LECCIN 8. ESTTICA DE FLUIDOS

8.1 Ecuaciones generales de la esttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - 1

8.2 Campo de fuerzas conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - 1

8.3 Fuerzas de gravedad en lquidos. Hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - 2

8.4 Empuje de un lquido sobre una pared plana vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - 4

8.5 Empuje de un lquido sobre una pared plana inclinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - 6

8.6 Empuje sobre una pared arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - 8

8.7 Equilibrio de un slido sumergido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 -10

8.8 Subpresin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - 11

8.9 Equilibrio de un slido flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - 12

8.10 Fuerzas distintas de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - 14

8-1

LECCIN 8. ESTTICA DE FLUIDOS

8.1 Ecuaciones generales de la esttica

Habamos visto en la leccin 5 las ecuaciones de Navier-Stokes (ec. 28), que gobiernan la respuesta de los fluidos newtonianos. Si introducimos en ella las condiciones de la esttica (velocidades y aceleraciones nulas), queda:

0Fp jj, =+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

Las ecuaciones (1) son las ecuaciones generales de la esttica de fluidos. Es interesante notar que implican que las isobaras (superficies de igual presin) son perpendiculares a las fuerzas de masa: esto es obvio puesto que las fuerzas de masa Fj deben tener la misma direccin del vector p, j, que es normal a las superficies p = cte.

8.2 Campo de fuerzas conservativo

Un caso particular, pero que se da con harta frecuencia, es aqul en que las fuerzas de masa derivan de un potencial. Es decir:

Fi = , i . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

donde es la funcin potencial de fuerzas.

Por ejemplo, si Fi son las fuerzas de gravedad: = gh. Sustituyendo en la ecuacin (1):

p, j + , j = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

que expresa la identidad entre las superficies equipotenciales y las isobaras. Esto se deduce de que, para verificar (3), los gradientes de p y deben ser siempre paralelos.

Puesto que las superficies equipotenciales y las isobaras coinciden, puede escribirse que slo es funcin de la presin:

= f ( p ) . . . . . . . . . . . . . . . . . (4)

8-2

Multiplicando por dxj la ecuacin (3):

p, j dxj + , j dxj = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

o lo que es igual

dp + d = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . (6)

dp/d1

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (7)

Como slo depende de la presin, tambin la densidad depende slo de la presin. Por lo tanto, las superficies de igual densidad coinciden con las isobaras y las equipotenciales. Puesto que todos los puntos de una isobara tienen la misma p, tendrn tambin la misma .

Por ltimo, tambin las isotermas deben coincidir. Si la ecuacin de estado es uniforme en la temperatura, dicha ecuacin puede escribirse:

T = T (

p

,

) . . . . . . . . . . . . . . . . . (8)

En las isobaras, es claro que la presin p es constante y la densidad es constante. Por tanto, la temperatura tambin lo ser.

En definitiva, siendo las fuerzas de masa la nica accin aplicada, son ellas quienes dictan la presin, densidad y temperatura en el fluido.

8.3 Fuerzas de gravedad en lquidos. Hidrosttica

Si las fuerzas de masa son las de gravedad, el potencial de fuerzas es:

= g h . . . . . . . . . . . . . . . . . (9)

ecuacin que, introducida en la (6), da:

dp = g dh

0dh

dp=+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (10)

8-3

donde = g es el peso especfico del lquido.

En los lquidos = cte, con lo que (10) puede integrarse:

ctehp

=+

. . . . . . . . . . . . . . . . . . (11)

Esta relacin indica que la presin vara linealmente con la altura. Las superficies isobaras son planos horizontales. La distribucin de presiones debe ser la que aparece en la figura 8.1.

Fig. 8.1 Distribucin hidrosttica de presiones

La constante de integracin se determina obligando a que la presin en la superficie libre sea la que corresponda, normalmente la atmosfrica. Ntese que, valga lo que valga p0, la diferencia pB pA es constante:

pB pA = ( hA hB ) . . . . . . . . . . . . . . . . . (12)

La presin se llama absoluta si incluye la presin atmosfrica y relativa en caso contrario.

Si hay varios lquidos no miscibles, la presin vara como se indica en la figura 8.2.

Fig. 8.2 Distribucin de presiones en lquidos estratificados

1

2 3

1

2

h

hA

hB

p

p0 pA

pB

3

p0

p

h

8-4

8.4 Empuje de un lquido sobre una pared plana vertical

A lo largo de las discusiones relativas a empujes sobre paredes presentadas en sta y sucesivas secciones, tal como es costumbre, se utilizan slo presiones relativas (sin contar la atmosfrica). El motivo es que la presin atmosfrica acta en ambos lados de la pared y, al restarse, su accin se anula. En consecuencia, se gana eficiencia sin perder generalidad al trabajar en presiones relativas.

Se llama empuje de un lquido sobre una pared a la resultante de las presiones ejercidas por el lquido sobre la pared. Calculemos el empuje sobre una pared plana vertical que tiene forma arbitraria y rea S.

Fig. 8.3 Pared vertical de rea S y distribucin de presiones

Sobre un elemento dS a una profundidad l el empuje ser:

dF = l dS . . . . . . . . . . . . . . . . . (13)

Por tanto:

=S

dSlF . . . . . . . . . . . . . . . . . (14)

l dS

S

p

h

8-5

y puesto que en los lquidos puede tomarse el peso especfico constante:

=S

dSlF

= lG A . . . . . . . . . . . . . . . . . (15)

donde lG es la profundidad del centro de gravedad del rea A. Ntese que, por centro de gravedad, no se entiende aqu un centro de masas de un cuerpo sino el centro geomtrico del rea S.

A la vista de (15), el empuje es igual a la presin que acta en el centro de gravedad multiplicada por el rea de la pared. Es tambin el peso de un cilindro de lquido cuya seccin es el rea de la pared y cuya altura es la profundidad del centro de gravedad.

Si se quisiera obtener el punto de aplicacin del empuje, basta con tomar momentos alrededor de la lnea de superficie. La profundidad del punto de aplicacin del empuje verifica:

=S

c dSllFl . . . . . . . . . . . . . . . . . (16)

Al despejar lc, siendo constante, obtenemos:

=

=

S

S

2

S

S

2

C dS1

dS1

ldS

dS1l . . . . . . . . . . . . . . . . . (17)

8-6

8.5 Empuje de un lquido sobre una pared plana inclinada

El empuje actuar lgicamente en direccin normal a la superficie S.

Fig. 8.4 Pared plana y distribucin de presiones en profundidad

Su valor ser:

=S

dSlF

= lG A . . . . . . . . . . . . . . . . . (18)

con lo que, como en el caso de la pared vertical, es igual al rea por la presin en el centro de gravedad.

El punto de aplicacin tambin se obtiene tomando momentos alrededor de la lnea de interseccin de la pared con la superficie libre. Si se observa que:

= senx

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . (19)

el equilibrio de momentos produce:

p

h

l x

A

O

8-7

=S

C dSxlFx . . . . . . . . . . . . . . . . . (20)

donde:

=S

dSlF . . . . . . . . . . . . . . . . . (21)

Entonces:

=

=

S

S

S

SC dSl

dSxl

dSl

dSxlx . . . . . . . . . . . . . . . . . (22)

que, en virtud de (19), es:

=

=

S

S

2

S

SC dSx

dSx

dSsenx

dSxsenxx . . . . . . . . . . . . . . . . . (23)

Puede observarse que el centro de presiones queda siempre por debajo del centro de gravedad. La ecuacin (23) es:

AxI

xG

OAC = . . . . . . . . . . . . . . . . . (24)

donde IOA es el momento de inercia de la superficie S alrededor del eje OA. Usando el teorema de Steiner:

G

2GG

CxAAxI

x+

=

= GG

G xxA

I+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (25)

Como el primer sumando es positivo, la profundidad del centro de empuje siempre es mayor que la del centro de gravedad. El asunto es bastante evidente al ser las presiones en la parte profunda de la pared mayores que las que actan en la parte ms superficial.

8-8

8.6 Empuje sobre una pared arbitraria

Salvo casos particulares, como el caso de un casquete esfrico en que todos los esfuerzos son concurrentes, la resultante de la accin de los esfuerzos parciales no ser nicamente una fuerza, sino que se descompondr en una fuerza y un par.

Para determinarlos, emplearemos el mtodo de Poincar. Sea C una porcin de pared curva, en la que tratamos de determinar la fuerza resultante F y el momento resultante.

Fig. 8.5 Proyeccin del casquete C sobre el plano X-Y

Trazando por todos los puntos del contorno generatrices verticales limitadas por el plano de carga X-Y (Fig. 8.5), tendremos un cilindro que se encuentra en equilibrio bajo la accin de todas las fuerzas exteriores, que son:

1 - La resultante F de las presiones sobre la base C, que tendr componentes Fx, Fy, Fz segn los tres ejes. Esta es la que intentamos determinar.

2 - La resultante de las presiones sobre las generatrices del cilindro, que ser una fuerza horizontal, puesto que lo son todas las fuerzas parciales.

3 - El peso del cilindro lquido, aplicado en el centro de gravedad del volumen del cilindro, que es una fuerza vertical dirigida hacia abajo.

Proyectando todas estas fuerzas sobre el eje OZ, la condicin de equilibrio permite hallar el valor de la componente vertical del empuje F:

Fz = V . . . . . . . . . . . . . . . . . (26)

F

C

X

Y

O

Z

8-9

en donde V es el volumen del cilindro vertical.

Para hallar las componentes de F segn los otros ejes, procedemos de un modo semejante. Consideremos, por ejemplo, un cilindro de generatrices paralelas al eje X, que pase por la superficie C, y limitado por la seccin recta A-B, segn el plano YZ (Fig. 8.6). Si lG es la presin en el centro de gravedad de esta seccin y Ax su rea, el empuje sobre la base A-B tiene una direccin paralela al eje X, y su magnitud es lG Ax. Proyectando todas las fuerzas exteriores sobre el eje X, la condicin de equilibrio exige:

Fx = lG Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . (27)

con lo que queda determinada la componente Fx. Del mismo modo hallaramos la componente Fy utilizando un cilindro paralelo al eje Y.

Fig. 8.6 Proyeccin del casquete C sobre el plano Y-Z

Para evaluar el momento del empuje, supondremos que la superficie C gira alrededor del eje vertical OZ engendrando un slido de revolucin, que limitaremos por una seccin meridiana A-B (Fig. 8.7).

X

Y

Z

O

F A

B

lG AX C

8-10

Fig. 8.7 Toro de revolucin de eje Z

Sea Mz el momento respecto al eje OZ de la resultante de los empujes sobre C; y el momento respecto al mismo eje del empuje sobre la seccin A-B. Es claro que se calcula fcilmente, puesto que conocemos el empuje en posicin y magnitud. Las presiones sobre la superficie de revolucin dan momento nulo respecto del eje OZ, puesto que cortan a dicho eje, y la resultante de los pesos de las partculas lquidas tambin da momento nulo, por ser paralela al mismo eje. La condicin de equilibrio exige entonces:

Mz = . . . . . . . . . . . . . . . . . (28)

Para los momentos con relacin a los otros ejes, se podra proceder de modo anlogo; pero ahora habra que tener en cuenta el momento de la resultante de los pesos, aplicada en el centro de gravedad del slido de revolucin, que no da ya momento nulo como en el caso del eje Z.

8.7 Equilibrio de un slido sumergido

Un slido libre sumergido en un lquido est sometido a su peso P, que puede considerarse aplicado en su centro de gravedad G, y a la resultante de las presiones hidrostticas que actan sobre su contorno.

Para determinar el valor del empuje resultante de estas presiones hidrostticas y su punto de aplicacin, se considera el volumen lquido limitado por una superficie idntica al contorno del slido. El equilibrio de dicho volumen, aplicando los resultados del apartado anterior, conduce a que la resultante de las presiones sobre el contorno es una fuerza igual y contraria al peso del lquido contenido en el volumen. As se deduce el clebre Principio de Arqumedes. La resultante de las presiones hidrostticas est aplicada en el centro geomtrico de gravedad, C, del volumen; dicho punto se denomina centro de empuje (Fig. 8.8).

X

Y

O

A B

Z C F

8-11

Fig. 8.8 Fuerzas que actan en un slido sumergido

As, la reaccin que un lquido ofrece a un cuerpo sumergido en equilibrio, consiste en una fuerza vertical ascendente igual al peso del volumen lquido desplazado; y el punto de aplicacin de dicha fuerza es el centro geomtrico del volumen del slido.

Claramente, el equilibrio del slido sumergido implica la igualdad de peso y empuje (resultante de fuerzas nula), as como la alineacin vertical de los centros de gravedad y empuje (resultante de momentos nula). La estabilidad del equilibrio requiere adicionalmente que sea el centro de empuje el que est situado por encima del de gravedad y no viceversa. Es evidente que en ese caso, al perturbar ligeramente las posiciones, el momento de las fuerzas tiende a cancelar la perturbacin; por el contrario, tendera a incrementarla si el centro de gravedad estuviera situado por encima del centro geomtrico.

Ntese que, cuando la densidad del slido no sea uniforme en su volumen, el centro de empuje no coincidir en general con el centro de gravedad del slido.

Si el slido est ligado mediante un enlace mecnico a un punto fijo, el equilibrio habr de estudiarse planteando las ecuaciones de la esttica, en las que entrara el peso, el empuje de Arqumedes y las coacciones que el enlace mecnico implique.

8.8 Subpresin

Si el agua penetra en algn punto, ejercer all las presiones correspondientes a la profundidad a la que se encuentre. En particular, si tenemos un cuerpo apoyado en el fondo y el agua penetra en el contacto, ejercer all sus presiones. Estas presiones, ejercidas bajo el cuerpo, son las que se conocen como la subpresin.

Considrese sobre el fondo del recipiente que encierra al fluido una placa A que ajusta perfectamente sobre l (Fig. 8.9).

E

C

G

P

.

.

8-12

Fig. 8.9 Cuerpos sobre el fondo con o sin agua intersticial

La presin sobre la cara superior de la placa ser h; y la fuerza total sobre la placa h S, siendo S el rea de la placa. La fuerza sobre el fondo es:

F = h S + P . . . . . . . . . . . . . . . . . (29)

donde P es el peso de la placa.

Considrese una placa B de idnticas dimensiones pero que deja ciertos intersticios entre ella y el fondo. La presin lquida sobre el fondo ser H y la fuerza correspondiente H S. A esta fuerza ha de aadirse el peso sumergido de la placa, es decir su peso menos el empuje (H h) S. As, la fuerza total sobre el fondo es:

F = H S + P ( H h ) S

= h S + P . . . . . . . . . . . . . . . . . (30)

En consecuencia, la fuerza total ejercida sobre el fondo es la misma tanto si hay subpresin como si no. Sin embargo, el fenmeno es importante pues vara la parte de la fuerza transmitida al fondo directamente por la placa. Por ejemplo, la estabilidad frente al deslizamiento es funcin de la fuerza transmitida por el slido al suelo, independientemente de la total o de la transmitida por el lquido. Por tanto, para mejorar la estabilidad al deslizamiento de una presa de gravedad interesar minimizar el fenmeno de subpresin usando pantallas impermeabilizantes u otros procedimientos.

8.9 Equilibrio de un slido flotante

Cuando la densidad media de un slido es menor que la del lquido en que se encuentra, el slido flota en el lquido.

B A S S

H h

8-13

Claramente, el peso del slido debe estar exactamente compensado por el empuje del lquido, empuje que sabemos igual al volumen sumergido por el peso especfico del lquido. El volumen sumergido ser justo el necesario para que el empuje compense exactamente el peso. Se cumplir por tanto:

P = V . . . . . . . . . . . . . . . . . (31)

donde P es el peso del slido

es el peso especfico del lquido

V es el volumen sumergido

El plano de flotacin separa volmenes V = P/. Dicho volumen recibe el nombre de carena. La interseccin del plano de flotacin con el cuerpo es el rea de flotacin.

Los planos de flotacin envuelven una superficie cerrada y convexa llamada superficie de flotacin.

El centro de gravedad geomtrico del volumen sumergido es el punto de aplicacin del empuje. Este punto recibe el nombre de centro de carena. El lugar geomtrico de los centros de carena al variar el plano de flotacin es tambin una superficie cerrada y convexa. Recibe el nombre de superficie de carena.

Fig. 8.10 Terminologa relativa a slidos flotantes

Existe toda una serie de teoremas en relacin con cuerpos flotantes. Tres de los ms interesantes se listan aqu sin demostracin:

1. El punto de contacto O del plano de flotacin con su envolvente (la superficie de flotacin) es el centro geomtrico del rea de flotacin.

plano de flotacin rea de flotacin

superficie de carena

superficie de flotacin

.

O

G

C .

8-14

2. El plano tangente a la superficie de carena en el centro de carena C es paralelo al plano de flotacin correspondiente (teorema de Dupin). En consecuencia, los empujes son perpendiculares a la superficie de carena.

3. Se define como metacentro con respecto a una direccin XX que pasa por O, el punto de interseccin (o de mnima distancia) entre los empujes correspondientes a dos planos de flotacin infinitamente prximos cuya interseccin es XX. La distancia del centro de empuje C al metacentro M es IXX /V, donde IXX es el momento de inercia del rea de flotacin respecto del eje XX y V es el volumen de carena.

La estabilidad del equilibrio de un cuerpo flotante puede estudiarse fcilmente en funcin de las posiciones respectivas del centro de gravedad y el metacentro (Fig. 8.11). Como es evidente en la figura, si el metacentro M est ms alto que el centro de gravedad G, el par P-E (peso-empuje) es un par estabilizador. El recproco tambin es cierto.

Fig. 8.11 Estabilidad del equilibrio del slido flotante

As pues, el par P-E tiende a restablecer la posicin inicial si y slo si el metacentro est ms alto que el centro de gravedad.

8.10 Fuerzas distintas de la gravedad

Las ecuaciones de la esttica de fluidos son (1):

p, j + Fj = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . (32)

Consideremos un fluido en el que, adems de la gravedad, acta (por ejemplo) un campo magntico que impone sobre cada partcula una fuerza igual a A por la masa de la partcula y en la direccin negativa del eje X. Las fuerzas de masa son la combinacin:

M

E C

P

E

P

C G

8-15

kgiAF = . . . . . . . . . . . . . . . . . (33)

lo que, sustituido en (32), da:

0x

pA =

. . . . . . . . . . . . . . . . . (34)

0z

pg =

Por consiguiente, el diferencial de presin puede expresarse como:

dyypdx

x

pdp

+

=

dzgdxA = . . . . . . . . . . . . . . . . . (35)

y las superficies isobaras (p = cte, esto es, dp = 0) son:

0dzgdxA =+

ctexgA

z =+ . . . . . . . . . . . . . (36)

Estas superficies resultan ser, por tanto, planos cuya pendiente es el cociente de las fuerzas por unidad de masa en cada una de las dos direcciones. Como era de esperar, son superficies perpendiculares al vector fuerza de masa en todos los puntos.

Consideremos otro caso: el de un cilindro vertical de fluido en el que, por algn procedimiento, imponemos fuerzas repulsivas proporcionales a la distancia de cada partcula al eje. El campo de fuerzas es pues:

kgirBF = . . . . . . . . . . . . . . . . . (37)

donde B es la constante de proporcionalidad

r es el radio (distancia al eje)

8-16

Sustituyendo una vez ms en (32):

0r

prB =

. . . . . . . . . . . . . . . . . (38)

0z

pg =

dzgdrrBdp = . . . . . . . . . . . . . . . . . (39)

y las superficies equipotenciales son:

ctezg2rB 2

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (40)

que son paraboloides de revolucin de eje Z (Fig. 8.12).

Fig. 8.12 Superficie libre resultante al remover el caf

Este es el motivo por el que, al remover el caf en la taza, su superficie libre, que es evidentemente una de las superficies isobaras (p = 0), adopta la forma de un paraboloide de revolucin. Aqu la fuerza centrfuga aparece como la fuerza repulsiva al asimilar la situacin dinmica a un caso esttico.

Z