59458031 Analisis Vectorial

ANÁLISIS VECTORIAL (Los Vectores van a la Universidad)

ANÁLISIS VECTORIAL Semana 01

1. VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En física sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequeña flecha en la parte superior. Todo vector tiene dos elementos fundamentales: el modulo y la dirección. El módulo representa el tamaño o valor de la cantidad vectorial. La dirección representa la orientación del vector respecto del sistema coordenado cartesiano u otro sistema coordenado.

2. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO. El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son:

: tiene dirección del eje X positivo.

: tiene dirección del eje X negativo.

: tiene dirección del eje Y positivo

: tiene dirección del eje Y negativo: tiene dirección del eje Z positivo.: tiene dirección del eje Z negativo.

El módulo de cada vector unitario es igual a la unidad de medida:

Los tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares:

En el espacio tridimensional el vector tiene tres componentes:

EJEMPLO 01: Se tiene un vector .

Determine el módulo del vector.ResoluciónSi graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al tamaño de la diagonal.

Respuesta: el módulo del vector es 13.

FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com Página 1

a

X

Y

Z

VECTOR EN EL ESPACIO

X

Y

Z

VECTORES UNITARIOS

j

i

k


3. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es paralelo a su respetivo vector de origen.

En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más vectores.EJEMPLO 02: Determine el vector unitario del vector: Resolución

El vector unitario se define como:

El vector unitario es:

4. COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano. En el sistema cartesiano tridimensional vector tiene tres componentes rectangulares:

Designamos con los ángulos que el vector hace con los ejes cartesianos X, Y y Z, respectivamente. Tenemos tres componentes:

, , …(1)

Cálculo del módulo del vector:…(2)reemplazando (1) en (2) tenemos:

Entonces el vector unitario de es:

5. PRODUCTO ESCALAR. Dado los vectores , su producto escalar o interno se representa por , y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, esto es:

, donde Debemos enfatizar que es un número real, (positivo, negativo o nulo), y no un vector.

PROPIEDADESI. Se cumple la propiedad conmutativa: II. Propiedad Distributiva: III. Vectores paralelos: IV. Vectores ortogonales: V. Dado los vectores: y

VI.


X

Y

Z

COMPONENTES DEL VECTOR

ay

ax

az

O

PRODUCTO ESCALAR


VII.

VIII. Cuadrado del módulo: IX. Si y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.

6. PRODUCTO VECTORIAL. Dado los vectores , su producto vectorial o externo se representa por otro vector , que se denota como . Su módulo se define como el producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman entre sí, esto es:

, donde Debemos enfatizar que es perpendicular al plano formado por los vectores .

Regla de la mano Derecha: los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del vector B y el dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ángulo gira en el sentido desde A hacia B.

PROPIEDADESI. Si , entonces los vectores tienen la misma dirección o son paralelos.II. Anti conmutativo: III. Propiedad Distributiva: IV. Vectores paralelos: V. Vectores ortogonales: , , VI. Dado los vectores:

y

entonces se cumple que:

X. El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes

es:

XI. El área de la región triangular formado por los vectores es:

7. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR. Por medio del productos escalar y vectorial de tres vectores se forma:

PROPIEDADES:


A Z

PRODUCTO VECTORIAL

Z

A

B

AREA DEL PARALELOGRAMO

A

B

C

VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO


I. El producto triple escalar es un número real: II. III. El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas

8. TRIPLE PRODUCTO. Por medio de productos vectoriales de tres vectores se pueden formar productos como: , o , en todos estos casos el resultado es otro vector.PROPIEDADES:I. No se puede asociar: II. III.

9. PROYECCIÓN DE UN VECTOR. La proyección del vector sobre el vector , es otro vector paralelo al vector que se denota del siguiente modo:

Al módulo de la proyección del vector A sobre el vector se le denomina Componente del vector A sobre el vector B.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES1. Calcular el módulo del vector: 2. Calcular el módulo del vector: 3. Dado los puntos y determinar los vectores: y

respectivamente.4. Dado los puntos y determinar los vectores: y

respectivamente.5. Determinar el punto N, con que coincide el extremo del vector sabiendo que el

origen coincide con el punto M de coordenadas .6. Determinar el punto P, con que coincide el extremo del vector sabiendo que el

origen coincide con el punto Q de coordenadas .

7. Se dan los vectores y . Determinar la proyección del vector

sobre los ejes coordenados cartesianos.8. Dado el módulo de vector y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x,

y, z respectivamente , y . Determinar la proyección del vector sobre los ejes coordenados.


O

Proyección de A sobre B


9. Dado el módulo de vector y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z respectivamente , y . Determinar la proyección del vector sobre los ejes coordenados.

10. Calcular los cosenos directores del vector .11. Calcular los cosenos directores del vector .12. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes , y

?13. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes , y

?14. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes , y

?15. Un vector forma con los ejes OX, y OZ los ángulos y respectivamente, ¿qué

ángulo forma el vector con el eje OY?16. Un vector forma con los ejes OX, y OY los ángulos y respectivamente, ¿qué

ángulo forma el vector con el eje OZ?17. Un vector forma con los ejes OY, y OZ los ángulos y respectivamente, ¿qué

ángulo forma el vector con el eje OX?18. Determinar las coordenadas del punto M, si su radio vector forma con los ejes coordenados

ángulos iguales y su módulo es igual a 3 unidades. ¿Qué ángulo forma el radio vector con los ejes coordenados cartesianos?

19. Calcular el vector unitario del vector 20. Calcular el vector unitario del vector 21. Calcular el vector unitario del vector

22. Determinar el vector unitario perpendicular al vector 23. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 25 unidades cuadradas. Si conocemos el

vértice A (10; 20) y el lado AB es paralelo al vector . Determinar la posición de los vértices B, C y D.

24. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 100 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A (20; 10) y el lado AB es paralelo al vector . Determinar la posición de los vértices B, C y D.

25. Si los módulos de los vectores y son 18 y 14 unidades y sus cosenos directores con los ejes X,

Y y Z son y respectivamente. Determinar el resultado

de:

26. Dado , y Calcular:

27. Sabiendo que los vectores forman entre si un ángulo de 120° y además ,

Determinar: 28. ¿Para qué valores de “p” y “q” los vectores y son colineales?29. ¿Para qué valores de “r” y “s” los vectores y son paralelos?30. Los siguientes vectores y ¿son colineales?31. Los siguientes vectores y ¿son paralelos?32. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (4; 9), B (9; 9), C (9; 6) y D (2; 6). ¿Es un trapecio?33. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (3;-1; 2), B (1; 2,-1), C (-1; 1:-3) y D (3;-5; 3). ¿Es

un trapecio?34. Dado los puntos A (-15; -10), B (5; -7,8), C (2; 2:-7) y D (5;-4; 2). ¿ y son colineales?



35. El vector de módulo 75 tiene dirección opuesta al vector . Determinar las proyecciones del vector en el sistema coordenado cartesiano.

36. Dado los vectores en el plano y . Expresar el vector en función de los vectores .




40. Se dan los vectores , y . Determinar la descomposición del vector en base de los vectores .

41. Se dan los vectores , y . Determinar la descomposición del

vector en base de los vectores .

42. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposición del vector tomado como base los vectores .






48. Los vectores forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que . Calcular:






54. Conociendo los vectores , y . Determinar:

55. Conociendo los vectores , y . Determinar:

56. Los vectores son perpendiculares entre si, además el vector forma con cada uno de ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que: , y calcular:



57. Los vectores son perpendiculares entre si, además el vector forma con cada uno de ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que: , y calcular:

58. Cada par de vectores forman entre si un ángulo de 60°. Sabiendo que , y Determina el módulo de .

59. Para que valores de “m” los vectores y son perpendiculares entre sí.

60. Para que valores de “p” los vectores y son perpendiculares entre sí.

61. Sabiendo que y determinar para que valor de “q” los vectores y son perpendiculares entre sí.

62. Sabiendo que y determinar para que valor de “q” los vectores y son perpendiculares entre sí.

63. ¿Qué condición deben satisfacer los vectores para que y sean perpendiculares entre sí?

64. Demostrar que el vector es perpendicular con el vector .65. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3).

Demostrar que las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí.66. Los vectores forman 30° entre sí. Sabiendo que: y Determine la medida

del ángulo que forman entre si los vectores y 67. Los vectores forman 120° entre sí. Sabiendo que: y Determine la medida

del ángulo que forman entre si los vectores y 68. Los vectores forman 60° entre sí. Sabiendo que: y Determina la medida del

ángulo que forman entre si los vectores y 69. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los

ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles.70. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los

ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 3, 4 y 5.

71. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 5, 12 y 13.

72. Calcular la componente del vector sobre el eje del vector

73. Calcularla proyección del vector sobre el eje del vector 74. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la

medida del ángulo interno del vértice C.75. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la

medida del ángulo interno del vértice B.76. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la

medida del ángulo interno del vértice A.77. El vector de módulo es colineal con el vector y forma un ángulo agudo

con el eje OZ. Determine las componentes cartesianas del vector .78. Determine las componentes cartesianas del vector sabiendo que es colineal con el vector

y satisface la condición .79. Determinar el vector , si se sabe que es perpendicular con los vectores: y

además satisface a la condición:



80. Se dan los vectores y . Determinar el vector que es

perpendicular al eje OZ y satisface a las condiciones: y

81. Se dan los vectores , y . Determinar el vector

que satisface a las condiciones: , y

82. Determinar las componentes del vector sobre el eje que forma con los ejes cartesianos ángulos agudos iguales.

83. Dado los vectores se cumple que: y además se sabe que es paralelo a y el vector es ortogonal con . Si determinar las expresiones vectoriales de .


85. Sabiendo que , además . Calcular: 86. Sabiendo que , además . Calcular: 87. Sabiendo que , además . Calcular:

88. Sabiendo que , además . Calcular:

89. Los vectores forman 120° entre sí. Sabiendo que: y . Calcular:



92. Dado los vectores y determinar las componentes vectoriales

de:


de:


de:


de: 96. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las

componentes vectoriales de: 97. Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las

componentes vectoriales de: 98. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2), B (7; 6) y C (9; 2), calcular la longitud de la

altura bajada desde el vértice B al lado AC.99. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; -1; 2), B (5; -6; 2) y C (1; 3; -1), calcular la longitud

de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.100. La fuerza está aplicada al punto A (2; -1; -2). Determinar el torque de esta

fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que donde es el vector posición.

101.La fuerza está aplicada al punto A (4; -2; 3). Determinar el torque de esta fuerza respecto del punto B (3; 2; -1). Sabiendo que donde es el vector posición.



102. La fuerza está aplicada al punto A (2; -1; 1). Determinar el torque de esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que donde es el vector posición.

103. Dado los vectores y , determinar los cosenos directores de

104. Se dan las fuerzas , y , determinar los

cosenos directores de





107. Las fuerzas , y están aplicadas en el

punto A (2;-1;-2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del origen de coordenadas.

108. Las fuerzas , y están aplicadas en el

punto A (-1; 4; -2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del punto B (2; 3; -1).

109. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2; 0), B (3; 0; -3) y C (5; 2; 6). Calcular el área de la región triangular.

110. El vector de módulo 26 es perpendicular a los vectores y ,

además forma con el eje OY un ángulo obtuso. Determinar las componentes rectangulares de .

111. El vector de módulo 39 es perpendicular a los vectores y ,

además forma con el eje OY un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de .112. El vector de módulo 51 es perpendicular al eje OZ y al vector y, además

forma con el eje OX un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de .113. Determina las componentes rectangulares del vector , sabiendo que es perpendicular a los

vectores y además satisface a la condición:

114. Se dan los vectores , y , calcular:

115. Se dan los vectores , y , calcular: 116. Se dan los vectores , y , calcular: 117. Se dan los vectores , y . Determinar el vector

unitario contenido en el plano formado por los vectores además que sea perpendicular al vector .

118. Se dan los vectores , y . Determinar:

119.Se dan los vectores , y . Determinar: 120.Se dan los vectores , y . Determinar: 121. Los vectores forman entre si un ángulo de 30° además y Sabiendo que el

vector de módulo 3 es perpendicular a , calcular:





124. Se dan los vectores , y . ¿Son coplanares los vectores ?

125. Se dan los vectores , y . ¿Son coplanares los vectores ?

126.Se dan los vectores , y . ¿Son coplanares los vectores ?

127. Se conocen los cuatro puntos: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). ¿Son coplanares estos cuatro puntos?

128.Se conocen los cuatro puntos: A (1; 2; -1), B (0; 1; 5), C (-1; 2; 1) y D (2; 1; 3). ¿Son coplanares estos cuatro puntos?

129. Determinar el volumen de un tetraedro cuyos vértices están en los puntos A (2; -1; 1), B (5; 5; 4), C (3; 2; -1) y D (4; 1; 3).

130. Se tiene un tetraedro cuyos vértices son A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 7) y D (-5; -4; 8). Calcular la longitud de la altura bajad desde el vértice D al plano ABC.

131. El volumen de un tetraedro es 5 unidades cubicas, tres de sus vértices están en los puntos: A (2; 1; -1), B (3; 0; 1), C (2; -1; 3). Determinar las coordenadas cartesianas del cuarto vértice, D, si se sabe que está contenida en el eje OY.

132.Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes , y

133.Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes , y , donde “m” es un número real.

134. Se tiene un plano P cuya ecuación es: x + 2y - z – 20 = 0.

Determine el vector unitario perpendicular al plano.135.Se tiene un plano P cuya ecuación es:

3x + 4y +12z – 20 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al plano.

136.Descomponer el vector en dos componentes rectangulares en las direcciones perpendicular y paralela al plano P cuya ecuación es: 6x +3y +2z – 11= 0.

137.Se muestra un cubo de arista 1,0 cm (ver figura). Determine el módulo del vector resultante.138.Se muestra (ver figura) |un cuadrado de vértices A, B, C y D; además un cuarto de circunferencia

con centro en D. Determine el vector en función de los vectores y .139. Una fuerza (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde

la posición A (2; 3; -4) hasta B (6; 4; -1). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B. El trabajo se calcula multiplicado escalarmente la fuerza por el desplazamiento: Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules (J).


X

Y

Z

Para el problema 137

A B

CD

a

b

x

Para el problema 138


140. Una fuerza (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posición A (2; 0; -4) hasta B (6; 4; 0). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B. Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules (J).


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