Álgebra tensorial y diferencial

8/3/2019 lgebra tensorial y diferencial

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Algebra tensorial y diferencial

Giuseppe i Piero

20-2-2005


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Indice General

1 Algebra Lineal Tensorial 51.1 Deniciones. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Algebra exterior n-esima de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Producto exterior y contracci on interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7 Algebra tensorial simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Modulo de diferenciales. Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9 Diferencial, contraccion por un campo, derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10 Calculo valorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Calculo Tensorial en Geometra Diferencial 372.1 Desarrollo de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Espacio tangente en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 Derivaciones. M odulo de diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 Variedades diferenciables. Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5 Anillo de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6 Localizacion en el algebra tensorial diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7 Integraci on. F ormula de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8 Gradiente, divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.9 Apendice 1. Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.10 Apendice 2. Teorema de existencia y unicidad en sistemas de ecuaciones diferenciales . 562.11 Apendice 3. Inmersi on de variedades compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Aplicaciones de la teora 633.1 Sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Maximos y mnimos bajo condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3 Longitudes, areas y vol umenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4 Ejemplos en Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

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4 INDICE GENERAL


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Captulo 1

Algebra Lineal Tensorial

Estas notas son provisionales. El captulo 2 todava no es l ogicamente consistente (ypuede contener erratas).

El calculo diferencial tensorial es una de las teoras m as hermosas que aparecen en toda la Ma-tem atica. En ella conviven en perfecta armona el Algebra, el An alisis, la Geometra Diferencial y LaFsica.

El ochenta por ciento de lo que aqu se dice debiera constituir los conocimientos b asicos (juntocon otros!) de todo matem atico. Alguna vez he cado en la tentaci on de detenerme en ciertascuestiones algebraicas que me preocupaban y que al lector quiz as no le interesen tanto. El queescribe es de formaci on algebraica y aunque pueda parecer lo contrario ha renunciado muchas vecesa una profundizacion mayor (y compresion mas clara) de los conceptos desarrollados. Por ejemplo,no he escrito las propiedades universales del algebra exterior y simetrica de un espacio vectorial yno se si perdonarmelo. En los nuevos planes de estudios que se est an perlando no aparecen las

palabras: producto tensorial, tensores, formas diferenciales, etc. Este hecho por s solo calica a todala comunidad matem atica espanola.

1.1 Deniciones. Construcciones

1. Comentario: El punto de partida de las Matem aticas son los n umeros naturales, a partir deellos vamos deniendo y construyendo toda la Matem atica, Dios nos dio los n umeros naturales, el resto de las Matem aticas la hicimos los hombres (creo que dijo Kronecker). La piedra clave de lasdeniciones y construcciones es la palabra sea, y a los matem aticos nos parece bien (como en el Genesis!). Demos algunos ejemplos.

1. Los matem aticos sabemos sustituir con todo rigor la palabra equivalente por la palabra igual,sabemos identicar una cosa con sus equivalentes. En efecto, consideremos una relaci on de equiva-

lencia en un conjunto X . Un punto de X y todos sus equivalentes, los podemos identicar, hacerlostodos una misma cosa, diciendo simplemente: Sea el subconjunto de X formado por un punto x y todos sus equivalentes. Denotemos este subconjunto por x. Del mismo modo dado un punto yX y todos sus equivalentes, sea el subconjunto de X formado por y y todos sus equivalentes y denotemoseste subconjunto y. Ahora tendremos que x es equivalente a y si y s olo si x es igual a y. LlamemosX el conjunto que se obtiene al identicar en X cada elemento con sus equivalentes, es decir,

X := {x, xX, donde x = x si y s olo si x es equivalente a x }5


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6 Captulo 1. Algebra Lineal Tensorial

Misi on cumplida.1.1 Si establecemos en Z la relaci on de equivalencia n

m si y s olo si n

m es m ultiplo de 5,

tendremos que n = m si y s olo n m es m ultiplo de 5. Si identicamos en Z cada entero con susequivalentes, tenemos s olo cinco elementos distintos, es decir, Z = {0, 1 . . . , 4}.1.2 Sea A un anillo. Dado un ideal I A, establezcamos la siguiente relaci on de equivalencia:aA es equivalente a a A si y s olo si a a I , es decir, si y s olo si existe alg un iI de modoque a = a + i. En este caso, A := {a, aA, de modo que a = a si y s olo si a a I }se denota A/I . Resulta que A/I tiene una estructura natural de anillo, deniendo la suma y el producto como

siguea + b := a + b a b := a b

el elemento neutro para la suma es 0 y para el producto 1.2. Dado el anillo de n umeros naturales N, denamos o construyamos el anillo de los n umero

enteros Z . Para ello, en Matem aticas, no podremos hablar de grados bajo cero ni de deudas como

se hace con los ni nos peque nos. Antes de empezar a construir Z

, cualquiera que sea su construcci on o denici on, sabramos decir si n m es igual a n m (para n,m,n , m N), sabramos sumar,multiplicar etc. Basta con saber esto, es decir, en saber c omo se comporta Z , para que un matem aticosepa ya denirlos, gracias a la palabra sea: Sea Z el conjunto de parejas de n umeros naturales(n, m ), que preferimos denotar n m, donde diremos que n m es igual a n m si n + m = m + n(observemos que con esta denici on n m = n m, que si n m = n m entonces n m = n m,y que si n m = n m y n m = n m entonces n m = n m ). Denido queda Z , c omodenimos la suma? (n m) + ( n m ) := ( n + n ) (m + m ). Dena el lector el producto. M asejemplos.

3. Hemos denido ya el anillo de los n umeros enteros Z , denamos el cuerpo de los n umerosracionales Q . En Matem aticas no podemos hablar de pasteles y porciones de pasteles, como a los ni nos.Pero antes de empezar a construir Q , sabramos decir cu ando nm es igual a

nm ( n,m,n , m

Z ) y sabemos sumar n umero racionales y multiplicarlos. No necesitamos nada m as, salvo la palabra sea:

Sea Q el conjunto de parejas de n umeros enteros (n, m ), que preferimos denotar nm , donde diremos

que nm es igual a nm si existen r, r = 0 tales que

rnrm y

r nr m tienen el mismo numerador y denominador

(observemos que nm =nm , que si

nm =

nm entonces

nm =

nm , y que si

nm =

nm y

nm =

nm entonces

nm =

nm ). Denido queda Q c omo denimos la suma?

nm +

nm :=

m n + mnmm . Dena el lector el

producto. M as ejemplos.3.1 Sea A un anillo y S A, un subconjunto que cumpla 1S y si s, s S entonces s s S .Queremos denir el anillo (que denotaremos por AS ) formado por las fracciones a/s , aA, sS .Obviamente, queremos que se cumpla que as = tats , para todo tS . No hay mayor problema, digamosque son equivalentes y a los equivalentes hag amoslos iguales:

AS := {as

, con aA y sS |as

=as

si existen t, t S tales que las fracciones

tats y t at s tienen el mismo numerador y denominador }C omo denimos la suma? as +

bt :=

at + bsst Y el producto?

as bt := abst .

4. Hemos denido Q , denamos ahora R . Aqu a los ni nos se les habla de los n umeros realesde un modo muy aproximado a lo que hacemos en Matem aticas (la construcci on de n umero real en Matem aticas es la objetivaci on formal de la experiencia fsica de aproximaci on (interminable)). Seles dice algo as como: Vamos a ver cu anto mide media circunferencia. Mido y veo que es casi


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1.2. Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual 7

3, pero si preciso m as es 3, 1, si preciso m as es 3, 14 y as sucesivamente nos va saliendo que mi-de 3, 141592... con innitas cifras innitesimales. As, nos decan que los n umeros reales son losn umeros con innitas cifras decimales (despues nos decan que 0, 999999999.... era el mismo n umeroque 1 Identic abamos dos n umeros equivalentes!). La construcci on que damos en Matem aticas de losn umeros reales es esencialmente la misma que la que damos para completar cualquier espacio metrico(como la construcci on de Q a partir de Z , es la misma esencialmente que la que damos para construir AS a partir de A y S ). Tenemos claro cuando una sucesi on de n umeros racionales se aproximan a algo 1 , es decir, denimos primero que es una sucesi on de Cauchy. Tenemos claro tambien, cu andodos aproximaciones son iguales o equivalentes (cuando la diferencia de las dos sucesiones de Cauchy se aproximen a 0). As pues, dar un n umero real equivale a dar las aproximaciones a el, siempre queidentiquemos estas aproximaciones. Nos basta con esto para denir R , salvo la palabra sea: Sea R el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy, donde diremos que dos sucesiones de Cauchy son iguales si son equivalentes. Denido queda R .

1.2 Espacios vectoriales. Espacio vectorial dualUn espacio vectorial es un conjunto en el que podemos sumar sus elementos y multiplicar cadaelemento por un escalar, y estas operaciones cumplen propiedades muy naturales.

Sea k un cuerpo (ejemplos: k = Q , R o C ).1. Denici on : Un k-espacio vectorial es un conjunto, E , dotado de dos operaciones, una llamadasuma E E E y se escribe (e, e ) e + e , y otra llamada producto por escalares k E E y seescribe (, e ) e, vericando:

1. (E, +) es un grupo abeliano, es decir,

(a) e + ( e + e ) = ( e + e ) + e , para todo e, e , e E .

(b) Existe un elemento que denotamos por 0 tal que 0 + e = e + 0 = e, para todo eE .(c) Para cada eE existe otro elemento que denotamos e tal que e + ( e) = 0.(d) e + e = e + e, para todo e, e E .

2. (e + v) = e + v, k, e, vE 3. ( + ) e = e + e, k, eE 4. ( ) e = ( e), , k, eE 5. 1 e = e, eE .Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores y los de k escalares. Si k es un anillo

y no un cuerpo (ejemplo: k = Z ) se dice que E es un k-modulo.kn , con la suma ( i )+( i ) := ( i + i ) y el producto por escalares ( i ) := ( i ) es un k-espaciovectorial. R 3 que es el espacio en el que pensamos que vivimos es un ejemplo de R -espacio vectorial.Sea X un conjunto y C (X ) = Aplic( X, k ). C (X ) con la suma estandar de funciones ( f + g)(x) :=

f (x) + g(x) y producto estandar por escalares ( f )(x) := f (x) es un k-espacio vectorial.1 Aunque ese algo no sea un n umero racional. En realidad, lo real, real de verdad son las aproximaciones, que estas

se aproximen a algo realmente existente es otra cuesti on. Ese algo es una abstracci on, sin embargo suele pensarse queeste algo es muy real y la aproximaci on una abstracci on matem atica, pero esto es otro tema...


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Observemos que 0 e = (0 + 0) e = 0 e + 0 e y por tanto 0 e = 0. Observemos que si e + e = 0sumando

e, obtenemos que e =

e. Como 0 = (1

1)

e = e + (

1)

e, tenemos que (

1)

e =

e.

Las aplicaciones que conservan la estructura de espacio vectorial (los morsmos de la categorade k-espacios vectoriales) son las aplicaciones lineales. Con precisi on: Sean E, E dos k-espaciosvectoriales,2. Denici on : Una aplicaci on T : E E es un morsmo de k-espacios vectoriales (o aplicaci on k-lineal ) si

T (e + v) = T (e) + T (v) y T ( e) = T (e)para cualesquiera e, vE , k.

Es claro que la composici on T 1 T 2 : E G de dos aplicaciones lineales T 2 : E F , T 1 : F G,es una aplicaci on lineal.3. Denici on : Una aplicaci on lineal T : E E es un isomorsmo si existe otra aplicacion linealS : E

E tal que T

S = Id E , S

T = Id E .

T es un isomorsmo de espacios vectoriales si y solo si es una aplicaci on biyectiva (lineal).4. Denici on : Decimos que F E es un subespacio vectorial de E si f + f F y f F , paratodo f, f F y k.

F con la suma y producto por escalares es un espacio vectorial y la inclusi on F E es unaaplicaci on k-lineal. Si F i son subespacios vectoriales de E entonces i F i es un subespacio vectorialde E .Sea E un espacio vectorial y F E un subespacio vectorial. Consideremos la relaci on de equi-valencia que dice que dos vectores e1 , e2 E son equivalentes si y s olo si dieren en un vector deF (los vectores de F son equivalentes a 0). Si identicamos cada vector de E con sus equivalentes,

obtenemos el conjunto que denotamos E/F , que es el siguiente

E/F :=

{e

|e

E, de modo que e1 = e2

e1

e2

F

}Observemos que e = 0 si y s olo si eF y que e = v si y solo si existe un vector e F tal quev = e + e .E/F es de modo natural un espacio vectorial: e + v := e + v y e := e. El morsmo natural : E E/F , (e) := e es una aplicaci on lineal epiyectiva.Dada una aplicacion lineal T : E E , se denomina n ucleo de la aplicaci on lineal T , que denotamospor Ker T , a

Ker T := T 1(0) := {eE | T (e) = 0}Es facil comprobar que Ker T es un subespacio vectorial de E . T (e) = T (v) si y solo si T (e) T (v) =T (e v) = 0, es decir, e vKer T . Es decir, T (e) = T (v) si y solo si existe un e Ker T tal quev = e + e . Por tanto, T es inyectiva si y s olo si Ker T = 0.

La aplicaci on T : E/ Ker T E , T (e) := T (e), esta bien denida, pues si e = v existe une Ker T tal que v = e + e y T (v) = T (e) + T (e ) = T (e) (luego

T (v) =

T (e), como ha ser sihablamos con sentido). Adem as, la aplicaci on T : E/ Ker T E es inyectiva: 0 = T (e) = T (e) si ysolo si eKer T , es decir, si y solo si e = 0.Denimos la imagen de T , que denotamos por Im T como

Im T := T (E ) := {T (e)E , eE }Es facil comprobar que Im T es un subespacio de E .


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Se tiene el siguiente diagrama conmutativo

E T //

E

E/ Ker T T

//Im T ?

i

OO e //_ T (e)

e //T (e) = T (e)_

OO

Donde la echa horizontal inferior es isomorsmo porque es epiyectiva e inyectiva.Si C = {ci}iI , con ci E . Llamamos subespacio vectorial de E generado por C al mnimosubespacio vectorial de E que contiene a C , y lo denotamos C . Es facil probar que

C = {eE | e = 1 c1 + + n cn , ci C, i k, nN}Si C = {e1 , . . . , e r }entonces denotamos e1 , . . . , e r = C y se cumple que e1 , . . . , e r = {1 e1 + + r er , i k}.Se dice que los vectores de C son un sistema generador de E si C = E . Decimos que un espaciovectorial E es nito generado si existen e1 , . . . , e r E de modo que e1 , . . . , e r = E . Se dice que losvectores de C son linealmente independientes si 1 c1 + + n cn = 0 si alg un i = 0, para todo ny {c1 , . . . , c n }C . Se dice que los vectores de C forman una base de E si son un sistema generadorde E y son linealmente independientes.

Los vectores (1 , 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0. . . . , 1) forman una base de kn , denominada baseest andar de kn .5. Teorema de la base: Todo espacio vectorial E = 0 contiene alguna base. Todas las bases de E tienen el mismo n umero de vectores, tal n umero se dice que es la dimensi on de E y se denota dim k E .

Demostraci on. Voy a suponer que E es nito generado, para no embarullar al lector con la teora decardinales, lema de Zorn, etc.

Supongamos, pues, que E = e1 , . . . , e n . Sea I {1, . . . , n }un subconjunto m aximo con lacondicion de que los vectores {ei}iI sean linealmente independientes. Obviamente I = , pues siI = entonces ei = 0 para todo i y E = 0. Veamos que los vectores {ei}iI forman una base deE . Tenemos que probar que ei iI = E . Dado ej , 1 j n, si ej / ei iI entonces {ej , ei}iI seran linealmente independientes, pues si j ej + i i ei = 0 entonces: 1. Si j = 0 tendremosque ej = i i j ei y ej ei iI , contradiccion. 2. Si j = 0, entonces i i ei = 0 y entonces i = 0, para todo i I , pues los vectores {ei}iI son linealmente independientes. En conclusi on, j = i = 0 para todo i, luego {ej , e i}iI son linealmente independientes. Ahora bien, por lamaximalidad de I , esto es contradictorio. En conclusi on, ej ei iI , para todo 1 j n. Portanto, E = e1 , . . . , e n ei iI y E = ei iI .Veamos que todas las bases tienen el mismo n umero de vectores. Sea n el numero de vectores deuna base (hay muchas) con el mnimo n umero de vectores. Voy a proceder por inducci on sobre n. Sin = 1, entonces E = e para cierto vector no nulo e. Dados dos vectores no nulos cualesquiera e

1, e

2tendremos que e1 = 1 e y e2 = 2 e, con 1 , 2 = 0, entonces 1 1 e1 + 1 2 e2 = e e = 0, luego e1y e2 no son linealmente independientes. En conclusi on, las bases de E han de estar formadas todaspor un unico vector.

Supongamos que el teorema es cierto hasta n 1 1, veamos que es cierto para n. Sea aho-ra {e1 , . . . , e n }y {e1 , . . . , e m }dos bases de E . Tenemos que e1 = i i ei , reordenando la base{e1 , . . . , e m }, podemos suponer que 1 = 0. Pruebe el lector que {e2 , . . . , en }y {e2 , . . . , em }son basesde E/ e1 (le costar a un poco m as ver que la segunda lo es). Obviamente, el n umero de vectores


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de una base de E/ e1 con el numero mnimo de vectores es menor que n. Por inducci on sobre n ,tendremos que n

1 = m

1, luego n = m.

Si k es un anillo (y no un cuerpo) no es cierto en general que los k-modulos tengan bases. Porejemplo el Z -modulo Z / 5Z no tiene bases, pues para todo n Z / 5Z , 5 n = 0. Los k-modulos quetienen bases se denominan k-modulos libres. kn es un k-modulo libre y una base de el es la baseest andar.

Si {ei}iI son linealmente independientes y {ej }jJ es una base de E/ ei iI entonces {ei , ej }iI,j J es una base de E : Son linealmente independientes, pues si i i ei + j j ej = 0 entonces 0 =i i ei + j j ej = j j ej , luego j = 0, para todo j , luego i i ei = 0 y i = 0 para todo i.

Generan, pues dado eE , tendremos que e = j j ej , luego e = j j ej + e , con e ei iI , esdecir, e = i i ei y e = j j ej + i i ei .Como consecuencias tenemos que si F es un subespacio vectorial de E entonces dim E = dim F +

dim E/F , y todo sistema de vectores linealmente independiente se puede ampliar a un sistema devectores que formen base.

Dado un conjunto de espacios vectoriales {E i}iI , el conjunto iI E i es de modo natural unespacio vectorial:(ei )iI + ( ei ) iI := ( ei + ei )iI (ei )iI := ( ei ) iI

Diremos que i E i es el producto directo de los espacios vectoriales E i .Denimos la suma directa de los espacios vectoriales E i , que denotamos iI E i , como

iI E i = {(ei ) iI iI

E i : todos los ei salvo un n umero nito son nulos }

{ei}iI es un sistema generador de E si y solo si el morsmoiI k E, ( i ) iI

i

i eies epiyectivo; son linealmente independientes si y s olo si es inyectivo, y son una base si y s olo si es unisomorsmo. Por tanto, todo espacio vectorial es isomorfo a un iI k, pues siempre existen bases.Observemos que si # I < entonces iI E i = iI E i .Si F, F son dos subespacios vectoriales de E se denota F + F como el mnimo subespacio vectorialque contiene a F y F . Es facil probar que

F + F = {f + f E, f F, f F }El morsmo natural F F F + F , (f, f ) f + f es epiyectivo y es inyectivo si y s olo siF F = 0. Se dice que E es la suma directa de dos subespacios F, F si y solo si F F = 0 yF + F = E , es decir, el morsmo F F E , (f, f ) f + f es un isomorsmo, es decir, todovector eE se escribe de modo unico como suma de un vector f F y otro vector f F .

Sea Homk (E, E ) el conjunto de aplicaciones lineales de E en E , que es un espacio vectorial demodo natural, con la suma y producto por escalares siguientes:

(T + T )(e) := T (e) + T (e) y ( T )(e) := T (e)Se cumple que el morsmo

iI

Homk (E, E i ) Homk (E,i

E i ), (T i ) iI T, T (e) := ( T i (e)) iI


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es un isomorsmo de morsmo inverso T ( i T ) iI , con i : j E j E i , i ((ej )jI ) := ei .Se cumple que el morsmo

i

Homk (E i , E ) Homk (iI E i , E ), (T i ) iI T, T ((ei )iI ) :=i

T i (ei )

es isomorsmo de morsmo inverso T (T i )iI , T i (ei ) := T ((0, . . . ,iei , . . . , 0)).

Sea {ei}iI una base de E . Toda aplicacion lineal T : E E , est a determinada por los valoresT (ei ), i I , pues dado eE entonces e = i i ei y T (e) = i i T (ei ). Recprocamente, dadosvi E , iI , la aplicaci on lineal S : E E denida por S (e) := i i vi , para e = i i ei , cumpleque S (ei ) = vi . Formalmente,Homk (E, E ) = Hom k (iI k, E ) =

iI

Homk (k, E ) =iI

E , T (T (ei )) iI Si {ej }es una base de E , entonces T (ei ) = j ji ej , para ciertos ij k (jado i, todos los

ji son nulos salvo un n umero nito) y existe una correspondencia biunvoca entre T y las uplas deescalares ( ji )( i,j )I J , caja de n umeros que es denominada matriz asociada a T en las bases {ei}y {ej }de E y E respectivamente.As pues, T , que es una transformaci on de un espacio en otro que supera f acilmente nuestracapacidad de ideacion geometrica, est a determinada por unos cuantos escalares ij k, que puedenser mecanicamente tratados.

Fijada una base {e1 , . . . , e n }(por sencillez digamos que n < ) de un espacio vectorial E , dadoun vector e = i i ei suele escribirse de modo abreviado e = ( 1 , . . . , n ) (es decir, tenemos unisomorsmo E = kn ). Igualmente, dada una base {e1 , . . . , e m }de E , escribiremos T (e) = e =(1 , . . . , m ), ahora bien, T (e) = T ( i i ei ) = i i T (ei ) = i i ( j ji ej ) = j ( i ji i )ej ,luego j = i ji i , para todo j . Ecuaciones que escribimos de modo abreviado

1...

m=

11 1n... ...

m 1 mn

1

...n

o de modo mucho m as abreviado e = T (e).Si T : E E es una aplicaci on lineal de matriz asociada ( ji ), entonces la matriz asociada a T es ( ji ). Escribiremos ( ji ) = ( ji )

y diremos que es el producto de una matriz por un escalar.Si T, T : E E son dos aplicaciones lineales de matrices asociadas ( ji ) y ( ji ) entonces lamatriz asociada a T + T es ( ji + ji ). Escribiremos

( ji ) + ( ji ) = ( ji + ji )

y diremos que es la suma de matrices.Sea T : E E y S : E E dos aplicaciones lineales. Sea {ei}iI , {ej }jJ y {ek}kK bases deE, E y E respectivamente. Sea ( ji ) y (kj ) las matrices respectivas de T y S . Calculemos la matriz

(cki ) de S T : (S T )(ei ) = S ( j ji ej ) = j ji S (ej ) = j ji ( k kj ek ) = k ( j kj ji ) ek .En conclusi on, cki = j kj ji . Seguiremos la notacion,(kj ) ( ji ) = ( cki )

y diremos que ( cki ) es el producto de las matrices ( kj ) y ( ji ).


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6. Proposici on : Una aplicaci on lineal T : E E es inyectiva si y s olo si aplica una (o toda) baseen un sistema de vectores linealmente independientes. T es epiyectiva si y s olo si aplica una base (otoda) en un sistema generador. T es un isomorsmo si y s olo si aplica una base (o toda) en una base.7. Denici on : El espacio vectorial formado por el conjunto de aplicaciones lineales de un k-espaciovectorial E en k se denomina espacio vectorial dual de E y se denota E , es decir,

E := Hom k (E, k )

Los vectores wE se denominan formas lineales.

8. Proposici on : Si E es un espacio vectorial de dimensi on nita, de base {e1 , . . . , e n }entonceslas formas lineales {w1 , . . . , w n }, determinadas por wi (ej ) = ij forman una base de E . Se dice que{w1 , . . . , w n }es la base dual de {e1 , . . . , e n }.Demostraci on. Dada wE

se tiene que w = w(e1)w1 + . . .+ w(en )wn , porque ambas formas linealescoinciden sobre los vectores ei de la base de E . Si i i wi = 0 entonces 0 = ( i i wi )(ej ) = j , paratodo j . En conclusi on, {w1 , . . . , w n }son un sistema generador de E y son linealmente independientes,es decir, son una base.9. Teorema de reexividad: Sea E un espacio vectorial de dimensi on nita. La aplicaci on lineal can onica

E (E ), e e, e(w) := w(e)es un isomorsmo.

Demostraci on. Sea {e1 , . . . , e n } una base de E y {w1 , . . . , w n } la base dual. Es inmediato que{e1 , . . . , en }es la base dual de {w1 , . . . , w n }. La aplicaci on can onica aplica la base {e1 , . . . , e n }en labase {e1 , . . . , en }y es un isomorsmo.

Sera usual escribir E = ( E ) y e = e.Dada una aplicacion lineal T : E E sea T : E E la aplicaci on lineal denida por T (w ) :=w T . Se dice que T es el morsmo transpuesto de T .Si {e1 , . . . , e n }y {e1 , . . . , e m }son bases de E y E y ( ji ) es la matriz asociada a T en estas bases,calculemos la matriz ( ij ) de T , en las bases duales {w1 , . . . , w n }, {w1 , . . . , w m }: T (wj ) = i ij wi .Entonces,

ij = T (wj )(ei ) = wj (T (ei )) = wj (

k

ki ek ) = ji

que se expresa diciendo que la matriz de T es la transpuesta de la matriz de T .

1.3 Producto tensorialQueremos denir o construir el producto tensorial de dos espacios vectoriales E , E . Veamos que cosas queremos y c omo queremos que operen.

Quiero un producto que denotare , entre los vectores de E (que escribire en primer lugar) y los de E (en segundo lugar). Dados eE y e E , quiero construir ee . Quiero sumar cosas de estas, quiero cosas de la forma 1(e1e1) + + n (en en ), con ei E y ei E , i k. Por ultimo quiero que el producto verique las siguientes propiedades (lineales):


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1.3. Producto tensorial 13

(e1 + e2)

e = e1

e + e2

eee = ee = (ee )e(e1 + e2) = ee1 + ee2

y no quiero imponer ninguna condici on mas (salvo las que se deriven de estas condiciones). Esto es muy facil, con la palabra sea.

Hablemos con todo rigor.Sean E y E dos k-espacios vectoriales. Consideremos el conjunto de las sumas formales nitas

M := {1(e 1 e 1 ) + + n (e n e n ) | ei E , ei E , i k, n N}, es decir,

M := E Ek 1(e 1 e1 ) + + n (e n e n ) (0, . . . , 0,

e1 e11 , 0, . . . , 0,

en enn , 0 . . . , 0)

M es un k-espacio vectorial (con la suma obvia de sumas formales y el producto obvio por esca-

lares).Queremos identicar ( e1 + e 2 )e con e 1 e + e 2 e ; ee con ee y con (ee ); ye(e1 + e 2 ) con ee1 + ee 2 .Sea N el subespacio vectorial de M , generado por las sumas formales, ( e 1 + e 2 )e e1e e 2e ,ee ee , (ee ) ee , y e(e 1 + e2 ) ee 1 ee2 , es decir,

N :=(e1 + e 2 )e e 1 e e 2 eee ee , (ee ) eee(e 1 + e 2 ) ee1 ee 2 e,e 1 ,e 2E,e ,e 1 e2E ,k

()

1. Denici on : Llamaremos producto tensorial de E por E , que denotaremos por E k E , a

E k E := M/N

2. Notaci on: Dado e

e

M , denotaremos e

e

M/N = E

E por e

e .

Pues bien, E E est a generado por los vectores ee , variando eE y e E (porque losvectores ee son una base de M y E E = M/N ). Tomando clases en ( ) se tienen las igualdades

(e1 + e2)e = e1e + e2eee = ee = (ee )e(e1 + e2) = ee1 + ee2()

Calculemos las aplicaciones lineales de E E en otro espacio vectorial V . Como E E = M/N ,dar una aplicacion lineal : E E V equivale a dar una aplicaci on lineal : M V que seanule en N (de modo que (ee ) = (ee )). Ahora bien, M es un k-espacio vectorial de base{ee }eE,e E , as pues, est a determinado por (ee ) (variando eE, e E ) y se anula enN si y solo si

((e 1 + e2 )

e ) = (e1

e ) + (e 2

e )(ee ) = (ee ) = (ee )(e(e1 + e 2 )) = (ee 1 ) + (ee 2 )

En conclusi on, dar : E k E V , equivale a denir (ee ) (para todo eE, e E ) demodo que se cumpla((e1 + e2)e ) = (e1e ) + (e2e )(ee ) = (ee ) = (ee )(e(e1 + e2)) = (ee1) + (ee2)


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(De un modo m as elegante, esta conclusion se expresa en los textos diciendo que se tiene la igualdadHomk (E

k E , V ) = Bil k (E, E ; V )).Dadas dos aplicaciones lineales T : E V , T : E V podemos denir el morsmo E E V V , ee T (e)T (e ), morsmo que lo denotaremos por T T .

3. Proposici on : 1. E k E = E k E .

2. (E E )k V = ( E k V )(E k V ).

3. (iI E i )k V = i

(E iV ).

4. kk E = E .

Demostraci on. 1. Tenemos el morsmo E E E E , ee ee y su inverso E E E E ,e e ee .2. Tenemos el morsmo ( E E )V (E V )(E V ), (e, e )v (ev, e v) y elinverso ( E V )(E V ) (E E )V , (ev, e v ) (e, 0)v + (0 , e )v .3. Idem que 2.4. Tenemos el morsmo kE E , e e y el inverso E kE , e 1e.

4. Teorema : Si E es un espacio vectorial de base {e1 , . . . , e n }y E es un espacio vectorial de base{e1 , . . . , e m }entonces E k E es un espacio vectorial de base {eiej }1 i n, 1 j m .Demostraci on. E k E = ee eE,e E . Dados eE y e E entonces e = i

i ei y e =j

j ejy

e

e = (i

i ei )

(j

j ej ) =i,j

i j

ei

ej

Por tanto, E E = eiej 1 i n, 1 j m .Ademas, E E = k

nk

m = ( kkm )

m

(kkm ) = km m

km = knm , luego E E es un espacio vectorial de dimensi on nm , de base {eiej }1 i n, 1 j m (de hecho puede comprobarel lector que esta base se aplica va las igualdades en la base est andar de knm ).

Del mismo modo que hemos denido el producto tensorial de dos espacios vectoriales podramoshaber denido el producto tensorial de tres espacios vectoriales, e igualmente dar una aplicaci on lineal : E 1k E 2k E 3 V equivale a denir los (e1e2e3), para todo e1 E 1 , e2 E 2 , e3 E 3 ,de modo que sea k-lineal en cada uno de los tres factores, es decir, Hom k (E 1k E 2k E 3 , V ) =Multilin( E 1

E 2

E 3 , V ). Igualmente podemos denir el producto tensorial de n-espacios vectoriales.

5. Proposici on : Homk (E k E , E ) = Hom k (E, Homk (E , E )) .

Demostraci on. Asignamos a Homk (E k E , E ), Homk (E, Homk (E , E )), denido por(e) := (e), donde (e)(e ) := (ee ). Recprocamente, asignamos al morsmo Homk (E, Homk (E , E )), Homk (E k E , E ), denido por (ee ) := ( (e))( e ).6. Proposici on : (E 1k k E n )k (E 1k k E m ) = E 1k k E nk E 1k k E m .


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1.4. Algebra exterior n-esima de un espacio vectorial 15

Demostraci on. Sea

Homk (E 1

k k E n , Homk (E 1k k E m , E 1k k E n k E 1k k E m ))denido por (e1 en )(e1 em ) := e1 ene1 em . Por la proposicion anteriortenemos el morsmo ( E 1k k E n )k (E 1k k E m ) E 1k k E nk E 1k k E m ,denido por ( e1 en )(e1 em ) e1 ene1 em .El morsmo E 1k k E n k E 1k k E m (E 1k k E n )k (E 1k k E m ),e1 ene1 em (e1 en )(e1 em ) es el morsmo inverso.

Hemos demostrado, adem as, la propiedad asociativa del producto tensorial, pues f acilmente tene-mos que

E 1k (E 2k E 3) = E 1k E 2k E 3 = ( E 1k E 2)k E 37. Teorema : Sean E i k-espacios vectoriales de dimensi on nita. La aplicaci on lineal

E 1k . . .k E

n

(E 1k k E n )= Multilin k (E 1 E n , k)w1 wn w1 wn

con w1 wn (e1 en ) := w1(e1) wn (en ), es un isomorsmo lineal.Demostraci on. Sea {eij }i una base de E j y {wij }i la base dual. Por tanto, una base de E 1k k E nes {wi 1 1 wi n n }i 1 ,...,i n , que resulta ser va la base dual de la base {ei 1 1 ei n n }i 1 ,...,i n deE 1k k E n .

8. Notaci on: Por abuso de notaci on suele denotarse w1 wn por w1wn . Recprocamente,w1 wn suele pensarse como la aplicaci on multilineal w1 wn .Otra f ormula importante es:9. Proposici on : Sea E un k-espacio vectorial de dimensi on nita. Entonces

E k E = Hom k (E , E )

Demostraci on. Si E = k es obvio. En general, E = kn . Como Homk (, E ) y k E conmutan consumas directas nitas, hemos concluido.Explcitamente, el morsmo E k E Homk (E , E ), we we, donde we(e ) := w(e ) e,es un isomorsmo canonico.

1.4 Algebra exterior n -esima de un espacio vectorial

Queremos denir ahora un producto , con las propiedades multilineales de y de modo quev1 vr sea cero si y solo v1 , . . . , v n E no son linealmente dependientes. Basta imponer s oloque v1. . .vr es nulo si dos de los vi son iguales.Sea V el k-subespacio vectorial de E k

n

k E , generado por los vectorese1 ej 1e ek 1e en

variando ei ,e , j ,k .


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1. Denici on : Llamaremos algebra exterior n de E , que denotaremos por n E , a

n E := ( E kn k E )/V

2. Notaci on: Denotaremos e1e2 en (E kn

k E )/V = n E por e1e2 en .Observemos que adem as de las propiedades de multilinealidad heredadas de , cumple quee1 e e en = 0. Si ei es combinaci on lineal de los {ej }j = i , entonces e1e2

ei en = 0: ei = j = i j ej , luego

e1e2 en = e1 ei 1( j = i j ej )ei +1 en=

j = i j e1 ei 1ej ei +1 en = 0

Como 0 = e1 (e + e ) (e + e ) en = e1 e (e + e ) en + e1 e (e + e ) en = e1 e e en + e1 e e en + e1 e e en + e1 e e en = e1 e e en + e1 e e enobtenemos quee1 ej ek en = e1 ej ek en

Recordemos que toda permutaci on es producto de transposiciones y que el signo de la permutaci ones igual a 1 elevado al n umero de las transposiciones. Por tanto, dada una permutaci on , de{1, . . . , n }, tenemos que

e (1) e (2) e (n ) = signo( ) e1e2 en3. Como n E = ( E

n

E )/V , dar un morsmo lineal : n E F equivale a dar un morsmoE

n

E F , que se anule en V , es decir, equivale a denir (e1en ) (para todo e1 , . . . , e n E )que sea k-lineal en cada factor y de modo que (e1 e e en ) = 0.Dada una aplicacion lineal T : E E induce el morsmo n T : n E n E , denido porn T (e1 en ) := T (e1) T (en ).

4. Notaci on: Diremos que 0E = k y que 1E = E .5. Teorema: Sea E un espacio vectorial de base {e1 , . . . , e n }. Entonces {ei 1ei r }1 i 1


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Sea {wi}la base dual de {ei}. Consideremos la aplicacion lineal

w: r E k, v1 vr

signo() w1(v (1) ) wr (v (r ) )

Se cumple que 0 = w(1 i 1


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Demostraci on. Sea {ei}una base. Entoncesdet( a ij )e1 en = ( j a1j ej ) ( j anj ej ) = k a1k ek( j a2j ej ) ( j anj ej )= a11 e1(j =1

a2j ej ) ( j =1 anj ej ) + + a1n en (j = n a2j ej ) (j = n anj ej )= a11 A11 e1 en + + a1n An1 en e1 en 1= (

j(1)j a1j Aj1) e1 en

y hemos concluido.

Sea T : E E un isomorsmo lineal y sea A = ( a ij ) la matriz de T en una base {ej }de E .Calculemos la matriz B = ( bij ) de T 1 : T 1(ei ) =

jbij ej , luego

T 1

(ei )e1 ej en = bij ej e1 ej en = ( 1)

jbij e1 en

Aplicando n T , obtenemos

eiT (e1) ej T (en ) = bij (1)j det( T )e1 enComo eiT (e1) ej T (en ) = Aij (1)i e1 en , entonces

bij = ( 1) i + jAij

det( a ij )

Hablemos, primero sin rigor, de orientaci on de un R -espacio vectorial, para ligar la intuici on vagaque tenemos de orientaci on con la denici on matematica de orientacion que daremos mas adelante.

Decimos que un espacio vectorial E de dimensi on 1 (una recta) lo tenemos orientado, si sabemosdecir que est a a la derecha del cero y que est a a la izquierda del cero. Para esto es necesario y sucientecon que tengamos un vector no nulo eE , de modo que diremos que un punto e E distinto de 0,est a a la derecha de 0 si e = e, con > 0, diremos que est a a la izquierda si < 0. Otro vector, vdene la misma orientaci on que e si y solo si v = e, con > 0. En conclusi on, dar una orientaci onen E , equivale a dar un eE (o cualquier otro e , con > 0).Sea ahora E un plano. Decimos que en el plano E estamos orientados, si siempre que tengamosuna recta (pongamos que pasa por el origen) orientada sabemos decir que est a a la derecha de la rectao que est a a la izquierda de la recta. As si tenemos una recta orientada r = e E (donde e orientala recta), dado e (que no yazca en la recta) sabemos decir si est a a la derecha o a la izquierda de larecta. Ademas, si e est a a la derecha de la recta, entonces los puntos de la derecha son de la formae + e , con > 0. As si jamos la recta orientada r = e y decimos que e est a a la derecha de r ,denamos ee que es una base de

2E , entonces v = e + e est a a la derecha de r , si y solo sie

v =

e

e con > 0. En conclusi on, dada una dos coforma c2

2E , tenemos una orientaci onen E : Dada una recta orientada r = e (donde e, o e con > 0, orienta la recta) diremos que eest a a la derecha de la recta r , si ee = c2 , con > 0. As pues, dar una orientaci on en E , es daruna c22E (o cualquier otra c2 , con > 0).Sea ahora E un R -espacio vectorial de dimension 3. Decimos que estamos orientados en E , sidado un plano orientado sabemos decir que est a a su derecha y que est a a su izquierda. Dar un planoV E orientado, es dar una dos coforma c2

2V (o cualquier otra c2 , con > 0). As si tengo,una tres coforma c3

3E (o cualquier otra c3 , con > 0), dado e E , dire que esta a la derecha


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de V si c2e = c3 , con > 0. Observemos, que si e = e + v, con > 0 y con vV , entoncesc2

e =

c2

e = c3 . En conclusi on, dar una orientaci on en E , es dar una c3

3E (o cualquierotra c3 , con > 0).12. Denici on : Dar una orientaci on en un R -espacio vectorial E de dimensi on n, es dar una n-coforma no nula cn

n E . Decimos que dos orientaciones cn y cn son iguales si cn = cn , con > 0.Como n E R , en E solo podemos dar dos orientaciones, una y su opuesta.Dada una orientaci on cn

n E existe una unica wn n E , salvo un factor multiplicativo positi-

vo, de modo que wn (cn ) 0. Equivalentemente, dada una n-forma wn , salvo un factor multiplicativopositivo, tenemos denida una orientaci on.Sea E un R -espacio vectorial de dimensi on n orientado, y e1. . .en

n E una n-coforma queorienta E (o equivalentemente una n-forma wn que orienta E ).13. Denici on : Diremos que una base ordenada {e1 , . . . , e n }est a positivamente ordenada si e1

en =

e1

en , con > 0 (o equivalentemente si wn (e1 , . . . , e n ) > 0).

14. Proposici on : Sea ei =j

ij ej . Entonces {e1 , . . . , e n }est a positivamente ordenada si y s olo si det( ij ) > 0.

Demostraci on. e1 en = det( ij ) e1 en .15. Denici on : Una aplicaci on multilineal H : E . . . E V es una aplicaci on hemisimetrica siH (e1 , , en ) = 0 si ei = ej , para un i = j .

Observemos que si ei es combinaci on lineal de los dem as ej , por la multilinealidad y hemisimetrade H , se cumple que H (e1 , . . . , e n ) = 0. Por otra parte,

0 = H (e1 , , e + v, , e + v, , en ) = H (e1 , , e, , v, , en ) + H (e1 , , v, , e, , en )

Luego H (e1 , , e, , v, , en ) = H (e1 , , v, , e, , en ) y en generalH (e1 , , , en ) = signo( ) H (e (1) , , e (n ) )

Denotemos Hem k (E E, V ), el conjunto de aplicaciones hemisimetricas de E E enV .16. Proposici on : Hem k (E

m

E, k ) = ( m E ).Demostraci on. Estamos repitiendo 1.4.3. Toda aplicaci on hemisimetrica H : E

m

E k, denela aplicaci on H : E m. . .E k, H (e1 em ) = H (e1 , . . . , e m ), que factoriza va m E k,e1 em H (e1 , . . . , e m ). Recprocamente, dada una aplicaci on lineal, m E k, la composicionE

m

E m E k es hemisimetrica.17. Proposici on : Sea E un espacio vectorial de dimensi on nita. Entonces,

m E = ( m E )

Demostraci on. La aplicaci on, m E (m E ), 1 m 1 m , donde1 m (v1 vm ) :=

S m

signo() 1(v (1) ) m (v (m ) )


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es un isomorsmo. Porque si e1 , . . . , e n es una base de E y w1 , . . . , w n la base dual, entonces aplicala base

{wi 1

wi m

}i 1 <


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1.5. Metricas 21

Sea E un k-espacio vectorial de dimensi on nita. Sea e1 , . . . , e n una base de E y w1 , . . . , w n E

la base dual. Sabemos queBil k (E E, k ) = E k E

Una base de E k E es {wi wj }. As pues, dada una aplicaci on bilineal T 2 Bil k (E E, k ),

tendremos que T 2 =i,j

ij wiwj y

T 2(e, e ) =i,j

ij wi (e) wj (e )

En particular, T 2(ei , ej ) = ij .Por otra parte, E E

= Hom k (E, E ). Explcitamente, dada T 2 =i,j

ij wiwj tenemos un

morsmo, denominado la polaridad asociada a T 2 y que denotamos tambien T 2 , T 2 : E E denidopor

T 2(e) :=ij

ij wi (e) wj

En particular, T 2(ei ) =j

ij wj , luego la matriz de T 2 es ( ij ). Observemos que T 2(e)(e ) = T 2(e, e ).

Recprocamente, dado una aplicaci on lineal T 2 : E E , podemos denir una aplicaci on bilinealque seguimos denotando T 2 , T 2(e, e ) := T 2(e)(e ).1. Denici on : Se dice que T 2 es no singular si det( ij ) = 0, es decir, T 2 : E E es un isomorsmo.

Si T 2 : E E es un isomorsmo, entonces T 2 := ( T 2) 1 : E E es un isomorsmo. Por tanto,T 2 dene una aplicacion bilineal en E (pues E = ( E )). Si la matriz de T 2 es ( ij ) la matriz de T 2es ( ij ) := ( ij ) 1 . Si T 2 = ij ij wiwj , entonces T

2 = ij eiej . Por ultimo observemos que siw = T 2(e) y w = T 2(e ) entonces

T 2(w, w ) = T 2(w)(w ) = T 2(T 2(e))( T 2(e )) = e(T 2(e )) = T 2(e )(e) = T 2(e , e)

2. Denici on : Se dice que T 2 es una metrica simetrica si T 2(e, e ) = T 2(e , e), para todo e, e E .Si T 2 es simetrica entonces ij = T 2(ei , ej ) = T 2(ej , ei ) = ji . Recprocamente, si ij = ji , para

todo i, j , entonces T 2(e, e ) = T 2(e , e) para todo e, e E . Es decir, T 2 es simetrica si y solo si lapolaridad T 2 coincide con su morsmo transpuesto T 2 .Supongamos a partir de ahora que T 2 es simetrica. Se dice que e es ortogonal a e (respecto de T 2)

si T 2(e, e ) = 0. Se dice que dos subespacios E , E de E son ortogonales si T 2(e , e ) = 0 para todoe E y e E . Se dice que E es la suma ortogonal de dos subespacios E y E si son ortogonalesy E es la suma directa de los dos subespacios. En este caso escribiremos E = E E . Observemosque

T 2(e1 + e1 , e2 + e2 ) = T 2(e1 , e2) + T 2(e1 , e2 )

para todo e1 , e2E y e1 , e2 E .Si E y E son dos espacios vectoriales con sendas metricas T 2 y T 2 entonces podemos denir enE = E E la metrica

T 2(e + e , v + v ) := T 2(e , v ) + T 2 (e , v )

Obviamente, E es la suma ortogonal de E y E .


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3. Denici on : Se denomina radical de T 2 , que denotaremos Rad T 2 , al nucleo de la polaridad T 2 ,es decir,

Rad T 2 := {eE | T 2(e, e ) = 0 para todo e E }Si E es cualquier subespacio suplementario de Rad T 2 entonces E = Rad T 2E . La restricci onde T 2 a Rad T 2 es la metrica nula. La restricci on de la metrica T 2 a E es no singular, porque dado

e E si T 2(e , v) = 0 para todo vE , entonces T 2(e , e) = 0 para todo eE y tendramos quee Rad T 2 y por tanto e = 0. En general, si E = E E entonces Rad T 2 = Rad T 2 |E Rad T 2 | E .Dado un subespacio V E diremos que V

:= {eE | T 2(v, e) = 0 para todo vV }es elespacio ortogonal de V .Dado un subespacio vectorial V E diremos que V

0 := {wE | w(v) = 0 para todo vV }esel subespacio (de E ) incidente de V . Si tomamos una base {e1 , . . . , e r }de V y la ampliamos a unabase {e1 , . . . , e n }de E y consideramos la base de E dual {w1 , . . . , w n }entonces {wr +1 , . . . , w n }esuna base de V 0 . Por tanto, dim V 0 = dim E dim V .Va el teorema de reexividad, dado W

E se tiene que W 0 =

{e

E

|w(e) = 0 para todo

wW }. Dado V E se tiene queV = {eE | 0 = T 2(v, e) = T 2(v)(e) para todo vV }= T 2(V )0

Si dado un subespacio W E pensamos de modo inmediato en W 0 , entonces podremos decir

que la polaridad T 2 aplica cada subespacio vectorial de E en su ortogonal4. Proposici on : Si T 2 es una metrica simetrica no singular de un espacio vectorial de dimensi on nita E y V E es un subespacio vectorial entonces dim V

= dim E dim V . Adem as, (V ) = V .Demostraci on. dim V = dim T 2(V )0 = dim E dim T 2(V ) = dim E dim V .(V ) = V . Si v V entonces T 2(v , v) = 0 para todo vV . Por tanto, V (V ). Porotra parte, dim( V ) = dim E dim V = dim E (dim E dim V ) = dim V . Por dimensiones,(V ) = V .5. Denici on : Se dice que una base {e1 , . . . , e n }de E es ortonormal si T 2(ei , ej ) = 0 si i = j yT 2(ei , ei ) = 1.6. Teorema : Sea E un R -espacio vectorial de dimensi on nita y T 2 una metrica simetrica nosingular en E . Entonces existe una base ortonormal {e1 , . . . , e n }de E , luego matriz asociada a T 2 en esta base es

1 0 00

. . . 00 0 1

Demostraci on. Veamos en primer lugar que si T 2(e, e) = 0 para todo eE entonces T 2 = 0: Seane, e E , 0 = T 2(e + e , e + e ) = T 2(e, e) + T 2(e, e ) + T 2(e , e) + T 2(e, e ) = 2 T 2(e, e ), luego T 2 = 0.Sea, pues, e

E tal que T 2(e, e) = 0. Sea E = e . Se tiene que e

E = 0, por tanto, por

dimensiones, E = e E . La restricci on de T 2 a E es no singular, pues 0 = Rad T 2 = Rad T 2 | e Rad T 2 | E . Por inducci on sobre la dimensi on, existe una base ortonormal {e2 , . . . , e n }en E . Siconsideramos e1 = 1| T 2 (e,e ) | e tenemos que {e1 , . . . , e n }es una base ortonormal de E .

7. Denici on : Se dice que E con la metrica simetrica T 2 es un espacio eucldeo si T 2(e, e) > 0 paratodo vector no nulo de E .


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1.5. Metricas 23

En particular, en los espacios eucldeos, T 2 es no singular.Reordenando la base, podemos suponer en el teorema anterior que

T 2

1r

. . .1

1 . . .1

Veamos que el n umero r no depende de la base escogida: para todo eE = e1 , . . . , e r , no nulo,se tiene que T 2(e, e) > 0; del mismo modo para todo eE = er +1 , . . . e n no nulo se cumple queT 2(e, e) < 0. Supongamos que existe un subespacio vectorial V tal que para todo v V no nulo

T 2(v, v) > 0. Obviamente V E = 0, luego dim V dim E dim E = dim E = r . En conclusi on,r es la dimensi on maxima de los subespacios eucldeos de E .8. Denici on : Se dene el modulo de un vector e como |T 2(e, e)|. Supongamos que E es eucldeo,se dene el angulo entre dos vectores no nulos e, e como el numero 0 < tal que cos = T 2(e, e ).

Por ejemplo, dos vectores (no nulos) son perpendiculares si y s olo si el angulo entre ellos es / 2.Toda metrica en E extiende de modo natural a m E : Dar una metrica T 2 en E , equivale a

denir la polaridad T 2 : E E , T 2(e)(e ) := T 2(e, e ). La polaridad T 2 dene el morsmo,m T 2 : m E m E , e1 em T 2(e1) T 2(em ). Ahora bien, m E = ( m E ), luegotengo un morsmo m E (m E ), luego una metrica m T 2 en m E denida porm T 2(e1 em , e1 em ) = ( T 2(e1) T 2(em ))( e1 em )

=S m

signo()

T 2(e1)(e (1) )

T 2(em )(e (m ) )

=S m

signo() T 2(e1 , e (1) ) T 2(em , e (m ) )

Si T 2 es una metrica simetrica en E , entonces m T 2 tambien lo es, porque ( m T 2) = m T 2 =m T 2 .

Si e1 , . . . , e n es una base ortonormal de E entonces {ei 1 ei m }i 1 <


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Observemos que si e1 , . . . , e n es una base ortonormal de E entonces wE = w1 wn ywE (e1 , . . . , e n ) =

1.Sea E un R -espacio vectorial eucldeo de dimensi on 3 orientado. Sea w3

3E la unica 3-formaque sobre una base ortonormal e1 , e2 , e3 positivamente orientada, vale w3(e1 , e2 , e3) = 1. Es decir, siw1 , w2 , w3 es la base dual de e1 , e2 , e3 entonces w3 = w1w2w3 (que con la metrica inducida porla metrica de E , w3 es de modulo 1 y w3 dene la orientacion dada en E ).

Dados dos vectores v1 , v2 E , llamamos producto vectorial de v1 por v2 , que denotamos porv1 v2 , al vector determinado porT 2(v1 v2 , e) = w3(v1 , v2 , e)

Observemos que v1 v2 es ortogonal a v1 y v2 . El producto vectorial, , es multilineal hemi-simetrico. Si v1 y v2 son linealmente independientes entonces v1 , v2 , v1 v2 es una base positivamenteorientada, pues 0 < = T 2(v1 v2 , v1 v2) = w3(v1 , v2 , v1 v2). Si v1 y v2 son ortogonales, entoncesv1 v2 es el vector ortonormal a v1 y v2 , de modulo el producto de los modulos de v1 y v2 , de modo quev1 , v2 , v1 v2 est an positivamente orientados: por la multilinealidad del producto vectorial podemossuponer que v1 y v2 son de modulo 1. Sea v3 , tal que v1 , v2 , v3 sea una base ortonormal positivamenteorientada. Entonces, e1e2e3 = v1v2v3 y T 2(v1 v2 , v3) = w3(v1 , v2 , v3) = w3(e1 , e2 , e3) = 1.Por tanto, v1 v2 = v3 y hemos terminado.

Observemos que si vi =j

ij ej , entonces T 2(v1 v2 , v3) = det( ij ), pues v1v2v3 = det( ij ) e1e2e3 y T 2(v1 v2 , v3) = w3(v1 , v2 , v3) = det( ij ).

1.6 Producto exterior y contracci on interior

Si un morsmo : E E E se anula sobre los elementos ee para todo eV E y e E entonces factoriza va el morsmo : (E/V )E E , (ee ) := (ee ).El morsmo composicion(E

n

E )(E m

E ) = E n + m

E n + m E (e1 en )(en +1 en + m ) e1 en + m

factoriza va el morsmo, que llamaremos producto exterior de formas, n E m E n + m E ,(e1 en )(en +1 en + m ) e1 en + m .

1. Proposici on : El producto exterior de formas es asociativo: (n m )r = n (m r ),con ii E .

El producto exterior de formas es anticonmutativo: n m = ( 1)n m m n , para toda n n E y m m E .Demostraci on. La asociatividad es clara, en cuanto a la anticonmutatividad digamos s olo que

(e1 en )(en +1 en + m ) = ( 1)n m

(en +1 en + m )(e1 en )

Dado w E y E E consideremos el morsmo de contracci on interior por w en el primer

factor i1w : E E E , i1w (ee ) := w(e) e . Por otra parte, sea en E n

E iw : E

n

E E n 1

E, iw (e1 en ) :=i

(1)i 1 w(ei ) e1 ei en


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1.6. Producto exterior y contracci on interior 25

que llamaremos contracci on interior hemisimetrica, que es la suma de la contracci on interior por wen cada factor afectada de un signo.

T E := kE (E E ) (E n E ). . . , con la suma, +, y con el producto, , se diceque es el algebra tensorial asociada a E . E := kE (2E ) (n E ). . . , con la suma,+, y con el producto, , se dice que es el algebra exterior asociada a E . El epimorsmo T E E ,e1 en e1 en es un morsmo de algebras (= de anillos).2. Proposici on : La contracci on interior hemisimetrica es una antiderivaci on del algebra tensorial,es decir, dadas T n (E

n

E ) y T m (E m

E ), entoncesiw (T nT m ) = ( iw T n )T m + ( 1)n T n (iw T m )

Demostraci on. Basta demostrar la proposici on para T n = e1 en y T m = e1 em . Ahorabien, la suma de las contracciones interiores por w en cada factor (afectado por un signo) es contraerprimero en los n-primeros factores mas contraer despues en los ultimos m factores. La cuesti on del

signo se la dejamos al lector.La contraccion interior hemisimetrica en el algebra tensorial dene por paso al cociente un aplica-

cion lineal que denominaremos la contracci on interior en el algebra exterior. En efecto, si vi = vj(i < j ) entonces

iw (v1 vr ) == ( 1) i 1w(vi ) v1 vi vj vr + ( 1)j 1w(vj ) v1 vi vj vr= (( 1)i 1 + ( 1)j 1 (1)j i 1)w(vi )v1 vi vj vr = 0

Tenemos pues el morsmo

iw : r E

r 1E, i w (v1

vr ) := iw (v1

vr ) =

i

(

1)i 1w(vi )

v1

vi

vr

3. Corolario : La contracci on interior es una antiderivaci on del algebra exterior, es decir, dadasn

n E y m m E , entonces

iw (n m ) = ( iw n )m + ( 1)n n (iw m )Las n-formas se identican con las aplicaciones hemisimetricas de orden n. Veamos que es la

contraccion interior por un vector de una aplicaci on hemisimetrica: Sea eE y n = w1 wn n E = Hem k (E n. . . E, k ) entonces(ie1 n )(e2 , . . . , e n ) = ( ie (w1 wn ))( e2 , . . . , e n )

= (i

(

1) i 1wi (e1)w1

wi

wn ))( e2 , . . . , e n )

1=i S n 1

(1)i 1signo()w1(e (2) ) wi (e1) wn (e (n ) )2= w1 wn (e1 , e2 , . . . , e n ) = n (e1 , e2 , . . . , e n )

1= Consideramos S n 1 como el subgrupo de S n formado por las permutaciones que dejan el 1 jo.


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2= Si denimos i S n , la permutacion que transforma {1, . . . , n }en {2, . . . , i 1, 1, i , . . . , n },entonces signo( ) = (

1) i 1 y S n = S n 1

1

S n 1

n (porque S n 1

i son las permutaciones

que transforman el 1 en el i).Para los ejercicios que siguen observemos que dado un subespacio vectorial V E , tomandoduales tenemos el morsmo de restricci on E V , w w| V (w| V (v) := w(v), para toda vV ),tenemos pues morsmos i E i V , w1 wi (w1 wi ) |V := w1 |V wi | V .

4. Ejercicio : Sea E un espacio eucldeo orientado de dimensi on n y E E un hiperplano. Sea N un vector normal a E de modulo 1. Sea wE la forma de volumen de E .

1. Probar que iN wE restringida a E es igual a la forma de volumen wE de E que lo orienta, demodo que si e2 , . . . , e n es una base positivamente orientada de E entonces N, e 2 , . . . , e n es unabase positivamente orientada de E .

2. Dado eE , (ie wE ) | E = T 2(e, N ) wE .

5. Ejercicio : Sea (E, T 2) un espacio vectorial eucldeo y RE un subespacio vectorial de dimensi on1. Sea r un vector de R de modulo 1 que oriente a R y sea wR la forma de longitud de R. DadoeE probar que ( ie T 2) |R = T 2(e, r ) wR .

1.7 Algebra tensorial simetrica

Queremos denir ahora un producto conmutativo, con las propiedades multilineales de .Sea V el k-subespacio vectorial de E

n

E , generado por los vectorese1

j

ej ek en e1j

ek ej envariando ei , j ,k .1. Denici on : Llamaremos algebra exterior n de E , que denotaremos por S n E , a

S n E := ( E kn

E )/V 2. Notaci on: Denotaremos e1 en (E k

n

E )/V = S n E por e1 en .Observemos que adem as de las propiedades multilineales heredadas de , cumple que

e1 en = e (1) e (n )para todo S n .

3. Como S n E = ( E n

E )/V , dar un morsmo lineal : S n E F equivale a dar un morsmoE

n

E F que se anule en V , es decir, equivale a denir (e1 en ) (para todo e1 , . . . , e n E )que sea k-lineal en cada factor y de modo que (e1 en ) = (e (1) e (n ) ) para todo S n . Esdecir,

Hom k (S n E, F ) = {T Mult k (E n

E, F ) | T (e1 , , en ) = T (e (1) , , e (n ) ),S n }= Aplic. n-mult. simetricas de E en F =: Sim k (E

n

E, F )4. Teorema : Sea E un espacio de base {e1 , . . . , e n }. Entonces {ei 1 ei r }1 i 1 i r n es una basede S r E .


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1.7. Algebra tensorial simetrica 27

Demostraci on. Sabemos que {ei 1ei r }1 i j n es una base de E r

E . Por tanto, tomando cla-ses tenemos que{

ei 1

ei r

}1 i j n es un sistema generador de S r E . Como ei 1

ei r = ei (1)

ei ( r )

para todo S r , tendremos que {ei 1 ei r }1 i 1 i r n es un sistema generador de S r E .Nos falta probar que son linealmente independientes. Sea t =

1 i 1 i r n i 1 ,...,i r ei 1 ei r = 0.

Sea {w1 , . . . , w n } la base dual de {e1 , . . . , e n }. Dado i1 ir sea J el conjunto de todas lascombinaciones con repeticion de este conjunto y w =

{ j 1 ,...,j r }J wj 1 wj r Homk (S r E, k ).

Entonces, i 1 ,...,i r = w(t) = 0

S n opera de modo natural en E n

E permutando los factores: dada S n y e1 en ,(e1

en ) := e (1)

e (n ) . Sea

(E n

E )S n := {T E n

E | (T ) = T para todo S n }El morsmo composicion

(E n

E )(E m

E ) = E n + m

E S n + m E (e1 en )(en +1 en + m ) e1 en + m

factoriza va el morsmo, que llamaremos producto simetrico de tensores simetricos, S n E S m E S n + m E , (e1 en )(en +1 en + m ) e1 en + m =: ( e1 en ) (en +1 en + m ).

5. Proposici on : El producto simetrico de tensores simetricos es asociativo: (T n T m ) T r = T n (T m

T r ), con T i

S i E .El producto simetrico de tensores simetricos es conmutativo: T n T m = T m T n , para toda T n S n E y T m S m E .S E := kE (S 2E ) (S n E ). . . , con la suma, +, y con el producto, , se dice que es elalgebra simetrica asociada a E . El epimorsmo T E S E , e1 en e1 en es un morsmode algebras (= de anillos). Denotaremos S 0E = k y S 1E = E .Sea wE

, llamaremos al morsmo

iw : E n

E E n 1

E, iw (e1 en ) :=i

w(ei ) e1 ei en

contraccion interior simetrica, que es la suma de la contracci on interior por w en cada factor.6. Proposici on : La contracci on interior simetrica es una derivaci on del algebra tensorial, es decir,dadas T n (E

n E ) y T m (E m E ), entoncesiw (T n T m ) = ( iw T n )T m + T n(iw T m )

Demostraci on. Basta demostrar la proposici on para T n = e1 en y T m = e1 em . Ahorabien, la suma de las contracciones interiores por w en cada factor es contraer primero en los n-primerosfactores m as contraer despues en los ultimos m factores.


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La contraccion interior simetrica en el algebra tensorial dene por paso al cociente un aplicaci onlineal que denominaremos la contracci on interior en el algebra simetrica. En efecto, el morsmo

iw : S r E S r 1E, i w (v1 vr ) :=i

w(vi ) v1 vi vr

est a bien denido.7. Corolario : La contracci on interior es una derivaci on del algebra simetrica, es decir, dadasT n S

n E y T m S m E , entonces

iw (T n T m ) = ( iw T n ) T m + T n (iw T m )Sea E un espacio vectorial de dimensi on nita. Va el isomorsmo lineal E

n

E Mult k (E n E , k), tenemos que ( E

n

E )S n = Sim k (E n

E , k).8. Proposici on : Supongamos que la caracterstica de k es primo con n!. El morsmo S : S

nE E

n

E , S (e1 en ) = S n e (1) e (n ) establece un isomorsmo entre S n E y (E n

E )S n(cuyo morsmo inverso es precisamente 1n ! , donde : E

n

E S n E es el morsmo natural de paso a cociente).Demostraci on. Es una comprobacion inmediata.

En caracterstica cero, los tensores simetricos de orden n se identican con las aplicaciones simetricasde orden n. Veamos que es la contraccion interior por un vector de una aplicaci on simetrica: SeaeE y T n = w1 wn S n E = Sim k (E n. . . E, k ) entonces

(ie1 T n )(e2 , . . . , e n ) = ( ie (w1 wn ))( e2 , . . . , e n )= (

i

wi(e1)

w1

w

i w

n)(e2 , . . . , e

n)

1=i S n 1

w1(e (2) ) wi (e1) wn (e (n ) )2= w1 wn (e1 , e2 , . . . , e n ) = T n (e1 , e2 , . . . , e n )

1= Consideramos S n 1 como el subgrupo de S n formado por las permutaciones que dejan el 1 jo.2= Si denimos i S n , la permutacion que transforma {1, . . . , n }en {2, . . . , i 1, 1, i , . . . , n },entonces S n = S n 1 1 S n 1 n (porque S n 1 i son las permutaciones que transforman el1 en el i).

1.8 M odulo de diferenciales. DerivacionesSea k un cuerpo, A un anillo y k A un morsmo de anillos (en este caso se dice que A es unak-algebra y escribiremos ). Sea E el A-modulo libre de base {db , para todo bA}, es decir,E son las sumas formales nitas

bBabdb (abA y casi todos nulos). Sea E el A-subm odulo de E

generado por los elementos d (b + b ) db db , d (b ) db y d (bb ) b db bdb (para todob, b A y k).


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1.8. Modulo de diferenciales. Derivaciones 29

1. Denici on : Llamaremos A-modulo de diferenciales de Kahler de A sobre k, que denotaremospor A/k , a

A/k := E/E

2. Notaci on:: Denotaremos adb por adb.Observemos que d(b + b ) = db + db , db = db y d(bb) = b db + bdb .Dar un morsmo de A-modulos : A/k M , equivale a dar un morsmo de A-modulos E M ,que se anule sobre E , es decir, equivale a dar (db), para todo bA, de modo que (d(b + b )) =(db) + (db ), (db)) = (db) y (dbb ) = b (db) + b(db ).

3. Denici on : Sea A una k-algebra y M un A-modulo. Diremos que una aplicaci on D : A M esuna k-derivaci on si verica las siguientes condiciones:1. D es un morsmo de k-modulos.

2. D (ab) = bD(a) + aD (b) para todo a, b

B .

Observemos que D(1) = D (1 1) = 1 D (1)+1 D (1) = 2 D (1), luego D (1) = 0. Ademas, dado k,D() = D (1) = 0.El conjunto de todas las k-derivaciones de A en M se denota por Der k (A, M ). Si denimos

(D + D )(a) := D(a) + D (a) (aD )(b) := aDb

tenemos que el conjunto de todas las k-derivaciones de A en M tiene estructura de A-modulo.4. Proposici on : Sea A una k- algebra y M un A-m odulo. Se cumple que

HomA (A/k , M ) = Der k (A, M )

Demostraci on. Dado un morsmo de A-modulos T : A/k

M consideremos la derivacion DT : A

M , DT (a) := T (da). Recprocamente, dada una derivaci on D : A M , consideremos el morsmode A-modulos T D : A/k M , T D (db) = Db. Las asignaciones D T D , T DT son inversas entres.El morsmo natural d : A A/k , a da, es una derivaci on, es decir, verica que d(a + a ) =da + da , d(ab) = adb + bda. Adem as d se anula sobre k.Sea A = k[x1 , . . . , x n ] el anillo de polinomios y M un A-modulo. Si una k-derivaci on

D : k[x1 , . . . , x n ] M se anula sobre los x i entonces D = 0: Por linealidad basta probar que es nula sobre los monomios xy para ello procedamos por inducci on sobre | | = 1 + . . . + n . Supongamos 1 = 0, sea , tal que 1 = 11 y i = i , para i > 1 (luego | | < | |), entonces D (x ) = D(x1 x ) = x Dx 1 + x1 Dx =0 + 0 = 0.Dado mM , sea m

x i la derivaci on denida por m

x i ( p(x)) :=

p (x )x i m. Dada una derivacion D

entonces D =i

(Dx i ) x i , pues la diferencia entre los dos terminos de la igualdad es una derivaci onque se anula en todos los x i . Ahora ya es claro el teorema siguiente.5. Teorema : Derk (k[x1 , . . . , x n ], M ) = M x 1 M x n .6. Corolario : k [x 1 ,...,x n ]/k = k[x1 , . . . , x n ]dx1 k[x1 , . . . , x n ]dxn .


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Demostraci on. La diferencial d : k[x1 , . . . , x n ] k [x 1 ,...,x n ]/k es una derivaci on, luego d = i dx i x ipor el teorema anterior y dp(x) = i

p (x )

x i dx i . Por tanto, dx1 , . . . dx n es un sistema generador dek[x 1 ,...,x n ]/k . Por otra parte, el morsmo k[x 1 ,...,x n ]/k k[x1 , . . . , x n ]dx1 k[x1 , . . . , x n ]dxn ,dp(x) i

p (x )x i dx i , est a bien denido, lo que muestra que dx1 , . . . dx n es una base.

Otro metodo de demostraci on est andar en Matem aticas, que esencialmente hemos seguido, dice:de la igualdad (funtorial) para todo M , de los dos extremos de las igualdades,

Homk[x 1 ,...,x n ](k [x 1 ,...,x n ]/k , M ) = Der k [x 1 ,...,x n ](k[x1 , . . . , x n ], M ) = M

x 1 M

x n= Hom k[x 1 ,...,x n ](k[x1 , . . . , x n ]dx1 k[x1 , . . . , x n ]dxn , M )

se deduce que k[x 1 ,...,x n ]/k = k[x1 , . . . , x n ]dx1 k[x1 , . . . , x n ]dxn .

Seam

A un ideal maximal tal que A/

m = k como k-algebras. Dado a A, denotemosa() = ak = A/

m . La aplicaci on

d : A m / m 2 , d a := a a()es una k-derivaci on: Observemos que m / m 2 es un A-modulo, a m := am = a() m (porque(a a()) mm 2 ). Ahora ya,

d (a b) = a ba() b( ) = a (bb()) + b() (a a()) = a() d b + b() d aDado un A-modulo M , denotemos M ( ) = M/ m M .

7. Teorema : A/k ( ) = m / m 2 .

Demostraci on. El morsmo A/k ()

m / m 2 , adb

a()d b est a bien denido y el morsmo

inverso es m / m 2 A/k (), b db.Dado k

n , el nucleo del morsmo k[x1 , . . . , x n ] k, p(x1 , . . . , x n ) p( ), es el ideal maximalm = ( x1 1 , . . . , x n n ). El morsmo natural, k [x 1 ,...,x n ]/k () = m / m 2 , asigna dp d p = p(x) p(). Como dp = i px i dx i entonces d p = i px i () d x i .Si M es un A-modulo e I A un ideal entonces rA M/I rA M = A/I (M/I M ), pues losmorsmos m1 m r m1 m r , m1 m r m1 m r son inversos entre s. Porlo tanto,

(rA A/k )() = rk m / m

2

Si N es un A-modulo anulado por un ideal I , en particular es un A/I -modulo, a n := a n.Recprocamente, si N es un A/I -modulo es en particular un A-modulo an :=

n. Si N es otro A/I -

modulo entonces Hom A (N, N ) = Hom A/I (N, N ). Si M y N son A-modulos y N es un A-moduloanulado por un ideal I , entonces todo morsmo de A-modulos f : M N se anula en I M , luegopodemos denir f : M/I M N , m f (m) y f = f , donde : M M/I M , (m) := m .Tenemos Hom A (M, N ) = Hom A (M/I M, N ), f f .8. Teorema : Sea N un A-m odulo anulado por m (es decir, un A/ m -m odulo). Entonces,

Homk (m / m 2 , N ) = Der k (A, N )


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1.9. Diferencial, contracci on por un campo, derivada de Lie 31

Demostraci on. Homk (m / m 2 , N ) = Hom A (m / m 2 , N ) = Hom A (A/k (), N ) = Hom A (A/k , N ) =Derk (A, N ).

Explcitamente, dado f : m / m 2 N tenemos f d : A N ; dado D : A N , tenemosm / m 2 N , d b Db.

1.9 Diferencial, contracci on por un campo, derivada de Lie

1. Teorema: El morsmo natural d : A A/k extiende de modo unico a una antiderivaci on de gra-do 1 del algebra exterior de A/k de cuadrado nulo, es decir, existen morsmos unicos di : i A/k i+1 A/k , de modo que d0 = d, di+1 di = 0 y dn + m (n m ) = ( dn n )m + ( 1)n n (dm m )

Demostraci on. Estamos obligados a denir d1 : A/k 2A/k , adb da db (que est a biendenida) y en general dn (w1 wn ) := i (1)

i 1 w1 d1(wi ) wn .Observese que dn (adb1 dbn ) = dadb1 dbn , luego di+1 di = 0.

2. Notaci on: Denotaremos dn = d, si no induce a equivocaci on, i = i A/k , siendo 0 = A.

Denotaremos = i =0 i . , con el producto exterior es un algebra anticonmutativa.3. Proposici on : Sea D Derk (A, A) = Hom A (A/k , A). Entonces D

L := iD d + d iD es una derivaci on de grado cero de , que sobre A es D (sobrentendemos que iD sobre A es nulo).Demostraci on. Por ser iD y d antiderivaciones de grado 1 y 1 respectivamente entonces D L es unaderivaci on de grado cero (compruebese).

4. Proposici on : D L d = d D L .Demostraci on. D L d = ( iD d + diD ) d = diD d. d D L = d (iD d + d iD ) = d iD d.

Por tanto, D L (adb1 dbn ) = Da db1 dbn + i adb1 d(Db i ) dbn .Dadas D, D Derk (A, A), denamos [ D, D ] := D D D D que resulta ser una deriva-cion de A. Por otra parte, la derivaci on D L sobre A/k induce de modo natural una derivaci on,

denotemosla tambien D L , sobre Der k (A, A) = Hom A (A/k , A): Dada D denimos D L D como sigue,(D L D )(w) : = D (w(D )) (D L w)(D ), para cada wA/k . Se cumple que D L D = [D, D ]: bastacomprobar la igualdad para w = db,

[D, D ](db) = ( D D D D )(b)(D L D )(db) = D (db(D )) (D L (db))( D ) = D (D b) (dDb)(D ) = D (D b) D (Db)De hecho, podramos haber denido D L D := [D, D ], despues podramos haber denido D L w,

para toda w A/k (suponiendo que A/k = Der k (A, A)) y despues podramos haber extendido

D L como antiderivacion sobre el algebra exterior de A/k . Por ultimo, nos quedara probar queD L = iD d + d iD .


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5. Proposici on : Sean D, D Derk (A, A) dos derivaciones. Entonces

D L iD iD D L = i[D,D ]Demostraci on. Por ser D L una derivacion de grado cero y iD una antiderivaci on de grado 1. en-tonces D L iD iD D L es una antiderivaci on de grado 1, que estar a determinada por lo que valesobre A/k , que es i[D,D ], por =.6. F ormula de Cartan : Dada wA/k entonces

dw(D, D ) = D(w(D )) D (w(D )) w([D, D ])Demostraci on. dw(D, D ) = iD (iD dw) = iD ((D L d iD )(w)) = ( D L iD i[D,D ])w D w(D ) =D(w(D )) w([D, D ]) D w(D ).

1.10 Calculo valorado

1. Denici on : Una aplicaci on d : M M A A/k diremos que es una diferencial en M , si1. d(m + m ) = dm + dm .

2. d(am ) = adm + mda.

La diferencial d : M M A/k extiende a M A/k : d(mi ) := dm i + mdi(observemos que dm =

jm j wj , con wj A/k y denotamos dmi = j

m j wj i ). Los

elementos de M i los llamaremos i-formas valoradas en M .

Dada otra diferencial d : M M A/k , tenemos la diferencial d : M A M M A M A A/k ,d(m

m ) := dm

m + m

dm (reordenando en el primer sumando los factores del producto tensorialpara que todo tenga sentido).

Dadas mi M i y m j denotemos ( mi )(m j ) := mm i j M M

i + j . Tenemos un morsmo

(M )(M )

M M wiwj wiwjSe cumple que d(wiwj ) = dwiwj + ( 1)i widwj . Dado D Derk (A, A), sea iD : M

M , iD (mi ) = miD i . Obviamente, iD (wiwj ) = iD wiwj + ( 1)i wiiD wj .Denamos D L := iD d + d iD , que resulta ser una derivaci on, es decir

D L (wi

wj ) = D L wi

wj + wi

D L wj

Denotaremos D L m = iD dm =: D m. Es sencillo comprobar que

D L iD iD D L = i[D,D ]Dada una 1-forma valorada wM , tenemos que

dw(D1 , D 2) = iD 2 (iD 1 dw) = iD 2 (d(w(D1)) + D L1 w) = D2 (w(D1)) + D1 (w(D2)) w([D1 , D 2])


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1.10. Calculo valorado 33

2. Denici on : Una conexi on en un A-modulo M es una aplicaci on Derk (A, A) M M , dondeseguimos la notacion (D, m )

D m, cumpliendo

1. (D + D ) m = ( D m) + ( D m).

2. (aD ) m = a(D m).

3. D (am ) = ( Da ) m + aD m.4. D (m + m ) = D m + D m .

Para todo aA, m, m M , D, D Derk (A, A).

Toda diferencial d : M M A A/k , dene la conexi on dada por D m := iD (dm), que cumpleque D (am ) = iD (d(am )) = iD (mda + adm ) = ( Da )m + ai D dm = ( Da )m + aD m y las dem aspropiedades exigidas a las conexiones.A partir de ahora supondremos que A/k es un A-m odulo libre nito generado

Derk (A, A) es un A-modulo libre nito generado y A/k y Derk (A, A) son duales entre s. Adem as,M A A/k = Hom A (Der k (A, A), M ), mw pensado en Hom A (Der k (A, A), M ) es la aplicaci on lineal(mw)(D ) := w(D)m.3. Proposici on : Supongamos que A/k es un A-m odulo libre nito generado. Existe una corres-pondencia biunvoca entre conexiones en M y diferenciales de M .

Demostraci on. A cada diferencial le hemos asignado ya una conexi on lineal. Recprocamente, dadala conexion sea d(m), tal que dm(D ) = D m.

Si tenemos dos m odulos M, N con sendas diferenciales, podemos denir una diferencial en Hom A (M, N ):

d : HomA (M, N ) HomA (M, N )A/k = Hom A (M, N A/k )d(T )(m) := d(T (m)) (T 1)(dm). Como sabemos esta diferencial extiende a Hom A (M, N ).Se cumple que dado T HomA (M, N )n = Hom A (M, N n ) su diferencial como elemento deHomA (M, N ) coincide con la diferencial de T pensado como elemento de Hom A (M, N n ).Un morsmo T : M N de A-modulos diremos que es diferencial si dT = 0, es decir, d T =T d. Si el morsmo T es diferencial, entonces T : M M conmuta con d, iD , D L y(T T )(ww ) = T (w)T (w ). El morsmo Hom A (M, N )M N , m (m), resulta serdiferencial. Cuando tengamos una n-forma wn valorada en Hom A (M, N ) y otra m-forma wm valoradaen N , entendemos va este morsmo que wn wm es una n + m-forma valorada en N .4. Denici on : El morsmo A-lineal d2 : M M 2 diremos que es el tensor de curvatura.5. Proposici on : d2(m)(D1 , D 2) = D1 D2 m D2 D1 m [D1 , D 2] m.Demostraci on. iD 2 (iD 1 d2m) = iD 2 (D L1 dmdiD 1 dm) = D L1 (iD 2 (dm))dm([D1 , D 2])(dD 1 m)(D2) =D1 D2 m

D2 D1 m

[D1 , D 2] m.

Si A/k es un A-modulo libre nito generado, entonces Hom A (M, M 2) = End A M

2 .Denotare por R End A (M )

2 al tensor correspondiente a d2 . Observemos que R(D1 , D 2 , m) =D1 D2 m D2 D1 m [D1 , D 2] m.6. Proposici on : Dada wM

i , entonces

d2w = Rw


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Demostraci on. Escribamos w = mi . Entonces, d2(mi ) = d(dmi + mdi ) = d

2mi

dm

di + dm

di + m

d2i ) = d2m

i = R

w.

7. Identidad diferencial de Bianchi : dR = 0 .

Demostraci on. La diferencial del morsmo M d2

M 2 es nula ya que el cuadradoM

d2 //

d

M 2

d

M d2 //M

3

es conmutativo.

8. Denici on : Una conexi on sobre M = Der k (A, A) se llama conexi on lineal.

Supongamos que A/k es un A-modulo libre nito generado y que tenemos una conexi on lineal.Pensemos Id HomA (A/k , A/k ) = Der k (A, A) como una 1-forma valorada (no como endomor-smo). Denotemos d Id = Tor Derk (A, A)

2 y calculemos

Tor (D1 , D 2) = D1 (Id( D2)) D2(Id( D1)) Id([D1 , D 2]) = D1 D2 D2 D1 [D1 , D 2]Supongamos que es una conexi on lineal simetrica, es decir, Tor = 0. Entonces, 0 = d2(Id) =

RId.9. Identidad lineal de Bianchi : Si es una conexi on lineal simetrica entonces

RId = 0

Interpretemos esta igualdad: 0 = RId( D1 , D 2 , D 3) = ( iD 1 (RId))( D2 , D 3) = ( iD 1 R)Id + RiD 1 Id)( D2 , D 3) = R(D1 , D 2)(Id( D3)) R(D1 , D 3)(Id( D2)) + R(D2 , D 3)(Id( D1)). Luego,

R(D1 , D 2)(D3) + R(D3 , D 1)(D2) + R(D2 , D 3)(D1) = 0

10. Proposici on : Sea una conexi on lineal, d : la diferencial denida por y : 2 el morsmo natural de paso al cociente. Sea dC la diferencial de Cartan. Se cumpleque d dC = Tor Derk (A, A)2

Una conexi on lineal es simetrica si y s olo si d = dC Demostraci on. (d(w))( D1 , D 2) = D1 w(D2) D2 w(D1) = D1(w(D2)) w(D1 D2) D2(w(D1)) +w(D2 D1). Por la f ormula de Cartan, dC (w)(D1 , D 2) = D1(w(D2)) D2(w(D1)) w([D1 , D 2]). Portanto, ( d dC )(w, D 1 , D 2) = Tor (w, D 1 , D 2).

Si denimos D D = D D 12 Tor (D, D ), se tiene que es simetrica.Consideremos los morsmos canonicos 1 : 2 , 2 : S 2. Consideremos elisomorsmo : = 2S 2, (w) = ( 1(w), 2(w)). Dada una conexion lineal simetrica yel morsmo diferencial d : , tenemos que 1 d = dC y 2 d = ds , con ds (w)(D1 , D 2) =(D1 w)(D2) + ( D2 w)(D1). Se cumple que ds es k-lineal y ds (f w) = ( df ) w + f ds w y diremos queds es una diferencial simetrica.


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1.10. Calculo valorado 35

Dar la conexi on lineal simetrica equivale a dar la diferencial simetrica ds : S 2.Sea ds : S m

S m +1 , ds (w1

wm ) := i w1

wi 1

ds wi

wm . Para m = 0 denimos

ds = d.Supongamos que A es una k-algebra lisa, es decir, el morsmo natural S n n / n +1 es unisomorsmo, para todo n.

11. Teorema : Los morsmos

(AA)/ n +1 nA S n , ab a (b,db,d2s b/ 2, . . . , d ns b/n !)

son isomorsmos de A- algebras y los diagramas

0 // n / n +1 //(AA)/ n +1 //

n

(AA)/ n //

n 1

0

0 //S n //A S n //A S n 1 //0son conmutativos.

Demostraci on. Es facil comprobar que n es un morsmo de A-algebras. Obviamente n (a1 1a) =(0,da, , ..., ), luego, n es la identidad sobre n / n +1 . Ahora es f acil ver que el diagrama es con-mutativo y demostrar por inducci on que los n son isomorsmos.12. Corolario : El morsmo A/ m n +1x km x / m 2x m nx / m n +1x , f

n

i =0

d is f i ! (x), es un

isomorsmo de k- algebras.

Se dice que d2s f 2 (x) es el Hessiano de f en x.

Sea M un A-modulo. Se dice que F : A M es un operador diferencial de orden 0 si F (a) =a F (1), para todo aA, es decir, si F es un morsmo de A-modulos.13. Denici on : Una aplicaci on k-lineal F : A M se dice que es un operador diferencial de ordenn 1 si

{ i 1 ,...,i r }{ j 1 ,...,j n r }= {1,...,n }

(1)r a i 1 a i r F (a j 1 a j n r ) = 0

para todo a1 , . . . , a n A.Las derivaciones son operadores diferenciales de orden 1.

14. Proposici on : F : A M es un operador diferencial de orden n > 0 si y s olo si [F, a ] :=F a a F es un operador diferencial de orden n 1 para todo aA.15. Proposici on : HomA (Ak A/

n +1 , M ) = Diff nk (A, M ).Tenemos la cadena de inclusiones (en Hom k (A, A))

Diff 1k (A, A) Diff 2k (A, A) Diff nk (A, A) El dual de la sucesi on exacta 0 S n (AA)/ n +1 (AA)/ n 0 es

0 Diff n 1k (A, A) Diff nk (A, A) n

S n Derk (A, A) 0Se dice que n (F ) es el smbolo del operador F .


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16. Denici on : Diff k (A, A) =

i =0 Diff ik (A, A).

17. Teorema : S Derk (A, A) = Diff k (A, A), (D1 Dn )(a) := dns an ! (D1 , . . . , D n ) y se tiene el

diagrama conmutativo

0 //n 1

i=0S i Derk (A, A)

//n

i =0S i Derk (A, A)

//S n Derk (A, A)

Id

//0

0 //Diff n 1k (A, A)//Diff nk (A, A) //S n Derk (A, A) //0

Adem as se verica la f ormula de Leibnitz

(D1 Dn )(a b) = { i 1 ,...,i r }{ j 1 ,...,j n r }= {1,...,n }(D i 1 D i r )(a) (D j 1 D j n r )(b)Ahora, Diff k (A, A) va , tiene estructura de algebra conmutativa graduada:

(D1 Dn )(D1 Dm ) := (D1 Dn D1 Dm )Sea T 2 una metrica simetrica no singular y denotemos la polaridad tambien por T 2 : Derk (A, A) . Sea ds : S 2, ds (w) := T 2(w)L T 2 . Tenemos pues denida una conexi on lineal simetrica enDerk (A, A), denominada conexion de Levi-Civita asociada a T 2 .


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Captulo 2

Calculo Tensorial en GeometraDiferencial

2.1 Desarrollo de Taylor

El teorema de Bolzano arma que si f es una funci on continua en [ a, b] tal que f (a) > 0 y f (b) < 0(o al reves) entonces existe un (a, b) tal que f () = 0 (la se obtiene por el metodo de bisecci on).Si f (c) > 0 para un c (a, b), entonces existe un c > 0 de modo que f (c + t) > f (c) yf (c) > f (c t), para todo 0 t < c . Si f > 0 en (a, b) entonces f es creciente en ( a, b). Comoconsecuencia se obtiene el teorema de Rolle que dice que si f es una funci on continua en [ a, b], derivableen (a, b) y f (a) = f (b), entonces existe c(a, b) tal que f (c) = 0: Si f > 0 en (a, b) entonces f seracreciente y f (a) < f (b), si f < 0 en (a, b) entonces f sera decreciente y f (a) > f (b). Por tanto, f esnegativa en algun punto y positiva en alg un otro, por Bolzano f se anula en alg un punto intermedio.

Recordemos el Teorema del valor medio: si f (x), g(x) son funciones derivables en ( a, b) y continuasen [a, b], dados a < b existe (a, b) tal que ( f (b) f (a))g () (g(b) g(a)) f () = 0 (si g () = 0y g(b) g(a) = 0, habramos escrito ( f (b) f (a)) / (g(b) g(a)) = f ()/g ()): Sea H (x) = ( f (b) f (a))g(x) (g(b) g(a)) f (x), como H (a) = H (b), entonces existe un (a, b) tal que H () = 0.En particular, si f (x) existe para todo x = a y existe lim x a f (x), entonces f (a) existe y coincidecon este lmite : f (a) = lim x a f (x ) f (a )x a = lim x a f () = lim x a f (x).

Lema de LH opital: Si F, G son funciones diferenciables tales que F (0) = G(0) = 0, G no seanule en un entorno de 0 (salvo quiz as en 0), y limx 0

F (x )G (x ) existe, entonces por el Teorema del valor

medio limx 0 F (x )G (x ) = lim x 0F (x )G (x ) .

Sea C n (U ) el anillo de las funciones n veces derivables de derivadas continuas en un abierto0

U

R .1. Lema fundamental: Dada f (x)C

n (U ), si f (0) = 0 , entonces existe h(x)C n 1(U ), tal que

f (x) = x h(x).1Demostraci on. Demos una demostraci on con el mnimo de conocimientos de An alisis de Funciones.La funci on, h(x) = f (x )x (donde h(0) := f (0)) es una funcion continua, que tenemos que probar que

1 Hay una demostraci on maravillosa de este teorema, pero que hace uso de ciertos resultados de An alisis: Derivemose integremos y saquemos algo! f (x ) = f (x ) f (0) = 10

t f (tx ) dt =

10 f (tx ) x dt = x

10 f (tx )dt

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38 Captulo 2. Calculo Tensorial en Geometra Diferencial

pertenece a C n 1(U ).

Considerando en vez de f , f n

i =1 a i xi

, con a i =1i ! f

i )

(0), podemos suponer que f (0) = f (0) =. . . = f n ) (0) = 0.

Tenemos que probar que h = f /x f /x 2C n 2(U ). Por induccion sobre n, podemos suponerque f /x C n 2(U ). Tenemos que probar que f/x 2 C n 2(U ). Probemos que si f (0) = f (0) =. . . = f n ) (0) = 0 entonces f /x 2 C n 2(U ). Observemos que f /x 2 es continua pues por LHopitallimx 0 f /x 2 = f (0) / 2. Tenemos que probar que ( f /x 2) = f /x 2 f / 2x3 C n 3(U ). Por induc-cion sobre n, podemos suponer que f /x 2 C n 3(U ). Tenemos que probar que f /x 3 C n 3(U ).Argumentando as sucesivamente llegaremos a que tenemos que probar que f /x n C 0(U ), lo cual escierto porque aplicando LHopital sucesivamente tenemos que lim x 0 f /x n = f n ) (0) /n !.

2. Corolario : Si f (x) C (U ) cumple que f (0) = 0 , entonces existe h(x) C

(U ) tal quef (x) = h(x)

x. Entonces, por cambio de variable x = x

, tendremos que si

U y f () = 0entonces existe h(x)C

(U ) de modo que f (x) = h(x) (x ).As dada f (x) C

n (U ), entonces f (x) f () = g(x) (x ) con g(x) C n 1(U ). Luegof (x) = f ()+ ( x ) g(x). Repitiendo el argumento con g(x), tendremos que f (x) = f ()+ ( x ) (g( )+ ( x ) h(x)) = f ()+ g()(x )+ h(x)(x )2 , (con h(x)C n 2(U )). As sucesivamente,tendremos quef (x) = a0 + a1(x ) + + an 1(x )n 1 + z(x) (x )n

a i R , z(x)C

0(U ). Adem as, a i = lim x f (x )

i 1

j =0a j (x ) j

(x ) i =f ( i ( )

i ! .Ahora en varias variables.

3. Denici on : Se dice que una funci on real f denida en un entorno de un punto R n es

diferenciable en si existe una matriz A = ( a1 , . . . , a n ) de modo que

limx

f (x) f ( ) A (x ) t||x ||

= 0

Observemos que en tal caso, tomando x = ( x1 + h, 2 , . . . , n ) tenemos que

0 = limh 0

f ( 1 + h, 2 , . . . , n ) f () A (h, 0, . . . , 0)t|h|

= limh 0

f ( 1 + h, 2 , . . . , n ) f () a1 h|h|

Luego, limh 0 f ( 1 + h, 2 ,..., n ) f ( ) a 1 hh = 0 y a1 =f

x 1 (). Igualmente, a i =f x i ( ). Si las de-

rivadas parciales existen en un entorno de y son continuas entonces f es derivable, con A =( f x 1 (), . . . ,

f x n ()):

limx f (x ) f ( ) i a i (x i i )

|| x || = lim x f (x ) f (a 1 ,x 2 ,...,x n )+ f (a 1 ,x 2 ,...,x n ) f ( ) i a i (x i i )

|| x ||

= lim x (f x 1 (,x 2 ,...,x n ) a 1 )( x 1 1 )+ f ( 1 ,x 2 ,...,x n ) f ( ) i> 1 a i (x i i )

|| x ||

= lim x (f x 1 (,x 2 ,...,x n ) a 1 )( x 1 1 )

|| x || + lim x f ( 1 ,x 2 ,...,x n ) f ( ) i> 1 a i (x i i )

|| x ||

que es igual a cero, por induccion sobre n (observando que ||(x )|| es mayor que |x1 1| y que||(x2 , . . . , x n ) ( 2 , . . . , n )||).


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2.2. Espacio tangente en un punto 39

Es obvio que si f es derivable en entonces es continua en . Se dice que f es de clase r en unabierto si

r f m

1x 1 m n x n son continuas en el abierto para todo m1 +

+ mn = r .

Sea U un entorno abierto de y f C 2(U ). Se verica que

2 f yx ( ) =

2 f xy (): Por cambio

de variable podemos suponer que = (0 , 0). Sustituyendo f (x, y ), por f (x, y ) f (0, y), podemossuponer que f (0, y) = 0.f xy (0, 0) =

y

(limx 0

f (x, y )x

)(y = 0) = limy0

limx 0f (x,y )

x limx 0 f (x, 0)xy

= limy0

limx 0f (x,y ) f (x, 0)

xy

= limy0

limx 0

f y (x, ) yxy

= f yx (0, 0)

Por simplicar notaciones supongamos que = 0. De nuevo, dada f (x, y )C n (U ) si f (0, y) = 0

entonces f x C n 1(U ). As, dada f C

n (U ), tendremos que f (x, y ) = f (0, y) + x g(x, y ), cong(x, y ) C n 1(U ). Por tanto, si f (0, 0) = 0, entonces f (0, y) = y h(y), con h(y) C n 1(U ), enconclusion f (x, y ) = x h1 + yh2 , con h1 , h2C

n 1(U ).

4. Proposici on : Sea U R m un abierto y f (x1 , . . . , x m ) C

n (U ). Si f () = 0 , entoncesf = i h i (x i i ) con h iC n 1(U ).5. Corolario : Dada f (x1 , . . . , x m )C

n (U ) y bU entonces

f = (| |


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40 Captulo 2. Calculo Tensorial en Geometra Diferencial

Sean U R m , V

R n sendos abiertos.3. Denici on : Una aplicaci on F : U

V se dice que es diferenciable en

U si existe una matrizF () = ( a ij ) de m-columnas y n-las tal que

limx

||F (x) F () F ( ) (x )t ||||x ||

= 0

Es facil ver que F = ( f 1 , . . . , f n ) es diferenciable si y s olo si f 1 , . . . , f n son diferenciables y queA = ( f ix j ( )).

Desarrollando por Taylor, tenemos que F (x) = F ()+ F ( )(x)t + ij G ij (x)(x i i )(x j j ).Consideremos la recta { + tv,t R}que pasa por y de vector director v, entonces F ( + tv) =F ( ) + F ()( tv) + t2 H (t, v ). Para t pequeno F ( + tv) es aproximadamente F ( ) + F ()( tv). Esdecir, F aplica el vector innitesimal tv , de origen , en el vector innitesimal F ()( tv) de origenF ( ).

R2

F

a

v F'( a )(v)

F( a)

Por otra parte, el morsmo F induce en los anillos el morsmo de anillos F : C (V ) C (U ),F (g) := g

Álgebra tensorial y diferencial

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