Tema 8-Momento de La Fuerza

7/30/2019 Tema 8-Momento de La Fuerza

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La Esttica es la parte de la Mecnica que estudia el equilibrio de los cuerpos sometidos a laaccin de fuerzas.

ESTTICA DE CUERPOS RGIDOS

Hasta ahora, habamos estudiado a los cuerpos como si fueran partculas.Pero, esto no siempre es posible.

Muchas veces se deben tratar como una combinacin de varias partculas.

Esto implica que debe tomarse en cuenta el tamao y, a veces, la forma del objeto.

Tambin se debe tomar en cuenta que las fuerzas pueden actuar en diversos lugares del

objeto, por lo que tienen distintos puntos de apli cacin.


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Cuerpo rgido: Es un cuerpo que no se deforma.

Con esto en mente, se define es un concepto de cuerpo indeformable ideal.

Y, aunque en la realidad todos los cuerpos son deformables, si las deformacin pueden ser

despreciables para la apli cacin, se consideran indeformables.

Para fines del estudio elemental de la mecnica se puede considerar que objetos son

cuerpos indeformables.

En lo que sigue, consideraremos el estudio de la esttica de los cuerpos rgidos.


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Las fuerzas que actan en un cuerpo rgido pueden dividirse en dos grupos fuerzas externas

e internas.

Las fuerzas externasrepresentan la accin que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo

rgido.

Son responsables del comportamiento externo del cuerpo rgido.

Causan que el cuerpo se mueva o se aseguran de que se mantenga en reposo.

Lasfuerzas in ternas

son las que mantienen unidas a las partculas que forman el cuerpo

rgido.

Si la estructura est formada por varias partes, tambin se llama fuerzas internas a las

que mantienen unidas a esas partes.


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Ejemplos de fuerzas externas:

Las fuerzas que aplican sobre un mvil para ponerlo en movimiento.


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Supongamos que un camin se descompuso y es necesario moverlo. Se jala el camin

usando una cuerda.

Las fuerzas externas que actan sobre el camin se pueden dibujar representar mediante undiagrama de cuerpo libre.


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Peso del camin W: Representa el efecto de atraccin gravitacional de la Tierra sobre todas

y cada una de las partculas que lo forman.

W mueve el camin hacia abajo y su punto de aplicacin se llama centro de gravedad

Fuerzas de reaccin: El piso se opone al movimiento del camin hacia abajo (ley de accin

y reaccin) por medio de las reaccionesR1 y R2.

La fuerza F: Representa el efecto de la tensin de la cuerda por la accin del jaln de los

hombres y tiene como punto de aplicacin el punto donde se encuentra unida la cuerda al

camin.

Fuerzas de fr iccin f, diferentes fuerzas que surge en oposicin al movimiento, con puntos

de aplicacin correspondientes al efecto.

WR1

R2

F

f


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Principio de transitividad: El efecto de una fuerza sobre un cuerpo rgido permaneceinalterable si dicha fuerza se mueve a lo largo de su lnea de accin.

Entonces, las fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido se representan mediante vectores

deslizantes. Es decir, vectores que se pueden mover sobre la lnea de accin de la fuerza.

Por lo que el punto de aplicacin no es importante.

F

=

F


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Dos fuerzas deslizadas sobre su lnea de accin son equivalentes.

Dos fuerzas son equi valentes, si para fines del comportamiento externo, la aplicacin de las

fuerzas equivalentes manifiesta el mismo resultado.

WR1 R2

F

f

WR1 R2

F

f=

=

BA

P2P1

BA

P2P1 =

BA

=

BA

P2P1

BA

P2P1 =BA


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1. En el estudio de la esttica, los objetos reales pueden considerarse como partculas?

(a) Si, por qu?(b) No, por qu?

(c) Algunas veces, bajo qu condiciones?

2. En que circunstancias un objeto se considera indeformable? Explique su respuesta.

(a) En cualquier situacin, independientemente de la aplicacin.

(b) En ninguna aplicacin.(c) Para las aplicaciones en las que deformaciones pueden despreciarse.

3. Qu son las fuerzas externas? Explique su respuesta.

(a) Son las fuerzas ejercidas por otros cuerpos sobre el cuerpo rgido.

(b) Son las que mantienen unidas a las partculas que forman el cuerpo rgido.

(c) Ninguna de las anteriores.

4. Si la estructura est formada por varias partes, cmo se llama las fuerzas que mantienen

unidas a esas partes? Explique su respuesta.

(a) Fuerzas de gravedad. (b) Fuerzas internas.

(c) Fuerza natural. (d) Fuerzas externas.

Ejercicio en clase, para hacerlo ahora. (10 minutos)


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El estudio de la esttica de los cuerpos rgidos se basa en los tres principios siguientes:

La ley del paralelogramo para la suma devectores.

La primera ley de Newton: Un cuerpopermanece es su estado de reposo o

movimiento uniforme si la fuerza neta que

acta sobre l es cero.

El principio de transmitividad de las fuerzas: El efecto de una fuerza sobre un cuerporgido permanece inalterable si dicha fuerza se mueve a lo largo de su lnea de accin.

A

B

A

B

R=A+B


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La fuerza es un vector definido por su magnitud y direccin.

Para tomar en cuenta el efecto antes mencionado se define el

FrMO

Pero el efecto de una fuerza F sobre un cuerpo rgido tambin depende de su punto de

aplicacin.

La posicin del punto de aplicacin tambin

es un vector r cuyo origen es un punto de

referencia fijo, O, y cuya punta se encuentra

en el punto de aplicacin A de la fuerza.

El vector de posicin r y la fuerza F definen

un plano.

Momento de la fuerza F con respecto a O

F

OAd

Fr


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OA

F

r

FdsenFrMO

Si d es la distancia perpendicular del punto

de referencia a la lnea de accin

MO

El momento de la fuerza es un vector

perpendicular al plano formado por r y F,

con magnitud MO=rFsen

, y sentidodefinido por a regla de la mano derecha.

FrMO

d

senrd

Las dimensiones del momento de la fuerza son: distancia por fuerza

Las unidades en el SI son: m N=kg m2/s2

MO mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar el cuerpo rgido alrededor de un eje fijo

dirigido a lo largo de MO.

F

Md O


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Dos fuerzas son equivalentes si, y slo si, son iguales y, adems, tienen momentos igualesrespecto a un punto O.

00 'MMy'FF

Si estas ecuaciones se cumplen para cierto punto O, se cumplirn para cualquier otro punto

P.


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Estructuras bidimensionales: Las estructuras bidimensionales y las fuerzas que actansobre ellas pueden representarse fcilmente. Por lo que su anlisis se simplifica.

Apunta hacia adentro del plano si es como

en la figura 2 .

Por ejemplo, si una fuerza F acta sobre una

placa rgida.

El momento de la fuerza con respecto a un

punto O, MO, tiene una magnitud MO=Fd,

perpendicular al plano de la placa.

El sentido del momento de la fuerza con

respecto a un punto O, MO, se elige de

acuerdo a la regla de la mano derecha.

Apunta hacia fuera del plano, si es como en

la figura 1.

O

F

dMO

Figura 1

OF

dMO

Figura 2En ambos casos el cuerpo rgido gira: en la

figura 1 el ngulo es positivo, en la figura 2

es negativo.


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Teorema de Varignon: El momento con respecto a un punto dado O de la resultante de

varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con

respecto al mismo punto O.

N

1i

ON

1i

iiO iMFrFrM


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18 cm

35 cm

A

B

F

30

Ejemplo 1. Una fuerza de 120 N acta sobe una mnsula como se muestra en la figura.Determinar el momento de la fuerza respecto al punto B.


17/30

18 cm

35 cm

A

B

F

30

Respuesta:

FrM BAB

jm18.0im35.0rBA

jN60iN360

jN120iN120

j

30senN120i

30cosN120F

21

2

3

kmN71.39kN360m18.0N60m35.00N60N360

0m18.0m35.0

kji

FrM BAB

rAB

MB=39.71 N m

y

x


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Ejemplo 2. Una placa rectangular de 20 cm de ancho por 50 cm de largo, est apoyada pormnsulas en los puntos A y B y por un alambre CD, como se muestra en la figura. Se sabe

que la tensin en el alambre es de 250 N, determine el momento con respecto a A de la

fuerza ejercida por el alambre en en punto C.

AB

C

D

15cm


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AB

C

D

15cm

CDACA FrM

jm20.0im10.0

jcm20icm10rAC

x

y

z

rAC

km15.0jm20.0im40.0

kcm15jcm20icm40LCD

LCD

m0.47m15.0m20.0m40.0L 222CD

k32.0j42.0i85.0m47.0

km15.0jm20.0im40.0

L

LL

CD

CDCD

kN5.79jN106iN212

k32.0j43.0i85.0N250LFF CDCDCD

FCD

k

mN8.31j

mN95.7i

mN9.15

N212m20.0N106m10.0k

N212m0N5.79m10.0j

N106m0N5.79m20.0i

N5.79N106N212

0m20.0m10.0

kji

FrM CDACA


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Ejemplo 3. Determine el momento respecto al origen O de la fuerza

kN5.5jN3iN5.7F

acta en el punto A cuyo vector de posicin es

km1jm75.0im2r

kmN625.10jmN4imN125.7

mN5.775.032k

.715.52j

315.575.0i

5.535.7

175.02

kji

FrMO

Respuesta:


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Ejemplo 4: Una fuerza vertical de 50 N seaplica en el centro de una placa que est

unida a una flecha en el punto O (ver figura).

50 N

A

O75

(a) Encuentre el momento de la fuerza de 50

N con respecto a O;

(b) Determine la fuerza horizontal aplicada

en A que origina el mismo momento del

inciso (a);

(c) Calcule la fuerza mnima aplicada en A

que origina el mismo momento del inciso (a).

(d) Qu tan lejos de la flecha debe actuar

una fuerza vertical de 120 N para originar el

mismo momento del inciso (a)?

(e) Diga si alguna de las fuerzas obtenida enlos incisos (a), (b), (c) y (d) es equivalente a

la fuerza original.

(f) Encuentre el momento de la fuerza con

respecto a O, si la fuerza del inciso (d) se

aplica horizontalmente.

(g) Determine el momento de la fuerza con

respecto a O si la fuerza de magnitud igual al

inciso d) se aplica formando un ngulo de

30 respecto a la horizontal.

Tarea para entregar el da lunes 1 de abrilde 2013 al inicio de la sesin de clase.


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(a) Momento de la fuerza de 50 N respecto a O. (Mtodo 1)

50 N

A

O75

r

m0.7775senm80.0y

m0.2175cosm80.0x

75,m80.075,cm80r

N50F

0F

270,N50F

y

x

kmN10.35

N5075cosm0.80k

0N500

075senm0.8075cosm0.80

kji

FrMO

Entonces, MO=10.35 N m,

MO


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(a) Momento de la fuerza de 50 N respecto a O. (Mtodo 2)

La lnea de accin de la fuerza es vertical.

m80.0

d

cm80

d75cos

La magnitud del momento de la fuerza de 50

N respecto a O es

mN35.1075cosmN40

75cosm80.0N50dFMO

50 N

A

O

75

MO

d

As que la distancia perpendicular a la lnea

de accin de la fuerza es horizontal

m21.075cosm80.0d


La direccin de MO es perpendicular al

plano de la palanca y apunta hacia adentro

del plano.


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(b) Fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento del inciso (a);

(Mtodo 1)

A

O75

F

MO

75

r

m0.7775senm80.0ym0.2175cosm80.0x

75,m80.075,cm80r

0F

FF

0,FF

y

x

k

mN10.35k

Fm0.7727

75senm0.80Fk

00F

075senm0.8075cosm0.80

kji

FrMO

N3939.13m0.7727

mN35.10F

mN10.35Fm2071.0

Entonces, F=13.3939 N,


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(b) Fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento del inciso (a);

(Mtodo 2)

m80.0

d75sen

La magnitud del momento de la fuerza

horizontal es la misma que la del inciso (a),

MO=10.35 N m, entonces

dMFdFM 0O

Entonces, F=13.3939 N,

A

O75

F

MO

La lnea de accin de la fuerza es horizontal.

As que la distancia perpendicular a la lneade accin de la fuerza es vertical.

d m77.075senm80.0d

N3939.13m7727.0

mN35.10F

75


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(c) Fuerza mnima aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O del inciso

(a)

N94.12m8.0

mN35.10F

d

MFdFM OO

A

O75

r

MO

F

La fuerza mnima debe ser perpendicular al

vector de posicin.

Entonces, la lnea de accin de la fuerza es

perpendicular al vector de posicin.


de accin de la fuerza es la magnitud delvector de posicin.




75

15

Entonces, F=12.94 N, 15


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(d) Qu tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 120 N para originar el

mismo momento con respecto a O del inciso (a)?

F

MddFM OO

cm63.8m0.0863N120

mN35.10d

Entonces, el punto de aplicacin de la fuerza

debe estar a 33.32 cm de O hacia arriba en el

eje OA.

A

O 75

r

MO

F

C

La lnea de accin de la fuerza es vertical.


de accin de la fuerza es horizontal

d




cm32.33m0.333275cos

dr

r

d75cos


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(a) F=50 N, MO=10.35 N m,

(b) F=13.44 N, MO=10.35 N m,

(e) Diga si alguna de las fuerzas obtenida en los incisos (a), (b), (c) y (d) es equivalente a la

fuerza original.

(c) F=12.94 N, 15 MO=10.35 N m,

(d) F=120 N, 75 MO=10.35 N m,

Ninguna de las fuerzas es equivalente a otra.


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(f) El momento de la fuerza con respecto a O, si la fuerza del inciso (d) se aplica

horizontalmente.

mN38.63m0.3219N120dFMO

A

O

75

MO

F

C

La lnea de accin de la fuerza es horizontal.


de accin de la fuerza es vertical, la cual es

dLa magnitud de la fuerza horizontal es lamisma que la del inciso (d), F=120 N,entonces

cm19.32m0.3219dm3332.0

d75sen



del plano.



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(g) el momento de la fuerza con respecto a O si la fuerza de magnitud igual al inciso (d) se

aplica formando un ngulo de 30 respecto a la horizontal.

A

O75

MO

F

C 30

La lnea de accin de la fuerza tiene una

inclinacin de 30 con la horizontal.


de accin de la fuerza est a 60 respecto de

la horizontal y es

60

60

m2356.045coscm3332.0dm3332.0

d

cm32.33

d45cos

dLa magnitud de la fuerza es la misma que ladel inciso (d), F=120 N, entonces

mN28.2730m0.2356N120dFMO



del plano.

Entonces MO= N m

60

45

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