ALGEBRA Y ANALISIS TENSORIAL

Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. 5 Edicin. Octubre 2004.

PROLOGOEste ensayo tiene por finalidad facilitar los clculos propios del Algebra Lineal, en especial los que se refieren a los distintos temas propios de las ciencias fsica y geomtrica en su relacin con un espacio puntual afn siempre propiamente euclidiano, a base de considerar la tridimensionalidad como un caso particular de la n-dimensionalidad con n finito. No se desarrrollan pues de momento, sus aplicaciones a la fsica relativista ni cuntica. posibles

Esta Algebra y Clculo Tensorial es especialmente til, pues no opera solamente con magnitudes tensoriales propiamente dichas (que incluyen vectores y escalares), sino que permite considerar como tales en el clculo, a los operadores lineales multilineales, facilitando as la formulacin de las imgenes que determinan. Entre los operadores expresables tensorialmente se incluyen derivadas, derivadas direccionales parciales, as como magnitudes integrales. El simbolismo elegido para los tensores es intrnseco, y se ha limitado la utilizacin y descripcin de sus componentes caractersticos y de las bases vectoriales adoptadas, a los casos en que ha sido necesario conveniente para una definicin una demostracin. En cuanto a la expresin de sus componentes caractersticos en cifras, se hace excepcionalmente a ttulo de ejemplo caso particular. El lgebra que se utiliza, se halla definida en el segundo captulo del texto, y en el resto del texto, se hace la aplicacin del lgebra a un estudio parcial detallado de diversos tensores y sus relaciones. En la primera parte se dedica una atencin especial a los tensores de segundo orden y a su relacin con las matrices cuadradas. En la segunda parte ponemos el acento sobre las aplicaciones del lgebra a la expresin tensorial de las magnitudes diferenciables integrables as como de las derivadas espaciales y diferenciales y a la expresin intrnseca de las frmulas de Stokes y Ostrogradski. Barcelona 10 de febrero de 2002.

TABLA DE CONTENIDOPROLOGO TABLA DE CONTENIDO ALGEBRA TENSORIAL A.- GENERALIDADES. B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA A DESARROLAR 1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E propiamen-te euclidiano y de dimension finita y de los espacios vectoriales Es (n finito) construdo sobre E, con cuyos elementos opera el lgebra. 2. Estructura y propiedades principales del lgebra. 3.- Tensores y aplicaciones lineales. 4.- Operacin contraccin de tensores. 5.- Observaciones. C.- TENSORES EN GENERAL. 1.- Norma, mdulo, ncleos e imgenes de un tensor. 2.- Simetras y antisimetras en los tensores. 3.- Simetra y antisimetra m,p 4.- Simetra y antisimetra 1,2. 5.- Tensores totalmente antisimtricos 6.- Tensores totalmente simtricos y h-simtricos. 7.- Tensores istropos. 8.- Particularidades del espacio tridimensional. 9.- Particularidades del espacio bidimensional. 10.- Polinomios tensoriales. D.- TENSORES E2 DE 2 ORDEN 1.- Generalidades. 2.- Matrices de coeficientes tensoriales. 3.- Producto matricial de tensores de 2orden. 4.- Tensor fundamental. 5.-Tensores istropos. 6.- Invariantes de un tensor.Traza. 7.- Determinante de un tensor. 8.- Valores y vectores propios de un tensor. 9.- Grupos de tensores. Potencias matriciales. 10.- Tensores ortogonales. 11.- Tensores semejantes. 12.- Tensores simtricos definidos positivos. 13.- Tensores simtricos semidefinidos positivos. ANALISIS TENSORIAL A.- ESPACIOS PUNTUALES. DERIVADAS. 1.- Espacios puntuales afines. 2.- Utilizacin del vector . i I 1 1 3

3 4 7 8 9 11 11 16 18 20 22 38 42 44 48 50 55 55 57 62 66 69 71 73 75 80 89 90 91 93 95

95 95 104 I

3.- Derivacin de expresiones tensoriales. 106 5.- Integrabilidad espacial. 112 6.- Funciones de funcin de x. 115 7.- Campos vectoriales particulares en un espacio puntual afn n-dimensional. 117 B. VARIEDADES. INTEGRACION. 1.- Variedades y cuerpos. 2.- Politopos y tensores totalmente antisimtricos. 3.- Magnitudes de volumen. 4.- Frmulas de Stokes y de Ostrogradski. 5.- Integraciones en general. C.- INTEGRALES Y CAMPOS PARTICULARES. 1.- Integrales de volumen relativas a rr-n. 2.- Valor de D para cualquier cuerpo. 3.- Campos solenoidales. 4.- Campos irrotacionales, 5.- Campos armnicos. D.- ECUACIONES DIFERENCIALES 1.- Ejemplos de ecuaciones diferenciales. E.- SERIES POLINOMICAS. APENDICE INDICE DE EQUACIONES 119 119 120 126 127 131 135 135 143 145 152 156 159 159 163 169 171

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ALGEBRA TENSORIAL

A.- GENERALIDADES. 1.- Este texto tiene por objeto el estudio de un lgebra propia del conjunto de tensores afines construdos sobre un espacio vectorial E propiamente euclidiano n-dimensional, considerados intrnsecamente y tomando escalares y vectores como tensores de orden 0 y 1 respectivamente. 2.- Supondremos familiarizado el lector elementos de lgebra lineal y en particular con vectoriales, tensores, matrices y determinantes. con los espacios

3.- En general, expresaremos los escalares por letras griegas minsculas: ,,, etc., los vectores por letras normales minsculas con flecha en la parte superior: v, w, etc., y los tensores por letras griegas minsculas con flecha en la parte superior: , , etc. Si (vw) son escalares complejos, sus w conjugados se representarn por y (v ) * y (vw)*. Normalmente, cuando un escalar es un coeficiente de un vector tal como v, lo representaremos con la misma letra v sin flecha y con un subndice o suprandice, por ejemplo: v2, vi, v3,etc. Si es un coeficiente de un tensor , se representar por la letra normal minscula t correspondiente, seguida de los subndices y suprandices, necesarios para su identificacin, 1 escritos uno a continuacin del otro. Ejemplo: t12 4 Una matriz se expresar con una letra mayscula como un conjunto j de elementos. Sea por ejemplo la matriz A = {j}. La i expresin i significar un elemento de la matriz, cuya identificacin depender de la convencin adoptada. Hache convendremos que el suprandice indica la fila, en este caso j, y que el subndice indica la columna, en este caso i. De esta manera, 3 no representa a la matriz A, sino a un elemento 2 determinado de ella, el de fila 3 y columna 2.n Sea un sumatorio k=m k. Lo representaremos por n k si a m a no hay duda sobre la magnitud que toma valores y si tampoco hay duda respecto a los valores lmites, por kak o simplemente por . ak

4.- Se adopta el convenio de Einstein: Siempre que en un monomio figure dos veces el mismo ndice, una vez como superior y otra como inferior, se debe, salvo aviso en contra, sumar los monomios obtenidos dando a este ndice todos los valores posibles. 1

Si esto ocurre con ms de un ndice, habr que sumar los monomios obtenidos dando a estos ndices todos los valores posibles. vivi = v1v1 + v2v2 + ..... + vnvn aijbji = a11b11+a12b21+..+a21b12+a22b22+....+an1b1n+an2b2n+..

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B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA A DESARROLAR 1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E propiamentes euclidiano y de dimension finita y de los espacios vectoriales E (n finito) construdo sobre E, con cuyos elementos opera el lgebra. 1.01.- Bases duales. Por ser E propiamente euclidiano tenemos E* = E, o sea que E es dual de s mismo en el sentido siguiente: A toda base de E corresponde una base dual tambin de. E, que slo coincide con la primera cuando sta es ortonormal. Por otra parte, consideraremos a los vectores de E como tensores de orden uno y representaremos como base principal de E a {ei} y como base dual a {ej}, sabiendo que verifican eiej = ejei = j (smbolo de Kronecker). i Por consiguiente podemos tomar como bases de Es, las siguientes: {eiej..es}, {eiej..es}, {eiej..es}, etc.

1.02.- Expresiones de un tensor. a) Todo tensor de Es puede expresarse por una combinacin lineal de productos tensoriales elementales, es s decir, correspondientes a elementos de E :r =

(a b .. p )i i i i

r

r

r

b) Teniendo en cuenta que cada r factores tensoriales simples se pueden representar por un tensor de orden r, todo tensor de orden mayor que uno, se puede representar tambin en forma einsteniana de la siguiente manera: = i i c) La notacin ordinaria einsteniana de un tensor en funcin de bases duales, es: = tij..s(e e ..e ) = ti ..s(e ej..e ) = ..... i j s j i s Si no se indica lo contrario tomaremos {ei} como base principal y en consecuencia los coeficientes escalares se denominan: Contravariantes: tij..s 3

Covariantes: Mixtos:

tij..s tij..s, etc.

Si y slo si la base es ortonormal, se verifica: tij..s = tij..s = tij..s = .... 2. Estructura y propiedades principales del lgebra. 2.01.- Operaciones fundamentales. El conjunto E toma la estructura de un lgebra estableciendo las siguientes operaciones fundamentales entre sus elementos: 1.- Multiplicacin tensorial. 2.- Multiplicacin contracta. que pasamos a precisar. 2.02.- Multiplicacin tensorial. Definimos como producto tensorial de un tensor Es de E(s+m) de las por un tensor Em a un tensor caractersticas propias de la estructura tensorial que suponemos conocida. Nos limitaremos ahora a recordar las siguientes: 1.- No conmutatividad: En general .

2.- Asociatividad: ()=() = 3.- Distributividad a derecha e izquierda: (=+; =+): = + + + 2.03.- Multiplicacin contracta. Entre los posibles, definimos como producto contracto normal de dos tensores y y lo expresamos sin signo especial, a un tensor , que tiene por orden el mdulo de la diferencia de rdenes de los factores, sujeto a las siguientes leyes: 1.- Conmutatividad: =

2.- Distributividad a derecha e izquierda: (=+; =+): = + + + 3.- El producto contracto entre vectores de E coincide con el producto escalar en E. 4

4.- El producto contracto de dos productos tensoriales elementales, se verifica ordenadamente del modo siguiente: (a1a2...amam+1...an)(b1b2...bm) = = (a1b1)(a2b2)...(ambm) [am+1...an] Cada parntesis () indica un producto escalar cuyos factores son los pares de vectores situados en el mismo orden de colocacin de derecha a izquierda de los tensores factores, hasta agotar los vectores del tensor de menor orden. con Puede verse fcilmente que esta operacin es compatible las propias de los espacios vectoriales de tensores. 2.04.- Notaciones einstenianas normales. Ejemplos. Sean los tensores =tijk(eiejek); =slm(elem) 1. = = [t k(eieje )] [slm(e e )] = ij k l m = tijkslm(eiejekelem) pijklm = tijkslm 2. = = [t k(eieje )][slm(e e )] = ij k l m = tijkslm(eiel)(ejem)ek =tijksijek rk = tijksij Para este producto, las bases utilizadas para el primer factor deben ser duales de las utilizadas para el segundo factor. 2.05.- Teoremas fundamentales de esta lgebra. Teorema 1.- Dados tres tensores , y construidos sobre E, tales que el orden de es igual o mayor que el de , se verifica: () = () Dada la distributividad de productos tensoriales y contractos, bastar demostrarlo para el caso de que los tres tensores sean productos tensoriales simples. Efectivamente, para = a a ...a = b 1b 2...b rb ...b r s = c1 c2 ....c r+1 1 2 t tendremos: = (a b )(a b )...(a b )[b ...b ] 1 1 2 2 r r r+1 s = a a ...a c c ...c 1 2 r 1 2 t

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y por consiguiente: () = (a1b1)(a2b2)...(arbr)[br+1...bs][c1c2....ct] )= (a b )(a b )...(a b )[c c ....c ][b ...b ] (1 1 2 2 r r 1 2 t r+1 s

Teorema 2.- Dados tres tensores , y construidos sobre E, tales que el orden de es inferior al de , se verifica: () = () Bastar demostrarlo para los mismos tensores de la demostracin anterior, con lo que tomar el valor all expresado. Tendremos adems: = b b ...b b ...b c c ....c 1 2 r r+1 s 1 2 t y por consiguiente: = (a b )(a b )...(a b )[b ...b c c ....c ] ) = (a1b1)(a2b2)...(arbr)[br+1...bsc1c2....ct] 1 1 2 2 r r r+1 s 1 2 t

Teorema 3.- Sean 4 tensores , , y construidos sobre E, tales que y son de igual orden. se verifica: ()() = ()() Pues = es un escalar, y podremos escribir: ()() = [()] y por el teorema 1: ()() = [()] = ( )() 2.06.- Un coeficiente escalar de un tensor de orden s, relativo a una base tensorial compuesta por vectores de un par de bases duales de E, es igual al producto contracto de por un producto tensorial de dichos vectores base con ndices en igual posicin y orden. Podemos demostrarlo, por ejemplo para tijk: (eieje ) = [ti'j' (e e ek')](eieje ) = k i' j' k k' = ti'j'k'(ei'ei)(ej'ej)(ek'ek) = tijk

y evidentemente la demostracin es anloga para cualquier otro coeficiente. 2.07.- Cambio de coordenadas de un tensor al pasar de una base {ei} de E y su dual, a una nueva base {fj} y su dual, relacionadas con las anteriores por: i k i k fj = jei; fk = mem; ji = k = smbolo de Kronecker j Sea por ejemplo = tirst(eiereset)= tvwgh(fvfwfgfh) 6

v w s t tvwgh= (fvfwfgfh) = ([iei][rer][ges][het])= v w s t v w s t = irgh (eiereset) = irghtirst v w s t Como i,r,g y h corresponden a matrices de cambio de bases, que son regulares, las nuevas coordenadas son funcin regular de las anteriores. Para todo tensor, se obtienen anlogamente las coordenadas nuevas de cualquier tipo a partir de las antiguas del mismo o distinto tipo.

2.08.- Se demuestra que un conjunto de escalares funcin de una base de E, define a un tensor de E, si y slo si, con un cambio de bases, los escalares varan como si fueran los elementos de un conjunto de coeficientes tensoriales de un mismo tipo determinado. Entonces el conjunto de escalares coincide con el conjunto de coeficientes del mismo tipo correspondientes a algn tensor. Tambin se demuestra que un conjunto de escalares, funcin de una base de E, define a un tensor , o sea que es el conjunto de coeficientes de , de algn tipo, cuando al operar como si as fuera para hallar los coeficientes de de , un tensor cualquiera, hallamos un conjunto de escalares siendo que define a un tensor. 2.09.- Para E propiamente euclidiano, el producto contracto aqu definido, induce en todos los espacios vectoriales E de tensores afines a E, un producto escalar que tambin los hace propiamente euclidianos. 3.- Tensores y aplicaciones lineales. 3.01.- (s+m) productos contractos de un tensor Los determinado de E por los distintos vectores de Es, son vectores de Em que varan linealmente con ellos. Por lo tanto dichos productos son las imgenes de una aplicacin lineal de Es en Em representada por el tensor . El tensor de E(s+m) correspondiente a la aplicacin lineal por la que una base {gi} de j Es tiene por imagen {fi), j vamos a ver que es (g fj) siendo {g } la base dual de {gj}. En efecto: (gjfj)gi = (gjgi)fj = fi 3.02.- De acuerdo con el prrafo anterior, la aplicacin lineal idntica vendr representada por el tensor i i g gi = gig referido a cualquier par de bases duales, pues por el teorema 1 y '2.06, tenemos: (gigi)a = (gia)gi = aigi = a 7

Para los vectores de E, la aplicacin lineal idntica vendr representada por un tensor de 2 orden: I = eiei = eiei con {ei} y {ei} bases duales de E. El producto contracto de I por un producto tensorial (ab) cualquiera de dos vectores de E, es el producto escalar de ambos. Pues tenemos: I(ab) = (Ia)b = ab 3.03.- Coeficientes de I. Los coeficientes tensoriales de I contravariantes constituyen las matrices de cambio de base de una base a su dual y los coeficientes covariantes de I forman las matrices del cambio inverso. Los coeficientes mixtos forman la matriz unidad. Pues podemos escribir: ij i I ij ei ei ei = gijej = g (eiej) = ig ej = ie i j j e ) = e g e = e e = g ej I= g (e eij ij i i ij

i j k I e = g j(eie ) = kek j i I= gi (e ej) = eke

g j = j (smbolo de Kronecker) gij = ij (smbolo de Kronecker)i i

Por clculo vectorial sabemos que las matrices de cambio inverso son inversas. Tambin se verifica que las matrices covariante y contravariante de I son las fundamentales para las bases duales fundamentalesij g ei = gije i =

ej = ej =

e j(eiei) = (e je i)ei (e ei) = (e e )ei ej i i j

gij = e ie j gij = e ie j

4.- Operacin contraccin de tensores. La definiremos como un modelo. Sea un producto tensorial nico = abcd..m La contraccin de los factores 2,4 es el tensor = (bd)(ac..m) Si el tensor viene dado en forma normal en funcin de bases duales, tal como = tijk (e e e el..em) l..m i j k la contraccin 2,4 ser: 8

= tijk (e el)(e e ..em) = (j=l): tijk m l..m j i k l..m (e iek..e ) Deducimos de aqu, que para efectuar esta ltima operacin, hay que expresar previamente os dos factores tensoriales a suprimir, en sendas bases duales. 5.- Observaciones. Las magnitudes que se consideran en muchas partes de la Fsica no relativista, son asimilables a espacios vectoriales de tensores de orden 0, 1 mayor, isomorfos a los de E, y sus relaciones mutuas, en muchos casos, se pueden expresar sin adoptar unidades de medida, sea intrnsecamente, a travs de los conceptos y mtodos algebraicos aqu establecidos, y de otros complementarios deducidos de ellos. Estimamos que esta lgebra tensorial puede facilitar considerablemente el estudio intrnseco de las relaciones entre magnitudes fsicas y para su desarrollo, resulta indispensable el dominio en la aplicabilidad de los tres teoremas fundamentales aqu enunciados. De entre los productos contractos entre tensores que se pueden definir y que se usan, se ha elegido como normal el de aplicacin ms general, y que estimamos suficiente para nuestros fines. Una vez halladas las expresiones ms sencillas convenientes, el clculo numrico exige adoptar unidades de cada magnitud y por tanto la adopcin de bases vectoriales que se correspondan debidamente entre ellas y entonces tambin tienen plena aplicacin la expresin de tensores por coeficientes de notacin einsteniana, expresin que en los casos sencillos se presta a la aplicacin del clculo matricial. Las matrices, tambin se pueden considerar como tensores, por lo general de orden uno y dos, y por tanto, sus relaciones intrnsecas tambin quedarn reflejadas en desarrollos diversos del lgebra tensorial aqu presentada. El lgebra que aqu se va a desarrollar, est dedicada especialmente a los tensores afines a E expresados en forma intrnseca, incluyendo entre ellos a vectores y escalares. En cuanto a bases y coeficientes, en general intervienen solamente para completar el estudio de los problemas o para aclarar o confirmar resultados, de acuerdo con el objeto del texto, que es nicamente intentar hacer ver las ventajas del mtodo intrnseco de clculo tensorial aqu desarrollado. Esta lgebra no se ha ampliado a los elementos de espacios construdos sobre espacios vectoriales hermticos, por la dificultad derivada de que, ya en los casos ms sencillos, el producto hermtico de vectores no es en ellos conmutativo. 9

El mtodo aqu utilizado para definir el lgebra y otras propiedades de los elementos de E (tensores construdos sobre E) al ser E propiamente euclidiano, tambien es utilizable cuando E slo es euclidiano (no propiamente), si se tiene en cuenta que entonces en E no pueden existir bases ortonormales.

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C.- TENSORES EN GENERAL. 1.- Norma, mdulo, ncleos e imgenes de un tensor. 1.01.- Definicin. Llamaremos aqu norma de un tensor , al escalar y mdulo de un tensor a la raz cuadrada positiva de su norma. Consecuencias. a) Si =tij..p(eiej..ep) es la representacin einsteniana del tensor en base del espacio fundamental, su norma valdr:ij..p = tij..p(e e ..e )t i' j' p' tij..p i j p i'j'..p'(e e ..e )= t

Como adoptando una base ortonormal se tiene tij..p = tij..p, resulta que la norma se puede expresar siempre por una suma de cuadrados y por tanto es positiva, salvo el caso del tensor nulo, en el que ser nula. b) Si el tensor = (12..m) est expresado por un producto tensorial de tensores, su norma es el producto de las normas de los factores. Aplicando las leyes del producto contracto, tendremos: = ( .. )( .. ) = ( )( )...( ) 1 2 m 1 2 m 1 1 2 2 m m c) La norma del tensor =i cuando {i} es un conjunto de tensores de igual orden ortogonales dos a dos, es la suma de las normas de los sumandos: (l + 2 +...+ 2m)(l + 2 +...+ 2m) = 11 + 22 + .. + mm puesto que los productos con subndices distintos son nulos por ortogonalidad. 1.02.- Como la norma definida para un tensor coincide evidentemente con la norma del mismo tensor considerado un vector del espacio vectorial de los tensores de su orden, podemos aplicar a este espacio vectorial las desigualdades de Schwartz obtenidas para espacios vectoriales en general. La 1 desigualdad, para dos tensores cualquiera y supuestos no nulos y del mismo orden, es: [()][()] ()[()()]

y transformando el 1 miembro por el teorema 1 fundamental, y el segundo miembro por el teorema 3, queda as: [()][()] ()()()

Sustituyendo por de igual orden, se verificar tambin la siguiente desigualdad: 11

[()()][()()] ()()[()()] que por ser el corchete positivo podemos simplificar as: [()()] ()() Esta expresin generaliza la 1 desigualdad de Schwartz al producto contracto de tensores cualesquiera. 1.03.- La anterior desigualdad nos permite definir el coseno del ngulo formado por dos tensores y no nulos cualesquiera, de mdulos y .1 rr rr r r ()() (,) = rr r r ; cos ( )()2

rr r r cos ,) = (

Este coseno sera de naturaleza vectorial, y no escalar, cuando y fueran de distinto orden. Tendra entonces un mdulo inferior o igual a uno. Slo sera nulo para y ortogonales. Sera uno si se puede expresar as: (): = = () = ; =

como puede verse fcilmente sustituyendo estos valores en la expresin de cos2(,). 1.04.- Sea el producto contracto de un tensor de orden s por otro cualquiera de un orden r igual o inferior a s. El tensor resultante, de orden s-r, vara linealmente con el factor de orden r elegido, y por tanto, se puede considerar a como un tensor representativo de una aplicacin lineal del espacio de los tensores de orden r en el espacio de los de orden s-r y por analoga procederemos a las siguientes definiciones: 1. Para de orden s, llamamos ncleo de de orden r, y lo expresamos por Nucr, al conjunto de tensores de orden r, tales que: = 0 Nuc r 2. Para de orden s, llamamos imagen de de orden r, y lo expresamos por Imr, al conjunto de tensores de orden r que resultan de la multiplicacin contracta de por cualquier tensor de orden s-r: = Im r ncleos e imgenes.

1.05.- Caractersticas de

a) Nucr y Imr son subespacios vectoriales de tensores de orden r correspondientes a la aplicacin . b) Nucr y Imr por ser subespacios vectoriales de tensores de orden r tienen por dimensin mxima nr. que es la dimensin 12

del total espacio de tensores de orden r. c) Como para toda aplicacin lineal, cuando los productos contractos de por los tensores de un conjunto {i} son un }. conjunto independiente, tambin lo es {i d) La suma de dimensiones de Nucr y Ims-r cada uno en su subespacio es nr. Efectivamente: Si dim Nucr = nr, o sea todo el espacio, ser nulo , as como la dimensin de su imagen. Si dim Nucr = p3. 5.09.- Norma de un tensor totalmente antisimtrico no nulo de orden q (q igual o menor que la dimensin n del espacio E fundamental).

La expresin de en bases {ei} y {ei} duales, es = tij..r(e e ..e ) = t(ij..r)e i j r (ij..r) = t (eiej..er) = t (ij..r) ij..r (ij..r)eTeniendo en cuenta lo dicho en '1.01, y que hay q! productos iguales tij..rtij..r para cada coeficiente estricto, se verificar: (10) y por lo tanto: (11)(ij..r) = tij..rt t(ij..r) ij..r = q! t

e(ij..r)e(ij..r) = q!En los textos de lgebra exterior se define en general 25

como norma especial para estos tensores, el valor t(ij..r)t(ij..r) mientras que aqu hemos conservado el concepto general. 5.10.- Sea un tensor totalmente antisimtrico cualquiera de orden s, y sean q vectores a,b,..,r, con qs. De acuerdo con (8) y '5.01-2, se verifica: (12)

1 1 (ab..r) = [pPp(ab..r) - pIp(ab..r)]= q! q! = (ab..r) E n-dimensional, y el . En virtud de '5.08ei escribir:

5.11.- Sea {ei} una base de conjunto de n vectores {vj} tales que vi= 6 habr un nico componente y podremos(13)

= v v ..v = e e ..e = (Det{t i})e 1 2 n 1 2 n j (12..n)

Si el conjunto hubiera sido de solamente q1), se verifica:

v v v v ei1 = e22 = ... = ess = sV; eii = sV siendo V el tensor volumen del politopo, sea:r sV =

1 r r r e1 e2 ... es (s-1)!

Pues se verifica:r r 1 r r r r r 0 s-2 v e11 = e1 ( s-2 es e2 e3 ... es-1 = (1) 1) sV = (1) sV (s-1)! r r 1 r r r r r 1 s-2 v e22 = e2 ( s-3 e1 es e3 ... es-1 = (1) 1) sV = (1) sV (s-1)!

y as sucesivamente.

Por otra parte, una vez descompuesto sVen sumandos productos tensoriales, tendremos que los que empiezan por e1 son 1, los que empiezan por e son los de e 2, y as v los de e1 v 2 2 sucesivamente. En cuanto al signo, tendrn el mismo que los122

v v sumandos correspondientes de las expresiones ei1, e22, que hemos visto en el ltimo prrafo. Llegamos de esta manera al siguiente resultado:

1

s

v v (e11) = eii = sV

2.05.- TEOREMA 3. Dado el politopo anterior, sea para cada cara un producto tensorial, el primero de cuyos factores es el vector de posicin de su centro y el segundo su tensor volumen. El sumatorio de estos productos es igual al tensor volumen del politopo, y el resultado no vara con el origen adoptado para los vectores de posicin. Adoptando primeramente como origen un vrtice, consideremos a un (s+1)-topo de una variedad lineal s dimensional, generado por s vectores independientes {ei}, y sea i r el vector de posicin del centro de la cara opuesta a ei de tensor volumen i. En cuanto a la base supongamos que r es el v su tensor volumen. Podremos vector de posicin de su centro y v escribir:

r 1r r 1r r r ei ri r r r r r r ri r r ( ri +r = (r- ) +r = r + i) - (ei i) = - (ei i) s s s v puesto que la suma de tensores volumen es nula.Pero acabamos de ver que para cualquier valor de i, v eii = sV y sustituyendo se tendr: v v (27) r i + r = Vi

Tomando en vez de O, otro punto O de referencia con OO=a los nuevos vectores de posicin de los centros seran:

r'i = ri + a;y por lo tanto:

r' = r + a

v v v r'ii + r' = (ri+a)i + (r+a)i = v v v v v = rii + r + a[i+] = rii + r v vy obtenemos el mismo resultado. 2.06.- Superficie polidrica cerrada. En un espacio puntual n-dimensional, denominaremos superficie polidrica cerrada de s dimensiones, para s1, de elementos de volumen dV, que entre los tres, forman una variedad cerrada frontera de un cuerpo (m+1)-dimensional.

2 2 1 A 1

A

Uno de los segmentos A, es tubular, limitado a la vez por dos variedades cerradas 1 y 2, (m-1)-dimensionales. De los otros dos, uno (el 1) est limitado por la variedad 1 y el otro por la variedad 2. En virtud del prrafo adecuadamente, se verificar: anterior y si integramos

(=):

A

r r dV =

2

r r dV

1

r r dV

Designando por flujo de a travs de V, a las integrales VdV, podremos escribir:

132

(40)

r r A = ( )dV = 2 - 1 = A

2 1

d

Podemos observar que la operacin que acabamos de describir, es anloga a la integracin ordinaria, aunque ahora los trminos no se refieren a aplicaciones puntuales sino a aplicaciones a variedades cerradas tal como 1 y 2, de dimensin inferior a la de V en una unidad. Aqu, el valor de cada trmino no vara si conservamos las fronteras 1 y 2 aunque cambien los segmentos. Pues cambiando, por ejemplo, el segmento 1 por otro 1 cualquiera pero con igual frontera, y sin cambiar los otros dos, tendremos:0 = 2-1- A = 2- 1- A 1 = 1

Esta integracin, que para A corresponder a segmentos infinitesimales de tubo, slo se puede aplicar a cuerpos lineales (m=1), admitiendo que una lnea es un cuerpo, cuya frontera son dos puntos extremos y que los puntos son variedades cerradas de dimensin 0. Este caso lmite coincide entonces con la integracin ordinaria. 5.05.- Frmula de Ostrogradski, que relaciona una integral abierta de volumen de un cuerpo n-dimensional, con una v r r integral cerrada de vector superficie ds correspondiente a su frontera (n-1)-dimensional, de esta manera: (41) Recordaremos r escalar dV

(=I[]=):

ds

r r

=

V

r dV

Sabemos que todo tensor es aplicable al primer miembro, hacerlo con cualquier tensor en caso de que se pueda expresar en V

continuo y diferenciable en V mientras que no es posible el 2 miembro ms que en el por = para algn tensor . A todo (),tensor integrable = corresponde orden. el tensor idntico de 2 siempre un =I tensor siendo I

Si a un tensor determinado corresponde un tensor , evidentemente tambin corresponder otro tensor cualquiera mientras cumpla la condicin =, sea que verifique: (-) = 0 5.06,- En caso de un campo tensorial que verifique el uniformemente ==0 en todos los puntos del interior de un cuerpo, la ecuacin (41) se transforma en la siguiente:

133

ds

v r

r = 0

En el supuesto de un campo as, sean 3 segmentos de superficie contnua (n-1)-dimensional de elementos vectoriales ds, que entre los tres, forman una superficie frontera de un cuerpo.

2

1

A

Uno de los segmentos A es tubular, limitado a la vez por dos variedades cerradas 1 y 2, (n-2)-dimensionales. De los otros el 1 est limitado por la variedad 1 y el otro por la variedad 2. En virtud de la ltima adecuadamente, se verificar: frmula, y si integramos

(=0):

A

r r ds =

2

r r ds

1

r r ds

Designando por flujo de a travs de s, a las integrales sds, podremos escribir: (42)

A =

r r ds = 2 - 1 = A

2 1

d

En la operacin de integracin que acabamos de describir, los trminos se refieren a variedades cerradas tales como 1 y 2. Pues cambiando, por ejemplo, el segmento 1 por otro 1 cualquiera pero con igual frontera, y sin cambiar los otros dos, tendremos:

0 = 2- 1- A = 2 - 1- A

1 = 1

Esta integracin para A, corresponder a segmentos infinitesimales de tubo.

134

C.- INTEGRALES Y CAMPOS PARTICULARES.

1.- Integrales de volumen relativas a rr-n.1.01.- Generalidades. Salvo aviso en contra, nos referiremos siempre a un espacio puntual afn euclidiano n-dimensional. Para una magnitud determinada, consideraremos que el campo de los tensores integrales es el de los puntos de referencia respectivamente adoptados como origen de r, para el clculo de cada tensor integral. 1.02.- Angulos slidos. Sean un punto A que tomamos como origen, y un segmento de superficie (n-1)-dimensional dada. El ngulo slido d elemental con que desde A se ve un elemento de superficie de expresin vectorial ds, cuando ds1 es sobre su vector r de posicin, es: la proyeccin de ds

d = dsrr-n = (dsrr-1)r-(n-1) = ds1r-(n-1)y el ltimo miembro es la expresin habitual de d. Para todo el segmento de superficie tendremos:

=

S

rr dsrr n

Habiendo visto en A'7.04, que (rr-n)=0 para todo punto 0, sabemos por Ostrogradski (41), que siempre que se con r integre en una superficie cerrada en cuyo interior no se halla el punto singular r=0, la integral es nula.-1 -(n-1) = Vr-n, Denominando kn a la constante Sn r correspondiente a toda esfera, cualesquiera que sean su radio r, su superficie (n-1)-dimensional S y su volumen V, es fcil hallar el valor de al integrar en una superficie cerrada y (n-1)dimensional. El resultado es el siguiente:

a) Punto exterior: e = 0 b) Punto interior: i = nkn = Sr-(n-1) = nVr-n Para valores 3 y 2 de n, tendremos: 4 (n=3): ; i = 4 kn = 3 (n=2): kn = ; i = 2

135

1.03.esfrica.

Integral

=S[ds

rr-n]

en

una

superficie

Sea en un espacio puntual afn n-dimensional una superficie esfrica (n-1)-dimensional de radio R, centro O y escalar volumen S. Sea tambin el vector ds la expresin del elemento de superficie correspondiente al punto N. Dado un punto A cualquiera del espacio, queda determinado en la recta OA un segundo punto A, tal que se verifique OAOA = R2 Esta propiedad es recproca, y al punto A corresponde a su vez el punto A. Es fcil ver tambin que si uno de los puntos es exterior a la esfera, el otro es interior.

N

r

r

O

A

c c

A

Si nos referimos al plano bidimensional determinado por los puntos A,O,N y que por tanto tambin contiene a A, que hemos representado en la figura, y establecemos: r=AN; r= AN veremos que son semejantes los tringulos OAN y OAN, con lo que son iguales los dos ngulos sealados con as como los dos ngulos sealados con y designando por c al vector A y por c O , tambin podremos escribir: al vector AO

r c R c c = = ; r = r; r = r r R c R R1.04.- Tanto si adoptamos un origen exterior a la esfera como un origen interior, el vector integral buscado, tendr, por razn de simetra, la direccin AAO. Por lo tanto, el mdulo del mismo no variar si sustitumos cada sumando elemental de su expresin por su proyeccin en tal direccin. 136

Sustituyendo adems los valores hallados para r r en el prrafo anterior, en caso de origen A exterior podremos escribir:

=

[ds rr

n

cos ] = [ds r (n 1)cos ] =

= [ds cos

c-(n-1) -(n-1) c-(n-1) r ] = -(n-1) [ds cos r -(n-1) ] R-(n-1) R

Anlogamente tomando A' interior como origen resulta:

=

c -(n-1) [ds cos r-(n-1) ] - 1) (nR

Pero por una propiedad elemental del producto escalar, se verifica: rds cos = rds; r ds cos = rds y sustituyendo estos valores queda:

=

r c-(n-1) [(rds)r -n] ; - 1) (nR

=

c -(n-1) r [(rds)r-n] - 1) (nR

Las dos integrales que aqu figuran, hemos visto en '1.01, que son las expresiones de los ngulos slidos con que se ve la superficie esfrica de volumen escalar S desde los puntos A' y A respectivamente. Sabemos tambin por '1.01, que el correspondiente al punto A exterior es nulo y que el correspondiente al punto A' interior es el cociente de S dividido por R(n-1). Resulta pues:

= 0;y queda finalmente: (43) (44) Punto interior: Punto exterior:

=

c-(n-1) S = Sc-(n-1) - 1) (n-1) (nR R

= 0; -n = Scc

1.05.- Integral D =

[dVrr-n] en una esfera.

Consideremos una esfera de centro O y volumen V, como un conjunto de esferas huecas concntricas diferenciales de radio , superficie S, espesor d y volumen dV = Sd = dSds. Hay en los puntos de la esfera, un campo escalar uniforme. Cada esfera hueca contribuye a D con el valor:

dD =

S

dVrr-n = d

S

ds rr-n = d137

y podremos despreciar el efecto de la esfera hueca superficial. Caso 1.- Origen A exterior a la esfera. dD = d Scc-n = dV cc-n; D = Vcc-n siendo c=AO. Caso 2.- Origen A interior a la esfera. El conjunto de esferas huecas diferenciales que encierran al origen producen un D nulo, ya que para cada una de ellas resulta =0. Slo habr que considerar pues, el conjunto de las que no encierran el origen y forman una esfera de radio R=c y volumen V, con el punto en su superficie. Tendremos: D = Vcc-n Como Vc-n es una constante escalar que solo depende de n, y que en '1.02 hemos representado por kn, la ecuacin final ser: (kn=Vc-n): D = knc siendo c=AO.

El valor de D no depende del radio de la esfera sino solamente de la posicin de su centro.Siendo A un punto singular de la funcin integral que estudiamos, para el caso de que A sea el centro de la esfera, tomaremos como valor de D correspondiente a A, el valor lmite nulo de la expresin anterior al tender c a cero.

4 En un espacio tridimensional: k3= 3

138

1.06.- Tensor = l(dlrr-n). Vamos a ver a continuacin el valor que adquiere este tensor integral cuando la integracin se refiere a determinadas lneas y determinados puntos origen. 1.07.- Lnea recta ilimitada con origen exterior.

lN A

dl

m

a d

r

Sea en la variedad bidimensional determinada por la recta y el origen P exterior, A un punto cualquiera de la recta con PA=r, y N el pi de la perpendicular por P a la recta, con =a Tendremos a no nulo. PN . Estableciendo NA=l, tendremos r=a+l y llamando m al versor de dl, podremos escribir: d = dl(rr-n) = dl[(a+l)r-n = [dla]r-n = [ma][dl r-n] pero se verifica:

dl =

rd a ; r = cos cos

dl =

a d ; r-n = a-n cosn 2 cos

Sustituyendo, tendremos:-n -(n-1) cos(n-2) d (dl r ) = a

con lo que al integrar para toda la recta resulta: (Ver Apndice) n =

+

2

0

cosn-2d =+

nkn : 2(n-1) n-1 k

(45)

r r = (m a)a n(1)

cos

2

n 2

r r d = (m a)a (n 1)2 n

2

139

En el caso de n=3 tenemos 3=1 y resultara: (46)r r = 2a-2(ma) = 2(mxa) a2

1.08.- Lnea cualquiera con origen P exterior y a=NP infinitamente pequeo.Si la lnea es recta, es aplicable la frmula (45). Pero ahora la integral que en ella figura, cuyos lmites para toda recta ilimitada corresponden a puntos del infinito, difiere infinitamente poco de la que se obtiene tomando como lmites los valores correspondientes a dos valores de l finitos y opuestos. As pues, a los efectos de aplicacin de la frmula (45), la totalidad de la lnea recta es equivalente a un segmento cualquiera de la misma que conteniendo a N sea de longitud finita tan pequea como se quiera. Por tanto el valor de l[dl(rr-n)] en una lnea contnua cualquiera, tomando como origen un punto P infinitamente prximo, sea con a=PN infinitesimal, no vara al sustituir la lnea por su tangente en N o bien por cualquier segmento finito de esta tangente que contenga a N. 1.09.- Integracin en superficie cilndrica. Consideraremos la interseccin de un cilindro recto con un plano variedad lineal (n-1)-dimensional, que sea ortogonal a su eje y que contenga al origen P, y nos limitaremos a estudiar el caso de que el cilindro sea de revolucin, es decir, que la interseccin mencionada sea una esfera (n-1)-dimensional con su centro O en la interseccin del plano con el eje del cilindro. La interseccin de la superficie cilndrica con tal plano es por tanto la superficie (n-2)-dimensional S de la esfera. Como para aplicar (45) a cada generatriz podemos considerar comn un versor m, y que slo vara el vector a correspondiente, podemos escribir para cada una de ellas:

= m[ (dlrr-n)] = 2 (ma)a-(n-1) = 2 m[aa-(n-1)] n n l

El pi N de la normal desde el origen a cada generatriz de la superficie del cilindro, es un punto superficial de la esfera interseccin entre plano secante y cilindro y corresponde a un elemento diferencial ds de su superficie escalar Se. 1.10.- Teniendo en cuenta cada ds, e integrando en S para toda la superficie cilndrica, podremos escribir:

= S

S

ds = m{ ds[ S

l

(rr-ndl)]} = 2nm[ (dsaa-(n-1))]S

140

y sustituyendo la integral del ltimo miembro por tal como vimos en '1.05 2, quedar: = 2 m (47) S n De acuerdo con los valores de indicados en '1.03, resulta finalmente: = 0 (48) a) Punto interior: S(49) b) Punto exterior:

= 2 mS cc-(n-1) S n e

siendo aqu c el vector de posicin del centro de la esfera respecto al origen.Por consiguiente, en el caso de punto exterior a un cilindro de revolucin, el conjunto de generatrices con factor ds equivale a una sola lnea recta axial con un factor Se= ds . 1.11.- Integrales de volumen en un cilindro de seccin esfrica. En un espacio puntual n-dimensional, consideraremos un cilindro de revolucin, como un conjunto de tubos diferenciales de revolucin coaxiales, de radio , y espesor d. A este conjunto corresponde un conjunto intersecciones con un plano ortogonal al eje que contenga origen, que son las esferas huecas concntricas diferenciales centro O, con iguales radio y espesor d, consideradas '1.05, y por tanto podremos establecer: (50) V = de al de en

d = m[ s

S

l

(rr-ndldsd)]= 2nm d = 2nmD1

siendo D1 el valor en el origen del campo D creado por las esferas en el plano secante, y definido en '1.05, cuando =1.Conforme a lo explicado en '1.05, y teniendo en cuenta que el plano es (n-1)-dimensional y que las superficies esfricas son (n-2)-dimensionales, tendremos ahora: a) Origen exterior al cilindro: (51)

= 2 mVcc-(n-1) V n

siendo V el volumen escalar de toda la esfera, y c el vector de posicin del centro de la esfera.Por consiguiente, en este caso, el conjunto de tubos con factor Sed equivale a un cilindro con factor V= Sed. b) Origen interior al cilindro:

141

(52)

= 2 mVcc-(n-1) = 2 m(k c) V n n n-1

siendo V el volumen escalar de la esfera (n-1)-dimensional en cuya superficie se halla el origen, c el radio vector de posicin del centro de la esfera, y kn-1=V'c-(n-1) una constante escalar que slo depende de n. Del mismo modo que es nulo para los puntos interiores a una superficie, ahora es nulo v para los puntos interiores de un tubo. Por consiguiente un cilindro de revolucin de radio R, para el clculo de V en un punto de su interior a distancia r del eje, equivale a otro cilindro coaxial de revolucin con un radio r=c, siempre que se pueda despreciar el cilindro hueco correspondiente a su superficie. Para n=3 la dimensin de la esfera de interseccin es 2 y tenemos kn-1=. 1.12.- Representemos por H a la siguiente integral de volumen de un cilindro recto de revolucin: (53)

H =

S

l

(rr-ndldsd)

Por (50) podremos escribir: = mH = 2 mD V n 1

y como m es una direccin cualquiera: (54) H = 2 Dn 1

1.13.- Cuando no se trata de un cilindro recto, sino de un cuerpo filiforme de grueso infinitesimal variable no, y la seccin ortogonal por el origen P es esfrica de centro O, y adems se tiene que c=PO es infinitesimal, seguir vlida la ecuacin (52). A los efectos de integracin, la totalidad del cuerpo filiforme es ahora equivalente a un segmento finito del cuerpo tangente por 0 al dado, y que conteniendo a los puntos de tangencia, sea tan pequeo como se quiera. Por lo tanto, si se trata de determinar V en un punto del interior de un cuerpo filiforme de seccin esfrica infinitesimal y a una distancia r del eje, este cuerpo equivaldr a un cilindro recto tangente por el mismo punto de radio r.

142

2.- Valor de D para cualquier cuerpo.2.01.- Generalidades. Sea como ejemplo. un tensor aplicado al punto A, expresable por:

(r=-r):

=

V

(rr-n)d =

V

(rr-n)d

en que V es un cuerpo m-dimensional, d una funcin de dV infinitesimal, el valor de una magnitud de punto determinada correspondiente a un punto N de cada dV, r=AN y r'=NA=-r. Para calcular (, , etc.), tambin en A, tendremos en cuenta:a) Lo dicho en '2.01 b) sobre el vector de posicin a que se ha de referir , y que ahora resulta ser r. b) Que y d no se hallan aplicados al punto A, y por tanto no se refiere a ni a d. Si el punto A eventualmente pertenece a V, consideraremos dos segmentos de V, V2 muy pequeo al que A pertenece y V1 resto de V al que no pertenece A (V=V1+V2), y, en vez de la integral dada, utilizaremos la suma de una integral correspondiente a V1 y otra eventual correspondiente a V2 que contiene al origen, supuesto nico punto singular. Ahora nos limitaremos a considerar la integral en V1, en el supuesto de que sea finita y con todos los sumandos variables en forma contnua con r. Por lo tanto, la derivada de esta integral es igual a la integral de las derivadas de cada sumando. Para ella podremos escribir: (55)

r rr = - [ {(rr-n)d}]v1

que para escalar queda as:r r = - rr-nd)] [ (V1

-n 2.02.- Clculo de D=Vrr dV.Efectuaremos el clculo suponiendo que es escalar, V un cuerpo n-dimensional cualquiera y d=dV. Por lo tanto. para V1 podremos escribir:r r D1 = - dV rr-n) = 0 (V1

y en consecuencia, si el punto es interior a V tendremos: 143

r r r D = D2 = - rr-ndVV2

Podemos adoptar para V2, suficientemente pequeo para que en l uniforme y por tanto nos permita sacarlo Admitimos que a la integral que queda, puede de Ostrogradski, y al hacerlo as tenemos:

cualquier volumen se pueda considerar del signo integral. aplicarse el teorema

r r r r D = - ( rr-n])dV = - rr-n ds = rr-n ds [ V S S2 2 2

El valor de la integral es independiente de la forma y posicin de V2 y coincide con el del ngulo slido correspondiente a una superficie cerrada desde un punto interior, cuyo valor sabemos que es nkn. Por consiguiente tendremos finalmente para V2, cuando existe: D = nk2 n

Por lo tanto, considerando =0 en todos los puntos exteriores a V, en cualquier caso se verificar: D = nkn

para los valores de D y referidos al punto A.2.03.- Tambin hubisemos podido obtener este resultado a partir de la frmula de '1.05 caso 2: D = k cn

al multiplicar miembro a miembro por , y cambiando para ello c =-c: por c D = -knc y como c=n, al pasar nuevamente al origen A queda: D = knn 2.04.- En consecuencia de lo visto sobre D podemos correspondiente a un punto A de la expresar el valor de D siguiente manera: (t =rr-n): D = t dVAi A V Ai i i

teniendo en cuenta que en el sumatorio, tAi acta como ti pues el est en dV , pero respecto a acta como t pues es extremo de r i = k n.A un vector localizado en A, y de esta manera DA A n

144

3.- Campos solenoidales. 3.01.Refirindonos a espacios puntuales ndimensionales, llamaremos campos solenoidales a los campos vectoriales v no uniformes que verifican v=0 en todos los puntos no singulares.

Cuando v es un campo solenoidal y por tanto v=0, de acuerdo con lo que vimos en B'5.06, la frmula (41) de Ostrogradski queda reducida a la siguiente:(56)

vds

r

= 0

3.02.- Lneas y tubos de campo.

Llamamos lnea de campo en un campo vectorial v a toda en cada uno de sus puntos lnea del espacio tal que el valor de v es tangente a la lnea. Y llamamos tubo de campo a toda superficie tubular (n-1)-dimensional que contiene a las lneas de campo de cada uno de sus puntos.3.03.- Tubos de campo.

Sea en un campo solenoidal S un tubo de campo de superficie (n-1)-dimensional y en cuyo interior no hay puntos singulares.Considerando una superficie cerrada (n-1)-dimensional, compuesta por un segmento de tubo limitado por dos secciones transversales, que denominaremos 1 y 2, sabemos por (56) que se verifica:

r Sds = 0 y como en todos los puntos de la superficie tubular se verifica por hiptesis: Sds = 0 la ecuacin anterior implica para los lmites 1 y 2 la igualdad: (57)

1

r S ds =

2

r Sds

cualesquiera que sean las secciones del tubo elegidas como lmites, y siempre bajo el supuesto de realizar la integracin en el sentido adecuado. La ltima ecuacin se puede expresar as: i1 = i2 = i

y decimos que los flujos de un campo solenoidal S que atraviesan145

dos secciones cualesquiera de un tubo de campo, son iguales. En cuanto al flujo que atraviesa la pared tubular, ya hemos dicho que es nulo. 3.04.- Tubo elemental. Llamaremos as a todo tubo de campo de un campo _ solenoidal S cuando sus secciones planas (n-1)-dimensionales ds son infinitesimales y por tanto su flujo caracterstico d, que Ss designaremos por di, tambin es infinitesimal. El tubo de campo corresponde ahora a una lnea y admitiremos que los vectores S en cada punto de una seccin infinitesimal del tubo por un punto dado, son todos iguales y con la misma orientacin y sentido que el elemento l de la lnea, en d el punto correspondiente de ella.

Tambin tendremos que en un punto con seccin ds, y seccin recta escalar ds1, a una longitud dl de tubo corresponder un segmento de tubo de volumen: dV = dlds = dl.ds1 Podemos escribir S=kdl (k escalar) y por tanto: di = Sds= kdlds = kdV (58)

k =

di dV

_ y como S y dl tienen el versor m comn, si ds1 es el escalar de la seccin ortogonal, podremos escribir: (59) di m = Sds1

r di S = dl dV SdV = di dl

3.05.- Hiptesis de trabajo en un campo solenoidal. Sea en un campo solenoidal el dominio en que no es S S nulo. Segn un mtodo de clculo habitual consideraremos su espacio como constitudo por un conjunto infinito de elementos diferenciales dV (volumen escalar), cada uno con el vector S correspondiente a su punto representativo. A partir de ahora y siempre que sea posible, tambin admitiremos el espacio del dominio en cuestin como constitudo por un conjunto infinito de tubos elementales, cada uno con un flujo di, y una lnea representativa correspondiente a cualquiera de sus puntos. La ecuacin (58) antes obtenida, se podr utilizar en 146

el clculo, en caso de variar el concepto de conjunto adoptado. Para el dominio en que di0, siempre podremos considerar que la distribucin del espacio en tubos elementales es tal, que un punto determinado del dominio, es exterior a todos los tubos excepto a un nico tubo en que est contenido. Adems, siempre podemos condicionar la distribucin de manera que el tubo en que est contenido el punto tenga una seccin ortogonal por el punto que sea una esfera. Llamaremos R a su radio y ds1 a su volumen escalar. 3.06.- Si es un tensor cualquiera, tendremos pues:

V

SdV =

i

di

l

dl

El primer miembro se refiere a un conjunto de elementos de volumen, y el segundo al conjunto de lneas correspondientes a cada tubo elemental de S de flujo di. Para integrable, tendremos que para cada tubo cerrado dl, y por tanto, si son cerrados todos los tubos es nulo l elementales, sern nulos los dos miembros de la ltima ecuacin. Por consiguiente, para igual al tensor I de la aplicacin idntica, que es integrable, para el conjunto de tubos elementales cerrados, y para un conjunto cualquiera de tubos cerrados tendremos:

V

SdV = 0

3.07.- Ejemplo para = rr-n.

Sabemos por (20) que rr-n es integrable y por tanto, al integrar en cualquier lnea cerrada, se verificar:(60)

rr

r

n

dl = 0

Si la lnea no es cerrada sino abierta con uno dos puntos en el infinito, tambin ocurrir lo mismo, pues para sus extremos tendremos r1=r2= y como por (20) podremos escribir:

se verifica:

2 1

rr-n dl = -(n-2)-1

2 1

r-(n-2)dr

2 1

r-(n-2)dr = r2-(n-2) - r1-(n-2) = 0

con lo que tambin tendremos:

147

2 1

rr-ndl = 0

Para cualquier tubo del campo de un vector solenoidal S y eligiendo una lnea representativa que no contenga al origen,las dos integraciones equivalentes que siguen son pues siempre de valor nulo:

V

Srr-ndV

=

i

di

l

rr-ndl= 0

3.08.- Campo tensorial .

Para todo campo solenoidal S, las dos integraciones siguientes relativas a un tubo de su campo, en virtud de (58) son equivalentes:(61)

V

(Srr-n)dV

=

i

di

(dlrrl

-n

)

=

A cada tubo elemental, de flujo di, corresponder un valor: (62) d = di

l

(dlrr-n)

que obtendremos considerando a di una constante del tubo e integrando a lo largo de la lnea correspondiente al mismo. Bastar considerar los tubos con S di no nulos. El tensor ser pues el sumatorio de los valores de , por cada tubo del conjunto de tubos elementales que forman d el cuerpo considerado, que siempre ser un tubo de campo de S.

En general, tanto d como variarn segn el punto A elegido como origen de los vectores de posicin y definiremos su campo, asignando a cada punto del espacio los valores de d y de que resultan al tomarlo como origen. 3.09.- Cuando la lnea correspondiente a un tubo elemental sea una lnea recta y el origen A no est en el tubo, por (45) podremos tambin escribir: (63)

d = di 2n(ma) a-(n-1)

con los significados descritos en '1.07. 3.10.- Otra expresin de [dl(rr-n)]. Para un tubo elemental dl, por lgebra tensorial podemos escribir: [dlrr-n] = (dlrr-n) - (rr-ndl) = (dl)(rr-n) - [(rr-n)]dl

148

pero se verifica:

(dl)(rr-n) = [(rr-n)]dl [(rr-n)]dl = 0Y al sustituir estos dos resultados, queda: [dl(rr-n)] = [(rr-n)]dl = [dl(rr-n)]

(64)

3.11.- Clculo de .Sea un punto origen A y el total tiles ( sea con di no nulo), que dan considerar este total, como un conjunto de y 2, tales que el tubo 1 es exterior a A punto A en su interior. de tubos de campo de S lugar a , y vamos a dos tubos de campo 1 y el tubo 2 tiene al

El tubo 1, que no contiene a A, originar una parte 1 y por tanto de . Cada tubo elemental componente, de los de cuales ninguno contiene a A, genera una parte d de y tendremos = d que 1 1 El tubo 2, con A en su interior, dar lugar a un integral 2 tal que =1+2 y que 1+2=. Siempre se elegir 1 y 2 de manera que un tramo de 2 que contenga a A, suficientemente pequeo, para que, en sus puntos, se considerar una distribucin uniforme de S. 3.12.- a) Punto exterior a un tubo de campo. Pudiendo considerar 1d diferenciable, no hay inconveniente en operar directamente sobre cada d de la siguiente manera: tensor podrn sea lo pueda

d = l

l

d

y teniendo en cuenta el vector r=-r de posicin adecuado a la utilizacin de ('2.01), usaremos, para cada tubo elemental, las ecuaciones (62) y (64): d = di

l

(dlrr-n) = di

l

[(dlrr-n)] = di

l

[(rr-n)dl]

Como rr-n tiene integral, y sta es rr-n, al integrar entre los extremos 1 y 2 de la lnea representativa, si sta es ilimitada, resulta que tanto si la lnea es cerrada (1 y 2 coincidentes), como si es abierta (r1=r2=), se verifica: d = di([rr-n]2 - [rr-n]1) = 0 y como es nulo el verificar tambin: resultado para cada tubo elemental, se

149

1=0.3.13.- b) Punto interior a un tubo de campo. Tendremos que para un nico tubo 2 de espesor despreciable, bastar considerar un tramo que contenga a A, de longitud que tiende a 0 y que admitimos con S uniforme:

2 = -

(S rrV

-n

)dV = -

(S rr2

-n

)dV

Aplicaremos Ostrogradski, para lo cual adems de cambiar la integracin de volumen por la de superficie, bastar _ sustituir (dV) por ds, obtenemos:

2 = -

(S rrS

-n

)ds

Sustituyendo el producto exterior:

2 = -

(S rrS S

-n

)ds -n

+ +

([rrS

-n

]S)ds =

= -

(Sds)rr

S(rrS

n-1

ds)

Observaremos que el primer sumando es nulo por serlo (Sds) ya que en todo tubo de S, los vectores S y ds son ortogonales, y que en cuanto al segundo, podemos sacar S constante fuera del signo integral. Queda en conjunto:

= S

rrS

-n

ds= -S(nkn)

puesto que en el segundo miembro, el factor de resulta ser, con S signo cambiado (pues se refiere a r), el ngulo slido desde el interior del tubo elemental que conocemos por '1,02. 3.14.- c) Resumen. De todo lo que acabamos de ver, resulta que cualquiera que sea el punto del espacio donde se halle situado el origen A, se verifica: (65) = -nk Sn

siendo S el valor del campo en el consideraremos nulo en donde no exista.

origen

A,

campo

que

Aplicacin a un espacio tridimensional.

4 n = 3; kn = 3 : 150

r r = -4S

3.15.- El resultado de (65), tambin podramos haberlo deducido de la frmula (52) relativa al valor V de un cilindro de revolucin infinitamente largo, tomando un origen interior A, y siendo el vector =c la proyeccin ortogonal de A sobre el eje AO del cilindro. Habindose definido y V por las ecuaciones (61) y (50) respectivamente, vemos al examinar su aplicacin a un mismo cuerpo desde un mismo origen, que slo se diferencian en que (61) utiliza SdV donde (50) utiliza dlds, entre cuyas cantidades existir por tanto, la misma relacin que entre V y . = S SdV = Smdlds = S(dlds) V Efectivamente, vanos a hallar partiendo de (56) que es una ecuacin deducida de la (52). = S = 2 mk c = 2 k (Sc) V n n-1 n n-1 Multiplicando miembro a miembro por , y cambiando para ello c por c=-c, escribiremos: = -2nkn-1(S c) Calcularemos (S c'): (S c) = (S c) - (c S) = S(c) - (c)S

y teniendo en cuenta que c=I (tensor idntico) y que c=n: (S c) = S - nS = -(n-1)S y sustituyendo en la anterior expresin de , despus de cambiar otra vez de signo con la referencia, queda finalmente: = -2 k (n-1)Sn n-1

y como se puede comprobar operando con las constantes: 2nkn-1(n-1) = nkn el resultado coincide con (65).

151

4.- Campos irrotacionales, 4.01.- En un espacio puntual n-dimensional, llamaremos campo irrotacional a todo campo vectorial w no uniforme que =0 ( sea w simtrico) en todos los puntos no verifica w singulares.

Vamos a ver que un campo vectorial w ser irrotacional es integrable, es decir, si existe un escalar U si y slo si w integral de w, sea tal que w=U. Pues por A'5.03 sabemos que w es integrable si y slo es simtrico, sea w=0. si w Por ser integrable cualquier campo irrotacional w, corresponder a la derivada de una aplicacin diferenciable, y por consiguiente, siempre se verificar:(66)

wdl = 0

Recordaremos que si U es integral de w tambin lo ser U' si y slo si se diferencia de U en un escalar uniforme.4.02.- Superficies equipotenciales.

En un campo w irrotacional, llamamos superficie equipotencial correspondiente a un punto A, al l.g. de los puntos P equipotenciales a A , llamando as a los que verifican:

P A

wdl

= 0

A cada elemento infinitesimal de una superficie equipotencial, corresponder un vector superficie ds aplicado a cualquier punto del elemento. Este vector ser ortogonal a la superficie y por tanto, de igual direccin y sentido que el vector w correspondiente al punto. As pues, en cada punto representativo A, para algn escalar k se verificar: _ w = kds Slo en caso de que A pertenezca a un cuerpo nel dimensional con w=0 en todos sus puntos el l.g. de los puntos equipotenciales con A no ser una superficie, sino que contendr a dicho cuerpo. 4.03.- Capas equipotenciales, Designaremos como capa equipotencial al espacio comprendido entre dos superficies equipotenciales, que por lo 152

tanto constituirn su frontera. 4.04.- Sea en una capa equipotencial un circuito lineal cerrado que conste de cuatro segmentos, uno en la superficie que sealaremos con 1, otro en la otra superficie sealada con 2, y los dos restantes que enlacen los extremos de los segmentos anteriores, y que por tanto enlazarn las superficies 1 y 2 una con otra. Teniendo en cuenta (66), y que en consecuencia las integrales parciales correspondientes a los trayectos sobre igual superficie equipotencial son nulas, para los trayectos entre las superficies 1 y 2, cualesquiera que stos sean, tendremos un solo valor:

2 1

wdl

= U2 - U1 = constante

4.05.- Capa elemental. Llamaremos capa elemental a la que tiene por frontera dos superficies equipotenciales infinitamente prximas entre s. Para esta capa, y para dos puntos infinitamente prximos uno de cada superficie la ecuacin anterior tomar la forma: wdl = dU habiendo llamado dU diferencial infinitamente pequea entre U2 y U1. de U, a la diferencia

Una capa elemental equipotencial corresponde ahora a una superficie (n-1)-dimensional y a un espesor infinitesimal variable, y admitiremos que los vectores w son iguales en todos los puntos del trayecto l y que lo mismo ocurre con los vectores d infinitesimales ds de superficie limitados por un mismo tubo de fuerza. Podremos considerar pues como elemento infinitesimal de volumen de la capa, a su vez de infinitesimal, en el entorno de un punto A a: dV = ds dl parcial volumen

De esta manera, para cada punto de _ una superficie equipotencial, resulta w de igual direccin que ds y: w=kds dU = wdl = k dsdl

k =(67)

dU dV

dU r r w = ds dV

wdV = dUds 153

Como w y ds para cada punto tienen el versor m comn, si dl1 es all la distancia ortogonal entre superficies, tambin se verifica en el punto:(68)

mdU = wdl14.06.- Hiptesis de trabajo en campo irrotacional. Sea, en un campo irrotacional , el dominio en que no w w

es nulo. Con el mtodo de clculo habitual consideraremos su espacio como constitudo por un conjunto infinito de elementos diferenciales dV (volumen escalar) con el vector w que corresponde a su punto representativo. A partir de ahora, podremos admitir tambin, que el espacio del dominio en cuestin est constitudo por un conjunto infinito de capas elementales, caracterizadas cada una por una superficie (n-1)-dimensional representativa correspondiente a uno de sus puntos, y una diferencia dU. En caso de variar la hiptesis utilizada, utilizaremos como frmula de sustitucin, la (67). Para el dominio V en que w0, siempre podremos considerar que la distribucin del espacio en capas elementales es tal, que un punto determinado del dominio no pertenece ms que a una nica capa elemental. Integrando (67) para una sola capa elemental cerrada, tendremos:

V

wdV = dU

S

_ ds = 0

y por tanto, para todo conjunto de capas cerradas, se verifica: (69)

V

wdV = 0

4.07.- Aplicacin a capas cerradas.

En general, si es un tensor cualquiera podremosescribir: (70)

V

wdV =

U

dU

S

ds

siempre que el campo de integracin se pueda considerar como un conjunto de capas elementales cerradas y sea por tanto a su vez una capa cerrada. 4.08.- Aplicando (70) con cualquier tensor que en V verifique uniformemente =0, la ltima integral resulta nula 154

para toda capa elemental cerrada, pues as se deduce de Ostrogradski. Por tanto en este caso, si todas las capas elementales son cerradas, los dos miembros de la ecuacin anterior sern tambin nulos y podremos escribir: (71)

V

wdV = 0

De acuerdo con ver que cuando de la aplicacin esto, es fcil es uniforme y por es el tensor I idntica, que tanto verifica I=0 y no tiene valores singulares, de esta ltima ecuacin podemos deducir la (69).Tambin vemos que si es un vector solenoidal sin puntos singulares en V, y por tanto por definicin verifica =0, se le puede aplicar la ecuacin (71). Cuando el vector solenoidal es =rr-n, sabemos que d s es el ngulo slido con el que se ve la superficie equipotencial cerrada desde el origen. Como este ngulo es nkn si el origen est en el espacio interior a la superficie, y es 0 si est en el exterior, la ecuacin (70) podremos escribirla as:

V

wdV = (U -U )nk 2 1 n

siendo U1 y U2 los valores de U extremos del conjunto de capas elementales que contienen al origen. El valor de U en el infinito se acostumbra a considerar nulo.

4.08.- Campo tensorial . Valor de . Sea el tensor

=

V

(wrr-n)dV

=

U

dU

(ds rr-n)

Anlogamente a '3.10, podemos sustituir dl por ds obteniendo: _ _ [ds(rr-n)] = [ds(rr-n)] y operando con capas en lugar de tubos, y con w en lugar de S llegamos al resultado: = -nknwque se verifica cualquiera que sea el punto del espacio donde se halle situado el origen, siendo w el valor del campo en el origen.

155

5.- Campos armnicos.

5.01.- Llamamos armnico a todo campo vectorial v que sea a un tiempo irrotacional y solenoidal, sea que verifica tanto la relacin caracterstica del uno, como la del otro: v = 0; v = 0

y tendr por tanto, a la vez, las propiedades de ambos campos.

Por ser v irrotacional tendremos que ser la derivada U de una variable U escalar, y por ser tambin solenoidal, su producto contracto por habr de ser nulo. La condicin de armonicidad para la derivada de algn escalar U, es pues:0 = (U) = ()U = U (laplaciana de U) ecuacin de Laplace. Los campos escalares U, que verifican la ecuacin de Laplace son las soluciones de la misma. Si en un dominio de U, solucin de Laplace, la aplicacin puntual v de Laplace, es diferenciable y regular, decimos que en este dominio regin del espacio, U es una funcin armnica, y que v=U es un campo armnico.

5.02.- En los campos armnicos v, conservarn su sentido los conceptos de tubo de campo y elemental y de flujo i di, as como los de capa equipotencial y elemental y de diferencia de potencial U2-U1 dU. En cuanto a los campos S y , w ambos coincidirn en un mismo campo vectorial v.Ahora al espacio lo podremos integrar indistintamente tanto por tubos elementales como por capas elementales, de acuerdo con las ecuaciones (58) y (67) de equivalencia: vdV = di dl = dU ds que normalmente se referirn a elementos de volumen rectangulares en los que dl, ds y v son vectores de igual direccin.

5.03.- Vamos a ver en qu condiciones tendremos v=0 en un campo armnico.Como las ecuaciones (59) y (68) sern aplicables a un campo armnico, de ellas deducimos fcilmente: di = v ds; dU = v dl

v=

di dU = ds dl

v2 =

di dU di dU = ds dl dV

y recordaremos que di no vara a lo largo de un tubo y que dU 156

tampoco vara en una capa equipotencial. a) En algn punto del campo til, di dU no es nulo.

No sern nulos ambos valores ni v en todo el dominio.De la ecuacin ltima deducimos entonces, que al disminuir v, aumenta dV, y que si v tiende a cero, dV crece indefinidamente, y esto solo es posible cuando el punto se aleja indefinidamente. Por consiguiente, solamente podemos considerar nulo a v en puntos del campo en el infinito. b) En algn punto del campo til di dU son nulos. Lo sern ambos valores as como v en todo el dominio. 5.04.- Valores mximos y mnimos de U en su campo. Corresponden a los puntos de derivada nula de U, sea con U = v = 0. Por lo expuesto en el prrafo anterior no existe ningn mximo ni mnimo en el interior del dominio til considerado bien se tiene v=0 en la totalidad del mismo. En consecuencia, una funcin armnica U es uniforme en un volumen til determinado si lo es en su frontera. 5.05.- Un campo armnico notable y una funcin armnica notable son respectivamente:

rr-n;que hemos estudiado en A'7.04.

-(n-2)-1r-(n-2)

Esta funcin armnica se denomina elemental, pues se puede demostrar que toda funcin armnica puede obtenerse como combinacin lineal de un nmero finito infinito de funciones armnicas elementales. 5.06.- Se demuestra que toda funcin armnica es analtica sea desarrollable en serie de Taylor, en el entorno de un punto cualquiera de su campo. 5.07.- Sea como ejemplo de demostracin por clculo tensorial, el clculo de la funcin armnica que corresponde a un dominio en cuya frontera U es uniforme.

Sea U un campo escalar y v uno vectorial, ambos cualesquiera, y consideremos la integral de volumen de (Uv). Por Ostrogradski podremos escribir:

V

[(Uv)]dV =

S

(Uv)ds.

157

Esta expresin, cuando U es uniforme en la frontera y v es solenoidal, se anula por (56):

V

[(Uv)]dV = U

S

vds = 0

Por otra parte, si U es una funcin armnica del campo armnico v=U, y tenemos por tanto v=0, podremos escribir:

(Uv) = v(U) + U(v) = v(U) = v2

V

[(Uv)]dV =

V

v2dV

De estas expresiones y de la anterior deducimos:V

[(Uv)]dV = 0 =

V

v2dV

y por tanto, en todo el volumen tendremos v=0, sea U uniforme.

158

D.- ECUACIONES DIFERENCIALES

1.- Ejemplos de ecuaciones diferenciales. 1.01.- Primer ejemplo. Ecuaciones diferenciales lineales homogneas en de coeficientes constantes. Variable independiente t escalar. Son de la forma:

r r r r r r d dn d2 A = kn n +...+ k2 2 + k1 + k0 = 0 dt dt dt Ensayando una solucin de la forma =et, constante y e nmero de Euler, se obtiene: r r = k0et k0 con

a

r d k1 dt

= k1

r d r t (e ) = k1et dt

r r r d d d r d2 = k2 (et) = k2et2 k2 2 = k2 dt dt dt dt. . . . . . . . .

r r dn n kn n = kn et dtSustituyendo en la ecuacin, resulta: t e [knn + ... + k22 + k1 + k0] = 0 Sern vlidas las soluciones correspondientes a los valores de que anulan el corchete, es decir, las soluciones de la ecuacin: knn + ... + k22 + k1 + k0 = 0 1.02.- 2 ejemplo. Ecuaciones diferenciales lineales homogneas de un tensor con coeficientes n uniformes de orden n. Variable independiente vectorial x. Con 1=v y 0= k, son de la forma:

(n) + .. + () + v() + k = 0 n 2 159

Ensayaremos una solucin de la forma = ea x siendo y a un vector uniforme. Se un tensor uniforme del orden de obtiene: (ea x ) = aea x

y por lo tanto: k

= kea x

ax ax ax v() = v( e ) = v[(e ) ] = v(a )e

()= [()]= (a )ea x = (aa )ea x 2 2 2 2. . . . . . . . (n) = (an )ea x = ( an) ea x n n n

Sustituyendo en la ecuacin resulta: [nan + ... + 2(aa) + va + k] ea x = 0 Por lo tanto la solucin ensayada es vlida con cualquier valor de a que anule el corchete, es decir, que sea solucin de la ecuacin:

an + ... + (aa) + va + k = 0 n 2 llamada ecuacin caracterstica. 1.03.- Forma vectorial de la ecuacin de Euler del clculo de variaciones. Nos limitaremos a un desarrollo esquemtico.

Sea en un espacio puntual afn una curva x(t) del espacio y un segmento de la misma entre el punto A correspondiente al valor a de una variable independiente escalar t y el punto B correspondiente al valor b. Supondremos que no slo x es funcin continua de t en dicho segmento y por tanto existe en cada uno de sus puntos una derivada escalar x=dx/dt, sino que esta derivada tambin es continua en dicho segmento.Sea tambin una funcin f escalar de las tres magnitudes t,x y x'. Separando variables podremos escribir:

df = ftdt + fxdx + fxdx160

en cuya expresin t es la nica variable independiente, ft es la derivada parcial respecto t, fx la derivada parcial respecto a x . Por razn de homogeneidad y fx la derivada parcial respecto x estarn representadas por una magnitud escalar y dos vectoriales respectivamente. Escribiremos en consecuencia: df = ftdt + fxdx + fxdx Vamos a estudiar ahora la integral I =

AB

f(t,x,x)dt

y veamos qu condiciones necesita reunir la curva x(t) entre A y B para que esta integral sea extremal, es decir, para que toda variacin en la curva entre A y B cambie su valor en el mismo sentido, sea de aumentar o disminuir.Para ello consideraremos una variante cualquiera del tipo x+v, con v(t) una curva cualquiera tal que v(a)=v(b)=0, y un parmetro escalar. Esta nueva curva evidentemente tambin contiene a los puntos A y B y para ella la integral I toma el valor siguiente: I =

AB

f(t, x+v, x+v)dt

Dando distintos valores a para un mismo v, obtenemos una familia de curvas que pasan por A y B, siendo la curva primitiva la que corresponde a =0. Si esta curva primitiva es extremal se habr de verificar: dI = 0 d =0 Obtendremos pues la condicin para un v determinado, derivando I respecto a para =0, considerando v fijo, e igualando a cero el resultado que se obtenga:0 =

AB

(fxv + fxv)dt =

AB

fxvdt +

AB

fxvdt

pero se verifica:

AB

r r rr b fx v dt = [vfx ] a

r r dfx AB v dt dt

Como el trmino integrado es nulo por serlo en A y en v B, al sustituir el primer miembro en la ecuacin anterior, se tendr: r r r r r dfx r r dfx 0 = fx v dt v dt = (fx )vdt AB AB AB dt dt 161

Como si la curva primitiva es extremal,esto se habr de verificar para cualquier v que se anule en A y B, resulta finalmente que es condicin necesaria para ello la siguiente:

r d fx - fx = 0 dtaunque podramos ver que no es suficiente.

162

E.- SERIES POLINOMICAS. 1.01.- Teorema de Rolle. Vamos a generalizarlo para tensores. Sea una funcin escalar de , tal que a=b, es decir, x que toma igual valor para x=a que para x=b. Admitiremos tambin que y varan en forma continua desde a hasta a lo largo del segmento rectilneo AB que b determinan a y b. Vamos a demostrar que en estas condiciones, en AB siempre existe un punto C correspondiente a =c y distinto de A y x de B, para el que verifica: ()C(b-a) = 0 [()(b-a)]C = 0 Efectivamente, si pasamos de A a B por segmentos diferenciales dr, todos de igual direccin, se tendr:

B - A =

AB

()dr

Dado que por hiptesis se verifica A=B, el sumatorio integral del 21 miembro es nulo, por cuya razn, si no son siempre nulos los incrementos d=()dr, habr en el segmento algn punto C entre A y B en que los incrementos cambiarn de signo y para l se verificar: ()Cdr = 0 y como ACB es una recta, se verificar tambin: ()C(b-a) = 0 1.02.- Frmula tensorial de Taylor.

Para un tensor de cualquier orden, funcin de x, la , es decir, el frmula tensorial de Taylor expresa el valor de B valor de para x = b = a + (b-a), siendo a arbitrario, en funcin: de A = valor de para x=a, del valor de las sucesivas derivadas de para x=a -a. y de las potencias tensoriales de bLa frmula es la siguiente:

r r r r r = r + 1 ( r (b-a) + 1 ( 2 r (b-a 2 + .... ) ) ) B A A A 1! 2!163

.... +

1 m r r r m r ( )(b-a) + A m!

En esta expresin, cuyos trminos son todos tensores del mismo orden que , es la diferencia entre B y el polinomio que precede a , y se denomina trmino complementario. 1.03.- Clculo de . Admitiremos para el clculo, que tanto como sus m+1 primeras derivadas son finitas y continuas en el segmento AB, y procederemos as:

Examinemos el siguiente escalar funcin de x:(72)

1 1 r r r r r r r r = + ( )(b-x) + (2 )(b-x) 2 + ... 1! 2! r r r 1 m r r r m ( r b-x) (m+1) ....+ ( )(b-x) + r r r (m+1) b-a) m! (

en cuya expresin, es un tensor arbitrario del mismo orden que y , y es cualquier tensor de orden m+1 que sea simtrico y v que verifique: (b-a)(m+1) 0 v Del examen de la expresin de se deduce fcilmente que verifica la siguiente relacin:

a = b = B y que por tanto cumple la condicin exigida a la funcin que ha intervenido en la demostracin del teorema de Rolle. Por consiguiente podemos establecer que en algn punto del segmento AB, distinto de A y de B, se verifica: (73) ()C(b-a) = 0 C Sustituyendo en esta igualdad el valor dado a , y despus de diversas operaciones, se obtiene finalmente en '1.10/1.13, la siguiente ecuacin: (74)rr = r r r r ((m+1) )(b-a) (m+1) C (m +1)!

1.04.- La expresin anterior, para el caso de que sea de orden 0 (escalar) el de que a todo corresponda el mismo punto C, se reduce a: (75)r =

1 r r r ((m+1) )(b-a) (m+1) C (m +1)!

164

Si adems de ser escalar , tenemos que el espacio es unidimensional, esta expresin de queda reducida al conocido trmino complementario de Lagrange. En los dems casos si quisiramos determinar intrnsecamente, ello sera tericamente posible a partir de

considerar una base vectorial de los tensores de conocer los puntos C para cada vector base, y de resolver el sistema de ecuaciones que resultaran de aplicar sucesivamente cada tensor base a (74). 1.05.- En cuanto al modo de determinar los coeficientes de de cualquier tipo (covariantes, etc,), lo expondremos a travs de un ejemplo. Sea C el tensor siguiente: r C =

1 r r r ((m+1) )(b-a) (m+1) C (m +1)!

con lo que la ecuacin (74) se convierte en:

= Cy supongamos que los factores son de segundo orden.

} Adoptando una base i{eij del espacio n-dimensional E en =(e e ), tensor base de su espacio que trabajamos, para vectorial, habr algn punto C para el que se verificar: (eiej) = (eiej)Cy por tanto habr la siguiente relacin de coeficientes:

ij = (rij)Cque determina el coeficiente ij de correspondiente al vector base elegido. Vemos as, hablando ya en general, que cada coeficiente de coincide con el mismo componente de C correspondiente a algn punto C intermedio entre A y B. Este punto podr ser distinto para cada componente. 1.06.- Serie de Taylor.

Sea un tensor , funcin de x. El desarrollo de en serie de Taylor, es el visto anteriormente, o sea:

165

r r r r r = r + 1 ( r (b-a) + 1 ( 2 r (b-a 2 + .... ) ) ) B A A A 1! 2! 1 r r r .... + ( m )(b-a) m + ... A m!Para que esta expresin sea vlida, se precisa:

a) Que sea diferenciable indefinidamente.b) Que la serie sea convergente. 1.07.- Un criterio de convergencia deducido de los prrafos anteriores, es que se verifique: r r r ((m+1) )(b-a) (m+1) r r r r C (c; c a,b]) [ : = 0 lim m = (m +1)! 1.08.- Serie de Mac-Laurin.

Es la serie de Taylor para el caso a=0, o sea:

r r = r + 1 ( r b + 1 ( 2 r r 2 + .. + 1 ( m r r m + .. ) ) b ) b B 0 0 0 0 1! 2! m! 1.09.- Valor de la diferencia B - A Para AB=dx y indefinidamente diferenciable con derivada finita para x=a, podremos escribir la frmula de Taylor de esta manera:

r r - r = 1 ( r dx + 1 ( 2 r d r 2 + .. + 1 ( m r d r m + .. ) ) x ) x B A A A A 1! 2! m!Es una consecuencia de los ltimos prrafos. 1.10.- A continuacin vamos a detallar las operaciones antes omitidas para obtener la ecuacin (74). Por no ser necesario y para simplificar, suprimiremos el signo en los exponentes. En primer lugar vamos a considerar por separado los trminos que resultan del producto por de cada trmino del corchete de (72) con la excepcin del ltimo y los sustituiremos en (73) obteniendo m+1 trminos de ()C(b-a). Como para el trmino m+1, aplicando los teoremas fundamentales de esta lgebra se verifica:

r r m rr r r r rm { m )(b-x) ]} = m(b-x)]() [( [el trmino m+1 en (73) puede representarse as:

166

m+1 =

r r m rr r r 1 { m(b-x) ]() C b-a) [ }( m!

y con 0im, para el trmino general i+1 tendremos:

i+1 =

r r r r 1 r { (b-a)][i(b-x)i](r)}c [ i!

Teniendo en cuenta que el factor , como operador de derivacin, se refiere tanto a (b-x)i como a , consideraremos a i+1 como suma de dos sumandos i+1 y i+1 i, el primero para como tensor afectado y el segundo para (b-x) como tensor afectado. 1.11.- Siempre aplicando los teoremas fundamentales, para el valor en C del primer sumando tendremos:

r ri r r r r ri r r r 1 1 r r +1 = [i ] [(b-c) b-a) ]= [i+1 ][(b-c) b-a) ] ( ( i C c i! i!Ahora bien, por tener igual direccin y sentido podemos sustituir b-c por k(b-a) y tendremos:

+1 = i

r ri r 1 i+1 r i r r i+1 r 1 r [ ][k (b-a) ] = [ (i+1 ) ki b-a)+1] c c ( i! i!

Para el valor en C del segundo sumando se verifica:

+1 = i

r r i r r rr 1 { i b-x)] c b-a)() [ ( }( C i!

Pero [i(b-x)i] es la derivada de un monomio en (b-x) i i-1 y sustituyendo por su valor -i (b-x) dado por (17) y A'6.03c, se tiene: +1 = i

r ri r r rr 1 i{[i b-x)-1](b-a)() C = ( } i!

r ri r r r ri r r r i 1 rr r = - {i b-x)-1 b-a)]() C = [( ( (i )[(b-c)-1 b-a) ] ( } C i! (i-1)!

y por consiguiente:

i+1 = - i1.12.- Clculo del ltimo trmino . Tendremos en cuenta que la fraccin que figura en la expresin de es de trminos escalares.r r r m } [( r r { b-x) +1] C r r = () r r r m+1 (b-a) b-a) (

167

y como por ser derivada de un monomio se verifica: {[(b-x)m+1]}C = -(m+1)(b-c)m v v tendremos sustituyendo:r r rm r r r r rm r r r r b-c) b-a)] r r [(m +1)(b-c) ](b-a) [( ( = - +1)() (m = - ) ( r r r m+1 r r r m+1 b-a) ( b-a) (

Ahora bien, por tener igual direccin y sentido podemos escribir b-c = k(b-a) y sustituir, con lo que quedar:r r rm rr r r m b-a) +1 ( (m (m = - +1)() r r r m+1 = - +1)() m k k ( b-a)

1.13.- Resumiendo, los trminos de {()(b-a)}C, son: 1 2 3 . . m+1 = = = .

1 2 1 3 2 . . . . .

r rm r 1 r = m+1 - m = [ ( m+1 ) km(b-a) +1] - m C m! = - (m+1)()km. Sumando miembro a miembro, queda:

r rm r 1 rr r 0 = [ ( m+1 ) km(b-a) +1] - (m +1)() m k C m!de donde se deduce:rr = 1 r r rm r [( m+1 )(b-a) +1] C (m +1)!

que es la ecuacin que buscbamos.

168

APENDICE1.Clculo de n. Ampliacin de Anlisis T. C'1.07.

1.01.- Tomaremos p entero con valores 1,2,3.. y tendremos as que 2p representar cualquier entero par y 2p-1 2p+1 cualquier entero impar. 1.02.- Utilizaremos las siguientes integrales definidas que constan en el Htte: expresiones de

+

2

0

cos2p xdx =

1 3 2p-1) 5 ( 246 2p) 2 ( 2 4 2p) 6 ( 135 2p +1) (

+

2

0

cos2p+1 xdx =

1.03.- Utilizaremos del ensayo sobre cudricas los valores que nos da del volumen Vn de las esferas para valores de n tales como 2p y sus inmediatos inferior y superior, sea los impares 2p-1 y 2p+1.

V2p-1 =

2p p-1r2p-1 (2p-1)(2p-3) 531 V2p = 1 p 2p r p!

V2p+1 =

2.2p pr2p+1 (2p+1)(2p-1) 531

1.04.- Clculo de las constantes kn (Clculo T. C'1.02) para n igual a 2p-1, 2p y 2p+1.

k2p-1

=

2p p-1 (2p-1)(2p-3) 531 k2p = 1 p p!

k2p+1 =

2.2p p (2p+1)(2p-1) 531

1.05.- Relacin entre constantes k para valores de n 2p+1 y 2p y para valores 2p y 2p-1: 169

(2p)(2p-2) 42 2pp! k2p+1 = 2 = 2 (2p+1)(2p-1) 31 (2p+1)(2p-1) 31 k2p

(2p-1)(2p-3) 31 k2p = 2 p p! 2 k2p-1 2

(2p-1)(2p-3) 31 = 2 (2p)(2p-2) 4 2 2

Estas relaciones se pueden poner en funcin de cosenos de acuerdo con las frmulas vistas en '1.02 en la forma siguiente: (2p 2(2p) -2) 42 2(2p) + 2 k2p+1 = = cos2p-1xdx 2p+1 (2p-1) 31 2p+1 0 k2p

(2p 2(2p-1) -3) 31 2(2p-1) + 2 k2p = = 0 cos2p-2xdx 2p (2p-2) 42 2 2p k2p-11.06.- Para un espacio de dimensin impar n=2p+1, la primera ecuacin queda en la forma:2(n-1) + 2 kn = 0 cos n-2 xdx n kn-1

y si es de dimensin par n=2p la segunda ecuacin queda as:2(n-1) + 2 kn = 0 cosn-2 xdx n kn-1

Por lo tanto, tanto si la dimensin n del espacio es par o impar, siempre se tiene:

+

2

0

cos n-2xdx = n =

nkn 2(n-1) n-1 k

170

INDICE DE EQUACIONESAT( 1) AT( 2) AT( 3) AT( 4) AT( 5) AT( 6) AT( 7) AT( 8) AT( 9) AT(10) AT(11) AT(12) AT(13) AT(14) AT(15) AT(16) AT(17) AT(18) AT(19) AT(20) AT(21) AT(22) AT(23) AT(24) AT(25) AT(26) AT(27) AT(28) AT(29) CT( 1) CT( 2) CT( 3) CT( 4) CT( 5) CT( 6) 14 14 14 22 23 23 23 24 24 25 25 26 26 26 28 28 29 29 29 30 30 34 34 44 44 44 44 44 71 98 98 99 100 102 102 CT( 7) CT( 8) CT( 9) CT(10) CT(11) CT(12) CT(13) CT(14) CT(15) CT(16) CT(17) CT(18) CT(19) CT(20) CT(21) CT(22) CT(23) CT(24) CT(25) CT(26) CT(27) CT(28) CT(29) CT(29') CT(30) CT(31) CT(32) CT(33) CT(34) CT(35) CT(36) CT(37) CT(38) CT(39) CT(40) 102 103 103 103 104 104 104 104 105 107 108 108 118 118 121 121 121 121 121 122 123 127 127 128 129 129 129 130 130 130 130 131 132 132 133 CT(41) CT(42) CT(43) CT(44) CT(45) CT(46) CT(47) CT(48) CT(49) CT(50) CT(51) CT(52) CT(53) CT(54) CT(55) CT(56) CT(57) CT(58) CT(59) CT(60) CT(61) CT(62) CT(63) CT(64) CT(65) CT(66) CT(67) CT(68) CT(69) CT(70) CT(71) CT(72) CT(73) CT(74) CT(75) 133 134 137 137 139 140 141 141 141 141 141 142 142 142 143 145 145 146 146 147 148 148 148 149 150 152 153 154 154 154 155 164 164 164 164

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