ω1 ∧ · · · ∧ ωm, donde

˜ω1 ∧ · · · ∧ ωm(v1 ∧ · · · ∧ vm) :=∑σ∈Sm

signo(σ) · ω1(vσ(1)) · · ·ωm(vσ(m))


es un isomorfismo. Porque si e1, . . . , en es una base de E y w1, . . . , wn la base dual, entonces φ aplicala base wi1 ∧ · · · ∧ wimi1<···<im de ΛmE∗ en la base dual de la base ei1 ∧ · · · ∧ eimi1<···<im deΛmE.

Con las dos proposiciones anteriores obtenemos la siguiente proposicion.

18. Proposicion : Sea E un espacio vectorial de dimension finita. Entonces

ΛmE∗ = Hemk(E × m· · · × E, k)

Explıcitamente, ΛmE∗ → Hemk(E × · · · × E, k), w1 ∧ · · · ∧ wm 7→ ˜w1 ∧ · · · ∧ wm, donde

˜w1 ∧ · · · ∧ wm(e1, . . . , em) := ˜w1 ∧ · · · ∧ wm(e1 ∧ . . . ∧ em) =∑σ∈Sm

signo(σ) · w1(eσ(1)) · · ·wm(eσ(m))

es un isomorfismo lineal.

Sea E un R-espacio vectorial de dimension n, con una orientacion. La funcion F : E×· · ·×E → Rque asigna a n-vectores el volumen del parelelepıpedo definido por los n-vectores, multiplicado por(−1) si los n vectores no estan positivamente orientados, es una funcion hemisimetrica. Por tanto,podemos definir F : ΛnE → R, que asigna a e1 ∧ · · · ∧ en el volumen del paralelepıpedo definido por

e1, . . . , en (multiplicado por (−1) si los n vectores no estan positivamente orientados). Si e′i =∑j

λijej ,

como e′1 ∧ · · · ∧ e′n = det(λij) · e1 ∧ · · · ∧ en, tendremos que

F (e′1 ∧ · · · ∧ e′n) = F (det(λij) · e1 ∧ · · · ∧ en) = det(λij)F (e1 ∧ · · · ∧ en)

En conclusion, el volumen del paralelepıpedo definido por los vectores e′1, · · · , e′n es |det(λij)| porel volumen del paralelepıpedo definido por los vectores e1, . . . , en.

ΛnE∗ = 〈F 〉. Al hablar de volumen hemos cometido un error. Debemos fijar una unidad devolumen. Debemos decir que cierto paralelepıpedo tiene volumen 1. Debemos fijar un generador deΛnE∗. A los vectores de ΛnE∗ se les llama formas de volumen.

1.5. Metricas

Uno de los conceptos difıciles de definir en la ensenanza basica es la nocion de angulo. Se dicealgo ası como que el angulo entre dos semirectas concurrentes es (el area de) la region que hay entrelas dos rectas. ¿Que es la region? Como se dice que una region es mayor que otra ¿es un numero?¡Pero la region es muy grande! Intentemos asignar a cada par de semirectas concurrentes un numero:“Consideremos un vector de modulo uno sobre cada semirecta. Midamos la longitud de la proyeccionortonormal de un vector de una recta en la otra. Esta medida, este numero, nos dara una idea exactadel angulo. Esta asignacion de un numero a cada par de semirectas concurrentes, puede extendersea una asignacion de un numero a cada par de vectores. En efecto, dados dos vectores e1, e2 sean |e1|y |e2| sus modulos y consideremos e′1 = e1

|e1| y e′2 = e2|e2| . Sea N(e1, e2) el numero que se obtiene de

multiplicar la longitud de la proyeccion de e′1 sobre e′2 por |e1| y |e2|”. Resulta que N : E × E → R,(e1, e2) 7→ N(e1, e2) es una aplicacion bilineal. En conclusion, la nocion de angulo en un espacioeuclıdeo esta estrechamente relacionada con la nocion de aplicacion bilineal. Veamos como a partir deuna aplicacion bilineal definimos lo que es espacio euclıdeo, angulo y modulo.

1.5. Metricas 21

Sea E un k-espacio vectorial de dimension finita. Sea e1, . . . , en una base de E y w1, . . . , wn ∈ E∗la base dual. Sabemos que

Bilk(E × E, k) = E∗ ⊗k E∗

Una base de E∗ ⊗k E∗ es wi ⊗ wj. Ası pues, dada una aplicacion bilineal T2 ∈ Bilk(E × E, k),

tendremos que T2 =∑i,j

λijwi ⊗ wj y

T2(e, e′) =∑i,j

λijwi(e) · wj(e′)

En particular, T2(ei, ej) = λij .

Por otra parte, E∗ ⊗ E∗ = Homk(E,E∗). Explıcitamente, dada T2 =∑i,j

λijwi ⊗ wj tenemos un

morfismo, denominado la polaridad asociada a T2 y que denotamos tambien T2, T2 : E → E∗ definidopor

T2(e) :=∑ij

λij · wi(e) · wj

En particular, T2(ei) =∑j

λijwj , luego la matriz de T2 es (λij). Observemos que T2(e)(e′) = T2(e, e′).

Recıprocamente, dado una aplicacion lineal T2 : E → E∗, podemos definir una aplicacion bilinealque seguimos denotando T2, T2(e, e′) := T2(e)(e′).

1. Definicion : Se dice que T2 es no singular si det(λij) 6= 0, es decir, T2 : E → E∗ es un isomorfismo.

Si T2 : E → E∗ es un isomorfismo, entonces T 2 := (T2)−1 : E∗ → E es un isomorfismo. Por tanto,T 2 define una aplicacion bilineal en E∗ (pues E = (E∗)∗). Si la matriz de T2 es (λij) la matriz de T 2

es (λij) := (λij)−1. Si T2 =

∑ij λijwi ⊗ wj , entonces T 2 = λijei ⊗ ej . Por ultimo observemos que si

w = T2(e) y w′ = T2(e′) entonces

T 2(w,w′) = T 2(w)(w′) = T 2(T2(e))(T2(e′)) = e(T2(e′)) = T2(e′)(e) = T2(e′, e)

2. Definicion : Se dice que T2 es una metrica simetrica si T2(e, e′) = T2(e′, e), para todo e, e′ ∈ E.

Si T2 es simetrica entonces λij = T2(ei, ej) = T2(ej , ei) = λji. Recıprocamente, si λij = λji, paratodo i, j, entonces T2(e, e′) = T2(e′, e) para todo e, e′ ∈ E. Es decir, T2 es simetrica si y solo si lapolaridad T2 coincide con su morfismo transpuesto T ∗2 .

Supongamos a partir de ahora que T2 es simetrica. Se dice que e es ortogonal a e′ (respecto de T2)si T2(e, e′) = 0. Se dice que dos subespacios E′, E′′ de E son ortogonales si T2(e′, e′′) = 0 para todoe′ ∈ E′ y e′′ ∈ E′′. Se dice que E es la suma ortogonal de dos subespacios E′ y E′′ si son ortogonalesy E es la suma directa de los dos subespacios. En este caso escribiremos E = E′⊥E′′. Observemosque

T2(e′1 + e′′1 , e′2 + e′′2) = T2(e′1, e

′2) + T2(e′′1 , e

′′2)

para todo e′1, e′2 ∈ E′ y e′′1 , e

′′2 ∈ E′′.

Si E′ y E′′ son dos espacios vectoriales con sendas metricas T ′2 y T ′′2 entonces podemos definir enE = E′ ⊕ E′′ la metrica

T2(e′ + e′′, v′ + v′′) := T ′2(e′, v′) + T ′′2 (e′′, v′′)

Obviamente, E es la suma ortogonal de E′ y E′′.


3. Definicion : Se denomina radical de T2, que denotaremos RadT2, al nucleo de la polaridad T2, esdecir,

RadT2 := e ∈ E | T2(e, e′) = 0 para todo e′ ∈ E

Si E′ es cualquier subespacio suplementario de RadT2 entonces E = RadT2⊥E′. La restriccionde T2 a RadT2 es la metrica nula. La restriccion de la metrica T2 a E′ es no singular, porque dadoe′ ∈ E′ si T2(e′, v) = 0 para todo v ∈ E′, entonces T2(e′, e) = 0 para todo e ∈ E y tendrıamos quee′ ∈ RadT2 y por tanto e′ = 0. En general, si E = E′⊥E′′ entonces RadT2 = RadT2|E′ ⊕RadT2|E′′ .

Dado un subespacio V ⊆ E diremos que V ⊥ := e ∈ E | T2(v, e) = 0 para todo v ∈ V es elespacio ortogonal de V .

Dado un subespacio vectorial V ⊆ E diremos que V 0 := w ∈ E∗ | w(v) = 0 para todo v ∈ V esel subespacio (de E∗) incidente de V . Si tomamos una base e1, . . . , er de V y la ampliamos a unabase e1, . . . , en de E y consideramos la base de E∗ dual w1, . . . , wn entonces wr+1, . . . , wn esuna base de V 0. Por tanto, dimV 0 = dimE − dimV .

Vıa el teorema de reflexividad, dado W ⊂ E∗ se tiene que W 0 = e ∈ E | w(e) = 0 para todow ∈W. Dado V ⊆ E se tiene que

V ⊥ = e ∈ E | 0 = T2(v, e) = T2(v)(e) para todo v ∈ V = T2(V )0

“Si dado un subespacio W ⊂ E∗ pensamos de modo inmediato en W 0, entonces podremos decirque la polaridad T2 aplica cada subespacio vectorial de E en su ortogonal´´

4. Proposicion : Si T2 es una metrica simetrica no singular de un espacio vectorial de dimensionfinita E y V ⊆ E es un subespacio vectorial entonces dimV ⊥ = dimE−dimV . Ademas, (V ⊥)⊥ = V .

Demostracion. dimV ⊥ = dimT2(V )0 = dimE∗ − dimT2(V ) = dimE − dimV .(V ⊥)⊥ = V . Si v′ ∈ V ⊥ entonces T2(v′, v) = 0 para todo v ∈ V . Por tanto, V ⊆ (V ⊥)⊥. Por

otra parte, dim(V ⊥)⊥ = dimE − dimV ⊥ = dimE − (dimE − dimV ) = dimV . Por dimensiones,(V ⊥)⊥ = V .

5. Definicion : Se dice que una base e1, . . . , en de E es ortonormal si T2(ei, ej) = 0 si i 6= j yT2(ei, ei) = ±1.

6. Teorema: Sea E un R-espacio vectorial de dimension finita y T2 una metrica simetrica no singularen E. Entonces existe una base ortonormal e1, . . . , en de E, luego matriz asociada a T2 en esta basees ±1 0 0

0. . . 0

0 0 ±1

Demostracion. Veamos en primer lugar que si T2(e, e) = 0 para todo e ∈ E entonces T2 = 0: Seane, e′ ∈ E, 0 = T2(e+ e′, e+ e′) = T2(e, e) + T2(e, e′) + T2(e′, e) + T2(e, e′) = 2T2(e, e′), luego T2 = 0.

Sea, pues, e ∈ E tal que T2(e, e) 6= 0. Sea E′ = 〈e〉⊥. Se tiene que 〈e〉∩E′ = 0, por tanto, por dimen-siones, E = 〈e〉⊥E′. La restriccion de T2 a E′ es no singular, pues 0 = RadT2 = RadT2|〈e〉⊕RadT2|E′ .Por induccion sobre la dimension, existe una base ortonormal e2, . . . , en en E′. Si consideramose1 = 1√

|T2(e,e)|· e tenemos que e1, . . . , en es una base ortonormal de E.

7. Definicion : Se dice que E con la metrica simetrica T2 es un espacio euclıdeo si T2(e, e) > 0 paratodo vector no nulo de E.

1.5. Metricas 23

En particular, en los espacios euclıdeos, T2 es no singular.Reordenando la base, podemos suponer en el teorema anterior que

T2 ≡

1r

. . .

1−1

. . .

−1

Veamos que el numero r no depende de la base escogida: para todo e ∈ E′ = 〈e1, . . . , er〉, no nulo,se tiene que T2(e, e) > 0; del mismo modo para todo e ∈ E′′ = 〈er+1, . . . en〉 no nulo se cumple queT2(e, e) < 0. Supongamos que existe un subespacio vectorial V tal que para todo v ∈ V no nuloT2(v, v) > 0. Obviamente V ∩ E′′ = 0, luego dimV ≤ dimE − dimE′′ = dimE′ = r. En conclusion,r es la dimension maxima de los subespacios euclıdeos de E.

8. Definicion : Se define el modulo de un vector e como√|T2(e, e)|. Supongamos que E es euclıdeo,

se define el angulo entre dos vectores no nulos e, e′ como el numero 0 ≤ α < π tal que cosα = T2(e, e′).

Por ejemplo, dos vectores (no nulos) son perpendiculares si y solo si el angulo entre ellos es π/2.Toda metrica en E extiende de modo natural a ΛmE: Dar una metrica T2 en E, equivale a definir

“la polaridad” T2 : E → E∗, T2(e)(e′) := T2(e, e′). La polaridad T2 define el morfismo, ΛmT2 : ΛmE →ΛmE∗, e1 ∧ · · · ∧ em 7→ T2(e1)∧ · · · ∧T2(em). Ahora bien, ΛmE∗ = (ΛmE)∗, luego tengo un morfismoΛmE → (ΛmE)∗, luego una metrica ΛmT2 en ΛmE definida por

ΛmT2(e1 ∧ · · · ∧ em, e′1 ∧ · · · ∧ e′m) = (T2(e1) ∧ · · · ∧ T2(em))(e′1 ∧ · · · ∧ e′m)

=∑σ∈Sm

signo(σ) · T2(e1)(e′σ(1)) · · ·T2(em)(e′σ(m))

=∑σ∈Sm

signo(σ) · T2(e1, e′σ(1)) · · ·T2(em, e

′σ(m))

Si T2 es una metrica simetrica en E, entonces ΛmT2 tambien lo es, porque (ΛmT2)∗ = ΛmT ∗2 =ΛmT2.

Si e1, . . . , en es una base ortonormal de E entonces ei1 ∧ · · · ∧ eimi1<···<im es una base ortonor-mal de ΛmE. Si S : E → E es una isometrıa, entonces det(S) = ±1: S(e1), . . . , S(en) es una baseortonormal de E y S(e1) ∧ · · · ∧ S(en) = det(S) · e1 ∧ · · · ∧ en tiene modulo 1, luego det(S) = ±1.

Si E es un R-espacio vectorial de dimension n, entonces ΛnE es un R-espacio vectorial de dimension1. Si T2 es una metrica simetrica no singular de E, existe salvo signo una unica forma de volumen demodulo 1. Si e1, . . . , en es una base de E y T2 ≡ (λij). Entonces,

ΛnT2(e1 ∧ · · · ∧ en, e1 ∧ · · · ∧ en) = (T2(e1) ∧ · · · ∧ T2(en))(e1 ∧ · · · ∧ en)

= det(λij) · w1 ∧ · · · ∧ wn(e1 ∧ · · · ∧ en) = det(λij)

Ası pues, la coforma de volumen es 1√| det(λij)|

· e1 ∧ · · · ∧ en. Igualmente, la forma de volumen es

wE =1√

|det(λij)|· w1 ∧ · · · ∧ wn =

√|det(λij)| · w1 ∧ · · · ∧ wn


Observemos que si e1, . . . , en es una base ortonormal de E entonces wE = ± · w1 ∧ · · · ∧ wn ywE(e1, . . . , en) = ±1.

Sea E un R-espacio vectorial euclıdeo de dimension 3 orientado. Sea w3 ∈ Λ3E∗ la unica 3-formaque sobre una base ortonormal e1, e2, e3 positivamente orientada, vale w3(e1, e2, e3) = 1. Es decir, siw1, w2, w3 es la base dual de e1, e2, e3 entonces w3 = w1 ∧ w2 ∧ w3 (que con la metrica inducida porla metrica de E∗, w3 es de modulo 1 y w3 define la orientacion dada en E).

Dados dos vectores v1, v2 ∈ E, llamamos producto vectorial de v1 por v2, que denotamos porv1 × v2, al vector determinado por

T2(v1 × v2, e) = w3(v1, v2, e)

Observemos que v1 × v2 es ortogonal a v1 y v2. El producto vectorial, ×, es multilineal hemi-simetrico. Si v1 y v2 son linealmente independientes entonces v1, v2, v1× v2 es una base positivamenteorientada, pues 0 < λ = T2(v1× v2, v1× v2) = w3(v1, v2, v1× v2). Si v1 y v2 son ortogonales, entoncesv1×v2 es el vector ortonormal a v1 y v2, de modulo el producto de los modulos de v1 y v2, de modo quev1, v2, v1 × v2 estan positivamente orientados: por la multilinealidad del producto vectorial podemossuponer que v1 y v2 son de modulo 1. Sea v3, tal que v1, v2, v3 sea una base ortonormal positivamenteorientada. Entonces, e1 ∧ e2 ∧ e3 = v1 ∧ v2 ∧ v3 y T2(v1 × v2, v3) = w3(v1, v2, v3) = w3(e1, e2, e3) = 1.Por tanto, v1 × v2 = v3 y hemos terminado.

Observemos que si vi =∑j

λijej , entonces T2(v1 × v2, v3) = det(λij), pues v1 ∧ v2 ∧ v3 = det(λij) ·

e1 ∧ e2 ∧ e3 y T2(v1 × v2, v3) = w3(v1, v2, v3) = det(λij).

1.6. Producto exterior y contraccion interior

Si un morfismo φ : E⊗E′ → E′′ se anula sobre los elementos e⊗ e′ para todo e ∈ V ⊂ E y e′ ∈ E′entonces factoriza vıa el morfismo φ : (E/V )⊗ E′ → E′′, φ(e⊗ e′) := φ(e⊗ e′).

El morfismo composicion

(E ⊗ n· · · ⊗ E)⊗ (E ⊗ m· · · ⊗ E) = E ⊗ n+m· · · ⊗ E → Λn+mE

(e1 ⊗ · · · ⊗ en)⊗ (en+1 ⊗ · · · ⊗ en+m) 7→ e1 ∧ · · · ∧ en+m

factoriza vıa el morfismo, que llamaremos producto exterior de formas, ΛnE ⊗ ΛmE → Λn+mE,(e1 ∧ · · · ∧ en)⊗ (en+1 ∧ · · · ∧ en+m) 7→ e1 ∧ · · · ∧ en+m.

1. Proposicion : El producto exterior de formas es asociativo: (Ωn ∧ Ωm) ∧ Ωr = Ωn ∧ (Ωm ∧ Ωr),con Ωi ∈ ΛiE.

El producto exterior de formas es anticonmutativo: Ωn ∧ Ωm = (−1)n·mΩm ∧ Ωn, para toda Ωn ∈ΛnE y Ωm ∈ ΛmE.

Demostracion. La asociatividad es clara, en cuanto a la anticonmutatividad digamos solo que

(e1 ∧ · · · ∧ en) ∧ (en+1 ∧ · · · ∧ en+m) = (−1)n·m(en+1 ∧ · · · ∧ en+m) ∧ (e1 ∧ · · · ∧ en)

Dado w ∈ E∗ y E ⊗ E′ consideremos el morfismo “de contraccion interior por w en el primer

factor” i1w : E ⊗ E′ → E′, i1w(e⊗ e′) := w(e) · e′. Por otra parte, sea en E ⊗ n· · · ⊗ E

iw : E ⊗ n· · · ⊗ E → E ⊗ n−1· · · ⊗ E, iw(e1 ⊗ · · · ⊗ en) :=∑i

(−1)i−1 · w(ei) · e1 ⊗ · · · ⊗ ei ⊗ · · · ⊗ en

1.6. Producto exterior y contraccion interior 25

que llamaremos contraccion interior hemisimetrica, que es la suma de la contraccion interior por wen cada factor afectada de un signo.

TE := k ⊕ E ⊕ (E ⊗ E) ⊕ · · · ⊕ (E ⊗ n· · · ⊗ E) ⊗ . . ., con la suma, +, y con el producto, ⊗, sedice que es el algebra tensorial asociada a E. ΛE := k⊕E ⊕ (Λ2E)⊕ · · · ⊕ (ΛnE)⊗ . . ., con la suma,+, y con el producto, ∧, se dice que es el algebra exterior asociada a E. El epimorfismo TE → ΛE,e1 ⊗ · · · ⊗ en 7→ e1 ∧ · · · ∧ en es un morfismo de algebras (= de anillos).

2. Proposicion : La contraccion interior hemisimetrica es una antiderivacion del algebra tensorial,

es decir, dadas Tn ∈ (E ⊗ n· · · ⊗ E) y Tm ∈ (E ⊗ m· · · ⊗ E), entonces

iw(Tn ⊗ Tm) = (iwTn)⊗ Tm + (−1)nTn ⊗ (iwTm)

Demostracion. Basta demostrar la proposicion para Tn = e1 ⊗ · · · ⊗ en y Tm = e′1 ⊗ · · · ⊗ e′m. Ahorabien, la suma de las contracciones interiores por w en cada factor (afectado por un signo) es contraerprimero en los n-primeros factores mas contraer despues en los ultimos m factores. La cuestion delsigno se la dejamos al lector.

La contraccion interior hemisimetrica en el algebra tensorial define por paso al cociente un apli-cacion lineal que denominaremos “la contraccion interior” en el algebra exterior. En efecto, si vi = vj(i < j) entonces

iw(v1 ⊗ · · · ⊗ vr) =

= (−1)i−1w(vi) · v1 ∧ · · · ∧ vi ∧ · · · ∧ vj ∧ · · · ∧ vr + (−1)j−1w(vj) · v1 ∧ · · · ∧ vi ∧ · · · ∧ vj ∧ · · · ∧ vr= ((−1)i−1 + (−1)j−1 · (−1)j−i−1)w(vi)v1 ∧ · · · ∧ vi ∧ · · · ∧ vj ∧ · · · ∧ vr = 0

Tenemos pues el morfismo

iw : ΛrE → Λr−1E, iw(v1 ∧ · · · ∧ vr) := iw(v1 ⊗ · · · ⊗ vr) =∑i

(−1)i−1w(vi) · v1 ∧ · · · ∧ vi ∧ · · · ∧ vr

3. Corolario : La contraccion interior es una antiderivacion del algebra exterior, es decir, dadasΩn ∈ ΛnE y Ωm ∈ ΛmE, entonces

iw(Ωn ∧ Ωm) = (iwΩn) ∧ Ωm + (−1)nΩn ∧ (iwΩm)

Las n-formas se identifican con las aplicaciones hemisimetricas de orden n. Veamos que es lacontraccion interior por un vector de una aplicacion hemisimetrica: Sea e ∈ E y Ωn = w1 ∧ · · · ∧wn ∈ΛnE∗ = Hemk(E × n. . .× E, k) entonces

(ie1Ωn)(e2, . . . , en) = (ie(w1 ∧ · · · ∧ wn))(e2, . . . , en)

= (∑i

(−1)i−1wi(e1)w1 ∧ · · · ∧ wi ∧ · · · ∧ wn))(e2, . . . , en)

1=∑i

∑σ∈Sn−1

(−1)i−1signo(σ)w1(eσ(2)) · · ·wi(e1) · · ·wn(eσ(n))

2= w1 ∧ · · · ∧ wn(e1, e2, . . . , en) = Ωn(e1, e2, . . . , en)

1= Consideramos Sn−1 como el subgrupo de Sn formado por las permutaciones que dejan el 1 fijo.


2= Si definimos τi ∈ Sn, la permutacion que transforma 1, . . . , n en 2, . . . , i − 1, 1, i, . . . , n,

entonces signo(τ) = (−1)i−1 y Sn = Sn−1 ·τ1∐· · ·∐Sn−1 ·τn (porque Sn−1 ·τi son las permutaciones

que transforman el 1 en el i).Para los ejercicios que siguen observemos que dado un subespacio vectorial V ⊆ E, tomando

duales tenemos el morfismo “de restriccion” E∗ → V ∗, w 7→ w|V (w|V (v) := w(v), para toda v ∈ V ),tenemos pues morfismos ΛiE∗ → ΛiV ∗, w1 ∧ · · · ∧ wi 7→ (w1 ∧ · · · ∧ wi)|V := w1|V ∧ · · · ∧ wi|V .

4. Ejercicio : Sea E un espacio euclıdeo orientado de dimension n y E′ ⊆ E un hiperplano. Sea Nun vector normal a E′ de modulo 1. Sea wE la forma de volumen de E.

1. Probar que iNwE restringida a E′ es igual a la forma de volumen wE′ de E′ que lo orienta, demodo que si e2, . . . , en es una base positivamente orientada de E′ entonces N, e2, . . . , en es unabase positivamente orientada de E.

2. Dado e ∈ E, (iewE)|E′ = T2(e,N) · wE′ .

5. Ejercicio : Sea (E, T2) un espacio vectorial euclıdeo y R ⊂ E un subespacio vectorial de dimension1. Sea r un vector de R de modulo 1 que oriente a R y sea wR la forma de “longitud” de R. Dadoe ∈ E probar que (ieT2)|R = T2(e, r) · wR.

1.7. Algebra tensorial simetrica

“Queremos definir ahora un producto conmutativo, con las propiedades multilineales de ⊗”.

Sea V el k-subespacio vectorial de E ⊗ n· · · ⊗ E, generado por los vectores

e1 ⊗j· · · ⊗ ej ⊗ · · · ⊗ ek ⊗ · · · ⊗ en − e1 ⊗

j· · · ⊗ ek ⊗ · · · ⊗ ej ⊗ · · · ⊗ en

variando ei, j, k.

1. Definicion : Llamaremos algebra exterior n de E, que denotaremos por SnE, a

SnE := (E ⊗kn· · · ⊗ E)/V

2. Notacion: Denotaremos e1 ⊗ · · · ⊗ en ∈ (E ⊗kn· · · ⊗ E)/V = SnE por e1 · · · en.

Observemos que · ademas de las propiedades multilineales heredadas de ⊗, cumple que

e1 · · · en = eσ(1) · · · eσ(n)

para todo σ ∈ Sn.

3. Como SnE = (E ⊗ n· · · ⊗E)/V , dar un morfismo lineal φ : SnE → F equivale a dar un morfismo

E⊗ n· · · ⊗E → F que se anule en V , es decir, equivale a definir φ(e1 · · · en) (para todo e1, . . . , en ∈ E)que sea k-lineal en cada factor y de modo que φ(e1 · · · en) = φ(eσ(1) · · · eσ(n)) para todo σ ∈ Sn. Esdecir,

Homk(SnE,F ) = T ∈Multk(E × n· · · × E,F ) | T (e1, · · · , en) = T (eσ(1), · · · , eσ(n)),∀σ ∈ Sn

= Aplic. n-mult. simetricas de E en F =: Simk(E × n· · · × E,F )

4. Teorema : Sea E un espacio de base e1, . . . , en. Entonces ei1 · · · eir1≤i1≤···≤ir≤n es una basede SrE.

1.7. Algebra tensorial simetrica 27

Demostracion. Sabemos que ei1⊗· · ·⊗eir1≤ij≤n es una base de E⊗ r· · ·⊗E. Por tanto, tomando clasestenemos que ei1 · · · eir1≤ij≤n es un sistema generador de SrE. Como ei1 · · · eir = eiσ(1)

· · · eiσ(r)para

todo σ ∈ Sr, tendremos que ei1 · · · eir1≤i1≤···≤ir≤n es un sistema generador de SrE.

Nos falta probar que son linealmente independientes. Sea t =∑

1≤i1≤···≤ir≤nλi1,...,irei1 · · · eir = 0.

Sea w1, . . . , wn la base dual de e1, . . . , en. Dado i1 ≤ · · · ≤ ir sea J el conjunto de todas las

combinaciones con repeticion de este conjunto y w =∑

j1,...,jr∈Jwj1 ⊗ · · · ⊗ wjr ∈ Homk(SrE, k).

Entonces,

λi1,...,ir = w(t) = 0

Sn opera de modo natural en E ⊗ n· · · ⊗ E permutando los factores: dada σ ∈ Sn y e1 ⊗ · · · ⊗ en,σ(e1 ⊗ · · · ⊗ en) := eσ(1) ⊗ · · · ⊗ eσ(n). Sea

(E ⊗ n· · · ⊗ E)Sn := T ∈ E ⊗ n· · · ⊗ E | σ(T ) = T para todo σ ∈ Sn

El morfismo composicion

(E ⊗ n· · · ⊗ E)⊗ (E ⊗ m· · · ⊗ E) = E ⊗ n+m· · · ⊗ E → Sn+mE

(e1 ⊗ · · · ⊗ en)⊗ (en+1 ⊗ · · · ⊗ en+m) 7→ e1 · · · en+m

factoriza vıa el morfismo, que llamaremos producto simetrico de tensores simetricos, SnE ⊗ SmE →Sn+mE, (e1 · · · en)⊗ (en+1 · · · en+m) 7→ e1 · · · en+m =: (e1 · · · en) · (en+1 · · · en+m).

5. Proposicion : El producto simetrico de tensores simetricos es asociativo: (Tn ·Tm) ·Tr = Tn · (Tm ·Tr), con Ti ∈ SiE.

El producto simetrico de tensores simetricos es conmutativo: Tn ·Tm = Tm ·Tn, para toda Tn ∈ SnEy Tm ∈ SmE.

S·E := k ⊕E ⊕ (S2E)⊕ · · · ⊕ (SnE)⊗ . . ., con la suma, +, y con el producto, ·, se dice que es elalgebra simetrica asociada a E. El epimorfismo TE → S·E, e1 ⊗ · · · ⊗ en 7→ e1 · · · en es un morfismode algebras (= de anillos). Denotaremos S0E = k y S1E = E.

Sea w ∈ E∗, llamaremos al morfismo

iw : E ⊗ n· · · ⊗ E → E ⊗ n−1· · · ⊗ E, iw(e1 ⊗ · · · ⊗ en) :=∑i

w(ei) · e1 ⊗ · · · ⊗ ei ⊗ · · · ⊗ en

contraccion interior simetrica, que es la suma de la contraccion interior por w en cada factor.

6. Proposicion : La contraccion interior simetrica es una derivacion del algebra tensorial, es decir,

dadas Tn ∈ (E ⊗ n· · · ⊗ E) y Tm ∈ (E ⊗ m· · · ⊗ E), entonces

iw(Tn ⊗ Tm) = (iwTn)⊗ Tm + Tn ⊗ (iwTm)

Demostracion. Basta demostrar la proposicion para Tn = e1 ⊗ · · · ⊗ en y Tm = e′1 ⊗ · · · ⊗ e′m. Ahorabien, la suma de las contracciones interiores por w en cada factor es contraer primero en los n-primerosfactores mas contraer despues en los ultimos m factores.


La contraccion interior simetrica en el algebra tensorial define por paso al cociente un aplicacionlineal que denominaremos “la contraccion interior” en el algebra simetrica. En efecto, el morfismo

iw : SrE → Sr−1E, iw(v1 · · · vr) :=∑i

w(vi) · v1 · · · vi · · · vr

esta bien definido.

7. Corolario : La contraccion interior es una derivacion del algebra simetrica, es decir, dadas Tn ∈SnE y Tm ∈ SmE, entonces

iw(Tn · Tm) = (iwTn) · Tm + Tn · (iwTm)

Sea E un espacio vectorial de dimension finita. Vıa el isomorfismo lineal E⊗ n· · ·⊗E 'Multk(E∗×n· · · × E∗, k), tenemos que (E ⊗ n· · · ⊗ E)Sn = Simk(E∗ × n· · · × E∗, k).

8. Proposicion : Supongamos que la caracterıstica de k es primo con n!. El morfismo S : SnE →E⊗ n· · ·⊗E, S(e1 · · · en) =

∑σ∈Sn eσ(1) · · · eσ(n) establece un isomorfismo entre SnE y (E⊗ n· · ·⊗E)Sn

(cuyo morfismo inverso es precisamente 1n! · π, donde π : E ⊗ n· · · ⊗ E → SnE es el morfismo natural

de paso a cociente).

Demostracion. Es una comprobacion inmediata.

En caracterıstica cero, los tensores simetricos de orden n se identifican con las aplicaciones simetri-cas de orden n. Veamos que es la contraccion interior por un vector de una aplicacion simetrica: Seae ∈ E y Tn = w1 · · ·wn ∈ SnE∗ = Simk(E × n. . .× E, k) entonces

(ie1Tn)(e2, . . . , en) = (ie(w1 · · ·wn))(e2, . . . , en)

= (∑i

wi(e1) · w1 · · · wi · · ·wn)(e2, . . . , en)

1=∑i

∑σ∈Sn−1

w1(eσ(2)) · · ·wi(e1) · · ·wn(eσ(n))

2= w1 · · ·wn(e1, e2, . . . , en) = Tn(e1, e2, . . . , en)

1= Consideramos Sn−1 como el subgrupo de Sn formado por las permutaciones que dejan el 1 fijo.2= Si definimos τi ∈ Sn, la permutacion que transforma 1, . . . , n en 2, . . . , i − 1, 1, i, . . . , n,

entonces Sn = Sn−1 · τ1∐· · ·∐Sn−1 · τn (porque Sn−1 · τi son las permutaciones que transforman el

1 en el i).

1.8. Modulo de diferenciales. Derivaciones

Sea k un cuerpo, A un anillo y k → A un morfismo de anillos (en este caso se dice que A esuna k-algebra y escribiremos λ 7→ λ). Sea E el A-modulo libre de base db, para todo b ∈ A,es decir, E es el A-modulo formado por las sumas formales finitas

∑b∈A

abdb (ab ∈ A y casi todos

nulos). Sea E′ el A-submodulo de E generado por los elementos d(b + b′)− db− db′, d(λb)− λdby d(bb′)− b′db− bdb′ (para todo b, b′ ∈ A y λ ∈ k).

1.8. Modulo de diferenciales. Derivaciones 29

1. Definicion : Llamaremos A-modulo de diferenciales de Kahler de A sobre k, que denotaremos porΩA/k, a

ΩA/k := E/E′

2. Notacion:: Denotaremos adb por adb.

Observemos que d(b+ b′) = db+ db′, dλb = λdb y d(bb′) = b′db+ bdb′.Dar un morfismo de A-modulos φ : ΩA/k →M , equivale a dar un morfismo de A-modulos E →M ,

que se anule sobre E′, es decir, equivale a dar φ(db), para todo b ∈ A, de modo que φ(d(b + b′)) =φ(db) + φ(db′), φ(dλb)) = λφ(db) y φ(dbb′) = b′φ(db) + bφ(db′).

3. Definicion : Sea A una k-algebra y M un A-modulo. Diremos que una aplicacion D : A→ M esuna k-derivacion si verifica las siguientes condiciones:

1. D es un morfismo de k-modulos.

2. D(ab) = bD(a) + aD(b) para todo a, b ∈ B.

Observemos que D(1) = D(1 · 1) = 1D(1) + 1D(1) = 2D(1), luego D(1) = 0. Ademas, dado λ ∈ k,D(λ) = λD(1) = 0.

El conjunto de todas las k-derivaciones de A en M se denota por Derk(A,M). Si definimos

(D +D′)(a) := D(a) +D′(a) (aD)(b) := aDb

tenemos que el conjunto de todas las k-derivaciones de A en M tiene estructura de A-modulo.

4. Proposicion : Sea A una k-algebra y M un A-modulo. Se cumple que

HomA(ΩA/k,M) = Derk(A,M)

Demostracion. Dado un morfismo de A-modulos T : ΩA/k →M consideremos la derivacion DT : A→M , DT (a) := T (da). Recıprocamente, dada una derivacion D : A → M , consideremos el morfismode A-modulos TD : ΩA/k → M , TD(db) = Db. Las asignaciones D TD, T DT son inversas entresı.

El morfismo natural d : A → ΩA/k, a 7→ da, es una derivacion, es decir, verifica que d(a + a′) =da+ da′, d(ab) = adb+ bda. Ademas d se anula sobre k.

Sea A = k[x1, . . . , xn] el anillo de polinomios y M un A-modulo. Si una k-derivacion

D : k[x1, . . . , xn]→M

se anula sobre los xi entonces D = 0: Por linealidad basta probar que es nula sobre los monomios xα

y para ello procedamos por induccion sobre |α| = α1 + . . .+ αn. Supongamos α1 6= 0, sea β, tal queβ1 = α1−1 y βi = αi, para i > 1 (luego |β| < |α|), entonces D(xα) = D(x1 ·xβ) = xβ ·Dx1+x1 ·Dxβ =0 + 0 = 0.

Dado m ∈M , sea m ∂∂xi

la derivacion definida por m ∂∂xi

(p(x)) := ∂p(x)∂xi·m. Dada una derivacion D

entonces D =∑i

(Dxi) · ∂∂xi

, pues la diferencia entre los dos terminos de la igualdad es una derivacion

que se anula en todos los xi. Ahora ya es claro el teorema siguiente.

5. Teorema : Derk(k[x1, . . . , xn],M) = M ∂∂x1⊕ · · · ⊕M ∂

∂xn.

6. Corolario : Ωk[x1,...,xn]/k = k[x1, . . . , xn]dx1 ⊕ · · · ⊕ k[x1, . . . , xn]dxn.


Demostracion. La diferencial d : k[x1, . . . , xn]→ Ωk[x1,...,xn]/k es una derivacion, luego d =∑i dxi ·

∂∂xi

por el teorema anterior y dp(x) =∑i

∂p(x)∂xi· dxi. Por tanto, dx1, . . . dxn es un sistema generador de

Ωk[x1,...,xn]/k. Por otra parte, el morfismo Ωk[x1,...,xn]/k → k[x1, . . . , xn]dx1 ⊕ · · · ⊕ k[x1, . . . , xn]dxn,

dp(x) 7→∑i

∂p(x)∂xi· dxi, esta bien definido, lo que muestra que dx1, . . . dxn es una base.

Otro metodo de demostracion estandar en Matematicas, que esencialmente hemos seguido, dice:de la igualdad (funtorial) para todo M , de los dos extremos de las igualdades,

Homk[x1,...,xn](Ωk[x1,...,xn]/k,M) = Derk[x1,...,xn](k[x1, . . . , xn],M) = M∂

∂x1⊕ · · · ⊕M ∂

∂xn= Homk[x1,...,xn](k[x1, . . . , xn]dx1 ⊕ · · · ⊕ k[x1, . . . , xn]dxn,M)

se deduce que Ωk[x1,...,xn]/k = k[x1, . . . , xn]dx1 ⊕ · · · ⊕ k[x1, . . . , xn]dxn.

Sea mα ⊂ A un ideal maximal tal que A/mα = k como k-algebras. Dado a ∈ A, denotemosa(α) = a ∈ k = A/mα. La aplicacion

dα : A→ mα/m2α, dαa := a− a(α)

es una k-derivacion: Observemos que mα/m2α es un A-modulo, a · m := am = a(α) · m (porque

(a− a(α)) ·m ∈ m2α). Ahora ya,

dα(a · b) = a · b− a(α) · b(α) = a · (b− b(α)) + b(α) · (a− a(α)) = a(α) · dαb+ b(α) · dαa

Dado un A-modulo M , denotemos M(α) = M/mα ·M .

7. Teorema : ΩA/k(α) = mα/m2α.

Demostracion. El morfismo ΩA/k(α) → mα/m2α, adb 7→ a(α)dαb esta bien definido y el morfismo

inverso es mα/m2α → ΩA/k(α), b 7→ db.

Dado α ∈ kn, el nucleo del morfismo k[x1, . . . , xn]→ k, p(x1, . . . , xn) 7→ p(α), es el ideal maximalmα = (x1 − α1, . . . , xn − αn). El morfismo natural, Ωk[x1,...,xn]/k(α) = mα/m

2α, asigna dp 7→ dαp =

p(x)− p(α). Como dp =∑i∂p∂xi

dxi entonces dαp =∑i∂p∂xi

(α) · dαxi.Si M es un A-modulo e I ⊂ A un ideal entonces ΛrAM/I · ΛrAM = ΛA/I(M/I · M), pues los

morfismos m1 ∧ · · · ∧mr 7→ m1 ∧ · · · ∧ mr, m1 ∧ · · · ∧ mr 7→ m1 ∧ · · · ∧mr son inversos entre sı. Porlo tanto,

(ΛrAΩA/k)(α) = Λrk mα/m2α

Si N es un A-modulo anulado por un ideal I, en particular es un A/I-modulo, a · n := a · n.Recıprocamente, si N es un A/I-modulo es en particular un A-modulo a · n := ·n. Si N ′ es otro A/I-modulo entonces HomA(N,N ′) = HomA/I(N,N

′). Si M y N son A-modulos y N es un A-moduloanulado por un ideal I, entonces todo morfismo de A-modulos f : M → N se anula en I ·M , luegopodemos definir f : M/I ·M → N , m 7→ f(m) y f = f π, donde π : M → M/I ·M , π(m) := m.Tenemos HomA(M,N) = HomA(M/I ·M,N), f 7→ f .

8. Teorema : Sea N un A-modulo anulado por mα (es decir, un A/mα-modulo). Entonces,

Homk(mα/m2α, N) = Derk(A,N)

1.9. Diferencial, contraccion por un campo, derivada de Lie 31

Demostracion. Homk(mα/m2α, N) = HomA(mα/m

2α, N) = HomA(ΩA/k(α), N) = HomA(ΩA/k, N) =

Derk(A,N).

Explıcitamente, dado f : mα/m2α → N tenemos f dα : A → N ; dado D : A → N , tenemos

mα/m2α → N , dαb 7→ Db.

1.9. Diferencial, contraccion por un campo, derivada de Lie

1. Teorema: El morfismo natural d : A→ ΩA/k extiende de modo unico a una antiderivacion de gra-do 1 del algebra exterior de ΩA/k de cuadrado nulo, es decir, existen morfismos unicos di : ΛiΩA/k →Λi+1ΩA/k, de modo que d0 = d, di+1 di = 0 y

dn+m(Ωn ∧ Ωm) = (dnΩn) ∧ Ωm + (−1)nΩn ∧ (dmΩm)

Demostracion. Estamos obligados a definir d1 : ΩA/k → Λ2ΩA/k, adb 7→ da∧db (que esta bien definida)

y en general dn(w1 ∧ · · · ∧ wn) :=∑i

(−1)i−1 · w1 ∧ · · · ∧ d1(wi) ∧ · · ·wn.

Observese que dn(adb1 ∧ · · · ∧ dbn) = da ∧ db1 ∧ · · · ∧ dbn, luego di+1 di = 0.

2. Notacion: Denotaremos dn = d, si no induce a equivocacion, Ωi = ΛiΩA/k, siendo Ω0 = A.

Denotaremos Ω· =∞⊕i=0

Ωi. Ω·, con el producto exterior es un algebra “anticonmutativa”.

3. Proposicion : Sea D ∈ Derk(A,A) = HomA(ΩA/k, A). Entonces DL := iD d + d iD es unaderivacion de grado cero de Ω·, que sobre A es D (sobrentendemos que iD sobre A es nulo).

Demostracion. Por ser iD y d antiderivaciones de grado −1 y 1 respectivamente entonces DL es unaderivacion de grado cero (compruebese).

4. Proposicion : DL d = d DL .

Demostracion. DL d = (iD d+ d iD) d = d iD d. d DL = d (iD d+ d iD) = d iD d.

Por tanto, DL(adb1 ∧ · · · ∧ dbn) = Da · db1 ∧ · · · ∧ dbn +∑i

adb1 ∧ · · · ∧ d(Dbi) ∧ · · · ∧ dbn.

Dadas D,D′ ∈ Derk(A,A), definamos [D,D′] := D D′−D′ D que resulta ser una derivacion deA. Por otra parte, la derivacion DL sobre ΩA/k induce de modo natural una derivacion, denotemosla

tambienDL, sobre Derk(A,A) = HomA(ΩA/k, A): DadaD′ definimosDLD como sigue, (DLD′)(w) :∗=

D(w(D′)) − (DLw)(D′), para cada w ∈ ΩA/k. Se cumple que DLD′ = [D,D′]: basta comprobar laigualdad para w = db,

[D,D′](db) = (D D′ −D′ D)(b)(DLD′)(db) = D(db(D′))− (DL(db))(D′) = D(D′b)− (dDb)(D′) = D(D′b)−D′(Db)

De hecho, podrıamos haber definido DLD′ := [D,D′], despues podrıamos haber definido DLw,para toda w ∈ ΩA/k (suponiendo que ΩA/k = Derk(A,A)∗) y despues podrıamos haber extendidoDL como antiderivacion sobre el algebra exterior de ΩA/k. Por ultimo, nos quedarıa probar queDL = iD d+ d iD.


5. Proposicion : Sean D,D′ ∈ Derk(A,A) dos derivaciones. Entonces

DL iD′ − iD′ DL = i[D,D′]

Demostracion. Por serDL una derivacion de grado cero y iD′ una antiderivacion de grado−1. entoncesDL iD′ − iD′ DL es una antiderivacion de grado −1, que estara determinada por lo que vale sobreΩA/k, que es i[D,D′], por

∗=.

6. Formula de Cartan : Dada w ∈ ΩA/k entonces

dw(D,D′) = D(w(D′))−D′(w(D))− w([D,D′])

Demostracion. dw(D,D′) = iD′(iDdw) = iD′((DL − d iD)(w)) = (DL iD′ − i[D,D′])w−D′w(D) =

D(w(D′))− w([D,D′])−D′w(D).

1.10. Calculo valorado

1. Definicion : Una aplicacion d : M →M ⊗A ΩA/k diremos que es una diferencial en M , si

1. d(m+m′) = dm+ dm′.

2. d(am) = adm+m⊗ da.

La diferencial d : M →M⊗ΩA/k extiende a M⊗Ω·A/k: d(m⊗Ωi) := dm∧Ωi+m⊗dΩi (observemos

que dm =∑j

mj ⊗ wj , con wj ∈ ΩA/k y denotamos dm ∧ ωi =∑j

mj ⊗ wj ∧ Ωi). Los elementos de

M ⊗ Ωi los llamaremos i-formas valoradas en M .Dada otra diferencial d : M ′ →M ′⊗ΩA/k, tenemos la diferencial d : M⊗AM ′ →M⊗AM ′⊗AΩA/k,

d(m⊗m′) := dm⊗m′+m⊗dm′ (reordenando en el primer sumando los factores del producto tensorialpara que todo tenga sentido).

Dadas m ⊗ Ωi ∈ M ⊗ Ωi y m′ ⊗ Ωj denotemos (m ⊗ Ωi) ∧ (m′ ⊗ Ωj) := m ⊗ m′ ⊗ Ωi ∧ Ωj ∈M ⊗M ′ ⊗ Ωi+j . Tenemos un morfismo

(M ⊗ Ω·)⊗ (M ′ ⊗ Ω·) ∧→ M ⊗M ′ ⊗ Ω·wi ⊗ wj 7→ wi ∧ wj

Se cumple que d(wi ∧ wj) = dwi ∧ wj + (−1)iwi ∧ dwj . Dado D ∈ Derk(A,A), sea iD : M⊗Ω· →

M⊗Ω·, iD(m⊗Ωi) = m⊗iDΩi. Obviamente, iD(wi ∧ wj) = iDwi ∧ wj + (−1)iwi ∧ iDwj . Definamos

DL := iD d+ d iD, que resulta ser una derivacion, es decir

DL(wi ∧ wj) = DLwi ∧ wj + wi ∧DLwj

Denotaremos DLm = iDdm =: D∇m. Es sencillo comprobar que

DL iD′ − iD′ DL = i[D,D′]

Dada una 1-forma valorada w ∈M ⊗ Ω, tenemos que

dw(D1, D2) = iD2(iD1dw) = iD2(−d(w(D1)) +DL1 w) = −D∇2 (w(D1)) +D∇1 (w(D2))− w([D1, D2])

1.10. Calculo valorado 33

2. Definicion : Una conexion ∇ en un A-modulo M es una aplicacion Derk(A,A)×M →M , dondeseguimos la notacion (D,m) 7→ D∇m, cumpliendo

1. (D +D′)∇m = (D∇m) + (D′∇m).

2. (aD)∇m = a(D∇m).

3. D∇(am) = (Da) ·m+ aD∇m.

4. D∇(m+m′) = D∇m+D∇m′.

Para todo a ∈ A, m,m′ ∈M , D,D′ ∈ Derk(A,A).

Toda diferencial d : M →M⊗AΩA/k, define la conexion ∇ dada por D∇m := iD(dm), que cumpleque D∇(am) = iD(d(am)) = iD(m ⊗ da + adm) = (Da)m + aiDdm = (Da)m + aD∇m y las demaspropiedades exigidas a las conexiones.

A partir de ahora supondremos que ΩA/k es un A-modulo libre finito generadoDerk(A,A) es un A-modulo libre finito generado y ΩA/k y Derk(A,A) son duales entre sı. Ademas,

M⊗AΩA/k = HomA(Derk(A,A),M), m⊗w pensado en HomA(Derk(A,A),M) es la aplicacion lineal(m⊗ w)(D) := w(D)m.

3. Proposicion : Supongamos que ΩA/k es un A-modulo libre finito generado. Existe una correspon-dencia biunıvoca entre conexiones en M y diferenciales de M .

Demostracion. A cada diferencial le hemos asignado ya una conexion lineal. Recıprocamente, dada laconexion ∇ sea d(m), tal que dm(D) = D∇m.

Si tenemos dos modulosM,N con sendas diferenciales, podemos definir una diferencial en HomA(M,N):

d : HomA(M,N)→ HomA(M,N)⊗ ΩA/k = HomA(M,N ⊗ ΩA/k)

d(T )(m) := d(T (m)) − (T ⊗ 1)(dm). Como sabemos esta diferencial extiende a HomA(M,N) ⊗ Ω·.Se cumple que dado T ∈ HomA(M,N) ⊗ Ωn = HomA(M,N ⊗ Ωn) su diferencial como elemento deHomA(M,N)⊗ Ω· coincide con la diferencial de T pensado como elemento de HomA(M,N ⊗ Ωn).

Un morfismo T : M → N de A-modulos diremos que es diferencial si dT = 0, es decir, d T =T d. Si el morfismo T es diferencial, entonces T : M ⊗ Ω· → M ′ ⊗ Ω· conmuta con d, iD, DL y(T ⊗ T )(w ∧ w′) = T (w) ∧ T (w′). El morfismo HomA(M,N) ⊗M → N , φ ⊗m 7→ φ(m), resulta serdiferencial. Cuando tengamos una n-forma wn valorada en HomA(M,N) y otra m-forma wm valoradaen N , entendemos vıa este morfismo que wn ∧ wm es una n+m-forma valorada en N .

4. Definicion : El morfismo A-lineal d2 : M →M ⊗ Ω2 diremos que es el tensor de curvatura.

5. Proposicion : d2(m)(D1, D2) = D∇1 D∇2 m−D∇2 D∇1 m− [D1, D2]∇m.

Demostracion. iD2(iD1

d2m) = iD2(DL

1 dm−diD1dm) = DL

1 (iD2(dm))−dm([D1, D2])−(dD∇1 m)(D2) =

D∇1 D∇2 m−D∇2 D∇1 m− [D1, D2]∇m.

Si ΩA/k es un A-modulo libre finito generado, entonces HomA(M,M ⊗ Ω2) = EndAM ⊗ Ω2.Denotare por R ∈ EndA(M) ⊗ Ω2 al tensor correspondiente a d2. Observemos que R(D1, D2,m) =D∇1 D

∇2 m−D∇2 D∇1 m− [D1, D2]∇m.

6. Proposicion : Dada w ∈M ⊗ Ωi, entonces

d2w = R ∧ w


Demostracion. Escribamos w = m⊗Ωi. Entonces, d2(m⊗Ωi) = d(dm⊗Ωi+m⊗dΩi) = d2m⊗Ωi−dm⊗ dΩi + dm⊗ dΩi +m⊗ d2Ωi) = d2m⊗ Ωi = R ∧ w.

7. Identidad diferencial de Bianchi : dR = 0.

Demostracion. La diferencial del morfismo Md2

→M ⊗ Ω2 es nula ya que el cuadrado

Md2

//

d

M ⊗ Ω2

d

M ⊗ Ω

d2// M ⊗ Ω3

es conmutativo.

8. Definicion : Una conexion sobre M = Derk(A,A) se llama conexion lineal.

Supongamos que ΩA/k es un A-modulo libre finito generado y que tenemos una conexion lineal.Pensemos Id ∈ HomA(ΩA/k,ΩA/k) = Derk(A,A)⊗Ω como una 1-forma valorada (no como endomor-fismo). Denotemos d Id = Tor∇ ∈ Derk(A,A)⊗ Ω2 y calculemos

Tor∇(D1, D2) = D∇1 (Id(D2))−D2(Id(D1))− Id([D1, D2]) = D∇1 D2 −D∇2 D1 − [D1, D2]

Supongamos que ∇ es una conexion lineal simetrica, es decir, Tor∇ = 0. Entonces, 0 = d2(Id) =R ∧ Id.

9. Identidad lineal de Bianchi : Si ∇ es una conexion lineal simetrica entonces

R ∧ Id = 0

Interpretemos esta igualdad: 0 = R∧ Id(D1, D2, D3) = (iD1(R∧ Id))(D2, D3) = (iD1

R)∧ Id +R∧iD1 Id)(D2, D3) = R(D1, D2)(Id(D3))−R(D1, D3)(Id(D2)) +R(D2, D3)(Id(D1)). Luego,

R(D1, D2)(D3) +R(D3, D1)(D2) +R(D2, D3)(D1) = 0

10. Proposicion: Sea ∇ una conexion lineal, d : Ω→ Ω⊗Ω la diferencial definida por ∇ y π : Ω⊗Ω→Ω2 el morfismo natural de paso al cociente. Sea dC la diferencial de Cartan. Se cumple que

π d− dC = Tor∇ ∈ Derk(A,A)⊗ Ω2

Una conexion lineal es simetrica si y solo si π d = dC

Demostracion. π(d(w))(D1, D2) = D∇1 w(D2)−D∇2 w(D1) = D1(w(D2))−w(D∇1 D2)−D2(w(D1)) +w(D∇2 D1). Por la formula de Cartan, dC(w)(D1, D2) = D1(w(D2))−D2(w(D1))− w([D1, D2]). Portanto, (π d− dC)(w,D1, D2) = Tor∇(w,D1, D2).

Si definimos D∇′D′ = D∇D − 1

2 Tor∇(D,D′), se tiene que ∇′ es simetrica.Consideremos los morfismos canonicos π1 : Ω ⊗ Ω → Ω2, π2 : Ω ⊗ Ω → S2Ω. Consideremos el

isomorfismo φ : Ω ⊗ Ω = Λ2Ω ⊕ S2Ω, φ(w) = (π1(w), π2(w)). Dada una conexion lineal simetrica yel morfismo diferencial d : Ω → Ω ⊗ Ω, tenemos que π1 d = dC y π2 d = ds, con ds(w)(D1, D2) =(D∇1 w)(D2) + (D∇2 w)(D1). Se cumple que ds es k-lineal y ds(f ·w) = (df) ·w+ f · dsw y diremos queds es una diferencial simetrica.

Dar la conexion lineal simetrica ∇ equivale a dar la diferencial simetrica ds : Ω→ S2Ω.Sea ds : SmΩ → Sm+1Ω, ds(w1 · · ·wm) :=

∑i w1 · · ·wi−1 · dswi · · ·wm. Para m = 0 definimos

ds = d.

1.11. Modules de jets y operadores diferenciales 35

1.11. Modules de jets y operadores diferenciales

Sean M y N dos A-modulos. Se dice que F : N → M es un operador diferencial de orden 0 siF (an) = a · F (n), para todo a ∈ A y n ∈ N , es decir, si F es un morfismo de A-modulos.

1. Definicion : Una aplicacion k-lineal F : N → M se dice que es un operador diferencial de ordenn− 1 si ∑

i1,...,ir∪j1,...,jn−r=1,...,n

(−1)rai1 · · · air · F (aj1 · · · ajn−r · n) = 0

para todo a1, . . . , an ∈ A y n ∈ N .

Las derivaciones son operadores diferenciales de orden 1.

2. Proposicion : F : N → M es un operador diferencial de orden n > 0 si y solo si [F, a] :=F a · − a · F es un operador diferencial de orden n− 1 para todo a ∈ A.

3. Proposicion : La composicion de un operador diferencial de orden r con uno de orden s es unoperador diferencial de orden r + s.

Demostracion. Sea F : N → M un operador diferencial de orden r y G : M → M ′ un operadordiferencial de orden s. Procedamos por induccion sobre r + s. Por hipotesis de induccion

[a,GF ] = a ·GF −GF a· = (aGF −Ga ·F )+(Ga ·F −Ga ·F ) = [a,G]F +G [a, F ]

es un operador diferencial de orden r + s− 1, luego G F es un operador diferencial de orden r + s.

4. Notacion : Diffnk (N,M) denota el conjunto de opradores diferenciales de N en M de orden N .

5. Proposicion : Sea m ⊂ A un ideal tal que A/m = k. Supongamos que M es un A/m-modulo.Entonces,

Diffnk (N,M) = Homk(N/mn+1 ·N,M)

Demostracion. Todo aplicacion k-lineal F : N/mn+1 ·N →M es un operador diferencial de orden n:Si a ∈ m entonces [F, a] se anula en mn · N ⊂ N/mn+1, es decir, tenemos [F, a] : N/mn ·N →M , quees un operador diferencial de orden n− 1, por hipotesis de induccion. Si a ∈ k entonces [F, a] = 0. Enconclusion, [F, a] es un operador diferencial de orden n− 1 y F es un operador diferencial de orden n.Por tanto, si π : N → N/mn+1 ·N es el morfismo de paso al cociente F π : N → M es un operadordiferencial de orden n.

Todo operador diferencial F : N →M de orden n se anula en mn+1 ·N (recordemos que m·M = 0),por la definicion de operador diferencial de orden n. Por tanto, F factoriza vıa N/mn+1 ·N .

6. Definicion : Sea M un A-modulo. Diremos que JnkM := (A ⊗k A/∆n+1) ⊗AM es el modulo der-jets de N .

7. Proposicion : HomA(JnkN,M) = Diffnk (N,M). En particular, HomA(JnA/k, A) = Diffnk (A,A).

Demostracion. Consideremos A ⊗k N como A ⊗ A-modulo, A ⊗k A como A-algebra, A → A ⊗k A,a 7→ a⊗ 1 y M es un A⊗k A/∆-modulo. Diffnk (N,M) = DiffnA(A⊗k N,M), D 7→ Id⊗D, luego

Diffnk (N,M) = DiffnA(A⊗k N,M) = HomA((A⊗k N)/(∆n+1 · (A⊗k N)),M)

= HomA((A⊗k A/∆n+1)⊗A N,M) = HomA(JnkN,M)


8. Proposicion : Sea m ⊂ A un ideal tal que A/m = k y sea M un A-modulo. Entonces

(JnkM)⊗A A/m = M/mn ·M

9. Observacion :

Diffnk (N,M) = HomA(JnN/k,M) = HomA(N,HomA(JnA/k,M)) = HomA(N,Diffnk (A,M))

Explıcitamente, aD ∈ Diffnk (N,M) le asignamos D ∈ HomA(N,Diffnk (A,M)), definido por D(n)(a) :=D(an) (Diffnk (A,M) lo consideramos A-modulo por la “derecha” D · a = D a·).

Dado el morfismo Id: JnN/k → JnN/k, tendremos que j : N → JnN/k, n 7→ 1 ⊗ n es un operador

diferencial de orden n y todo operador diferencial de orden n, F : N → N ′, es igual a la composicionde j y un morfismo de A-modulos f : JnN/k → N ′.

La composicion,

NjN→ JrN/k

jJrN/k→ JsJr

N/k= JsA/k ⊗A J

rA/k ⊗A N

es un operador diferencial de orden r+s, luego tenemos un morfismo natural Jr+sN/k → JsA/k⊗AJrN/k, que

dualmente es el morfismo natural Diffsk(N,Diffrk(A,M))→ Diffr+sk (N,M), D 7→ D, D(n) := D(n)(1).

Tenemos la cadena de inclusiones (en Homk(A,A))

Diff1k(A,A) → Diff2

k(A,A) → · · · → Diffnk (A,A) → · · ·

El dual de la sucesion exacta 0→ SnΩ→ (A⊗A)/∆n+1 → (A⊗A)/∆n → 0 es

0→ Diffn−1k (A,A)→ Diffnk (A,A)

simbn→ Sn Derk(A,A)→ 0

Se dice que simbn(F ) es el sımbolo del operador F .

10. Definicion : Diffk(A,A) =∞∪i=0

Diffik(A,A).

Supongamos que A es una k-algebra lisa, es decir, el morfismo natural SnΩ → ∆n/∆n+1 es unisomorfismo, para todo n.

11. Teorema: Sea ds la diferencial simetrica asociada a una conexion lineal simetrica. Los morfismos

(A⊗A)/∆n+1 φn→ A⊕ Ω⊕ · · · ⊕ SnΩ, a⊗ b 7→ a · (b, db, d2sb/2, . . . , d

ns b/n!)

son isomorfismos de A-algebras y los diagramas

0 // ∆n/∆n+1 // (A⊗A)/∆n+1 //

φn

(A⊗A)/∆n //

φn−1

0

0 // SnΩ // A⊕ Ω⊕ · · · ⊕ SnΩ // A⊕ Ω⊕ · · · ⊕ Sn−1Ω // 0

son conmutativos.

Demostracion. Es facil comprobar que φn es un morfismo deA-algebras. Obviamente φn(a⊗ 1− 1⊗ a) =(0, da,−, ...,−), luego, φn es la identidad sobre ∆n/∆n+1. Ahora es facil ver que el diagrama es con-mutativo y demostrar por induccion sobre n que los φn son isomorfismos.

1.11. Modules de jets y operadores diferenciales 37

12. Corolario : El morfismo A/mn+1x → k⊕mx/m

2x⊕ · · ·⊕mnx/m

n+1x , f 7→

n∑i=0

disfi! (x), es un isomor-

fismo de k-algebras.

Se dice qued2sf2 (x) es el Hessiano de f en x.

13. Teorema : Sea ds la diferencial simetrica asociada a una conexion lineal simetrica. Entonces,

S·Derk(A,A)ϕ= Diffk(A,A), ϕ(D1 · · ·Dn)(a) :=

dns a

n!(D1, . . . , Dn)

y se tiene el diagrama conmutativo

0 // n−1⊕i=0

Si Derk(A,A)

ϕ

// n⊕i=0Si Derk(A,A)

ϕ

// Sn Derk(A,A)

Id

// 0

0 // Diffn−1k (A,A)

// Diffnk (A,A) // Sn Derk(A,A) // 0

Ademas se cumple la “formula de Leibnitz”

ϕ(D1 · · ·Dn)(a · b) =∑

i1,...,ir∪j1,...,jn−r=1,...,n

ϕ(Di1 · · ·Dir )(a) · ϕ(Dj1 · · ·Djn−r )(b)

Ahora, Diffk(A,A) vıa ϕ, tiene estructura de algebra conmutativa graduada:

ϕ(D1 · · ·Dn) ∗ ϕ(D′1 · · ·D′m) := ϕ(D1 · · ·Dn ·D′1 · · ·D′m)

Sea Diffr+(A,A) := D ∈ Diffrk(A,A) : D(1) = 0.14. Proposicion :

Conexiones lineales simetricas = s ∈ HomA(S2 Der(A,A),Diff2+(A,A)) : simb2 s = Id

Demostracion. Dada una conexion lineal simetrica, ∇, definimos s : S2 Der(A,A)→ Diff2+(A,A) por

s(D1 ·D2) := D1 D2 −D∇1 D2. Recıprocamente, dado s definimos D∇1 D2 := D1 D2 − s(D1 ·D2),que como pertenece al nucleo de simb2, pertenece a Derk(A,A).

En Diffk(A,A) existe una conexion canonica: D∇F := D F , para todo F ∈ Diffk(A,A) yD ∈ Derk(A,A). Por tanto, existe una diferencial canonica d : Diffk(A,A) ⊗ ΩA,k, que extiende auna diferencial en el complejo Diffk(A,A)⊗ Ω·A,k. Observemos que R = d2 = 0, porque R(D1, D2) =

D1 D2 −D2 D1 −[D1, D2] = 0. Por tanto, Diffk(A,A)⊗ Ω·A,k es un complejo diferencial.

Sea E un A-modulos finito generado libre. Sea K = S·E ⊗Λ·E∗ el complejo cuya diferencial d estensorializar por Id, es decir, si e1, . . . , en es una base de E y w1, . . . , wn es la base dual, entonces

d(si ⊗ Ωj) =∑r

si · er ⊗ wr ∧ Ωj =: Id∧(si ⊗ Ωj)

Obviamente, d2 = 0. Graduemos K = ⊕rKr, donde Kr := S·E ⊗ ΛrE∗. Obviamente d(Kr) ⊂ Kr+1.


15. Lema :

Hi(K) =

0 si i 6= nΛnE∗ si i = n

16. Teorema de Takens: Se cumple que

Hi(Diffk(A,A)⊗A Ω·A,k) =

0 si i 6= nΩnA,k si i = n

Sea T2 ∈ Ω⊗ Ω una metrica simetrica no singular y denotemos la polaridad tambien por

T2 : Derk(A,A)→ Ω.

Sea ds : Ω → S2Ω, ds(w) := T 2(w)LT2. Tenemos pues definida una conexion lineal simetrica enDerk(A,A), denominada conexion de Levi-Civita asociada a T2.

Capıtulo 2

Calculo Tensorial en GeometrıaDiferencial

2.1. Desarrollo de Taylor

El teorema de Bolzano afirma que si f es una funcion continua en [a, b] tal que f(a) > 0 y f(b) < 0(o al reves) entonces existe un ξ ∈ (a, b) tal que f(ξ) = 0 (la ξ se obtiene por el metodo de biseccion).

Si f ′(c) > 0 para un c ∈ (a, b), entonces existe un εc > 0 de modo que f(c + t) > f(c) yf(c) > f(c − t), para todo 0 ≤ t < εc. Si f ′ > 0 en (a, b) entonces f es creciente en (a, b). Comoconsecuencia se obtiene el teorema de Rolle que dice que si f es una funcion continua en [a, b], derivableen (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0: Si f ′ > 0 en (a, b) entonces f serıacreciente y f(a) < f(b), si f ′ < 0 en (a, b) entonces f serıa decreciente y f(a) > f(b). Por tanto, f ′ esnegativa en algun punto y positiva en algun otro, por Bolzano f ′ se anula en algun punto intermedio.

Recordemos el Teorema del valor medio: si f(x), g(x) son funciones derivables en (a, b) y continuasen [a, b], dados a < b existe ξ ∈ (a, b) tal que (f(b)− f(a))g′(ξ)− (g(b)− g(a))f ′(ξ) = 0 (si g′(ξ) 6= 0y g(b) − g(a) 6= 0, habrıamos escrito (f(b) − f(a))/(g(b) − g(a)) = f ′(ξ)/g′(ξ)): Sea H(x) = (f(b) −f(a))g(x)− (g(b)− g(a))f(x), como H(a) = H(b), entonces existe un ξ ∈ (a, b) tal que H ′(ξ) = 0.

En particular, si f ′(x) existe para todo x 6= a y existe lımx→a f′(x), entonces f ′(a) existe y coincide

con este lımite : f ′(a) = lımx→af(x)−f(a)

x−a = lımx→a f′(ξ) = lımx→a f

′(x).

Lema de L’Hopital: Si F,G son funciones diferenciables tales que F (0) = G(0) = 0, G′ no se

anule en un entorno de 0 (salvo quizas en 0), y lımx→0F ′(x)G′(x) existe, entonces por el Teorema del valor

medio lımx→0F (x)G(x) = lımx→0

F ′(x)G′(x) .

Sea Cn(U) el anillo de las funciones n veces derivables de derivadas continuas en un abierto0 ∈ U ⊂ R.

1. Lema fundamental: Dada f(x) ∈ Cn(U), si f(0) = 0, entonces existe h(x) ∈ Cn−1(U), tal quef(x) = x · h(x).1

Demostracion. Demos una demostracion con el mınimo de conocimientos de Analisis de Funciones.La funcion, h(x) = f(x)

x (donde h(0) := f ′(0)) es una funcion continua, que tenemos que probar que

1Hay una demostracion maravillosa de este teorema, pero que hace uso de ciertos resultados de Analisis: Derivemose integremos y ¡saquemos algo! f(x) = f(x)− f(0) =

∫ 10

∂∂t

f(tx) · dt =∫ 10 f ′(tx) · x · dt = x ·

∫ 10 f ′(tx)dt

39

40 Capıtulo 2. Calculo Tensorial en Geometrıa Diferencial

pertenece a Cn−1(U).

Considerando en vez de f , f −n∑i=1

aixi, con ai = 1

i!fi)(0), podemos suponer que f(0) = f ′(0) =

. . . = fn)(0) = 0.Tenemos que probar que h′ = f ′/x − f/x2 ∈ Cn−2(U). Por induccion sobre n, podemos suponer

que f ′/x ∈ Cn−2(U). Tenemos que probar que f/x2 ∈ Cn−2(U). Probemos que si f(0) = f ′(0) =. . . = fn)(0) = 0 entonces f/x2 ∈ Cn−2(U). Observemos que f/x2 es continua pues por L’Hopitallımx 7→0 f/x

2 = f ′′(0)/2. Tenemos que probar que (f/x2)′ = f ′/x2− f/2x3 ∈ Cn−3(U). Por induccionsobre n, podemos suponer que f ′/x2 ∈ Cn−3(U). Tenemos que probar que f/x3 ∈ Cn−3(U). Argu-mentando ası sucesivamente llegaremos a que tenemos que probar que f/xn ∈ C0(U), lo cual es ciertoporque aplicando L’Hopital sucesivamente tenemos que lımx 7→0 f/x

n = fn)(0)/n!.

2. Corolario : Si f(x) ∈ C∞(U) cumple que f(0) = 0, entonces existe h(x) ∈ C∞(U) tal quef(x) = h(x) · x. Entonces, por cambio de variable x = x − α, tendremos que si α ∈ U y f(α) = 0entonces existe h(x) ∈ C∞(U) de modo que f(x) = h(x) · (x− α).

Ası dada f(x) ∈ Cn(U), entonces f(x) − f(α) = g(x) · (x − α) con g(x) ∈ Cn−1(U). Luegof(x) = f(α)+(x−α) ·g(x). Repitiendo el argumento con g(x), tendremos que f(x) = f(α)+(x−α) ·(g(α)+(x−α) ·h(x)) = f(α)+g(α)(x−α)+h(x)(x−α)2, (con h(x) ∈ Cn−2(U)). Ası sucesivamente,tendremos que

f(x) = a0 + a1(x− α) + · · ·+ an−1(x− α)n−1 + z(x) · (x− α)n

ai ∈ R, z(x) ∈ C0(U). Ademas, ai = lımx→α

f(x)−i−1∑j=0

aj(x−α)j

(x−α)i = f(i(α)i! .

Ahora en varias variables.

3. Definicion : Se dice que una funcion real f definida en un entorno de un punto α ∈ Rn esdiferenciable en α si existe una matriz A = (a1, . . . , an) de modo que

lımx→α

f(x)− f(α)−A · (x− α)t

||x− α||= 0

Observemos que en tal caso, tomando x = (x1 + h, α2, . . . , αn) tenemos que

0 = lımh→0

f(α1 + h, α2, . . . , αn)− f(α)−A · (h, 0, . . . , 0)t

|h|= lımh→0

f(α1 + h, α2, . . . , αn)− f(α)− a1 · h|h|

Luego, lımh→0f(α1+h,α2,...,αn)−f(α)−a1·h

h = 0 y a1 = ∂f∂x1

(α). Igualmente, ai = ∂f∂xi

(α). Si las de-rivadas parciales existen en un entorno de α y son continuas entonces f es derivable, con A =( ∂f∂x1

(α), . . . , ∂f∂xn (α)):

lımx→αf(x)−f(α)−

∑i ai(xi−αi)

||x−α|| = lımx→αf(x)−f(a1,x2,...,xn)+f(a1,x2,...,xn)−f(α)−

∑i ai(xi−αi)

||x−α||

= lımx→α(fx1 (ξ,x2,...,xn)−a1)(x1−α1)+f(α1,x2,...,xn)−f(α)−

∑i>1 ai(xi−αi)

||x−α||

= lımx→α(fx1

(ξ,x2,...,xn)−a1)(x1−α1)

||x−α|| + lımx→αf(α1,x2,...,xn)−f(α)−

∑i>1 ai(xi−αi)

||x−α||

que es igual a cero, por induccion sobre n (observando que ||(x − α)|| es mayor que |x1 − α1| y que||(x2, . . . , xn)− (α2, . . . , αn)||).

2.2. Espacio tangente en un punto 41

Es obvio que si f es derivable en α entonces es continua en α. Se dice que f es de clase r en unabierto si ∂rf

∂m1 x1···∂mnxn son continuas en el abierto para todo m1 + · · ·+mn = r.

Sea U un entorno abierto de α y f ∈ C2(U). Se verifica que ∂2f∂y∂x (α) = ∂2f

∂x∂y (α): Por cambio de

variable podemos suponer que α = (0, 0). Sustituyendo f(x, y), por f(x, y)−f(0, y), podemos suponerque f(0, y) = 0.

fxy(0, 0) =∂

∂y( lımx→0

f(x, y)

x)(y = 0) = lım

y→0

lımx→0f(x,y)x − lımx→0

f(x,0)x

y

= lımy→0

lımx→0f(x,y)−f(x,0)

x

y= lımy→0

lımx→0

fy(x, ξ) · yxy

= fyx(0, 0)

Por simplificar notaciones supongamos que α = 0. De nuevo, dada f(x, y) ∈ Cn(U) si f(0, y) = 0entonces f

x ∈ Cn−1(U). Ası, dada f ∈ Cn(U), tendremos que f(x, y) = f(0, y) + x · g(x, y), cong(x, y) ∈ Cn−1(U). Por tanto, si f(0, 0) = 0, entonces f(0, y) = y · h(y), con h(y) ∈ Cn−1(U), enconclusion f(x, y) = x · h1 + yh2, con h1, h2 ∈ Cn−1(U).

4. Proposicion : Sea U ⊆ Rm un abierto y f(x1, . . . , xm) ∈ Cn(U). Si f(α) = 0, entonces f =∑i hi · (xi − αi) con hi ∈ Cn−1(U).

5. Corolario : Dada f(x1, . . . , xm) ∈ Cn(U) y b ∈ U entonces

f = (∑|α|<r

aα · (x− b)α) +∑|α|=r

hα · (x− b)α

donde hα ∈ Cn−r(U) y aα = 1α! ·

∂|α|f∂α1x1···∂αnxn (b).

2.2. Espacio tangente en un punto

Sea U ⊆ Rm un abierto.

1. Corolario : El ideal mα ⊂ C∞(U) de todas las funciones que se anulan en α ∈ U esta generadopor x1 − α1, . . . , xm − αm, es decir,

mα = (x1 − α1, . . . , xm − αm)

2. Corolario : Una base de mα/m2α es dαx1 = x1 − α1, . . . , dαxm = xm − αm.

Por el teorema 1.8.8 se tiene que DerR(C∞(U),R) = HomR(mα/m2α,R) =: (mα/m

2α)∗. Explıci-

tamente, dada D ∈ DerR(C∞(U),R) y λdαf entonces D(λdαf) = λ · Df . Denotemos por D =∑i λi(

∂∂xi

)α la derivacion definida por Df :=∑i λi

∂f∂xi

(α). La base dual de dαx1, . . . , dαxm es

( ∂∂x1

)α, . . . , (∂

∂xm)α.

Geometricamente, la derivacion∑i λi(

∂∂xi

)α se interpreta como el vector (λ1, . . . , λn) en el punto

α ∈ U y se dice que DerR(C∞(U),R) = (mα/m2α)∗ es el espacio tangente (intrınseco) a U ⊆ Rm en

α. Se dice que mα/m2α es el espacio cotangente (intrınseco) a Rm en α. Ası,

∑i λidαxi se interpreta

como el plano de Rm que pasa por α de ecuaciones

λ1 · (x1 − α1) + · · ·+ λm · (xm − αm) = 0

Dada f ∈ C∞(Rm) entonces f = f(α) +∑i∂f∂xi

(α)(xi − αi) +∑ij fij(x)(xi − αi) · (xj − α). El plano

tangente a la superficie de U , f − f(α) = 0, en α es claramente∑i∂f∂xi

(α)(xi − αi) = 0, es decir, el

plano correspondiente a dαf ∈ mα/m2α.


Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn sendos abiertos.

3. Definicion : Una aplicacion F : U → V se dice que es diferenciable en α ∈ U si existe una matrizF ′(α) = (aij) de m-columnas y n-filas tal que

lımx→α

||F (x)− F (α)− F ′(α) · (x− α)t||||x− α||

= 0

Es facil ver que F = (f1, . . . , fn) es diferenciable si y solo si f1, . . . , fn son diferenciables y queA = ( ∂fi∂xj

(α)).

Desarrollando por Taylor, tenemos que F (x) = F (α)+F ′(α)·(x−α)t+∑ij Gij(x)(xi−αi)·(xj−αj).

Consideremos la recta α + tv, t ∈ R que pasa por α y de vector director v, entonces F (α + tv) =F (α) + F ′(α)(tv) + t2 ·H(t, v). Para t pequeno F (α+ tv) es aproximadamente F (α) + F ′(α)(tv). Esdecir, F aplica el vector infinitesimal tv, de origen α, en el vector infinitesimal F ′(α)(tv) de origenF (α).

R2

Fa

v F'(a)(v)

F(a)

Por otra parte, el morfismo F induce en los anillos el morfismo de anillos F ∗ : C∞(V ) → C∞(U),F ∗(g) := g F y por tanto el morfismo mF (α) → mα, g 7→ (g F ). En conclusion, tenemos el morfismo(intrınseco)

F ∗ : mF (α)/m2F (α) → mα/m

2α, dF (α)g 7→ dα(g F )

F ∗(dF (α)xi) = dα(xi F ) =∑j∂fi∂xj

(α) · dαxj . Por tanto, la matriz del morfismo F ∗ : mF (α)/m2F (α) →

mα/m2α es ( ∂fi∂xj

(α)). Tomando duales tenemos “la aplicacion lineal tangente en α asociada a F”

(intrınseca)

F∗ : (mα/mα)∗ = DerR(C∞(U),R)→ DerR(C∞(V ),R) = (mF (α)/m2F (α))

∗

que aplica (como puede comprobarse) cada derivacionD en F∗(D) definida por F∗(D)(g) = D(F ∗(g)) =D(g F ). Directamente, o por dualidad, tenemos que la matriz de F∗ es F ′(α) = ( ∂fi∂xj

(α)). Geometri-

camente, F∗ aplica en el vector tangente v = (λ1, . . . , λn) en α en el vector tangente en F (α), F ′(α) ·v.

2.3. Derivaciones. Modulo de diferenciales

Sea U ⊆ Rm un abierto y Ω = ΩC∞(U)/R. Dada w ∈ Ω desearıa que cumpliera la propiedad de quesi w(α) = w ∈ Ω/mα · Ω es nulo para todo α entonces w = 0 y que esta propiedad se mantuviera altomar la diferencial.

Sea M un C∞(U)-modulo. Denotemos Nul(M) = ∩α∈U,n>0

mnα ·M y M = M/Nul(M). Se cumple

que ˜M = M . Tambien es claro que ˜C∞(U) = C∞(U).

2.3. Derivaciones. Modulo de diferenciales 43

1. Teorema : Sea M tal que Nul(M) = 0 (por ejemplo si M es un modulo libre). Entonces,

DerR(C∞(U),M) = M · ∂

∂x1⊕ m. . .⊕M · ∂

∂xm

Demostracion. Asignemos a cada derivacion D ∈ DerR(C∞(U),M),∑i(Dxi) ·

∂∂xi

.

Veamos que esta asignacion es inyectiva: Tenemos que ver que si Dxi = 0, para todo i, entonces

D = 0. Sobre los polinomios p(x1, . . . , xm) es facil ver que D(p(x1, . . . , xn)) =∑i∂p(x1,...,xm)

∂xiD(xi)

(argumentando por induccion sobre el grado del polinomio). Es claro que D(mnα) ⊆ mn−1α ·M . Toda

f ∈ C∞(U) es igual a un polinomio p de grado n modulo mnα, f = p + g, g ∈ mnα. Por tanto,D(f) = D(p) +D(g) = 0 +D(g) ∈ mn−1

α ·M , para todo n y α, luego D(f) = 0 y D = 0.

La asignacion es obviamente epiyectiva, porque∑imi

∂∂xi

es la imagen de la derivacion D definida

por D(p) :=∑i

∂p∂xi·mi.

Por tanto, si NulM = 0 entonces toda D ∈ DerR(C∞(U),M) es D =∑iDxi ·

∂∂xi

.

2. Teorema : ΩC∞(U)/R = C∞(U) · dx1 ⊕ · · · ⊕ C∞(U) · dxn

Demostracion. Para todo M tal que Nul(M) = 0 se cumple que

HomC∞(U)(ΩC∞(U)/R,M) = HomC∞(U)(ΩC∞(U)/R,M) = DerR(C∞(U),M)= M ∂

∂x1⊕ · · · ⊕M ∂

∂xn= HomC∞(U)(C

∞(U)dx1 ⊕ · · · ⊕ C∞(U)dxn,M)

Por tanto,

ΛnΩC∞(U)/R = ⊕1≤i1<···<in≤m

C∞(U) · dxi1 ∧ · · · ∧ dxin

3. Notacion : A partir de ahora escribiremos ΩU = ΩC∞(U)/R y ΩrU = Λr ΩU .

Observemos que ΩU (α) = ΩC∞(U)/R(α) = mα/m2α. En general el morfismo

ΩrU (α)→ Λr(mα/m

2α), df1 ∧ · · · ∧ dfr 7→ dαf1 ∧ · · · ∧ dαfr

es un isomorfismo.

Todo morfismo de k-algebras f : A→ B induce el morfismo ΩA/k → ΩB/k, adb 7→ f(a)df(b). SeanU ⊆ Rm, V ⊆ RN sendos abiertos. Dado un morfismo F : U → V diferenciable, tenemos el morfismode anillos F ∗ : C∞(V )→ C∞(U), F ∗(g) = g F , que induce el morfismo

F ∗ : ΩV → ΩU , F∗(gdh) = (g F )d(h F )

que induce el morfismo mF (α)/m2F (α) = ΩRm(F (α)) → ΩRn(α) = mα/m

2α, ya conocido. Tomando

algebras exteriores tenemos un morfismo natural F ∗ : ΩrV → Ωr

U

4. Lema de Poincare : Una r-forma diferenciable wr ∈ ΩrRn es cerrada, es decir, cumple que

dwr = 0 si y solo si es exacta, es decir, existe una r − 1-forma diferenciable wr−1 ∈ Ωr−1Rn tal que

wr = dwr−1.


Demostracion. Consideremos el grupo uniparametrico τ : R × Rn → Rn, τ((t, x)) = et · x, cuyaderivacion asociada es D =

∑i xi ·

∂∂xi

. Sea τt(x) = τ(t, x) y denotemos τ∗t wr =: wr(t). Se cumple que

wr(t)′ = (DLwr)(t). Entonces

wr = wr(0)− wr(−∞) =

∫ 0

−∞wr(t)

′ · dt =

∫ 0

−∞(DLwr)(t) · dt =

∫ 0

−∞(iD d+ d iD)wr(t) · dt

=

∫ 0

−∞d iDwr(t) · dt = d

∫ 0

−∞iDwr(t) · dt = dwr−1

2.4. Variedades diferenciables. Haces

1. Definicion : Sean f1, . . . , fn ∈ Cn(U), U ⊆ Rn abierto. Se dice que f1, . . . , fn es un sistema decoordenadas en U , si la aplicacion

F : U → Rn, F (x) := (f1(x), . . . , fn(x))

cumple que F (U) = V es un abierto, F establece un homeomorfismo entre U y V , y la aplicacioninversa de F es diferenciable de clase n, es decir, F es un difeomorfismo de clase n.

En tal caso, el morfismo de anillos F ∗ : Cn(V ) → Cn(U), F ∗(g) = g F es un isomorfismo,luego para cada funcion diferenciable g en U existe una (unica) funcion diferenciable h(y1, . . . , yn) ∈Cn(V ) de modo que g(x) = h(f1(x), . . . , fn(x)) (“las funciones diferenciables en U son las funcionesdiferenciables en las coordenadas f1, . . . , fn”).

2. Definicion : Se dice que f1, . . . , fn son un sistema de coordenadas en un punto x, si existe unentorno de x en el que f1, . . . , fn son un sistema de coordenadas.

Dado F = (f1, . . . , fn) denotemos por F ′ = ( ∂fi∂xj).

3. Teorema de la funcion inversa: Sean U, V sendos abiertos de Rn y F : U → V un morfismo declase n. Dado α ∈ U , si det(F ′(α)) 6= 0, entonces F es un difeomorfismo de clase n en un entornode α.

Con otras palabras, si f1, . . . , fn son funciones diferenciables de clase n en un entorno de α ∈ Rn.Entonces, f1, . . . , fn es un sistema de coordenadas en α si y solo si dαf1, . . . , dαfn son linealmenteindependientes, es decir, det( ∂fi∂xj

(α))) 6= 0.

Demostracion. Sin perdida de generalidad podemos suponer que α = 0.1. Probemos que la aplicacion F = (f1, . . . , fn) : U → Rn en un entorno abierto pequeno U de (0) es

inyectiva: Tenemos que fi(x)−fi(y) =∑j Hij(x, y)·(xj−yj), pues en general si g(x1, . . . , xr, 0, . . . , 0) =

0 para todo x1, . . . , xr entonces g =∑j gr+j · xr+j . Escribamos de forma reducida F (x) − F (y) =

H(x, y)·(x−y), donde H(x, y) es la matriz (Hij(x, y)) y (x−y) el vector (x1−y1, . . . , xn−yn). Observe-

mos que H(0, 0) = ( ∂fi∂xj(0)). Consideremos un entorno V de 0, de modo que para todo (x, y) ∈ V ×V ,

det(H(x, y)) 6= 0. Si 0 = F (x)−F (y) = H(x, y) ·(x−y), para algun (x, y) ∈ V ×V , entonces x−y = 0y x = y.

2. F (U) es un entorno de F (0): Reduciendo U , podemos suponer que F es inyectiva en U yque det(F ′(x)) 6= 0 para todo x ∈ U . Sea B una bola centrada en el origen, tal que su cierreeste incluido en U , y sea Sn el borde. Por ser F inyectiva F (Sn) no contiene a F (0). Sea m = ınfimo

2.4. Variedades diferenciables. Haces 45

d(0, F (s)) | s ∈ Sn que es mayor estricto que cero porque d(0, F (Sn)) es un compacto (imagen decompacto) de R+ que no contiene a 0. Sea B′ una bola centrada en F (0) de radio m/2. Basta queprobemos que B′ ⊆ F (B).

Sea y ∈ B′ y g(x) := d(F (x), y) que la definimos sobre B. La funcion continua g alcanza un mınimosobre B, que no yace en Sn, puesto que d(F (s), y)+m/2 ≥ d(F (s), y)+d(F (0), y) ≥ d(F (0), F (s)) ≥ m,luego d(F (s), y) ≥ m/2 ≥ d(F (0), y). Ası pues, la funcion, g2 = (F (x) − y) · (F (x) − y) alcanza unmınimo en B. Si c ∈ B es tal que g2(c) es mınimo, entonces 0 = (g2)′(c) = 2(F (c) − y) · F ′(c). Portanto, F (c) = y y B′ ⊆ F (B).

3. La aplicacion F : F−1(B′)→ B′ es un homeomorfismo: Es biyectiva y continua. Dado un cerradoC ⊂ F−1(B′) ⊂ B, tenemos que F (C) = F (C)∩B′ es un cerrado porque F (C) es un cerrado, ya queC es compacto. En conclusion, F es homeomorfismo.

4. Aconsejamos al lector que rescriba este apartado suponiendo n = 1, luego F = f(x) es unafuncion real en una sola variable.

Supongamos ya que tenemos un homeomorfismo F : U → V . Reduciendo U , podemos suponerque U y V son compactos, que F : U → V es homeomorfismo. Recordemos que F (x′) − F (x) =H(x, x′) ·(x′−x). Podemos suponer tambien, que det(H(x, x′)) 6= 0 y2 ||H(x, x′)−1|| ≤ m (para ciertom > 0) para todo x, x′ ∈ U . En particular, ||(H(x, x)−1 = (F ′(x))−1|| ≤ m.

Veamos que G = F−1 es diferenciable de clase n.

Dado y = F (x), probemos que la matriz (F ′(x))−1 cumple que lımy′→y

||G(y′)−G(y)−(F ′(x))−1·h||||y′−y|| = 0.

Sea x′ tal que F (x′) = y′, entonces

lımy′→y

||G(y′)−G(y)−(F ′(x))−1·(y′−y)||||y′−y|| = lım

x′→x||G(F (x′))−G(F (x))−(F ′(x))−1·(F (x′)−F (x))||

||F (x′)−F (x)||

= lımx′→x

||(x′−x)−(F ′(x))−1·(F (x′)−F (x))||||F (x′)−F (x)|| = lım

x′→x||(F ′(x))−1·[(F ′(x))·(x′−x)−(F (x′)−F (x))]||

||F (x′)−F (x)||

≤ m · lımx′→x

||(F ′(x))·(x′−x)−(F (x′)−F (x))||||F (x′)−F (x)|| = m · lım

x′→x||(F ′(x))·(x′−x)−(F (x′)−F (x))||

||x′−x|| · ||x′−x||||F (x′)−F (x)||

≤ m2 · lımx′→x

||(F ′(x))·(x′−x)−(F (x′)−F (x))||||x′−x|| = 0

Por tanto, G′(y) = (F ′(x))−1 y G es derivable. Como G′(y) := (F ′(x))−1 = (F ′(G(y)))−1 escontinua ⇒ G es C1 ⇒ G′(y) es C1 ⇒ G(y) es C2, etc.

Veamos que la esfera unidad S2 ≡ x2 + y2 + z2 = 1 localmente es “difeomorfa” a abiertos de R2:Sea α = (α1, α2, α3) ∈ S2, supongamos α1 6= 0. Las funciones f1 = x2 + y2 + z2 − 1, f2 = y, f3 = zforman un sistema de coordenadas en α, por el teorema de la funcion inversa. Existe un entorno abiertoU ⊂ R3 de α, y un abierto V ⊆ R3 de modo que la aplicacion F : U → V , F (x) = (f1(x), f2(x), f3(x)))es un homeomorfismo. Vıa F , U ∩S2 es homeomorfo a V ∩ (0×R2) = 0×V ′, (para el correspondienteabierto V ′ ⊂ R2). Tenemos pues el homeomorfismo

U ∩ S2 → V ′, x 7→ (f2(x), f3(x))

“Se dice que la restriccion de f2 y f3 a U ∩ S2 es un sistema de coordenadas en U ∩ S2”.

4. Definicion : Un cerrado Y ⊆ Rn se dice que es una subvariedad diferenciable de dimension m deRn, si para cada punto y ∈ Y existe un sistema de coordenadas f1, . . . , fn de en un entorno U ⊂ Rnen y, de modo que U ∩ Y = x ∈ U tales que f1(x) = . . . = fn−m(x) = 0.

2Dada una aplicacion lineal T : Rn → Rn, se define ||T || := sup||T (e)||, para todo e ∈ Rn tal que ||e|| = 1


5. Definicion : Sea Y ⊆ Rn un cerrado. Se dice que una funcion f : Y → R es diferenciable sipara cada y ∈ Y existe un entorno abierto U ⊆ Rn de y y una funcion F ∈ C∞(U) de modo queF|Y ∩U = f|Y ∩U .

6. Proposicion : Toda funcion diferenciable sobre un subespacio cerrado Y ⊆ Rn es la restriccion adicho cerrado de una funcion diferenciable de Rn. Es decir,

C∞(Y ) = C∞(Rn)/I

donde C∞(Y ) es el anillo de funciones diferenciables de Y e I es el ideal de las funciones diferenciablesde Rn que se anulan en Y .

Demostracion. Sea f : Y → R una funcion diferenciable. Existen abiertos Ui y funciones fi ∈C∞(Ui) de modo que Ui ∩ Y recubren Y y f|Ui∩Y ) = f|Ui∩Y .

Sea φi, φ una particion de la unidad subordinada al recubrimiento Ui,Rn − Y . Prolongandopor 0 el producto φifi en el complementario de Ui, se obtiene una funcion diferenciable y la familiade soportes de tales funciones es localmente finita. Luego, la suma F =

∑i φifi es una funcion

diferenciable en Rn. La restriccion de F a Y es f , pues dado y ∈ Y

F (y) =∑i

φi(y)fi(y) =∑i

φi(y)f(y) = f(y)

7. Definicion : Se define variedad diferenciable como las subvariedades diferenciables de los Rn.

Puede darse una definicion en principio mas general de variedad diferenciable (el teorema de Whit-ney afirma que es equivalente a la anterior): Un espacio topologico X se dice que es una variedaddiferenciable de dimension m si existe un recubrimiento por abiertos Ui de X y homeomorfismosφi : Ui → Vi (Vi abierto de Rm) de modo que los homeomorfismos (“de cambio de sistema de coorde-nadas”)

φj φ−1j : φi(Ui ∩ Uj)→ φj(Ui ∩ Uj)

son aplicaciones diferenciables (entre abiertos de Rm).El lector, al pensar en la variedad X, debe identificar Ui con Vi. Debe pensar que un espacio

topologico X es una variedad diferenciable si y solo si localmente es difeomorfo a abiertos de Rn.Una aplicacion continua f : X → R se dice que es diferenciable si localmente lo es, es decir, con

rigor, f se dice que es diferenciable si las composiciones

Viφ−1i' Ui

f|Ui→ R

son diferenciables. Una aplicacion continua entre variedades diferenciables f : X → X ′ se dice que esdiferenciable si localmente lo es, es decir, las composiciones

φi(Ui ∩ f−1(U ′j))φ−1i→ Ui ∩ f−1(U ′j)

f→ U ′jφ′j→ V ′j

son diferenciables. Resulta que f es diferenciable si y solo si para toda funcion diferenciable g : X ′ → R,entonces g f : X → R es diferenciable.

Veamos la estructura de “haz” de DerX :Dada una derivacion D ∈ DerX y f ∈ C∞(X) si f es nula en un entorno abierto U de un punto

α ∈ X entonces Df tambien es nula en dicho entorno: Basta ver que (Df)(α) = 0. Sea h ∈ C∞(X)

2.4. Variedades diferenciables. Haces 47

nula en X − U e igual a 1 en un entorno de α. Entonces 0 = h · f y 0 = f · Dh + h · Df , luego0 = f(α) · (Dh)(α) + h(α) · (Df)(α) = (Df)(α). Por tanto, si f = g en un entorno de α entoncesD(f) = D(g) en ese entorno. Tenemos un morfismo natural

DerX → DerU , D 7→ D|U

donde (D|Uf)(α) := D(F )(α), siendo F ∈ C∞(X) cualquier funcion que es igual a f en un entornoabierto de α.

1. Si Ui es un recubrimiento por abiertos de X y D|Ui = 0 para todo i entonces D = 0, pues(Df)|Ui = D|Uif|Ui = 0, para todo i, luego Df = 0 y D = 0. Por tanto, D = D′ si y solo siD|Ui = D′|Ui para todo i.

2. Por otra parte, si tenemos para cada i, una derivacion Di ∈ DerUi de modo que (Di)|Ui∩Uj =(Dj)|Ui∩Uj , para todo i, j, entonces podemos definir una D ∈ DerX , tal que D|Ui = Di, para todo i:D(f) se define como la funcion que cumple que (Df)|Ui = Dif|Ui .

Las propiedades 1. y 2. se expresan diciendo que DerX es un haz. Por ejemplo, C∞(X) tambienes un haz. Igualmente Der∗X es un haz (el C∞(X)-modulo de las aplicaciones n-multilineales es unhaz):

Dado w ∈ Der∗X y D ∈ DerX , si D|U = 0 entonces w(D)|U = 0. En efecto, dada α ∈ U bastaprobar que w(D)(α) = 0. Sea h nula en X − U e igual a 1 en un entorno de α). Entonces 0 = h ·Dy 0 = w(h ·D) = h · w(D), luego 0 = h(α) · w(D)(α) = w(D)(α). Por tanto si D = D′ en un entornoabierto de α entonces w(D) = w(D′) en dicho entorno. Tenemos un morfismo natural

Der∗X → Der∗U , w 7→ w|U

donde (w|U (D))(α) := w(D)(α), donde D ∈ DerX es cualquier derivacion que coincide con D en unentorno de α.

1. Si Ui es un recubrimiento por abiertos de X y w|Ui = 0 para todo i entonces w = 0, pues paratodo D, (w(D))|Ui = w|Ui(D|Ui) = 0, para todo i, luego w(D) = 0 y w = 0. Por tanto, w = w′ si ysolo si w|Ui = w′|Ui para todo i.

2. Por otra parte, si tenemos para cada i, una wi ∈ Der∗Ui de modo que (wi)|Ui∩Uj = (wj)|Ui∩Uj ,para todo i, j, entonces podemos definir una w ∈ Der∗X , tal que w|Ui = wi, para todo i: w(D) sedefine como la funcion que cumple que (w(D))|Ui = wi(D|Ui).

Sea mx ⊂ C∞(X) el ideal de funciones de X que se anulan en x y m′x ⊂ C∞(U) el ideal de

funciones de U que se anulan en x. El morfismo natural π : mx/m2x → m′x/m

′2x, π(f) = f|U es un

isomorfismo: sea h ∈ C∞(X) igual a 1 en un entorno abierto de x y nula en un entorno de X − U ,

entonces el morfismo m′x/m′2x → mx/m

2x, f 7→ hf es el morfismo inverso.

Dada una 1-forma diferencial w ∈ ΩX , si 0 = w(x) = w ∈ ΩX(x) = mx/m2x, para todo x ∈ X,

entonces w ∈ Nul(ΩX) = 0. Sea Ui un recubrimiento por abiertos de X, si w|Ui = 0 para todo i,entonces w(x) = 0 para todo x ∈ X y w = 0. (∗) Por tanto, si w|Ui = w′|Ui para todo i, entonces

w = w′.Consideremos X como subvariedad cerrada de un Rn. ΩX es cociente del C∞(Rn)-modulo ΩRn , que

esta generado por dx1, . . . , dxn, por tanto, ΩX es un C∞(X)-modulo generado por dx1|X , . . . , dxn|X ,luego es finito generado.

Sea dimX = r. Dadas w1, . . . , wr ∈ ΩX sea U = y ∈ Y tales que wi(y) = wi ∈ ΩX(y) = my/m2y

sea una base de my/m2y. Se cumple que U es un abierto de X y que ΩU es un C∞(U)-modulo libre

de base wi|U:Sea y1, . . . , yr un sistema de coordenadas en un entorno abierto Vy de y. Tendremos que wi = fijdyj

(en tal entorno Vy). Entonces wi(y) es una base de my/m2y si y solo si det(fij(y)) 6= 0. Es claro que


U es un abierto. Ademas, en Vy podemos despejar las dyj en funcion de los wi y es facil probar queen Vy las wi son base. Por tanto, dada w ∈ ΩU , tendremos que w|Vy =

∑i gi ·wi, para gi ∈ C∞(Vy)

unicas. Por ser C∞(U) un haz, existen Gi ∈ C∞(U) unicas de modo que w =∑iGiwi|U , lo que

muestra que wi|U son una base.

8. Lema : Sea π : M → N un epimorfismo de A-modulos. Si s : N → M es una seccion de π, esdecir, π s = Id, entonces M ' Kerπ ⊕N .

Demostracion. El morfismo N ⊕ Kerπ → M , (n, n′) 7→ s(n) + n′ es un isomorfismo: Es inyectiva,porque si s(n) + n′ = 0, aplicando π tenemos que n = 0 y por tanto n′ = 0. Es epiyectiva, porquedado m, tenemos que m− s(π(m)) ∈ Kerπ y m = s(π(m)) + (m− s(π(m))).

Si M = M ′⊕M ′′ y M es un A-modulo finito generado entonces M ′ es un A-modulo finito generado:Consideremos la inclusion M ′′ →M , m′′ 7→ (0,m′′) y denotemos la imagen de esta inclusion M ′′. Elmorfismo M ′ → M/M ′′, m′ 7→ (m′, 0) es un isomorfismo. M/M ′′ es finito generado porque lo es M ,entonces M ′ es finito generado.

9. Definicion : Se dice que un A-modulo P es proyectivo si es sumando directo de un A-modulolibre.

Si P es un A-modulo proyectivo entonces tenemos un isomorfismo P ⊕ P ′ = An. En tal casoel epimorfismo An → P , (p, p′) 7→ p, tiene seccion (p 7→ (p, 0)). Recıprocamente si un epimorfismoπ : An → P tiene seccion entonces P es proyectivo porque An = P ⊕Kerπ.

10. Proposicion : ΩX es un es un C∞(X)-modulo finito generado proyectivo.

Demostracion. Consideremos de nuevo el epimorfismo π : C∞(X) · dx1 ⊕ · · · ⊕ C∞(X) · dxn → ΩX .Dado α = i1, . . . , ir ⊂ 1, . . . , n sea Uα = y ∈ X | dyxi1 , . . . , dyxir sea una base de my/m

2y. Sea

φα una particion de la unidad subordinada al recubrimiento de X, Uα#α=r. Sea sα la composicionde los morfismos

ΩX → ΩUα = C∞(Uα) · dxi1 ⊕ · · · ⊕ C∞(Uα) · dxirφα·−→ C∞(X) · dxi1 ⊕ · · · ⊕ C∞(X) · dxir

se tiene que s =∑α sα es una seccion del epimorfismo π.

Como Nul(C∞(X)) = 0 todo submodulo M de un C∞(X)-modulo libre cumple que Nul(M) = 0.El producto tensorial de modulos proyectivos es proyectivo: si P ⊕P ′ = An, Q⊕Q′ = Am entonces

Anm = An⊗AAm = (P ⊕P ′)⊗A (Q⊕Q′) = (P ⊗Q)⊕ (P ⊗Q′)⊕ (P ′⊗Q)⊕ (P ′⊗Q′), luego P ⊗P ′es proyectivo.

Si P es proyectivo entonces P ∗ es proyectivo, pues si P⊕P ′ = An entonces P ∗⊕P ′∗ = (P⊕P ′)∗ =(An)∗ = An. Si P es un A-modulo proyectivo finito generado entonces P = P ∗∗, como se deduce deldiagrama conmutativo

P ⊕ P ′

An

(P ⊕ P )∗∗ = P ∗∗ ⊕ P ′∗∗ (An)∗∗

Igualmente, si P es un A-modulo proyectivo finito generado P ∗ ⊗AM = HomA(P,M).Si P es proyectivo entonces ΛrP es proyectivo: Si la composicion de dos morfismos de A-modulos

Ps→ An

π→ P es el morfismo identidad, entonces la composicion ΛrP → ΛrAn = A(nr) → ΛrP es laidentidad.

2.5. Anillo de funciones diferenciables 49

En conclusion, Λr ΩX =: ΩrX y Ω∗X = DerX , etc., son C∞(X)-modulos finito generados proyecti-

vos, Nul(ΩrX) = Nul(DerX) = 0, Der∗X = Ω∗∗X = ΩX , etc.

Todas las proposiciones de las secciones 1.9 y 1.10 son igualmente validas sustituyendo A porC∞(X) y Ωi por Ωi

X .

2.5. Anillo de funciones diferenciables

Sea (X, d) un espacio metrico. Si F : R+ → R+ es una funcion estrictamente creciente y decrecimiento cada vez mas pequeno (F ′ > 0 y F ′′ ≤ 0) y F (0) = 0 entonces d′ = F d es una distancia

y (X, d′) es homeomorfo a (X, d). Consideremos F = x1+x , en este caso d′(p, q) = d(p,q)

1+d(p,q) y d′(p, q) < 1

para todo p, q ∈ X.Sean ahora dos distancias d1, d2 en X y consideremos en X la topologıa menos fina que contenga

a las topologıas definidas por d1 y d2, que es justamente la topologıa definida por d1 + d2. Comola topologıa definida por una distancia d es la misma que la definida por λ · d, λ > 0, entonces latopologıa definida por d1 + d2 es la misma que la definida por λ1 · d1 + λ2 · d2, λ1, λ2 > 0.

Sea ahora un conjunto numerable dii∈N de distancias en X y supongamos (como podemos) quedi ≤ 1/2i, para cada i ∈ N. La topologıa menos fina que contiene a las topologıas definidas por todoslos di coincide con la topologıa definida por la distancia d :=

∑i di.

Sea U ⊆ Rn un abierto y U1, U2, . . . abiertos tales que sus cierres cumplen que Ui ⊂ Ui+1 y soncompactos, y tales que ∪iUi = U .

Sea Ck(U) las funciones en U de clase k. Para cada compacto K ⊆ U sea dK : Ck(U) → R ladistancia definida por

dkK(f, g) := max|Dα(f − g)(x)|, |α| ≤ k, x ∈ K

donde Dα = ∂|α|

∂α1x1···∂αnxn

y |α| = α1 + · · ·+ αn.

Consideremos Ck(U) la topologıa menos fina que contiene a las topologıas definidas por las dis-tancias dkK , para todo compacto K. Esta topologıa es igual a la topologıa menos fina que contiene a

las topologıas definidas por dkUi

(odkUi

1+dkUi

), i = 1, 2, . . ., que coincide con la topologıa definida por

d =∑i

1

2i·

dkUi

1 + dkUi

Si en C∞(U) consideramos la topologıa menos fina que contiene a las topologıas definidas por lasdistancias dkK , para todo compacto K y k ∈ N, entonces esta topologıa coincide con la topologıadefinida por

d =∑i

1

2i·

diUi

1 + diUi

1. Teorema : Ck(U) es un espacio metrico completo para toda 0 ≤ k ≤ ∞.

Demostracion. Sea fii∈N una sucesion de Cauchy. Para todo α ≤ K, Dαfii∈N es una sucesion deCauchy en C0(U), para el que suponemos bien conocido que es completo. Sean fα ∈ C0(U) el lımitede la sucesion Dαfii∈N. Basta probar que Dαf0 existe y coincide con fα para todo α, con |α| ≤ k.

Si α = (β1, . . . , βj + 1, . . . , βn), basta probar que∂fβ∂xj

= fα.


Por el teorema del valor medio, dado a ∈ U , Dβfi(x) − Dβfi(a) = Dαfi(ξi)(xj − aj), con x =(a1, . . . , xj , . . . , an) y ξi en el segmento que une a y x. Existe una subsucesion ik de modo queξik converge a un ξ (perteneciente al segmento que une a y x). Tomando lımite cuando ik → ∞obtenemos

fβ(x)− fβ(a) = fα(ξ) · (xj − aj) = fα(a) · (xj − aj) + o(xj − aj)

donde o(xj −aj)/xj −aj tiende a cero cuando xj → aj . Por tanto,∂fβ∂xj

(a) existe y coincide con fα(a).

Veamos ahora que el morfismo C∞(Rn)→ R[[x1, . . . , xn]] que asigna a cada funcion diferenciablesu desarrollo de Taylor infinito, en un punto α ∈ Rn cualquiera, es epiyectivo (sorprendentemente aprimera vista).

2. Lema : Sea f ∈ C∞(Rn), tal que Dα(f)(0) = 0, para todo α, con |α| ≤ m. Dado ε > 0 existeg ∈ C∞(Rn), que se anula en un entorno abierto de 0 tal que

||f − g||m < ε

con ||f − g||m := sup|Dα(f − g)(a)|, a ∈ Rn, |α| ≤ m.

Demostracion. Sea η(x) ∈ C∞(Rn), tal que η(x) = 0, si ||x|| ≤ 1/2 y η(x) = 1 si ||x|| ≥ 1. Para δ > 0,definamos

gδ(x) = η(x

δ) · f(x)

Claramente gδ ∈ C∞(Rn) y se anula en un entorno abierto de 0. Calculemos ||f − gδ||m.Tenemos que f − gδ = f · (1− η(x/δ)) que es nula para ||x|| > δ y ||η(x)||m <∞. Observemos que

por las hipotesis lımx→0Dαf(x)/||x||m−|α| = 0, luego

|Dα(f − gδ)| = |Dαf · (1− η(x/δ)) +∑

0≤β<α

(α

β

)·Dβf · δ−(|α|−|β|) ·Dα−βη(x/δ)| ≤ ε

para todo x, cuando δ es pequeno. En conclusion, ||f − gδ||m ≤ ε, para δ pequeno.

3. Teorema de Borel sobre los desarrollos de Taylor: El morfismo C∞(Rn) → R[[x1, . . . , xn]]que asigna a cada funcion diferenciable su desarrollo de Taylor infinito en 0 ∈ Rn es epiyectivo.

Demostracion. Sea∑α cαx

α ∈ R[[x1, . . . , xn]]. Sea Tm =∑|α|=m+1 cαx

α y gm ∈ C∞(Rn) tal que se

anule en un entorno abierto de 0 y tal que ||Tm − gm||m ≤ 1/2m.Entonces f = c0 +

∑m(Tm−gm) ∈ C∞(Rn) y el desarrollo de Taylor de f en el 0 es

∑α cαx

α.

2.6. Localizacion en el algebra tensorial diferencial

1. Teorema : Sea X una variedad diferenciable y U ⊆ X un abierto. Se cumple que

C∞(U) = C∞(X)U

con C∞(X)U := C∞(X)S, donde S es el conjunto de las funciones que no se anulan en ningun puntode U .

2.6. Localizacion en el algebra tensorial diferencial 51

Demostracion. 1. Supongamos que X = Rn. Sea U1, U2, . . . un recubrimiento de U por cubosabiertos cuyas adherencias esten contenidas en U . Sean φi : Rn → R funciones diferenciables positivassobre Ui y nulas en el complementario. Dada f ∈ C∞(U) sea

λi = sup|α|≤i|Dα(fφi)|, µi = sup

|α|≤i|Dα(φi)|

donde Dα = ∂|α|

∂α1x1···∂αnxn

y |α| = α1 + · · ·+ αn. Las series

g =

∞∑i=1

1

2ifφi

1 + λi + µi; h =

∞∑i=1

1

2iφi

1 + λi + µi

son funciones diferenciables, por el teorema anterior. Es evidente que f = g/h.

2. Caso general. Sumerjase X como subvariedad cerrada de un Rm. Sea V un abierto de Rm talque V ∩X = U y F ∈ C∞(V ) su restriccion a V ∩X = U sea f . Sean G,H ∈ C∞(Rm), tal que H nose anule en ningun punto de V y G/H coincida con F sobre V . Las restricciones de G y H a X, g yh respectivamente, cumplen que h no se anula en ningun punto de U y f = g/h en U .

2. Observacion : La funcion h construida en la primera parte de la demostracion es positiva sobreU y nula en el complementario. Por tanto, usando el teorema de inmersion de Whitney, concluimosque todo cerrado de una variedad son los ceros de una funcion diferenciable.

Igualmente se puede probar que Ck(U) = Ck(X)U .

3. Corolario : 3 Sea X una variedad diferenciable y U ⊆ X un abierto. Entonces

(ΩX)U = ΩU , (ΩrX)U = Ωr

U

Demostracion. Sea A una k-algebra y S ⊂ A un sistema multiplicativamente cerrado. El morfismoA→ AS , a 7→ a

1 , induce el morfismo ΩA/k → ΩAS/k, adb 7→ a1d

b1 , que induce el morfismo (ΩA/k)S →

ΩAS/k, das 7→1s · d

a1 . El morfismo inverso es ΩAS/k → (ΩA/k)S , das 7→

das −

adss2 . Por tanto, (ΩA/k)S =

ΩAS/k, luego (ΩX)U = ΩU , dfs 7→ s−1

|U · df|U .

Ahora ya,

(ΩrX)U = (ΛrC∞(X) ΩX)U = ΛrC∞(U) ΩU = Ωr

U

4. Lema : Si M es un A-modulo proyectivo finito generado entonces (M∗)S = (MS)∗ (denoto(MS)∗ = HomAS (MS , AS)).

3Este corolario es un caso particular de un teorema de la teorıa de fibrados vectoriales: Sea X′ → X un morfismoentre variedades diferenciables y E → X un fibrado vectorial. Se cumple que

HomX′ (X′, E ×X X′) = C∞(X′)⊗C∞(X) HomX(X,E)

que se prueba, sumergiendo E en un fibrado vectorial trivial, considerando un fibrado vectorial suplementario y redu-ciendo, pues, el teorema al caso de fibrado vectoriales triviales.


Demostracion. Sea N tal que M ⊕ N = An. Es facil comprobar que ((An)S)∗ = ((An)∗)S . Deldiagrama conmutativo

(M∗)S ⊕ (N∗)S = (M∗ ⊕N∗)S

((An)∗)S

(MS)∗ ⊕ (NS)∗ = (MS ⊕NS)∗ ((An)S)∗

se deduce que (M∗)S = (MS)∗.

5. Proposicion : (DerX)U = DerU .

2.7. Integracion. Formula de Stokes

Formula de cambio de variable en integracion.

Sea e1, . . . , en ∈ Rn la base estandar de Rn y w1, . . . , wn la base dual. Supongamos Rn orientadocon la orientacion estandar w1 ∧ · · · ∧ wn.

Dados n-vectores v1, . . . , vn ∈ Rn, llamamos palelepıpedo generado por v1, . . . , vn al subconjuntode Rn, P (v1, . . . , vn) =

∑i λivi, 0 < λi < 1. La aplicacion V : Rn × n. . .× Rn → R

V (v1, . . . , vn) :=

∫P (v1,...,vn)

dx1 · · · dxn si v1, . . . , vn esta positivamente orientada

−∫P (v1,...,vn)

dx1 · · · dxn si v1, . . . , vn esta negativamente orientada

es una aplicacion multilineal alternada (al lector) y como sobre la base estandar de Rn vale 1, tenemosque V = w1∧· · ·∧wn. Diremos que V (v1, . . . , vn) es el volumen (afectado de signo) del paralelepıpedogenerado por v1, . . . , vn.

Consideremos ahora una aplicacion lineal T : Rn → Rn. Obviamente T transforma el paralelepıpe-do generado por v1, . . . , vn en el paralelepıpedo generado por T (v1), . . . , T (vn) y

V (T (v1), . . . , T (vn)) = w1∧· · ·∧wn(T (v1)∧· · ·∧T (vn)) = wn(det(T )·v1∧· · ·∧vn) = det(T )V (v1, . . . , vn)

1. Teorema: Sean U y U ′ abiertos de Rn y T : U ′ → U , T (y) = (T1(y), . . . , Tn(y)) un difeomorfismode clase C1. Sea f(x) ∈ C0(U) de soporte compacto. Entonces,∫

U

f(x) · dx1 · · · dxn =

∫U ′f(T (y)) · | det(

∂Ti∂yj

)| · dy1 · · · dyn

Demostracion. Podemos suponer que f ≥ 0.Consideremos un cubo cerrado C que contenga a U ′ y sea l la longitud de los lados de C. Sea

Cε = [−ε, ε] × n· · · × [−ε, ε] y supongamos que l es un multiplo entero de ε. Sean yεk puntos de C, demodo que C = ∪k(yεk + Cε) y los cubos yεk + Cε sean de interiores disjuntos.

T (y′) − T (y) = H(y′, y) · (y′ − y) para cierta matriz de funciones continuas H. Recordemos queH(y, y) = (∂Ti∂yj

). Ası pues, T (y′) = T (y)+H(y, y)(y′−y)+(H(y′, y)−H(y, y))(y′−y). Sea G(y′, y) =

H(y′, y)−H(y, y). Como G(y, y) = 0 entonces ||G(y, y)||∞ = 0 y dado δ > 0 existe un ε de modo quepara ||y′ − y||∞ < ε entonces ||G(y′, y)||∞ < δ, es decir, G(y′, y) · Cλ ⊆ Cδ·λ. Por tanto,

T (y + Cε) ⊆ T (y) +H(y, y) · Cε + Cδ·ε ⊆ T (y) +H(y, y) · Cε·(1+δ′)

2.7. Integracion. Formula de Stokes 53

con δ′ = δ ·√n (la longitud de la diagonal del cubo Cδ). Por tanto,

Vol(T (y + Cε)) ≤ Vol(H(y, y) · Cε·(1+δ′)) = det(H(y, y)) · Vol(Cε·(1+δ′))

= det(H(y, y)) · Vol(Cε) · (1 + δ′)n

Por tanto,

∫Cf(T (y)) · | det(∂Ti∂yj

)| · dy1 · · · dyn = lımε→0

∑k f(T (yεk)) · | det(∂Ti∂yj

(yεk))| ·Vol(Cε)

≥ lımε→0

∑k f(T (yεk)) ·Vol(T (yεk + Cε)) · (1 + δ′)−n =

∫T (C)

f(x) · dx1 · · · dxn · (1 + δ′)−n

Por tanto,∫U ′f(T (y)) · | det(∂Ti∂yj

)| · dy1 · · · dyn ≥∫Uf(x) · dx1 · · · dxn.

Si consideramos el morfismo inverso T−1 : U ′ → U y como funcion continua g(y) = f(T (y)) ·|det(∂Ti∂yj

)|, entonces, f(x) = g(T−1(x)) · | det(∂T−1

i

∂xj)| y

∫U

f(x) · dx1 · · · dxn =

∫U

g(T−1(x)) · | det(∂T−1

i

∂xj)| · dx1 · · · dxn ≥

∫U ′g(y) · dy1 · · · dyn

y concluimos que∫Uf(x) · dx1 · · · dxn =

∫U ′f(T (y)) · | det(∂Ti∂yj

)| · dy1 · · · dyn.

Integracion de formas.

Sea U ⊂ Rn un abierto, con la orientacion dx1 ∧ . . . ∧ dxn. Sea w = f · dx1 ∧ . . . ∧ dxn ∈ ΩnU y

supongamos que sop f es compacto.

2. Definicion : Se define∫Uw :=

∫Uf · dx1 · · · dxn.

Sea U ′ ⊂ Rn un abierto y escribamos ahora las coordenadas y1, . . . , yn. Si ϕ : U ′ → U es undifeomorfismo que conserve la orientacion, entonces el teorema del cambio de variables en integracion(∗=, mas abajo) implica que ∫

U ′=ϕ−1U

ϕ∗w =

∫U

w

En efecto, ϕ∗w = f(ϕ1, . . . , ϕn) · dϕ1 ∧ · · · ∧ dϕn = f(ϕ1, . . . , ϕn) · (∑i∂ϕ1

∂yidyi)∧ · · · ∧ (

∑i∂ϕn∂yi

dyi) =

f(ϕ1, . . . , ϕn) · det(∂ϕi∂yj) · dy1 ∧ · · · ∧ dyn y∫

U ′=ϕ−1U

ϕ∗w =

∫U ′f(ϕ1, . . . , ϕn) · det(

∂ϕi∂yj

) · dy1 · · · dyn∗=

∫U

f(x1, . . . , xn) · dx1 · · · dxn =

∫U

w

Sea X una variedad diferenciable orientada de dimension n. Dada w una r-forma definimos sopw =x ∈ X tales que wx 6= 0. Sea w una n-forma diferenciable y supongamos que sopw es compacto.Supongamos que existe un difeomorfismo φ : X → U ′ ⊆ Rn orientado. Tenemos pues un difeomorfismoφ∗ : C∞(U ′)→ C∞(X), f 7→ f φ = f(φ1, . . . , φn). Entonces existe una n-forma diferenciable en U ′,w′ = f(x1, . . . , xn) · dx1 ∧ · ∧ dxn, tal que φ∗w′ = w (luego, w = f(φ1, . . . , φn) · dφ1 ∧ · · · ∧ dφn) ydefinimos ∫

X

w =

∫φ−1(U ′)

φ∗w′ :=

∫U ′w′ :=

∫U ′f(x1, . . . , xn) · dx1 · · · dxn


Veamos que la definicion no depende del φ considerado. Sea φ′′ : X → U ′′ ⊆ Rn otro difeomorfismoorientado, entonces ϕ = φ′ φ′′−1

: U ′′ → U ′, y 7→ (ϕ1(y), . . . , ϕn(y) es un difeomorfismo orientado.Definamos w′′ = ϕ∗w′, que cumple que φ′′

∗(w′′) = φ′′

∗ϕ∗w′ = φ′

∗w′ = w. Por tanto,∫

X

wvıa φ′′

=

∫U ′′

w′′ =

∫ϕ−1(U ′)

ϕ∗w′ =

∫U ′w′

vıa φ′

=

∫X

w

Sea X una variedad diferenciable de dimension n orientada y w una n-forma diferenciable desoporte compacto. Sea un numero finito de abiertos coordenados U1, . . . , Un que recubran sopw yconsideremos el recubrimiento de X, U1, . . . , Un, X − sopw. Sea f1, . . . , fn, f una particion de launidad subordinada al recubrimiento. Observemos que w = f1 · w + · · · + fnw (y f · w = 0) y quesop fi · w ⊂ Ui. Definimos ∫

X

w :=

∫U1

f1w + · · ·+∫Un

fnw

Esta definicion no depende del recubrimiento ni de la particion: Sea V1, . . . , Vm abiertos coordenadosque recubran sopw y g1, . . . , gm, g una particion de la unidad subordinada a V1, . . . , Vm, X−sopw.Entonces

n∑i=1

∫Ui

fiw =

n∑i=1

∫Ui

m∑j=1

figjw =

n∑i=1

m∑j=1

∫Ui∩Vj

figjw =

n∑i=1

m∑j=1

∫Vj

figjw

=

m∑j=1

∫Vj

n∑i=1

figjw =

m∑j=1

∫Vj

gjw

Dejamos ya que el lector pruebe:

1. Si w1, . . . , wr son n-formas con soporte compacto entonces∫X

∑i wi =

∑i

∫wi.

2. Si φ : X → X ′ es un difeomorfismo orientado entre variedades diferenciables orientadas entoncespara toda n-forma diferenciable w′ de X ′ de soporte compacto se satisface que∫

X=φ−1(X′)

φ∗w′ =

∫X′w′

Formula de Stokes.

3. Definicion : Sea X una variedad diferenciable, B ⊂ X un cerrado y ∂B el borde de B. Diremosque B es una variedad con borde si para todo p ∈ ∂B existe un entorno coordenado U , u1, . . . , un dep en X de modo que B ∩ U = x ∈ U : u1(x) ≤ 0.

Observemos que ∂B ∩U ≡ u1 = 0, luego ∂B es una subvariedad diferenciable de X. Si wX es unaforma diferenciable de volumen en X que lo orienta, podemos definir una orientacion en ∂B: Sea w′

una n − 1-forma diferenciable en U tal que du1 ∧ w′ = wX , entonces w′|∂B∩U define una orientacion

en ∂B ∩ U . Observemos que i∂u1wX = w′ − du1 ∧ i∂u1wX , luego w′|∂B∩U = (i∂u1wX)|∂B∩U . Solotenemos que probar que esta orientacion no depende de la u1 escogida: Si B ∩ U ≡ v1 ≤ 0 entoncesv1 = u1 · F con F > 0 en B ∩ U (F 6= 0 incluso en ∂B ∩ U , porque dv1 = Fdu1 + u1dF es no nulaen todo punto). Sea w′′ tal que dv1 ∧w′′ = wX . La n− 1 forma w′|∂B∩U coincide con la restriccion de

i∂u1wX = i∂u1

(dv1 ∧ w′′) = (F + u1 · ∂F∂u1) · w′′ + v1 · i∂u1

w′′ a ∂B, que coincide con F · w′′|partialB∩U .

Nota: Cuando escribamos∫Bw querremos decir

∫0Bw.

2.7. Integracion. Formula de Stokes 55

4. Lema : Sea X una variedad diferenciable orientada de dimension n y B ⊂ X una variedadcon borde. Para cada x ∈ X existe un entorno abierto U de x de modo que para toda n − 1-formadiferenciable w sobre X de soporte compacto contenido en U se cumple que∫

B

dw =

∫∂B

w

Demostracion. 1. Si x /∈ B, tomese U = X−B. Si w tiene soporte compacto contenido en U entonces∫Bdw = 0 =

∫∂B

w.

2. Si x ∈0

B, sea U , u1, . . . , un un entorno coordenado de x, contenido en0

B, isomorfo a un cubo,es decir, tenemos

U(u1,...,un)−→∼

U ⊂ Rn, U = (a1, b1)× . . .× (an, bn)

Si w es una n − 1 forma con soporte compacto incluido en U entonces∫∂B

w = 0. Veamos que∫Bdw = 0: Por la linealidad de la integral podemos suponer que w = fdu2 ∧ · · · ∧ dun. Entonces∫

B

dw =

∫U

d(fdu2 ∧ · · · ∧ dun) =

∫U

∂f

∂u1· du1 ∧ · · · ∧ dun =

∫ bn

an

· · ·∫ b1

a1

∂f

∂u1· du1 · · · dun

=

∫ bn

an

· · ·∫ b2

a2

(

∫ b1

a1

∂f

∂u1du1) · du2 · · · dun

=

∫ bn

an

· · ·∫ b2

a2

(f(b1, u2, . . . , un)− f(a1, u2, . . . , un)) · du2 · · · dun = 0

porque w es nula sobre los hiperplanos u1 = a1, u1 = b1.3. Si x ∈ ∂B sea U, u1, . . . , un un entorno coordenado de x tal que B ∩U ≡ u1 ≤ 0 y de modo que

U sea isomorfo a un cubo (a1, b1)× · · · × (an, bn), como en el caso anterior. Observemos que ∂B ∩ Uesta coordenado por u2, . . . , un y es difeomorfo al cubo (a2, b2) × · · · × (an, bn). Consideremos unan− 1-forma diferenciable con soporte compacto incluido en U .

Escribamos w =∑i fidu1 ∧ · · · ∧ ˆdui ∧ · · · ∧ dun. Entonces, w|∂B = f1(0, u2, . . . , un)du2 ∧ · · · ∧ dun

y ∫∂B

w =

∫∂B∩U

=

∫(a2,b2)×···×(an,bn)

f1(0, u2, . . . , un) · du2 · · · dun

Por otra parte,∫B

dw =

∫B∩U

dw =

∫ u1=0

u1=a1

∫ u2=b2

u2=a2

· · ·∫ un=bn

un=an

∑i

(−1)i−1 ∂fi∂ui

du1 · · · dun

=

∫ u1=0

u1=a1

∫ u2=b2

u2=a2

· · ·∫ un=bn

un=an

∂f1

∂u1du1 · · · dun

pues, ∂fi∂ui

du1 · · · dun son formas como en 2. nulas sobre los hiperplanos ui = ai, ui = bi. Por tanto,

∫B

dw =

∫ u2=b2

u2=a2

· · ·∫ un=bn

un=an

(

∫ 0

a1

∂f1

∂u1) · du1 · · · dun =

∫ u2=b2

u2=a2

· · ·∫ un=bn

un=an

f1(0, u2, . . . , un) · du2 · · · dun


5. Teorema de Stokes: Sea w una n− 1-forma de soporte compacto sobre X. Se cumple que∫B

dw =

∫∂B

w

Demostracion. Sea U1, . . . , Un abiertos coordenados que recubran el soporte de w y que satisfaganel lema anterior. Sea f1, . . . , fn, f una particion de la unidad subordinada a U1, . . . , Un, X − B.Entonces ∫

B

dw =

∫B

d(∑i

fiw) =∑i

∫B

d(fiwi) =∑i

∫∂B

fiwi =

∫∂B

fiwi =

∫B

w

2.8. Gradiente, divergencia y rotacional

Vayamos con el ejemplo fundamental. Consideremos el anillo C∞(Rn) y el C∞(Rn)-modulo librede rango n, ΩRn . 4 DerRn es el C∞(Rn)-modulo dual de ΩRn .

Sea T2 : DerRn ×DerRn → C∞(Rn) una aplicacion C∞(Rn)-bilineal. Sea w1, . . . , wn una base de

ΩRn . Sabemos que T2 =∑ij

aij · wi ⊗ wj , aij ∈ C∞(Rn), de modo que

T2(D1, D2) =∑ij

aijwi(D1) · wj(D2)

T2 induce la polaridad, T2 : DerRn → ΩRn , T2(D) := iDT2 =∑ij

aijwi(D) · wj . Supongamos que

la polaridad T2 es un isomorfismo. Denotemos por T 2 el morfismo inverso de T2.

1. Definicion : Dada f ∈ C∞(Rn) se define grad f = T 2(df).

2. Proposicion : Se cumple que

1. grad(λf) = λ grad f , λ ∈ R, f ∈ C∞(Rn).

2. grad(f + g) = grad(f) + grad g, f, g ∈ C∞(Rn).

3. grad(fg) = f grad g + g grad f .

Interpretacion geometrica de las diferenciales, campos, gradiente,.....Fijemos “una forma de volumen” wX ∈ Ωn

Rn de modo que Ωn = C∞(Rn) · wX . Observemos queΩn+1

Rn = 0 y por tanto, dwX = 0.

3. Definicion : Dado D ∈ DerRn se define la divergencia de D, que denotaremos por divD, comola funcion que cumple

DLwX = (divD) · wX

Observemos que DLwX = (diD + iDd)wX = diDwX . Ası pues,

diDwX = (divD) · wX4Podrıamos desarrollar la teorıa correspondiente considerando una k-algebra A tal que ΩA/k fuese un A-modulo

finito generado localmente libre...

2.9. Apendice 1. Normas 57

4. Teorema de la divergencia: Sea B ⊂ X una subvariedad con borde compacta. Sea wX unaforma de volumen en X, N un campo normal al borde ∂B de modulo 1 y w∂B la forma de volumenen ∂B. Sea D un campo diferencial de vectores en X. Entonces por el teorema de Stokes∫

B

(divD) · wX =

∫∂B

iDwX =

∫∂B

(D ·N) · w∂B

5. Proposicion : div(fD) = f · divD +Df .

Demostracion. div(fD) · wX = (fD)LwX = (difD)wX = difDwX = d(f · iDwX) = df ∧ iDwX +fdiDwX = −iD(df ∧ wX) + iDdf ∧ wX + fDLwX = Df · wX + f divD · wX .

Consideremos ahora el C∞(R3)-modulo libre de rango 3, ΩR3 . Sea T2 = dx1 ⊗ dx1 + dx2 ⊗ dx2 +dx3⊗dx3 y wR3 = dx1∧dx2∧dx3 la forma diferencial de volumen de R3. El morfismo DerR3 → Ω2

R3 ,D′ 7→ iD′wR3 es un isomorfismo de C∞(R3)-modulos.

6. Definicion : Dado D ∈ DerR3 se define el rotacional de D, que denotamos por rotD, como elcampo que cumple que

irotDwR3 = diDT2

7. Teorema : Sea S una subvariedad diferenciable compacta de R3 de dimension 2, y N un vectornormal a S de modulo 1. Sea B ⊂ S una subvariedad con borde y sea T un vector tangente a ∂B demodulo 1. Sea D un campo diferencial de vectores en R3. Entonces por el teorema de Stokes∫

B

((rotD) ·N) · wB =

∫B

irotDwR3 =

∫∂B

iDT2 =

∫∂B

(D · T ) · w∂B

8. Teorema : rot(D) = 0 ⇐⇒ Existe una funcion f ∈ C∞(R3) tal que D = grad f .

Demostracion. rotD = 0 ⇐⇒ 0 = irotDwR3 = d(T2(D)) ⇐⇒ T2(D) = df , para cierta f ∈ C∞(R3)⇐⇒ D = T 2(df) = grad f para cierta f ∈ C∞(R3).

“Un campo de fuerzas es conservativo si y solo si es un gradiente”

9. Teorema : divD′ = 0 ⇐⇒ Existe una derivacion D tal que D′ = rotD.

Demostracion. div(D′) = 0 ⇐⇒ 0 = div(D′) · wR3 = d(iD′wR3) ⇐⇒ Existe w ∈ ΩR3 tal queiD′wR3 = dw. Ahora bien, para toda w ∈ ΩR3 existe una (unica) derivacion D tal que w = T2(D).Por tanto, div(D′) = 0 ⇐⇒ Existe D tal que iD′wR3 = dT2(D) ⇐⇒ D′ = rotD, para cierto D.

10. Ejercicio : rot fD = f · rotD + grad(f)×D.

2.9. Apendice 1. Normas

1. Definicion : Sea E un R-espacio vectorial. Una norma es una aplicacion E → R+, eNot.7→ ||e|| que

cumple

1. ||e|| = 0 ⇐⇒ e = 0.

2. ||λ · e|| = |λ| · ||e||, para todo λ ∈ R y e ∈ E.

3. ||e+ e′|| ≤ ||e||+ ||e′||, para todo e, e′ ∈ E.


2. Ejemplo : Supongamos E = Rn y consideremos la norma || ||1 definida por ||(λ1, · · · , λn)||1 :=|x1| + · · · + |x2| Otra norma que podemos definir en Rn es || ||2 definida por ||(λ1, · · · , λn)||2 :=√λ2

1 + . . .+ λ2n. Otra norma que podemos definir en Rn es || ||∞ definida por ||(λ1, · · · , λn)||∞ :=

max|x1|, . . . , |xn|.E, || || se dice que es un espacio normado. La norma || || define en E una distancia, d, d(e, e′) :=

||e− e′|| que cumple que d(e, e′) = 0 ⇐⇒ e = e′ (por la propiedad 1.), que d(e, e′) = d(e′, e) (por lapropiedad 2.) y que d(e, e′′) ≤ d(e, e′) +d(e′, e′′) (por la propiedad 3.). Luego || || define una topologıaen E, para la cual una base de entornos de cada punto e ∈ E es

B(e, δ) := e′ ∈ E : d(e′, e) < δ = e′ ∈ E : ||e− e′|| < δ

3. Teorema : Si E es un R espacio vectorial de dimension finita entonces todas las normas de Edefinen la misma topologıa.

Demostracion. Podemos suponer que E = Rn y que e1, . . . , en es la base estandar. Sea || || una normaen E y M = max||e1||, . . . , ||en||. Entonces, dado e =

∑i λiei tenemos que ||e|| = ||

∑i λiei|| ≤∑

i |λi|||ei|| ≤∑i |λi| ·M = M · ||e||1. Por tanto, || || ≤M · || ||1.

Consideremos en Rn la topologıa estandar definida por || ||1 (que es la misma que la definida por|| ||2). La norma Rn → R, e 7→ ||e|| es una aplicacion continua, pues

| ||e|| − ||e′|| | ≤ ||e− e′|| ≤M · ||e− e′||1

Sea m el mınimo de || || sobre el compacto K = e ∈ Rn : ||e||1 = 1. Por tanto, || || ≥ m · || ||1.En conclusion, la topologıa definida por || || es la misma que la definida por || ||1.

Sea E, || || un espacio vectorial normado de dimension finita. Podemos definir una norma en Endk Edel siguiente modo: Dado T ∈ Endk E, ||T || := max||T (e)|| : ||e|| = 1. Por tanto, ||T (e)|| ≤ ||T ||·||e||,para todo e ∈ E.

2.10. Apendice 2. Teorema de existencia y unicidad en siste-mas de ecuaciones diferenciales

Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales

dx1

dt = f1(x1, . . . , xn). . .

dxndt = fn(x1, . . . , xn)

Dar una solucion de este sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales a1(λ), . . . , an(λ)es dar funciones φi(t, λ) tales que dφi

dt = fi(φ1, . . . , φn) y φi(t0, λ) = ai(λ).Si escribimos x = (x1, . . . , xn) y F = (f1, . . . , fn) podemos escribir de modo reducido el sistema

anterior comodx

dt= F (x)

y dada la condicion inicial a(λ) = (a1(λ), . . . , an(λ)), buscamos φ(t, λ) = (φ1(t, λ), . . . , φn(t, λ)) talque

dφ

dt= F (φ)

2.10. Apendice 2. Teorema de existencia y unicidad en sistemas de ecuaciones diferenciales 59

y φ(t0, λ) = a(λ).El sistema de ecuaciones diferenciales (con condicion inicial a(λ)) es equivalente a la ecuacion

x = a(λ) +

∫ t

t0

F (x) · dt

Dada ϕ si denotamos ϕ∗ = a(λ) +∫ t

0F (ϕ) · dt, buscamos φ tal que φ = φ∗.

Vamos a ver que bajo ciertas condiciones, si consideramos una ϕ cualquiera y tomamos ∗ infinitasveces obtenemos una φ tal que al tomar ∗ una vez mas obtenemos φ, es decir, φ∗ = φ. Ası demostra-remos que el sistema de ecuaciones diferenciales anterior tiene solucion.

1. Lema : Sea X, d un espacio metrico completo y T : X → X una aplicacion contractiva, es decir,tal que exista una constante 0 ≤ c < 1 tal que d(T (x), T (y)) ≤ c ·d(x, y), para todo x, y ∈ X. Entoncesexiste un unico punto p ∈ X tal que T (p) = p.

Demostracion. Sea x ∈ X un punto cualquiera. La sucesion xn := Tn(x) es una sucesion de Cauchy:Sea a = d(x, T (x)) entonces d(Tn(x), Tn+1(x)) ≤ c ·d(Tn−1(x), Tn(x)) ≤ · · · ≤ cn ·d(x, T (x)) = cn ·a.Entonces, dado n ≥ m se cumple que

d(Tm(x), Tn(x)) ≤ d(Tm(x), Tm+1(x)) + d(Tm+1(x), Tm+2(x)) + · · ·+ d(Tn−1(x), Tn(x))

≤ cm · a+ cm+1 · a+ . . .+ cn−1 · a = a · cm − cn

1− c≤ cm · a

1− c

que es todo lo pequeno que se quiera para n,m grandes.Por tanto, la sucesion converge a un punto p. Por ser T contractiva es continua, luego T (p) =

T (lımn→∞ xn) = lımn→∞ T (xn) = lımn→∞ xn+1 = p.Si T (p′) = p′ entonces d(p, p′) = d(T (p), T (p′)) ≤ c · d(p, p′), luego d(p, p′) = 0 y p′ = p.

2. Teorema : Sea F ∈ C1(Rn,Rn) y a(t1, . . . , tm) ∈ C0(Rm,Rn). Dado b = (b0, b1, . . . , bm) ∈ Rm+1,existe un entorno abierto conexo V de b y una unica solucion φ(t, t1, . . . , tm) ∈ C0(V,Rn) (derivableen t) del sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= F (x)

con condiciones iniciales, para t = b0, φ(b0, t1, . . . , tm) = a(t1, . . . , tm).

Demostracion. Sea U un abierto conexo de Rn de cierre compacto que contenga a (b1, . . . , bm). Seac > ||a|U ||∞.

Por el teorema del valor medio existe una constante d (consideremos la menor posible) tal que

1. ||F (x)− F (y)||∞ ≤ d · ||x− y||∞, para todo x, y tales que ||x||∞, ||y||∞ ≤ 2c.

2. ||F (x)||∞ ≤ 2d · c, para todo x tal que ||x||∞ ≤ 2c.

Sea ε = 1/2d, Uε := (b0 − ε, b0 + ε) y Sea E = ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) ∈ C0(Uε × U,Rn), ||ϕ||∞ ≤2c. E, || ||∞ es un espacio normado completo. La aplicacion T : E → E, T (ϕ) = a(t1, . . . , tn) +∫ tt0F (ϕ(s, t1, . . . , tn)) · ds esta bien definida y es contractiva. Veamos que T (ϕ) ∈ E:


||T (ϕ)||∞ ≤ ||a||∞+ ||∫ t

t0

F (ϕ) ·ds||∞ ≤ c+ |∫ t

t0

||F (ϕ)||∞ ·ds| ≤ c+ |∫ t

t0

2d · c ·ds| ≤ c+d ·2c · ε = 2c

Veamos que T es contractiva:

||T (ϕ)− T (φ)||∞ = ||∫ t

t0

F (ϕ)− F (φ) ds||∞ ≤ |∫ t

t0

||F (ϕ)− F (φ)||∞ · ds|

≤ |∫ t

t0

d · ||ϕ− φ||∞ · ds| ≤ ε · d · ||ϕ− φ|| =1

2||ϕ− φ||∞

Por tanto, existe una unica φ ∈ E tal que T (φ) = φ, que es la solucion en V = Uε ×U del sistemade ecuaciones diferenciales.

Si φ′ es otra solucion del sistema de ecuaciones en V , reduciendo V muy poco, podemos suponerque ||φ′||∞ = c′ < ∞. Si c′ ≤ c, entonces φ′ ∈ E y φ′ = φ. Si c′ > c, siguiendo notaciones obvias,entonces d′ ≥ d. Denotemos V ′ = (b0−1/2d′, b0+1/2d′)×U , entonces φ′|V ′ ∈ E

′ = ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) ∈C0(V ′,Rn), ||ϕ||∞ ≤ 2c′. Entonces, φ|V ′ = φ′|V ′ . Ahora es facil ver que los puntos en los que coinciden

φ y φ′ es un abierto, luego φ = φ′.

Dependencia diferenciable de las condiciones iniciales:

Si F ∈ Ck+1(Rn,Rn) y a(t1, . . . , tm) ∈ Ck(Rm,Rn) entonces la solucion φ tambien es de clase k:Es un problema local. Podemos suponer que F es de soporte compacto. Veamos que podemos

proceder como en el teorema 2.10.4.Sea U un cubo abierto de Rm y Uε := (t0− ε, t0 + ε). Dada g(t, t1, . . . , tm) ∈ Ck(Uε×U,Rn), deno-

temos gα = ∂αg∂tα0 ···∂tαmm . Dada ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) ∈ Ck(Uε × U,Rn) definamos ||ϕ|| := max||ϕj,α||∞, :

1 ≤ j ≤ n y |α| ≤ k. Sea c = ||a|U ||.Sea E = ϕ ∈ Ck(Uε × U,Rn), tales que ||ϕ|| ≤ 2c, que es un espacio metrico completo.Dada α, con |α| ≤ k, tendremos que Fi(ϕ1, . . . , ϕn)α = Gi,α(ϕj,β)1≤j≤n,|β|≤k, para cierta funcion

Gi,α ∈ C1(RN ,Rn), con N = n ·#β : |β| ≤ k. Sea G = (Gj,β)1≤j≤n,|β|≤k. Existe una constante d,tal que

1. ||G(xj,β) − G(yj,β)||∞ ≤ d · ||(xj,β) − (yj,β)||∞, para todo (xj,β) y (yj,β) tales que ||(xj,β)||∞,||(yj,β)||∞ < 2c

2. ||G(xj,β)||∞ < 2d · c, para todo (xj,β) tal que ||(xj,β)||∞ < 2c.

En tal caso, ||F (ϕ) − F (φ)|| < d · ||ϕ − φ|| y ||F (ϕ)|| < 2d · c, si ||ϕ||, ||φ|| < 2c. Sea ε = 12d .

La aplicacion T : E → E, T (ϕ) = a(t1, . . . , tn) +∫ tt0F (ϕ(s, t1, . . . , tn)) · ds esta bien definida y es

contractiva. Veamos que T (ϕ) ∈ E:

||T (ϕ)|| ≤ ||a||+ ||∫ t

t0

F (ϕ) · ds|| ≤ c+ |∫ t

t0

||F (ϕ)|| · ds| ≤ c+ |∫ t

t0

2d · c · ds| ≤ c+ 2d · c · ε = 2c

Veamos que T es contractiva:

2.10. Apendice 2. Teorema de existencia y unicidad en sistemas de ecuaciones diferenciales 61

||T (ϕ)− T (φ)|| = ||∫ t

t0

F (ϕ)− F (φ) ds|| ≤ |∫ t

t0

||F (ϕ)− F (φ)|| · ds|

≤ |∫ t

t0

d · ||ϕ− φ|| · ds| ≤ ε · d · ||ϕ− φ|| = 1

2||ϕ− φ||

Por tanto, existe φ ∈ E tal que T (φ) = φ, que es la solucion local del sistema de ecuacionesdiferenciales.

3. Corolario : Sea F ∈ Ck+1(Rn,Rn) y a(t1, . . . , tm) ∈ Ck(Rm,Rn). existe un entorno abierto conexoV de 0 × Rn ⊂ R × Rn y una unica solucion φ(t, t1, . . . , tm) ∈ Ck(V,Rn) del sistema de ecuacionesdiferenciales

dx

dt= F (x)

con condiciones iniciales, φ(0, t1, . . . , tm) = a(t1, . . . , tm).

4. Teorema : Sea F ∈ Ck+1(Rn,Rn) con soporte compacto y a(t1, . . . , tm) ∈ Ck(Rm,Rn). Entoncesexiste una unica solucion φ(t, t1, . . . , tm) ∈ Ck(R× Rm,Rn) del sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= F (x)

con condiciones iniciales, para t = t0, φ(t0, t1, . . . , tm) = a(t1, . . . , tm).

Demostracion. Por ser F y sus derivadas continuas de soporte compacto, por el teorema del valormedio existe una constante d tal que ||F (x)−F (y)||∞ ≤ d·||x−y||∞, para todo x, y. Podemos procedercomo en el teorema 2.10.2, tomando c =∞, U ⊂ Rm cualquier abierto de soporte compacto, ε = 1/2d,Uε = (t0−ε, t0 +ε), V = Uε×U y E = ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) ∈ C0(V,Rn), ||ϕ||∞ <∞. Igualmente existeuna unica φ ∈ E solucion del sistema de ecuaciones diferencial y con condicion inicial φ(t0, t) = a(t).Como U puede ser un abierto compacto todo lo grande que se quiera podemos suponer que U = Rm.Si tomamos V ′ = (t0− ε/2, t0 +3ε/2)×Rm y como condicion inicial a′(t) := φ((t0 + ε/2, t) igualmenteexiste una unica solucion φ′ del sistema de ecuaciones en V ′ tal que φ′(t0 + ε/2, t) = φ((t0 + ε/2, t).Por la unicidad φ y φ′ coinciden sobre V ∩ V ′, por tanto, existe una solucion unica ψ del sistemade ecuaciones en V ∪ V ′ = (t0 − ε, t0 + 3ε/2) × Rm con condicion inicial ψ(t0, t) = a(t). Ampliandosucesivamente el intervalo abierto Uε concluimos.

Curvas integrales de un campo

Sea D =∑i fi ·

∂∂xi∈ DerRn . Nos planteamos la existencia (local) de una aplicacion diferenciable

τ : R× Rn → Rn, (t, x) 7→ τ(t, x)

tal que τ∗((∂∂t )(t,x)) = Dτ(t,x) y τ(0, x) = x.

Si escribimos τ = (τ1, . . . , τn), sabemos que τ∗((∂∂t )(t,x)) = (

∑i∂τi∂t

∂∂xi

)τ(t,x). Por tanto, τ∗((∂∂t )(t,x)) =

Dτ(t,x) si y solo si ∂τi∂t = fi(τ). Si escribimos F = (f1, . . . , fn) entonces τ es justamente la solucion delsistema de ecuaciones diferenciales

dτ

dt= F (τ)

con condiciones iniciales τ(0, x) = x. Si D es un campo con soporte compacto sabemos que existe unaunica τ “global”. En general, para cada x ∈ Rn existe un entorno abierto Ux de x, un εx) ∈ R y una


unica aplicacion diferenciable τ : Uεx × Ux → Rn, de modo que τ∗(∂∂t (t,x)

) = Dτ(t,x) y τ(0, x) = x.

Por tanto, si W = ∪x∈RnUεx × Ux ⊂ R × Rn tenemos definida una unica aplicacion diferenciableτ : W → Rn, de modo que τ∗(

∂∂t (t,x)

) = Dτ(t,x) y τ(0, x) = x.

Denotemos τt : U → Rn, τt(x) = τ(t, x). Se cumple que τt τs = τt+s (donde todo este definido).En efecto, cumplen el mismo sistema de ecuaciones diferenciales

dτ(t, τ(s, x))

dt= F (τ(t, τ(s, x))),

dτ(t+ s, x)

dt= F (τ(t+ s, x))

y cumplen las mismas condiciones iniciales τ(0, τ(s, x)) = τ(s, x) = τ(0 + s, x). Se dice que τt(x) es el“grupo uniparametrico” asociado a D.

Observemos que si fijamos un x ∈ Rn, obtenemos una curva

σx : Uε −→ Rn, σx(t) = τ(t, x)

en Rn cuyo campo tangente en σx(t) = τ(t, x) es σx,∗((∂∂t )t) =

∑iτi(t,x)dt ( ∂

∂xi)σx(t) = Dσx(t). Se dice

que σx es la curva integral de D en x.Sea W ⊂ R×Rn un abierto conexo maximo, que contenga a 0×Rn y para el que existe τ : W → Rn

una (unica) aplicacion diferenciable tal que τ∗(∂∂t (t,x)

) = Dτ(t,x) y τ(0, x) = x. Sean y = (t, x) ∈ W ,

Uε = (ε, ε), Uy entorno abierto de y y τ : Uε × Uy → Rn. Si Ux es un entorno abierto conexo de x talque τt(Ux) ⊆ Uy, entonces la aplicacion τ : (t− ε, t+ ε)×Ux → Rn, τ((t′, x′)) := τt′−t(τt(x

′)), coincidecon τ : W → Rn sobre W ∩ ((t− ε, t + ε)× Ux). Por tanto, (t− ε, t + ε)× Ux ⊆ W . Es facil concluir

que, dado x ∈ Rn entonces (R× x) ∩W τ→ Rn es la curva integral maxima de D que pasa por x.

Reduccion local de un campo a forma canonica

Si F : U → V es un difeomorfismo entre abiertos de Rn, “entonces todo lo que digamos en Upodemos traducirlo a V ”. Dada una funcion en g en U , tenemos la correspondiente funcion en V :gF−1. Dada una derivacion D en U , tenemos la derivacion F (D) en V , determinada por el diagramaconmutativo

C∞(U)F∗−1

D

C∞(V )

F (D)

C∞(U)

F∗−1

C∞(V )

Es decir, F (D)g := D(gF )F−1. Puede comprobarse que F (D)F (α) = F∗Dα. D = ∂∂x1

en un sistema

de coordenadas x1, . . . , xn si y solo si F (D) = ∂∂y1

en el sistema de coordenadas y1 = x1 F, . . . , yn =xn F .

Sigamos las notaciones del apartado anterior. Supongamos que Dp 6= 0, por tanto fi(p) 6= 0 paraalgun i. No hay perdida de generalidad si suponemos que f1(p) 6= 0. Sea V = (t, x2, . . . , xn) ∈ Rntales que (t, x1(p), x2, . . . , xn) ∈ Uε × U y consideremos la composicion de morfismos

Vi→ Uε × U

τ→ Rn(t, x2, . . . , xn) 7→ (t, x1(p), x2, . . . , xn)

A nivel tangente tenemos

∂∂t

i∗7→ ∂∂t

∂∂xi

i∗7→ ∂∂xi

, i > 1

∂∂t

τ∗7→ D

( ∂∂xi

)0,qτ∗7→ (

∑j∂τj(0,x)∂xi

· ∂∂xj

)q = ( ∂∂xi

)q

2.11. Apendice 3. Inmersion de variedades compactas 63

En conclusion, la matriz de (τ i)∗ en el punto (0, p2, . . . , pn) esf1(p) 0 . . . 0f2(p) 1 . . . 0

......

...fn(p) 0 . . . 1

Luego τ i es un difeomorfismo de un entorno abierto V ′ de (0, p2, . . . , pn) con un entorno abierto Ude p y tenemos

V ′ ' U∂∂y1

↔ D

y en las coordenadas z1 = t (τ i)−1, . . . , zn = xn (τ i)−1, D = ∂∂z1

.Sea wr una r-forma diferencial en un abierto U ⊂ Rn y D una derivacion. Veamos que

DLwr = lımt→0

τ∗t (wr)− wrt

Si Dp 6= 0 entonces en un entorno V de p, D = ∂∂z1

en cierto sistema de coordenadas z1, . . . , zn.Entonces τt((z1, . . . , zn)) = (z1 + t, z2, . . . , zn), como es de comprobacion inmediata. Escribamos wr =∑fi1...ir · dzi1 ∧ · · · ∧ dzir , entonces en V

lımt→0

τ∗t (wr)− wrt

=∑ ∂fi1...ir

∂z1· dzi1 ∧ · · · ∧ dzir = DLwr

Si D = 0 en un entorno abierto V de p entonces τt(x) = x para todo x ∈ V , como es de

comprobacion inmediata. Entonces en V , DLwr = 0 = lımt→0τ∗t (wr)−wr

t .

En conclusion, DLwr = lımt→0τ∗t (wr)−wr

t en un abierto denso de puntos de U , luego son iguales.

2.11. Apendice 3. Inmersion de variedades compactas

1. Definicion : Sea φ : Y → X una aplicacion diferenciable entre dos variedades. Se dice que φ esuna inmersion local en y ∈ Y si la aplicacion lineal tangente en y es inyectiva.

Obviamente φ es una inmersion local en y si y solo si la aplicacion lineal cotangente φ∗ : mφ(y)/m2φ(y)

→ my/m2y es epiyectiva. En este caso, si dφ(y)x1, . . . , dφ(y)xn es una base de mφ(y)/m

2φ(y), reordenando

la base, podemos suponer que dy(x1 φ), . . . , dy(xr φ) es una base de my/m2y. Sea V un entorno

abierto de y en el que y1 = x1 φ, . . . , yr = xr φ sean un sistema de coordenadas. Por tanto,para j > r, xj φ = fj(x1 φ, . . . , xr φ), para ciertas funciones diferenciables fj . Las funcionesz1 = x1, . . . , zr = xr, zr+1 = xr+1 − fr+1(x1, . . . , xr), . . . , zn = xn − fn(x1, . . . , xr) son un sistema decoordenadas en un entorno U de φ(y). Reduciendo V si es preciso para que φ(V ) ⊂ U , tenemos

φ : V, x1, . . . , xr → U, z1, . . . , znp = (p1, . . . , pr) 7→ φ(p) = (p1, . . . , pr, 0, . . . , 0)

Recıprocamente, si existen sistemas de coordenadas en los que φ se expresa de este modo entonces φes una inmersion local.


2. Definicion : Sea φ : Y → X una aplicacion diferenciable entre dos variedades. Se dice que φ esuna inmersion si φ es inyectiva e inmersion local an cada punto.

A pesar del nombre, puede ocurrir que la imagen de Y no se identifica con una subvariedad deX, como sucede con el “ocho” en el plano, parametrizado convenientemente. Ahora bien, si ademasφ : Y → φ(Y ) es un homeomorfismo entonces φ(Y ) es una subvariedad diferenciable de X y ademasφ : Y → φ(Y ) es un difeomorfismo.

3. Observacion : Si Y es compacta, entonces φ : Y → φ(Y ) es un homeomorfismo, y, por tanto, φ(Y )es una subvariedad de X.

Sea X una variedad diferenciable compacta. Queremos encontrar una inmersion

φ = (f1, . . . , fm) : X → Rm,

con lo cual, tendremos identificada la variedad X con una subvariedad de Rm.

4. Proposicion : Sea φ = (f1, . . . , fm) : X → Rm una aplicacion diferenciable. Entonces, φ es unainmersion si y solo si las funciones f1, . . . , fm separan puntos de X y separan vectores tangentes deX.

(Separan puntos si, para cualesquiera x, x′ ∈ X entonces fi(x) = fi(x′) para todo i, si y solo

si x = x′. Separan vectores tangentes si, para todo punto x ∈ X y todo par de vectores tangentesDx, D

′x ∈ TxX se cumple que si dxfi(Dx) = dxfi(D

′x), para todo i, entonces Dx = D′x).

Demostracion. Que separe puntos equivale a que φ sea inyectiva. Que separe vectores tangentes equi-vale a que la aplicacion lineal tangente sea inyectiva en todo punto.

5. Teorema de inmersion en el caso compacto: Toda variedad diferenciable compacta es difeo-morfa a una subvariedad diferenciable de algun Rm.

Demostracion. Buscamos funciones f1, . . . , fm que separen puntos y separen vectores tangentes.Sea U1, . . . , Ur un recubrimiento finito por abiertos coordenados de X y ui1, . . . , uin el sistema de

coordenadas en Ui. Sea f1, . . . , fr ⊂ C∞(X) una particion de la unidad subordinada al recubrimiento(sop fi ⊂ Ui,

∑i fi = 1). Consideremos ahora la siguiente coleccion de funciones fi, fi ·uiki,k, todas

definidas en X, si extendemos fi · uik por cero fuera del abierto Ui.Comprobemos que esta coleccion separa puntos y vectores tangentes, y con ello habremos acabado

la demostracion.Separan puntos: dados dos puntos x, x′ ∈ X, para algun j se cumple fj(x) 6= 0. Si 0 6= fj(x) =

fj(x′) entonces x, x′ ∈ Uj . Ahora ya, si fj(x) ·ujk(x) = fj(x

′) ·ujk(x′) para todo k, entonces ujk(x) =ujk(x′) y x = x′.

Separan vectores tangentes: Dados dos vectores tangentes Dx, D′x ∈ TxX, existe i tal que fi(x) 6= 0.

Si dxfi(Dx) = dxfi(D′x) y dx(fi · uik)(Dx) = dx(fi · uik)(D′x) para todo k, entonces fi(x)dxuik(Dx) =

fi(x)dxuik(D′x) para todo k. Por tanto, dxuik(Dx) = dxuik(D′x) para todo k y Dx = D′x.

Capıtulo 3

Aplicaciones de la teorıa

3.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales

λ11x1+ · · · +λn1xn = b1. . .

λ1mx1+ · · · +λnmxn = bm

Sea T : Rn → Rm la aplicacion lineal de matriz asociada (λij) en las bases estandar y e′ = (b1, . . . , bm).Las soluciones del sistema de ecuaciones lineales se corresponden con los vectores e = (x1, . . . , xn) ∈ Rntales que T (e) = e′.

Sea T : E → E′ una aplicacion k-lineal entre k-espacios vectoriales de dimension finita.

1. Definicion : Se llama rango de T , que denotaremos rangoT , a la dimension de ImT .

Como E/KerT = ImT , e 7→ T (e), se tiene que rangoT = dim ImT = dimE − dim KerT .Si e1, . . . , en es una base de E, entonces ImT = 〈T (e1), . . . , T (en)〉 y hemos definido rangoT

como el numero maximo de T (ei) que son linealmente independientes entre sı. Si (λij) es una matrizasociada a T entonces rangoT es el numero maximo de columnas linealmente independientes entre sı.

Sea v1, . . . , vn una base de un espacio vectorial V y ui =∑j λijvj , 1 ≤ i ≤ s. Tendremos que

u1 ∧ · · · ∧ us =∑

λj1,...,jsvj1 ∧ · · · ∧ vjs

Calculemos λj1,...,js . Sea i : 〈u1, . . . , us〉 → V , la inclusion y π : V → 〈vj1 , . . . , vjs〉 tal que π(vj) = 0si j 6= j1, . . . , js y π(vji) = vji , para 1 ≤ i ≤ s. Entonces

det(π i) · vj1 ∧ . . . ∧ vjs = Λs(π i)(u1 ∧ · · · ∧ us) = Λs(π)(u1 ∧ · · · ∧ us)

= Λsπ(∑

λj′1,...,j′svj′1 ∧ · · · ∧ vj′s) = λj1,...,jsvj1 ∧ · · · ∧ vjs

En conclusion,

λj1,...,js = det( (λij)j∈j1,...,js)

Recordemos que u1, · · · , us son linealmente independientes si y solo u1 ∧ · · · ∧us 6= 0, luego u1, . . . , usson linealmente independientes si y solo si algun λj1,...,js 6= 0.

65

66 Capıtulo 3. Aplicaciones de la teorıa

2. Proposicion : Sea (λij) una matriz asociada a T : E → E′. El rango de T es el maximo de losordenes de los menores de la matriz (λij) de determinante no nulo.

Demostracion. Sea e1, . . . , en una base de E y e′1, . . . , e′m una base de E′ de modo que T (ei) =∑j λije

′j . El rango de T es el numero maximo de los T (e1), . . . , T (en) linealmente independientes.

3. Corolario : El numero maximo de columnas linealmente independientes de una matriz coincidecon el numero maximo de filas linealmente independientes.

Dada una aplicacion lineal T : E → E′, e′ ∈ E′ cumple que e′ ∈ ImT si y solo si dim ImT =dim ImT + 〈e′〉. Ası pues, si e1, . . . , en es una base de E, e′1, . . . , e′m es una base de E′, T (ei) =∑j λije

′j y e′ =

∑j bje

′j , tendremos que e′ ∈ ImT si y solo si el rango de la matriz (λij) es igual al

rango de la matriz (λij) ampliada por la columna (b1, . . . , bm).Supongamos que el sistema de ecuaciones lineales

λ11x1+ · · · +λn1xn = b1. . .

λ1mx1+ · · · +λnmxn = bm

tiene solucion. Supongamos que el menor M obtenido de las columnas i1, . . . , ir y filas j1, . . . , jrde la matriz (λij) es de determinante no nulo (r = rangoT ). Por tanto, las filas j′ /∈ j1, . . . , jrdependen linealmente de las filas j1, . . . , jr y para calcular las soluciones del sistema las podemosquitar. Pasemos las variables xi′ , con i′ /∈ i1, . . . , ir al otro lado de la igualdad. Tendremos que

M ·

xi1...xir

=

bj1 −∑i′ /∈i1,...,ir λi′j1xi′

...bjr −

∑i′ /∈i1,...,ir λi′jrxi′

⇒xi1...xir

= M−1 ·

bj1 −∑i′ /∈i1,...,ir λi′j1xi′

...bjr −

∑i′ /∈i1,...,ir λi′jrxi′

3.2. Maximos y mınimos bajo condiciones

Sea U un entorno abierto de a ∈ R y f(x) ∈ C1(U).

1. Proposicion : Si f(x) alcanza un maximo relativo en a (es decir, f(a) ≥ f(x), para todo x ∈ V ,para cierto entorno abierto V de a, V ⊂ U) entonces f ′(a) = 0.

Demostracion. En efecto, tenemos que f(x) = f(a)+h(x) ·(x−a), donde h(x) ∈ C(U) y h(a) = f ′(a).Si h(a) > 0 entonces en un entorno (a − ε, a + ε) la funcion h(x) sera estrictamente mayor que cero,entonces f(x) > f(a) para x ∈ (a, a+ε) (y f(x) < f(a) para x ∈ (a−ε, a)). Llegamos a contradiccion.Del mismo modo se llega a contradiccion si h(a) < 0.

Sea ahora U un entorno abierto de a ∈ Rn y f(x) ∈ C1(U).

2. Proposicion : Si f(x) alcanza un maximo relativo en a entonces daf = 0.

Demostracion. Por la proposicion anterior ∂f∂xi

(a) = 0 para todo xi (considerando f como funcion enla variable xi).

3. Proposicion: Supongamos ahora que f(x) ∈ C2(U) y que daf = 0. Tenemos que f(x) = f(a)+(x−a) ·H(x) · (x− a)t, siendo H(x) una matriz simetrica (de funciones continuas) y H(a) = ( ∂2f

∂xi∂xj(a)).

Si H(a) es una matriz no singular entonces

3.3. Longitudes, areas y volumenes 67

1. f(x) alcanza un maximo relativo en a si y solo si ( ∂2f∂xi∂xj

(a)) es definida negativa.

2. f(x) alcanza un mınimo relativo en a si y solo si ( ∂2f∂xi∂xj

(a)) es definida positiva.

Demostracion. H(a) es una matriz definida positiva si y solo si para todo v ∈ Sn, v ·H(a) · vt > 0. SiH(a) es definida positiva entonces H(x) es definida positiva en un entorno de a, y por tanto en eseentorno f(x) > f(a), para x 6= a, y a es un mınimo relativo. Del mismo modo se razona si H(a) esdefinida negativa.

Nos falta ver que si H(a) no es definida positiva ni negativa entonces a no es mınimo ni maximorelativo. Existen v, v′ ∈ Sn de modo que v · H(a) · vt < 0 y v′ · H(a) · v′t > 0. Existe un entornoabierto V de a, de modo que v ·H(x) · vt < 0 y v′ ·H(x) · v′t > 0, para todo x ∈ V . Por tanto, para

x = a+ vn , para todo n >> 0, se tiene que f(x) < f(a) y para x = a+ v′

n , para todo n >> 0, se tieneque f(x) > f(a).

Sea ahora Y ⊂ Rn una subvariedad diferenciable. Dada una funcion f(x1, . . . , xn) nos planteamossi f|Y alcanza un maximo (o un mınimo) relativo en a ∈ Y .

Recordemos que podemos identificar (localmente) Y con un abierto de Rn−r y por tanto podemosaplicar la teorıa recien desarrollada. En efecto, sea un abierto U ⊂ Rn y un sistema de coordenadasy1, . . . , yn en U de modo que U ∩ Y ≡ y1 = . . . = yr = 0. Tenemos que f(x1, . . . , xn) = g(y1, . . . , yn)y f|Y = g(0, . . . , 0, yr+1, . . . , yn). Es decir, podemos considerar f|Y como una funcion diferenciableen las variables yr+1, . . . , yn. Por tanto si a es un maximo o un mınimo relativo de f|Y entonces0 = daf|Y ∈ ma/m

2a, donde ma es el ideal de todas las funciones diferenciables de Y que se anulan

en a. Observemos que dimR mα/m2a = n − r. El epimorfismo natural ma → ma, h 7→ h|Y , define el

epimorfismo

π : ma/m2a → ma/m

2a, π(h) = h|Y

Por tanto, daf|Y = 0 si y solo si daf ∈ Kerπ. Kerπ contiene a day1 = y1, . . . , dayr = yr. Pordimensiones, Kerπ = 〈day1, . . . , dayr〉. En conclusion, si a es un maximo o mınimo relativo de f|Yentonces daf es combinacion lineal de day1, . . . , dayr.

Las funciones yr+1, . . . , yn son un sistema de coordenadas en a de Y . Por tanto, si la matriz

(∂2f|Y∂yi∂yj

(a))i,j>r = ( ∂2f∂yi∂yj

(a))i,j>r es no singular, entonces a es un maximo relativo en Y de f|Y si es

definida negativa. El problema que nos planteamos es como calcular ∂2f∂yi∂yj

, suponiendo que conocemos

las funciones y en terminos de las x. Tenemos que ∂∂xi

=∑j∂yj∂xi· ∂∂yj

, es decir,

∂∂x1

...∂∂xn

= (∂yj∂xi

) ·

∂∂y1

...∂∂yn

⇒

∂∂y1

...∂∂yn

= (∂yj∂xi

)−1 ·

∂∂x1

...∂∂xn

3.3. Longitudes, areas y volumenes

El volumen (en dimension dos area, en dimension uno longitud) de una variedad diferenciableriemanniana es la integral de su forma de volumen.

Longitud de una curva

1. Calculemos la longitud de una curva dada en cartesianas.


Sea R→ Rn, σ(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) una curva. Rn es una variedad riemanniana con la metricaT2 = dx1 ⊗ dx1 + · · ·+ dxn ⊗ dxn. La curva σ con la metrica T2σ es una variedad riemanniana.

T2σ = dx1(t)⊗ dx1(t) + · · ·+ dxn(t)⊗ dxn(t) =∑i

x′i(t)2 · dt⊗ dt

La forma de longitud de σ, wσ en la coordenada t es wσ =√∑

i x′i(t)2 · dt

Longitud de σ entre t0 y t1 :=

∫ t1

t0

√∑i

x′i(t)2 · dt

2. Ahora calculemos la longitud de una curva plana dada en coordenadas polares ρ, θ.Sea σ : R − 0 → R × S1, σ(t) = (ρ(t), θ(t)). Recordemos que la relacion entre las coordenadas

cartesianas y las polares es x1 = ρ · cos θ, x2 = ρ · sen θ. Luego,

dx1 = cos θ · dρ− ρ · sen θ · dθdx2 = sen θ · dρ+ ρ · cos θ · dθ

y T2 = dx1 ⊗ dx1 + dx2 ⊗ dx2 = . . . = dρ⊗ dρ+ ρ2dθ ⊗ dθ. Ahora ya,

T2|σ(t) = (ρ′2

+ ρ2 · θ′2) · dt⊗ dt

y

Longitud de σ entre t0 y t1 =

∫ t1

t0

√ρ′2 + ρ2 · θ′2 · dt

3. Supongamos ahora que la curva viene dada en implıcitas C ≡ p(x, y) = 0 (x, y las coordenadascartesianas de R2). Un campo normal a la curva es D = T 2(dp(x, y)) = px · ∂∂x + py · ∂∂y . Sea N =

D/√p2x + p2

y. Por tanto, la forma de longitud de C es wC = iN (dx ∧ dy) =px·dy−py·dx√

p2x+p2

y

. Supongamos

que x, p(x, y) forman un sistema de coordenadas, entonces en C, 0 = dp(x, y) = pxdx + pydy ydy = −pxpy · dx. En conclusion si parametrizamos C por x, tenemos que

Longitud de σ entre x0 y x1 =

∫C

px · dy − py · d√p2x + p2

y

= . . . =

∫ x1

x0

√1 +

p2x

p2y

· dx

que coincide con el calculo de 1., si consideramos la parametrizacion x 7→ (x, y(x)) (y es funcion de xen en C), y recordamos que yx = −pxpy en C.

Area de una superficie

1. El area del cırculo de radio r, que en coordenadas polares es la region C ≡ 0 < ρ ≤ r, 0 < θ ≤2π, es igual a∫

C

√|T2| · dρ ∧ dθ =

∫0 < ρ ≤ r0 < θ ≤ 2π

ρ · dρ · dθ =

∫ r

0

2π · ρdρ = π · ρ2|r0 = π · r2

El area de la region del plano limitada por la grafica de una funcion y = f(x) (supongamosf(x) ≥ 0 y coordenadas cartesianas x, y) , es por definicion

∫Adx∧ dy, donde A es la region del plano

3.3. Longitudes, areas y volumenes 69

limitada por la grafica L1 = (x, f(x)) | a ≤ x ≤ b, el eje OY, L2y = 0, a ≤ x ≤ b y las rectasL3 = x = a, 0 ≤ y ≤ f(a), L4 = x = b, 0 ≤ y ≤ f(b) (no me preocupo por las orientaciones, perosı del resultado final). Por el teorema de Stokes∫

A

dx ∧ dy =

∫L1∪···∪L4

y · dx =

∫L1

y · dx =

∫ b

a

f(x) · dx

2. Calculemos el area del triangulo T limitado por la grafica de una funcion (dada en polares)ρ = ρ(θ) y el origen:

Area del triangulo T =

∫T

√|T2| · dρ ∧ dθ =

∫T

ρ · dρ ∧ dθ =

∫∂T

ρ2

2· dθ =

∫ θ1

θ0

ρ(θ)2

2· dθ

3. Calculemos el area de la superficie S que se obtiene al girar la grafica de la funcion f(x) alrededordel eje OX.

Consideremos coordenadas cilındricas en R3, x, ρ, θ, es decir, x = x, y = ρ sen θ, z = ρ cos θ. Enestas coordenadas S = ρ = f(x), a ≤ x ≤ b, 0 ≤ θ ≤ 2π, x, θ son un sistema de coordenadas en S ydρ = df(x) = f ′dx en S.

T2 = dx⊗ dx+ dρ⊗ dρ+ ρ2dθ ⊗ dθ en coordenadas cilındricas. Por tanto, T2|S = (1 + f ′2) · dx⊗

dx+ f2 · dθ ⊗ dθ y

Area de S =

∫S

√|T2|S | · dx ∧ dθ =

∫S

√1 + f ′2 · f · dx ∧ dθ =

∫ b

a

2πf(x)√

1 + f ′(x)2 · dx

Igualmente se tiene que el area de la superficie S que se obtiene al girar la curva plana parametrizada(x1(t), x2(t)) alrededor del eje OX1 es∫ t1

t0

2π · x2(t) ·√x′1(t)2 + x′2(t)2 · dt (∗)

El area de la superficie de la esfera (que se obtiene al girar la semicircunferencia (r · cos t, r ·sen t), 0 ≤ t ≤ π alrededor del eje OX1) es∫ π

0

2π · r · sen t ·√r2 · dt = 4 · π · r2

El area de la superficie torica que se obtiene al girar la circunferencia (r ·cos t, a+r · sen t), a ≥ ralrededor del eje 0X1 es ∫ 2π

0

2π · (a+ r · sen t) ·√r2 · dt = 4 · π2 · a · r

Veamos que la formula (∗) esta diciendo que el area de una superficie de revolucion es la longitud deuna seccion por el perımetro de la circunferencia que describe el centro de gravedad de una seccion: Sitenemos dos masas m y m′ en los puntos del plano x = (x1, x2) y x′ = (x′1, x

′2) el centro de gravedad

de ambas masas es x·m+x′·m′m+m′ . Si tenemos una curva (homogenea) en el plano, que troceamos en


incrementos ∆i, el centro de gravedad de la curva es∑xi·∆i∑

∆ies decir, el centro de gravedad de la

curva C ≡ (x1(t), x2(t), de forma de longitud wC =√x′1(t)2 + x′2(t)2 · dt es∫

Cx · wC∫CwC

=(∫Cx1 · wC ,

∫Cx2 · wC)

Long. C

El perımetro de la circunferencia (alrededor del eje OX1) que describe el centro de gravedad es

2π ·∫Cx2wC

Long. C

Por tanto,

2π ·∫Cx2 · wC

Long. C· Long. C =

∫ t1

t0

2π · x2(t) ·√x′1(t)2 + x′2(t)2 · dt

Volumenes

1. Consideremos en el plano una region A y sea V ⊂ R3 el cuerpo de revolucion obtenido algirar la region S alrededor del eje OX1. Sean x1, x2, x3 coordenadas cartesianas y x1, ρ, θ coordenadascilındricas, es decir, x1 = x1, x2 = ρ · sen θ, x3 = ρ · cos θ. Un punto (x1, x2, x3) ∈ V ⇐⇒ (x1, ρ) ∈ Ay θ ∈ [0, 2π]. Por tanto, el volumen del cuerpo revolucion es∫

V

dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 =

∫A×[0,2π]

ρ · dx1 ∧ dρ ∧ dθ =

∫A

2πρ · dx1 ∧ dρ =

∫A

2πx2 · wA

donde wA es la forma de area de A y la ultima igualdad es un simple cambio de notacion. Argumen-tando como mas arriba el lector puede probar que el volumen de un cuerpo de revolucion es el es elarea de una seccion por el perımetro de la circunferencia que describe el centro de gravedad de laseccion.

Calculemos el volumen del toro “macizo”, Toro, que se obtiene al girar el cırculo C de radior y centrado en (0, a) alrededor del eje OX1. Consideremos en el plano las coordenadas ρ, θ, conx1 = ρ sen θ y x2 = a+ ρ cos θ, entonces

Vol. Toro =

∫C

2π · x2 ·wC =

∫[0,r]×[0,2π]

2π(a+ ρ cos θ) · ρ · dρ∧ dθ =

∫ r

0

4π2 · a · ρ · dρ = 2 · π2 · a · r2

Calculemos el volumen del cuerpo de revolucion obtenido al girar alrededor del eje OX el trianguloT de vertice el origen y lado opuesto un arco de curva ρ = ρ(θ) (en coordenadas polares).

Vol. T =

∫T

2πx2wT =

∫0<ρ≤ρ(θ),θ∈[θ0,θ1]

2π · ρ · sen θ · ρ · dρ ∧ dθ =

∫ θ1

θ0

2π

3· ρ(θ)3 · sen θ · dθ

2. Calculemos el volumen del cuerpo de revolucion V obtenido al girar alrededor del origen, pasandopor el eje OZ cada punto del triangulo de vertice el origen y lado opuesto un arco de curva ρ = f(θ)

es 43

∫ βαf3(θ) dθ. Consideremos coordenadas esfericas ρ, θ, φ, es decir,

x1 = ρ cos θ cosφ, x2 = ρ sen θ cosφ, x3 = ρ senφ

3.4. Ejemplos en Fısica 71

Entonces (x1, x2, x3) ∈ V ⇐⇒ θ0 ≤ θ ≤ θ1, 0 ≤ φ ≤ 2π y 0 < ρ ≤ ρ(θ) y

Vol. V =

∫V

dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 =

∫ρ2| cosφ| · dρ ∧ dθ ∧ dφ =

∫4ρ2 · dρ ∧ dθ =

4

3

∫ θ1

θ0

ρ(θ)3 · dθ

La esfera de radio r se obtiene al girar la curva ρ = r (con θ ∈ [0, π]) alrededor del origen, luego suvolumen es 4

3πr3.

Hipervolumen

Calculemos el volumen de la bola de radio r, B = (x1, . . . , x4) | x21 + . . . + x2

4 ≤ r2, de R4.Consideremos coordenadas hiperesfericas ρ, θ, φ, ϕ, es decir,

x1 = ρ cos θ cosφ cosϕ, x2 = ρ sen θ cosφ cosϕ, x3 = ρ senφ cosϕ, x4 = ρ senϕ

B = 0 < ρ ≤ r, 0 ≤ θ < 2π,−π/2 ≤ φ ≤ π/2,−π/2 ≤ ϕ ≤ π/2 y dx1 ∧ · · · ∧ dx4 = ρ3 cosφ cos2 ϕ ·dρ ∧ dθ ∧ dφ ∧ dϕ y

Vol. B. =

∫[0,r]×[0,2π]×[−π/2,π/2]×[−π/2,π/2]

ρ3 cosφ cos2 ϕ · dρ ∧ dθ ∧ dφ ∧ dϕ =π2r4

2

3.4. Ejemplos en Fısica

Quiero establecer justificadamente los principios mınimos o basicos de la fısica Newtoniana y laRelativista.

“Todo individuo tiene conocimiento solo de un entorno relativamente pequeno (infinitesimal) suyo.En cada instante de tiempo y lugar el individuo observara un tiempo y un espacio”. El espacio fısico Xen una variedad diferenciable de dimension cuatro (infinitesimalmente TxX = R4). Dar un individuo-observador es dar una curva C → X (curva espacio-temporal) y un punto c ∈ C digamos que es elindividuo en un instante y lugar determinados.

“Cada individuo infinitesimalmente tiene una concepcion de tiempo y espacio, rompera su realidadobservada en dos bien diferenciadas: tiempo y espacio. Ademas suponemos que cada individuo le puedecomunicar a uno cercano que hora tiene y que lugar ocupa. Infinitesimalmente el individuo rompe surealidad fısica en tiempo y espacio y lo puede comunicar”. Es decir, TcX = TcC ⊕Ec, donde diremosque TcC es el tiempo infinitesimal del individuo-observador C en c y Ec es el espacio del observadorC en c. La condicion de comunicabilidad (que no hemos expresado o detallado con rigor) se traduceen que TcX sucede una de las dos posibilidades siguientes:

1. Existe una metrica simetrica (de Lorentz) que en una base ortogonal es de la forma1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

y Ec = TcC

⊥.2. Existe una metrica simetrica que en una base ortogonal es de la forma

T2 ≡

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

y Ec = radT2

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