MECNICA DEL MEDIO

CONTINUO

PRELIMINARES DE

MATEMTICA ANLISIS TENSORIAL

CONTENIDO

2. Cinemtica

3. El principio de los esfuerzos

4. Teora lineal de la elsticidad

5. Teora de la Plasticidad

Mecnica del medio continuo

Introduccin al curso

1. Preliminares de matemtica

CONTENIDO

1.2 Vectores

1.1 Matrices

1.3 Tensores

1.4 Anlisis vectorial

1.5 Anlisis tensorial

1. Preliminares de Matemtica

1.6 Teorema de Gauss

Anlisis Tensorial

Definiciones

Campo tensorial gradiente de un campo vectorial : ru

3

1

1: Grad

i iii

u

huu

Un campo tensorial asigna a cada punto

del espacio un tensor con las componentes

(descompuesto en la base tensorial local)

321 ,, LrL

L 3,2,1, jiLij

Anlisis Tensorial

A continuacin se emplearan las definiciones anteriores a

sistemas de coordenadas espaciales

3

1

3

1

11

: Divi

i

T

iii iii

L

h

L

hLL

Divergente de un campo tensorial rL

Rotor de un campo tensorial rL

TLL :Rot

Anlisis Tensorial

332132321213211 ,,,,,, exxxuexxxuexxxuru

3332133

23321321332131

32321232232122

12321213132111

21321121132111

,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

eexxxL

eexxxLeexxxL

eexxxLeexxxL

eexxxLeexxxL

eexxxLeexxxLrL

Coordenadas Cartesianas 321 ,, xxx

Anlisis Tensorial

De aqu resulta:

uu div Gradtr

kiki eeuu Grad

3

3

3

2

3

1

2

3

2

2

2

1

1

3

1

2

1

1

Grad

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

uu BB

Anlisis Tensorial

kiki eLex

L

x

L

x

L

ex

L

x

L

x

Le

x

L

x

L

x

LLL

Div

33

33

2

23

1

13

23

32

2

22

1

121

3

31

2

21

1

11

knmlmnknmnml

nknmmlpknpnmml

kpnpnmmlkllk

LeLeee

eLeeeLee

eeeLeeeLeL

Rot Rot

knmlmnlk LeL Rot

Derivar una componente del tensor

Anlisis Tensorial

Se cumple la identidad: y 0Rot Rot Div

L

knmlmnjijklkjijkil LeeLeL Rot Rot Rot

uLuL T rot Rot

Anlisis Tensorial

Coordenadas Cilndricas zr ,,

zzrr ezruezruezruru ,,,,,,

zzzz

zzrzzr

zz

rrzrrz

rrrrrr

eezrL

eezrLeezrL

eezrLeezrL

eezrLeezrL

eezrLeezrLrL

,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

Anlisis Tensorial

z

u

z

u

z

u

u

rr

uu

rr

uu

r

r

u

r

u

r

u

u

zr

zrr

zr

cc

111 Grad

Anlisis Tensorial

zrzzzzrz

rrzr

rrrzrrrr

er

L

z

LL

rr

L

er

L

r

L

z

LL

rr

L

er

L

r

L

z

LL

rr

LL

1

1

1

Div

Anlisis Tensorial

Coordenadas Esfricas ,,r

eruerueruru rr ,,,,,,

eerL

eerLeerL

eerLeerL

eerLeerL

eerLeerLrL

rr

zz

rrrr

rrrrrr

,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

Anlisis Tensorial

r

u

r

uu

rr

uu

rr

uu

r

u

rr

uu

rr

uu

r

r

u

r

u

r

u

u

rr

rr

r

cotsin

1cot

sin

1

sin

1

111 Grad

er

L

r

L

r

L

r

LL

r

L

rr

L

er

L

r

L

r

L

r

LL

r

L

rr

L

er

L

r

L

r

L

r

LL

r

L

rr

LL

rrr

rrr

rrrrrrrr

cotcot2sin

11

cotcot2sin

11

cot2sin

11 Div

Anlisis Tensorial

Resumen de los operadores diferenciales

El gradiente eleva el grado de tensor en 1:

y

El divergente reduce el grado del tensor en 1:

y

rMruru Grad

rvrLrL Div

rvrr grad

rruru div

Anlisis Tensorial

El rotor conserva el grado del tensor:

y

rMrLrL T Rot

rvruru rot

0Rot Rot Div

L

Con la ayuda de la identidad eijk - ij (Producto de dos sm-bolos de permutacin expresado mediante la suma de pro-

ductos triples del smbolo Kronecker) muestre que para

cualquier campo tensorial L (diferenciable 3 veces de mane-

ra continua ) se cumple:

Ejercicios - Anlisis Tensorial

Solucin

liknmjlmnijkpp eeLeeeAALA

Div

:obtiene seRot Rot :Con

lknmjplmnijkpi eLeeA Div

lknmjilmnijk eLeeA Div

knjlimkmjlinkljnimknjmilA ( Div

lknmjikmjnilkljmin eL )

Ejercicios - Anlisis Tensorial

ijklmn

knkmkl

jnjmjl

inimil

lmnijkee

:

pnpkpmpkplpk

pnpjpmpjplpj

pnpipmpiplpi

lmnijkee

nknknklklklk

mjmjmj

nininililili

lmnijkee

332211332211

332211

332211332211

nml

nml

nml

kji

kji

kji

lmnijkee

333

222

111

333

222

111

Transposicin de la primera matriz

det = det det

ikjkjikkijji

jkkijijkikjikkjijiikkjji

eLeL

eLeLeLeL

knjlimkmjlinkljnimknjmilA ( Div

lknmjikmjnilkljmin eL )

jkikijkkjiij

ikkjijjkikjikkjijiikkjji

eLeL

eLeLeLeL

0Rot Rot Div Div

LA

Ejercicios - Anlisis Tensorial