Analisis Vectorial Tensorial

www.monografias.com

Para ver trabajos similares o recibir informacin semanal sobre nuevas publicaciones, visite www.monografias.com

Anlisis vectorial y tensorial

Nasjo Baldwin - [email protected]

1. CAP I: Funciones Vectoriales de Variable Real

2. CAP II : Funciones Vectoriales de Variable Vectorial

3. CAP III: Integracin Vectorial

4. CAP IV: Teoremas Integrales de Anlisis Vectorial

5. CAP V : Coordenadas Curvilneas

6. CAP VI: Anlisis Tensorial

7. Bibliografa

Resumen: Un resumen de Matemtica Vectorial, de la Universidad Mayor de San Andrs, dictada en la

Facultad de Ingeniera.

CAPITULO I: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

INTRODUCCION.

Si t es una variable escalar, entonces una funcin escalar f asigna a cada t en un intervalo nico escalar f(t)

llamado valor de f en t. En general la variable representa el tiempo, un conjunto de coordenadas o

parmetros cualesquiera.

DEFINICION Y NOTACION.

Una funcin vectorial de variable real es una regla que hace corresponder a un nmero real un valor

3

321

2

21

:)()()()(

:)()()(

RRgktgjtgitgtg

RRfjtfitftf

Interpretacin.

Sea: ktfjtfitftf )()()()( 321

Para cada t existe un vector de posicin (equacion) Cuyo punto inicial se encuentra en el origen de

coordenadas del sistema cartesiano rectangular y el punto final especifica el punto P en el espacio

Cuando t varia, se dice que t se mueve

As por igualdad de vectores se dice:

rtf

)(

De esta manera se tiene:

)();();( 321 tfztfytfx

Es la ecuacin paramtrica de la curva C

www.monografias.com


La curva C tambin se conoce con el nombre de Hodografia de la funcin vectorial r (t) por lo tanto podemos

concluir que una funcin vectorial es la representacin de una curva en el espacio.

Sea:

2

2;

2

2;

2

2

2

22

22

2)(

2

2

22

2

2

22

t

tz

t

ty

t

tx

kzjyixr

kt

tj

t

ti

t

ttf

Por otro lado

t 0 1 2 3

r r1 r2 r3 r4

www.monografias.com


1

44

44

2

448

2

2

2

4

2

4

222

24

24

22

242

22

22

22

2

22

2222

zyx

tt

tt

t

ttt

t

t

t

t

t

tzyx

Como:

yx

LMITES Y CONTINUIDAD.

Se dice que el lmite de una funcin f(t) es un vector a cuando t t0, excepto para el valor t0 entonces a es un vector lmite de f(t) cuando t se acerca t0 esto se expresa como:

atfLimtt

0

)( Para todo numero real 00

ott

atf

0

)(

www.monografias.com


Esta definicin se vuelve el limite de una funcin escalar si se reemplaza f(t) por una funcin escalar y el

vector a por un escalar.

kajaiata

ktfjtfitftf

)(

)()()()(

321

321

0000

)()()()( 321tttttttt

ktfLimjtfLimitfLimtfLim

Lo anterior se resume en:

332211

000

)(;)(;)( atfLimatfLimatfLimtttttt

Continuidad.

f(t) es continua en to si cumple:

a) Si 0

)(tt

tfLim

existe

b) Si )(tf

tambin existe

c) a) = b)

Ejemplo:

Hallar el lmite:

www.monografias.com


kji

kjt

Cosi

Sen

kt

Limjt

tCosLimi

tSenLim

kt

jt

tCosi

tSenLim

kt

jt

tCosi

tSentfLim

ttt

t

t

2

120

2

1)(1

)(

2

1)(1

)(

2

1)(1

)(

2

1)(1

)()(

Estudiar la continuidad de: f(t) en t=1

kjitfLim

kjitfLim

kjt

tLni

t

eeLim

t

t

t

t

200)(

20

00

0)(

21

)(1

1

1

1

Por L`Hopital

kjieLim

t

t

tLnLim

eee

t

eeLim

t

t

tt

t

2

11

1

1

)(

11

1

1

1

1

1)2,1,()1( tetf

12;121

)(1

)(

tkjietkj

t

tLni

t

eetf

t

DERIVADA DE FUNCIONES VECTORIALES.

La derivada de f(t) se define como:

t

tfLim

t

tfttfLim

t

t

)(

)(

0

0

ktfjtfitftf

t

tfttfLimtf

i

ii

ti

)()()()(

)()()(

1

3

1

2

1

1

1

0

1

www.monografias.com


Reglas de Derivacin.

Sean )(),(),( thtgtf

funciones vectoriales y )(t una funcin escalar

1)

)()()()( tgdt

dtf

dt

dtgtf

dt

d

2)

)()()()()()( tdt

dtftf

dt

dttft

dt

d

3)

)()()()()()( tgdt

dtftf

dt

dtgtftg

dt

d Escalar

4)

)()()()()()( tgdt

dtftf

dt

dtgtftg

dt

d Vector

5)

)()()()()()()()()()()()( thdt

dtgtfthtg

dt

dtfthtgtf

dt

dthtgtf

dt

d

6)

)()()()()()()()()()()()( th

dt

dtgtfthtg

dt

dtfthtgtf

dt

dthtgtf

dt

d

7) Regla de la cadena

ds

dttf

dt

dtf

ds

d)()(

Ejemplo:

wtwt ebear

; donde a y b son vectores constantes, satisfacen la ecuacin 022

2 tw

dt

rd

Resolviendo:

wtwt

wtwt

ewbewadt

rd

webweadt

rd

22

2

2

Reemplazando:

022

2

2

2

rwrw

ebeawdt

rd wtwt

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA.

www.monografias.com


La derivada de una funcin vectorial en un punto es, el vector tangente a la curva en dicho punto.

Si t es el tiempo f(t) representa una trayectoria f`(t) ser la velocidad instantnea

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

Las derivadas de orden superior de una funcin vectorial, se define en forma similar a la de un valor escalar

de una sola variable.

2

2 )()(

dt

tfd

dt

tdf

dt

d

Ejemplo:

Hallar: )(),(),( 111111 trtrtr

luego calcular )()()( 111111 trtrtr

khtjtasenitatr )()cos()(

kjtaitasentr

kjtasenitatr

khjtaitasentr

khtjtasenitatr

0)cos()()(

0)()cos()(

)cos()()(

)()cos()(

111

11

1

Calculamos: )()()( 111111 trtrtr

22222111111 )()(cos0)cos()(

0)()cos(

)cos()(

)()()( hatsenatah

tatasen

tasenta

htatasen

trtrtr

Por otro lado;

www.monografias.com


kajthaithasen

tasenta

htatasen

kji

trtr )cos()(

0)()cos(

)cos()()()( 2111

22111

4222222111

)()(

)(cos)()()(

ahatrtr

atahtsenahtrtr

LONGITUD DE CURVA.

Si Una curva en el espacio esta representada por, f(t) para un intervalo bta entonces la longitud de la curva L esta dad por la siguiente expresin:

b

a

dttfL )(1

2222 )()()()( dzdydxds Multiplicado por 2)(

1

dt

ds es diferencial de arco

kzjyixr

ktfjtfitftf

)()()()( 321

Ecuaciones parametricas

)();();( 321 tfztfytfx

www.monografias.com


2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

2

2222

)()()(

)()()(

dt

tdf

dt

tdf

dt

tdf

dt

ds

dt

tdf

dt

tdf

dt

tdf

dt

ds

dt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

ds

b

a

b

a

L

dttfL

dttfdsdttfds

tftftfdt

ds

)(

)()(

)()()(

1

1

0

2

1

21

2111

La longitud de arco S(t) es una funcin de la variable escalar t desde un punto fijo hasta t

t

a

dttftS )()( 1

Ejemplo:

Encontrar TyLtStS

),(),( 1 en el intervalo 20 t

Si khtjtasenitar )()cos(

22

2

0

22

221

22

0

22

221

222221

1

2

)(

)(

)(

)(

)(cos)()(

)()(

haL

dthaL

hatS

thatS

dthatS

hatr

htatsenatr

dttrtS

t

t

a

Vector tangente unitario

www.monografias.com


22

)cos()(

ha

khjtaitasenT

dS

rdT

CURVATURA.

El vector unitario normal N

se define como:

NKdS

Td

Donde K es la curvatura

31

111

)(

)()(

tr

trtrK

Radio de curvatura

K

1

TORSION.

La torsin de una curva C se define como:

NdS

dB

2111

111111

)()(

)()()(

trtr

trtrtr

Y el radio de torsin

1

COMPONENTE NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACION.

www.monografias.com


La rapidez v(t) de una partcula en el instante t es la magnitud del vector velocidad )(tv

, si S es el arco que

mide la distancia de la partcula desde su punto de partida sobre un camino C desde su partida.

)()( 11 tStr

dS

rdTv

dS

rdT

dt

dSTv

)1.......(

)(

)(

)(

2

2

Nv

Tdt

dva

dt

vdTvNKa

dt

dvTtv

dt

dS

dS

Tda

dt

dvTtv

dt

Td

dt

vda

tvTv

NaTaa NT

)(

)()(

)(

)()(

1

111

1

111

tr

trtra

tr

trtra

N

T

www.monografias.com


TRIEDRO MOVIL.

01

01

01

BNNTBT

BTBNTB

NTTBNN

Formulas de Frenet

TKBdS

Nd

NdS

Bd

NKdS

Td

CAPITULO II: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL

DEFINICION Y NOTACION.

Una funcin vectorial es una regla que a cada vector x

de Rn le asigna como imagen otro vector )(xf

de

Rm.

Ejemplo:

)2,1,3()2,1,21()2,1(

),,(),(

f

yxyxyxf

Ejemplo:

Hallar el dominio para la siguiente funcin vectorial

xy

xyxyyxfxf

2,),()( 2

www.monografias.com


- No debe existir la divisin por cero

- No se admite races complejas

- No se admiten logaritmos complejos

xyxyD

xyxyD

2

2

:

00:

CONJUNTO DE NIVEL.

Sea F

una f

de Rn en R se denomina conjunto de nivel cxfxC )(:

c es constante.

Cuando n = 2 hablamos de una curva de nivel

Cuando n = 3 hablamos de una superficie de nivel

Si

cyx

yxxf

RRDf

1

)1()(

: 2

4..............3

3..............2

2..............1

1..............0

yxc

yxc

yxc

yxc

LMITES Y CONTINUIDAD.

Si nRD se dice que D es un conjunto abierto si para todo nz 0

esfera contenida en D

www.monografias.com


4 xyxyD

Se dice que un conjunto n si su complemento

Ejemplo:

4 xyxyD

Dado un punto D se llama punto frontera al punto para el cual cualquier esfera contiene puntos del conjunto

y puntos que no estn en el conjunto.

4 xyxyD

LIMITE

00)(

:

0

AxfLim

RRf

xx

mn

Condiciones para que exista limite

0

)(

xx

Axf

Propiedades.

a)

AcxfLimcxfcLimxxxx

)()(

00

b)

www.monografias.com


BxgLimxx

)(

0

c)

BAxgLimxfLimxgxfLimxxxxxx

)()()()(

000

Se dice que una funcin vectorial es continua si mn RRf

)()( 00

xfxfLimxx

DERIVADAS PARCIALES.

La derivada parcial fu de f

con respecto a u se define mediante la siguiente notacin

w

wvufwwvufLim

w

ff

v

wvufwvvufLim

v

ff

u

wvufwvuufLim

u

ff

ww

vv

uu

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

0

0

0

kfjfiff 321

v

f

vf

u

f

vf

u

f

uf

vv

vu

uu

Propiedades.

f

y g

son funciones vectoriales, es funcin escalar

1)

u

ff

uf

u

2)

u

g

u

fgf

u

3)

u

gfg

u

fgf

u

4)

u

gfg

u

fgf

u

www.monografias.com


Ejemplo:

kuvwjwvuseniwvLnuwvuff )cos()()(),,( 222

Hallar

kjwusenif

kuwjwvuiwLnuf

kjwvuseniwvLnf

kvwjwvuiwuvLnf

ff

vv

v

uu

u

vvuu

0)cos()(0

)cos(2)cos()(

0)cos()()(2

)cos()cos()(2

;

22

2

22

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE.

Sea f RRD n una funcin escalar, una funcin definida en el conjunto abierto de DxRD n

, un

punto de D se define la derivada de la funcin f en x

, en la direccin del vector unitario e

denotado por:

)()(

xfeDe

xf

Se puede interpretar la derivada de una funcin de 2 variables

RRDf 2:

En un punto x0 y y0 que pertenece a D ahora (x0,x0) = (0,0), sea 1;),(cos2 eRsene

El vector unitario en la direccin del cual calculamos la derivada de la funcin f

en el origen, consideremos

el plano 0cos yxsen , este es un plano perpendicular al plano, z = 0 que contiene al vector unitario

e

.

La interseccin de este plano con la superficie z = f(x,y) nos determina una curva en el espacio.

La derivada direccional de f(0,0) en la direccin del vector unitario e

es la pendiente de la recta tangente a

esa curva en el punto (0,0)

www.monografias.com


RRDf 2:

Ejemplo:

Calcular la derivada direccional para:

2

1)(

2

12

2

13

)(

232

122

2

133

)(

)23(2

12

2

13

)(

2

1,

2

123),()(

0

0

0

xfeD

h

hh

LimxfeD

h

yxhyhx

LimxfeD

h

yxhyhx

LimxfeD

eyxyxfxf

h

h

h

Gradiente

El gradiente de una funcin escalar es un vector

RRDf n :

z

xf

y

xf

x

xff

)(,

)(,

)(

Operador Nabla

www.monografias.com


kx

jy

ix

Ejemplo.

Hallar el gradiente de )tan()cos()( zyxsenf en el punto )4

,4

,4

(

1,2

1,

2

1

)4

(sec)4

cos()4

()4

tan()4

()4

()4

tan()4

cos()4

cos(

)(sec)cos()()tan()()()tan()cos()cos(

)tan()cos()(

2

2

f

ksenjsensenif

kzyxsenjzysenxsenizyxf

zyxsenf

TEOREMAS Y PROPIEDADES.

Sea f y g dos funciones esclares y c una constante

1)

)()( xfcxcf

2)

)()()()( xgxfxgxf 3)

)()()()()()( xgxfxgxfxgxf 4)

2)()()()()(

)(

)(

xg

xgxfxgxf

xg

xf

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL GRADIENTE.

Sea f : RRD 3 una interpretacin del gradiente cuando la f(x) = c, f(x,y,z) = c, c es una constante, entonces el gradiente es normal a la superficie.

www.monografias.com


Diferencia total de f

dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

Ahora una C en el espacio esta representada por el )(tr

)()(0

)()()()(

trxf

dt

dz

z

f

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dt

df

ktzjtyitxtr

Teorema

Si f tiene se cumple que la derivada direccional va a estar dada por:

reexfxfeD

)()(

Teorema

El valor mximo de la derivada direccional es igual al modulo del gradiente

)()( max xfxfeD

Teorema

uu

fuf

kz

uj

y

ui

x

u

u

fuf

kz

u

u

fj

y

u

u

fi

x

u

u

fuf

)(

)(

)(

DIVERGENCIA.

Sea 33: RRDf

kfjfiff 321

Donde f1, f2, f3 son funciones escalares

La divergencia ser el producto:

z

f

y

f

x

fkfjfifk

zj

yi

xf

321321

PROPIEDADES DE LA DIVERGENCIA.

www.monografias.com


Sea f

y g

dos funciones vectoriales y una funcin escalar

1)

gfgf

)( 2)

fff

)( 3)

gffggf

)(

Ejemplo:

Si kzjyixrf

Calcular la divergencia

3

)(

z

z

y

y

x

xr

kzjyixkz

jy

ix

r

Ejemplo:

Hallar la divergencia de ))(( rrf

)(3)(

))((

)(3)(

))((

)(3)(

))((

)()())((

rfr

rfrrrf

rfrr

r

r

rfrrf

rfrrr

rfrrf

rrfrrfrrf

ROTACIONAL.

Si f

una funcin vectorial si es una funcin escalar con segundas derivadas parciales.

Donde:

),,(),,(),,( 321 zyxfzyxfzyxff

f

rotacional de f

321

fff

zyx

kji

f

PROPIEDADES.

1)

gfgf

)(

2)

www.monografias.com


fff

)(

3)

)()()( fgfggf

Demostrar que:

zyx

zyx

kji

kz

jy

ix

0

0

k

yxyxj

zxzxi

zyzy

OPERADOR DE LAPLACE.

La divergencia del gradiente se expresa como:

2 Laplaciano

2

2

2

2

2

22

zyx

Se dice que una funcin escalar es armnica si es continua tiene segundas derivadas parciales continuas

y satisface la ecuacin de Laplace.

es armnico 02

Demostrar que r

1 es armnico:

01

331

331

1

)()(

2

332

352

332

31

r

rrr

rrrrr

rrrrr

rrr

Operaciones con el y algunas identidades vectoriales.

www.monografias.com


1)

fggf

)()(

2)

ff )(

3)

frf

)(

4)

fdfrd

)(

CAPITULO III: INTEGRACION VECTORIAL

INTRODUCCION.

Una curva C en el intervalo de bta se representa mediante la funcin vectorial:

Vector posicin ktzjtyitxtr )()()()(

Vector desplazamiento kdzjdyidxrd

INTEGRALES DE LINEA.

- C

rd

funcin escalar

- C

frdf

funcin vectorial

- C

frdf

funcin vectorial

Tambin tenemos:

CCC

rdfrdfrd

;;

Ejemplo:

yxzxy 222

La curva esta dada por. 32 ;; tztytx desde t = 0 hasta t = 1

www.monografias.com


1

0

1

0

1

0

4824848

2434

23

2

22

)2(3)2(2)2(

)32)()(2(

3

2

))(2(

kdttttjdttttidtttrd

kdttjtdtidtttttrd

dttdztz

tdtdyty

dtdxtx

kdzjdyidxyxzxyrd

kjiktt

jtt

itt

rd 77

7515

1145

19711

23

610

22

59

21

0

7111

0

6101

0

59

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA.

La integral de lnea C

rdf

es independiente de la trayectoria de integracin desde el punto P hasta el

punto Q si el campo vectorial satisface la ecuacin f

donde es una funcin escalar continua o

funcin potencial.

TfS

dSTfdSdS

drfrdf

PQ

drdrdf

Q

P

Q

P

Q

P

C

Q

P

Q

P

)()(

0)(

0

Tf

TTf

TTf

Si f

T

es un vector unitario tangente en cualquier direccin.

Tambin se cumplir que:

00

f

En kRjQiPfR 3

www.monografias.com


),,(

),,(

),,(

zyxRR

zyxQQ

zyxPP

Funciones escalares

kjiky

P

x

Qj

x

R

z

Pi

z

Q

y

R

RQP

zyx

kji

f 000

y

P

x

Q

y

P

x

Q

x

R

z

P

x

R

z

P

z

Q

y

R

z

Q

y

R

0

0

0

INTEGRALES DE LINEA RESPECTO AL ARCO.

C

ds donde funcin escalar; ds diferencial de arco

dtdt

dz

dt

dy

dt

dxds

dttrds

222

)(

Ejemplo:

Hallar C

ds donde 222 zyx en la curva C: 20cos tkbtjasentitar

22222 )cos()()(

cos)(

babtasenttr

kbjtaiasenttr

Reemplazando 222 )()()cos( btasentta

222 tba Por lo tanto

2

0

32222

2

0

22222

2

0

22222

3

)(

))((

tbtabads

dttbabads

dtbatbads

www.monografias.com


38

232

222 b

abads

APLICACIN DE LAS INTEGRALES CURVILINEAS.

Sea ),,( zyxf donde es la densidad lineal de un punto variable (x,y,z) de la curva C Entonces la masa de la curva C es igual a:

dsM

Las coordenadas del centro de gravedad estn dadas por: ),,( 000 zyx de esta curva y se expresan de la

siguiente manera:

M

dszz

M

dsyy

M

dsxx

0

0

0

TRABAJO.

El trabajo W realizado para mover una partcula a lo largo de una curva C desde el punto 1 hasta el punto 2.

Se define mediante la integral de lnea: 2

1

rdFW

Si 00 WrdFrdF

Ejemplo:

Demostrar para una masa constante m el trabajo para ir del punto 1 al punto 2 esta dado por:

)(2

1 21

2

2 vvmW

dt

vdmamF

www.monografias.com


2

1

2

1

2

1

vdvmW

dt

rdvdmW

rddt

vdmW

Si vdvvdvvvdvvd

2)(

)(2

1

2

1

)(2

1

)(2

1

2

1

2

2

22

1

2

1

vvmW

mvW

vvmW

vvdvdv

v

v

v

v

SUPERFICIE PARAMETRIZADA.

Una superficie puede representarse tambin mediante ecuaciones parametricas

Tambin una superficie se representa por:

),(),(),( vuzzvuyyvuxx

Si v = Cte se vuelve una expresin paramtrica de un solo parmetro que describe una curva en el espacio

a lo largo de la cual solamente varia u estas curvas se describen con v = Cte.

De modo similar v vara cuando u = Cte

El lugar geomtrico u = Cte y v = Cte, se denomina superficie:

www.monografias.com


kvuzjvuyivuxvurr ),(),(),(),(

Ejemplo:

2222 Rzyx

Parametrizada es:

kuRjRsenusenvivRsenur

uRz

Rsenusenvy

vRsenux

coscos

cos

cos

Es una esfera completa:

u

v

0

20

20

20

0

2

20

0

u

v

zu

v

z

Si la superficie esta definida en el punto ),( 000 vuP si el producto vectorial:

0

v

r

u

r

El plano tangente de la superficie en ),( 00 vur

es el plano cuya normal es igual a:

v

r

u

rn

Entonces el plano tangente esta dado por la normal

0)( 0 nrr

AREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRIZADA.

El elemento diferencial de superficie de un vector esta dado por Sd

www.monografias.com


(*)

)1(

v

r

u

rn

v

r

u

r

v

r

u

r

v

r

u

r

n

dudvv

r

u

rSd

dudvv

r

u

rSd

dvv

rdu

u

rSd

(*) en (1)

dSnSd

dudvv

r

u

rnSd

)2(

El rea de una superficie paramentrica ser integrando la ecuacin (2)

S

S

dudvv

r

u

rSA

dudvv

r

u

rSd

)(

kv

zj

v

yi

v

x

v

r

ku

zj

u

yi

u

x

u

r

v

z

v

y

v

xu

z

u

y

u

x

kji

v

r

u

r

dxdyy

z

x

zSA

dudvvu

yxJ

vu

xzJ

vu

zyJSA

kvu

yxJj

vu

xzJi

vu

zyJ

v

r

u

r

ku

y

v

x

v

y

u

xj

u

z

v

x

v

z

u

xi

u

z

v

y

v

z

u

y

v

r

u

r

S

S

22

222

1)(

,

,

,

,

,

,)(

,

,,

,,

,

www.monografias.com


INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES ESCALARES.

Se consideran las siguientes integrales

a) ds b) ds donde es una funcin escalar

METODO DE INTEGRACION DE COORDENADAS CILINDRICAS EN LAS SUPERFICIES.

Cuando se trabaja con cilindros, se puede facilitar el clculo de las integrales de superficie mediante la

introduccin de coordenadas cilndricas.

zz

rseny

rx

ryx

cos

222

kzjrsenirr cos

dzdz

rrsd

dzdz

rrsd

dudvv

r

u

rsd

kjiz

r

kjrirsenr

00

0cos

jrsenirrrsen

kjirr cos

100

0cos

dzrdSA

dssenrrSAS

)(

cos)( 2222

APLICACIONES FISICAS.

Las integrales de superficie se usan para calcular centros de masa, momentos de inercia y campos

electromagnticos de placas curvilneas delgadas.

Centros de Masa.

www.monografias.com


dssM )(

Donde es la densidad y M es la masa

M

dszz

M

dsyy

M

dsxx CCC

OTRAS EXPRESIONES DE INTEGRALES DE SUPERFICIE.

dxdyZZzyxfdszyxf yx 221),,(),,(

Donde xyR es la proyeccin de S respecto al plano xy

INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES VECTORIALES.

Definiendo las integrales de funciones vectoriales sobre superficies tenemos: Sea la funcin vectorial

definida sobre una superficie la cual esta parametrizada mediante el vector de posicin:

kvuzjvuyivuxvurr ),(),(),(),(

Escalar

dudv

v

r

u

rfsdf

Vectorial dsnsdsdf

Ejemplo:

Hallar el flujo rf

a travs de la superficie de la esfera 2222 Rzyx

R

z

R

y

R

xn

zyx

zyxn

zyx

zyxn

,,

,,

444

2,2,2

222

222

32

222

4)4(

,,),,(

RRRdsRRds

dsR

zyx

dsR

z

R

y

R

xzyx

INTEGRALES DE VOLUMEN.

El dV esta dado por dV = dxdydz las integrales de volumen que se consideran en este capitulo son:

www.monografias.com


dVf

dV

Escalares

dVf

Vectorial

Ejemplo:

Si 1),,( zyx y R es la regin que representa un volumen V

VdV

dV

dV

R

R

R

)1(

CAPITULO IV: TEOREMAS DE INTEGRACION

INTRODUCCION.

En el capitulo anterior se estudio el calculo vectorial, en el presente capitulo se estudiaran los siguientes

teoremas de integracin vectorial.

i) Teorema de Green

ii) Teorema de Gauss

iii) Teorema de Stokes

TEOREMA DE GREEN.

Considerado f

una funcin vectorial

jQiPf

Donde ),(

),(

yxQQ

yxPP

RC

dxdydy

dP

dx

dQrdf

Siempre y cuando P y Q son continuas en una regin R adems existen sus 1 derivadas parciales.

www.monografias.com


Mediante la aplicacin del teorema de Green se podr determinar el rea de algunas figuras planas.

Demostracin:

C

ax

bx

bx

ax

ax

bx

bx

ax

bx

ax

y

y

PdxdxyxPdxyxPdxyxP

dxyxPyxPdxyxPdxdydy

dP

dxdydy

dP

dx

dQrdf

),(),(),(

),(),(),(

111121

1121

2

1

Por otro lado:

C

cy

dy

cy

dy

cy

dy

cy

dy

cy

dy

x

x

QdydyyxQdyyxQdyyxQ

dyyxQyxQdyyxQdxdydx

dQ

),(),(),(

),(),(),(

111121

1121

2

1

Demostramos que:

dxdydy

dP

dx

dQrdf

El Teorema de Green puede expresarse en forma vectorial de la siguiente manera:

RC

dxdyKfrdf

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA EN EL PLANO.

Tambin se conoce como teorema de la divergencia y se expresa:

www.monografias.com


RC

dxdyfdsnf

dttrds

jds

dyi

ds

dx

ds

rdT

KTn

)(

Ejemplo:

C

C

QdyPdx

jdxidyjPiQ

dsjs

xi

s

yjPiQ

is

yj

s

xn

kjs

yki

s

xn

kjs

yi

s

xn

yxPP

yxQQjPiQf

)()(

)(

),(

),(

Por otro lado:

dxdyy

P

x

Q

y

P

x

Qf

jPiQf

R

)(

TEOREMA DE STOKES.

El teorema de Stokes establece que si S es una superficie limitada por una curva cerrada C y f

es una

funcin vectorial que tiene 1 derivadas parciales continuas sobre una superficie S y la curva C.

www.monografias.com


Entonces se puede expresar que integral de lnea: Circulacin de f

SC

sdfrdf

Flujo del rotacional a travs de S

Interpretacin fsica:

Establece que la circulacin total alrededor de una curva C es igual al flujo del rotacional

),,(

),,(

),,(

zyxRR

zyxQQ

zyxPP

kRjQiPf

En coordenadas rectangulares el teorema de Stokes esta dado por:

RQP

zyx

kji

f

RdzQdyPdxrdfC

ky

P

x

Qj

x

R

z

Pi

z

Q

y

R

Por otro lado:

www.monografias.com


kdsjdsidsdsnsd

kjin

dsnsd

sdky

P

x

Qj

x

R

z

Pi

z

Q

y

Rdsf

coscoscos

coscoscos

)coscos(cos kdsjdsidsk

y

P

x

Qj

x

R

z

Pi

z

Q

y

Rdsf

dsdxdy

ds

dxdy

cos

cos

Por lo tanto:

RxyRzxRyzC

dxdyy

P

x

Qdxdz

x

R

z

Pdydz

z

Q

y

RRdzQdyPdx

TEOREMA DE GAUSS O TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.

La definicin de divergencia esta dada como:

S

Vsdf

VLimfdiv

10

El teorema de la divergencia o Gauss es una definicin de una generacin.

Por lo tanto:

SR sdfdVf

Ejemplo:

2222222 RzyxRzyx

dsnfsdf

kzjyixr

rf

www.monografias.com


R

z

R

y

R

xn

zyx

zyxn

zyx

zyxn

,,

,,

444

2,2,2

222

222

32

222

4)4(

,,),,(

RRRdsRRds

dsR

zyx

dsR

z

R

y

R

xzyx

Por divergencia:

33 43

433

3

RRdV

f

rf

TRANFORMACION DE INTEGRALES DE VOLUMEN A INTEGRALES DE SUPERFICIE.

Teorema de Gauss.

El teorema de Gauss representa una transformacin de una integral de volumen a una integral de

superficie.

SR sdfdVf

Teorema del Gradiente.

Expresa que la funcin es una funcin escalar continua en una regin R limitada por una superficie S.

Se tiene:

SR sddV

Teorema del rotacional.

Expresa que si f

es una funcin vectorial contina en una regin R limitada por una superficie S.

SR fsddVf

CAPITULO V: COORDENADAS CURVILINEAS

INTRODUCCION.

www.monografias.com


02

Ejemplo:

Si )(ruu donde 222 zyxr y r

esta expresado en coordenadas esfricas

cr

ru

ru

2)(

?)(

2

2

COORDENADAS CURVILINEAS.

Llamamos superficies coordenadas cuando:

cteccc

cwcvcu

321

321

,,

;;

La interseccin entre estas superficies coordenadas se conoce como lneas coordenadas

wvu ,, Lneas coordenadas

WVU eee ,, Vectores unitarios normales

wvu eee ,, Vectores unitarios tangentes

Las ecuaciones que relacionan los sistemas coordenados y curvilneos son:

0,,

,,0

,,

,,

),,(

),,(

),,(

),,(

),,(

),,(

: 1

zyx

wvuJ

wvu

zyxJ

zyxww

zyxvv

zyxuu

T

wvuzz

wvuyy

wvuxx

T

Vectores unitarios tangenciales

)`(

)`(

tr

tr

ds

rdT

),,( wvurr

www.monografias.com


Vectores unitarios tangenciales

1

1

1

ww

vv

uu

e

w

r

w

r

e

e

v

r

v

r

e

e

u

r

u

r

e

0

0

0

1

wv

wu

vu

wvu

ee

ee

ee

eee

Vectores unitarios normales

n

1

1

1

WW

VV

UU

ew

we

ev

ve

eu

ue

0

0

0

1

WV

WU

VU

WVU

ee

ee

ee

eee

BASES.

Sistema coordenado

En el sistema coordenado cartesiano se considera como base a los vectores unitarios kji ,,

kjiB ,,

En coordenadas cilndricas se considera vectores base a vectores unitarios tangenciales y normales

www.monografias.com


WVU

wvu

WVU

wvu

HwHvHu

w

rh

v

rh

u

rh

eeeB

eeeB

,,

,,

WVU HHH factores de escala

wvu hhhwvu

zyxJ

,,

,,

Las ternas de vectores

w

r

v

r

u

r

,, y ),,( wvu constituyen un conjunto reciproco de vectores

0

0

1

uw

r

uv

r

uu

r

0

1

0

vw

r

vv

r

vu

r

1

0

0

ww

r

wv

r

wu

r

0

1

nm

nmq

q

rmnn

m

wvuw

r

v

r

u

r

bbbaaa

bbbaaa

1

)(

1

),,(),,(

321

321

321321

COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES.

Ww

Vv

Uu

ee

ee

ee

0

0

0

wv

wu

vu

ee

ee

ee

0

0

0

WV

WU

VU

ee

ee

ee

uhu

r

www.monografias.com


w

r

he

v

r

he

u

r

he

w

w

v

v

u

u

1

1

1

W

W

W

V

V

V

U

U

U

He

He

He

1

1

1

11

11

11

Ww

W

w

Vv

V

v

Uu

U

u

HhH

h

HhH

h

HhH

h

uU

U

WVUWVU

WVWV

WWVVUU

WWVV

VVV

WVU

WV

hH

e

u

r

eeeHHH

eeHH

u

r

HeHeHe

HeHe

u

r

He

u

r

1

Uu

U

Uuu

ee

eHhu

r

h

11

ELEMENTO DIFERENCIAL DE ARCO.

2222222 )()()()( dwhdvhduhds wvu

ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN.

www.monografias.com


wvu

wvu

hhhwvu

zyxJ

dudvdwhhhdv

,,

,,

GRADIENTE.

),,(

111

wvu

ewh

evh

euh

w

w

v

v

u

u

DIVERGENCIA.

Si wwvvuu efefeff

wvuwvuwvu

wvu

hhhw

hhhv

hhhuhhh

f1

ROTACIONAL.

wwvvuu

wwvvuu

wvu

fhfhfhwvu

eheheh

hhhf

1

wwuuvvvvuuvvuuvvww

wvu

ehfhv

fhu

ehfhw

fhu

ehfhw

fhvhhh

f )()()()()()(1

LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES.

wh

hh

wvh

hh

vuh

hh

uhhh w

vu

v

wu

u

wv

wvu

12

COORDENADAS CILINDRICAS.

kzjsenizrr

zz

seny

x

cos),,(

cos

z

rh

z

r

he

rh

r

he

rh

r

he

z

z

z

;1

;1

;1

www.monografias.com


1

coscos

1coscos

22

22

z

rk

z

r

senr

jisenr

senr

jsenir

ke

jisene

jsenie

z

cos

cos

Vectores unitarios Tangenciales

ZHZ

Ze

He

He

ZZ

1

1cos

1cos

ZkZ

jisen

jseni

ke

jisene

jsenie

Z

cos

cos

Vectores Unitarios Normales

z

z

z

ez

ee

ezh

eh

eh

1

11

1

1

111

Para 2tan z

zezeez

tan2sectan

22 Gradiente

www.monografias.com


2sec21

tan1

1

f

zz

f

hhhz

hhhhhhhhh

f zzzz

2sec3 f

Divergencia

CAPITULO VI: ANALISIS TENSORIAL

El anlisis tensorial se centra en el estudio de entes abstractos llamados tensores, cuyas propiedades son independientes de los sistemas de referencia empleados para determinarlos. Un Tensor esta representado

por un sistema de referencia, mediante un conjunto de funciones llamadas componentes igual que u vector

esta determinado mediante sus componentes dadas. El que un conjunto dado represente un Tensor

depende de la ley de transformacin de estas funciones de un sistema coordenado a otro.

Cuando nuestro estudio se restringe a transformaciones de un sistema de coordenadas homogneas a otro,

los tensores que interviene son denominados tensores cartesianos.

Los tensores se clasifican por su orden segn la forma particular a la ley de transformacin que obedecen,

esta misma clasificacin se refleja en el nmero de componentes que posee un tensor dado en un espacio

n-dimensional.

As en un espacio euclidiano tridimensional tal como un espacio fsico ordinario el nmero de componentes

de un tensor es igual a n3 Donde n es el orden del tensor.

Si n es igual a cero tenemos 130 Escalar

Si n es igual a uno tenemos 331 Vector

Si n es igual a dos tenemos 932 Dada

Si n es igual a tres tenemos 2733 Triada

DIADAS Y DIADICAS.

DIADA.

Es el producto indeterminado de dos vectores

ba

El producto indeterminado de vectores `por lo general no es conmutativo.

abba

Al primer vector de una Dada se denomina antecedente y al segundo vector se denomina consecuente.

DIADICA.

Una Didica (D) equivale a un tensor de segundo orden y siempre se representa por una suma finita de

Dadas.

www.monografias.com


N

i

iiNN bababababaD1

332211 ...

(1)

Si en cada Dada de D se intercambian los antecedentes y consecuentes la Didica resultante se denomina

Didica conjugada y se denota como DC

N

i

iiNNC abababababD1

332211 ...

Si cada Dada en (1) se reemplaza por un producto escalar de vectores, se llama escalar de la didica y se

denota por DS :

NNS babababaD

...332211 Escalar

Si cada dada en (1) se sustituye por un producto vectorial de vectores el resultado se denomina vector de

la didica y se denota de esta manera:

NNV babababaD

...332211 Vector

PROPIEDADES DEL PRODUCTO INDETERMINADO DE VECTORES.

Estas obedecen a las leyes distributivas que son las siguientes:

bdcbdacadcba

cbcacba

cabacba

MULTIPLICACION DE UNA DIADICA POR UN VECTOR.

Si V

es un vector cualquiera los productos escalares DV

y VD

son los vectores definidos respectivamente.

VbaVbaVbaVbaVD

baVbaVbaVbaVDV

NN

NN

...

...

332211

332211 Vectores

VbaVbaVbaVbaVD

baVbaVbaVbaVDV

NN

NN

...

...

332211

332211 Didicas

DIADICA UNITARIA.

Se representa por la letra I

nneeeeeeeeI ...332211

ie Vectores unitarios

Coordenadas rectangulares.

kkjjiiI

www.monografias.com


Coordenadas cilndricas.

zzeeeeeeI

Coordenadas esfricas.

eeeeeeI rr

Se cumple que:

VIVVI

PROPIEDADES DE DIADAS.

Definiendo las siguientes Dadas ba

y dc

))(( dbcadcba

Escalar

))((

))((

dbcadcba

dbcadcba

Vectores

))(( dbcadcba

Dada

))(( dbcadcba

Se dice que una didica D es auto conjugada o simtrica si:

CDD

Se dice que una didica es antisimetrica si:

CDD

Cada didica puede ser expresada nicamente como la suma de una didica simtrica y otra antisimetrica

)(2

1)(

2

1CC DDDDD

CONVENIO DE SUMA DE INDICES REPETIDOS.

Cuando algunas sumatorias tenemos:

i

iN

ii

i

N

N

ii

N

i

iiNN

N

i

iiN

xxxxxx

babababababaD

aaaaaa

13

3

2

2

1

1

1

332211

1

321

...

...

...

www.monografias.com


Las sumas anteriores se pueden representar o escribir en una forma mas abreviada adaptando el convenio

de que cuando se aparece un ndice repetido ha de entenderse una suma respecto del mismo desde el

valor 1 hasta el valor N a esto se conoce como el convenio de Einstein.

Ejemplo:

Sea jiji zcx donde el rango de variacin de i, j es de 1 a 3, j es el ndice repetido.

Desarrollar ix

33323213133

32322212122

31321211111

3

2

1

zczczczcxi

zczczczcxi

zczczczcxi

jj

jj

jj

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

z

z

z

ccc

ccc

ccc

x

x

x

NOTACION INDICIAL.

En la notacin indicial se aaden letras como subndices o superndices que representan la cantidad

tensorial deseada. (Ejemplo: j

iij

j

i TDba ,,, ) el numero y la posicin de los ndices libres, directamente el

carcter tensorial exacto de la cantidad expresada por notacin indicial. Los tensores se denotan por que

tienen un ndice libre, el vector a

se puede representar de dos formas i

i aa , a continuacin los siguientes

trminos que tiene solo un ndice libre se consideran como cantidades tensoriales de primer orden.

Ejemplo:

ijicb

i ndice repetido

j ndice libre

TENSORES DE SEGUNDO ORDEN.

Los tensores de segundo orden se denotan por smbolos que tienen dos ndices libres, la dada arbitrarios D

aparecen en u8na de las tres formas posibles.

j

i

i

j

ij

ij DDDD

j

iD

En la forma mixta el punto ( ) indica que j es el segundo ndice

TENSORES DE TERCER ORDEN.

Los tensores de tercer orden se representan con 3 ndices libres un smbolo lamda ( ) que no acompaa a

ningn ndice, representa un escala de orden cero. Para un rano de tres en ambos ndices el smbolo ijA

representa a las componentes del tensor de segundo orden, denominado didica y se representa mediante

una matriz.

www.monografias.com


333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

Aij

De la misma manera podemos representar a un vector.

3

2

1

321

A

A

A

A

AAAA

i

i

El convenio de las sumas se usa para la representacin de tensores con vectores base afectados de ndices

escritos en notacin simblica.

Los tensores de segundo orden tambin se pueden representar por la suma de los ndices base, segn esto

la dada ( ba

) dada en la forma nonium se puede escribir de la siguiente forma:

jijijjii eebaebeaba ))((

En esta expresin es fundamental que se mantengan la secuencia de los vectores base de igual manera

nonium de la didica arbitraria D se puede expresar en forma abreviada de la siguiente manera

jiij eeDD

TRANSFORMACION DE COORDENADAS DE TENSORES.

Si representamos ix el sistema arbitrario de coordenadas, 321 ,, xxx en un espacio euclidiano

tridimensional, 3E y por i cualquier otro sistema de coordenadas 321 ,, en el mismo espacio

tridimensional. A que los superndices son nmeros indicativos y no son exponentes. Las potencias de x se

pueden expresar usando parntesis 232221 )(;)(;)( xxx Las ecuaciones de transformacin de coordenadas

estn dadas por:

),,( 3211 xxxi (1)

La cual asigna a un punto cualquiera ),,( 321 xxx en el sistema ix , un nuevo conjunto de coordenadas

),,( 321 en el sistema i Se supone que las funciones i que relacionan los dos conjuntos de variables coordenadas son funciones de valor nico, continuas y diferenciales, el determinante:

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

xxx

xxx

xxx

J

(2)

En forma abreviada se expresa como:

www.monografias.com


i

i

x

(3)

J se supone el Jacobiano de la transformacin. Si el Jacobiano es diferente de cero tiene un conjunto

inverso de nico de la forma:

0);,,( 321 Jxx ii (4)

Los sistemas de coordenadas representados por iix , en las ecuaciones (1) y (4) son completamente

generales y pueden ser cualquier sistema o cartesiano. Diferenciando la ecuacin (1) se tiene id que esta

dado por:

Diferencial Total. j

j

ii dx

xd

(5)

Esta ecuacin es prototipo de la que se define la clase de tensores conocidos como tensores

contravariantes. Se dice en general que un conjunto de cantidades asociadas a un punto P son las

componentes de orden uno si se transforman bajo una transformacin de coordenadas dadas por la

ecuacin.

Tensor contravariante de orden uno j

j

iii b

xbb

` (6)

i ndice libre

j ndice repetido

Donde las derivadas parciales se calculan en P en la ecuacin (6) jb representa las componentes del

tensor en el sistema de coordenadas ix mientras que ii bb `, representa las componentes en el sistema i

En la teora general de los tensores, los tensores contravariantes se reconocen por el empleo de ndices

escritos como superndices.

Por esta razn aqu se sealan las coordenadas como ix en vez de ix pero hay que tener en cuenta que

esto solamente es as para los diferenciales dx y no para las coordenadas mismas que tienen carcter de

tensor.

Para una generalizacin lgica del concepto de tensor expresado en la ecuacin (6), la definicin de

tensores contravariantes de orden dos requiere que los componentes de un tensor obedezcan a la ley de

transformacin siguiente:

pq

q

j

p

iijij B

xxBB

` (7)

ijij BB ` representa las componentes en el sistema i pqB representa las componentes en el sistema ix

Los tensores de tercer orden y cuarto orden se definen de forma similar. La palabra contravariante se usa

para distinguir a esta clase de tensores conocida como tensores covariantes. En la teora general de los

tensores los tensores covariantes se conocen por el empleo de subndices.

El prototipo de un vector covariante es la derivada parcial de una funcin escalar de coordenadas.

www.monografias.com


As, si es funcin de 321 ,, xxx

)`,`,`( 321 xxx es una funcin tal que la derivada parcial de respecto a i es igual a la derivada

parcial de respecto de j la derivada parcial de:

i

j

ji

x

x

(8)

En general se dice que un conjunto de cantidades ib que son las componentes de un tensor, componentes

de orden uno, se transforman mediante la ecuacin:

ji

j

ii bx

bb

(9)

Tensor covariante de primer orden

i ndice libre

j ndice repetido

Los tensores covariantes de segundo orden obedecen la siguiente ley de la conservacin

pqj

q

i

p

ijij Bxx

BB

`

Esto se generaliza para tensores de tercer y cuarto orden

pqrk

r

j

q

i

p

ijk Bxxx

B

Se llaman tensores mixtos a los combinados entre contravariantes y covariantes

i

jkr

k

q

j

i

pp

qr Axx

xA

Contravariante de orden uno y covariante de orden 2. Tensor mixto tres.

TENSORES DE OREDEN SUPERIOR.

Estos se definen sin ninguna dificultad, tambin son denominados tensores mixtos

abc

dem

e

l

d

c

k

b

j

a

iijk

lm Gxx

xxxG

ESCALARES O INVARIANTES.

Sea una funcin de la coordenadas kx y la correspondiente en la transformacin de un nuevo

conjunto de coordenadas kx si se verifica la igualdad la funcin se denomina escalar o invariante

respecto a la transformacin de coordenadas, dada.

Los escalares son invariantes en toda la transformacin de coordenadas, y se los conoce como tensor de

orden cero, tensor simtrico o hemisimetrico. Se dice que un tensor es simtrico respecto a dos

componentes cualquiera si al intercambiarlas, el nuevo tensor es igual al original, si el nuevo tensor difiere

del original en el signo, este tensor se conoce con el nombre de hemisimetrico o antisimetrico

www.monografias.com


Para: pqr

st

pqr

st

pqr

st

pqr

st

GG

GG

Tensor antisimtrico

OPERACIONES CON TENSORES.

SUMA Y DIFERENCIA.

La suma y la diferencia de dos o ms tensores del mismo orden y tipo, es otro tensor de idntico orden y

tipo.

ststst

pqr

st

pqr

st

pqr

st

CBA

CBA

MULTIPLICACION.

El producto de dos tensores del mismo o diferente orden es otro tensor cuyo orden es la suma de los

rdenes de los tensores dados. A esto se llama producto externo de tensores.

qr

st

r

t

pq

s CBA`*

CONTRACCION.

Si en un tensor de iguala un ndice contravariante y covariante, segn el convenio de ndices repetidos,

debe sumarse respecto de dicho ndice, este otro tensor resultante ser de orden inferior en dos unidades al

tensor original, este proceso se llama contraccin tensorial.

pqr

stG si r = s pq

t

pqr

rt GG

TENSOR METRICO.

Si representamos por ix a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en un espacio euclidiano

tridimensional y por i a cualquier sistema de coordenadas curvilneo.

El vector x

que tiene los componentes cartesianas ix se denomina vector de posicin del punto arbitrario

),,( 321 xxxP referido a los ejes cartesianos rectangulares el cuadrado del elemento diferencial de la

distancia entre dos puntos muy prximos )(xP y )( dxxQ ser la diferencial de rea.

)2(),,(

)1(

)(

321

2

2

ii

ii

ii

xx

dxdxsd

dxdxds

El diferencial de ix

p

p

ii d

xdx

Diferencial de arco

www.monografias.com


pp

q

i

p

i

q

q

ip

p

i

ddxx

ds

dx

dx

ds

2

2)(

q

i

p

i

pq

xxg

Tensor mtrico

qp

pq ddgds 2)(

pqg tensor mtrico o fundamental del espacio

LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL

CALCULO DIFERENCIAL TENSORIAL.

La derivada de un tensor es otro tensor. Esto se hace si se facilita en funcin de combinaciones de las

derivadas parciales de un tensor mtrico, que se conoce como los smbolos de Christoffel. Los tres ndices

de Christoffel a las expresiones.

1 orden

r

pq

p

qr

q

pr

x

g

x

g

x

grpq

2

1,

rpqgpq

ssr ,

rqpgqp

s

qp

s

pq

s

rqprpq

x

g

x

g

x

grqp

rqprpq

sr

r

qp

q

pr

p

qr

,

,,

2

1,

,,

Como rpqrqp ,,

rpqggpq

sg

qp

s

pq

srpqg

pq

s

sr

srsr

sr

,

,

sr

srgg Delta de Kronecker

www.monografias.com


pq

sgrpq sr,

BIBLIOGRAFIA

Anlisis Vectorial y tensorial Sgiegel Coleccin Shaumm

Anlisis Vectorial Makarenko

Vectores y tensores Hinkey

Vectores y tensores Santalo

Anlisis Vectorial Sokolnikoff

Mecnica Terica Spiegel Coleccin Shaumm

Autor:

Nasjo Baldwin

[email protected]

Universidad Mayor de San Andrs Facultad de Ingeniera Bolvia

2008

Analisis Vectorial Tensorial

Documents

Transcript of Analisis Vectorial Tensorial