Anlisis Vectorial

1

O

x

y

P (x; y)

A

FIGURA 1.1

SEMANA 1

1. VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En fsica sirve para representar a las magnitudes fsicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequea flecha en la parte superior.

2. ELEMENTOS DEL VECTOR: el vector tiene dos elementos principales, el mdulo y la direccin.

2.1) MDULO: Indica el valor de la magnitud vectorial. Geomtricamente es el tamao del vector. Notacin del vector:

A = OP = (x; y),

donde A A representa al

mdulo del vector.

El mdulo del vector se determina mediante el teorema de Pitgoras:

2 2A x y

2.2) DIRECCIN: Es la orientacin que tiene el vector respecto al sistema de coordenadas cartesianas. En el plano se define mediante el ngulo que forma el vector con el eje x positivo.

El ngulo se mide en sentido antihorario. y

Tgx

Luego la medida del ngulo es: y

arc Tgx

Anlisis Vectorial

2

O

x

y

P (3; 4)

A

3

4

FIGURA 1.2

EJEMPLO 01: Se muestra un vector cuyo origen es (0; 0) y el extremo (3; 4). Determine el mdulo y direccin del vector.

Resolucin El mdulo del vector se determina aplicado el Teorema de Pitgoras.

2 2A 3 4 5

Clculo del ngulo que forma el vector con

el eje x. 0y 4

Tg= = 53x 3

Respuesta: mdulo 5 y direccin 53 respecto del eje x positivo.

EJEMPLO 02: Se tiene un vector cuyo origen es (2; 3) y el extremo (8; 11). Determine el mdulo y direccin del vector. Resolucin

Determinamos los componentes del vector:

x 8;11 2;3 6;8

El mdulo del vector se determina aplicando el teorema de Pitgoras.

2 2x 6 8 10

Clculo del ngulo que forma el vector con el eje x.

0y 8 4Tg 53x 6 3

Respuesta: mdulo 10 y direccin 53 respecto del eje x positivo.

3. CLASIFICACIN DE LOS VECTORES: Se clasifican en vectores colineales, paralelos, opuestos, iguales, coplanares, concurrentes, etc.

3.1) VECTORES COLINEALES: Cuando todos ellos se encuentran contenidos en una misma lnea recta o lnea de accin.

3.2) VECTORES PARALELOS: Son aquellos que tienen sus lneas de accin respectivamente paralelos.

3.3) VECTORES OPUESTOS: Son aquellos dos vectores que tienen igual mdulo pero direcciones opuestos. La suma de dos vectores opuestos es nula.

3.4) VECTORES IGUALES: Dos vectores sern iguales cuando sus dos elementos principales son iguales, es decir tiene igual mdulo e igual direccin.

3.5) VECTORES COPLANARES: Dos o ms vectores se denominan coplanares cuando todos ellos se encuentran contenidos en un mismo plano.

3.6) VECTORES CONCURRENTES: Dos o ms vectores se denominan concurrentes, cuando todos ellos tienen el mismo punto de aplicacin o sus lneas de accin se intersecan en un mismo punto.

Anlisis Vectorial

3

1

a

b

c

FIGURA 1.4

L 1

a

b

L 2

c

d

EJEMPLOS:

1) Los vectores a y b son colineales, por que estn contenidos sobre una misma lnea recta o lnea de accin (L1).

2) Sabiendo que L1 y L2 son paralelos. Los vectores a y c son paralelos por que estn contenidos es rectas que son paralelas entre si.

3) Los vectores e, f y g son concurrentes y coplanares.

OPERACIONES CON VECTORES

1. ADICIN DE VECTORES PARALELO Y COLINEALES: En este caso todos los vectores estn contenidos en rectas paralelas o en la misma recta.

Los vectores son:

a = +2 i

b = -3 i

c = 4 i El vector resultante es:

R a b c =(2 i )+(-

3 i )+(4 i )=+3 i

Entonces el vector resultante tiene mdulo 3 y direccin horizontal hacia la derecha.

i : VECTOR UNITARIO (Mdulo=1 Unidad) en la direccin positiva del Eje x

e

f

g

FIGURA 1.3

Anlisis Vectorial

4

1

a

b

c

Figura 1.5 1

1

1

y

a

b

c

x

Figura 1.6

2. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: La cantidad escalar es todo nmero real, positivo o negativo, entero o fraccin. Cuando se multiplica un escalar por un vector, el vector resultante es otro vector cuya direccin es el mismo del vector original si la cantidad escalar es positiva y tiene direccin opuesta si la cantidad escalar es negativa. Observemos los siguientes vectores:

1) Los vectores a y b

son opuestos: a b

2) El vector c es de

tamao doble que a y

tienen igual direccin:

c 2a

3) El vector c es de

tamao doble que b y

tienen direcciones

opuestos: c 2b

En general dos vectores paralelos o colineales son linealmente independientes.

a k.b

Si K>0, entonces a y b tienen igual direccin.

Si K

Anlisis Vectorial

5

A

B

R

Figura 1.7

Aplicando el teorema de Cosenos se obtiene:

50

30 70

4. MTODO DEL PARALELOGRAMO (para adicionar slo dos vectores) Si dos vectores A y B tienen el mismo origen, por el extremo de A se traza una paralela al vector B, y a la vez por el extremo de B se traza una paralela al vector A. El mdulo del vector suma o resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores.

R A B

2 2 2D A B 2ABcos

R A BMtodo del paralelogramo

R: es el mdulo del vector resultante. A y B: mdulo o valor de los vectores sumandos.

: es la medida del ngulo entre los vectores A y B.

EJEMPLO: Qu ngulo deben formar dos fuerzas de mdulos 30 N y 50 N para que acten sobre un cuerpo como una sola fuerza de mdulo igual a 70 N?

RESOLUCIN

Aplicamos el mtodo del paralelogramo:

2 2 2R A B 2A.B.Cos

2 2 2(70) (30) (50) 2(30).(50).Cos

1Cos

2

Resolviendo tenemos: 60

Respuesta: los vectores forman un ngulo cuya medida es 60.

A

2 2 2a b c 2bccosA

b c b a c ac B2 2 2 2 cos

2 2 2c a b 2abcosC

B a C a

Recordamos el teorema de cosenos

Anlisis Vectorial

6

B A

R (max) = A + B

B A

R (min) = A - B

5. CASOS PARTICULARES

1) RESULTANTE MXIMA: La resultante de dos vectores es mxima cuando forman entre si un ngulo nulo, por consiguiente tienen igual direccin.

0 Cos0 1 2 2 2R A B 2AB(1)

Figura 1.9

2) RESULTANTE MNIMA: La resultante de dos vectores es mnima cuando forman entre si un ngulo igual a 180, por consiguiente tienen direcciones opuestas.

180 Cos180 1 2 2 2R A B 2AB( 1)

Figura 1.10

3) VECTORES ORTOGONALES: Si los vectores forman entre si un ngulo recta, la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitgoras.

EJEMPLO: La resultante de dos vectores de mdulo constante, vara al hacer girar uno de ellos. El mnimo mdulo de la resultante es 2 y el mximo 14. Determine el mdulo de la resultante cuando los vectores forman ngulo recto.

RESOLUCIN

La resultante mnima es: A B = 2 (1) La resultante mxima es: A + B = 14 .(2) Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) tenemos: A = 8 y B = 6 Cuando forman ngulo recto, la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitgoras: R2 = A2 + B2

B

A

R

Figura 1.11 R

2 = A

2 + B

2

Anlisis Vectorial

7

A

Figura 1.12 B

R D

0

A

B

X

Figura 1.14

R D

A

B Figura 1.13

Reemplazando tenemos: R = 10

6. DIFERENCIA DE DOS VECTORES

El vector diferencia D indica al vector minuendo A. El mdulo se obtiene aplicando EL TEOREMA de Cosenos.

B D A

D A B

2 2 2D A B 2ABcos

2 2D A B 2A.B.Cos

OBSERVACIONES:

1. Si el ngulo es obtuso entonces

el mdulo de la suma es menor que el mdulo de la diferencia.

2. Si el ngulo = 90, entonces el mdulo de la diferencia es igual al mdulo de la suma.

3. El mdulo de la resultante es mxima cuando forman entre si un ngulo nulo (0).

4. El mdulo de la resultante es mnima cuando forman entre si un ngulo de 180.

EJEMPLO 01: Se muestra un paralelogramo (figura 5.3). Expresar el vector x en funcin de los vectores A y B.

Anlisis Vectorial

8

b a c

O

Figura 1.17

c

b a c

O

Figura 1.16

A B C

A

B

X

Figura 1.15

X

RESOLUCIN La diagonal del paralelogramo representa a la resultante de sumar los vectores A y B.

La diagonal representa la resultante de los vectores: 2X=A+B

Despejando tenemos que: A+B

X=2

EJEMPLOS 02: Se muestra un conjunto de vectores (figura 1.16). Sabiendo que AB =

BC y el mdulo del vector c es 2 cm, determine el mdulo del vector resultante.

RESOLUCIN Completamos el paralelogramo (figura 5.6), donde OB es la mitad del paralelogramo.

Observamos que: a b 2c . (1)

Nos piden: R a b c

Ordenando convenientemente:

R (a b) c .. (2)

Reemplazando (1) en (2): R 3c

El mdulo del vector resultante es: R = 6 cm.

Anlisis Vectorial

9

EJEMPLOS 03: Se muestra un conjunto de vectores (figura 1.18). Sabiendo que AB =

BC = CD = DE y el mdulo del vector c es 1 cm, determine el mdulo del vector resultante.

RESOLUCIN Construimos el paralelogramo (figura 5.8). La resultante de cada par de vectores es la diagonal del paralelogramo.

Nos piden: R a b c d e

Ordenando convenientemente: R a e b d c( ) ( ) .. (1)

Pero se observa que: (a e) (b d) 2c .. (2)

Reemplazando (2) en (1): 5R c

El mdulo de la resultante es: R = 5 cm.

O

Figura 1.18

A E B C D

c

O

A B C D E

Figura 1.19

a b c d e

c

Anlisis Vectorial

10

7. MTODO DEL POLGONO. Suma de n vectores. Consiste en construir un polgono con los vectores sumandos. Es necesario ordenar los vectores uno a continuacin del otro uniendo, uniendo el extremo del primero con el origen del segundo, el extremo del segundo con el origen del tercero, as sucesivamente hasta el ltimo vector. Ejemplos: 1) Resultante de cinco vectores: 2) Resultante de cuatro vectores:

R a b c d e R a b c d 3) Resultante de tres vectores: 4) Resultante de dos vectores:

R a b c R a b

a

Figura 1.22

c b

R a

b

Figura 1.23

R

Figura 1.20

d

e

c b

R

a

a d

c b

Figura 1.21

R

Anlisis Vectorial

11

b

d

e

a

c

a

e

d

c b

Figura 1.25

f

Figura 1.24

EJEMPLOS 01: Se muestra un conjunto de vectores (figura 1.24). Determine el vector resultante. RESOLUCIN

Nos piden: R a b c d e

Agrupamos convenientemente: R (a b) (c d) e ...... (1)

Pero de figura sabemos que: (a b) (c d) e .. (2)

Reemplazando (2) en (1): R 3 e

POLGONO CERRADO Y ORDENADO Si el polgono formado es ordenado y cerrado, entonces el mdulo del vector resultante

es nulo. El orden de los vectores puede ser en sentido horario o antihorario.

a b c d e f 0

Es importante sealar la UNIN de la CABEZA de un vector con la COLA del siguiente vector.

EJEMPLOS 01: Se muestra un conjunto de vectores (figura 1.26). Sabiendo que los vectores a y b son perpendiculares, a = 6 cm y b = 8 cm, determine el mdulo del vector resultante.

a

b

d

c

Figura 1.26

Anlisis Vectorial

12

Resolucin Ordenamos los vectores formando un nuevo polgono cuyo mdulo es nulo (figura 1.27).

a ( c) b ( d) 0

Ordenando tenemos que: a b c d .. (1)

Nos piden la resultante de: R a b c d . (2)

Reemplazando (1) en (2): R 2(a b)

Aplicado el teorema de Pitgoras tenemos: R = 20 cm

Respuesta: el mdulo del vector resultante es 20 centmetros.

8. RESULTANTE NULA Y EL TEOREMA DE SENOS

Si la resultante tres vectores coplanares y concurrentes es nula, entonces con dichos vectores se forma un tringulo. El mdulo de cada vector es directamente proporcional al seno del ngulo opuesto.

Se construye el polgono cerrado (tringulo)

a

b

d

c Figura 1.27

F1

Figura 1.28

F2

F3

Anlisis Vectorial

13

Los vectores F1, F2 y F3 se encuentran contenidos en un plano.

1 2 3R F F F 0 Aplicamos el teorema de Senos al tringulo:

31 2FF F

Sen Sen Sen

Casos especiales:

a) Si los tres ngulos son iguales 120 , entonces el mdulo de los tres

vectores tambin sern iguales: F1 = F2 = F3. b) Si dos de los ngulos son iguales (tringulo equiltero) entonces dos de los vectores

tendrn el mismo mdulo.

Figura 1.29

F1

F2

F3

Figura 1.30

F1

F2

F3

Anlisis Vectorial

14

120

120

10 13

15

Figura 1.32

EJEMPLO 01: Se muestra tres vectores coplanares y concurrentes de mdulos iguales que forman entre si ngulos iguales.

Resolucin

Con los tres vectores se forma un tringulo equiltero. Por consiguiente el mdulo del vector resultante es cero: R = 0. EJEMPLO 02: Se muestra tres vectores coplanares y concurrentes de mdulos iguales que forman entre si ngulos iguales. Determine el mdulo del vector resultante.

Resolucin

Aplicamos la propiedad asociativa de los vectores. Con los tres vectores de mdulo 10 unidades forman un tringulo equiltero, por consiguiente el mdulo del vector resultante en nulo. Entonces quedan dos vectores de mdulos 3 y 5 unidades que forman entre si 120. El mdulo de la resultante es:

2 2R a b 2abcos

reemplazando obtenemos:

2 2 1R 3 5 2.3.5cos120 ;cos1202

R 19

R = 4,36

120

120

10 10

10

Figura 1.31

Anlisis Vectorial

15

120

120

10 10

10 Figura 1.33

120

3

5

+

x

Ay

y

O

P (Ax; Ay)

A

Ax Ax

Figura 1.34

Respuesta: el mdulo del vector resultante es 4,36 unidades.

MTODO DE LA DESCOMPOSICIN RECTANGULAR: En el plano cartesiano cualquier vector tiene dos componentes rectangulares. Ax: Componente de A en el eje X. Ay: Componente de A en el eje Y. De donde deducimos que: Ax = A.Cos Ay = A.Sen Para determinar la resultante de un sistema de vectores por este mtodo, se sigue los siguientes pasos: 1) Cada vector se descompone rectangularmente, respecto de un sistema de ejes

coordenados arbitrariamente elegido. 2) Se determina la resultante en cada eje cartesiano.

Rx : Resultante en el eje X. Ry : Resultante en el eje Y.

3) El vector resultante se determina aplicando el teorema de Pitgoras. 2 2x yR R R

4) La direccin del vector resultante respecto del eje X se determina mediante la razn

tangente: Ry

TgRx

Anlisis Vectorial

16

Figura 1.38

3

2

A

y

60 45

32

A

10

A

A

x

CASOS ESPECIALES: 1) Si la resultante de los vectores se encuentra en el eje x (figura 8.2), entonces la

componente en el eje y es nula.

0eje yV 0eje xV

2) Si la resultante de los vectores se encuentra en el eje y (figura 1.36), entonces la componente en el eje x es nula.

EJEMPLO 01: En la figura mostrada (figura 1.37), determine el valor de A para que el vector resultante de los tres vectores indicados est sobre el eje x.

Resolucin Se descompone cada uno de los vectores (figura 1.38), respecto del eje cartesiano.

X

Figura 1.36

R X

Y

0 Figura 1.35

Y

R

0

Anlisis Vectorial

17

60 45

A 3 A 2

10

x

y

Figura 1.37

De la condicin del problema, la resultante en el eje vertical es nula.

A 3.Sen60 A 2.Sen45 10 0 3A

A 10 02

Resolviendo tenemos: A = 4 Respuesta: el mdulo del vector es 4.

9. MTODO DE LA DESCOMPOSICIN POLIGONAL: En general un vector se puede descomponer en dos o ms vectores, formando siempre un polgono cerrado. EJEMPLO: La figura muestra un trapecio de vrtices A, B, C y D. Sabiendo que M es punto medio del segmento AD, donde AB = 4 m y DC = 7 m, determine el mdulo del vector resultante.

Resolucin

Descomponemos poligonalmente los vectores MB y MC . Las componentes MA y MD

representan vectores opuestos, es decir se cancelan entre si.

M

A B

C D Figura 1.39

Anlisis Vectorial

18

i

j

i

j

x

y

(1; 1)

(-1; -1)

(-1; 1)

(1; -1)

Figura 1.41

La resultante se obtiene adicionando los vectores paralelos de igual sentido AB y DC .

R AB DC

R = 4 + 7 = 11

Respuesta: por lo tanto el mdulo de la resultante es 11.

10. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL PLANO.

Son aquellos vectores que tienen como mdulo la unidad de medida y las direcciones coinciden con los ejes cartesianos.

Los vectores cartesianos son:

i : tiene direccin del eje X positivo.

i : tiene direccin del eje X negativo.

j: tiene direccin del eje Y

positivo

j : tiene direccin del eje Y negativo

El mdulo es igual a la unidad de medida: i i j j 1

Representacin de un vector en funcin de vectores unitarios: x y x y

a (a ;a ) a i a j

M

A B

C D Figura 1.40

Anlisis Vectorial

19

3i -2i

1j 1j

-2i 2i

-1j

-2j

Figura 1.43

a b

c

d

Figura 1.42

EJEMPLO: Se muestra un conjunto de vectores. Si cada cuadrado tiene como lado la unidad de medida, determine el vector resultante.

RESOLUCIN Descomponemos cada uno de los vectores en funcin de los vectores unitarios cartesianos:

a 3i 1j

b 2i 1j

c 2i 2j

d 2i 1j

Calculamos el vector resultante:

R a b c d

Respuesta: el vector resultante es

R 1i 1j

11. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO

En el espacio tridimensional el vector tiene tres componentes. Tres dimensiones, largo ancho y altura.

x y z x y z a (a ;a ;a ) a i a j a k

Anlisis Vectorial

20

EJEMPLO 01: Se tiene un vector a 3i 12j 4k . Determine el mdulo del vector.

Resolucin

Si graficamos el vector obtenemos un paraleleppedo, entonces el mdulo del vector es igual al tamao de la diagonal.

22 23 12 4 9 144 16a

169a

13a

Respuesta: el mdulo del vector es 13 unidades.

EJEMPLO 02: Se muestra un cubo de arista 1 cm. Determine el mdulo del vector resultante.

X

Y

Z

Figura 1.45

a

X

Y

Z

Figura 1.44

Anlisis Vectorial

21

Resolucin Hacemos la descomposicin de cada vector respecto del sistema de ejes cartesianos.

Eje X: x = 1 Eje Y: y = 1 + 1 = 2 Eje Z: z = -1 Determinamos el mdulo del vector resultante con la siguiente frmula:

2 2 2R x y z

Reemplazando en la frmula tenemos: R = 6

EJEMPLO 03: Se muestra un cubo de arista 1,0 cm (figura 1.45). Determine el mdulo del vector resultante.

X

Y

Z

Figura 1.47

Figura 1.46

X

Y

Z

Anlisis Vectorial

22

Resolucin Hacemos la descomposicin de cada vector respecto del sistema de ejes cartesianos (figura 11.5). Los vectores el la cara superior del cubo se cancelan, solo quedan componentes en el eje z. Eje X: x = 0 Eje Y: y = 0 Eje Z: z = -4

Determinamos el mdulo del vector resultante con la siguiente frmula:

2 2 2R x y z Reemplazando en la frmula tenemos: R = 4

12. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL.

Cada vector tiene su vector unitario. Entonces se puede obtener un vector unitario en una direccin determinada, relacionado dos o ms vectores.

EJEMPLO 01: Determine el vector unitario del vector: A 6i 8 j

Resolucin

A 6i 8 ju

A 10

u 0,6i 0,8 j

EJEMPLO 02: Se muestra un cuadrado de vrtices A, B, C y D; adems un cuarto de

circunferencia con centro en D. Determine el vector x en funcin de los vectores a y b .

X

Y

Figura 1.48

Z

Anlisis Vectorial

23

a

O

2 m

x

b

1 m

Figura 1.50

Resolucin

Consideremos un cuadrado de lado igual a la unidad de medida, por consiguiente

medida de la diagonal del cuadrado es: 2 unidades

Observamos que el vector unitario u del vector x es el mismo que del vector ( a b ).

El vector unitario es: 2

a bu

El vector x es igual al producto del mdulo del vector x por su correspondiente vector unitario.

x x u , entonces tenemos que el tamao del vector x es igual al radio del cuadrante

cuya medida es la unidad.

Finalmente tenemos:2

a bx

13. EXPRESIN DE UN VECTOR EN FUNCIN DE OTROS: Para expresar un vector en funcin de otros es necesario construir polgonos cerrados y aplicar a estos las propiedades del mtodo del polgono para adicionar dos o ms vectores.

EJEMPLO 01: En la figura expresar el vector x en funcin de los vectores a y b .

A B

C D

a

b

x

Figura 1.49

Anlisis Vectorial

24

30

80 N

50 N

Resolucin Agregamos al grfico dos vectores cuyos mdulos estn en relacin de 1 a 2.

En el tringulo OJH: x a p

Despejando: x a p .(1)

En el tringulo OHK: 2x p b (2)

Reemplazando (1) en (2): 2

3

a bx

EJERCICIOS 1. Determine el mdulo de la fuerza resultante sobre el perno de anclaje, debido a los

cables mostrados. A) 7 N B) 14 N C) 28 N D) 16 N E) 10 N

2. Determine el valor del ngulo , si la resultante de las fuerzas tiene direccin horizontal.

A) 45 B) 60 C) 30 D) 53 E) 37

O

a

J

2 p

x

b

H

K

p

Figura 1.51

12

72 6 N

10 N

Anlisis Vectorial

25

20

30

40

50 2

45

410

24

20

37

4

5

8

3753

27 N

45 N

3. Determine el mdulo de la resultante para el sistema de vectores mostrados, si las

medidas estn dadas en cm. A) 60 B) 80 C) 50 D) 100 E) 120

4. Determine el mdulo de la resultante para el sistema de vectores mostrados, si las

medidas estn en m. A) 12 B) 6 C) 18 D) 10 E) 15

5. Determine el mdulo de la resultante para el conjunto de vectores mostrados, las medidas estn en m. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 3

6. Si se cumple que N T W R y el mdulo de los vectores N y R son 28 y 49

unidades respectivamente, determine el mdulo del vector T , si la resultante tiene una

direccin paralela a la del vectorT . A) 65 B) 50 C) 77 D) 80 E) 100

7. Determine el valor del ngulo , si la resultante de las fuerzas tiene un mdulo de 63 N. A) 30 B) 45 C) 37 D) 53 E) 60

8. Determine el ngulo formado por dos vectores de mdulos iguales, si su resultante posee tambin el mismo mdulo.

A) 120 B) 45 C) 60 D) 90 E) 53

37

N T

W

37

Anlisis Vectorial

26

10

4560

A 3A 2

1204 5

3

120

30

A

BC

D

10

10

4 2

82

135

A

B C

D

9. Calcule el valor de A, si el sistema de vectores mostrado tiene a su resultante sobre el

eje X. A) 3 B) 4 C) 5 D) 1 E) 2

10. Determine el mdulo de la resultante, para el sistema mostrado, si las medidas estn en

m.

A) 5

B) 3

C) 2

D) 7

E) 11

11. Calcule el mdulo del vector P A B 2C 2D , si el valor de C es: c 6 3

A) 8 B) 7 C) 12 D) 9 E) 10

12. Determine el mdulo de la resultante, para el sistema mostrado si las medidas estn en cm.

A) 2

B) 4 3

C) 2 2

D) 6

E) 4 13. Determine el mdulo de la resultante para el sistema mostrado, conociendo que los

lados AB y BC del rectngulo ABCD miden 4 y 3, unidades respectivamente. A) 14 B) 10 C) 9 D) 12 E) 20

Anlisis Vectorial

27

40 20

5

55

60

60

14. Calcule el valor del ngulo , sabiendo que la resultante es mxima.

A) 25 B) 15 C) 10 D) 18 E) 22

15. Si la resultante mxima de dos vectores tiene un mdulo de 8 unidades y la mnima 2

unidades, determine el mdulo de la resultante (en unidades) cuando formen un ngulo de 60.

A) 8 B) 6 C) 7 D) 10 E) 12

16. Calcule el mdulo de la resultante, si las medidas estn dadas en m. A) 12 m B) 8 m C) 10 m D) 16 m E) 15 m 17. Determine el mdulo de T1 y T2 para el sistema de fuerzas mostrado (las fuerzas se

comportan como vectores). Si la resultante es nula A) 120 N y 100 N B) 100 N y 100 N C) 120 N y 120 N D) 150 N y 150 N

E) 100 N y 120 N 18. Si el mdulo de la suma de dos vectores de igual mdulo; es el doble del mdulo de su

diferencia, determine la medida del ngulo agudo que forman.

A) 30 B) 37 C) 45 D) 90 E) 53

120 120

T T1 2

120

Anlisis Vectorial

28

60o

B=73

A=73

1 u

1 u

A B

C

D

BA

BA

60o

60o

a

a

a

a

37

15

3

7

3 6

2

5

A

B 3

A B

60

B Y

A X

9

62

15u

25u

G

X

B

A

1. Halle el mdulo de la resultante de los

vectores mostrados. A) 12 B) 15 C) 10 D) 13 E) 25

2. Halle el mdulo de la resultante del siguiente sistema vectorial: A) 7 B) 73 C) 21 D) 21 E) 143

3. Determine la magnitud del vector: A 2B A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

4. En el siguiente sistema vectorial, halle el

mdulo de la resultante de los vectores A, B, C y D.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

5. Si los vectores A y B estn contenidos en

la semicircunferencia, halle: A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 3 E) 1/3

6. Halle los valores de para que la resultante sea mxima y mnima. ( es un ngulo trigonomtrico positivo) A) 0

o y 60

o

B) 30o y 90

o

C) 0o y 180

o

D) 60o y 240

o

E) 90o y 180

o

7. Halle para que la resultante sea a.

A) 0o

B) 30o

C) 60o

D) 90o

E) 120o

8. Si A = (2;0) y el mdulo de B es 4, calcule

el mdulo de la componente paralela al vector A de la resultante de A+B. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

9. El mdulo del vector A es igual al mdulo

de la resultante de los vectores mostrados en la figura, adems el vector A es paralelo al vector C = (3;4). Halle A. A) (12;16) B) (12;4) C) (16; 12) D) (4; 12) E) (10; 8)

10. En el siguiente sistema de vectores: X =

mA+nB. Luego, a qu es igual m+n? (G: Baricentro) A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 2/3 E) 3/4

GUA DE CLASE N 1