Analisis Vectorial y Ecuaciones Diferenciales - Javier Valdes

5/25/2018 Analisis Vectorial y Ecuaciones Diferenciales - Javier Valdes

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UNIVERSIDAD DE OVIEDO

E.T.S. INGENIEROS DE MINAS

Departamento de Matematicas

NOTAS RESUMIDAS

DE

CALCULO III

(2003-04)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 104

3

2

1

0

1

2

3

4

Javier Valdes


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Indice general

1. Integrales curvilneas 1

1.1. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Integral de un campo escalar a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Integral de un campo vectorial a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . 6

1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Integrales de superficie 11

2.1. Superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Area de una superficie regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Integral de superficie de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Integral de superficie de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Teoremas Integrales del Analisis Vectorial 21

3.1. Teorema de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4. Campos conservativos y campos de gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.1. Campos conservativos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.2. Campos conservativos en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. Campos incompresibles y campos de rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Introduccion a las Ecuaciones Diferenciales 31

4.1. Modelizacion matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

i


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ii INDICE GENERAL

4.2. Analisis cualitativo, resolucion analtica y resolucion numerica . . . . . . . 33

4.3. Definiciones y clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Ecuaciones Diferenciales de primer orden 37

5.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2. Ecuaciones Lineales. Existencia y unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . 39

5.3. Ecuaciones no lineales. Existencia y unicidad de solucion. . . . . . . . . . . 40

5.3.1. Variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3.2. Ecuaciones exactas y reducibles a exactas . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.3. Ecuaciones homogeneas y reducibles a homogeneas . . . . . . . . . 45

5.3.4. Ecuaciones reducibles a lineales. Ecuaciones de Bernouilli y Ricatti 46

5.4. Ecuaciones autonomas. Analisis cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.5. Metodos aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5.1. Metodos graficos. Campos de direcciones . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.5.2. Aproximaciones sucesivas de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5.3. Metodos numericos. Metodos de Euler y Runge-Kutta . . . . . . . . 55

5.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.1. Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.2. Deterioro radioactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.6.3. Eliminacion de medicamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.6.4. Mecanica Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.6.5. Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.6.6. Interes compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n

756.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2. Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2.1. Solucion general de la ecuacion homogenea . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2.2. Ecuacion no homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3. Vibraciones mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3.1. Movimiento libre no amortiguado. Oscilador armonico . . . . . . . . 83

6.3.2. Movimiento libre amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


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INDICE GENERAL iii

6.3.3. Movimiento forzado no amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3.4. Movimiento forzado amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4. Ecuacion lineal de orden n(n >2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4.1. Solucion general de la ecuacion homogenea . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4.2. Ecuacion no homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.5. Ecuaciones de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7. Soluciones en serie de ecuaciones lineales 99

7.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2. Ecuacion lineal de segundo orden. Puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . 102

7.3. Puntos singulares regulares. Metodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . 103

7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8. Transformada de Laplace 111

8.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2. Definicion de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.3. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.4. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.5. Funcion escalo n u n i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7

8.6. Solucion de problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.7. Funciones de impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.8. Transformacion de funciones perio d i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2

8.9. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.9.1. Principio de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.10. Tabla de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden 129

9.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.2. Resultados de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.3. Resolucion de sistemas por eliminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.4. Sistemas lineales homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133


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iv INDICE GENERAL

9.5. Sistemas lineales no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.6. Sistemas lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.6.1. Sistemas homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.6.2. Sistemas no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.7. Resolucion de sistemas mediante transformada de Laplace . . . . . . . . . 142

9.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.Series de Fourier 147

10.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.2. Funciones periodicas y series trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

10.3. Serie de Fourier general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.4. Convergencia de una serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.4.1. Diferenciacion de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10.4.2. Integracion de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.5. Funciones pares e impares. Series de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . 153

10.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.E.D.P. y problemas de contorno 159

11.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11.2. Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.3. Ecuacion del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11.3.1. Condiciones de contorno homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11.3.2. Condiciones de contorno no homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.3.3. Barra con extremos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.4. Ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.5. Ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Bibliografa 175


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Captulo 1

Integrales curvilneas

1.1. Curvas regulares

Vamos a introducir someramente conceptos de Geometra Diferencial de curvas. En losucesivo nos referiremos a Rn, considerando unicamente los casos n= 2 o n = 3.

Definicion 1.1.1 (Curva regular) Llamaremos curva regular, curva lisa o camino lisoa toda aplicacion vectorial

: [a, b] Rn

tal que C1[a, b], y(t)= 0, t[a, b].

El hecho de exigir(t)= 0 supone, geometricamente, que en todo punto esta definidala recta tangente.

Al conjunto = [a, b] Rn se le llama imagen de la curva . Curvas distintaspueden tener la misma imagen, por ejemplo las tres curvas siguientes tienen por imagenla circunferencia de centro el origen y radio r.

(t) = (r cos t, r sen t), (t) = (r cos2t, r sen2t), (t) = (r cos t, r sen t), t[0, 2].

A cada puntox0 (imagen de la curva) asociamos un espacio vectorial de dimension1, que se llama espacio tangente en x0 y que esta determinado por el vector tangente a en x0=(t0):

Tx0 ={(t0) Rn, R}.Orientar el espacio vectorialTx0 es elegir en el una base, que se considera como positiva,y orientar el arco es orientar el espacio tangente en cada uno de sus puntos. Laorientacion canonica de Tx0 consiste en elegir como base positiva la que forma el vectortangente,(t0), a enx0. La orientacion canonica de consiste en orientar de esa maneralos espacios tangentes en todos los puntos de .

1


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2 CAP ITULO 1. INTEGRALES CURVILINEAS

Figura 1.1: Orientacion de curvas

En la Figura 1.2 estan representadas las curvas anteriores con sus respectivas orienta-ciones: ya la izquierda, y a la derecha.

Los puntos (a) y (b), correspondientes a los dos extremos del intervalo se dicenextremos de la curva, En el supuesto (a) =(b), la curva se dice cerrada.

La curva se dice simplesi es inyectiva en [a, b], es decir si no tiene puntos multiples.

Definicion 1.1.2 (Cambio de parametro) Dada la curva : [a, b] Rn, cuya ima-gen es, hacer un cambio de parametro significa considerar una nueva curva= hdondeh : [a, b] [a, b] es un difeomorfismo (aplicacion biyectiva tal queh yh1 sonde claseC1). Las curvas yse dicen equivalentes.

Dado que hes una biyeccion, las imagenes de ambas curvas coinciden, es decir

(s) = ( h)(s) =[h(s)] =(t), s[a, b], t[a, b].

Las curvas anteriores, y , tienen la misma orientacion si h(s) > 0 para todos [a, b] y orientaciones opuestas si h(s) < 0. Necesariamente ha de ser h(s)= 0, yaque al ser h biyectiva sera estrictamente creciente o estrictamente decreciente y, como esde claseC1, h(s) sera, respectivamente, positiva o negativa.

La longitud de un arco de curva entre los puntos correspondientes a los valorest = a y t = b se puede definir por un proceso de paso al lmite, de la longitud de unapoligonal. Consideremos una particion

a= t0< t1


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1.1. CURVAS REGULARES 3

Figura 1.2: Cambio de parametro

y la poligonal generada por las imagenes de estos puntos (Ver Figura 1.3). La longitud dela poligonal es

sn =n

i=1

(ti)(ti1).

En el caso n= 3, si (t) = (x(t), y(t), z(t)) tenemos

sn =n

i=1

x(ti)x(ti1), y(ti)y(ti1), z(ti)z(ti1) ,que, por aplicacion del teorema del valor medio, podemos poner en la forma

sn=n

i=1

(x(i), y(i), z(i )) ti,

donde i, i, i (ti1, ti) e ti=titi1.Es decir,

sn =n

i=1

(x(i))

2 + (y(i))2 + (z(i ))

2 ti.

Definimos la longitud del arco de curva como el lmite, si es que existe, de la sucesion sn,cuando n . Como x , y ,z son continuas podemos concluir que, de hecho, el lmiteexiste y esta dado por

s= lmn

sn=

ba

(x(t))2 + (y(t))2 + (z(t))2 dt=

ba

(t)2 dt.


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Figura 1.3: Longitud de un arco de curva

Una curva : [a, b] Rn se diceregular a trozos si existe al menos una particiona = t0 < t1 < t2 0 representa la altura de una valla

en el punto (x, y) (Ver Figura 1.4). La suma Sn representa la suma de areas derectangulos, que tiende al area Sde la valla. Si f(x, y) = 1 la integral curvilnea sera elarea de una valla de altura unidad, es decir la longitud de la valla

f ds=

ba

(t)2 dt = L.

Proposicion 1.2.1 (Cambio de parametro) Consideremos un campo escalar conti-nuo f :U Rn R y dos curvas equivalentes, : [a, b]U y: [a, b]U, cuyaimagen es= (ver Figura 1.2), entonces

f ds=

f ds

Dado que la integral no depende de la orientacion es habitual considerar la notacion

f ds=

f d.

1.3. Integral de un campo vectorial a lo largo de una

curva

Sea F : U Rn Rn un campo vectorial continuo, : [a, b] U Rn unacurva regular y = [a, b]. Se define la integral del campo Fa lo largo de la curva , ocirculacion del campo Fa lo largo de la curva , como la integral de Riemann

Fds= ba

F((t))(t)dt,

dondeindica el producto escalar eucldeo. Dicha integral tambien suele denotarse por

Fd=

F1dx1+F2dx2+ +Fndxn


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1.3. INTEGRAL DE UN CAMPO VECTORIAL A LO LARGO DE UNA CURVA 7

Figura 1.5: Integral curvilnea de un campo vectorial

Interpretacion

Si es un segmento rectilneo y el campo Fconstante, el trabajo realizado por elcampo de fuerzas Fa lo largo de sera

W =F[(b)(a)] =|G| (b)(a),

donde G = Fu, con uvector unitario en la direccion (b)(a).SiFes un campo variable y/oes una curva regular cualquiera, la manera de proceder

sera la siguiente: consideramos una particion del intervalo [a, b],

a= t0 < t1< t2


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y, aplicando el teorema del valor medio, resulta finalmente

Wn

=n

i=1

[F1((

i))

1(

i) +F

2((

i))

2(

i)] t

i,

donde i y i son puntos del intervalo (ti1, ti).

El trabajo realizado por el campo Fa lo largo de la curva es, por definicion,

W = lmn

Wn =

ba

F((t))(t)dt =

Fds.

Es preciso anotar que, aunque Wn no son sumas de Riemann, debido a que i, i y

i no

son necesariamente coincidentes, tambien convergen a la integral.

Se puede considerar tambien el caso de una curva regular a trozos o que F sea con-tinuo y acotado salvo en un numero finito de puntos. En ambos casos, se considera lacorrespondiente particion del intervalo [a, b], de tal manera que sobre cada subintervalo[ti1, ti] la curva sea regular y F continuo

Fds=n

i=1

titi1

F((t))(t)dt.

Podemos relacionar la integral de un campo vectorial F con la de un campo escalaradecuado f,

Fds= b

a

F((t))(t)dt = b

a

F((t)) (t)(t)(t)dt,

de modo que si consideramos el campo escalar ftal que su restriccion a los puntos imagende la curva sea

f((t)) =F((t)) (t)

(t)resulta que

Fds=

f ds.

Proposicion 1.3.1 (Cambio de parametro) Consideremos un campo vectorial conti-nuo F : U Rn Rn y dos curvas equivalentes, : [a, b] U y : [a, b] U,cuya imagen es= (ver Figura 1.2), entonces

Fds=

Fds

segun que ytengan la misma o distinta orientacion.

Es decir, al contrario que en el caso de campos escalares, la circulacion de un campovectorial a lo largo de una curva depende de la orientacion de la misma.


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1.4. EJERCICIOS 9

1.4. Ejercicios

1. Sea : [1, 1] R2

la curva regular a trozos definida por (t) = (t, |t|), t[1, 1] y sea f(x, y) =x2y. Calcular

f ds.

[Resp.:22

]

2. Calcular las siguientes integrales de lnea :

a)

x2ydx +(x2y2)dydesde (0, 0) hasta (1, 2) a lo largo de la parabolay = 2x2.b)

(yx2)dx+xdy a lo largo de la lnea poligonal que une sucesivamente los

puntos (1, 0), (1, 1), (1, 1) y (1, 0).3. Sea f(x, y) = 2xy, y considerar la curva (t) = (t4, t4), t[1, 1]. Calcular la

integral de fa lo largo de esta curva e interpretar geometricamente el resultado.

[Resp.:

2]

4. Calcular

dx+dy

|x|+|y|donde es el contorno del cuadrado de vertices (1, 0), (0, 1), (1, 0) y (0,-1) recorridoen sentido contrario al de las agujas del reloj. [Resp.: 0].

5. Calcular la circulacion del campo V = 12

(yi+xj) a lo largo de las curvas,

a)x2

a2+

y2

b2 = 1

b) arco de parabolay = x2 entre (-1, 1) y (1,1)

[Resp.: ab; 13

]

6. Calcular

sen zdx+ cos zdy(xy) 13 dz

siendo : [0, 7/2]U R3 definida por (t) = (cos3 t, sen3 t, t)

[Resp.: 12

]


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7. Hallar el trabajo realizado por la fuerza f(x, y) = (x2 y2)i+ 2xyj al mover unapartcula en sentido contrario al de las agujas del reloj, recorriendo una vez elcontorno del cuadrado limitado por los ejes coordenados y las rectas x= a e y = acon a >0.

[Resp.: 2a3]

8. Calcular la integral curvilnea I=

ydx + 2xdy a lo largo de la curva , recorridaen sentido positivo, que limita al dominio D definido como el lugar geometrico delos puntos que satisfacen una al menos de las dos siguientes inecuaciones:

x2 +y2 2x


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Captulo 2

Integrales de superficie

2.1. Superficies regulares

Pretendemos hacer una generalizacion mas del concepto de integral e introducir laintegral de campos escalares y vectoriales sobre superficies, para lo cual veremos unasbreves nociones de estas.

Definicion 2.1.1 (Superficie regular) Una superficie parametrizada es una apli-cacion :D R2 R3 continua, definida sobre un dominio D (abierto y conexo) deR2,

(x,y,z) = (u, v) = (1(u, v), 2(u, v), 3(u, v)).

El conjunto imagen(D) = R3 es la superficie imagen, o superficie correspondientea la funcion.

Una superficie se dicesimple si es inyectiva.

Una superficie se diceregular si C1(D) y su jacobiano es de rango 2 en todopunto deD o, equivalentemente, los vectoresu yv son linealmente independientes entodo punto deD.

Sea una superficie regular y = (D), tal como puede verse en la Figura 2.1. Fijadov0, la curva 1(u) = (u, v0) tiene una curva imagen sobre , cuyo vector tangente en elpunto (u0, v0) sera

u =

u =

1u

(u0, v0),2

u (u0, v0),

3u

(u0, v0)

.

Analogamente fijadou0, la curva 2(v) = (u0, v) tiene por vector tangente en el punto(u0, v0)

v =

v =

1v

(u0, v0),2

v (u0, v0),

3v

(u0, v0).

11


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12 CAP ITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE

Figura 2.1: Superficie regular

Como los vectores u y v son tangentes a dos curvas sobre la superficie en un punto y es diferenciable en ese punto, dichas tangentes deben determinar el plano tangente a lasuperficie en ese punto, es decir u v debe ser normal a la superficie. Por tanto si esregular, los vectores u y v, en cualquier punto de la superficie, deben ser linealmenteindependientes, lo que asegura la existencia de plano tangente en todo punto. Por tanto laregularidad de una superficie, geometricamente, significa la existencia de plano tangenteen cualquier punto.

Definicion 2.1.2 (Superficies equivalentes) Dos superficies regulares

:D R2 R3, : R2 R3,se dicen equivalentes si existe un difeomorfismo H : D tal que = H.

En este supuesto (ver Figura 2.2) para todo (, ) se tiene(u, v) =H(, ) = (H1(, ), H2(, )), (u, v) = (, ) = ( H)(, ),

con lo que la superficie imagen es la misma = (D) = () = . Es decir se tratade una misma superficie imagen referida a dos parametrizaciones distintas.

Proposicion 2.1.1 (Invarianza del plano tangente) El plano tangente en un puntode una superficie regular es independiente de la representacion parametrica y los respec-tivos vectores normales tienen la misma direccion pero pueden tener sentidos opuestos.


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2.1. SUPERFICIES REGULARES 13

Figura 2.2: Cambio de parametro. Superficies equivalentes.

Consideremos las dos superficies equivalentes y anteriores. Aplicando la regla dela cadena se obtiene

1

1

2

2

3

3

(, ) =

1u

1v

2u

2v

3u

3v

(H(, ))

H1

H1

H2

H2

(, ),

es decir

=

u v u uv

v

.

Por tanto, los vectores y , que caracterizan al plano tangente a la superficie enel punto (, ), pertenecen al subespacio generado por u y v en el punto (u, v), que noes otro que el plano tangente a la superficie en dicho punto.

Los respectivos vectores normales se definen de la siguiente manera

N= , N= u v.La relacion entre ellos viene dada por

N= N u uv

v

=N J

u v

,

dondeJ indica el determinante jacobiano del difeomorfismoH. Dado que dicho jacobianoo es positivo en todo punto de o es negativo, los vectores normales tendran el mismo uopuesto sentido.


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Orientacion de superficies

Dada un superficie : D

R2

R

3, todo cambio de parametro es tal que eljacobiano correspondiente tiene signo constante. Aquellas parametrizaciones tales que eljacobiano es positivo diremos que sonpositivamente equivalentesa , y si el jacobianoes negativo negativamente equivalentes.

En el conjunto de parametrizaciones de una superficie imagen , la relaci on posi-tivamente equivalentees una relacion de equivalencia, que da lugar a una partici on delconjunto de parametrizaciones en dos clases: las parametrizaciones positivamente equiva-lentes a y las negativamente equivalentes. Si estas dos clases son distintas, la superficiese diceorientable, y en otro casono orientable. Las superficies orientables tienen doscaras, con sus respectivos vectores normales. Las superficies no orientables son superficiespatologicas, que tienen una sola cara como la cinta de M obius o la botella de Klein.

2.2. Area de una superficie regular

Sea :D R2 R3 una superficie regular simple, K Dun cerrado y = (K).Se define el area de como

K

u(u, v) v(u, v)2dudv,

cuya existencia esta asegurada por ser Kcompacto y N= u v continua sobre K.Proposicion 2.2.1 (Independencia de la parametrizacion) El area de es inde-pendiente de la parametrizacion.

Vamos a justificar el hecho de que el numero obtenido como area de se correspondecon la idea que tenemos de area. Supongamos, por simplicidad, que Kes un rectanguloy consideremos una particion de Ken rectangulos de la forma

Rij = [ui, ui+1]

[vj, vj+1],

asociados a las particiones

a= u0< u1< u2 < < un=b,c= v0 < v1< v2< < vn=d,

tal como en la Figura 2.3.

En cada punto de la particion de K, (ui, vj), aproximamos la aplicacion , que engeneral sera no lineal, por la aplicacion afn ij, desarrollo de Taylor de primer orden dela funcion en (ui, vj)


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2.2. AREA DE UNA SUPERFICIE REGULAR 15

Figura 2.3: Area de una superficie regular.

ij1(u, v)ij2(u, v)ij3(u, v)

=

1(ui, vj)2(ui, vj)3(u

i, v

j)

+

1u

(ui, vj) 1

v (ui, vj)

2u

(ui, vj) 2

v (ui, vj)

3

u(u

i, v

j) 3

v (u

i, v

j)

u uiv

vj

La imagen deRij por es un paralelogramo curvo y por ij es un paralelogramo (verFigura 2.3) cuyo area es

u(ui, vj) ui v(ui, vj) vj2.La suma de las areas de todos los paralelogramos, correspondientes a los puntos de laparticion sera

An=n1i,j=0

u(ui, vj) v(ui, vj)2uivj.

Se define el area de la superficie imagen K como

A= lmn

An =

K

u(u, v) v(u, v)2 du dv.

Nota 2.2.1 (Aproximacion del area de una superficie por escamas) La longi-tud de un arco de curva se puede considerar como el lmite de poligonales inscritas, cuandoel diametro de la particion tiende a 0. En cambio, el area de una superficie no se puedeaproximar mediante paralelogramos inscritos (contraejemplo de Schwarz) sino que es pre-ciso aproximarla mediante escamas.


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Ejercicio 2.2.1 Comprobar que si la superficie viene dada en la formaz= f(x, y) con(x, y) D el area es

A() =

D

f

x

2

+

f

y

2

+ 1dxdy=

D

dxdy

| cos | ,

siendo cos , cos ycos los cosenos directores del vector normal.

Analogamente si la superficie se puede poner en la formax= g(y, z), con(y, z) D

A() =

D

dy dz

| cos | .

Y, finalmente, siy= h(x, z), con(x, z) D

A() =

D

dxdz| cos | .

Ejercicio 2.2.2 (Superficies de revolucion) Dada la funcion y = f(x), x [a, b],comprobar que el area de la superficie de revolucion engendrada al girar alrededor del ejeOx es

Ax = 2

ba

|f(x)|

1 + [f(x)]2 dx,

y la obtenida al girar alrededor deOy

Ay = 2 ba |x|1 + [f(x)]2 dx.

2.3. Integral de superficie de un campo escalar

Consideremos un campo escalar f : U R3 R continuo, y sea una superficieregular : D R2 U R3 con (D) = U. Se define la integral del campoescalar fsobre la superficie imagen como la integral doble de Riemann

f d = D(f )(u, v) u(u, v) v(u, v)2 du dv.Se comprueba que la integral es independiente de la parametrizaci on, por lo que es po-sible hablar de integral de un campo escalar sobre la superficie imagen. Si f(x,y,z) = 1obtenemos la formula del area obtenida anteriormente.

Interpretacion

Si el campo escalar representa la densidad superficial, la integral de superficie de dichocampo escalar sobre la superficie nos proporciona la masa de la superficie (al igual que lamasa de un alambre en el caso de integral curvilnea).


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2.4. INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UN CAMPO VECTORIAL 17

Aplicaciones

La masa de una superficie de material cuya densidad superficial es f(x,y,z), talcomo hemos dicho anteriormente, viene dada por

m=

f d,

y las coordenadas del centro de masa (o de gravedad) son

xG = 1

m

x f d, yG= 1

m

y f d, zG = 1

m

z f d.

2.4. Integral de superficie de un campo vectorial

Sea : D R2 U R3 una superficie regular, cuya superficie imagen es = (D), y F : U R3 R3 un campo vectorial continuo en U. Se define integralde superficie del campoFsobre la superficie como la integral doble de Riemann

F d =

D

(F )(u, v) [u(u, v) v(u, v)]du dv.

Interpretacion

Al igual que la integral de un campo vectorial a lo largo de una curva tena comointerpretacion el trabajo de un campo sobre una partcula que se desplazaba por la curva,en el caso de integral de un campo vectorial sobre una superficie representara el flujo deun fluido a traves de dicha superficie. La orientacion de la superficie da la direccion en lacual se mide el flujo.

SiF representa un campo de velocidades de un fluido en movimiento, es conocido que,si F es constante, el flujo de dicho fluido a traves de una superficie plana compuesta porun paralelogramo de ladosa y b es F (a b), que representa el volumen del paraleppedode lados F, a yb. (Ver Figura 2.4).

Para el caso F variable y superficies regulares cualesquiera, el concepto de integralde superficie permite generalizar esta idea. Sea D = [a, b] [c, d] y consideremos unaparticion que da lugar a rectangulos elementales Rij, cuya imagen es un paralelogramocurvoSij = (Rij) (ver Figura 2.3). Si es la aproximacion afn de en el punto (ui, vj),Sij = (Rij) es un paralelogramo de lados u(ui, vj) ui y v(ui, vj) vj .

Para cada i, j el flujo del fluido a traves de (Rij), en la direccion del campo, esaproximadamente

F[(ui , vj )] [u(ui, vj) v(ui, vj)] uivj.


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Figura 2.4: Flujo de un campo constante a traves de un paralelogramo.

El flujo a traves de todas las escamas sera

An=n1

i,j=0

F[(ui , vj )] [u(ui, vj) v(ui, vj)] uivj.

Por definicion, el flujo del campo F a traves de la superficie imagen es

lmn

An=

F d.

Proposicion 2.4.1 (Cambio de parametro) Si :D R2 U R3 y : R2 U R3 son dos parametrizaciones equivalentes de una superficie imagen, entonces

F

d =

F

d,

segun que y tengan la misma o distinta orientacion.

2.5. Ejercicios

1. Hallar el area de la parte de esfera unitaria cortada por el cono z

x2 +y2

[Resp.: (2 2)]


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2.5. EJERCICIOS 19

2. Calcular el area del helicoide

: (0, 1)

(0, 2)

R3

dado por (, ) = ( cos , sen , ). [Resp.:

2 + lg(1 +

2)

]

3. Hallar el area interceptada en el paraboloide

z=x2

2a+

y2

2b

por el cilindro elpticox2

a2+

y2

b2 = 1

[Resp.: 2ab3

[22 1]]

4. Se considera la porcion de superficie de paraboloide x2 +y2 = 2 z, 0 z 2a) Obtener el area.

b) Determinar las coordenadas del centro de gravedad geometrico.

c) Suponiendo que sobre la superficie se halla distribuida una materia con unadensidad que es proporcional, en cada punto, a la cota zdel mismo, hallar lamasa total.

[Resp.: 133

,

0, 0, 111130

, 37k

10 ]

5. En una esfera se hace un hoyo cuyo eje es un diametro de la misma. El volumen delsolido resultante esta dado por la integral

V = 2

2

0

3

0

4z2

1

rdrdzd

a) Examinando la integral dada, determinar la radio del hoyo y el de la esfera.

b) Calcular el valor numerico de la integral.

c) Calcular el area de la superficie del citado solido.

[Resp.: 1, 2; 4

3; 8

3 + 4

3]

6. Comprobar que la superficie

x= 1

y2 +z21 x <

se puede llenar pero no pintar.


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7. El planoy + z= R divide a la superficie esferica x2 + y2 + z2 =R2 en dos casquetes.

Siendo el casquete de menor area, calcular x2yzd [Resp.: R

62

64 ].

8. Calcular la integral del campo escalarf(x, y) =xy sobre la superficie esfericax2 +y2 +z2 =R2, correspondiente al primer octante. [Resp.: R4/3].

9. Sea S la porcion de superficie cilndrica x2 +y2 =R2 situada en el primer octante,y limitada por el plano z= h.

a) Calcular la integral del campo escalarf(x,y,z) =xyzsobre S.

b) Calcular el flujo del campo F(x,y,z) = (0, 0,xyz) a traves de la cara externade S:

[Resp.: h2

R3

4 ; 0]

10. Calcular S

dS2az z2

dondeSes la parte de superficiex2+y2+(za)2 =a2 que queda dentro del cilindrox2 +y2 =ay, y bajo el plano z=a. [Resp.: a2/2].

11. Sea S la parte de cono z2 = x2 +y2, 1 z 2 orientada por la normal exterior.Calcular

sF dS

donde F(x,y,z) = (x2, y2, z2). [Resp.: 152

].

12. Hallar el flujo del campoF(x,y,z) = (3xy2, 3x2y, z3) a traves de la cara externa dela esfera unitaria. [Resp.: 12

5 ].

13. Calcular la integral del campoF(x,y,z) = (1 2z, 0, 2y) a traves de la superficieK=

(x,y,z) R3|2x+y+ 2z= 4, x 0, y 0, z 0

[Resp.: 28

3]

14. Calcular el flujo del campo F =x3i+y3j+z3k

a) A traves de la superficie total exterior del conoH2(x2 + y2) =R2z2, 0 zH.

b) A traves de la superficie lateral exterior del mismo cono.

[Resp.: 3R4H

10 +

3R2H3

5 ;

3R4H

10 2R

2H3

5 ]


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Captulo 3

Teoremas Integrales del Analisis

Vectorial

3.1. Teorema de Green-Riemann

Relaciona una integral de lnea a lo largo de una curva cerrada de R2 con una integraldoble sobre la region que encierra dicha curva.

Teorema 3.1.1 (Teorema de Green-Riemann) Sea un campo vectorial de clase C1

F : G R2

R2

, tal queF(x, y) = P(x, y)i+ Q(x, y)j yD G un dominio tipo 3cuya frontera es una curva D = cerrada, simple y regular orientada positivamente,entonces se tiene

F d =

P dx +Q dy=

D

Q

x

P

y

dxdy.

Vectorialmente, se puede poner en la forma

F d =

D(rot F) k dx dy,

ya que al ser Fun campo plano, rot F =

0, 0,

Q

x

P

y

. [Ver Figura 3.1].

En realidad, el teorema de Green-Riemann se puede aplicar a regiones mas generalesque las contempladas en el enunciado. Simplemente, se descompone la region, que no esde tipo 3, en varias que si lo son, de modo que se aplica el teorema a cada una de ellas.La dificultad de la demostracion del caso general consiste en probar que un subconjuntoD R2 abierto y acotado, cuya frontera es una curva regular a trozos, simple y cerrada,puede descomponerse siempre en una union finita o infinita numerable de conjuntos detipo 1 o 2. Por ejemplo, si la region es un anillo como el de la Figura 3.2 limitado por las

21


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22 CAP ITULO 3. TEOREMAS INTEGRALES DEL AN ALISIS VECTORIAL

Figura 3.1: Teorema de Green-Rieman.

Figura 3.2: Teorema de Green-Rieman. Regiones multiplemente conexas


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3.2. TEOREMA DE STOKES 23

curvas 1 y 2, se puede descomponer en varios subdominios y aplicar el teorema a cadauno de ellos. Al sumar las integrales correspondientes, se concluye que se puede aplicar elteorema al dominio completo, si las orientaciones de las curvas 1 y 2 son las indicadasen la Figura (1 orientacion positiva y 2 negativa).

Corolario 3.1.2 El area limitada por una curva simple, cerrada y regular a trozos sepuede expresar como

A=1

2

y dx +x dy.

3.2. Teorema de Stokes

Relaciona la integral de lnea de un campo vectorial a lo largo de una curva cerradade R3, , con una integral sobre una superficie cuya frontera es .

Teorema 3.2.1 (Teorema de Stokes) Sea D R2 abierto y acotado, cuya fronteraD es una curva regular a trozos, cerrada y simple, : D U R3 una superficiesimple regular de clase C2 orientada positivamente, = (D) y = (D) la curva

frontera de con la orientacion inducida por la de. SiF :U R3 R3 es un campovectorial de claseC1 se tiene

(rot F) d =

F d.

Es decir, lo que asegura el teorema de Stokes es que la circulacion del campo F a lolargo de la curva cerrada coincide con el flujo del rotacional de F a traves cualquiersuperficie limitada por si la orientacion de esta es la inducida por la de la superficie.[Ver Figura 3.2]

En realidad, el teorema de Stokes es una generalizacion del de Green-Riemann al casotridimensional.

3.3. Teorema de Gauss

El teorema de Gauss o teorema de la divergencia relaciona el flujo de un campovectorial a traves de una superficie cerrada con una integral de volumen sobre el dominioque encierra dicha superficie.

Teorema 3.3.1 (Teorema de Gauss) SeaF : U R3 R3 un campo vectorial declaseC1 y U una region tipo 4, cuya frontera es una superficie simple, regular ycon la orientacion de la normal exterior, entonces se tiene

F d =

div F dxdy dz.


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Figura 3.3: Teorema de Stokes.

Es decir, el flujo del rotacional de un campo vectorial a traves de una superficie cerradacoincide con la integral triple de su divergencia sobre el dominio que encierra. (Ver Figura3.4).

Tambien en este caso se puede aplicar el teorema a dominios mas generales.Si se aplica el teorema de Gauss a un campo vectorial de la forma F =fg, donde

f y g son campos escalares se obtiene la llamada primera formula de Green. Hay unasegunda formula que es consecuencia de esta.

Corolario 3.3.2 (Formulas de Green) Sea un dominio de R3 cuya frontera esuna superficie regular a trozos y simple, g, f : R3 R campos escalares de claseC2, entonces se tiene

fg d =

(f2g+ f g)dx dy dz,

(fg g f) d =

(f2g g 2f)dx dy dz.

3.4. Campos conservativos y campos de gradientes

Un campo vectorial se dice conservativosi la integral sobre cualquier curva dependeunicamente de los extremos, es decir la integral sobre cualesquiera curvas que tengan losmismos puntos extremos no vara.


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3.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y CAMPOS DE GRADIENTES 25

Figura 3.4: Teorema de Gauss.

Definicion 3.4.1 (Funcion potencial) SeaF :U Rn Rn un campo vectorial declaseC1. Una funcion escalarV : U Rn R se dice funcion potencial, o potencialescalar, deF siV =F.

Proposicion 3.4.1 Todas las funciones potenciales de un mismo campo vectorialF di-fieren en una constante.

Todo campo vectorial con funcion potencial es conservativo:

Proposicion 3.4.2 SeaU Rn un abierto conexo, F :U Rn un campo vectorial declaseC0 con funcion potencial, entoncesF es conservativo.

3.4.1. Campos conservativos en R3

Estamos interesados en caracterizar los campos vectoriales, en R3, que se puedenescribir como un gradiente de algun campo escalar, y que por tanto son conservativos.

Proposicion 3.4.3 (Caracterizacion de campos conservativos en R3) SeaFun cam-po vectorial de claseC1, definido enR3 salvo quizas en un numero finito de puntos. Lassiguientes condiciones son equivalentes:


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1. Para cualquier curva cerrada simple se tiene

F ds= 0.

2. Para cualesquiera curvas simples orientadas,1 y2, que tengan los mismos extre-mos se tiene

1

F ds=

2

F ds.

3. Existe una funcion escalarf tal queF=f, en los puntos donde esta definido F.

4. F= rot F = 0.

3.4.2. Campos conservativos en R2

Todo funciona igual que en R3 salvo que en el teorema de caracterizacion se ha deexigir Fde clase C1 en R2, o en algun dominio, sin excepciones en ningun punto.

Proposicion 3.4.4 (Caracterizacion de campos conservativos en R2) SeaF :UR2 R2, conUabierto y conexo yF = (P, Q) de claseC1 enU.Las siguientes condi-

ciones son equivalentes:

1. Para cualquier curva cerrada simple se tiene F ds= 0.

2. Para cualesquiera curvas simples orientadas,1 y2, que tengan los mismos extre-mos se tiene

1

F ds=

2

F ds.

3. Existe una funcion escalarf tal queF=f, en los puntos donde esta definido F.

4.Q

x =

P

y.

La igualdad (f) = 0 nos dice que todo campo de gradientes es un campoirrotacional, y por tanto conservativo.

3.5. Campos incompresibles y campos de rotores

Un campo vectorial F se dice incompresiblesi F= div F = 0.


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3.6. EJERCICIOS 27

Proposicion 3.5.1 SeaF :U R3 R3, conUabierto y conexo, un campo vectorialde claseC1, tal queH= 0, entonces existe un campoF, de claseC2, tal queF =H.

Al campo F tal F=Hse le llama potencial vectorde H.

Se prueba que si Fes un campo de clase C2 se tiene ( F) = 0, por lo que todocampo de rotores es incompresible, y por tanto tiene asociado un potencial vector.

3.6. Ejercicios

1. Propiedades y relaciones entre gradiente, divergencia, rotacional y laplaciana:

a) Si el campo escalarfes de clase C2 entonces (f) = 0, es decir el rotacionalde cualquier gradiente es nulo.

b) Si el campo vectorialFes de clase C2 entonces ( F) = 0.

c) (f+g) =f+ g

d) (f) =f, para constante

e) (f g) =fg+gf

f) fg

= gffg

g2 , en los puntos dondeg(x)= 0

g) (F+G) = F+ G

h) (F+G) = F+ G

i) (F G) = (F )G + (G )F+F ( G) +G ( F)

j) (f F) =f F+F f

k) (F G) =G ( F) F ( G)

l) (f F) =f F+ f F

m) (F G) =F G G F+ (G )F (F )G

n) ( F) =( F) F

n) (F F) = 2(F )F+ 2F ( F)

o) (f g) =fg+gf+ 2(f g)

p) (f g) = 0

q) (fg gf) =fg gf

r) H (F G) =G (H F) =F (G H)

s) H (F ) G= (H )G F (H F)( G)


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t) F (G H) = (F H)G H(F G)

2. Verificar el teorema de Green-Riemann en el plano, donde Ses el anillo

S=

(x, y) R2|a2 x2 +y2 b2

y el campo vectorial Fel siguiente :

1) F(x, y) =

y

x2 +y2,

xx2 +y2

2) F(x, y) =

y

x2 +y2,

x

x2 +y2

3) F(x, y) =

x

x2 +y2,

yx2 +y2

3. Usar el teorema de Green-Riemann para demostrar queC+

y

x2 +y2dx +

x

x2 +y2dy

vale 0 siC+ es una curva simple orientada y cerrada en R2 {(0, 0)}que no encierrael origen, y 2 si encierra el origen.

4. EvaluarS( F) dS, donde S es la superficie x

2

+y2

+ 3z2

= 1, z 0 yF = (y, x,zx3y2), suponiendo la normal dirigida hacia arriba. [Resp.:2]

5. Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio superior

z=

1 x2 y2, z0

y el campo vectorial radial F(x,y,z) = (x,y,z).

6. Sea Sla superficie cilndrica con tapa, union de dos superficies S1 y S2, donde

S1 =

(x,y,z)|x

2

+ y

2

= 1, 0 z 1

yS2 =

(x,y,z)|x2 +y2 + (z 1)2 = 1, z1

Sea F(x,y,z) = (zx +z2y+x)i + (z3yx +y)j+ z4x2k. Calcular

S

( F) dS.

[Resp.: 0]

7. Integrar F, F = (3y, xz, yz2) sobre la parte de la superficie 2z = x2 +y2

debajo del plano z= 2, directamente y usando el teorema de Stokes. [Resp.: 20]


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3.6. EJERCICIOS 29

8. Sea Kla superficie triangular del plano 2x+y+2z= 4 en el primer octante, orientadapor la normaln = (2/3, 1/3, 2/3). Considerar el campoF(x,y,z) = (x2, 2xy+z2, y +2z). Verificar el teorema de Stokes.

9. Calcular

y3dx+x3dyz3dzdonde es la interseccion de las superficiesx2+y2 =1,x+y+z1 = 0, eligiendo como orientacion de aquella tal que la curva proyeccionsobre Oxy tiene orientacion positiva. [Resp.: 3

2]

10. Verificar el teorema de Gauss paraF = (P,Q,R) = (x2y, x2 2z2, 2yz) siendo V elvolumen limitado por los planos x= 0, y = 0, z= 0, x= 1, y= 1, z= 1.

11. Sea F(x,y,z) = (2xyz+ sen x)i+x2zj +x2yk. Comprobar que es conservativo yhallar una funcion potencial. [Resp.: f(x,y,z) =x2yz cos x+ k]

12. Calcular la integral del campo vectorial

F(x,y,z) = (y2 +z2)i + (z2 +x2)j+ (x2 +y2)k

a lo largo de la curva interseccion dex2 + y2 + z2 2ay= 0,x2 + y2 2by= 0, paraz 0, 0< b < a, con la orientacion de la curva de tal manera que la superficie queencierra tenga la orientacion de la normal exterior. [Resp.:2ab2].

13. Sea F(x,y,z) = (x z)i+ (x3 +yz)j 3xy2k y S la parte de superficie conicaz= 2

x2 +y2, conz0. Calcular el flujo del rotacional deF a traves de dicha

superficie. [Resp.: 12].

14. Un globo aerostatico tiene la forma de la porcion de elipsoide centrado en el origen,de semiejes 2, 3 y 5 respectivamente, situada en el semiespacio z1.

Los gases calientes escapan por la cubierta porosa con una velocidad que viene dadapor el campo V(x,y,z) = F donde F(x,y,z) = (yz2, 4xz,x2yz). Calcular elvolumen de gas que pasa a traves de la superficie por unidad de tiempo. [Resp.:432

25 ].

15. Consideremos dos campos vectoriales de R3,F yG, de claseC1, y un campo escalarg, definido en R3, de clase C2.

a) Comprobar que div(F G) =G rot F F rot G.

b) Sea un dominio R3 limitado por una superficie regular cerrada , dadapor la ecuaciong(x,y,z) =k =cte.. Demostrar que siF es una campo vectorialnormal a , se cumple

g rot F d = 0

16. a) Definir integral curvilnea de un campo escalar. Comprobar la independenciade la parametrizacion.


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b) Calcular el flujo del campo vectorial F(x,y,z) = (x2, y2, z2) a traves de lasuperficie lateral del cono x2 + y2 z2 = 0, 0 z 1, con la orientacion de lanormal exterior.

Sugerencia: aplicar el teorema de Gauss al dominio limitado por el citado

cono y su tapa superior z= 1. [Resp.:

2]

17. Calcular directamente y aplicando el teorema de Gauss, el flujo del campo vectorial

F(x,y,z) = (xz, 3xy, 2z)

a traves de la superficie que limita al solido

V(x,y,z) = (x,y,z) R3; x2 + y2 +z2 4, z0 ,considerando la orientacion de la normal exterior. [Resp.:

20

3 ]

18. Calcular, directamente o aplicando el teorema de Stokes, la circulacion del campovectorial

F(x,y,z) = (y3, x3, z3)

a lo largo de la curva C, interseccion del cilindrox2 + y2 = 1 y el planox + y + z= 1,considerando la orientacion que corresponde al sentido contrario al que giran las

manecillas del reloj. [Resp.: 3

2 ]


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Captulo 4

Introduccion a las Ecuaciones

Diferenciales

4.1. Modelizacion matematica

En este Captulo pretendemos dar una vision, en terminos sencillos, del papel que jue-gan las ecuaciones diferenciales en el campo que se conoce con el nombre de modelizaci on(o modelacion) matematica.

Es conocido que muchas leyes del Universo se pueden expresar en el lenguaje de

las Matematicas, y para resolver muchos problemas estaticos basta utilizar herramientaspropias del Algebra. Sin embargo, los fenomenos naturales mas interesantes implicancambios, y se describen mejor mediante ecuaciones que relacionen cantidades variables.Dado que la derivada de una funcion y = f(x) respecto de la variable independiente x,mide la tasa de cambio de la funcion f respecto de la variable x, parece natural que lasecuaciones en las que intervienen derivadas sean las que describen el universo cambiante.Una ecuacion que contiene una funcion desconocida y una o mas de sus derivadas, sellamaecuacion diferencial.

El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene como fines fundamentales la determi-nacion de la solucion cuando sea posible, y en otro caso el analisis del comportamiento

cualitativo de la misma. En el contexto de la Ingeniera es muy conveniente, ademas, inci-dir en la obtencion de la propia ecuacion, que describe una situacion fsica. En particular,se muestran algunos ejemplos que ilustran este proceso de traducir leyes en terminos deecuaciones diferenciales, (segunda ley del movimiento de Newton, ley de enfriamiento,desintegracion radioactiva, tasa de cambio con respecto al tiempo de una poblacion P(t),etc.). Fijemonos en este ultimo ejemplo : la tasa de cambio con respecto al tiempo de unapoblacionP(t) con ndices constantes de nacimiento y mortalidad se puede considerar, encasos simples, proporcional al tamano de la poblacion. Es decir

dP

dt =kP, k= cte.

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32 CAP ITULO 4. INTRODUCCI ON A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

0 1 2 3 4 5 66

4

2

0

2

4

6

c=1c=0.5

c=0

Figura 4.1: Soluciones de P(t) =P(t)

En este caso toda funcion de la forma P(t) = Cekt es una solucion de esta ecuaciondiferencial. Por tanto, cuando k sea conocida la ecuacion diferencial tiene infinitas solu-ciones (una para cada C). Esto es caracterstico de algunas ecuaciones diferenciales, y

ello exige usar informacion adicional para seleccionar entre todas las soluciones una enparticular que se ajuste a la situacion bajo estudio. Por ejemplo, en el caso P(t) = P(t)las soluciones son de la forma P(t) = Cet, algunas de ellas representadas en la Figura4.1. Se hace notar que las graficas de todas ellas llenaran por completo el plano sin quehaya dos que se corten (consecuencia del teorema de existencia y unicidad que se vera) yque, en consecuencia, la eleccion de cualquier punto, en particular sobre el eje P, es decirfijado un valor P(0), conduce a la determinacion de una unica solucion que pasa por esepunto.

Pudiera suceder que ninguna de las soluciones obtenida se adapte a todos los datosconocidos a priori. En este caso lo que cabe pensar es que la ecuacion diferencial no des-

cribe adecuadamente el problema fsico y habra que considerar otra ecuacion diferencial,mas complicada, que tenga en cuenta otros factores que puedan influir sobre la solucion.Desgraciadamente, esto es una constante que se repite en todo problema de modelizaci onmatematica, y que se esquematiza en la Figura 4.2.

Un modelo matematico satisfactorio ha de cumplir dos requerimientos importantes:

1. Ser lo suficientemente detallado como para representar adecuadamente la situaciondel mundo real.

2. Ser lo suficientemente sencillo para que sea posible un analisis matematico practico.


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4.2. AN ALISIS CUALITATIVO, RESOLUCI ON ANALITICA Y RESOLUCI ON NUM ERIC

Figura 4.2: Modelizacion matematica

Si falla lo primero, las soluciones pueden ser no realistas, y si falla lo segundo puedeser irrealizable. Por tanto, sistematicamente, se ha de llegar a un compromiso entre lofsicamente realista y lo matematicamente viable.

4.2. Analisis cualitativo, resolucion analtica y reso-

lucion numerica

Antes de resolver una ecuacion diferencial podemos intentar predecir el comportamien-to de las posibles soluciones. Es lo que llamaremos analisis cualitativo.

Por ejemplo en el modelo anterior, si en el instante inicialP(0) = 0, que se conoce conel nombre de condicion inicial, resultara que P(t) = 0 es una solucion del problema ya

que satisface la ecuacion diferencial y la condicion inicial. Corresponde a una poblacionque en el instante inicial no tiene ningun individuo.

Si P(0) = 0 resultara que dP

dt(0) = 0 y por tanto la poblaci on no es constante.

Por ejemplo, si k > 0 y P(0) > 0, la poblacion esta creciendo, ya que su derivada espositiva. P(t) se hace mayor, y la derivada tambien, por lo que la poblacion crece cadavez mas rapidamente. En el supuesto P(0) < 0, que no tendra sentido en un problemade evolucion de poblaciones, resulta que la derivada en el instante inicial es negativa(suponiendo k > 0), con lo cual P(t) es decreciente en ese instante, y posteriormentetambien, y ademas con pendientes cada vez mayores en valor absoluto.


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Un segundo procedimiento para abordar el problema es lo que llamaremos resolu-cion analtica, que consistira en la busqueda de una funcion analtica que sea soluciondel problema. Es el procedimiento descrito en la seccion anterior. Como se ha podido ob-servar, las soluciones que se obtienen analticamente confirman las previsiones del analisiscualitativo.

Una tercera manera de resolver la ecuacion diferencial, que denominaremos resolu-cion numerica, consistira en la resolucion aproximada. Sera el metodo al que tendremosnecesidad de recurrir la mayor parte de las veces ya que los problemas de la vida real, engeneral, no tienen solucion analtica.

En resumen, el presente curso trata la resolucion de problemas en los que intervienenecuaciones diferenciales para lo cual emplearemos los tres metodos descritos anteriormen-te.

1. Analisis cualitativo. Trata de predecir el comportamiento de las soluciones. Esta es-pecialmente indicado en el caso de ecuaciones autonomas, que son aquellas en lasque la funcion segundo miembro no depende de la variable independiente, como elcaso tratado anteriormente. En otras situaciones mas generales ya es mas proble-matico el tratamiento cualitativo, que podra consistir en representaciones graficasde campos de pendientes. En la actualidad estos metodos graficos quedan en unsegundo plano, debido fundamentalmente la existencia de metodos numericos cadavez mas precisos.

2. Resolucion analtica. Consiste en encontrar la solucion analtica del problema bajoestudio, cuando sea posible. En muchas ocasiones no existira solucion analtica y enotras, aunque exista, resultara complicado encontrarla. En los proximos captulosresolveremos analticamente algunos casos particulares sencillos y para otros mascomplejos, que tengan solucion analtica, podemos apoyarnos en la parte simbolicade Matlab (funcion dsolve).

3. Resolucion numerica. Trata la resolucion aproximada de aquellos problemas queno tengan solucion analtica o sea muy complicado encontrarla. Introduciremos elmetodo de Euler que, aunque es muy sencillo, y no demasiado preciso, es el funda-mento de casi todos los demas. Tambien describiremos otros metodos mucho mas

precisos como los metodos de Runge-Kutta. Implementaremos estos algoritmos enMatlab y haremos uso de funciones especificas del programa citado (ode23, ode45,..)

4.3. Definiciones y clasificacion

.

Unaecuacion diferenciales una ecuacion en la que interviene una funcion incognita(escalar o vectorial) y una o mas de sus derivadas.


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4.3. DEFINICIONES Y CLASIFICACI ON 35

Existen distintos tipos de ecuaciones diferenciales:

Ecuacion diferencial ordinaria (e.d.o.), si la funcion incognita es una funcionescalar de una variable independiente.

Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, si la funcion incognita es unafuncion vectorial de una variable independiente.

Ecuacion en derivadas parciales (e.d.p.), si la funcion incognita es una funcionescalar de mas de una variable independiente.

Sistema de ecuaciones en derivadas parciales, si la funcion incognita es unafuncion vectorial de mas de una variable independiente.

Ordende una ecuacion diferencial es el orden de la derivada mas alta, y al exponenteal que esta elevada dicha derivada se le llama grado. Si la funcion incognita es y=y(t),f(t, y, y, y, , y(n)) = 0 es una e.d.o. de orden n. Consideraremos ecuaciones de estaforma que sean resolubles en la derivada de mayor grado, es decir en la forma y(n) =g(t, y, y, y, , y(n1)), que se denomina forma normal de la ecuacion diferencial.

Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de ordennen forma normal se escribe

r(n) =F(t, r, r, r, , r(n1)).

Por ejemplo, si r(t) = (x(t), y(t)) un sistema en forma normal de orden 2 sera:

d2x

dt2 = F1(t, x , y, x

, y)

d2y

dt2 = F2(t, x , y, x

, y).

Veremos mas adelante que hay una equivalencia entre sistemas y ecuaciones, por ejem-plo una e.d.o. de orden n es equivalente a un sistema de primer orden y dimension n.

En una e.d.p. la funcion incognita depende de mas de una variable independiente, porejemplo una e.d.p. de segundo orden es la siguiente

2u

x2+ 3

2u

y2

2u

xy+

u

y+ 2u 3x+ 4 = 0,

donde u: R2 R.


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Captulo 5

Ecuaciones Diferenciales de primer

orden

5.1. Motivacion

Hay muchas situaciones fsicas que se describen en terminos de ecuaciones diferencialesde primer orden, por ejemplo para disenar proyectores es preciso calcular la forma de unespejo para que un haz de rayos paralelos que inciden sobre el se reflejen en un mismopunto.

Supongamos que la interseccion del espejo con el plano Oxy es la curva y = y(x),referida a un sistema de ejes coordenados tal que su origen esta situado en el punto porel que pasan todos los rayos, paralelos a Ox, que se reflejan en el espejo (Figura 5.1). SeaP = (x, y) un punto generico de la curva en el que incide un rayo. Teniendo en cuentaque el angulo de incidencia y reflexion son iguales, tal como se indica en la citada figura,se deduce

tg 2=y

x, tg = y (x).

Por tantoy

x= tg 2=

2 tg a

1 tg2 = 2y

1 y2 ,

lo que da lugar a una ecuacion de primer orden y segundo gradoy(y)2 + 2xy y= 0. Seobtienen as dos ecuaciones de primer orden

y = xy

+

x

y

2+ 1, y = x

y

x

y

2+ 1

cuyas curvas integrales tienen la forma de sendos espejos, segun sea el sentido de los rayos(mismo sentido que Oxo el contrario).

La solucion de las ecuaciones anteriores son las parabolas

y2 = 2Cx + C2, y2 = 2Cx + C2.

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38 CAP ITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Figura 5.1: Diseno de espejo

La forma solicitada seran los paraboloides de revolucion que engendran las parabolasanteriores al girar alrededor del eje Ox

y2 + z2 = 2Cx + C2, y2 + z2 = 2Cx + C2.

En el presente Captulo trataremos ecuaciones diferenciales de primer orden, es decirecuaciones de la forma

y =f(x, y),

donde fes una funcion dada, definida en un dominio de R2.

Se llama solucion de la e.d. a cualquier funcion y = (x) tal que (x) =f(x, (x)),y nuestra tarea consiste en averiguar si tales funciones existen, tratar de encontrarlas yestablecer su dominio de definicion. Resolveremos analticamente las ecuaciones linealesy algunos casos particulares de ecuaciones no lineales, analizaremos cualitativamente losproblemas, en particular en el caso de ecuaciones autonomas, y =f(y), e introduciremoslos metodos numericos.

El caso mas simple es y =f(x), cuya solucion sera cualquier primitiva de f.


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5.2. ECUACIONES LINEALES. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCI ON. 39

5.2. Ecuaciones Lineales. Existencia y unicidad de so-

lucion.

Son ecuaciones en las que f(x, y) es una funcion lineal en la variable y,

f(x, y) = p(x) y+ g(x),con lo que la e.d. queda en la forma

y +p(x) y=g(x).

Ejemplo 5.2.1 Encontrar soluciones de la ecuacion diferencialy 2y=x2 e2x

e2x[y 2y] =x2 = (y e2x) =x2 = y e2x = x3

3 + C,

donde Ces una constante arbitraria. Por tanto las soluciones de la e.d. son de la forma

y=x3

3e2x + C e2x.

La expresion obtenida, que recoge todas las soluciones de la e.d. dada, se llama soluci ongeneral. Si fijamos un punto (condicion inicial), por el que debe pasar la solucion, esposible encontrar la unica solucion que satisface tal condicion. Esto es una caractersticade las ecuaciones lineales.

Para obtener la solucion de la e.d. en el caso en que p(x) no sea constante, buscare-

mos una funcion cualquiera, en particular la podemos suponer positiva, llamada factorintegrante, (x), tal que

(x)[y +p(x)y] = [(x) y] =(x) y + (x) y,

con lo cual (x) debe satisfacer

(x)p(x) y=(x) y (x)

(x) =p(x).

Por tanto

ln (x) = x

p(t) dt (x) =ex p(t) dt.

Al multiplicar los dos miembros de la e.d. por el factor integrante resulta

(x)[y +p(x)y] = [(x) y] =(x) g(x) (x) y= x

(t) g(t) dt + C,

obteniendo como solucion general de la e.d.

y = 1

(x)

x(t) g(t) dt + C

.

Este es un metodo general para resolver e.d. lineales de primer orden. La constante arbi-traria quedara determinada con la condicion inicial.


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Figura 5.2: Solucion unica del p.vi. (caracter global)

Teorema 5.2.1 (Teorema de existencia y unicidad) Si p, g C0[a, b], x0 (a, b),y0 R cualquiera, entonces el problema de valor inicial

y +p(x)y= g(x)

y(x0) =y0

tiene una y solo una solucion en [a, b].

Es decir, el teorema anterior asegura que, bajo sus hipotesis, existe una y solo unasolucion, que esta definida en todo el intervalo en el que p y g son continuas, por lo quese dice que este teorema tiene caracter global (Ver Figura 5.2).

5.3. Ecuaciones no lineales. Existencia y unicidad desolucion.

En el caso general, el problema de valor inicial es de la forma

y =f(x, y),y(x0) =y0,

donde f es una funcion cualquiera, no necesariamente lineal. En este caso, al contrarioque en el lineal, no existe un metodo general de resolucion de la ecuacion y, de hecho,


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5.3. ECUACIONES NO LINEALES. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCI ON.41

la determinacion de una solucion analtica de una ecuacion no lineal es complicado y, amenudo, imposible. Nos limitaremos, mas adelante, a estudiar algunos casos particularesde ecuaciones no lineales. Otra diferencia importante, respecto al caso lineal, es que elteorema de existencia y unicidad, que enunciamos a continuacion, solamente garantizara laexistencia de solucion, bajo determinadas condiciones, en un entorno del punto dado porla condicion inicial, por lo que diremos que tiene un caracter local.

Teorema 5.3.1 (Teorema de existencia y unicidad) Si f y f

y son continuas en

algun rectangulo [a, b] [c, d] que contenga al punto (x0, y0), entonces existe un inter-valo (x0 h, x0+ h) [a, b] en el cual esta definida una y solo una solucion del p.v.i.

y =f(x, y),

y(x0) =y0.

Existe otra version del teorema de existencia y unicidad con hipotesis mas debiles,

Teorema 5.3.2 (Teorema de existencia y unicidad) Sifes continua y satisface unacondicion de Lipschitz con respecto a la variabley en algun rectangulo D = [a, b] [c, d]que contenga al punto (x0, y0) [|f(x, y1) f(x, y2)| L|y1 y2|, cualesquiera que sean(x, y1),(x, y2) D], entonces existe un intervalo (x0 h, x0 + h) [a, b] en el cual

esta definida una y solo una solucion del p.v.i.y =f(x, y),y(x0) =y0.

En la Figura 5.3 puede apreciarse la solucion del p.v.i., definida localmente, en lasproximidades del punto donde esta situada la condicion inicial.

Aunque el teorema solo garantiza la existencia y unicidad de solucion en un entorno dex0, dicha solucion es posible prolongarla a un intervalo mayor, siempre que se mantengan

las hipotesis del teorema y la propia solucion no presente discontinuidades. Por ejemplo,el p.v.i.

y =y2,y(0) = 1,

tiene por soluciony = 1

1 x . A pesar que la funcionf(x, y) =y2 satisface las hipotesis del

teorema en cualquier rectangulo contenido en R2, dicho teorema garantiza la existencia yunicidad de solucion unicamente en un entorno de 0 que, en este caso, se puede prolon-gar hasta el (, 1), que es donde la solucion permanece continua. Se llama solucionmaximala la solucion definida sobre un intervalo tal que no se pueda prolongar mas, es


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Figura 5.3: Solucion unica del p.vi. (caracter local)

decir es la solucion definida sobre el maximo intervalo en el cual la solucion sea de claseC1.

Unicamente se puede predecir un resultado de existencia y unicidad sobre todo el

intervalo en el supuesto que fsea continua y lipschitziana respecto a la segunda variablesobre [a, b] R,

Teorema 5.3.3 (Teorema de existencia y unicidad) Sifes continua y satisface unacondicion de Lipschitz con respecto a la variabley enD = [a, b]R, que contiene al punto(x0, y0), entonces el problema de valor inicial

y =f(x, y),y(x0) =y0.

tiene una, y solo una, solucion en el intervalo [a, b], cualquiera que sea y0 R. .

A continuacion resolveremos algunos casos particulares de e.d. no lineales.

5.3.1. Variables separables

La e.d.y =f(x, y) puede ponerse en la formaM(x, y) + N(x, y) y = 0. En el caso enqueM(x, y) =M(x) yN(x, y) =N(y) la ecuacion se dice de variables separables, porqueescrita en forma diferencial queda M(x) dx= N(y) dy.


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SiH1(x) yH2(y) son funciones cualesquiera tales que H

1(x) =M(x) yH

2(y) =N(y),la e.d. es de la forma

H1(x) + H

2(y)dydx

= 0 ddx

[H1(x) + H2(y)] = 0 H1(x) + H2(y) =C.

La solucion se presenta en forma implcita y, si se satisfacen las condiciones del teoremade la funcion implcita, existira una funcion y = (x) tal que H1(x) +H2((x)) = C,que es la solucion explcita de la ecuacion diferencial. El calculo de esta solucion, o ladeterminacion del intervalo preciso en el que existe, puede resultar complicado.

Ejemplo 5.3.1 Encontrar la solucion del p.v.i.

y

= x2

y(1+x3) ,y(0) = 1.

En la practica la solucion se obtiene directamente

y dy= x2

1 + x3dx = y

2

2 =

1

3ln(1 + x3) + C.

Al imponer la c.i. se obtiene C= 1/2, siendo la solucion del p.v.i.

y(x) =2

3ln(1 + x3

) + 1.

En este caso se ha obtenido facilmente la solucion explcita, pero no es sencillo precisarel intervalo maximo, en torno al punto x= 0, en el cual esta definida, (0,91, ).

Ejercicio 5.3.1 Encontrar la solucion del p.v.i., precisar su intervalo de definicion yrepresentarla graficamente.

y = y1x+3

,

y(

1) = 0.

5.3.2. Ecuaciones exactas y reducibles a exactas

Si (x, y) =Cdefine implcitamente y como funcion diferenciable de x, entonces

x(x, y) + y(x, y)dy

dx= 0

es la e.d. cuya solucion es(x, y) =C.


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Recprocamente, sea la e.d. M(x, y) + N(x, y) y = 0, si existe una funcion tal que

x(x, y) =M(x, y),

y(x, y) =N(x, y),

y (x, y) =C define y= (x) como funcion de x, entonces

M(x, y) + N(x, y) y = x(x, y) + y(x, y) y =

d

dx[(x, (x))].

Por tanto,

M(x, y) + N(x, y) y = 0 ddx

[(x, (x))] = 0 (x, y) =C.

En este caso la e.d. se dice exacta.

Teorema 5.3.4 SeanM, N, My, Nx continuas en un rectangulo D= [a, b] [c, d]. En-tonces la e.d. M(x, y) +N(x, y) y = 0 es exacta enD si, y solo siMy(x, y) = Nx(x, y)para todo (x, y) D.

Una e.d. M(x, y) +N(x, y) y = 0 es reducible a exacta si es posible encontrar unafuncion no nula (x, y), llamada factor integrantetal que M+ N y = 0 sea exacta,para lo cual se ha de cumplir (M)y = (N)x. En el caso particular en que sea funcion

solamente de x, o solamente de y, es posible calcular un factor integrante si se cumplendeterminadas condiciones.

= (x) My =x N+ Nx x

=My Nx

N .

Por tanto si el segundo miembro es funcion dex, existe un factor integrante = (x) quese obtiene resolviendo la ultima e.d.

Si = (y), entonces se tiene

yM+ My = Nx

y

=

My Nx

M

,

con lo cual existira = (y), si el segundo miembro es funcion de y.

Ejemplo 5.3.2 Resolver la e.d. y+ (2xy e2y) y = 0.

La e.d. no es exacta, pero My Nx

M =

1 2yy

. Por tanto resolviendo la e.d.

y

= My NxM

= 1 2yy

= 2 1y


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se obtiene ln = 2y ln y= ln( y) = 2y= = e2y

y .

Multiplicando la e.d. dada por este factor integrante se obtiene una nueva e.d. exacta

e2y + (2xe2y 1y

)dy

dx= 0,

que tiene como solucion implcita e2yx ln y = C.

5.3.3. Ecuaciones homogeneas y reducibles a homogeneas

Una e.d. M(x, y) +N(x, y) y = 0 se dice homogenea si M y N son funciones ho-

mogeneas del mismo grado, o equivalentemente M(x, y)N(x, y) homogenea de grado 0. Se re-

suelven mediante el cambio de variabley

x=v y = v x

que la transforma en una de variables separables.

Ejemplo 5.3.3 Resolver la e.d. y =x2 + 3y2

2xy .

Se trata de una ecuacion homogenea. El cambio de variable y = vxla transforma en

dvdx

x + v=1 + 3v2

2v x dv

dx=1 + v

2

2v 2v

1 + v2dv= dx

x,

cuya solucion es ln |1 +v2| = ln |x| + ln C, con C R+, o equivalentemente 1 +v2 =kxcon k R, es decir

1 +y2

x2 =kx y2 =k x3 x2.

Consideremos una e.d. de la forma

dy

dx=f

a1x + b1y+ c1a2x + b2y+ c2

, a1, a2, b1, b2, c1, c2 R.

1. Si las rectasa1x+b1y+ c1 = 0, a2x+b2y+ c2 = 0 se cortan en un punto (, ),entonces el cambio

x= X+ ,y = Y + ,

la transforma en una homogenea.

2. Si, por el contrario, tales rectas no se cortan, entonces el cambio de variable

z(x) =a2x + b2y(x)

la transforma en una de variables separables.


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5.3.4. Ecuaciones reducibles a lineales. Ecuaciones de Bernouilli

y Ricatti

Ecuacion de Bernouilli

Se trata de una ecuacion clasica, propuesta por Jacob Bernouilli en 1695, cuyo metodode resolucion publico Johann Bernouilli en 1697. Es de la forma

y =p(x)y+ q(x)y.

En el caso = 0 o = 1 es lineal y su solucion se obtiene por el metodo general yadescrito. Si = 0 y = 1 es no lineal, y mediante el cambio de variable dependiente

z(x) =y

1

(x),se transforma en

z(x) = (1 )p(x) z+ (1 )q(x),ecuacion lineal que se resuelve por el metodo general.

Ejemplo 5.3.4 Encontrar la solucion general de la e.d.

y = y

2x+

x2

2y.

Se reconoce una ecuacion de Bernouilli con =1, por lo que el cambio indicadosera z=y2. La nueva ecuacion es z =

1

xz+x2, cuya solucion general es z=

x3

2 +C x.

Por tanto, la solucion de la ecuacion original esy2 =x3

2 + C x.

Ecuacion de Ricatti

Es una ecuacion de la forma

y +p(x) y+ q(x) y2 =f(x).

Si f(x) = 0 es una ecuacion de Bernouilli con = 2, si q(x) = 0 es una ecuacion lineal ysi p(x), q(x) yf(x) son constantes es una ecuacion de variables separables.

En general, no puede resolverse por cuadraturas pero se transforma en una de Ber-nouilli si se conoce una solucion particular.

Sea y1(x) una solucion particular de la ecuacion de Ricatti. El cambio de variabledependiente

y(x) =y1(x) + z(x)


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la transforma en la ecuacion de Bernouilli

z =

[p(x) + 2q(x) y1(x)]z

q(x) z2,

que mediante el cambio

u(x) = 1

z(x)

se transforma en la ecuacion lineal

u = [p(x) + 2q(x) y1(x)]u q(x).

En realidad, se puede hacer directamente el cambio

y(x) =y1(x) + 1

u(x)

para transformar la ecuacion de Ricatti en una lineal.

Ejemplo 5.3.5 Encontrar la solucion general de la e.d.

y =y2 2x2

,

sabiendo quey= 1/x es una solucion particular.

Es una ecuacion de Ricatti. Por tanto, el cambio de variable dependiente

y(x) = 1

x+

1

z(x)

la transforma en una ecuacion lineal,

z +2x

z= 1,

cuya solucion general es

z= x3

+ C

x2 =

x3 + k3x2

.

Por tanto, la solucion de la ecuacion original es

y(x) = 1

x+

3x2

x3 + k .


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5.4. Ecuaciones autonomas. Analisis cualitativo

Haremos referencia a un ejemplo concreto, el modelo logstico de poblacion, para in-troducir algunas ideas simples acerca del analisis cualitativo de las ecuaciones autonomas.

Si una poblacion tiene ndices constantes de natalidad y mortalidad, un modelo ele-mental de la evolucion de la poblacion es

dP(t)

dt =k P(t).

Este modelo puede tener validez cuando dicha poblacion tenga suficiente espacio, abun-dancia de alimentos y otros recursos naturales que permitan sostener su crecimiento.

En otro caso, la ecuacion debe modificarse de manera que se tenga en cuenta la tasareducida de crecimiento, es decir si la poblacion es demasiado grande los recursos no seransuficientes y la poblacion disminuira. Tratamos de encontrar una ecuacion diferencial querecoja las siguientes consideraciones:

Para valores pequenos de P, la tasa de crecimiento es proporcional a P.

Para valores muy grandes, por encima de un cierto tamano N, llamado capacidadde soporte, la tasa de crecimiento sera negativa.

La propia ecuacion diferencial debe ser lo mas simple posible.

Todos estos requerimientos quedan recogidos en la siguiente ecuacion diferencial

dP(t)

dt =k

1 P(t)

N

P(t),

llamada modelo logstico de poblacion con velocidad de crecimiento k y capacidad desoporteN. Se trata de una ecuacion no lineal autonomaya que su segundo miembro nodepende explcitamente de la variable independientet.

En este modelo la variable independiente t 0 yP(t) 0. Un caso mas general es elque se recoge en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 5.4.1 Consideremos el p.v.i.

y =y y2,y(0) =y0,

donde , > 0. Discutir, segun los valores de y0, la solucion y precisar el intervalo devalidez de la misma.


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5.4. ECUACIONES AUTONOMAS. ANALISIS CUALITATIVO 49

Figura 5.4: Grafica de la funcion segundo miembro. Lnea de fase.

En el supuesto que la variable independiente sea el tiempo t 0 e y(t) 0 esteproblema de valor inicial corresponde al modelo logstico de evolucion de poblaciones.

A partir de la propia ecuacion diferencial podemos extraer informacion cualitativa

acerca del comportamiento de las soluciones, ya que sabemos cuando y

(x) es positiva,negativa o nula. Si representamos graficamente la funcion

f(y) =y y2 =y

1

y

(ver figura 5.4) observamos que corta al eje Oy en dos puntos,y = 0 e y = / en los cualesla derivada se anula. Por tanto, las funciones constantes y(x) = 0 e y(x) =/ resuelvenla ecuacion diferencial. Estas funciones tienen pleno sentido en el caso del modelo deevolucion de poblaciones: si la poblacion es cero, permanecera nula indefinidamente y sila poblacion coincide con la capacidad de soporte, ni crecera ni disminuira.

En la misma grafica puede observarse como a la izquierda de y = 0, y

= f(y) < 0,por lo que la funcion y = y(x) sera decreciente. Esta circunstancia puede reflejarse enla grafica marcando en esa zona del eje Oy una flecha hacia la izquierda. Analogamente,para valores 0 < y < / resulta que y =f(y) > 0, y =y(x) sera creciente y por tantomarcamos en ese intervalo flechas hacia la derecha. Del mismo modo, observaremos quepara y > / la funcion sera decreciente. La parte de la grafica correspondiente al ejeOy se denomina lnea de fase. Interpretando adecuadamente la lnea de fase podemosdeducir el comportamiento de las soluciones, en particular, para valores grandes de x, talcomo queda reflejado en la figura 5.5.

Las dos soluciones constantes y(x) = 0 e y(x) =/ se dicen soluciones de equili-


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Figura 5.5: Comportamiento previsible de las soluciones.

brio. Una solucion de equilibrio se dice estable si pequenas perturbaciones en la condicioninicial produce pequenas perturbaciones en la propia solucion. Este es el caso de la solu-cion y(x) = / que, ademas, es asintoticamente estable ya que, en este caso, si noslimitamos al primer cuadrante de la figura 5.5, que corresponde al modelo de poblaci on,

cualquiera que sea la condicion inicial y0= 0 la solucion tiende a / cuando x ,es decir cualquiera que sea la poblacion inicial, el numero de individuos de la poblaciontiende a estabilizarse en torno al valor / (capacidad de soporte de la poblacion). Porel contrario, una solucion de equilibrio se dice inestable si una pequena perturbacionde la condicion inicial produce una desviacion fuerte de la solucion, como por ejemplo lasolucion y(x) = 0. Ver Figura 5.5.

Este problema se puede resolver analticamente ya que la ecuacion es de variablesseparables. Tambien es una ecuacion de Bernouilli.

Tiene dos soluciones constantes, y = 0 e y =/ , que seran solucion del p.v.i. en los

casos y0 = 0 o y0=/ respectivamente. En otro caso, la solucion que se obtiene es

y(x) = y0e

x

y0+ y0ex . (5.1)

Dicha funcion presenta una asntota vertical

xA=1

ln

y0 /

y0

,

que existira realmente si y0 < 0 o bieny0>

. En los demas casos, 0< y00,y0 = 0 y(x) = 0, en (

,

),

0< y0 < / 5.1 en (, ),y0 = / y(x) =/, en (, ),y0 > / 5.1 en (xA, ), con xA < 0.

En la Figura 5.6 estan representadas las soluciones del p.v.i. en el caso = = 1,y las condiciones iniciales y0 = 0, y0 = 0,5, y0 = 1 e y0 = 2. En este ultimo caso puedeobservarse tambien la asntota vertical. En todos estos casos se confirman plenamente lasprevisiones del analisis cualitativo.

5.5. Metodos aproximados

Tal como se ha visto hasta ahora, la soluci on explcita de una ecuacion de primerorden puede ser obtenida solamente en casos simples (ecuaciones lineales, y no todas, yalgunos casos muy particulares de ecuaciones no lineales). Frente a esta limitaci on se handesarrollado los metodos graficos, que consisten en representar los campos de direccionesen una malla de puntos, y los metodos aproximados, que podemos clasificar en dos tipos:metodos aproximados analticos, que aproximan la solucion del problema globalmen-te en el intervalo que se este considerando, y metodos numericos, que aproximan lasolucion en un conjunto de valores discretos.


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En el grupo de metodos analticos figuran el metodo de aproximaciones sucesivas dePicard, que desarrollamos a continuacion, o los de desarrollo en serie. No son demasiadoefectivos en la practica y su interes es fundamentalmente teorico.

Los metodos numericos son los mas utilizados en la actualidad, por su gran interesdesde el punto de vista practico. Hay toda una gama de metodos para resolver problemasde valor inicial, entre los cuales esta el de Euler. El metodo de Euler es uno de los metodosmas simples, aunque raramente se utiliza en la practica, ya que existen otros metodosmucho mas eficientes. No obstante, vamos a desarrollar someramente este metodo porquepermite estudiar los conceptos basicos de la solucion numerica de ecuaciones diferenciales,tiene una interpretacion geometrica clara y conceptualmente es sencillo.

5.5.1. Metodos graficos. Campos de direcciones

Cuando una ecuacion diferencial carece de solucion analtica se puede obtener unaidea grafica de las curvas integrales representando el campo de direcciones, para lo cualse considera una malla de puntos sobre los cuales representamos un segmento de la rectatangente en ese punto.

Por ejemplo, la ecuacion diferencial

y =y2 + xy3

no tiene solucion analtica. La respuesta de MATLAB al intento de obtener la solucion es

la siguiente.

EDU y=dsolve(Dy=y^2+x*y^3,x)

Warning: Explicit solution could not be found.

El campo de direcciones sobre una malla de puntos en el cuadrado [2, 2] [2, 2],con paso de discretizacion h= 0,2, se puede obtener mediante el siguiente codigo.

x=-2:0.2:2;y=-2:0.2:2; [X,Y]=meshgrid(x,y); v1=Y.^2+X.*Y.^3;

mod=sqrt(1+v1.^2); % norma del vector (1,y)dx=ones(size(X))./mod; % normalizacion de los vectores

dy=v1./mod; quiver(X,Y,dx,dy,1,.g)

En la figura 5.7 se puede observar el campo de direcciones, con imagenes superpuestasde soluciones numericas, de cuatro problemas de valor inicial, obtenidas medianteode45.Por ejemplo, para resolver el p.v.i. con condicion inicial y(1) =2, en el intervalo[1, 2], construimos el fichero fun1.mcon la funcion

function f=fun1(x,y) f=y.^2+x.*y.^3;


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5.5. M ETODOS APROXIMADOS 53

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 22

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 5.7: Campo de direcciones y soluciones numericas

y ejecutamos las instrucciones

EDU [x,y45]=ode45(fun1,[-1,2],-2); EDU plot(x,y45)

5.5.2. Aproximaciones sucesivas de Picard

Resolver el problema de valor inicial

y =f(x, y),y(x0) =y0,

es equivalente a resolver la ecuacion integral

(x) =y0+ xx0

f(t, (t)) dt

en el sentido siguiente: (x) es solucion del p.v.i. sobre un intervalo I si, y solo si, essolucion continua de la ecuacion integral.

El metodo de aproximaciones sucesivas de Picard consiste en considerar la sucesion defunciones definida de la siguiente manera:

0(x) =y0,

n(x) =y0+ x

x0

f(t, n1(t)) dt, n= 1, 2,


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3 2 1 0 1 2 3

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

x

exp(x^2/2)

y=y

Analisis Vectorial y Ecuaciones Diferenciales - Javier Valdes

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