CAPITULO 1

ANÁLISISVECTORIAL

El enfoque de este apunte es el de un ingeniero o un físico y no el de un matemático ya que las demostraciones se bosquejan en vez de exponerse rigurosamente y se hace énfasis en la interpretación física. El análisis vectorial es una taquigrafía matemática.

1.1 ESCALARES Y VECTORES

El término escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede ser representado por un simple número real (positivo o negativo). Las x, y y z usadas en álgebra básica son escalares, y las cantidades que representan son escalares. Si hablamos de un cuerpo que cae a una distancia L en un tiempo t, o de la temperatura T de cualquier punto en un tazón de sopa cuyas coordenadas son x, y y z entonces L, t, T, x, y y z son todas escalares. El voltaje también es una cantidad escalar , aunque la representación compleja en números complejos de un voltaje sinusoidal (un procedimiento artificioso) produce un

escalar complejo, o fasor, el cual necesita dos números reales para su representación, como la amplitud y el ángulo de fase, o parte real y parte imaginaria. Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud 1 como dirección en el espacio. La fuerza, la velocidad, la aceleración y una línea recta que va de la terminal positiva a la negativa de un acumulador son ejemplos de vectores. Serán de mayor importancia los campos escalares y vectoriales. Un campo (escalar o vectorial) puede definirse matemáticamente como la función del vector que relaciona un origen arbitrario con un punto cualquiera en el espacio. En general es posible asociar algún efecto físico con un campo, como la fuerza sobre la aguja de una brújula en el campo magnético de la tierra o el movimiento de las partículas de humo en el campo definido por el vector velocidad del aire en alguna región del espacio. Es necesario observar que el concepto de campo invariablemente se relaciona con una región. Algunas cantidades se definen en cada punto de una región. Tanto los campos escalares como los vectoriales tienen existencia real.

1 Se adopta la convención de que “magnitud” implica “valor absoluto” por lo tanto, la magnitud de cualquier cantidad es siempre positiva.

La temperatura en todo el tazón de la sopa y la densidad en cualquier punto de la Tierra son ejemplos de campos escalares. Los campos gravitacional y magnético de la Tierra, el gradiente de voltaje en un cable, y el gradiente de temperatura en la punta de un cautín son ejemplos de campos vectoriales. El valor de un campo varía en general tanto con la posición como con el tiempo.En este apunte que utiliza la notación vectorial, los vectores se indicarán con letras negritas: A. Los escalares se escribirán en itálicas: A. Cuando escribimos a mano es costumbre dibujar una flecha sobre la letra que la representa para mostrar el carácter vectorial de la cantidad.

1.2 ALGEBRA VECTORIAL

Con las definiciones de vectores y campos vectoriales que se han establecido, se puede proceder a definir las reglas de la aritmética vectorial, del álgebra vectorial, y (posteriormente) del cálculo vectorial. Ciertas reglas serán similares a las del álgebra escalar, otras serán ligeramente diferentes y otras serán por completo nuevas y extrañas. Esto es de esperarse ya que un vector presenta más información que un escalar, y la multiplicación de dos vectores, por ejemplo, será más complicada que la multiplicación de dos escalares. Existen otras álgebras menos familiares, con reglas muy diferentes. En el álgebra booleana el producto AB puede ser únicamente uno o cero.

La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo, y ésta es fácil de realizar en forma gráfica, aunque resulta imprecisa. La figura 1.1 muestra la suma de dos vectores, A y B. Es fácil observar que A + B = B + A, es decir, que la suma de vectores tiene la propiedad conmutativa. La suma vectorial también tiene la propiedad asociativa

A + (B + C) = (A + B) + C

Obsérvese que cuando un vector se dibuja como una flecha de longitud finita, su localización está definida por la cola de la flecha.

FIGURA 1.1

Dos vectores pueden sumarse gráficamente dibujando ambos vectores desde un origen común y completando el paralelogramo o haciendo que el segundo vector comience en la punta del primero y completando el triángulo; cada uno de estos métodos se generaliza fácilmente para el caso de tres o más vectores.

Los vectores coplanares o vectores que pertenecen a un plano común, como los que se muestran en la figura 1.1, que están sobre el plano del papel, pueden agregarse también expresando cada vector en términos de sus componentes “horizontal” y “vertical” y sumando las componentes correspondientes. Los vectores en tres dimensiones pueden, asimismo, agregarse expresando cada uno de ellos en términos de sus tres componentes y sumando las componentes correspondientes. La regla para la sustracción de vectores se reduce fácilmente con respecto a la suma, dado que siempre se puede expresar A – B como A + (- B); el signo y dirección del segundo vector se invierten, y entonces este vector se suma al primero siguiendo la regla de la adición vectorial. Los vectores pueden multiplicarse por escalares. La magnitud del vector cambia, pero su dirección no, cuando el escalar es positivo. Sin embargo, la dirección se invierte cuando se multiplica por un escalar negativo. La multiplicación de un vector por un escalar también tiene las propiedades asociativa y distributiva del álgebra, es decir,

(r + s)(A + B) = r (A + B) + s (A + B) = rA + rB + sA + sB

La división de un vector por un escalar es simplemente la multiplicación por el recíproco de dicho escalar.

La multiplicación de un vector por un vector se estudia posteriormente en las secciones 1.6 y 1.7 Dos vectores se dicen ser iguales si su diferencia es cero, o A = B si A – B = 0. Cuando se utilizan campos vectoriales siempre se suman o restan vectores que están definidos en el mismo punto. Por ejemplo, el campo magnético total alrededor de un pequeño imán de herradura aparecerá como la suma de los campos producidos por la Tierra y el imán permanente; es decir, el campo total en cualquier punto es la suma de los campos individuales en dicho punto.

1.3 EL SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Para describir con precisión un vector, deben darse algunas longitudes específicas, direcciones, ángulos, proyecciones o componentes. Existen tres métodos sencillos para hacer esto, y cerca de otros diez métodos que resultan útiles en casos muy especiales. Se utilizarán únicamente los tres métodos sencillos, y el más sencillo de éstos es el del sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. En el sistema de coordenadas cartesianas se utilizan tres ejes coordenados perpendiculares entre sí, llamados ejes x, y y z. Se acostumbra elegir un sistema de coordenadas de mano derecha en el cual una rotación del eje x hacia el eje y causaría que un tornillo derecho avanzara en la

dirección del eje z. Los dedos de la mano derecha, pulgar, índice y medio pueden entonces identificar los ejes x, y y z respectivamente. La figura 1.2a muestra un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha.

FIGURA 1.2a) Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha. Si los dedos doblados de la mano derecha indican la dirección de giro por medio de la cual el eje x se haría

coincidir con el eje y, el pulgar muestra la dirección del eje z. b) Localización de los puntos P(1, 2, 3) y Q(2, -2, 1). c) Elemento diferencial de volumen (dv = dxdydz) en coordenadas cartesianas; dx, dy y dz son, en general, diferenciales independientes.

La localización de un punto se hace considerando el punto como la intersección de tres superficies, los planos x = constante, y = constante, y z = constante, siendo las constantes los valores de las coordenadas del punto. La figura 1.2b muestra los puntos P y Q cuyas coordenadas son (1, 2, 3) y (2, -2, 1), respectivamente. Por consiguiente el punto P se localiza en la intersección de los planos x = 1, y = 2, z = 3, mientras que el punto Q se localiza en la intersección de los planos x = 2, y = -2, z = 1. A medida que aparezcan otros sistemas de coordenadas en las secciones 1.8 y 1.9, se espera encontrar puntos que se localicen en la intersección común de tres superficies, no necesariamente planos, pero que sigan siendo mutuamente perpendiculares en el punto de intersección. Si se visualiza la intersección de tres planos en cualquier punto P, cuyas coordenadas sean x, y y z, puede incrementarse el valor de cada coordenada por una cantidad diferencial y obtenerse tres planos ligeramente desplazados que se intersecten en un punto P’ cuyas coordenadas serán x + dx, y + dy, y z + dz. Los seis planos definen un paralelepípedo y tiene una longitud de . El

elemento diferencial de volumen (dv = dxdydz) se muestra en la figura 1.2c; el punto P’ está indicado, pero el punto P se localiza en la única esquina invisible.

1.4 COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS

Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas, se considera primero un vector r que se extiende alejándose del origen. Una manera lógica para identificar este vector es proporcionar las tres componentes vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres ejes coordenados, y cuya suma vectorial debe ser igual al vector dado. Si las componentes vectoriales de un vector r son x, y y z, entonces r = x + y + z. Las componentes vectoriales, se muestran en la figura 1.3a. En vez de un vector ahora se tienen tres, pero esto es un paso hacia delante porque los tres vectores son de naturaleza muy sencilla y cada uno se orienta siempre a lo largo de uno de los ejes coordenados. En otras palabras, las componentes vectoriales tienen una magnitud que depende del vector dado pero cada una tiene una dirección constante y conocida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios que tienen una magnitud unitaria por definición, y se orientan a lo largo de los ejes coordenados en la dirección en la que crecen los valores de las coordenadas. Se reservará el símbolo a para un vector unitario y se identifica su dirección con un subíndice apropiado. Entonces

ax, ay, y az son los vectores unitarios en el sistema de coordenadas cartesianas. Se dirigen a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente, como se muestra en la figura 1.3b.

FIGURA 1.3a) Componentes vectoriales x, y y z del vector r. b) Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables. c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rp. Si la componente vectorial y tiene una magnitud de dos unidades y dirigida hacia donde aumentan los valores de y, se

deberá escribir entonces y = 2ay. Un vector rp que apunta desde el origen a un punto P (1, 2, 3) se escribe como rp = ax + 2ay + 3az. El vector desde el punto P a Q se puede obtener aplicando la regla de la suma vectorial. Esta regla muestra que el vector desde el origen a P más el vector desde P a Q es igual al vector desde el origen a Q . El vector deseado desde P (1, 2, 3) a Q (2, -2, 1) es, por lo tanto,

rP + RPQ = rQ

por lo tanto despejando RPQ

RPQ = rQ – rP = (2 – 1)ax + (- 2 – 2)ay + (1 – 3)az

= ax – 4ay – 2az

Los vectores rP, rQ y RPQ se muestran en la figura 1.3c.

Este último vector no empieza en el origen, como lo hacía el vector r que se consideró al principio. Sin embargo, hemos aprendido que los vectores que tienen la misma magnitud y que apuntan en la misma dirección son iguales, así que para ayudar al proceso de visualización se tiene la libertad de desplazar cualquier vector hasta el origen, antes de determinar sus componentes vectoriales. Desde luego, el paralelismo se debe mantener durante el proceso de desplazamiento.

Si estamos considerando un vector fuerza F en vez de cualquier otro vector excepto uno de desplazamiento tal como el vector r, la dificultad radica en proporcionar letras apropiadas para las tres componentes vectoriales. No sería apropiado llamarlas x, y y z pues representan desplazamientos o distancias dirigidas, medidas en metros o alguna otra unidad de longitud. La dificultad se evita usando componentes escalares, simplemente llamadas componentes Fx, Fy y Fz. Las componentes son las magnitudes, con signo positivo o negativo, de las componentes vectoriales. Se escribe entonces F = Fxax + Fyay + Fzaz. Los componentes vectoriales son Fxax, Fyay y Fzaz. Cualquier vector B, entonces, se puede describir por B = Bxax + Byay + Bzaz. La magnitud de B, denotada por o simplemente B, está dada por

(1)

Cada uno de los tres sistemas coordenados que se estudiarán tendrá tres vectores unitarios fundamentales y mutuamente ortogonales. Es muy necesario saber cómo escribir un vector unitario que tenga una dirección específica. Esto es muy sencillo de hacer, pues un vector unitario en una dirección dada es simplemente un vector en esa dirección dividido por su magnitud. Un vector unitario en la dirección r es , y un vector unitario en la dirección de B es

(2)

Por ejemplo, el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G (2, -2, -1) se puede obtener designando primero un vector G que se extienda desde el origen hasta G (2, -2, -1)

G = 2ax – 2ay - az

entonces se encuentra la magnitud de G,

y finalmente se expresa el vector unitario deseado como el cociente:

D1.1. Dados dos vectores rA = - ax – 3ay – 4az y rB = 2ax + 2ay + 2az, y el punto C (1, 3, 4), encuentre: a) RAB; b) ; c) aA; d) aAB; e) un vector unitario dirigido de C hacia A.(Ver figura D1.1).

a) Encuentre RAB

rB = 2ax + 2ay + 2az

rA = - ax – 3ay – 4az RAB = rB - rA RAB = [2 – (-1)]ax + [2 – (-3)]ay + [2 – (-4)]az

RAB = (3, 5, 6)

b) Encuentre rA = - ax – 3ay – 4az

= = 5.09902

c) Encuentre aA

rA = - ax – 3ay – 4az

= 5.09902

aA = (- 0.19612, - 0.58835, - 0.78446)

d) Encuentre aAB

RAB = (3, 5, 6)

aAB = (0.35857, 0.59761, 0.71714)

e) Encuentre un vector unitario dirigido de C hacia A

RCA = rA - rC

rA = - ax – 3ay – 4az

Punto C (1, 3, 4)

RCA = (-1 –1) ax + (-3 –3) ay + (-4 -4) az

RCA = (-2, -6, -8)

aCA = (- 0.19612, - 0.58835, - 0.78446)

1.5 EL CAMPO VECTORIAL

Se ha definido ya el campo vectorial como una función vectorial de un vector posición. En general, la magnitud y dirección de la función cambiarán conforme se esté moviendo a través de la región, y el valor de la función vectorial debe determinarse a partir de los valores de las coordenadas del punto en cuestión. Puesto que se ha considerado solamente un sistema de coordenadas cartesianas, se espera que el vector sea una función de las variables x, y y z. Si se representa nuevamente el vector posición como r, entonces el campo vectorial G se puede expresar en notación funcional como G(r); un campo escalar T se escribe T(r).

Se encontrarán, en el estudio de electricidad y magnetismo varios campos sencillos, en el cual sólo intervienen una variable y una componente (la componente x y la variable z). También se estudiarán campos más complicados, y los métodos de interpretación física de estas expresiones se analizarán en su momento.

D1.2. Dado el campo vectorial F = 0.4 (y – 2x)ax – [200/(x2 + y2 +z2)]az, a) evaluar en P (-4, 3, 5); b) encontrar un vector unitario que determine la dirección de F en P. Describir el lugar geométrico de todos los puntos para los cuales: c) Fx = 1; d) .

a) evaluar en P (- 4, 3, 5)

FP = 0.4 (3 + 8) ax – (200/16 + 9 +25) az

FP = (4.4, 0, - 4)

b) encontrar un vector unitario que determine la dirección de F en P.

FP = (4.4, 0, -4)

aFp = (0.73994, 0.000, - 0.67267)

c) Describir el lugar geométrico de todos los puntos para los cuales Fx = 1

F = 0.4 (y – 2x)ax – [200/(x2 + y2 +z2)]az

0.4 (y – 2x) = 1

y – 2x = 2.5

y = 2x + 2.5 (plano)

d) Describir el lugar geométrico de todos los puntos para los cuales .

F = 0.4 (y – 2x)ax – [200/(x2 + y2 +z2)]az,

x2 + y2 + z2 = 100 (esfera)

1.6 EL PRODUCTO PUNTO

Dados dos vectores A y B, el producto punto, o producto escalar, se define como el producto de la magnitud de A, la magnitud de B, y el coseno del ángulo entre ellos,

(3)

El producto escalar, que es un escalar, obedece a ley conmutativa,

(4)

puesto que el signo del ángulo no afecta el término del coseno. La expresión se lee “A punto B” o “A escalar B”. Quizá la aplicación más común del producto punto sea en mecánica, donde una fuerza constante F aplicada sobre un

desplazamiento L produce una cantidad de trabajo que se escribe más sencillamente como . Puede anticiparse uno de los resultados del capítulo 4, señalando que si la fuerza varía a lo largo de la trayectoria, es necesario realizar una integración para obtener el trabajo total, y el resultado se convierte en

Puede tomarse otro ejemplo de los campos magnéticos, un tema acerca del cual tendremos mucho que decir más adelante. El flujo total que atraviesa una superficie de área S está dado por BS si la densidad de flujo magnético es perpendicular a la superficie y uniforme sobre ella. Se define el vector de superficie S como aquel cuya magnitud es el área geométrica de la superficie y cuya dirección es normal a la superficie. El flujo que atraviesa la superficie es por consiguiente . Esta expresión es válida para cualquier dirección de la densidad de flujo magnético uniforme. Sin embargo, si la densidad de flujo no es constante sobre la superficie, el flujo total es . En el capítulo 3 se presentan integrales de esta forma. Determinar el ángulo entre dos vectores en un espacio tridimensional es una tarea que con frecuencia se prefiere evitar. Por esta razón, la definición de producto punto en general no se utiliza en su forma básica. Se obtiene un resultado más útil al considerar dos vectores expresados en componentes cartesianos como A = Ax ax + Ayay + Azaz y

B = Bxax + Byay +Bzaz. El producto punto también obedece la ley distributiva, y, por lo tanto, produce la suma de nueve términos escalares, cada uno involucra el producto punto de dos vectores unitarios. Puesto que el ángulo entre dos vectores unitarios diferentes es 90º en el sistema de coordenadas cartesianas, se tiene:

Los tres términos restantes incluyen el producto punto de un vector unitario por sí mismo, lo cual da como resultado la unidad. Finalmente se obtiene

(5)

que es una expresión que no incluye ángulos. Un vector multiplicado a sí mismo en forma punto da como resultado el cuadrado de la magnitud, es decir:

(6)

y cualquier vector unitario multiplicado a sí mismo en forma punto da como resultado la unidad,

Una de las aplicaciones más importantes del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una dirección dada. Si se observa la figura 1.4a, se puede

obtener la componente escalar de B en la dirección especificada por el vector unitario a como:

El signo de la componente es positiva si y negativo cuando . Para obtener la componente vectorial de B en la dirección de a, simplemente se multiplica la componente (escalar) por a, como se ilustra en la figura 1.4b. Por ejemplo, la componente de B en la dirección de ax es y la componente vectorial es Bxax o . Por tanto, la dificultad de encontrar la componente de un vector en cualquier dirección deseada se convierte en la dificultad de encontrar un vector unitario en esa dirección, y eso siempre se puede hacer. El término geométrico proyección también se expresa con el producto punto. De manera que resulta ser la proyección de B en la dirección de a.

a) La componente (escalar) de B en la dirección del vector unitario a es . b) La componente vectorial de B en la dirección del vector unitario a es Como un ejemplo de estas definiciones y operaciones considérese un vector campo G = yax – 2.5xay + 3az en el punto Q (4, 5, 2). Entonces, G (rQ) = 5ax – 10ay + 3az. Ahora se define una dirección como

Entonces,

,

es la componente escalar de G en Q en la dirección de aN y la componente vectorial es

–2aN = ( - 1.333ax – 0.667ay + 1.333az)

El ángulo entre G(rQ) y aN se encuentra a partir de

y D1.3 Dados los puntos A (2, 5, -1), B (3, -2, 4) y C (-2, 3, 1), encuentre: a) ; b) el ángulo entre RAB y RAC; c) la longitud de la proyección de RAB sobre RAC; d) el vector de proyección de RAB sobre RAC.(Ver figura D1.3)

a) Dados los puntos A (2, 5, -1), B (3, -2, 4) y C (-2, 3, 1), encuentre

RAB = (1, -7, 5)

RAC = (-4, -2, 2)

= 20

b) Encuentre el ángulo entre RAB y RAC

es la respuesta del inciso (a);RAB = (1, -7, 5) y RAC = (-4, -2, 2) los obtuve en el inciso (a)

c) Encuentre la longitud de la proyección de RAB sobre RAC

RAB = (1, -7, 5); RAC = (-4, -2, 2) estos vectores los obtuve en el inciso (a).

d) Encuentre el vector proyección de RAB sobre RAC

este producto escalar de dos vectores lo obtuve en el inciso (c)

este vector lo obtuve en el inciso (c)

entonces

4.08248 aAC = 4.0825(- 0.8165, - 0.40825, 0.40825)

4.08248 aAC = (- 3.3333, - 1.6667, 1.6667)

1.7 EL PRODUCTO CRUZ

Dados dos vectores A y B, se define el producto cruz o producto vectorial, de A y B, que se indica por medio de una cruz entre estos vectores como y se lee “A vectorial B”. El producto vectorial es un vector; la magnitud de A x B es igual al producto de las magnitudes de A, B y el seno del ángulo más pequeño entre A y B; la dirección de es perpendicular al plano que contiene a A y a B, y de las dos

posibles perpendiculares, está a lo largo de aquella que apunta en la dirección en la que avanzaría un tornillo derecho si A se girara hacia B. Esta dirección se ilustra en la figura 1.5. Recuérdese que cada vector puede ser desplazado a voluntad, manteniendo una dirección constante, hasta que los dos vectores tengan un “origen común”. Esto determina al plano que contiene a ambos. Sin embargo, en la mayor parte de las aplicaciones se trabajará con vectores definidos en el mismo punto.

FIGURA 1.5La dirección de está en la dirección de un tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B.Como ecuación, se puede escribir:

(7)

donde una explicación adicional, semejante a la que se dio anteriormente, aún se requiere para determinar la dirección del vector unitario aN. El subíndice significa la “normal”. Si se invierte el orden de los vectores A y B resulta un vector en la dirección opuesta a la del vector unitario, y se ve que el producto cruz no es conmutativo puesto que

. Si la definición del producto cruz se aplica a los vectores unitarios ax y ay se encuentra que ax x ay = az, pues cada vector tiene una magnitud unitaria, los dos vectores son perpendiculares, y la rotación de ax hacia ay indica la dirección positiva de z por la definición del sistema de coordenadas de la mano derecha. De manera similar ay x az = ax y az x ax = ay. Observe la simetría alfabética. En tanto los tres vectores ax, ay y az se escriban en orden (y suponiendo que ax le sigue az, como tres elefantes en un círculo, agarrados de sus colas, de modo que también se pueda escribir ay, az, ax o az, ax, ay), entonces la cruz y el signo igual se pueden colocar en uno u otro de los dos espacios vacantes. En realidad, ahora es más fácil definir un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha diciendo que ax x ay = az. Un ejemplo sencillo del uso del producto cruz se puede tomar de la geometría o la trigonometría. Para encontrar el área de un paralelogramo, el producto de las longitudes de

dos lados adyacentes se multiplica por el seno del ángulo entre ellos. Cuando se usa la notación vectorial para los dos lados, entonces se puede expresar el área (escalar) como la magnitud de ó . La evaluación del producto vectorial por medio de su definición resulta más laboriosa que la evaluación del producto punto por medio de su definición, pues no sólo se debe encontrar el ángulo entre los vectores, sino también una expresión para el vector unitario. Esta tarea se puede evitar usando componentes cartesianos para los dos vectores A y B y desarrollando el producto cruz como una suma de nueve productos cruz simples, donde cada uno involucra dos vectores unitarios,

A x B = AxBxax x ax + AxByax x ay + AxBzax x az

+ AyBxay x ax + AyByay x ay + AyBzay x az

+ AzBxaz x ax + AzByaz x ay + AzBzaz x az

Ya se ha demostrado que ax x ay = az, ay x az = ax, y az x ax = ay, y de donde se deduce que ay x ax = -az, az x ay = -ax, y ax x az = -ay. Los tres términos restantes son cero, pues el producto cruz de cualquier vector a sí mismo es cero, dado que el ángulo entre ellos es cero. Estos resultados se pueden combinar para dar:

A x B= (AyBz – AzBy)ax + (AzBx – AxBz)ay + (AxBy –AyBx)az (8)

o pueden escribirse en forma de un determinante que resulta mucho más fácil de recordar:

Entonces, si A = 2ax – 3ay +az y B = -4ax – 2ay + 5az, se tiene que

= [(-3)(5) – (1)(-2)]ax – [(2)(5) – (1)(-4)]ay + [(2)(-2) – (-3)(-4)]az

D1.4 Un triángulo está definido por los tres puntos A (2, -5, 1), B (-3, 2, 4) y C (0, 3, 1) encuentre: a) ; b) el área del triángulo; c) un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza (ver figura D1.4).

a) Encuentre

RBC = (3, 1, -3) RBA = (5, -7, -3)

[(1)(-3) – (-3)(-7)]ax – [(3)(-3) – (-3)(5)]ay + [(3)(-7) – (1)(5)]az

RBC x RBA = (-24, -6, -26)

b) Encuentre el área del triángulo

Área = 17.94436

c) Encuentre un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triángulo.

1.8 OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS: COORDENADAS CILÍNDRICAS CIRCULARES

El sistema de coordenadas cartesianas en general es el que más se prefiere por los estudiantes para resolver las dificultades. Esto implica con frecuencia un mayor trabajo para el estudiante, porque muchos de los ejercicios poseen un tipo de simetría que requiere un tratamiento más lógico. Teniendo en mente que se ahorrará trabajo se estudiarán las coordenadas cilíndricas y esféricas.Generalmente se refiere uno a las coordenadas cilíndricas circulares sencillamente como coordenadas cilíndricas. Hago notar que existen otros sistemas de coordenadas tales como las coordenadas cilíndricas elípticas, las coordenadas cilíndricas hiperbólicas, las coordenadas cilíndricas parabólicas y otras.

FIGURA 1.6a) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas cilíndricas circulares. b) Los tres vectores unitarios de un sistema cilíndrico circular. c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas cilíndricas circulares, , y son elementos de longitud.

Cada punto debe considerarse como la intersección de tres superficies mutuamente perpendiculares. Estas superficies forman un cilindro circular , un plano y

otro plano (z = constante). Las tres superficies de las coordenadas cilíndricas circulares se muestran en la figura 1.6a. Tendrán que definirse también tres vectores unitarios. Se observará que se dirigen hacia donde aumentan los valores de las coordenadas y que son perpendiculares a la superficie sobre la cual ese valor de la coordenada es constante. El vector unitario en un punto P se dirige radialmente hacia afuera y es normal a la superficie cilíndrica . Está contenido en los planos y z = z1. El vector unitario es normal al plano , apunta en la dirección en que crece el valor de , pertenece al plano z = z1 y es tangente a la superficie cilíndrica . El vector unitario az es el mismo que el vector unitario az del sistema de coordenadas cartesianas. La figura 1.6b muestra los tres vectores unitarios en coordenadas cilíndricas. Los vectores unitarios y , varían según la coordenada , puesto que cambian sus direcciones. Entonces, en la integración o diferenciación con respecto a ,

y deben tratarse como variables dependientes. De nuevo, los vectores unitarios son perpendiculares entre sí, ya que cada uno es normal a una de las tres superficies mutuamente perpendiculares; puede definirse un sistema coordenado cilíndrico de mano derecha como aquel en el cual . Un elemento diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas se puede obtener aumentando los valores de y

z por medio de incrementos diferenciales , y . Los dos cilindros de radios y , los dos planos radiales con ángulos y y los dos planos “horizontales” con “elevaciones” z y z + dz, encierran un volumen pequeño, como se muestra en la figura 1.6c, que tiene la forma de una cuña truncada. A medida que el elemento diferencial de volumen se hace más pequeño, su forma se aproxima a la de un paralelepípedo rectangular cuyos lados son de longitud , y . Debe notarse que y son dimensionalmente longitudes pero no lo es; en cambio, sí tiene dimensiones de longitud. Las superficies tienen áreas de , y y el elemento diferencial de volumen es .

FIGURA 1.7Relación existente entre las variables cartesianas x, y, z y las variables cilíndricas . No existe diferencia en la variable z entre los dos sistemas.

Las variables de los sistemas de coordenadas cilíndricas y rectangulares se relacionan fácilmente unas con otras. Con respecto a la figura 1.7 se observa que

(10)

z = z

Desde otro punto de vista, las variables cilíndricas pueden expresarse en términos de x, y y z:

(11)

z = z

Se considerará que la variable es positiva o cero, y por lo tanto se usa sólo el signo positivo para el radical en (11). El valor correcto del ángulo se determina por inspección de los signos de x y y. Por ejemplo, si x = -3 y y = 4, se encuentra que el punto está en el segundo cuadrante en y

. Para x = 3 y y = -4, se tiene o , escogiéndose el valor que sea más conveniente.

Cuando se utiliza

(10)

z = z

o

(11)

z = z

las funciones escalares dadas en un sistema de coordenadas se transforman con facilidad a otro sistema. No obstante, una función vectorial en un sistema de coordenadas, requiere dos pasos para ser transformada a otro sistema de coordenadas, porque generalmente se necesita un conjunto distinto de componentes vectoriales. Esto es, se puede dar un vector cartesiano

A = Axax + Ayay + Azaz

para el cual cada componente se escribe como función de x, y y z, y se necesita un vector en coordenadas cilíndricas

en la cual cada componente se da como función de y z. Para encontrar cualquier componente deseada, de un vector, recuérdese, como se estudió en el producto punto, que una componente en cierta dirección deseada puede obtenerse tomando el producto punto del vector con un vector unitario en la dirección deseada. De aquí,

y

Al desarrollar estos productos punto, se tiene

(12)

(13)y

Az = (Axax + Ayay + Azaz) az = Azaz az = Az (14)

puesto que y son cero. Para completar la transformación de las componentes, es necesario conocer los productos punto y

Por medio de la definición de producto punto se observa que, dado que estamos trabajando con vectores unitarios, el resultado es simplemente el coseno del ángulo entre los dos vectores unitarios implicados. Con respecto a la figura 1.7

y si se piensa con ahínco, se identifica el ángulo entre y como , y entonces , pero el ángulo entre y es

y . Para usé la identidad trigonométrica:

cos (u-v) = cosu cosv + senu senv.

Por lo que u = 90º, v = . cos (90º - ) = cos90º cos + sen90º sen

Los restantes productos punto de los vectores unitarios se encuentran de manera similar, y los resultados se tabulan como funciones de en la tabla 1.1.

TABLA 1.1Producto punto de vectoresunitarios del sistema de coordenadas cilíndricas ydel sistema cartesiano

az

00

0 0 1

La transformación de vectores de coordenadas cartesianas a cilíndricas y viceversa se realiza empleando (10) u (11) para cambiar variables, y empleando los productos punto de los vectores unitarios dados en la tabla 1.1 para cambiar componentes. Los dos pasos pueden efectuarse en cualquier orden. Como un ejemplo se transformará el vector en coordenadas cilíndricas. Las nuevas componentes son:

Entonces,

D1.5 Dados los puntos A(x =2, y = 3, z = -1) y , encuentre la distancia desde:

a) A al origen; b) B al origen; c) A hasta B.

a) Encuentre la distancia desde A al origen. Origen:

b) Encuentre la distancia desde B al origen

x = 4cos(-50o)

x = 2.57115

y = 4sen(-50o)

y = - 3.06418

Origen:

c) Encuentre la distancia desde A hasta B

A(x = 2, y = 3, z = -1)B(x = 2.57115, y = - 3.06418, z = 2)

RAB = (0.57115,- 6.06418, 3)

D1.6 Exprese en coordenadas cilíndricas cada uno de los siguientes vectores en el punto especificado: a) 5ax en

; b) 5ax en Q(x = 3, y =4, z = -1); c) 4ax – 2ay – 4az en A(x = 2, y = 3, z =5).

a) Exprese en coordenadas cilíndricas el vector en .

Al vector le asigno la letra

entonces

de la tabla 1.1

de la tabla 1.1

el vector en coordenadas cilíndricas es:

Exprese en coordenadas cilíndricas el vector en

b) Exprese en coordenadas cilíndricas el vector en Q(x = 3, y = 4, z = -1)

Al vector le asigno la letra

entonces

El ángulo es:

de la tabla 1.1

de la tabla 1.1

anteriormente obtuve

el vector en coordenadas cilíndricas es Exprese en coordenadas cilíndricas el vector en Q(x = 3, y = 4, z = -1)

c) Exprese en coordenadas cilíndricas el vector 4ax – 2ay – 4az en A(x = 2, y = 3, z = 5). Al vector 4ax – 2ay – 4az le asigno la letra G = (4, -2, -4)

El ángulo es

G = (4, -2, -4)

de la tabla 1.1

Gz = - 4

el vector en coordenadas cilíndricas es

Exprese en coordenadas cilíndricas el vector 4ax – 2ay – 4az en A(x = 2, y = 3, z = 5).

1.9 EL SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS

Se empezará construyendo un sistema de coordenadas esféricas tomando como referencia tres ejes cartesianos (Fig. 1.8a). Se define primero la distancia r desde el origen a cualquier punto. La superficie r = constante es una esfera. La segunda coordenada es un ángulo entre el eje z y la línea trazada desde el origen hasta el punto considerado. La superficie = constante es un cono, y las dos superficies, cono y esfera, son perpendiculares en todas partes a lo largo de su intersección, la cual es un círculo de radio . La tercera coordenada es también un ángulo y es exactamente igual que el ángulo de las coordenadas cilíndricas. Este es un ángulo entre el eje x y la proyección en el plano z = 0 de la línea trazada desde el origen hasta el punto. La superficie = constante es un plano que pasa a través de la línea = 0 (el eje z). Nuevamente se considera cualquier punto como la intersección de tres superficies mutuamente perpendiculares-una esfera, un cono y un plano- cada una orientada en la forma descrita anteriormente. Las tres superficies se muestran en la figura 1.8b.

FIGURA 1.8

a) Las tres coordenadas esféricas. b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esféricas. c) Los tres vectores unitarios de las coordenadas esféricas: . d) elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esféricas.

Pueden definirse otra vez tres vectores unitarios en cualquier punto. Cada vector unitario es perpendicular a una de las tres superficies mutuamente perpendiculares y se orienta en la dirección en la cual la coordenada aumenta. El vector unitario ar apunta radialmente hacia fuera, es normal a la esfera r = constante y está contenido en el cono = constante y en el plano = constante. El vector unitario es normal a la superficie cónica, está contenido en el plano, y es tangente a la esfera. El tercer vector unitario es el mismo de las coordenadas cilíndricas, es normal al plano y tangente al cono y a la esfera. Los tres vectores unitarios se muestran en la figura 1.8c. Desde luego, son mutuamente perpendiculares y definen un sistema de coordenadas de la mano derecha en el cual . Este sistema es derecho, como lo demostrará una inspección de la figura 1.8c cuando se aplica la definición del producto cruz. La regla de la mano derecha sirve para identificar el pulgar, el índice y el medio con la dirección de crecimiento de y , respectivamente. (Obsérvese que esta identificación en las coordenadas cilíndricas se hacía con y z, y en las coordenadas cartesianas con x, y y z). Un elemento diferencial de volumen se puede construir en coordenadas esféricas aumentando r, y por dr,

y , respectivamente, como se muestra en la figura 1.8d. La distancia entre dos superficies esféricas de radios r y r + dr es dr; la distancia entre los dos conos generados por los ángulos y es ; y la distancia entre los dos planos

radiales con ángulos y es , después de razonar un poco con los conceptos de trigonometría. Las áreas de las superficies son , , y

, y el elemento diferencial de volumen es .

La transformación de escalares de un sistema de coordenadas cartesianas a esféricas se hace fácilmente utilizando la figura 1.8a

para relacionar los dos conjuntos de variables:

(15)

La transformación en la dirección opuesta se lleva a cabo con la ayuda de:

(16)

Los ángulos se colocan en los cuadrantes adecuados inspeccionando los signos de x, y y z. La transformación de vectores requiere la determinación de los productos de los vectores unitarios en coordenadas cartesianas y esféricas. Se resuelven estos productos a partir de la figura 1.8c y con un poco de trigonometría. Puesto que el producto punto de cualquier vector unitario esférico por cualquier vector unitario cartesiano es igual a la componente del vector esférico en la dirección del vector cartesiano, los productos punto con az son:

Los productos punto con ax y ay requieren primero la proyección del vector unitario esférico sobre el plano xy y luego la proyección sobre el eje deseado.

TABLA 1.2Productos punto de vectores unitarios en sistemas de coordenadas esféricas y cartesianas.

ar

0

Por ejemplo, se obtiene proyectando ar sobre el plano xy, dando , y proyectando después sobre el eje x, lo cual produce . Los otros productos punto se encuentran de manera similar, y se muestran en la tabla 1.2. El procedimiento de transformación se puede ilustrar considerando al vector . Se encuentran las tres

componentes esféricas aplicando el producto punto de G con el vector unitario apropiado y cambiando las variables durante el procedimiento:

Se recopilan estos resultados y se tiene:

D1.7. Dados los puntos A(x = 2, y = 3, z = -1) y , encuentre: a) las coordenadas esféricas de A;

b) las coordenadas cartesianas de B; c) la distancia desde A hasta B.

a) encuentre las coordenadas esféricas de A A(x = 2, y = 3, z = -1)

b) encuentre las coordenadas cartesianas de B.

c) encuentre la distancia desde A hasta B

A( 2, 3, -1)

RAB = (-0.8452, 1.464, 3.625) – (2, 3, -1) = (-2.84524, -1.536, 4.62523)

D1.8. Exprese en coordenadas esféricas cada uno de los siguientes vectores en el punto especificado: a) 5ax en

; b) 5ax en A(x = 2, y = 3, z = -1); c) 4ax – 2ay – 4az en P(x = -2, y = -3, z = 4)

a) exprese en coordenadas esféricas el vector 5ax en

utilizo la letra G para expresar el vector 5ax

G = 5ax = (5, 0, 0)

de la tabla 1.2

de la tabla 1.2

de la tabla 1.2

Se recopilan estos resultados y se tiene:

exprese en coordenadas esféricas el vector 5ax en

b) exprese en coordenadas esféricas el vector 5ax en A(x = 2, y = 3, z = -1)

Expreso el vector 5ax con la letra G

G = 5ax = (5, 0, 0)

de la tabla 1.2

Ahora

de la tabla 1.2

Ahora

de la tabla 1.2

Se recopilan estos resultados y se tiene:

exprese en coordenadas esféricas el vector 5ax en A(x = 2, y = 3, z = -1)

c) exprese en coordenadas esféricas el vector 4ax – 2ay – 4az en P(x = -2, y = -3, z = 4).

P(x = -2, y = -3, z = 4). Inspeccionando los signos de x y y el ángulo se colocó en el tercer cuadrante.

G = 4ax – 2ay – 4az = (4, -2, -4)

de la tabla 1.2

;

Ahora

de la tabla 1.2

Ahora

de la tabla 1.2

Se recopilan estos resultados y se tiene:

exprese en coordenadas esféricas el vector 4ax – 2ay – 4az en P(x = -2, y = -3, z = 4).

EJERCICIOS DE FINAL DE CAPÍTULO

1.20. Encuentre, en coordenadas cilíndricas: a) un vector unitario en en dirección de

; b) un vector unitario en P paralelo a ; c) un vector unitario en paralelo a ;

d) en P.

a) Encuentre, en coordenadas cilíndricas: a) un vector unitario en en dirección de

Sustituyo el valor de las variables cilíndricas en el campo vectorial

Ahora, encuentro en coordenadas cilíndricas un vector unitario en . Por definición el vector unitario es el vector entre su magnitud:

b) Encuentre, en coordenadas cilíndricas un vector unitario en paralelo a .

El vector en coordenadas rectangulares es y lo expreso como el vector .

Entonces, para encontrar la componente

de la tabla 1.1

Ahora, encuentro la componente

de la tabla 1.1

No hay componente .Se recopilan estos resultados y se tiene:

este vector es un vector unitario, ya que en coordenadas rectangulares es un vector unitario, por lo tanto, las componentes en coordenadas cilíndricas corresponden a un vector unitario

c) Encuentre, en coordenadas cilíndricas un vector unitario en paralelo a .

El vector en coordenadas rectangulares es y lo expreso como el vector .

Entonces, para encontrar la componente

de la tabla 1.1

Ahora, encuentro la componente

de la tabla 1.1

No hay componente .Se recopilan estos resultados y se tiene:

este vector es un vector unitario, ya que en coordenadas rectangulares es un vector unitario, por lo tanto, las

componentes en coordenadas cilíndricas corresponden a un vector unitario d) Encuentre, en coordenadas cilíndricas en

.

para encontrar la componente

de la tabla 1.1

Ahora, encuentro la componente

de la tabla 1.1

La componente en coordenadas cilíndricas es la misma que en coordenadas rectangulares:

Se recopilan estos resultados y se tiene:

1.24. a) Calcule el volumen definido por , . b) ¿Cuál es la longitud de la línea recta más larga que puede contener dicho volumen? c) Encuentre el área total de su superficie.

a) Calcule el volumen definido por , .

el ángulo lo expreso en radianes

unidad cúbica

b) ¿Cuál es la longitud de la línea recta más larga que puede contener dicho volumen?

Ubico el punto inicial y el punto final de la diagonal interna del volumen, expreso los puntos en coordenadas rectangulares, resto el punto final del punto inicial y obtengo el vector de la diagonal interna, posteriormente obtengo la longitud por medio del teorema de Pitágoras.

Los datos que tengo son: , ,

punto inicial:

para expresar el punto inicial en coordenadas rectangulares, utilizo la ecuación (10):

por lo tanto el punto inicial en coordenadas rectangulares es:

Ahora, Los datos que tengo son: , , .

punto final:

para expresar el punto final en coordenadas rectangulares, utilizo la ecuación (10):

por lo tanto el punto final en coordenadas rectangulares es:

anteriormente obtuve el punto inicial:

Ahora obtengo el vector que va del punto inicial al punto final

c) Encuentre el área total de la superficie

Primero encuentro las dos áreas laterales que son iguales (ver el modelo de coordenadas cilíndricas), por lo tanto multiplico por dos

los datos que tengo son:

, .

unidades cuadradas

Ahora, encuentro el área superior e inferior y que son iguales (ver el modelo de coordenadas cilíndricas), por lo tanto multiplico por dos

los datos que tengo son:

,

unidades cuadradas

Por último, encuentro el área exterior y posteriormente el área interior, ya que estas son diferentes, pues tienen diferente radio (ver el modelo de coordenadas cilíndricas)

los datos que tengo son:

, ,

la evalúo en 6

unidades cuadradas

Para el área interior

los datos que tengo son:

, ,

la evalúo en 4

el resultado de la multiplicación de las dos integrales lo obtuve anteriormente, por lo tanto

unidades cuadradas

Por último sumo las áreas laterales, superior e inferior y exterior e interior para encontrar el área de la superficie total.

unidades cuadradas

1.26. Una intensidad de campo eléctrico está dada como . En el punto en el cual las

coordenadas esféricas son: encontrar: a) ; b) un vector unitario (en coordenadas rectangulares) en la dirección de E.

a) Una intensidad de campo eléctrico está dada como . En el punto en el cual las

coordenadas esféricas son encontrar

b) Encuentre un vector unitario (en coordenadas rectangulares) en la dirección de E.

Encuentro el vector unitario en coordenadas esféricas

Encuentro el vector unitario en coordenadas rectangulares. Como el vector es un vector unitario en coordenadas esféricas al encontrar las componentes en coordenadas rectangulares, automáticamente tendré el vector unitario en coordenadas rectangulares. Esto lo puedo comprobar utilizando la definición de vector unitario y que es: el vector entre su magnitud y la magnitud de este nuevo vector es 1.

Encuentro la componente

de la tabla 1.2

Encuentro la componente

de la tabla 1.2

Por último encuentro la componente

de la tabla 1.2

Recopilo estos resultados y tengo las componentes del vector unitario en coordenadas rectangulares

o

1.29. Una superficie cerrada está definida en coordenadas esféricas por , , . a) Encuentre el volumen encerrado. b) Encuentre la distancia de a c) Encuentre el área total de la superficie.

a) Una superficie cerrada está definida en coordenadas esféricas por , , . Encuentre el volumen encerrado.

El elemento diferencial de volumen en coordenadas esféricas es:

unidades cúbicas

b) Una superficie cerrada está definida en coordenadas esféricas por , , . Encuentre la distancia de a

Necesito cambiar las variables de coordenadas esféricas a rectangulares para obtener el vector que va del punto 1 al punto 2, . Para luego obtener la magnitud del vector

.

Las variables del en coordenadas rectangulares las obtengo de la ecuación 15.

Enseguida

Por último

Por lo tanto tengo en coordenadas rectangulares

Las variables del en coordenadas rectangulares las obtengo de la ecuación 15.

Enseguida

Por último

Por lo tanto tengo en coordenadas rectangulares: .

Ahora

y la distancia del punto 1 al punto 2 es:

unidad lineal

c) Una superficie cerrada está definida en coordenadas esféricas por , , . Encuentre el área total de la superficie.

Para la superficie más cercana al origen respecto a (ver el modelo de coordenadas esféricas) tengo el elemento diferencial de superficie

evaluada en

unidades cuadradas

Para la superficie más lejana al origen respecto a (ver el modelo de coordenadas esféricas) tengo el elemento diferencial de superficie

evaluada en

el resultado de la multiplicación de las dos integrales lo obtuve anteriormente, por lo tanto

unidades cuadradas

Las áreas del este y oeste son iguales (ver modelo de coordenadas esféricas), por lo tanto multiplico por dos la ecuación:

unidades cuadradas

Para la superficie del norte, más cercana al eje (ver el modelo de coordenadas esféricas)

está evaluada en

unidades cuadradas

Para la superficie del sur, más lejana al eje (ver el modelo de coordenadas esféricas)

está evaluada en

el resultado de la multiplicación de las dos integrales lo obtuve anteriormente, por lo tanto

unidades cuadradas

El área total de la superficie es:

Unidades cuadradas