Tema II.

Interpolación lineal.

Ing. Gilma Tablada Martínez Página 8

( ) ∑ ( )

Universidad TÉCNICA

de BABAHOYO.

Métodos Numéricos.

Tema II. Polinomio de Lagrange.

Gilma Tablada Martínez.

Ingeniera en Matemáticas.



II. INTERPOLACIÓN.

Introducción.

Una función de interpolación es aquella que pasa a través de puntos dados como datos, los cuales se muestran comúnmente por medio de una tabla de valores ó se toman directamente de una función dada.

La interpolación puede ser Lineal y No lineal.

2.1. INTERPOLACIÓN LINEAL Esta interpolación es la base para varios modelos numéricos fundamentales. Al integrar la interpolación lineal, se deduce el modelo de integración llamado regla del trapecio. El gradiente de la interpolación lineal es una aproximación a la primera derivada de la función. El objetivo de esta sección es introducir la interpolación lineal y analizar sus errores.

La interpolación lineal da como resultado una recta que se ajusta a dos puntos dados. La interpolación lineal que se muestra en la figura 1.1 está dada por:

G(x) =

f(a) +

f(b)

Donde f(a) y f(b) son valores conocidos de ( ) en y respectivamente.

Por interpolación lineal se obtiene una recta que se ajusta a dos puntos dados a y b.

El signo de ( ) no cambia en a ≤ x ≤ b, el error máximo aparece aproximadamente en el punto medio y su magnitud es proporcional a la segunda derivada de la función aproximada.

El error de la interpolación lineal se puede expresar como función de en la forma:

e(x) =

( ) ( ) ( ) ; a ≤ ξ ≤ b,

donde ξ depende de x pero es un valor que está entre a y b.

Es difícil encontrar un valor exacto de ξ pero se puede considerar como el punto

medio del intervalo, entonces ξ =

.

2.2. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. La interpolación de los datos correspondientes a una función ( ) puede hacerse mediante un polinomio ( ), o las series de Taylor y McLauring, entre otras posibles como se vio en el tema anterior. A estos puntos se le conoce como nodos de interpolación. La interpolación polinomial, que consiste en ajustar un polinomio a los puntos dados; es uno de los temas más importantes en métodos numéricos, ya que la mayoría de los demás modelos numéricos se basan en la interpolación polinomial.

Por ejemplo, los modelos de integración numérica se obtienen integrando fórmulas de interpolación polinomial, y los modelos de diferenciación numérica se obtienen derivando las interpolaciones polinomiales. Por esto, el objetivo del capítulo es analizar los aspectos básicos de la interpolación polinomial y sus aplicaciones.

Los datos obtenidos mediante una medición pueden interpolarse, pero en la mayoría de los casos no es recomendable una interpolación directa debido a los



errores aleatorios implicados en la medición. Generalmente, interpolaremos datos correspondientes a funciones conocidas o desconocidas sus expresiones analíticas, pero en tal caso, se conocen los valores de dicha función en algunos puntos.

La interpolación es muy usada por las grandes ventajas que presenta:

Es más fácil encontrar las raíces de un polinomio que de una función. Es más fácil derivar a un polinomio que a una función. Es más fácil integrar a un polinomio que a una función.

De manera general el error de la interpolación polinomial se puede expresar como | ( ) ( )| y se debe tratar en cada caso que esta diferencia sea muy pequeña.

Los polinomios de interpolación de interpolación se pueden obtener de varias maneras. Estudiaremos varios métodos de interpolación.

Interpolación de Lagrange. Interpolación de Newton. Interpolación de Gauss. Interpolación de Everett. Interpolación de Stirling. Interpolación de Bessel.

La interpolación puede hacerse para:

Nodos equidistantes: Cuando todos los nodos consecutivos están unos a la misma distancia.

Nodos no equidistantes: Cuando al menos un par de nodos consecutivos no están a la misma distancia de otro u otros pares.

La distancia que existe entre un par de nodos consecutivos xi y xi+1 se llama h y está expresada por la diferencia entre xi+1 y xi. Esto es:

h = xi+1 - xi

TEOREMA: Existencia y unicidad del polinomio de interpolación. Dada una función f(x) y n +1 nodos de interpolación x0, x1, x2, . . . ., xn existe uno y sólo un polinomio de interpolación p(x) de grado n, tal que, p(x) = f(x) para todos los nodos de interpolación.

2.2.1. INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE. Los métodos de interpolación básicamente encuentran una función que pase a través de varios puntos dados. Generalmente esta función es un polinomio y el método entonces recibe el nombre de interpolación polinomial. Entre estos se encuentra el método de Lagrange.

Los nodos para encontrar un polinomio de interpolación pueden ser equidistantes o no equidistantes. El polinomio de interpolación de Lagrange se usa para todo tipo de nodos dado que su expresión analítica no depende de la amplitud de los intervalos h.



El polinomio de interpolación para un conjunto de puntos es único, independientemente del método usado para encontrarlo, lo que indica que todos los polinomios ajustados al mismo conjunto de puntos son equivalentes.

Suponga N+1 puntos con distancia arbitraria entre ellos; tal que:

( )

( )

( )

. . . . . . .

( ) .

Nuestro problema consiste en encontrar un polinomio ( )que ajusta a la función f en los puntos escogidos anteriormente y que tiene coeficiente . . . . , N.

( )

, de forma tal que:

( ) = ( ) =

( ) = ( ) =

( ) = ( ) =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( ) = ( ) =

Los coeficientes . . . . , N pueden ser calculados resolviendo el sistema anterior de ecuaciones, pero no sería factible por la magnitud del problema y además la precisión no sería buena por los errores de redondeo.

La fórmula de interpolación de Lagrange permite obtener estos valores.

Fórmula de interpolación de Lagrange. Consideremos los siguientes polinomios de orden N:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( ) ( )( ) ( )

De manera general, el polinomio:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ).

Si a cada ( ) la dividimos para ( ) resulta:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )



La función ( ) es un polinomio de orden N y se anula para ; . . . , N.

( ) {

La fórmula de interpolación de Lagrange se obtiene sumando los productos respectivos de cada ( ) por . El polinomio de Lagrange es también de orden N y se escribe:

( ) ∑ ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

donde ( ) . . , N

EJEMPLO 1: Encuentre un polinomio de Lagrange para estimar la densidad de sodio para 251˚C partiendo de las densidades de Sodio para 3 temperaturas que se muestran en la siguiente tabla:

( ) ∑ ( )

( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

Evaluando a P( ) para una temperatura t = 251 obtenemos un valor aproximado de densidad de sodio de 890.5 Kg/ .

i

Temperatura

en ˚C

Densidad

en Kg/

0 94 929

1 205 902

2 371 860



EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.- Dada la función ( )

a) Halle un polinomio ( )de orden 3 en los puntos 0, 0.4, 0.8 y 1.2

b) Compruebe que el polinomio encontrado al ser evaluado en los nodos de interpolación coincide con la función evaluada en cada uno de los puntos escogidos.

c) Calcule el valor aproximado de usando el polinomio encontrado.

d) Estime el error cometido al calcular ( ) mediante la expresión | ( )|

2.- Aproxime la función

en el intervalo [ ] mediante el polinomio

de interpolación de Lagrange y evalúe el error exacto mediante la expresión | ( ) ( )| para cada incremento de 0.5 en

3.- Halle los tres primeros términos del desarrollo de Taylor para la función

(

) en el punto .

4.- Encuentre el polinomio de Lagrange de orden 3 para la función ( ) en el intervalo [ ) con

5.- Halle el polinomio de interpolación a través de la fórmula de Lagrange para las siguientes funciones en los puntos indicados:

a) ( ) √ en 0, 0.5, 1, 1.5 y 2.

b) ( ) ( ) en 0, 1, 3, 3.5

c) ( ) √ cos ( ) en [ ] con

6.- Halle el desarrollo en serie de McLauring para las siguientes funciones:

a)

√

b)

( )

c)

√

7.- Desarrolle la serie de McLauring hasta el término de orden 3 para la función

( ) ( )√

8.- Encuentre el polinomio de Lagrange para los siguientes pares de puntos:

9.- Dada la función ( )

; encontrar el polinomio de Lagrange de orden 5 o

menos que la represente en el intervalo [-3, 3].

0 1 2 3 ( ) 1 1 2 5

Tema II.

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