TEMA 9: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL - 4º de ESO. IES ... · PDF filey = ax + b: es...

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TEMA 9: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL 1. Se quieren realizar los siguientes estudios:

a) Población: los vecinos de un barrio. Es necesario recurrir a una muestra por el número de personas.

b) Población: alumnos/as del centro escolar. Si el número de alumnos no es grande, no sería conveniente una muestra sino un estudio completo.

c) Población: personas que han visto la obra de teatro. Es necesaria la muestra. d) Población: niños/as entre 5 y 10 años. Es necesaria ña muestra porque es imposible

preguntar a todos/as. 2. En cada uno ...

a) Como el recorrido es 8 (35 – 27) y hay sólo 5 temperaturas distintas, consideramos la variable discreta:

Temperatura 27 28 31 32 35

Nº de días 4 6 3 3 4

b) Como el recorrido es 30 (55 – 25) y hay 5 18 datos distintos, consideramos la variable continua:

Asignación 25-31 31-37 37-43 43-49 49-55

Nº de personas 8 6 5 4 2

3. Construye las tablas de frecuencias asociadas a los gráficos 4.1., 4.2., 4.3., 4.4., 4.5., 4.6.

Nº de películas 1 2 3 4 5

Nº de personas 3 5 10 9 3

Nº de faltas 3 4 5 6 7 8 9

% 7 16 30 13 17 8 9

Peso 49-52 52-55 55-58 58-61 61-64 64-67

Nº de personas 4 10 6 7 2 1

Edad 0-4 4-9 ... ... ... 69-74 74-

Nº de hombres 16 17 ... ... ... 5 6

Nº de mujeres 15 16 ... ... ... 8 10

Año 1981 1982 1983 1984 1985

Millones de personas 250 230 210 180 150

Matemáticas A.C.H.S. 1º de Bachillerato

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4. En el año 1997 se produjo una gran asistencia a las salas de ...

Nuestro objetivo es buscar los parámetros centrales y de dispersión; en realidad, nos bastaría con calcular la media y la desviación típica. Una vez calculados, como muchas otras veces en el campo de la Estadística, la respuesta será un tanto subjetiva.

Clase A: , σ = 1’4067

Clase B: , σ = 1’3371

Los datos están más dispersos en la clase A, aunque su media es ligeramente mayor. 5. Dos alumnas, Joana y Reme, han presentado ...

Los datos están elegidos para dar lugar a dos distribuciones entre las que se observa claras diferencias, numéricas y gráficas y que sin embargo coinciden en sus valores centrales, justificando así la conveniencia de disponer de otros valores adicionales que recojan más información sobre las tablas: los parámetros de dispersión.

• Joana: Media: 5.7 Desviación típica: 2.6286 • Reme: Media: 5.7 Desviación típica: 1.4525

Al igual que antes la respuesta a la pregunta b) es un tanto subjetiva. 6. Los alumnos de un grupo de primero ...

Se nos piden algunos parámetros estadísticos de una distribución de datos agrupados en intervalos (variable continua). Vamos a construir la tabla de frecuencias con la marca de clase:

Intervalo xi fi fi · xi f · xi2

17-19 18 21 378 6804

19-21 20 57 1140 22800 21-23 22 33 726 15972

23-25 24 9 216 5184

120 2460 50760

Se da la tabla completa, aunque con la calculadora científica se nos dan los parámetros de forma casi inmediata.

= 20’5 σ = 1’66 Intervalo modal: 19-21 Me = 21 + 2 · = 22’4

7. Una asociación de consumidores está realizando ...

Aunque la tabla aparentemente presenta una variable discreta, la variable “duración de la pila” es claramente continua. Los valores que aparecen en la tabla deben interpretarse como marcas de clase para determinar los intervalos correspondientes ([5’5,6’5], [6’5, 7’5],...) y poder así dibujar correctamente el histograma.

No obstante, para simplificar el problema, en lo referente a los parámetros, vamos a considerar la variable discreta.

Pilas "Duramucho": = 8’73 Mo = 9 horas Me = 9 horas

Pilas "Vidalarga": = 8’73 Mo = 9 horas Me = 9 horas ¡Los mismos parámetros! Necesitaríamos hallar la desviación típica para dar una respuesta concreta.

I.E.S. "Fco. Figueras Pacheco" Profesor: Luis M. Millán

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8. DEBATE: Los españoles, ¿somos ya tan altos como los europeos? ...

Buscamos el intervalo de normalidad en cada población. • Españoles: (157‘8,176’6)

• Alemanes: (158‘9,181’9) Como la estatura del español está fuera del intervalo de normalidad y la del alemán dentro, el español es más alto en su país.

9. ¿Se está recalentando la Tierra? ...

Los parámetros estadísticos son: , σ = 4’8537

Nos están pidiendo el intervalo de normalidad: (28’1863,37’8937)

En este intervalo hay 34 datos, que suponen el 68 %.

10. En la ACB hay 18 equipos. Cuando ... El principal objetivo es la interpretación conjunta de la media y de la desviación típica. Si observas con detenimiento los histogramas, notarás que podrías crear la tabla de frecuencias sin problemas.

La asociación sería: TDK ↔ VI, CÁCERES ↔ I, ESTUDIANTES ↔ V, PAMESA ↔ IV, REAL MADRID ↔ III, BARCELONA ↔ II

Para poder contestar a la pregunta de “si son normales”, deberíamos concretar con la tabla de frecuencias.

11. ¿Recuerdas la empresa “La millor del món”? Buscamos reconocer una progresión aritmética y calcular algunos términos.

a) Obtenemos la relación funcional: y = 50 + 12x con x: número de años transcurridos desde 1991

b) En 1999, x = 8: 146 empleados. En el año 2005, y = 14: y = 218 empleados. 12. El precio que se paga por ...

a) No es casual plantear una relación casi funcional (falla el primer punto): P = 0’025 · n

b) La nube de puntos correspondiente es:


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13. Una empresa hace un seguimiento ...

a) Surge una nube de puntos sin nada reseñable. Se puede observar una cierta correlación positiva, r = 0,7962)

b) Al no haber una clara relación funcional, ni una relación estadística muy fuerte, parece que

la política comercial no tiene un criterio muy definido.

14. En la siguiente tabla aparece recogida la información sobre “Puntos negros” ... En este caso se trabaja con tres variables estadísticas.

a) Si analizamos la correlación entre el número de puntos negros-número de accidentes obtenemos:

Como no es probable que dispongas de una calculadora gráfica, conviene aclarar algunas cuestiones: r: es el coeficiente de correlación

y = ax + b: es la recta de regresión de X sobre Y Por tanto, en este primer caso, la correlación es muy fuerte.

b) Si analizamos la correlación entre el número de puntos negros-número de muertos por accidente obtenemos:

En este caso, la correlación también es fuerte, pero no tanto como la anterior.

c) Con esta pregunta tomamos un primer contacto con previsiones: regresión. Podemos aprovechar los datos que nos da la calculadora gráfica:

En el primer caso, si x = 17: y = 4’32 · 17 + 11’7 ≅ 85


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15. Se realizó un estudio para determinar los efectos de no dormir ...

Es una actividad que incluye los aspectos tratados de correlación y regresión en los que hay que decidir qué recta de regresión, Y sobre X o X sobre Y, deben utilizar para realizar pronósticos.

• El coeficiente de correlación es: r = 0’8015, lo cual nos indica que no serán muy fiables las conjeturas.

• Es interesante comparar las dos rectas de regresión: Y = 0’475 · X + 3 (1) X =1’3523 · Y + 1’6655 (2)

Para ello deben dibujarse sobre el mismo sistema de referencia y despejando Y en la segunda ecuación, se obtiene Y= 0’7395 · X – 1’2316

Un error bastante habitual consiste en dibujar la recta X = 1’3523 · Y +1’6655 como si fuese Y =1’3523 · X + 1’6655. Una buena ocasión para recordar que las rectas de regresión siempre pasan por el punto .

Una mayor amplitud entre las rectas indica una peor correlación entre las variables. Es otro procedimiento para valorar la calidad del ajuste lineal. Hay que tener en cuenta que la escala utilizada puede influir bastante en el aspecto de las gráficas; por ejemplo:

La escala utilizada en el gráfico de la izquierda parece indicar una buena correlación lineal entre las variables. En el segundo gráfico, tratándose de las mismas rectas, esa correlación ya no parece tan buena. El coeficiente numérico ofrece una mayor objetividad para valorar la calidad del ajuste.

• Si lleva 18 horas son dormir, en (1): x = 18, y = 11’55 ≅ 12 errores

• Si comete 15 errores, en (2): y = 15, x = 21’95 ≅ 22 horas sin dormir


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16. Calcula la recta de regresión correspondiente a la distribución ...

Se trata de hallar la recta de regresión de y (Presión) sobre x (Altura) y, a partir de ella, estimar el valor de la variable Y sabiendo el valor de X, 2600.

En este caso, el coeficiente de correlación es: r = –0’9947. En este caso la correlación es negativa, pero muy fuerte, lo cual, por otra parte es bastante lógico (al aumentar la altura disminuye la presión). Tendríamos:

= 583’86 = 714’29 σx = 492’47 σxy = –17491’79 m = –0’072

Por tanto, la recta de regresión será: y – 714’29 = –0’072 · (x – 583’86) ⇔ y = –0’072 · x + 756’38

El valor estimado de y para x = 2600, será: y = 714’29 – 0’072 · (2600 – 583’86) = 569

17. Una gran empresa está interesada en instalar diferentes tiendas en ... Se podría considerar como una actividad clásica del estudio de la regresión. La información podría ser la siguiente:

La ecuación de la recta de regresión de Y sobre X es: y = 3’13 · x + 2’34 (1); r = 0’9955...

Pero hay un problema: nos dan el valor de “y” y nos piden el valor de “x”, por tanto, deberíamos hallar la recta de regresión de X sobre Y:

x = 0’32 · y – 0’65 (2) Si y = 40, x ≅ 12 tiendas

Puedes comprobar lo que sucede si hallas en (1) el valor de “x” cuando y = 40.


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TEMA 10: PROBABILIDAD DE UN SUCESO 1. Tengo seis papeletas para un sorteo …

La probabilidad de ganar es: P =

2. Mi equipo favorito ha ganado …

Probabilidad que gane: P =

3. Un experimento …

a) A' y B: “No sacar rey en la primera extracción y salir rey en la segunda extracción”.

b) A o B': “Sacar rey en la primera extracción o no salir rey en la segunda extracción”.. 4. Se extrae una carta de una baraja española (40 cartas). Calcula la probabilidad de que salga:

a) P(cuatro) = 4 / 40. b) P(oro) = 10 / 40. c) P( figura) = 12 / 40

d) P(cuatro o figura) = 16 / 40. e) P (cuatro u oro) = 13 / 40. f) P(cuatro de oros) = 1/40. 5. En un centro escolar hay 1000 alumnos repartidos ...

Si completamos la tabla de contingencia, tendremos:

Chicos (H) Chicas (M) Total

Estudian Francés (F) 40 60 100

Estudian Inglés (I) 270 630 900

Total 310 690 1000

a) P(H) = 310 / 1000 = 31 % b) P(F) = 100 / 1000 = 10 %

c) P(M y F) = 60 / 1000 = 6 % 6. Vamos a trabajar con una baraja española de 40 naipes ...

Reintegramos la primera carta extraída a la baraja antes de elegir la segunda. a) Nos piden P(O2 / O1) = 9 / 39 (sólo quedan 39 cartas, de ellas 9 de oros)

b) Nos piden P(O2) = P(O1 ∩ O2) + P( ∩ O2) = + P( ) · P(O2/ ) =

= + = 0’25 (hemos aprovechado el resultado de c)

c) Nos piden P(O1 ∩ O2) = P(O1) · P(O2/O1) = = 0’05769..

Nos piden P( ∩ O2) · 2 = 0’1923 · 2 = 0’3846 (puede no salir en la 1ª o en la 2ª)

Si no reintegramos la primera carta extraída a la baraja antes de elegir la segunda, lo único que cambia son las probabilidades. Por ejemplo: P(O2 / O1) = P(O1) = 10/40


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7. Tenemos un caso típico en el que tenemos tres sucesos dependientes: P1, P2 y P3.

a) P( y y ) = P( ) · P( ) · P( ) = 0’3818

b) P(haya al menos uno podrido) = 1 – P(no haya ninguno podrido) = 1 – 0’3818 = 0’6182

c) P(P1 y P2 y P3) = P(P1) · P(P2) · P(P3) = 0’0045

8. Si construyes una tabla de contingencia asociada es justamente la que aparece en el problema 5. P(chica) = 690 / 1000 = 69 %

9. Al estudiarse dos características de la población, construimos una tabla de contingencia:

Hombres (H) Mujeres (M) Total

Tienen título (B) 40 42 82

No tienen título ( ) 70 48 118

Total 110 90 200

a) P(H ∩ ) = 70 / 200 = 35 % b) P(M ∩ B) = 42 / 200 = 21 %

c) P(B / M) = = 46’7 % d) P(H / B) = = 48’8 %

10. Completa el diagrama de árbol y construye la tabla de contingencia.

0’8 B

A A no A Total

0’3 0’2 no B B 24 28 52

no B 6 42 48

0’7 0’4 B Total 30 70 100

no A 0’6 no B

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B= 0’30 + 0’52 – 0’24 = 0’58

P(A/noB) = = 0’125; P(A/B) = = 0’4615

11. Construimos un diagrama en árbol:

Dado Bola 0 R

1 ó 2 2/6 1 noR

4/6 7/10 R

3, 4, 5 ó 6 3/10 noR Para saber qué es más fácil, hallamos:

P(R) = P(1 ó 2 ∩ R) + P(3,4,5 ó 6 ∩ R) = 0 + · = 0’467 < 50 %


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TEMA 11: DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

1. Calcula los siguientes números combinatorios:

= 8 = = 28 = 1 = = 8

= = 1140 = = 4950

2. En la 4ª fila, tendríamos estos números combinatorios: 1 3 3 1 (total: 8) Por tanto, si caen 400 perdigones, tendríamos que dividir 400 entre cada número combinatorio y tendríamos:

50 150 150 50

3. La mayoría de las veces, cuando se hace un examen tipo test ... a) En este caso, con 10 preguntas, P(A) = 1/2, P(A’) = 1/2.

P(de contestar correctamente a cinco preguntas) = · · = 252 · = 0’24

P(x ≥ 5) = P(x = 5) + P(x = 6) + P(x = 7) + P(x = 8) +P(x = 10) =

= · + · + · + · + · + · =0’62

P(responder al menos a tres preguntas) = 1 – [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)] =

1 – = 1 – 0’055 = 0’945

b) En este caso, lo que cambia es que P(A) = 1/4, P(A’) = 3/4.

c) El número medio de respuestas correctas que se puede esperar contestando al azar será: Nº de preguntas · Probabilidad de acertar = 10 · 1/2 = 5 ( ó bien 10 · 1/4 = 2’5)

4. Consideremos diferentes cuestiones en las que interviene el azar (dados, moneda, test) a) Si juegas 1200 partidas a los dados, deberías ganar por término medio 1200 · 1/6 = 200.

b) Puede ocurrir, pero no es “normal” c) Sería más sorprendente obtener 300 caras en 1000 tiradas, porque según la ley de los

grandes números debería acercarme al 50 % d) Tendríamos que hallar

P(x = 3) con P(A) = 1/2 (Puedes comprobar que es 0’117) P(x = 2) con P(A) = 1/4 (Puedes comprobar que es 0’28)

5. Consideramos que no se devuelven; por tanto, son sucesos dependientes.

a) P(O1 ∩ O2 ∩ O3) = = 0’013

b) P(de conseguir tres cartas del mismo palo) = 4 · P(O1 ∩ O2 ∩ O3) = 4 · 0’013 = 0’039

c) P( ∩ ∩ ) = = 0’414

d) P(de que alguna carta sea de oros) = 1 – P(ninguna sea de oros) = 1 – 0’414 = 0’586


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6. En una fábrica de bombillas... Tenemos un caso típico de distribución binomial, B(20, 0’02).

En esta distribución, n = 20, p (probabilidad de ser defectuosa) = 0’02, q = 0’98.

a) P(x = 0) = · 0’9820 = 0’9820 = 0’6676

b) P(x =1) = · 0’02 · 0’9819 = 20 · 0’02 · 0’9819 = 0’2725

c) P(x > 3) = 1 – [P(x ≤ 3)] = 1 – [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)] =

= 1 – (0’6676 + 0’2725 + 0’0528 + 0’0065) =1 – 0’9994 = 0’0006 Comprueba por el mismo camino que en los apartados a) y b) que:

P(x = 2) = 0’0528 P(x = 3) = 0’0065 7. Según un estudio estadístico realizado entre jóvenes de ...

Tenemos una distribución binomial, en la que p (probabilidad de hacer deporte) = 0’40. En una clase de 20 alumnos, tenemos B(20, 0’40) y nos piden:

P(x < 5) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4). Puedes comprobar que: P(x < 5) = 0’0000365 + 0’000487 + 0’00308 + 0’0123 + 0’035 = 0’05

En una muestra de 500 jóvenes, tenemos una binomial, B(500, 0’40). µ = n · p = 500 · 0’40 = 200 ρ = = 10’95

8. Se sabe que cuatro de cada diez alumnos de un país hablan inglés ... Tenemos una distribución binomial, en la que p (probabilidad de hablar inglés) = 0’40. En esta B(20, 0’430) nos piden: P(x ≥ 5) = 1 – P(x < 5) = 1 – 0’05 = 0’95 Es la misma binomial que en el problema 7; por tanto aprovechamos los resultados obtenidos.

9. Al repetirse el lanzamiento a canasta “sólo” 5 veces, podríamos utilizar un diagrama en árbol, pero es más cómodo utilizar una distribución binomial, B(5,0’80) a) µ = n · p = 5 · 0’80 = 4 ρ = = 0’89

b) P(x = 5) = · 0’805 = 0’327 P(x = 2) = · 0’802 · 0’203 = 0’0512

c) P(x ≥ 0) = 1 – P(x = 0) = 1 – · 0’205 = 0’99968

d) En este caso, la binomial es B(200,0’80) y nos piden P(x > 170). Realizar los cálculo s mediante una binomial es tremendo; lo más lógico es aproximar esta binomial por una distribución normal, cosa que aprenderás a hacer en el tema siguiente.

10. En un almacén... Tenemos otra binomial, con p (probabilidad de ser defectuosa) = 0’2, q = 0’8.

a) B(2,0’2): P(x = 2) = · 0’22 = 0’04

b) B(3,0’2): P(x = 2) = · 0’22 · 0’8 = 0’096

c) B(100,0’2): P(x = 2) = · 0’22 · 0’898 = 0’000000063

d) µ = n · p = 100 · 0’80 = 80 ρ = = 4


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TEMA 12: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. Tenemos una distribución normal N(60,5). En esta distribución, el intervalo de normalidad es:

(µ–σ, µ+σ) = (55,65). Por tanto, aproximadamente el 68 % de las pilas (precisamente 68 pilas) tendrán una duración comprendida entre 55 y 65 horas.

(µ–2σ, µ+2σ) = (50,70). Aproximadamente un 2’5 % estará por encima de 70; es decir, entre 2 y 3 pilas durarán más de 70 horas.

2. En un estanque de una piscifactoría … Los intervalos son:

(µ–σ, µ+σ) = (19,33) En este intervalo están el 68’27 % de 3000: 2048 truchas

(µ–2σ, µ+2σ) = (12,40) En este intervalo están el 95’45 % de 3000: 2863 truchas

(µ–3σ, µ+3σ) = (5,47) En este intervalo están el 99’73 % de 3000: 2992 truchas

3. En una distribución normal N(0,1) calcula las siguientes probabilidades: a) P(z ≤ 1’5) = 0’9332 c) P(z ≥ 1’5) = 1 – P(z ≤ 1’5) = 1 – 0’9332 = 0’0668

b) P(z ≤ –1’5) = P(z ≥ 1’5) = 0’0668 d) P(z ≥ –1’5) = P(z ≤ 1’5) = 0’9332

e) P(–1’5 ≤ z ≤ 1’5) = P(z ≤ 1’5) – P(z ≤ –1’5) = 0’9332 – 0’0668 = 0’8664

f) P(z = 1’5) = 0

4. En una distribución normal N(6,4) calcula las siguientes probabilidades:

a) P(x ≤ 3) = P = P(z ≤ –0’75)= P(z ≥ 0’75) = 1 – P(z ≤ 0’75) = 1 – 0’7734 = 0’2266

b) P(x ≤ –3) = P(x ≥ 3) = 1 – P(x ≤ 3) = 1 – 0’2266 = 0’7734

c) P(x ≥ 5) = P = P(z ≥ –0’25)= P(z ≥ 0’25) = 1 – P(z ≤ 0’25) = 1 – 0’5987 = 0’4013

d) P(x ≥ –5) = P(x ≤ 5) = 1 – P(x ≥ 5) = 1 – 0’4013 = 0’5987

e) P(5 ≤ x ≤ 8) = P(x ≤ 8) – P(x ≤ 5) = P – 0’5987= P(z ≤ 0’5) – 0’5987 =

= 0’6915 – 0’5987 = 0’0928

f) P(x = 5) = 0 5. Nos dan una distribución normal N(965, 25) en la que nos piden:

a) P( x ≥ 1000) = P = P(z ≥ 1’4) = 1 – P(z ≤ 1’4) = 1 – 0’9192 = 0’0808

b) P( x < 90) = P = P(z < –35) = P(z > 35) = 1 – P(z < 35) = 1 – 1 = 0

6. Las precipitaciones anuales … Tenemos una distribución normal N(2000,300) y nos piden:

P(x ≤ 1200) =P = P(z ≤ –2’67) = P(z > 2’67) = 1 – P(z < 2’67) = 1–0’9962 =

= 0’0038


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7. Tenemos la misma situación que en el problema 10 del tema anterior, una B(n,0’2), pero en el apartado c) la situación se complica:

a) B(2,0’2): P(x = 2) = · 0’22 = 0’04; b) B(3,0’2): P(x = 2) = · 0’22 · 0’8 = 0’096

c) Aunque tenemos igualmente una distribución binomial, B(100,0’2), la situación es distinta:

P(x < 2) = P(x = 0) + P(x =1) = · 0’8100 + · 0’2 · 0’899

P(x < 50) = P(x = 0) + P(x =1) + P(x = 2) + P(x =3) + ... + P(x = 49) En este caso, podemos considerar la binomial aproximada por una normal, ya que:

n · p = 100 · 0’2 = 20 > 5, n · q = 100 · 0’8 = 80 > 5, n · p · q = 16 La distribución normal es N(20,4), ya que:

µ = n · p = 20 ρ = = 4

P(x < 50) = P(x’ ≤ 49’5) = P = P(z ≤ 7’375) = 1

8. Tenemos una binomial B(240,0’95) que se puede aproximar por una normal N(228,3’38)

µ = n · p = 228 ρ = = 3’38

a) P(x > 200) = P(x’ ≥ 200’5) = P = P(z ≥ –8’16) = P(z ≤ 8’16) = 1

b) P(x > 220) = P(x’ ≥ 220’5) = P = P(z ≥ –2’23) = P(z ≤ 2’23) = 0’9871

c) P(x < 230) = P(x’≤ 229’5) = P = P(z ≤ 0’45) = 0’6736

9. Tenemos una binomial B(2,0’25), p: probabilidad de sobrevivir, que se puede aproximar por una normal N(0’5,0’61), aunque en este caso no aplicaremos la solución de continuidad.

µ = n · p = 0’5 (en millones) ρ = = 0’61

a) P(x ≤ 0’45) = P = P(z ≤ –0’08) = P(z ≥ 0’08) = 1 – P(z ≤ 0’08) = 0’4681

b) P(x > 0’3) = P = P(z ≥ –0’33) = P(z ≤ 0’33) = 0’6293

c) P(0’1 < x < 0’2) = P( x < 0’2) – P(x < 0’1) = P – P = 0’0575

10. Tenemos una binomial B(50,1/3) que se puede aproximar por una normal N(16’67,3’33)

µ = n · p = 16’67 ρ = = 3’33

a) P(x ≥ 25) = P(x’ ≥ 25’5) = P = P(z ≥ 2’67) = 1 – P(z ≤ 2’67) = 0’0038

b) P(x ≥ 35) = P(x’ ≥ 35’5)= P = P(z ≥ 5’67) = 1 – P(z ≤ 5’67) = 0

c) P(x ≥ 45) = 0 con más motivo., ya que P(x ≥ 35) = 0


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ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN (ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD) 1. A dos grupos de ocho alumnos se les ha planteado un test de ...

Como en tantas ocasiones, la interpretación es bastante subjetiva. Nosotros nos limitaremos a comparar los parámetros que nos piden.

A: = 50 Mo = 50 Me = 50 σ = 2’29

B: = 50 Mo = 50 Me = 50 σ = 27’50

Se observa que los datos están mucho más dispersos en la clase B.

2. Se ha controlado el peso de 50 recién nacidos, ...

El gráfico más adecuado es un histograma:

Si construimos la tabla de frecuencias con las marcas de clase, tendremos: = 3’79 Por debajo de la media hay, con total seguridad, 2 + 2+ 4 + 19 = 18. Tendríamos que decidir como se distribuyen los 16 que hay en el intervalo [3’7; 4).

3. En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de ... Tendríamos:

x1 = 70 = 58’2 σ = 3’1 ( – 3σ, +3 σ) = (48’9, 67’6)

x2 = 65 = 52’4 σ = 5’1 ( – 3σ, +3 σ) = (37’1, 67’7)

El peso de Juan L está fuera del intervalo, mientras que el peso de Pilar S está dentro; por tanto, Juan L es, dentro de su grupo, más grueso que Pilar S. dentro del suyo.

4. La Compañía Telefónica está interesada en efectuar ... Con los datos que nos dan, tendremos:

= 895 líneas en servicio = 37400 σxy = 119790

Con estos datos: ρ = 0’9 ⇒ La relación entre líneas de servicio e ingresos es alta

La recta de regresión de Y sobre X es:

y – 37400 = 9’9 · (x – 895) ( la pendiente de la recta es 9’9) Cuando haya 1200 líneas: y = 37400 + 9’9 · (1200 – 895) = 40419’5 euros

5. Se observan ... Nos encontramos ante un problema clásico de correlación, en el que:

= 5’54 = 25’2 σxy = 15’412

a) ρ = 0’97; y – 25’2 = 3’4 · (x – 5’54) (1); x – 5’54 = 0’27 · (y – 25’2) (2)

b) Basta con sustituir x = 5 en la ecuación (1): y (5) = 23’36

c) Basta con sustituir y = 36 en la ecuación (2): x (36) = 8’46


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6. Tenemos: H: “Ser hombre y llegar a …”, P(H) = 0’76; M: “Ser mujer y ...”, P(M) = 0’82

Nos piden: a) P(H ∩ M) = P(H) · P(M) =0’76 · 0’82 = 0’6232 b) P(H’ ∩ M’) = P(H’) · P(M’) =0’24 · 0’18 = 0’0432 c) P(H’ ∩ M) = P(H’) · P(M) = 0’24 · 0’82 = 0’1968 d) P(H ∪ M) = 1 – P (H’ ∩ M’) = 1 – 0’0432 = 0’9568

También: P(H ∪ M) = P(H) + P(M) – P (H ∩ M) = 0’76 + 0’82 – 0’6232 = 0’9568

7. Con motivo de una exposición, se han programado... Construimos un diagrama en árbol.

0’25 P 0’80 C 0’60 O

0’15 R 0’20 C’

Nos piden P(P): P(P) = P(C ∩ P) = P(C) · P(P/C) = 0’80 · 0’25 = 0’2

8. En una Universidad en la que sólo... Podemos construir una tabla de contingencia.

A C L Total

T 1 3 10 14

T’ 19 27 40 86

Total 20 30 50 100

a) Nos piden: P(A ∩ T) = 1 / 100 = 1 %

b) Nos piden P(A/T) = 1 / 14 = 0’0714 9. La probabilidad de obtener cruz en una moneda trucada ...

Tenemos una distribución binomial B(100,0’70) en el que piden la media y la desviación típica: µ = n · p = 100 · 0’70 = 70 caras; σ = = = 4’58

10. Calcula las siguientes probabilidades:

a) B(5,0’01): P(x = 0) = 0’995 = 0’951 P(x = 1) = 5 · 0’01 · 0’994 = 0’048 P(x = 5) = 0’015 = 0’00001

b) B(4,0’2): P(x = 1) = 4 · 0’02 · 0’983 = 0’075

P(x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = 0’984 + 0’075 + · 0’022 · 0’982 = 0’9997

c) B(20,0’5):

P(x = 2) = · 0’52 · 0’518 = 190 · 0’520 = 0’00018

P(x ≥ 18) = P(x = 18) + P(x = 19) + P(x = 20) = · 0’520 + · 0’520 + · 0’520 =

= 0’00018 + 0’000019 + 0’00000095 = 0’00019995


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11. Al tratarse de un experimento aleatorio que “sólo” se repite 5 veces, podemos enfocarlo con una estrategia en la que no interviniera la distribución binomial. Si llamamos A: “El motor está bien”, tendremos P(A) = 0’99, P(A’) = 001

a) P(A1∩A2 ∩A3∩A4∩A5) = P(A)5 = 0’995 = 0’951

b) P(sólo haya uno con defectos) = P(A1’∩A2 ∩A3∩A4∩A5) · 5 = 0’01 · 0’994 · 5 = 0’048

c) P(A1’∩A2’ ∩A3’∩A4’∩A5’) = P(A’)5 = 0’015 = 0’00001

12. Si el 20% de los cerrojos producidos por...Tenemos una distribución binomial B(4,0’2).

a) P(x = 1) = · 0’2 · 0’83 = 0’4096

b) P(x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = 0’84 + 0’4096 + · 0’22 · 0’82 =

0’4096 + 0’4096 + 0’1356 = 0’9728

13. Un examen tipo test consta de 20 preguntas con dos únicas ... Tenemos una distribución binomial B(20,0’5).

Nos piden P(x ≥ 18) = P(x = 18) + P(x =19) +P (x = 20) =

· 0’518 · 0’52 + · 0’519 · 0’51 + · 0’520 =

· 0’520 + · 0’520 + 0’520 = 190 · 0’520 + 20 · 0’520 + 0’520 = 0’0002

14. Nuevamente nos encontramos con una binomial, B(100,0’10). Pero, en este caso, es más apropiado aproximar esta binomial por una normal, ya que:

n · p = 10, n · q = 90; µ = n · p = 100 · 0’10 = 10, σ = = 3

a) El número esperado de bombillas defectuosas en cada caja por término medio es 10.

b) P(7 ≤ x ≤ 13) = P(z ≤ 13’5) – P(z ≤ 6’5) = P –P =

P(z ≤ 1’17) – P(z ≤ –1’17) = 0’8790 – [1 – P(z ≤ 1’17)] = 0’8790 – [1 – 0’8790) = 0’758

15. Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares

Tenemos una distribución binomial B(50,0’6). Pero tenemos: n · p = 50 · 0’6 = 30, n · q = 50 · 0’4 = 20

Como estos valores son mayores que 5, podemos aproximar la binomial mediante una normal de media y desviación típica:

µ = n · p = 50 · 0’6 = 30, σ = = 3’464 ⇒ Tenemos una normal N(30,3’464).

Además hay que tener en cuenta que la variable es discreta, mientras que al considerar una normal, la nueva variable ya es continua. Por tanto, cuando nos piden P(x ≥ 20) nos están pidiendo P(x’ ≥ 19’5).

a) P(x ≥ 20) = P(x’ ≥ 19’5) = P = P(z ≥ –3’03) = P(z ≤ 3’03) = 0’9988

b) P(30 ≤ x ≤ 40) = P(29’5 ≤ x’ ≤ 40’5) = P(–0’14 ≤ z ≤ 3’03) =

P(z ≤ 3’03) – [1 – P(z ≤ 0’14)] = 0’’9988 – (1 – 0’5557) = 0’5545


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16. Se trata de calcular algunas probabilidades en una distribución normal N(165,8).

a) Nº de medidas menores de 157 cm: 1000 · P(x < 157)

P(x < 157) = P = P(z < –1) = 1 – P(z < 1) = 1 – 0’8413 = 0’1587

Por tanto, nº de medidas menores de 157 cm ≅ 159

b) P(167 < x < 181) = P = P(0’25 < z < 2) = φ (2) – φ (0’25) =

= 0’9972 – 0’5987 = 0’3785

Por tanto, nº de medidas entre 167 y 181 ≅ 379

17. El porcentaje de españoles con estudios ...

Tenemos una distribución binomial B(8,0’35) en la que se nos pide P(3 ≤ x ≤ 5).

a) Mediante una binomial, tendremos:

P(3 ≤ x ≤ 5) = P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) =

= · 0’353 · 0’655 + · 0’354 · 0’654 + · 0’355 · 0’653 =

= 0’2786 + 0’1875 + 0’0808 = 0’5469 b) Si aproximamos por una normal, tendremos B(8,0’35) → N(2’8,1’35) (recuerda como

hallamos la media y la desviación típica). Hemos de tener en cuenta que al considerar la variable continua no puede tomar valores exactos.

P(3 ≤ x ≤ 5) = P( 2’5 < x’ < 3’5) = P(–0’22 < z < 2) = P(z < 2) – P(z > –0’22) =

= φ(2) – [1 – φ(0’22)] = 0’9772 – (1 – 0’5871) = 0’5643

18. Varios test de inteligencia dieron una ... Nos encontramos ante un problema típico de una distribución normal N(100,15).

a) P(95 < x < 110) = P(x < 110) – P(x < 95) = P – P =

= P(z<0’67) – P(z<–0’33) = P(z<0’67) – [1 – P(z<0’33)] = 0’7468 – (1 – 0’6293) = 0’3779 b) Hallamos en primer lugar P(x > 125).

P(x > 125) = = P(z > 1’67) = 1 – P(z < 1’67) = 1 – 0’9525 = 0’0475

19. La altura de los mozos de un ...

Se trata de calcular algunas probabilidades en una distribución normal N(1’7,0’1).

a) P(1’7 < x < 1’9) = P = P(0 < z < 2) = φ(2) – φ(0) =

= 0’9772 – 0’5 = 0’4772

b) P(x < 1’5) = = P(z < – 2) = 1 – P(z < 2) = 1 – 0’9772 = 0’0228

El número esperado de libramientos: 50000 · 0’0228 = 1140


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