Educación Matemática I Tema 2. Las Matemáticas a través de la Historia 8/02/2015 Área de Didáctica de las Matemáticas, Departamento de Pedagogía y Didáctica Mª Cristina Naya Riveiro y Enrique de la Torre Fernández

Tema 2. Las Matemáticas a través de la Historia Curso 2014/15

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Contenido 2. Las matemáticas a través de la historia. ...................................................................................... 41

2.1 Las matemáticas en la Prehistoria (desde la aparición del hombre hasta la de la escritura).... 44

2.2 Matemáticas en la Edad Antigua (desde la aparición de la escritura hace unos 3.000 años,

hasta la finalización del Imperio Romano en el año 476 después de Cristo). ................................. 45

La Historia empieza en Sumer ...................................................................................................... 46

Los geómetras del Nilo .................................................................................................................. 49

China ............................................................................................................................................. 51

La matemática en la India. ............................................................................................................ 54

El milagro griego ........................................................................................................................... 55

2.3 Las matemáticas en la Edad Media (desde el año 476 hasta el descubrimiento de América. .. 61

Los romanos: compiladores y enciclopedistas .............................................................................. 61

El Renacimiento Carolingio ........................................................................................................... 62

La casa de la sabiduría .................................................................................................................. 63

La época de los traductores .......................................................................................................... 64

2.4 Las matemáticas en la Edad Moderna (desde el descubrimiento de América hasta la

Revolución francesa en 1789). ......................................................................................................... 67

La perspectiva renacentista .......................................................................................................... 68

La matemática para la commonwealth (mancomunidad). ........................................................... 68

El matrimonio del álgebra y la geometría. .................................................................................... 70

El universo mecánico y la revolución copernicana. ...................................................................... 72

Matemática en movimiento. ........................................................................................................ 74

Océanos y estrellas. ...................................................................................................................... 78

2.5 Las matemáticas en la Edad Contemporánea (la Revolución francesa hasta la actualidad). .... 80

Polinomios de quinto orden. ........................................................................................................ 81

Nuevas geometrías ....................................................................................................................... 86

Los dialectos del algebra ............................................................................................................... 92

Campos de acción. ........................................................................................................................ 94

La captación del infinito. ............................................................................................................... 96

De dados y de genes. .................................................................................................................. 101

Juegos de guerra. ........................................................................................................................ 102

Matemáticas y arte moderno. .................................................................................................... 104

Códigos mecánicos. ..................................................................................................................... 105

Caos y complejidad. .................................................................................................................... 105

Bibliografía .......................................................................................................................................... 109

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2. Las matemáticas a través de la historia. Justificación

La historia de los matemáticos parece desarrollarse al margen de la vida de todos los días porque no tienen que tomar partido por alguna versión de los hechos, como el historiador, ni tienen que apreciar las tendencias de las épocas, como el literato, ni siquiera tiene que vérselas con la realidad física, como el geógrafo. Tampoco necesitan aprender otras lenguas porque una demostración puede ser comprendida por cualquier colega mientras esté escrita con las notaciones convencionalmente admitidas y, si quiere cambiarlas, bastará que lo aclare para que el lector acomode su forma de pensamiento y siga adelante con los nuevos códigos sin que ello sea un impedimento para entender de qué se trata y hasta para construir nuevas conclusiones derivadas de ese trabajo. Como esta comunicación se da aunque los dos matemáticos no se conozcan personalmente, aunque uno sea argentino y el otro francés y aunque no sean contemporáneos, el trabajo tiene la apariencia de estar aislado del contexto social que lo generó.

La mayoría de la gente no acierta a determinar con qué trabaja concretamente el matemático a menos que sea con la regla y el compás. Como no tiene laboratorio como el físico, ni hace excursiones como el antropólogo, al matemático se lo asocia con los razonamientos lógicos que hace y se lo rodea con una fantasía en la que "el demostrador de teoremas" aparece aislado en su lugar de trabajo, pensando en cosas abstractas y difíciles y, fundamentalmente, aislado de lo que pasó, de lo que pasa y de lo que pasará. Y los matemáticos refuerzan esa idea cuando afirman que crean entes arbitrarios, que establecen definiciones convencionales y que los símbolos los eligen mediante acuerdos, con lo que todo parece un trabajo de unos pocos elegidos, que obtienen aisladamente conclusiones que después se intercambian pero sólo pueden ser entendidas por otros matemáticos, conclusiones que luego pueden ser usadas por toda la gente (aunque no las comprendan) por aquello de que "las matemáticas gobiernan al mundo".

Más aún, a veces desarrollan teorías cuyos principios contradicen abiertamente nuestros sentidos (por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas en el plano) y tampoco así dejan de ser válidas. Estas particularidades dan la impresión de que las producciones matemáticas son independientes del desarrollo histórico-social y que los matemáticos, que afirman su desinterés por las aplicaciones prácticas, están más allá de las influencias del momento histórico que les toca vivir.

Esta es una visión que no repara en que los matemáticos son seres humanos y que sus producciones deben estar inspiradas fuertemente en la realidad para que sean las que, en última instancia, resuelvan el problema del ingeniero, del médico y hasta del tendero. Justamente por esa omnipresencia que tiene la matemática en el quehacer humano es por lo que sus creadores necesariamente deben ser gente comprometida con las cosas de todos los días.

Por este motivo se introduce la historia de la matemática, para encontrar nexos entre lo social y lo matemático.

Últimamente hay una cierta popularidad de los libros de matemáticas y de artículos en revistas no especializadas. Algunos libros de matemáticas han llegado a estar en el top de las listas de best seller de no ficción y algunas películas sobre matemáticas han obtenido premios.

Las ciencias matemáticas estaban íntimamente ligadas a los intereses y aspiraciones de las civilizaciones en las que florecieron. El comercio, la agricultura, la religión y la guerra han experimentado la influencia de las matemáticas y todos a su vez han influido en los matemáticos y en las matemáticas. No obstante su historia late aparte de nuestra visión cultural.

Quizá las ciencias, y especialmente las matemáticas, han carecido del auditorio que han tenido las artes y eso habrá desalentado los corazones y las mentes de la gente. A pesar de todo, conceptos tales como relatividad, mecánica cuántica e inteligencia artificial han devenido parte de

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nuestras ideas contemporáneas. Sin embargo, cuando los matemáticos hablan de la belleza de su campo, parece tratarse de la molesta y rudimentaria emoción de quien ha permanecido demasiado tiempo en la enrarecida atmósfera de una torre de marfil. No obstante, el uso de ordenadores ha permitido finalmente a todos los públicos el acceso a la belleza de las matemáticas.

Las matemáticas no trabajan con símbolos impenetrables, sino con ideas: ideas de espacio, de tiempo, de números, de relaciones. Son una ciencia de relaciones cuantitativas, de creciente sofisticación que, sutilmente, ha reflejado el interés de la humanidad por el conocimiento. Cabe añadir que todas las ideas nacen de una visión. Debido al creciente desarrollo de las ciencias informáticas, las matemáticas han renacido como ciencia visual. Extraordinarias estructuras como las que se encuentran en sistemas complejos y caóticos se abren camino a través de la selva de los símbolos y nos muestran una visión directa del paisaje de los matemáticos. Una nueva estética combina la precisión matemática con la sensibilidad artística, a semejanza de la relación que tuvieron antaño las artes y las ciencias durante el Renacimiento o bien a principios del s. XX. Las dos culturas han compartido largos períodos de compromiso; sin embargo, jamás se han llegado a vincular completamente.

En la clase de matemáticas normalmente se proporcionan los conceptos y los hechos totalmente elaborados y no se estudian las dificultades, las razones o los procedimientos de los que han surgido. El conocimiento de la historia de las matemáticas es una excelente introducción a las distintas materias, ya que mejora el aprendizaje al conocer la evolución histórica de las matemáticas y la forma de trabajar del matemático/a profesional.

Proponemos ampliar esta historia añadiendo también la contribución de las mujeres científicas y matemáticas, que participaron en la historia del conocimiento matemático. La historia de la ciencia que conocemos es una historia de hombres de raza blanca, en la ciencia occidental. Sin embargo, el conocimiento científico se acumula en un proceso lento de descubrimiento. Las mujeres también han contribuido a este proceso; su labor casi siempre ha sido silenciada y ellas fueron hechas invisibles por la historia. Ocultadas debido a cuestiones sociales o políticas, o bajo el pretexto de que sus descubrimientos no cambiaron el curso de la ciencia, pero ¿qué valor da la historia al trabajo previo de observación, a la recogida de datos, traducción, enseñanza, sistematización, divulgación? ¿Cuántos matemáticos hubieran pasado a la historia sin el trabajo de estas mujeres?

El trabajo científico necesita de inteligencia, creatividad, instrucción y decisión. Como resultado de ello, la historia de la ciencia es siempre la de un grupo selecto de individuos. Por desgracia, la historia de las mujeres en la ciencia es aún más selectiva. Es, en su mayoría, la historia de mujeres privilegiadas, con una situación que les permite instruirse y cultivar sus intereses científicos a pesar de estar excluidas de las instalaciones educativas y de las fraternidades formales e informales de los hombres de ciencia.

Estas mujeres tuvieron, en general, grandes dificultades para ganarse la vida con su trabajo profesional. Por ejemplo, Sofía Kovalevskaya sacó un título "in absentia" en la Universidad de Göttingen con una brillante tesis sobre ecuaciones diferenciales, pero no se le permitió dar clases que no fuesen de párvulos, hasta que fue admitida como profesora de Matemáticas Avanzadas en la Universidad de Estocolmo. O Emmy Noether, de la que dijo Hilbert en Göttingen en 1914, "no veo por qué el sexo de la candidata es un argumento contra su nombramiento como docente. Después de todo no somos un establecimiento de baños."

Hasta hace pocos años no se ha generalizado la educación de la mujer y a pesar de ello, en todas las épocas han sobresalido mujeres. Estas mujeres habrían recibido una esmerada formación: Emilia Breteuil, marquesa de Chatelet y Ada Byron, condesa de Lovelace, eran aristócratas y tuvieron a su servicio buenos profesores de matemáticas. Hipatia, Agnesi y Noether eran hijas de matemáticos, crecieron en un ambiente donde las matemáticas eran conocidas y apreciadas y donde su talento fue reconocido.

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En no pocas ocasiones el trabajo de estas mujeres corría el peligro de ser atribuido a sus colegas masculinos. Los problemas de identificación de autor se han complicado por la pérdida del apellido de algunas mujeres al casarse, o por la utilización de un pseudónimo masculino que garantizase que el trabajo fuese tomado en serio.

Terminología

El término matemáticas pasó al español a través del latino mathematica, que podía significar “las matemáticas” o “la astrología” y esta palabra procede del griego (mathematikós),

derivado de (mathémata), que originalmente significó “materias de enseñanza” y que, a su vez, proviene del verbo (manthánein) “aprender”.

La Matemática es un saber científico que no es fácil definir, no sólo porque hay tantas definiciones como delimitaciones de su alcance y peculiares perspectivas, sino, también por su evolución. Pitágoras denomina Matemática a “aquello que se aprende”, en contraposición a “aquello que se conoce”.

Las matemáticas son una de las mayores fuerzas que condujeron a la creación del mundo moderno y uno de los hilos centrales de la actividad intelectual.

A continuación se muestra una lista de algunas ramas de las matemáticas:

Fundamentos y métodos o Teoría de conjuntos, lógica matemática, teoría de categorías.

Investigación operativa o Teoría de grafos, teoría de juegos, programación entera, programación lineal,

simulación, optimización, método simplex, programación dinámica.

Números o Números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales,

número reales, números complejos, cuaterniones, octoniones, sedeniones, números hiperreales, números infinitos, dígito, sistema de numeración, número p-ádico.

Análisis, continuidad y cambio o Cálculo, cálculo vectorial, análisis, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y teoría

del caos, funciones, logaritmo, sucesiones, series, análisis real, análisis complejo, análisis funcional, algebra de operadores.

Estructuras o Algebra abstracta, teoría de números, álgebra conmutativa, geometría algebraica, teoría

de grupos, monoides, análisis, topología, álgebra lineal, teoría de grafos, teoría de categorías.

Espacios o Topología, geometría, teoría de haces, geometría algebraica, geometría diferencial,

topología diferencial, topología algebraica, álgebra lineal, cuaterniones y rotación en el espacio.

Matemática discreta o Combinatoria, teoría de conjuntos, probabilidad, estadística, teoría de la computación,

criptografía, teoría de grafos y teoría de juegos.

Matemática aplicada o Estadística, matemática discreta, física matemática, matemática financiera, teoría de

juegos, optimización, análisis numérico y lógica difusa.

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2.1 Las matemáticas en la Prehistoria (desde la aparición del ser humano

hasta la de la escritura).

Nuestros antepasados, que en principio solo se preocupaban por su supervivencia, en cierto modo también hicieron matemáticas. Progresan lentamente con sus instrumentos de piedra y madera, pasan de recogerlos del suelo a fabricarlos, aportando después innovaciones que los mejoran. Gracias a estos instrumentos no sólo se adapta al medio en el que vive sino que lo adecúa a sus necesidades.

El primer matemático fue seguramente un pastor que obligado a saber si su rebaño, tras ir al pastoreo y volver, tenía la misma cantidad de animales, ideó un sistema con el que a cada animal le hacía corresponder una piedrecita y así se aseguraba de tener tantas piedras como animales. Mientras conservaba las piedras en una bolsa podía establecer una correspondencia que le permitía saber si tenía todos sus animales.

La primera máquina matemática es el número y el cálculo con números. Otra, es la percepción y dibujo de formas y el cálculo con éstas.

La actividad matemática más inmediata es la de contar; y lo primero que hace falta es que el contador sea capaz de reunir una colección de objetos e identificarlos como miembros de un mismo grupo que los unifica. Una vez que el contador tiene claro esto, lo pone en contacto visual con los dedos de sus manos y ya puede comunicar a su vecino cuántas cebras ha visto pastando en el río. El paso siguiente es asociar palabras específicas (los llamados numerales: uno, dos, tres, …) a grupos de dedos. Por último, escribir los números.

La primera evidencia de un registro numérico fue encontrada en Swazilandia, en el sur de África; se trata de un hueso, el peroné de un babuino, con 29 muescas bien marcadas y data de unos 35000 años a. C. Tiene un parecido extraordinario con el calendario de varillas que aún se usa en Namibia para registrar el paso del tiempo. En el este de Europa también se han hallado registros de este tipo de la época neolítica; en la República Checa de unos 30000 años a. C. También hay testimonios matemáticos en torno al año 3500 a. C. procedentes de Mesopotamia.

En general, los números surgen por razones prácticas, por la necesidad de contar, pero pasan en seguida a cobrar carácter simbólico y a formar parte de las creencias religiosas o mágicas de muchos pueblos, llegando en algunos casos a extremos realmente pintorescos.

La necesidad de tratar con grupos cada vez más grandes trae consigo la necesidad de refinar el método de contar, introduciendo un progreso aritmético fundamental, la noción de base de numeración. Muchos investigadores piensan que el impulso definitivo a esta idea genial de considerar unidades de distintos niveles tuvo su origen en el uso de los sistemas de pesos y medidas y, más adelante, en la invención de la moneda y la necesidad de usar las correspondientes monedas fraccionarias.

La base 10 acabó imponiéndose en la inmensa mayoría de las culturas porque tenemos 10 dedos. Uno de los pueblos que invadió Mesopotamia, los babilonios usaban un sistema numérico sexagesimal, es decir con base 60, como nuestro sistema de medición horaria.

Nuestro sistema de numeración occidental procede de la India, de ahí el nombre numerales indo-arábigos ya que de la India pasó al mundo musulmán en la Edad Media y finalmente a la Europa occidental medieval.

Una economía agrícola, aunque rudimentaria, necesita datos numéricos sobre las estaciones y así se inició la confección de los calendarios. Las cuestiones de la cronología y el paso del tiempo, dieron lugar a la astronomía.

Pero la geometría aún no existía, porque mientras las comunidades fuesen nómadas no necesitaban medir terrenos ni construir edificios. A medida que evolucionaban estas comunidades

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tuvieron que hacer frente a problemas de cálculo que tenían que ver con sus rudimentarios intercambios comerciales.

2.2 Matemáticas en la Edad Antigua (desde la aparición de la escritura hace

unos 3000 años, hasta la finalización del Imperio Romano en el año 476

después de Cristo).

En Babilonia las matemáticas se desarrollaron a partir del 2000 a. C. Antes de esto, durante un largo periodo había evolucionado un sistema numérico posicional con base 60. Esto permitió representar números arbitrariamente grandes y fracciones y se convirtió en los cimientos de un desarrollo matemático más fuerte y dinámico.

Problemas numéricos tales como el de las ternas pitagóricas (a,b,c) con a2 + b2 = c2 fueron estudiados desde al menos el 1700 a. C. Los sistemas de ecuaciones lineales fueron estudiados en el contexto de resolver problemas numéricos. Las ecuaciones cuadráticas también fueron estudiadas y estos ejemplos llevaron a una especie de álgebra numérica.

También se estudiaron problemas geométricos relacionados con figuras similares, área y volumen y se obtuvieron valores para π.

La base matemática babilónica fue heredada por los griegos y el desarrollo independiente de las matemáticas griegas empezó alrededor del 450 a. C. Las paradojas de Zenón de Elea condujeron a la teoría atómica de Demócrito. Una formulación más precisa de conceptos los llevó a darse cuenta de que los números racionales no bastaban para medir todas las longitudes. Surgió entonces una formulación geométrica de los números irracionales. Estudios sobre áreas condujeron a una forma de integración. La teoría de las secciones cónicas muestra una cima en el estudio de las matemáticas puras de Apolonio. Muchos otros descubrimientos matemáticos surgieron de la astronomía, por ejemplo, el estudio de la trigonometría.

El mayor progreso griego en las matemáticas se dio entre el 200 a. C. y el 200 d. C. Después de esa época el progreso continuó en los países islámicos. Las matemáticas florecieron en especial en Irán, Siria e India. Este trabajo no igualó los avances hechos por los griegos pero su gran mérito ha sido preservar las matemáticas griegas. Desde alrededor del s. XI, Abelardo de Bath y después Fibonacci, llevaron las matemáticas islámicas y sus conocimientos de las matemáticas griegas de regreso a Europa.

La herramienta matemática

La Matemática aparece como herramienta utilitaria en las civilizaciones mesopotámica y egipcia. Posteriormente, en Grecia, aparece con dos aspectos diferentes, uno como herramienta utilitaria y el otro como ciencia ideal para desarrollar la inteligencia y llegar al conocimiento de la verdad. Esta dualidad de la Matemática sigue en plena vigencia actualmente.

Estos dos aspectos de la Matemática representan el aspecto práctico y el teórico o contemplativo, y van a ser, por tanto, inseparables y, según el caso, las necesidades o circunstancias tendrá más fuerza uno u otro. Esto fue el motor que impulsó y sigue impulsando el progreso de la Matemática.

Las matemáticas de la antigüedad eran la aritmética (ciencia de los números) y la geometría (ciencia de las formas y las relaciones espaciales).

Vigilantes del cielo

En este periodo los matemáticos eran grandes vigilantes del cielo.

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En sus inicios el desarrollo de las matemáticas se supeditó al comercio y la agricultura, pero también tuvo vínculos con las prácticas religiosas y el movimiento del cielo. La elaboración de calendarios quedó en manos de sacerdotes-astrónomos y cartografiar los cielos requirió el desarrollo de unas matemáticas especiales.

Como casi todas las antiguas cosmologías eran geocéntricas, el término “planeta” se refiere al Sol, la Luna y los otros cinco planetas más visibles, con Urano y Neptuno descubiertos hace relativamente poco. A lo largo de la historia varias civilizaciones registraron el movimiento de los astros y elaboraron calendarios; todos intentaron conciliar los dos ciclos temporales más importantes: el mes lunar y el año solar.

El mayor logro de este período fue el análisis de los movimientos aparentes del Sol y de la Luna, aspecto esencial para determinar el inicio de cada mes.

La Historia empieza en Sumer

El origen de la civilización tuvo lugar al sur del actual Irak hace unos 5500 años.

Un importante cambio climático del norte de Mesopotamia favoreció la progresiva desecación de las llanuras pantanosas de las desembocaduras del Tigris y del Éufrates, siendo ocupadas por pueblos que vivían en las inmediaciones (3700 a. C.), uno de ellos de origen desconocido, los sumerios, que se mezclan con los anteriores habitantes de la región.

En Sumer los recursos necesarios para la organización económica se acumularon en los templos y fueron administrados por los sacerdotes. Estos administradores no estaban aislados sino que constituían corporaciones permanentes. Por su parte los templos tampoco eran entes aislados

Figura 1: Civilizaciones antiguas.

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porque las deidades generalmente no eran exclusivas de una ciudad así que posiblemente los sacerdotes, de forma parecida a lo que sucedió con los clérigos medievales, tenían una influencia que no estaba limitada a una ciudad sino que se extendía a todo el territorio. Esta soberanía de las mismas deidades sobre todo el territorio seguramente fue el factor que determinó la correlación teológico-política de la uniformidad de la cultura material en la región de Sumer y que luego heredó toda Babilonia.

Los templos en Sumer tenían grandes propiedades de terreno, animales y enormes rentas que aumentaban constantemente, empleando las riquezas para ayudar a los adeptos con préstamos que, por supuesto, eran devueltos incrementados. Los sacerdotes eran los encargados de administrar estos bienes con la consigna de protegerlos y hacerlos crecer dando cuenta a su divino señor del enriquecimiento logrado. Nunca antes la humanidad había tenido entre manos riquezas semejantes concentradas bajo un poder unitario y los sacerdotes tuvieron que afrontar el problema de dar cuentas de ello a su dios. Obviamente ya no podían confiar en su memoria para guardar celosamente tanto detalle, tenían que tener en cuenta que su vida iba a terminar pero no así la de la empresa y la del dios al que servían, y que además cualquier otro sacerdote tenía que estar al tanto de las transacciones para cuando llegara el momento de cobrar las deudas que seguirían vigentes aún después de que el sacerdote muriera. Para registrar los tributos del dios y sus transacciones ya no se podía confiar en los artificios mnemotécnicos, como nudos en el pañuelo, que no resolvían el problema. El ministro de dios tenía a su cargo el registro de cuántas vasijas de granos, de qué calidad y a quién se las había dado como anticipo. Cosas por el estilo debían estar a disposición de todos los sacerdotes para que estuviera garantizado el cumplimiento de los compromisos. Así, las cuentas del templo dieron origen a la escritura como sistema socialmente reconocido de registro que al principio fue solamente un sistema de anotación numérica.

Este primer pueblo que habitó la Mesopotamia desapareció en el tercer milenio a. C. que es el momento en que introdujeron el sistema sexagesimal, sistema que ha perdurado a través de los siglos y ha llegado a nuestros días.

Hacia el 2400 a. C. los acadios invaden Sumeria, y cuatro siglos después los amorreos, nómadas antepasados de los árabes, invaden la región fundando el Primer Imperio Babilónico, todos ellos fueron los antecesores de la cultura babilónica. Esta cultura ve su fin con la invasión de los asirios quienes tuvieron importancia en matemática, importancia que culmina con la creación de la Biblioteca de Nínive en el s. VII a. C. La traducción de las tablillas, que comenzó en el siglo anterior, demostró que tenían una cultura matemática importante y en algunos casos hasta sorprendente. Se han encontrado depósitos de tablillas, aparentemente en bibliotecas, e incluso una de las colecciones pertenecía a una escuela en la que se dictaban distintas materias y esas tablillas bien podrían ser textos que utilizaban para la enseñanza de la matemática. En las tablillas se nota un interés didáctico, contienen tablas de sumar, de multiplicar, de dividir, tablas de cuadrados y raíces cuadradas, de cubos y raíces cúbicas y hasta sumas de cuadrados y cubos de un mismo número. Esto último lo hacían porque les permitía resolver algunos casos especiales de ecuaciones cúbicas y sistemas de ecuaciones lineales a veces con 5 o más incógnitas. Esto tiene mucha importancia porque en occidente aparecen en el 1500 y estamos hablando de varios miles de años antes de Cristo. Comparando con lo que sabían en Europa en el 1400, los babilonios sabían más de matemática.

Seguramente no sabían más que los griegos de la época de oro, porque Europa olvidó el trabajo de los griegos durante muchos siglos. En las tablillas aparecen también resoluciones de problemas de progresiones aritméticas y geométricas, regla de tres, interés simple y compuesto. Por ejemplo: ¿Cuánto tiempo deber estar depositado un capital a una tasa dada para que se duplique? Los intereses oscilaban entre el 20% y 30% según el préstamo se devolviera en dinero o productos y hay intereses anuales y semestrales. En geometría calculaban áreas de rectángulos, triángulos, trapecios y posiblemente conocían el área del círculo.

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Los asirios serán derrotados en el 612 a. C. por una tribu emparentada con ellos, los caldeos, que crean el Segundo Imperio Babilónico. En 539 a. C. el rey persa Ciro invade Mesopotamia y pasa a formar parte de su imperio hasta que su descendiente Darío III es derrotado por el rey macedonio Alejandro Magno, que conquista Babilonia el 330 a. C.

Matemáticamente hablando, es la época de madurez de la astronomía, y Babilonia el lugar a donde iban a aprender todos los interesados en esa ciencia en toda el área de Oriente Próximo.

Los documentos más primitivos sobre matemática son de los babilonios y de los egipcios. No quiere decir que sean los únicos pueblos que tenían conocimientos de matemática, pero sí fueron los únicos que dejaron escritos matemáticos que llegaron a nuestros días. Los babilonios, por ejemplo, y en general todos los pueblos que se ubicaron en la Mesopotamia, tenían el sistema de escritura sobre tablillas de barro cocido, lo que hizo que perduraran hasta nuestros días. Los egipcios escribían sobre piedra y papiro. Tales papiros fueron utilizados para rellenar algunas momias, y esto ha permitido que esos documentos llegaran a nuestros días. El papiro más antiguo que ha llegado hasta nosotros es el llamado Papiro Rhind.

Otros pueblos, como los hindúes por ejemplo, escribieron sobre bambú y esto ha hecho que desapareciera la documentación por lo que no se tiene constancia de sus conocimientos acerca de la matemática.

Actividades 1. Solución de ecuación algebraica sin álgebra. Las matemáticas en la época de la cultura Babilónica, que se extiende entre los años 2000 y 539 a. C., estaban llenas de recetas para realizar cálculos y resolver problemas prácticos. Estas recetas no explicaban las razones o demostraciones por los que esos procedimientos eran eficaces. Una de esas recetas era la de cómo resolver una ecuación de segundo grado. Un ejemplo: “Encontrar el lado de un cuadrado si el área menos el lado es 870” Los pasos para su solución los escribían así (con la salvedad de que aquí la numeración es la nuestra, no el sistema cuneiforme que empleaban):

- Toma la mitad de 1: 0.5 - Multiplícala por sí misma: 0.5×0.5=0.25 - Suma esto a 870: 870+0.25=870.25 - Eso es el cuadrado de 29.5 - Suma 0.5 a 29.5: 29.5+0.5=30. Ese es el lado del cuadrado.

Lo extraordinario de esta receta es que se puede generalizar a cualquier ecuación de segundo grado, y lo que es aún más extraordinario es que los babilonios no conocían el álgebra, por lo que no la usaron para deducir estos pasos. ¿Cómo entonces llegaron a esa solución? Empleando la geometría. Simplemente tuvieron que conocer cuál es el cuadrado de un binomio o cómo es su visualización geométrica. Veamos esto último con otro ejemplo: “Encontrar el lado de un cuadrado si el área más dos lados es 24” Podemos representar el enunciado con un dibujo: La dimensión del lado del cuadrado y la altura de los rectángulos a su derecha, es la dimensión

desconocida, y la anchura de estos últimos rectángulos y de los cuadraditos pequeños es la unidad.

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Si recolocamos los dos rectángulos a los lados del cuadrado, tenemos un cuadrado de lado una unidad más que el inicial, al que le falta un cuadradito de lado 1. Si añadimos ese cuadrado unidad, a

ambos lados de la ecuación: Entonces ahora tenemos a la izquierda un cuadrado completo y a la derecha 25 cuadraditos unidad, que si los reorganizamos:

Se hace entonces evidente que la solución es 5–1=4 De ahí que la solución propuesta en las matemáticas babilónicas sea así:

- Toma la mitad de 2: 1 - Multiplícala por sí misma: 1×1=1 - Súmala a 24: 24+1=25 - Eso es el cuadrado de 5 - Resta 1 a 5: 5–1=4. Ese es el lado del cuadrado.

Tarea: construye una regla general (en este sentido de ‘receta’) para resolver cualquier ecuación de segundo grado. Es decir, escribe los pasos necesarios para resolver el problema general: “Encontrar el lado de un cuadrado si el área más/menos ‘a’ veces el lado es ‘b’” En notación algebraica: x2 ± ax = b, o: x2 ± ax – b = 0.

Los geómetras del Nilo

Siendo una civilización que duró cuatro mil años, los egipcios dejaron pocas evidencias matemáticas. Exponen un método para calcular la superficie de un triángulo rectángulo, todos sus cálculos están basados sólo en sumas y fracciones unitarias (1/2, 1/3,…).

A diferencia de Mesopotamia, Egipto está limitado por desiertos, por lo cual la civilización egipcia se desarrolla en un ambiente mucho más aislado que la mesopotámica. Tenemos tres grandes etapas, el Imperio Antiguo (2778-2260 a. C.) durante el cual se construyen las pirámides, se establece la escritura, florecen las artes y la medicina y aparece la religión solar; el Imperio Medio (2000-1785 a. C.) durante el cual se progresa mucho en astronomía y aparecen los documentos matemáticos más importantes; y el Imperio Nuevo (1785-333 a. C.).

Los egipcios hicieron de la matemática una forma eficaz de resolver problemas prácticos, el hecho más importante de la vida egipcia era la inundación anual del Nilo, que al tener lugar con una frecuencia constante, hizo que los egipcios inventasen el calendario solar con un año de 365 días y

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los obligaba a dominar métodos de determinar, temporada a temporada, la división de las tierras. Tenían instrumentos muy precisos para la medición astronómica, como relojes de sol y plomadas para determinar la altura de un astro. Eran además verdaderos maestros en el arte de la edificación.

Destaca el tamaño increíble de los números que manejan los egipcios ya en época muy antigua (1 200 000, 400 000,…). El sistema de numeración jeroglífico es decimal, acumulativo (no utilizan un símbolo para representar, por ejemplo, tres cosas, sino que repiten tres veces el símbolo de la unidad de que se trate) y no posicional (es decir, no conocen el sistema de unidades, decenas, centenas,…). La suma no presenta problemas, y la resta la efectuaban a ojo, viendo cuánto le faltaba a uno de los números para alcanzar el otro.

Lo más característico del sistema egipcio es su forma de multiplicar y dividir, y su manejo de las fracciones.

Los egipcios usan exclusivamente las llamadas fracciones unitarias, que son las que tienen como numerador la unidad, con la excepción de ⅔. Para repartir por ejemplo, dos panes entre cinco personas, ellos dividen cada pan en tres partes (habría solución exacta si fuesen 6 personas), entregan un tercio a cada uno de los cinco, y dividen el tercio restante en cinco partes.

Los griegos consideraban a los egipcios como los creadores de la geometría. Ésta se consideraba más bien una especie de aritmética aplicada, con fórmulas de áreas y volúmenes dadas sin deducción.

Ejemplo: Un triángulo tiene 10 varas de altura y 4 varas de base. ¿Cuál es su superficie?

Solución, toma la mitad de 4 (o sea, 2), para hacer su rectángulo. Multiplica 10 por 2. Esa es su superficie.

Calcularon el área del círculo mediante una fórmula mucho mejor que la de todos los pueblos antiguos.

Ejemplo: Un campo circular tiene 9 varas de diámetro. ¿Cuál es su superficie?

Debes sustraer de 9 su novena parte: queda 8. Ahora tienes que hacer 8 veces lo que quedó, es decir 8: sale 64. Esa es la superficie.

Egipto fue visitado por Tales y Pitágoras, grandes admiradores de la cultura egipcia.

El Papiro Rhind, el documento egipcio más antiguo que trata de matemática, es una colección de unos 85 problemas sobre fracciones, ecuaciones simples, progresiones, medición de áreas y de volúmenes. Las matemáticas de los egipcios eran sobre todo primitivas y complicadas. En el papiro Rhind se observan sus procedimientos de cálculo engorrosos y también la tenacidad que ponían al resolverlos, pero en ningún caso muestran una imaginación notable ni interés alguno por las generalizaciones. Estos hombres fundamentalmente prácticos y nada inclinados al logro científico consiguieron de todos modos escribir en un papiro allá por el 1700 a. C. el planteamiento y la solución de una colección de problemas que un contemporáneo nuestro de cultura media tendría dificultades para resolver.

A pesar del avance en el cálculo y la resolución de problemas, toda esta elaborada herencia de los pueblos antiguos, no pasa de ser una colección de recetas sin intención alguna de sistematización científica.

Actividades 2. La cuerda de 12 nudos. Las crecidas periódicas del rio Nilo inundaban los campos colindantes al margen del mismo, haciendo desaparecer las lindes de los terrenos o destrozando el cultivo. La tierra era repartida, en trozos cuadrados del mismo tamaño entre cada uno de los que pagaban renta. Si la tierra de un

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contribuyente se inundaba y su cosecha se estropeaba, se calculaba la pérdida y pagaba renta en proporción a la cosecha salvada de la catástrofe.

El agrimensor era el encargado de establecer las lindes de los terrenos, para ello utilizaban, según se pudo apreciar en murales que datan de más de tres mil años, una cuerda con 12 nudos equidistantes para poder trazar sobre el terreno el triángulo rectángulo de lados: 3, 4 y 5. La terna (3, 4, 5) fue usada en las construcciones y especialmente en las pirámides, y es conocida como triángulo egipcio. Pero debido a que Pitágoras y sus condiscípulos fueron los que demostraron la generalidad de la relación entre los lados del triángulo, hoy lo conocemos como el triángulo pitagórico. La figura muestra el triángulo pitagórico más elemental que existe

con estas condiciones. 3. Aritmética egipcia.

En la técnica egipcia de la multiplicación, 46 x 26 se obtiene así:

Entonces el producto de 46 x 26 = 1196. Justificar la técnica.

China

La civilización china se desarrolló en las riberas del Changjiang (Yang Tse) y del Huang He (Río Amarillo) durante el legendario reinado Xia en el segundo milenio a. C., y empezó a perder lentamente su influencia al ser derrocada por los invasores Zhou, en el s. VIII a. C. Esto hizo que, a partir del año 400 hasta el 200 a. C., el imperio se empezara a desintegrar para convertirse en un mosaico de Estados Feudales.

Cada sociedad de aquel tiempo se articula en torno a diversos valores, objetivos y estructuras, tanto socio-económicas como religiosas y de creencias. Durante los siglos en que las matemáticas chinas se van constituyendo como una herramienta cada vez más elaborada y de indudable utilización en la práctica, en los que la dinastía Zhou rige los destinos de un amplio

territorio, cuando el emperador Qin constituye un poderoso y autoritario Estado al que sucede la dinastía Han, menos despótica y cruel, pero igualmente autoritaria hasta deshacerse hacia el s. III d.

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C., la ocupación fundamental en el territorio chino es la confrontación bélica entre los distintos reinos.

Podemos situar en este período el primer texto puramente matemático, el Zhoubi saunjing (el Canon de los cómputos gnomónicos de la dinastía Zhou), conocido como el de las guerras entre Estados.

Al estado feudal que caracteriza el tiempo de los Zhou le sigue la emergencia, después de grandes y desoladoras guerras, del reino Qin. La base de su preponderancia será la fuerza militar pero, detrás de ella, una capacidad organizativa extremadamente eficaz y una utilización máxima de recursos minerales, así como la desarticulación del modelo feudal heredado y el apoyo en una riqueza que será básica: la agricultura. Para ampliar la producción se construirán caminos, canalizaciones que amplían el territorio irrigado por las aguas de los grandes ríos y se trasladan poblaciones enteras a territorios improductivos. Junto a ello se constituirá un estado centralizado y fuertemente burocratizado donde la Administración del mismo ejercerá una poderosa y constante influencia.

En este sentido, las Matemáticas son una ciencia instrumental que permitirá a la numerosa clase de funcionarios la medida de los campos y su productividad, la imposición de tasas, la organización de ejércitos suficientemente armados y aprovisionados. La guerra, desde el tiempo de los Qin, ya no será llevada a cabo por una minoría noble sino por grandes masas de hombres que han de organizarse y a la que hay que dotar de todos los medios necesarios para el combate.

Las primeras obras conservadas, el Suan shu shu y el Jiuzhang suan shu, son obras que no aportan teoría alguna. Tal como sucede en otras culturas de la Antigüedad, estos textos se conforman como un conjunto de problemas que comparten temática o métodos de solución. Son textos fundamentalmente pedagógicos que se utilizaban en la formación de los futuros funcionarios de la Administración estatal, mostrando una serie de problemas con sus soluciones y el método que se debía seguir para alcanzarlas.

Estos métodos se presentan como un conjunto de reglas cuyo seguimiento garantiza la respuesta buscada con la limitación, en algunos casos, de no constituirse como procedimientos generales ni utilizar herramientas abstractas en demasía. Sin embargo, es conveniente notar que los conceptos que subyacen bajo estas reglas son curiosamente actuales y en gran parte se siguen enseñando hoy en día de un modo semejante en la escuela primaria o secundaria.

Una de las tradiciones más notables dentro de la matemática china son los comentaristas, estudiosos de los contenidos de cálculo o geométricos, que actualizan las obras clásicas para conocimiento de los estudiantes de aquel momento permitiéndose explicar, ampliar y corregir incluso los métodos que han heredado.

Liu Hui, funcionario del s. III d. C., cuyos comentarios sobre el clásico Jiuzhang (Nueve Capítulos sobre el Arte de Cálculo) alcanzan un grado de notable complejidad e ingenio para su época, hasta el punto de que algunos de los problemas originales que propuso llegaron a integrar un volumen aparte, materia de estudio desde entonces. Nos referimos al Haidao Suanjing, o Manual Matemático de la Isla del Mar. Es una obra donde se aúna la tradición de la observación y medida militares de las distancias lejanas junto a unos métodos sistemáticos que utilizan la semejanza de triángulos de un modo muy notable.

Matemáticos destacables:

Tsu Chung Chi: Nació en el año 430 y murió en el año 501 d. C. Mediante cálculos que ignoramos (su obra se ha perdido) adjudica el valor 355/113 para el número π. Es una aproximación buena con seis cifras exactas, y no fue superada en Europa hasta el s. XV.

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Chu Shih Chieh: Vivió entre los s. XII- XIV y escribió Introducción a los estudios matemáticos, libro que ejerció una notable influencia en China y Japón. Pero su obra más importante fue Espejo precioso de los Cuatro Elementos. Los cuatro elementos a los que alude el título son el cielo, la tierra, el hombre y la materia; y representan las cuatro incógnitas de una ecuación. Este libro representa el cenit del álgebra en China. En él aparece el llamado triángulo aritmético, conocido en Occidente

como el triángulo de Pascal.

Actividades: 4. Cuadrados mágicos Un cuadrado mágico consiste en una distribución de números en filas y columnas, formando un cuadrado, de forma que los números de cada fila, columna y diagonal suman lo mismo. Ejemplos:

Los cuadrados mágicos tienen su origen en China, donde eran conocidos varios siglos antes de Cristo. Según cuenta la leyenda, el primer cuadrado mágico fue revelado al emperador Yu a través de una tortuga divina que apareció en el río Luo, que lo llevaba grabado en su caparazón. Este Emperador reinó en el s. XII a. C.

Este cuadrado es conocido con el nombre de Luo Shu, escritura del río Luo. A pesar de ello se cree que los cuadrados mágicos no son anteriores al s. IV a. de C. De la China pasaron al Japón, al Sudeste asiático, a la India y de allí a Arabia. Al mundo occidental llegó su conocimiento mucho más tarde, a través de los árabes y de los comerciantes y navegantes como Marco Polo. El primer cuadrado mágico del que se tiene documentación en Europa aparece en el grabado Melancolía de Alberto Durero. El apelativo mágicos no es trivial y de ahora, sino que desde su origen

siempre han tenido un significado cabalístico y mágico, utilizándolos como amuletos para buenos o malos encantamientos, asociándoles con la religión, la astrología y la alquimia. El imposible cuadrado de 2x2 se veía como una imperfección, efecto o consecuencia del pecado. Los árabes utilizaron cuadrados de n lados (con n impar) con el número 1 en el centro, número que sería la única representación de Alá. Estudiosos del Renacimiento como Cornelio Agrippa (1486-1535) se interesaron mucho por los cuadrados mágicos, pretendían encontrar en ellos la clave para entender las relaciones entre los astros y también entre los metales entonces conocidos. Bernard Frènicle de Bessy halló los 880 cuadrados mágicos de 4x4 que existen y los presentó en la Academia de las Artes de París en 1676. El buscar métodos para obtenerlos propició el desarrollo de los sistemas de ecuaciones. Actualmente, al estar basada la Ciencia en la observación y la medida, y concretamente las Matemáticas en la demostración, los cuadrados mágicos han quedado relegados a lo que se denomina Matemática Recreativa y no se les da importancia. En realidad se están desaprovechando las excelentes posibilidades didácticas que encierran.

7 2 3

0 4 8

5 6 1

10 7 22

25 13 1

4 19 16

0 +7 -1

+1 +2 +3

+5 -3 +4

2,6 1,1 1,4

0,5 1,7 2,9

2 2,3 0,8

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La matemática en India.

La primera evidencia de matemáticas en Asia se remonta a la civilización Harappan, en el valle del Indo (que discurre por lo que actualmente es Pakistán) cerca del año 3000 a. C. Una civilización urbana, con escritura y arte muy desarrollados, relacionada con la primitiva cultura sumeria. El sistema de numeración que empleaban, muy rudimentario, consistía en palotes reunidos en grupos. Sus documentos parecen estar relacionados con compras y ventas, pesos y medidas, con especial referencia a una avanzada tecnología de construcción de ladrillos.

Alrededor del año 1300 a. C., la cultura Harappan fue destruida por invasores llegados del norte, los indos, rama de los arios que introdujo el sistema social de castas y creó una importante literatura en lengua sánscrita. Esta época se llama védica, por los Vedas, que son los nombres de sus libros sagrados.

Entre los s. VI y V a. C. aparece Buda, la gran figura de la espiritualidad hindú. Por esa época el valle del Indo pasa a formar parte del Imperio Persa hasta que éste es conquistado por Alejandro Magno.

En el s. IV a. C. ya había en la India un sistema de numeración posicional de base diez. Siglos más tarde fue introducido un símbolo para el cero y desde entonces su manera de escribir los números es casi como la nuestra. También debemos a los hindúes el concepto de seno de un ángulo.

El método de multiplicación hindú es similar al método de la celosía, y la prueba del nueve, hoy en desuso pero todavía utilizada hace unos años, tiene muy probablemente origen hindú.

La primera literatura védica (escrituras sagradas del hinduismo) es principalmente religiosa y ceremonial. Los textos más importantes, debido a su contenido matemático, son los apéndices a los Vedas principales, conocidos como Vedantas. Se trata de sutras: cortos aforismos poéticos, peculiares entre los escritos sáncritos, que tratan de dar la esencia de un argumento de la manera más condensada y memorizable posible. Los Vedantas están clasificados en seis campos diferentes; fonética, gramática, etimología, versos, astronomía y rituales. Son las dos últimas materias las que informan de la matemática del momento.

Se puede decir que la matemática griega nació de la filosofía, mientras que la matemática hindú tiene sus raíces en la lingüística.

Matemáticos destacables:

Brahmagupta: vivió durante el s. VII y fue el más grande matemático hindú. Hacia el 628 escribió una obra de astronomía titulada El sistema revisado de Brahma, varios de cuyos capítulos tratan de matemática y contienen importantes novedades. Entre ellas está el teorema del seno, ya conocido por Ptolomeo para las cuerdas, enunciado en lenguaje trigonométrico moderno. También trató las ecuaciones indeterminadas

(3x+5y=60).

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Bhaskhara: vivió en el s. XII, y es el último gran matemático de la India medieval. Su tratado más conocido es el Lilavati, en dónde reunió diversos problemas procedentes de Brahmagupta y de otras fuentes. Entre los problemas más populares del Lilavati están el problema del bambú roto y el problema del pavo real: Un bambú de 32 codos de altura es roto por el viento, de tal manera que su extremo superior queda apoyado en la tierra a una distancia de 16 codos de su base. ¿A qué altura del suelo se produjo la rotura? Un pavo real está posado en lo alto de un poste, en cuya base una culebra tiene su agujero. El ave localiza a la culebra a una distancia del pie del poste igual a tres veces su altura, se lanza sobre ella mientras ésta intenta ganar su nido, y la apresa cuando ambos han recorrido la misma distancia. ¿A qué distancia del agujero tuvo lugar la captura?

El milagro griego

Los griegos provenían del norte y se establecieron entre el mar jónico y el Egeo.

Los griegos fueron los inventores de la ciencia. Aunque no hay acuerdo entre los historiadores sobre la importancia relativa de cada uno de las aportaciones que recibieron los griegos, ninguno duda en referirse al milagro griego al considerar la obra sistemática sobre la base de los conocimientos heredados de Egipto y Oriente. Mostraron un insaciable deseo de aprender de sus más antiguos vecinos y, lo que es mucho más importante, de llevar más allá la sabiduría recibida de los egipcios y los mesopotámicos. Estaban unidos gracias a vínculos culturales más que raciales.

Los griegos estaban acostumbrados a los viajes y algunos fueron educados por magos encargados de su instrucción. El milagro griego consistió en ese salto que dieron entre la técnica utilitaria que recibieron y la matemática científica sistematizada, que nos entregaron. Consiguieron que el pensamiento humano llegara al primer grado de abstracción matemática.

Los pueblos antiguos calcularon áreas de triángulos pero los griegos generalizaron esos cálculos para cualquier triángulo, aunque sea el determinado por tres estrellas, o aun los que todavía no se han dibujado nunca; se ocuparon de definir los entes geométricos con conceptos puramente abstractos y de usar exclusivamente la lógica para obtener las conclusiones, lo cual garantizó la validez general de las demostraciones. Pero más aún, Euclides, en Los Elementos, se ocupó de encontrar la mínima cantidad de principios necesarios y suficientes para definir toda su geometría de forma coherente.

Sería interesante estudiar a través de las obras griegas este paso de la humanidad de la experiencia a la sistematización lógica, pero han quedado muy pocos documentos, se ha perdido la mayoría de los textos y algunos los conocemos sólo por citas o referencias.

Las nociones matemáticas son, para los griegos, puras abstracciones. Las figuras o los números son ideas que existen sólo en el pensamiento y el dibujo es sólo una imperfecta representación. Valoran extremadamente la simplicidad y la armonía de las ideas. La recta y la circunferencia son para ellos las líneas perfectas. Pero lo más notable, lo que inaugura una etapa en la concepción matemática, es que todas las conclusiones son seguidas de una escrupulosa demostración lógica.

La ciencia griega debe mucho al ideal de la armonía y belleza del genio griego, a su preferencia por la ciencia teórica y sin aplicación y su rigor pero también sus maneras artificiales de exponer las cosas, a su restringido campo de estudio y el prejuicio por el infinito que desacreditó a los procedimientos de Arquímedes y obstruyó los de Pitágoras, creando un límite artificial para el desarrollo de la matemática que aún sigue su desarrollo después de muchos siglos.

Los griegos valoraron el orden, la claridad, el rigor, pero se volvieron esclavos de ellos y esto les cerró caminos que podrían haber sido fecundos. Así y todo el paso dado es tan monumental que se ha dicho que sólo Los Elementos de Euclides hubiera bastado para asegurar la gloria de esa

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cultura. Los pueblos de esa época tenían esclavos y si bien es cierto que entre los griegos la esclavitud era más tenue, de todos modos se reservaba a los esclavos toda la actividad manual y artesanal. El concepto que los griegos tenían de los esclavos se ve en Aristóteles, cuando analiza las necesidades de los esclavos y dice que son las que impiden que muera y deje de producir. Lo cierto es que todo esto influyó para que la filosofía de la matemática tuviera un cierto menosprecio por las aplicaciones prácticas de la matemática y hasta se puede decir, sin exagerar, que en la escuela platónica hay una verdadera repugnancia por todo lo que fuera instrumental y operativo. A esta tradición se debe aún en nuestros días la resistencia de algunos profesores de matemática para vincular esta ciencia con las aplicaciones.

Los primeros juegos olímpicos tuvieron lugar en el 776 a. C. Aunque entonces la literatura griega ya se podía enorgullecer de las obras de Homero y de Hesíodo, no sabemos nada de sus matemáticas hasta el s. VI a. C. Lo que sabemos de las matemáticas griegas y de este período suelen ser rumores históricos. No disponemos de fuentes y debemos fiarnos de comentarios escritos mil años después de los acontecimientos que se pretenden describir.

En el s. IV a. C. Atenas fue el centro del mundo intelectual mediterráneo, con la fundación de la Academia de Platón y posteriormente el Liceo de su discípulo Aristóteles. Tanto la Academia como el Liceo fueron importantes centros de enseñanza e investigación matemática. Aristóteles fue tutor de Alejandro Magno. La más importante y singular obra de las matemáticas griegas es sin duda los Elementos de Euclides. A pesar de su fama, poco se conoce de la vida de Euclides. La fama que alcanzó su obra hace olvidar que escribió también obras sobre óptica, astronomía, mecánica y música. Buena parte de los Elementos es un compendio de trabajo no original; no obstante, debemos agradecer a Euclides que recogiera resultados de diferentes fuentes para ponerlas en común en una estructura que ha sido el modelo deductivo y lógico para presentar teoremas y demostraciones. La obra se divide en 13 libros y trata temas de geometría elemental, teoría de números, teoría de los inconmensurables y geometría del espacio. Los Elementos ha sido el libro de texto más influyente de todos los tiempos, traducido y editado para satisfacer los intereses y la cultura de varias civilizaciones.

Hipatia (370-415), hija de Teón de Alejandría es la primera mujer matemática de la que se tiene noticia. Llegó a ser directora de la escuela platónica de Alejandría en los tiempos en los que el creciente poder del movimiento cristiano se hacía cada vez menos tolerante con lo que parecía ser una ciencia pagana o filosofía. Su muerte en manos de una secta cristiana se considera el principio del fin de Alejandría como centro de sabiduría y capital de la matemática griega. Alejandría fue la capital indiscutible de las matemáticas y la astronomía durante casi ocho siglos. Su declinar coincide con uno de los incendios provocado por una turba cristiana. En cuanto a las matemáticas, el centro gravitacional giró su rumbo hacia oriente, hacia Bagdad.

El teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras dice lo siguiente: para un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos lados más cortos equivale al cuadrado de la longitud del lado más largo. Es posible formar tales triángulos con lados de números enteros, siendo el triángulo más conocido el de lados de longitudes 3, 4 y 5. Hay un número infinito de tales ternas pitagóricas, por ejemplo, los triángulos 5, 12, 13 y 7, 24, 25, que ya se conocían de antaño. Hacia el 1800-1650 a. C. los babilonios ya dominaban el teorema de Pitágoras (tablillas babilónicas que contiene

derivaciones de ternas fraccionarias pitagóricas). Pitágoras (580-500 a. C.) se estableció en Crotona, en el sur de Italia y fundó su escuela. Se trataba de una sociedad secreta o de un culto, antes que de una escuela, siendo transmitido el conocimiento sólo a un grupo elegido de iniciados. Los pitagóricos llevaban una vida en comunidad, con un severo código moral que suponía la creencia en la metempsicosis o transmigración del alma, y que exigía ser estrictamente vegetariano. Al no disponerse de documentación escrita de Pitágoras, sólo queda especular si realmente se pueden atribuir los resultados matemáticos a su persona o a sus discípulos. Hay múltiples referencias a los

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pitagóricos que hablan de la prohibición de su maestro de no permitirles publicar, aunque posteriormente esta prohibición se distendió. Una de las enseñanzas clave de la escuela pitagórica era que los números lo eran todo y que nada se podía concebir o conocer sin éstos. Había un número especialmente venerado, el 10 o la tetractys, siendo la suma de 1+2+3+4. Éstos son los números de los puntos necesarios para generar las dimensiones del universo: 1 es el punto sin dimensión y generador de otras dimensiones; se unen 2 puntos para crear una línea que tiene una dimensión; 3 puntos también se pueden unir para crear un triángulo bidimensional; y 4 puntos se unen para crear un tetraedro tridimensional. Aunque el nombre de Pitágoras es célebre debido al teorema, éste ya era conocido en la Antigüedad y se cree que Pitágoras lo aprendió de la civilización Egipcia.

Matemáticos destacables:

Tales de Mileto: (624-548 a. C.) es posiblemente el primer matemático-geómetra griego, considerado uno de los siete sabios de Grecia. Fue el primero en dar demostraciones de varios teoremas geométricos, anticipándose al magnífico sistema deductivo de Euclides. Tanto él como sus sucesores reflexionan sobre el volumen de observaciones y conocimientos acumulados a lo largo de generaciones, tanto en Egipto como en Mesopotamia, y dan el paso de gigante que va de la descripción de los fenómenos a su explicación natural. Tales mostró cómo averiguar la altura de una pirámide simplemente midiendo su sombra, aplicando la

semejanza de triángulos. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Estableció el conocido Teorema de Tales: si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos semejantes. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría. Además de iniciador de las matemáticas en Grecia, fue el fundador de la filosofía como actitud mental más que como rama del saber establecido. Intenta explicar el mundo mediante un principio unificador y generador de todo, el agua.

Pitágoras de Samos: (582-500 a. C.). Fundador de la escuela Pitagórica, cuyos principios se regían por el amor a la sabiduría, a las matemáticas y la música. Establece el conocido Teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que forman el ángulo recto); o bien que en todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Además del teorema anteriormente mencionado, también estableció una tabla de multiplicar. Tanto a Pitágoras como a su escuela se deben las propias palabras matemática, filosofía, cosmos y muchas otras. Sustituye el principio material, el agua, por un principio formal o mental, el número entero. Los pitagóricos se dedicaban abiertamente a la numerología, hasta tal extremo que para concertar un matrimonio entre dos miembros de la comunidad pitagórica había que ver primero cuáles eran sus números asociados y estudiar si dichos números se llevaban bien.

La primera asociación de la realidad con el número surge en el estudio de la armonía musical: los principios por los cuales ciertos acordes y melodías suenan bien y otros suenan mal. Se cuenta que Pitágoras, intrigado ante el hecho de que los golpes que daba su vecino el herrero producían sonidos diferentes, y pensando que eso se debía a la distinta fuerza con la que aquél golpeaba el yunque, se puso a experimentar con objetos más manejables: las cuerdas de un instrumento musical, como la lira o el arpa. Y dedujo que, contra lo que había pensado al principio, la nota emitida por la cuerda al vibrar no dependía de la fuerza con que se tocase sino

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de la longitud de la propia cuerda: si se divide una cuerda en dos partes iguales, pinzándola por el medio, la nota resultante es una octava superior a la de la cuerda completa. Así si la vibración de ésta produce un Do, la de la mitad produce el Do de la escala siguiente, los ⅔ produce el Sol y los ¾ un Fa. Así que se puso a experimentar llegando a una conclusión asombrosa: para que el acorde suene bien, sea consonante, es necesario que la proporción entre las longitudes de las cuerdas venga dada por números pequeños, mientras que si dicha proporción corresponde a números grandes el acorde es disonante, suena mal. Aparece aquí la noción de proporción.

Teano (s. VI a. C.): Miembro de la escuela pitagórica y esposa de Pitágoras, pasó a ser la cabeza de la escuela en el exilio (después de la muerte de Pitágoras en Crotona). Se le atribuyen tratados de matemáticas, física, psicología infantil, medicina y sobre la proporción áurea. Con la ayuda de sus hijas difundió los conocimientos matemáticos y filosóficos en Grecia y Egipto.

Hipócrates de Quíos: (c. 470 a. C.-?) Matemático griego. Precursor de Euclides en diversos temas de geometría, se ocupó especialmente del problema de la cuadratura del círculo y consiguió, con la llamada lúnula de Hipócrates, trazar una lúnula de área igual a la de un triángulo que es mitad de un cuadrado dado. Aplicó el procedimiento denominado «por reducción al absurdo» y escribió Elementos de geometría. Fue el primer profesor de matemáticas al que se pagaba.

Platón: (427/428– 347 a. C.) Prohibida la entrada a todo el que no sepa geometría. Esta frase estaba a la vista en la entrada de la Academia de Platón y muestra el valor que este hombre asignaba a la matemática a pesar de ser fundamentalmente un estudioso de la filosofía. Al igual que Pitágoras, Platón pensaba que las figuras geométricas eran la base del mundo, pero no directamente en un sentido material, sino en un mundo ideal, que él llamó el mundo de las ideas al cual accedemos muy penosamente con el estudio de muchas materias, entre ellas de la geometría. Fue alumno de Sócrates y maestro de Aristóteles.

Euclides: (aproximadamente 365-300 a. C.). Un gran matemático alejandrino considerado como un sabio griego, escribió libros sobre cónicas, óptica, música y también una monumental obra en 13 libros llamada Elementos de Geometría en la que desarrolla en forma sistemática los conocimientos de la geometría de su época: “Todo número se puede descomponer de forma única como producto de factores primos, no existe un número primo mayor que todos los demás, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°, en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de

los catetos, etc.” Los elementos de Euclides son después de la Biblia, la obra que más ediciones ha tenido en todo el mundo y que ha sido traducida a más idiomas y está considerada como el texto matemático más importante de la historia.

Arquímedes: (287-212 a. C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. Diseñó máquinas hechas de poleas que podían levantar los barcos sobre el mar, darles la vuelta y hundirlos, espejos parabólicos, como los faros de los coches actuales, que podían concentrar los rayos solares sobre las naves romanas y quemarlas, pero Arquímedes despreciaba estos inventos. También conocido por una de sus frases: "Eureka, eureka, lo encontré". Su mayor logro fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe. Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que consiste en que todo

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cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja, es el conocido principio de Arquímedes que constituye el origen de la hidrostática, la parte de la física que estudia los líquidos embalsados, esto es, sin movimiento.

Hipatia: (370-415) Hija de Teón, el último director de la Biblioteca de Alejandría, vivió los momentos finales de su esplendor. Enseñó matemáticas, astronomía, filosofía y mecánica; hablaba públicamente con magistrados y discutía en público cuestiones filosóficas. Se le atribuye la frase: “Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”. Su comportamiento y el hecho de ser pagana, discordaba en una sociedad recientemente convertida al cristianismo. Un día que volvía de sus clases, un grupo de gente la golpeó y la arrastró hasta una iglesia donde fue asesinada. La obra de Hipatia se ha perdido,

sabemos de ella por otros autores, que la consideraron neoplatónica y superior en conocimiento a los filósofos de su tiempo. Se sabe que escribió tratados sobre las secciones cónicas, sobre las ecuaciones diofánticas (ecuaciones con soluciones enteras), colaboró con su padre en un tratado sobre Tolomeo y se supone que también en la versión definitiva de los “Elementos” de Euclides.

Vivió durante la época del Imperio Romano en Alejandría, aunque por su formación podemos considerar que era griega, por la ubicación de Alejandría, egipcia y por la época, romana.

Actividades 5. Los matemáticos son gente rara. Más que los matemáticos, y por aquello de no generalizar, los geómetras enamorados de Euclides, o de lo que él escribió. En su libro Elementos, Euclides, o discípulos suyos, demostró enunciados como que con regla (sin numerar) y compás se puede dividir un ángulo en dos partes iguales, que existen infinitos números primos, que existen números irracionales, que se pueden dibujar polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 8, 10 y 12 lados usando solamente regla y compás, etc. Sin embargo hay muchas cosas o construcciones que no demostró, y que a finales del s. XIX se consiguió demostrar que no se podían realizar. Algunas de estas son las siguientes:

- No se puede dividir un ángulo en tres partes iguales (“trisección del ángulo”). - No se puede construir un polígono regular de 7 lados. - No se puede construir un segmento cuya longitud sea la de una circunferencia dada

(“rectificación de la circunferencia”) - No se puede construir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado (”cuadratura

del círculo”) - No se puede construir un cubo cuyo volumen sea el doble de un cubo dado (“duplicación del

cubo”) Por supuesto que todas estas imposibilidades de construcción se refieren a hacerlo con regla (sin marcas, sin divisiones) y compás. Los matemáticos griegos de los tiempos de Euclides sí que podían dividir un ángulo en tres partes iguales empleando ciertas curvas, o cuadrar un círculo utilizando otra curva, pero eso no constituía una demostración para la geometría. ¿Qué es una construcción exacta para un matemático? Cuando un matemático habla de encontrar un valor exacto, un punto exacto, no quiere encontrar la solución a su problema con 10 cifras decimales exactas, ni mil, ni un millón: quiere ‘todas’, en su más amplio e infinito sentido. Quiere saber dónde tiene que colocar el compás con esa precisión infinita (como si la punta del compás, el centro de la circunferencia que va a dibujar, tuviese grosor 0), quiere abrir ese compás con un radio exactamente (con exactitud infinita) igual a la distancia entre dos puntos,… Esto no es lo que ocurre en la realidad. Nunca, para ningún trabajo, necesitamos tener esa ‘infinita’ precisión, ya que podemos conseguir las medidas con la aproximación ‘suficiente’ para nuestro objetivo. Por poner un ejemplo: no necesito conocer ‘todas’ las cifras decimales de π, ya que conozco la cantidad suficiente de decimales de π para poder tener la precisión requerida en los cálculos.

Tema 2. Las Matemáticas a través de la Historia Curso 2014/15

Educación Matemática I 60

¿La geometría de Euclides es útil en el mundo real? La respuesta es depende.

Los tres problemas clásicos de la geometría. En su afán de estudiar la geometría con la única ayuda de estos dos instrumentos, los griegos

se encontraron con tres problemas que fueron incapaces de resolver. Y lo cierto es que nada en su descripción hace sospechar grandes dificultades: la cuadratura del círculo trata de construir un cuadrado con la misma superficie que un círculo dado, mientras que la trisección del ángulo busca dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales. La duplicación del cubo tiene su propia leyenda: en tiempos de Pericles una epidemia de peste estaba diezmando la población. Los atenienses mandaron una delegación al oráculo de Delfos para preguntarle qué podían hacer para aplacar a los dioses. El Oráculo les contestó que debían duplicar en tamaño el altar cúbico dedicado a Apolo. Los griegos se pusieron a la faena y construyeron un altar cúbico con el doble de lado. Pero la peste no cesó. Y es que al doblar el lado habían multiplicado el volumen por ocho, y no era eso lo que se les pedía...

Caprichos divinos aparte, lo cierto es que los problemas descritos no parecen tan difíciles. Sin embargo, los griegos, que sabemos fueron excelentes geómetras, fracasaron en sus intentos de resolverlos. ¿Por qué? Pues muy sencillo: porque no se puede. Literalmente, los tres problemas describen tareas que son imposibles de realizar usando únicamente regla y compás.

Veamos por qué: cualquier operación que realicemos con una regla es equivalente a la resolución de una ecuación de primer grado, mientras que las realizadas con un compás equivalen a resolver ecuaciones de segundo grado, lo cual es lógico, pues con la regla dibujamos rectas, objetos que se expresan mediante ecuaciones de primer grado, y con el compás circunferencias, las cuales se expresan mediante ecuaciones de segundo grado. Dicho de otro modo: con la regla y el compás podemos realizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, y raíces de índice igual a una potencia de dos.

Pero resulta que la resolución de la cuadratura del círculo requiere conocer el valor del número π, que es un número trascendente (es decir, que no se puede obtener como solución de ninguna ecuación algebraica); resulta también que para trisecar el ángulo es necesario realizar raíces cúbicas, y que para duplicar el cubo necesitamos la raíz cúbica de dos. Y como el cálculo de π y de raíces cúbicas no es posible, por lo dicho anteriormente, utilizando únicamente regla y compás, nuestros tres problemas se quedan sin solución.

Y lo más tremendo es que alguno de los resultados que justifican la imposibilidad de estos problemas, como por ejemplo la trascendencia de π, solo se obtuvieron veintitantos siglos después de que se planteasen.

¿Quiere decirse entonces que no podemos resolver unos problemas en apariencia tan sencillos? No: los tres famosos problemas de la geometría griega solo son irresolubles si nos limitamos a la regla sin graduar y al compás. Pero las dificultades se desvanecen cuando podemos utilizar otro tipo de curvas o hacer marcas sobre nuestra regla. De hecho, no todos los griegos se plegaron a dicha limitación, y fueron capaces de resolver los problemas utilizando nuevas y sorprendentes curvas, de las que a continuación vemos algunos ejemplos:

La espiral de Arquímedes: es el lugar geométrico descrito por un punto que se desplaza a lo largo de una semirrecta con velocidad uniforme y proporcional a la velocidad con que esta gira, también uniformemente. El mismo Arquímedes la atribuye a su amigo Conon de Alejandría. Con ella se resuelve la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.

La trisectriz de Hipias: curva inventada por Hipias de Ellis. Permite la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.

Las cónicas: quizá el descubrimiento más importante relacionado con los tres problemas sea el que realizó Menecmo intentando conseguir la duplicación del cubo: las cónicas, curvas que resultan de cortar un cono mediante un plano y que por su importancia merecen su propia historia.

Si ya los griegos los resolvieron, ¿dónde reside la importancia de estos tres problemas? Pues reside precisamente en que, gracias a la limitación de la regla y el compás, los matemáticos se han visto obligados a investigar nuevos campos en busca de nuevas herramientas que los resolviesen o

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de más profundas teorías que explicasen su imposibilidad. Y es que no hay nada como las dificultades para aguzar el ingenio.

De todas formas, no todo han sido aciertos: la aparente sencillez de la cuadratura del círculo ha obsesionado durante siglos a grandes y pequeñas mentes y dado lugar a todo tipo de extravagancias.

Para terminar, una curiosidad: la duplicación del hipercubo tetradimensional podría hacerse con regla y compás, pues en cuatro dimensiones lo que hace falta no es la raíz cúbica de dos, sino la raíz cuarta.

2.3 Las matemáticas en la Edad Media (desde el año 476 hasta el ‘descubrimiento’ de América en 1492).

Los griegos habían dado el gran paso que le dio el carácter de ciencia a la matemática.

Con sus principios generales y sus demostraciones lógicas habían conseguido el primer paso de abstracción del pensamiento matemático. Para el segundo avance hubo que esperar más de diez siglos, a la época de Descartes. Pero, ¿qué sucedió en todo ese tiempo?

Los romanos: compiladores y enciclopedistas

En el s. VIII a. C. fue fundada la ciudad de Roma, y a principios del s. III a. C. ya dominaba toda Italia. A partir de entonces inició una política expansiva que la convirtió en cabeza de un imperio que abarcaba todo el mundo Mediterráneo. Sus legiones llegaron, por el oeste, hasta España, y por el este, hasta Grecia y Asia Menor (lo que hoy es Turquía). La cultura de los griegos fascinó a los conquistadores hasta tal punto que llegaron a considerarse sus herederos y depositarios. Tanto fue así que hoy hablamos del mundo clásico para referirnos a las culturas romana y griega como un todo.

En el año 395 de nuestra era muere el emperador romano Teodosio y divide el imperio entre sus dos hijos. A Honorio le deja la parte occidental, con capital en Roma y a Arcadio la de oriente, con capital en Constantinopla. La antigua unidad imperial queda rota para siempre. El imperio de Occidente duró hasta 476, cuando Odoacro, rey de los hérulos, depone al último emperador de Occidente. El de Oriente, también conocido como Imperio Bizantino, llegó hasta el año 1453 en el que fue conquistado por Mehmet II, emperador de los turcos otomanos. El periodo de tiempo que transcurre entre las caídas de ambos imperios, más de mil años, es lo que habitualmente llamamos la Edad Media. En la mitad oriental la tradición griega se fue manteniendo, mientras que en la occidental, bajo la influencia germánica, sucedió lo contrario.

La decadencia empieza con la dominación romana y, poco a poco, se va acentuando hasta que desaparece totalmente la matemática en la Edad Media. Los romanos, mezcla de abogados y militares, no se ocuparon de la ciencia porque su actitud no era contemplativa sino práctica.

En el año 529 el emperador romano Justiniano cerró las escuelas filosóficas paganas incluyendo la Academia de Atenas. Tocaban a su fin mil años de matemática griega y muchos estudiosos tomaron el camino hacia el este, a las más fértiles tierras intelectuales del imperio persa. Doscientos años antes, Constantino el Grande había hecho del cristianismo la religión oficial del mundo romano y había trasladado el centro del poder de Roma a Bizancio, conocida también como Constantinopla, la actual Estambul. La educación preservó un canal de aprendizaje científico en las escuelas religiosas y en los monasterios. El currículum de las siete artes liberales se estableció durante el imperio romano. Estaba dividido en trívium formado por la gramática, la retórica y la lógica, y quadrivium formado por la geometría, la aritmética, la astronomía y la música.

La Edad Media Cristiana, con su rigidez, no tiene dudas de que el mundo fue creado para el hombre y el hombre para Dios. Esta falta de duda provoca la falta de curiosidad, de inquietudes,

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imprescindible para el desarrollo de la ciencia. Así no sólo se desconoció a los griegos sino que los matemáticos sabían menos que el escriba Ahmés, autor del Papiro Rhind del s. XVII a. C.

De la geometría lo único que queda en los libros de texto son los cinco postulados de Euclides y el enunciado de unos pocos teoremas. La matemática se refugia en los conventos en donde, por la necesidad de determinar el Día de Pascua, se exige que haya siempre un fraile capaz de calcular el calendario. Cuando Carlomagno busca formar cierto centro cultural invita a su corte al sabio más distinguido de la época que había escrito un libro dedicado al cultivo del genio de los caballeros cuyo contenido puede compararse a un manual de ingreso a la escuela secundaria de nuestra época.

De este modo aparecen los compiladores y enciclopedistas, estudiosos medievales pioneros en recoger y divulgar lo poco que de la ciencia griega había sobrevivido.

Matemáticos destacables:

Severino Boecio: (480-524). Tuvo cargos políticos importantes, pero caído en desgracia por razones no del todo claras, fue ejecutado tras una larga detención. Probablemente el personaje más destacado que produjo la matemática en el mundo romano, fijó los textos estándar para cada una de las ramas que formaban el quadrivium. Escribió una Aritmética, una Geometría y una Astronomía.

Casiodoro: (490-565). Tuvo cargos políticos y murió en un monasterio que él mismo había fundado. Fue discípulo de Boecio y es autor de una Aritmética que resume la de su maestro. Su mayor mérito estriba en haber iniciado a los monjes de su monasterio en el estudio y copia de textos antiguos. Esta actividad se convirtió en cosa muy corriente en los monasterios medievales, y esto fue algo importantísimo para la conservación de la cultura.

San Isidoro: (570-636). Vivió en España cuando estaba gobernada por los reyes visigodos. Arzobispo de Sevilla y protegido del rey Sisebuto, escribió una enciclopedia en veinte tomos, las Etimologías, en cuyo libro tercero, dedicado a las matemáticas, dice que los números deben ser estudiados, entre otras razones, porque sin ellos no se entienden muchos pasajes de las escrituras.

El Renacimiento Carolingio

En el s. IV, un pueblo germánico, los francos, había cruzado el Rin hacia el oeste sin que Roma pudiera evitarlo. La mayor parte de ellos, dirigidos por la familia de los merovingios, se estableció en las Galias. El más importante representante de esta dinastía es Clodoveo, quien vivió entre los s. V y VI, y fue el verdadero fundador del reino franco. Durante el s. VII, los reyes merovingios fueron suplantados en las tareas de gobierno por sus mayordomos. Uno de estos mayordomos, Pipino el Breve, desposeyó del trono al último merovingio y se proclamó rey. Su sucesor, Carlomagno, reavivó la idea de imperio, nunca olvidada del todo, lo que le llevó a seguir una política expansionista. El día de Navidad del año 800, Carlomagno fue coronado en San Pedro como emperador de los romanos por el papa León III.

Por la necesidad de mantener la unidad del imperio, Carlomagno precisaba de funcionarios con una cierta preparación. Por estas y otras razones, promovió y animó los estudios, creó la Escuela Palatina en Aquisgrán y renovó las escuelas monásticas, dando lugar así al llamado Renacimiento Carolingio. Para esta tarea buscó en otros países hombres preparados que no encontró entre los francos.

Matemáticos destacables:

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Alcuino de York: (735-804). Entre esos hombres que buscaba Carlomagno estaba este inglés a quien encargó la dirección de la Escuela Palatina. A Alcuino se debe una obra matemática para la juventud que es una colección de unos treinta acertijos y proposiciones de aritmética y geometría. Es la primera obra escrita de matemática recreativa. Como ejemplo:

En un camino hay un perro, y a 150 pies una liebre. El perro corre para cazar a la liebre, pero cada vez que avanza nueve pies, la liebre avanza siete. ¿Cuántos pies recorre el perro hasta capturar a la liebre?

La distancia entre ambos es 150 pies. La mitad de 150 es 75. Para resolverlo, Alcuino razona de esta manera: el perro avanza nueve pies por cada dos que se acerca a la liebre, y nueve veces 75 son 675. Estos son los pies que el perro recorre antes de atrapar la liebre. Y porque siete veces 75 son 525, estos son los pies que recorre la liebre antes de ser atrapada.

La casa de la sabiduría

En el s. VII d. C., nació en la península arábiga una nueva religión monoteísta que se iba a extender por todo el mundo cristiano y el persa: la religión musulmana. Pretendía fundar la nueva Alejandría en Bagdad y crear en ella un observatorio astronómico, una biblioteca y un centro de investigación llamado La casa de la sabiduría, al estilo de la antigua biblioteca de Alejandría. En ella trabajaron los que entonces eran los mejores matemáticos del mundo, y allí fueron traducidas al árabe obras de Ptolomeo, Euclides, Galeno, Hipócrates y Dioscórides.

En las ciencias matemáticas árabes observamos la influencia de ideas babilonias, hindúes y griegas. Su capacidad de síntesis y de desarrollo proporcionó una obra fundamental, especialmente en álgebra y trigonometría. Los árabes son, pues, los responsables de la difusión del sistema de numeración decimal hindú, de preparar el terreno para el posterior desarrollo del álgebra y de adoptar una forma sistemática para la trigonometría.

Pero en Oriente se produce una explosión a través de los hindúes y de los árabes. El pueblo hindú no tenía los prejuicios de los griegos, así que se lanzaron a desarrollar la aritmética y el álgebra dejando de lado la geometría. Se preocuparon por la practicidad de las conclusiones y no temían al infinito, así que operaron en forma más simple que los helenos pues no se ocupaban tanto de la justificación como de los resultados. Hicieron un descubrimiento aparentemente modesto, el cero, que les dio la posibilidad de manejar un sistema de numeración posicional y hacer cuentas de modo diferente.

Esto, que parece sólo un detalle, hizo avanzar enormemente al cálculo y la aritmética empezó a perder la desventaja que en Grecia había tenido con la Geometría.

Los musulmanes, que gozaban por entonces de gran poder, tuvieron el mérito de sintetizar los descubrimientos de los sabios griegos y de los calculadores hindúes. En la Alta Edad Media tuvo lugar el paso de la ciencia del mundo árabe al cristiano. Los árabes creían firmemente en el Corán, que dice que conseguirían el paraíso si morían en el campo de batalla, pero también dice que es tan importante la sangre del guerrero que muere en la guerra como la tinta con la que escribe el sabio. Así, mostraron un profundo respeto por la ciencia que les permitió trasvasar la cultura de los pueblos que conquistaban.

Dice la leyenda que un Califa después de haber sometido a un pueblo, pidió como botín todos los libros griegos que había en la ciudad. A comienzos del s. XI prácticamente no había matemáticos en el Occidente cristiano y hasta los de la España musulmana eran de escasa importancia. Pero a comienzos del s. XIII Occidente ya tenía por lo menos un matemático original.

Los árabes fueron ciertamente los iniciadores del álgebra aportándole, para empezar, su nombre. Se dedicaron a resolver problemas prácticos y quisieron obtener resultados rápidos. A menudo descuidaron el rigor y comprendieron rápidamente que para tener éxito no es necesario tener siempre ante los ojos la significación de los entes con los que se opera, es decir que se manejaban cómodamente con los símbolos matemáticos. Se comprende entonces la dificultad de los

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griegos para recorrer el camino que llevó a los árabes al desarrollo del álgebra y el desprecio que sintieron por sus propios calculadores, como Diofanto, por ejemplo. El álgebra de los árabes culmina su máxima perfección con Omar Khayyam en el s. XI.

Matemáticos destacables:

Mohammed ibn-Musa al-Jwarizmi: (780-850). Fue miembro de la Casa de la Sabiduría. Escribió una Aritmética en la cual se expone el sistema de numeración posicional mediante cifras hindúes, y a continuación se explica cómo nombrar los grandes números usando los conceptos de unidad, decena, centena y millar que se acababan de definir. 1 180 703 051 492 863: un mil de mil de mil de mil y de mil, y un ciento de mil de mil de mil y de mil, y ochenta de mil de mil de mil y de mil, y setecientos de mil de mil y de mil, y tres mil de mil y de mil, y cincuenta y uno de mil y de mil, y cuatrocientos mil, y noventa y dos mil, y ochocientos sesenta y tres.

La época de los traductores

El occidente europeo, distanciado del saber griego desde la división del imperio romano, volvió a recuperarlo a través de versiones árabes. Esto hizo que a partir del año 1000 la tarea más urgente para los sabios de toda Europa fuera la de traducir del árabe al latín, que era entonces la lengua internacional de la ciencia, como ahora es el inglés. Los centros más importantes de encuentro entre las culturas árabe y latina estuvieron en España y en Sicilia.

En 1085, el rey castellano Alfonso VI toma Toledo, haciendo retroceder la frontera árabe hasta el Tajo. Muchos de sus habitantes eran bilingües, y algunos judíos eran trilingües. Alfonso era un rey tolerante y favoreció un clima de amistosa convivencia entre las tres religiones presentes en la ciudad. Gracias a esto, Toledo se convirtió en un lugar de encuentro con la ciencia musulmana, y mediante ella, con gran parte del saber griego e hindú. Allí se funda la Escuela de Traductores de Toledo, donde acudían intelectuales de origen cosmopolita.

Por otro lado, Sicilia fue arrebatada a los árabes en 1091 por Roger Guiscardo, un caballero normando. Su hijo, Roger II, fundó el Reino de las Dos Sicilias, que había de perdurar hasta 1860. Los normandos se encontraron con una población marcada por las culturas latina, griega y árabe, y respetaron este ambiente cosmopolita y políglota. De este modo, Sicilia fue otro centro, el segundo en importancia de Europa, de intercambio entre las culturas islámica y cristiana.

La expansión de la cultura tuvo que superar muchos obstáculos, entre otras cosas, por la escasez de material: el papiro procedente de Egipto desapareció de Europa; el pergamino fabricado con pieles desengrasadas y pulidas de animales era carísimo, lo cual originó que en los monasterios rasparan pergaminos escritos para volverlos a aprovechar. A veces, es posible descubrir la escritura primitiva, palimpsestos, que suele ser más interesantes que la sobrepuesta. Esta situación de escasez se remedió con el papel que, procedente de China, trajeron los árabes a España, donde era ya corriente en el s. XI.

El s.XII va a marcar un hito importante en el renacimiento de los estudios; el bienestar material se vio acompañado, en el mundo occidental, por un deseo de saber que se generalizó en sectores de la nueva clase social ascendente, la burguesía, de tal forma que a finales del s. XII se ve a todas luces que las escuelas episcopales son totalmente insuficientes y van a surgir otros centros de estudios que pasarán a ocupar el principal papel dentro del campo cultural; estos centros de estudios fueron las Universidades, creadas bajo la jurisdicción eclesiástica o real. Una de las más importantes fue la de París, fundada a principios del s. XII y modelo para la mayoría.

Durante la etapa final del s. XIV, comienza a aparecer un cierto interés por la observación y la experimentación, que si no hubiera sido por el escaso ambiente intelectual reinante, posiblemente se hubieran llevado a cabo algunos avances científicos. A los matemáticos les falta soltura tanto en el álgebra como en la geometría.

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El hombre que inicia la matemática occidental en el mundo cristiano es Fibonacci, en el s. XII. Cuando el mundo cristiano, en los s. XIV y XV, descubrió esta nueva disciplina, el álgebra, no tenía la audacia de los árabes ni la de los hindúes y no pudo desembarazarse de los prejuicios teóricos heredados de los griegos, así que el período de maduración continuó.

Matemáticos destacables:

Leonardo de Pisa: (1180-1250). Más conocido como Fibonacci, es el más importante matemático medieval. Su padre fue un mercader italiano con intereses en el norte de África, que le inició en asuntos de negocios y contabilidad mercantil, lo cual despertó en él un interés por las matemáticas que iba mucho más allá de sus aplicaciones prácticas. Estudió bajo la dirección de un maestro árabe y recorrió Egipto, Siria, Grecia y Sicilia. Tuvo ocasión de conocer el sistema de numeración

indo-árabe, del cual se convirtió en un acérrimo defensor. Realizó importantísimas aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números. La obra más importante de Leonardo es El libro del ábaco. Frente a los que empleaban el ábaco y la vieja notación romana, demuestra las ventajas de las cifras hindúes. En el libro se habla del uso de las cifras y del cálculo con los números enteros, se enseña la descomposición de un número en factores primos, se demuestran los criterios de divisibilidad y se da a conocer la prueba del 9. Aparecen en él problemas de álgebra de primer grado que resuelve por medio de procedimientos aprendidos de los árabes, pero hay uno que destaca sobre los demás, y son muchos los matemáticos que han trabajado sobre él y que siguen trabajando, y es rara la revista matemática que no le haya dedicado alguna vez un artículo. El problema es el siguiente:

¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que

produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?

El número de parejas que hay al terminar cada mes es una sucesión en la que cada término

es la suma de sus dos precedentes.

Naturalmente, la sucesión puede prolongarse indefinidamente, no hay más que sumar el

último y penúltimo elemento para obtener el siguiente; es la famosa sucesión de Fibonacci.

Leonardo no llegó a sospechar las curiosas propiedades de esta sucesión (dos términos

consecutivos de la sucesión son primos entre sí, etc.), ni que habría de ser objeto de estudio por

parte de muchos matemáticos posteriores. Además, en el triángulo aritmético, el que aparece

en Espejo precioso de los Cuatro Elementos del matemático chino Chu Shih Chieh, está escondida

la sucesión de Fibonacci.

Actividades

6. Un torneo matemático y una colección de problemas En cierta ocasión pasaba por la ciudad de Pisa el emperador Federico II, allá por el año 1225, y quiso conocer al célebre sabio que en ella vivía. Dos filósofos de su séquito, Juan de Palermo y Teodoro, concertaron un encuentro. Además, organizaron un torneo matemático para que Federico comprobara que la fama de Leonardo no carecía de fundamento. Para ello le plantearon tres problemas y el pisano los resolvió. Los tres problemas fueron los siguientes:

a) El primero, encontrar un número cuyo cuadrado, al sumarle o restarle cinco, dé otros cuadrados. Leonardo parte de la siguiente identidad (a veces conocida como de Fibonacci):

Si pudiéramos dar con dos números enteros m y n tales que el problema tendría solución entera. Pero se puede demostrar (es cosa inmediata) que no existen tales números,

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de modo que habremos de conformarnos con soluciones racionales. Dividimos ambos miembros de

la igualdad por y resulta:

Si , necesariamente es múltiplo de cuatro y . La última

identidad se transforma en . Uno de los factores del primer miembro ha de

ser múltiplo de cinco. Pongamos , y entonces . El primer valor de n que

hace que sea un cuadrado es . En consecuencia, , y el número buscado es el siguiente (y es fácil comprobar que, efectivamente, cumple las dos condiciones):

b) En el segundo problema se trata de hallar un número x para el cual , utilizando para ello el libro X de los Elementos de Euclides. En él se da una clasificación de los segmentos de la forma (con m y p racionales):

, , ,

Leonardo demostró que la solución no puede ser racional, ni tampoco ninguno de los irracionales

antes señalados. Después encontró una solución aproximada, que en notación actual es

, y que fue la mejor aproximación de una raíz irracional de una ecuación algebraica conseguida hasta el momento.

c) El tercer problema es la historia de tres hombres que se reparten al azar un capital. A continuación, el primero aporta a un fondo común la mitad de su porción, el segundo un tercio y el tercero un sexto. Después hacen con el fondo tres partes iguales, y cada cual toma una para sí. ¿Cuánto tuvo cada uno en el primer reparto, si la cantidad final fue, para el primero, la mitad del capital inicial, para el segundo la tercera parte y para el tercero la sexta parte?

Leonardo toma como incógnita auxiliar una de las tres partes en que se ha dividido el fondo

formado por las fracciones de las partes tomadas al azar. Si éstas son y , y el capital total es c, tenemos las ecuaciones:

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2.4 Las matemáticas en la Edad Moderna (desde el ‘descubrimiento’ de América hasta la Revolución francesa en 1789).

Los años transcurridos entre 1337 y 1453 fueron malos para Europa. La Guerra de los Cien Años asoló Francia e Inglaterra y terminada ésta, la guerra civil de las Dos Rosas acabó de devastar Inglaterra. La Peste Negra provocó una caída demográfica que hizo retroceder las actividades agrícolas y comerciales. Los campesinos estaban descontentos y los nobles pretendían mantener unos derechos feudales ya indefendibles. Los artesanos y mercaderes de las ciudades culpaban a los que las regían del estancamiento de la vida económica y, frente a ellos, apoyaron a los príncipes en Italia y en el resto de Europa a los reyes, que de este modo se convirtieron en símbolo de los intereses de sus súbditos.

Las cosas empezaron a cambiar hacia la segunda mitad del s. XV, y sucedieron tres cosas importantes. La primera, que las monarquías salieron fortalecidas de las crisis y pudieron garantizar una cierta estabilidad política, la cual, a su vez, facilitó el desarrollo científico. La segunda, la desesperada situación de Constantinopla, asediada por los turcos, que hizo que muchos estudiosos bizantinos vinieran a Occidente llevando consigo manuscritos griegos. De este modo se tuvo acceso a unos textos hasta entonces ignorados o solo conocidos en versiones árabes. La tercera, la invención de la imprenta que abarató y popularizó los libros. Estas circunstancias y algunas más marcan un período histórico que hoy conocemos con el nombre de Renacimiento.

Con todo, pocos podían en el s. XV entender las obras de Arquímedes y Apolonio, así que la recuperación del saber griego fue en principio menos importante que la impresión de las traducciones latinas de tratados árabes, más elementales y asequibles.

Los grandes adelantos matemáticos en Europa se iniciaron a principios del s. XVI con Pacioli y después Cardan, Tartaglia y Ferrari con la solución algebraica de ecuaciones cúbicas y cuárticas, de hecho, la más valiosa aportación de la matemática, un campo de estudio más en la tradición arábigo-medieval que en la griega. Copérnico y Galileo revolucionaron las aplicaciones de las matemáticas en el estudio del universo. El progreso en el álgebra tuvo un importante efecto psicológico y el entusiasmo por la investigación matemática, en particular del álgebra, se extendió desde Italia a Stevin en Bélgica y Viète en Francia.

Durante el s. XVII, la aritmética, la geometría y el álgebra se unificaron para originar una nueva rama matemática: la Geometría Analítica, la cual, mediante un sistema de coordenadas, permite poner nombre a cada punto del espacio con un conjunto de números, y consigue convertir las formas geométricas en ecuaciones y viceversa. Esta nueva rama abrirá camino a ramas de matemáticas superiores reunidas en la palabra Análisis, que en general abarca la aritmética, el álgebra, el cálculo infinitesimal (cálculo diferencial e integral), la teoría de funciones reales y complejas, así como la teoría de ecuaciones diferenciales.

El s. XVII vio también a Napier, Briggs y otros ampliar enormemente el poder de las matemáticas como una ciencia para calcular, con el descubrimiento de los logaritmos. Cavaliere hizo progresos hacia el cálculo con sus métodos infinitesimales y Descartes añadió el poder de los métodos algebraicos a la geometría.

El avance hacia el cálculo continuó con Fermat, quien, junto con Pascal, inició el estudio matemático de la probabilidad. Sin embargo, el cálculo sería el tema de mayor relevancia que evolucionó en el s. XVII.

Newton, edificando sobre el trabajo de muchos matemáticos anteriores a él, como su maestro Barrow, convirtió al cálculo en una herramienta que impulsó el estudio de la naturaleza. Su trabajo era rico en nuevos descubrimiento que mostraban la interacción entre las matemáticas, la física y la astronomía. La teoría de la gravedad de Newton así como su teoría de la luz, nos llevan hasta el s. XVIII.

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Debemos mencionar también a Leibniz, cuyo acercamiento mucho más riguroso al cálculo (a pesar de no ser aún totalmente satisfactorio), puso las condiciones para la labor matemática del s. XVIII más que el de Newton. La influencia de Leibniz sobre los muchos miembros de la familia Bernoulli fue importante para hacer crecer la fuerza del cálculo y la variedad de sus aplicaciones.

Galileo, que vivió parte del s. XVI y XVII, definió a la Matemática como la ciencia necesaria para conocer el mundo, ya que según él, el libro de la Naturaleza está escrito en lenguaje matemático, cuyos caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales no es posible entender una palabra y se andaría como en un laberinto oscuro. Esta idea de Galileo sobre la Matemática alcanza su plenitud con el descubrimiento del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz, en los s. XVII y XVIII. Este sorprendente descubrimiento permitirá estudiar el movimiento, lo cual facilitará el estudio de todos los fenómenos físicos, sobre todo en los que el movimiento o la transmisión desempeñan un papel esencial.

El matemático más importante del s. XVIII fue Euler quien, además de trabajar en toda una variedad de ramas de las matemáticas, inventó dos nuevas: el cálculo de variaciones y la geometría diferencial. Euler también impulsó la investigación sobre la teoría de números que había iniciado tan eficazmente Fermat.

La perspectiva renacentista El Renacimiento es el nombre dado al amplio movimiento de revitalización cultural que se

produjo en Europa Occidental en los s. XV y XVI. El despertar del aprendizaje clásico se alió con un deseo de ir más allá de lo meramente imitativo y explorar nuevos estilos, ideas y líneas de investigación. Las relaciones entre el arte y la trigonometría, y el uso de la perspectiva, ilustran estas nuevas ideas.

Matemáticos destacables:

Piero de Benedetto dei Franceschi: (1416-1492). Piero era hijo de un acomodado mercader de Sansepolcro, cerca de Florencia, y posiblemente con la intención de entrar en el negocio familiar estudió matemáticas en una de las muchas escuelas prácticas de la Italia de entonces. Mostró talento, pero decidió ser el aprendiz de un artista local. Su combinación única de habilidades hacen de Piero uno de los pocos personajes capaces de pertenecer tanto a los anales de la matemática como a los del arte. Fue el primero en utilizar el efecto de la perspectiva en las pinturas; y una de sus innovaciones en la geometría es el redescubrimiento de

los cinco sólidos de Arquímedes.

La matemática para la commonwealth (mancomunidad).

El s. XVI en Europa trajo la promesa de posibilidades infinitas, se produjo el florecimiento del Renacimiento italiano de tradición humanista, combinando la reverencia por la antigüedad con una nueva confianza en la libertad personal y la educación. Europa también miraba hacia fuera de sus fronteras, al resto del mundo, y los viajes marítimos de descubrimiento, las conquistas y los negocios se incrementaron. La navegación requería cartas precisas de los océanos y los cielos, los negocios una eficiente exactitud, y las matemáticas no eran lo suficientemente avanzadas. El álgebra, la trigonometría, las proyecciones geométricas, los logaritmos y el cálculo estaban a punto de expandirse o de hacer aparición.

Las matemáticas eran parte de la formación escolástica en los monasterios con el quadrivium formado por la aritmética, la geometría, la música y la astronomía. Pero la servil reverencia a los textos antiguos y los estrechos requerimientos matemáticos de las autoridades eclesiásticas aseguraron las limitaciones de los logros de esta tradición escolástica. El término mathematicus era utilizado para señalar tanto a los matemáticos como a los astrólogos. Aunque todavía no existía nada parecido a los matemáticos profesionales, el crecimiento económico en

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Europa supuso la necesidad de un espectro amplio de individuos que pudieran manejar asuntos financieros y comerciales. Estos puestos eran ocupados por hombres pertenecientes a gremios y talleres más que por universitarios. En el Renacimiento, los hijos de las clases mercantiles recibían una sólida educación matemática elemental en las escuelas o en los talleres. Fue ahí donde el uso de los números indo-arábigos empezó a ser popular. En los negocios internacionales, los mercaderes trataban con diferentes sistemas de medidas y de peso y manejaban las transacciones en diferentes monedas, por lo que necesitaban un método eficiente de cálculo para evitar errores. En 1494, Luca Pacioli publicó su Summa, ahora conocido como el primer libro de prácticas contables con doble contabilidad, aunque también era un compendio de las matemáticas útiles de ese período, incluyendo aritmética, álgebra o geometría. Durante este período la notación aún era incierta, con fracciones expresadas todavía con notación sexagesimal o fracciones unitarias. Las fracciones decimales se hicieron populares en el s. XVI, aunque las sexagesimales persistieron en los cálculos astronómicos y fue Napier quien hizo famoso el punto decimal.

La tendencia a escribir en la lengua vernácula local antes que en latín propició que los libros de matemáticas fueran accesibles para un público más extenso, aunque al mismo tiempo frenó su expansión debido a barreras lingüísticas.

Matemáticos destacables:

Robert Recorde: (1510-1558). Fue, probablemente, el primero en popularizar las matemáticas. Escribió el primer libro de texto en su inglés nativo y su trabajo sobre aritmética, El territorio del

arte, se siguió publicando hasta ciento cincuenta años después. La mayoría de estos libros fueron escritos en forma de diálogo, e incluían diagramas y ejemplos para ahondar en su voluntad pedagógica; en muchos sentidos, se trataba de un curso de aprendizaje a distancia. Su trabajo más citado es The Whetstone of Witte un texto

de álgebra elemental en el que encontramos el primer uso del signo que equivale a igual: =.

John Napier: (1550-1617). No era un matemático profesional sino un terrateniente escocés, barón de Murchiston (Edimburgo), y pasó gran parte de su vida administrando sus tierras. Pero encontró el tiempo necesario para escribir sobre una gran variedad de temas y también se inmiscuyó en la teología antipapista. A Napier se le adjudican dos invenciones que facilitaron en gran medida los cálculos: los huesos de Napier (hoy conocidos por las Regletas de Napier) y los logaritmos. Los huesos de Napier estaban hechos de marfil, y parecían huesos. Se utilizaban para

multiplicar, dividir, hacer raíces cúbicas y cuadradas de forma mecánica. Para multiplicar, los huesos se colocaban lado con lado y se leían los productos de las cantidades utilizadas. Napier también encontró expresiones exponenciales para funciones trigonométricas, e introdujo la notación decimal en las fracciones.

Actividades

7. Un reto Si crees que el descubrimiento matemático es fácil, entonces aquí hay un reto para hacerte pensar. Napier, Briggs y otros presentaron los logaritmos al mundo hace casi 400 años. Estos fueron usados durante 350 años como la principal herramienta en los cálculos aritméticos. Un increíble esfuerzo se ahorró usando logaritmos: ¿de qué otra forma podrían haberse hecho los pesados cálculos necesarios para las ciencias sin los logaritmos?. Pero entonces el mundo cambió, apareció la calculadora de bolsillo. El logaritmo sigue siendo una importante función matemática, pero su uso para hacer cálculos se ha ido para siempre. Aquí está el reto. ¿Qué reemplazará a la calculadora? Napier inventó los conceptos básicos de una computadora mecánica al mismo tiempo que los logaritmos. Las ideas básicas que nos llevarán a reemplazar a la calculadora de bolsillo están sin duda entre nosotros.

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Podemos pensar en calculadoras más rápidas, más pequeñas o mejores, pero lo que se pide es algo que sea tan diferente de una calculadora como la calculadora misma lo es de las tablas de logaritmos. Piensa en ello y date cuenta de lo difícil que fue inventar las geometría no-euclidianas, los grupos, la relatividad general, la teoría de conjuntos, ... .

El matrimonio del álgebra y la geometría.

Desde la antigua Grecia las matemáticas se habían dividido en dos ramas principales: la geometría y la aritmética, una relacionada con las magnitudes o el espacio, la otra con los números. Su separación nunca había quedado realmente clara, simplemente unas culturas dieron más importancia a una rama u otra según sus intereses particulares. El desarrollo del álgebra y su relación con la geometría quedaría ilustrado a través de la historia de la solución de la ecuación cúbica, que según la notación moderna se escribiría ax3+bx2+cx+d=0.

La solución a las ecuaciones cúbicas y a las de orden 4, fue publicada por primera vez en 1545 por Girolamo Cardano (1501-1576) en su Ars magna. Sin embargo, Cardano reconoce no ser el descubridor de la fórmula que resuelve la ecuación cúbica, ni tampoco de la que resuelve la cuártica. La primera solución real provenía de Scipione del Ferro (1465-1526), profesor de matemáticas en Bolonia, que no la público pero sí la reveló a uno de sus discípulos antes de morir.

En Europa, el desarrollo del álgebra corrió paralelo al uso de los nuevos números indoarábigos. Era necesario reformar la base del álgebra para que adquiriera su independencia y la obra de Descartes fue la que lo consiguió. El cambio a una manera de investigación puramente geométrica llegó con la publicación de La Géométrie de René Descartes (1596-1650). Planteó el álgebra como un método que ayuda a razonar con cantidades abstractas e indeterminadas. A pesar de su nombre, La géométrie es esencialmente un matrimonio entre el álgebra y la geometría, lo que ahora conocemos como Geometría Analítica. El trabajo prueba las equivalencias entre las construcciones geométricas y las manipulaciones algebraicas, y las curvas se describen mediante ecuaciones.

Matemáticos destacables:

René Descartes: (1596-1650). Fue un filósofo, matemático y científico francés. Era fundamentalmente un filósofo y aunque su libro se llama La géométrie (tercer y último de los ensayos que figuran como apéndices de su célebre Discurso del método) lo que hizo fue desarrollar un álgebra que usó para plantear la geometría. Es el creador de la Geometría Analítica en la que, con números y ecuaciones se obtienen las propiedades de las figuras. Para Descartes el objeto de la matemática no tiene valor porque no colabora en la explicación del universo. Consigue que la matemática se haga mecánica, fácil

y no requiera esfuerzo del espíritu. La producción se vuelve automatizada, industrializada, sólo es necesario combinar elementos entre sí todo lo que se quiera. Para él, el álgebra es el método de la ciencia universal. Al aplicar el método algebraico a la geometría prevé el importante papel del álgebra y del cálculo en el desarrollo científico. Como no se interesa por la belleza y la armonía de lo que estudia y se concentra sólo en un método abstracto de combinaciones lógicas de elementos indeterminados, René Descartes rompe claramente con el ideal griego y así abre nuevas perspectivas a las matemáticas del futuro. Queda atrás el ideal de la ciencia contemplativa para dar paso al ideal de la ciencia constructiva.

Pierre de Fermat: (1601-1665). Fue un destacado jurista y matemático francés. Si en la Geometría de Descartes la aplicación del álgebra a la geometría parece más bien como un método, en Fermat, esa aplicación se presenta más naturalmente como un recurso técnico. Fermat, no obstante sus ocupaciones oficiales de magistrado, dedicó con tanta eficacia su tiempo libre

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Educación Matemática I 71

a la matemática que dejó honda huella en varias de sus ramas. Profundo conocedor de las obras clásicas griegas: Euclides, Apolonio, Diofanto, es probable que el estudio de Apolonio, de quien reconstruyó obras perdidas, tuviera como consecuencia la memoria Ad locos planos et solidos isagoge, escrita antes de 1637 pero publicada póstumamente en 1679, donde aparecen los principios fundamentales del método de las coordenadas, si no en forma tan extensa como en la Geometría de Descartes, por lo menos en forma tan clara o más. Desarrolló métodos para encontrar tangentes en cualquier punto de una curva polinómica, así como para establecer sus máximos y sus mínimos. Se dedicó a varias ramas de la matemática, y de una de ellas puede considerarse iniciador, la Teoría de números, campo en el cual dejó demostraciones y teoremas, algunos de los cuales llevan hoy su nombre. Además la segunda rama matemática que tiene a Fermat de fundador o cofundador con Pascal es el Cálculo de probabilidades cuyos primeros problemas resueltos en el s.XVII nacieron en las mesas de juego y fueron propuestos por el caballero De Méré a Pascal, quien a su vez los propuso a Fermat; sin olvidar que el primer libro sobre juegos de azar se debe a Cardano.

Blaise Pascal: (1623-1662). Fue un matemático, físico, filósofo y teólogo francés, considerado el padre de las computadoras junto con Charles Babbage. Fue un científico precoz, que aún niño redescubre, sin libros ni ayuda alguna, los primeros teoremas de geometría y que a los 16 años contribuye al resurgimiento de la geometría mediante un teorema básico que hoy lleva su nombre. Pero según propia confesión, ese teorema y otras propiedades de las cónicas que componían su Essay pour les coniques escrito en 1640, le habían sido

inspirados por Girard Desargues, geómetra a quien conoció en las reuniones científicas que se celebraban en la celda del padre Mersenne y que más tarde dieron lugar a la creación de la Academia de Ciencias de Francia (1666). También fue iniciador del cálculo mecánico, pues a los 18 años construyó una máquina de calcular que más tarde Leibniz mejoró. Junto con Fermat resuelve los primeros problemas del Cálculo de probabilidades. Los problemas propuestos, hoy clásicos, son el problema de los dados y el problema de las partidas. El primer problema consistía en demostrar que en 4 tiros con un solo dado es más probable que salga un 6 que el caso contrario; y que en cambio, en 24 lanzamientos con dos dados, es menos probable que salga un doble 6. En el segundo problema había que averiguar cómo debía distribuirse la bolsa entre dos jugadores de igual habilidad si se suspendía el juego antes de terminarlo y se conocían los puntos logrados por cada jugador en el momento de la suspensión. En forma distinta, aunque con resultados concordantes, Fermat y Pascal resolvieron la cuestión. Formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, que se denominó como Teorema de Pascal y que él mismo llamó Teoría matemática de la probabilidad. Con su contribución al cálculo de probabilidades se vincula un folleto de 1654 sobre el Triángulo aritmético, donde aparecen los números combinatorios con su expresión general y algunas de sus propiedades.

Actividades 8. Vamos a ver cómo se resuelve la ecuación de grado tres. Tomando cualquier ecuación de tercer grado: , dividiendo por el coeficiente de , siempre podemos imaginar que éste es un 1: .

Lo primero que se ha de hacer es sustituir por y resulta lo siguiente:

Esta nueva ecuación, más abreviadamente, la podemos escribir así: Sabiendo ya que cualquier ecuación cúbica es equivalente a otra sin sumando de grado dos, podemos limitarnos a resolver ecuaciones que tengan este aspecto más simple. Y lo vamos a hacer con el siguiente ejemplo: Descomponemos la incógnita en suma de otras dos, poniendo en lugar de la y resulta:

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Educación Matemática I 72

. Desarrollando el cubo y agrupando términos semejantes, llegamos a:

. Esto último sucede si y . Si en la segunda igualdad dividimos por elevamos al cubo, llegamos a que . Ahora bien, si sabemos la suma y el producto de dos números, éstos son soluciones de la ecuación de segundo grado , y nosotros conocemos la suma y el producto de y

. Entonces y son raíces de la ecuación , la resolvemos y resulta que y . En consecuencia:

. Y ya tenemos la solución de la raíz cúbica. Para comprobar si has entendido el procedimiento anterior resuelve la ecuación:

9. La entrada de los números complejos. Rafael Bombelli, otro algebrista italiano, tuvo una experiencia muy curiosa con la ecuación

Aplicó el método anterior, y llegó a la ecuación: y calculó sus

raíces:

Las raíces de los números negativos carecen de significado entre los números reales. Pero Bombelli

no se arredró por eso y siguió adelante con ellas como si lo tuvieran. Entonces la solución de la

ecuación cúbica sería:

+

Ahora bien, por tanteo encontró que la solución era 4. Entonces le llevó a escribir lo siguiente:

+

¿Qué quiere decir esto? Quiere decir que unas cuentas hechas con números que no tienen sentido

pueden llevar a un resultado que sí tiene sentido. Como esto era un poco extraño, se empezó a

pensar en la necesidad de dotar de algún significado a las raíces cuadradas de los números

negativos. Todo esto desembocó, con el tiempo, en la creación de los números complejos.

El universo mecánico y la revolución copernicana.

Pero en el Renacimiento, además de una revolución en el álgebra, tuvo lugar otra revolución científica mucho más espectacular que afectó al hombre de la calle y alteró su manera de ver el mundo.

En el s.XVI el Almagesto de Ptolomeo era aún fuente principal de información sobre las órbitas planetarias. El tosco sistema ptolemaico de epiciclos y deferentes había sobrevivido con diferentes formas durante casi dos mil años, probablemente debido a que las tablas trigonométricas utilizadas y los datos de observación reconocidos no eran tan precisos como para destacar sus profundas imperfecciones. Las matemáticas estaban ahí para salvar el fenómeno, no para explicarlo; así esta teoría astronómica se iba haciendo más complicada según se iba modificando para ponerla de acuerdo con las nuevas observaciones, cada vez más precisas. La revolución que iba a tener lugar removió, casi literalmente, el Cielo y la Tierra y un aspecto crucial de esta revolución fue el papel de las matemáticas. Quienes dieron salida a esta revolución fueron Nicolás Copérnico, Tycho Brahe, Johannes Kepler y Galileo.

Matemáticos destacables:

Nicolás Copérnico: (1473-1543). Nació en Polonia. Estudió primero en la Universidad de Cracovia y después en las de Bolonia y Padua. Enseñó durante algún tiempo en Roma hasta

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volver a su tierra natal, donde recibió las órdenes sagradas, y en 1510 fue nombrado canónigo. Leyendo obras griegas tropezó con la idea de Aristarco según la cual era la Tierra la que se movía alrededor del Sol. Tuvo la suficiente sagacidad para tomarla en serio y la necesaria habilidad matemática para elaborarla cuidadosamente. Copérnico mantuvo la esfera de las estrellas fijas, pero la dejó quieta (su aparente movimiento se explica por la rotación de la Tierra) y colocó al Sol en su centro. En círculos concéntricos con él se mueven los

planetas, de tal modo que los más cercanos giran a más velocidad. Fue el primero en proponer el modelo del universo heliocéntrico, y su sistema

copernicano explica el movimiento anual del Sol en relación a las estrellas. La idea de Copérnico, sin ser original, tuvo el mérito de explicar fenómenos concretos, pero aceptó sin discusión la necesidad que veían los griegos de explicar los movimientos celestes por medio de círculos y esferas, lo cual le obligó a mantener algunos restos del sistema ptolemaico. Esto le desanimó en parte, pero no por ello desistió en sus investigaciones. Hasta el año de su muerte no vio la luz su famoso libro Sobre la revolución de las esferas celestes.

Tycho Brahe: (1546-1601). Fue un astrónomo danés de familia noble. Mientras aprendía lo que necesitaban los hijos de la nobleza para ocupar cargos públicos, estudiaba por su cuenta matemáticas y astronomía. Al acabar su formación se instaló en Copenhague y con sus propios recursos construyó allí un observatorio astronómico. Hizo importantes descubrimientos sobre una estrella lo que le granjeó la estima de Federico II de Dinamarca, quien le proporcionó una renta que le permitiría dedicarse a sus investigaciones y mandó hacer para él, en la isla de Hween, un

observatorio con el mejor instrumental. Al morir éste tuvo problemas con otros nobles y se trasladó a Alemania donde continuó con sus investigaciones. Propuso un sistema que combinaba el de Ptolomeo y el de Copérnico, que salvaba las apariencias y no planteaba problemas a quienes creyeran en la veracidad literal de los relatos bíblicos. Fue un extraordinario y riguroso observador, realizó medidas muy precisas y también fue el primero que introdujo la refracción de la luz como un problema a tener en cuenta en las observaciones astronómicas.

Galileo Galilei: (1564-1642). Fue un astrónomo, filósofo, matemático y físico italiano, cuyo principal logro fue crear un nexo de unión entre las matemáticas y la mecánica. Mostró interés por casi todas las ciencias y artes (música, literatura, pintura). Inventó el termómetro y desarrolló el telescopio y microscopio. En 1609 empezó sus famosas observaciones con su recién inventado telescopio lo que le destinó a ser profesor vitalicio en Padua. Publicó Sidereus nuncius (el mensajero de las estrellas). Sus observaciones revelaron que la Luna no era perfecta, una esfera de suave superficie, sino que estaba cubierta de montañas, que el planeta Venus tenía fases como la Luna y que Júpiter tenía su propio sistema de satélites.

Galileo se convirtió en el matemático de los Médicis. Fue elegido, en Roma, para la Accademia dei Lincei, la primera sociedad científica del mundo, y agasajado por los jesuitas. Se convirtió en una estrella mediática y, como prefería escribir en lengua vernácula antes que en latín, sus trabajos fueron ampliamente conocidos en Italia. Como arrogante ególatra, Galileo cosechó riqueza y prestigio, pero cuando desaparecieron las ayudas, se quedó con muy pocos amigos en los círculos académicos. Galileo había prometido no tratar el copernicanismo bajo ningún pretexto, pero en 1632 contravino su promesa publicando el Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo. Se trataba de un manifiesto copernicano y contenía gran número de ataques velados a algunos de los más poderosos teólogos del momento. El Vaticano le obligó a renegar de sus opiniones y fue sometido a un virtual arresto domiciliario y se le prohibió publicar y enseñar de nuevo. Durante sus últimos años de vida, Galileo todavía pudo escribir Consideraciones y demostración matemáticas sobre las dos ciencias nuevas, que se sacó secretamente de Italia y fue publicado en Leiden. Aquí vuelve al tema de la mecánica, que había

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sido su inspiración inicial, y a su análisis de la aceleración. Fue el descubridor de la ley de la isocronía de los péndulos y que la trayectoria que describía un proyectil era una parábola.

Johannes Kepler: (1571-1630). Nació en la ciudad alemana de Weil. Fue discípulo de Tycho Brahe y aceptó sin reservas el sistema copernicano. Su mala vista le impidió ser un buen observador pero fue un fecundo teórico. Estaba convencido de que los planetas se movían según unas leyes sencillas, y que a ellas se podía llegar usando los datos aportados por Brahe. Comenzó por Marte y elaboró algunas hipótesis combinando movimientos circulares uniformes y, al no tener éxito, abandonó definitivamente la tradición e introdujo movimientos no uniformes y no circulares. En esto fue extraordinariamente valiente, y fue mucho más allá de

Copérnico. En su libro Nueva Astronomía, publicado en 1609, dio a conocer sus dos primeras leyes:

1. El planeta Marte se mueve según una órbita elíptica en uno de cuyos focos está el Sol.

2. El radio vector que une al Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta segunda ley implica que la velocidad del planeta es mayor en el perihelio (cuando está más cerca del Sol) que en el afelio (cuando está más lejos).

En 1619 sabía ya que estas leyes regían también para los demás planetas y enunció además su tercera ley:

3. El cuadrado del tiempo que tarda un planeta en completar su órbita es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.

Algunos historiadores opinan que Copérnico fue el último científico de la Antigüedad y Kepler el primero de la modernidad.

Matemática en movimiento.

A principios del s. XVII, creció el interés por generar diferentes curvas y descubrir sus longitudes, las áreas y los volúmenes generados al hacerlas rotar. Este interés provenía de toda una variedad de intereses mecánicos tanto a nivel estático como dinámico. Establecer matemáticamente el centro de gravedad de un objeto era importante al preocuparse por su estabilidad y éste, obviamente, era uno de los temas esenciales de materias como la arquitectura o la construcción de barcos. Poco a poco se empezó a pensar que los métodos que implicaban números indivisibles o infinitesimales, en cierta forma producían resultados correctos de manera más sencilla a como lo hacían los métodos geométricos.

Los matemáticos ya no pudieron evitar el tratar con los conceptos de infinitud e infinitesimales, las Escila y Caribdis de la matemática griega. Kepler utilizó métodos infinitesimales al calcular el área que formaba un planeta en una órbita elíptica. También calculó el volumen de un tonel de vino al utilizar infinitamente muchas partes infinitesimales. Galileo creía en la existencia real del infinito, citando como ejemplo el círculo como un polígono con un infinito número de lados. Bonaventura Cavalieri (1598-1647), un alumno de Galileo y profesor de matemáticas en Bolonia publicó un voluminoso tomo de casi 700 páginas, sobre los métodos para encontrar áreas y volúmenes. Su Geometria indivisibilibus continuorum analiza diferentes métodos de indivisibles, manipulando áreas como si éstas estuvieran compuestas por líneas indivisibles y volúmenes como si estuvieran compuestos por áreas indivisibles. Pierre de Fermát (1601-1665) desarrolló métodos para encontrar tangentes de cualquier punto de una curva polinómica, así como para establecer sus máximos y sus mínimos. Así como entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos, son necesarios infinitos números para ponerle un nombre a cada uno de ellos, es decir, una coordenada. Trabajar con ese infinito hacia adentro de la recta requiere perder el prejuicio que los griegos tenían por los irracionales. Como sucedió para tantos otros contenidos, cuando el pensamiento humano estuvo listo, surgió más de un matemático que lo manifestó.

Esquema de la 2ª Ley de Kepler

Esquema de la 1ª Ley de Kepler

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En esta etapa se da comienzo a una nueva época en la que el álgebra sistematizada por Descartes se efectúa con combinaciones finitas y el análisis sistematizado por Leibniz lo hace con combinaciones infinitas, aunque ambos derivan de un mismo espíritu.

Todo este conjunto de métodos de precálculo pronto formó parte de una nueva rama de las matemáticas: el Cálculo Infinitesimal, cuya invención se adjudica a Isaac Newton y Gottfried Leibniz, protagonistas de este avance que dio origen a la Cinemática y a la Dinámica.

En el s. XVIII se consolidan las nuevas ramas de la matemática y se construyen nuevas teorías, pero lentamente se había llegado a cuestiones cada vez más complicadas que carecían un poco de alcance. El trabajo matemático evidencia la necesidad de cosas nuevas.

Esta manera diferente de trabajar provoca a fines del s. XVIII la aparición de las matemáticas modernas.

Matemáticos destacables:

Isaac Newton: (1642-1727). Newton es sin duda uno de los grandes entre los más grandes científicos de la humanidad. Algunos lo consideran el más trascendental entre sus contemporáneos con lo que la época de la aparición del Cálculo infinitesimal, y de la Geometría Analítica es llamada por algunos época newtoniana. Fue uno de los pocos matemáticos que gozó de gloria, dinero y poder a causa de su obra científica y su nombre fue tan famoso en vida como después de su muerte. Su obra científica comprende tres grandes temas y sus aportaciones son tan geniales que cualquiera de ellas hubiera bastado para

asegurar su gloria. Desarrolló revolucionarios trabajos de óptica y mecánica, y en matemática es uno de los padres del Cálculo Infinitesimal. Isaac Newton nació sin padre en la Navidad de 1642 en Inglaterra. No puede decirse que fue un niño prodigio, ya que en su infancia mostró la aplicación a los estudios que puede esperarse de cualquier chico y si bien se sabe que construyó algunas máquinas, como un reloj de sol y cosas por el estilo, no se puede presumir que haya puesto en ello más ingenio y dedicación que cualquier chico de esa edad que usa un mecano para jugar. A los dieciocho años fue enviado a Cambridge sin expectativas extraordinarias, se cree que por ser un estudiante con la capacidad suficiente, pero también porque no mostraba aptitudes especiales para la labor del campo. Así que en 1661 ingresó en la Universidad con el claro propósito de que el estudio le permitiera en el futuro ingresar en la Iglesia, que era la manera típica de llegar a forjarse una posición. De los dos primeros años de su estadía en Cambridge no se sabe nada. Pero hubo un profesor que advirtió sus condiciones extraordinarias: fue Barrow, excelente matemático y profesor lucasiano1 en esa época. Newton tenía ya 21 años cuando Barrow lo animó para que profundizara sus estudios de matemática y lo dirigió hacia el estudio de la óptica. El respeto que Barrow sentía por Newton lo llevó a consultarlo como a un colega al publicar una de sus obras ya en 1669, y hasta le pidió que se hiciera cargo de revisar las pruebas.

En 1665 Newton se graduó y como se declaró en Londres una peste, cerrándose la universidad como medio de proteger a las personas que allí vivían, Newton tuvo que pasar un tiempo en su tierra natal: Woolsthorpe. Esa época, en la que tuvo mucho tiempo libre y mucha tranquilidad, fue muy fecunda para Newton y le permitió redondear las investigaciones que había empezado en las últimas épocas de Cambridge. En este tiempo de su vida se observa una actitud de gran interés por la ciencia, lo que le permitió llevar a cabo sus más geniales

1) El profesor Lucasiano es el titular de la Cátedra Lucasiana de Matemáticas de la Universidad de Cambridge.

El cargo fue fundado en 1663 por Henry Lucas, miembro del parlamento inglés por la Universidad entre 1639 y 1640, y establecida oficialmente por Carlos II en 1664. Lucas, en su testamento, ordenaba que el profesor que ocupase esta cátedra tenía que dar por lo menos una clase de matemáticas a la semana, y habría de estar disponible dos horas semanales para resolver las dudas de los alumnos.

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descubrimientos, porque Newton era decididamente neurótico y necesitaba esos impulsos temperamentales para producir. El pintoresco y famoso episodio de la caída de la manzana con el que tradicionalmente se asocia a Newton, ocurrió precisamente en esta época que pasó en su casa natal. Existen dos versiones de la leyenda: en una de ellas se dice que al ver cómo caía la manzana del árbol, Newton comprendió que era la Tierra la que tiraba de la manzana; la otra asegura que el matemático estaba cavilando sobre qué poder mantenía a la Luna en su órbita, y cuando la manzana cayó le hizo pensar en que podría ser la misma fuerza gravitatoria, adecuadamente disminuida por la distancia, la que actuaba sobre la manzana. Lo cierto es que para cuando volvió, a los 24 años, ya tenía claros los fundamentos del cálculo, la naturaleza de la luz blanca y la gravitación universal, los tres temas que le dieron la inmortalidad.

En 1669 Barrow le cedió su cátedra de matemática, la cátedra lucasiana. Y para esa época Newton dedicó parte de su tiempo a dictar unas conferencias sobre óptica en las que exponía ya sus conclusiones revolucionarias. Parece, según las crónicas, que casi nadie asistía a estas charlas sobre óptica. Toda su producción científica se desarrolló en este tiempo y hasta 1688 aproximadamente. La característica constante de sus producciones es la genialidad y el ostracismo. Creaba sus teorías y no las publicaba. No le gustaba dar a conocer sus descubrimientos. Todo hace suponer que odiaba ser evaluado por los demás y temía desproporcionadamente el plagio de sus ideas. Tenía una manera especial de plasmar sus descubrimientos: intuía las teorías y cuando las "sabía", entonces trabajaba en la demostración; lo genial en él era su intuición.

Hacia 1675 ya había realizado el grueso del trabajo sobre óptica (publicado en 1704) y en los años que siguieron hasta 1687, aproximadamente, trabajó en mecánica pero pasó un considerable tiempo entre la elaboración de sus ideas y la preparación de la obra que las contenía y que le dio su mayor fama: Principia. Su obra matemática responde claramente al ideal griego antiguo de cuyos métodos Newton era un maestro y que aplicó a sus demostraciones con escrupulosidad, lo que lo llevó a esmerarse en los detalles y que lo diferencian diametralmente de la obra de sus contemporáneos Descartes y Leibniz. Añadido esto a su manía de "escribir difícil" para prevenir la copia y las críticas, hizo de Principia un libro extremadamente oscuro que él mismo calificó de "libro duro". Whewell ha dicho: “Nadie después de Newton ha podido utilizar los métodos geométricos en la misma extensión y para propósitos parecidos; y cuando leemos los Principia nos sentimos como cuando nos hallamos en una armería antigua donde hay armas de tamaño gigantesco; y cuando las miramos nos maravillamos de qué tipo de hombre fuera aquel que pudiera utilizar como arma lo que nosotros apenas podemos levantar."

Cuando concluyó la redacción de los Principia, empezó para Newton una época bien distinta de su vida. El marco propicio pudo haber sido, indudablemente, el del cansancio por su enorme trabajo; no hay que olvidar el esfuerzo de imaginación que tuvo que suponer su obra que echaba por tierra las certezas científicas de todas las épocas, ni tampoco que él mismo ya evidenciaba una especie de aburrimiento por la ciencia, que describía así en una de sus cartas a Hooke en 1679: "Pero aun habiéndose gastado mi afición por la filosofía, de manera que me preocupo casi tan poco de ella como un comerciante acostumbre a ocuparse del comercio de otro hombre o un campesino de la ciencia, debo confesarme contrario a perder el tiempo escribiendo sobre ella cuando creo que puedo perderlo de otra forma más efectiva para mi propia satisfacción y para el bien de los demás; espero que ni usted ni nadie reproche esta aversión".

Se añade además a esto la muerte de su amigo Henry More. No hay que olvidar tampoco que en esa época Jaime II planteó un conflicto con las autoridades de la universidad y que Newton actuó decididamente en favor de Cambridge. En 1688 Jaime III huyó del país y entonces Newton fue elegido Miembro del Parlamento, de modo que sus viajes a Londres cada vez más frecuentes lo distrajeron de sus actividades científicas. Su madre, personaje clave en su vida, estaba ya a punto de morir y él cuidó delicadamente de ella sus últimos días hasta que murió, produciendo en el matemático el fin de una época y el comienzo de otra que empezó con una

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dedicación a cuestiones teológicas y que ya para 1693 le deparó una profunda depresión, con noches de insomnio y manía de persecución. Las versiones sobre este tiempo de su vida son variadas y hay quien llegó a hablar de la "locura de Newton", circulando sobre ello diversas anécdotas.

En 1696 sus amigos consiguieron que finalmente dejara Cambridge y se mudara a Londres, al ser nombrado Inspector de la Casa de la Moneda. Charles Montagne, que fuera después Lord Halifax, fue quien lo llevó a colaborar con él en esas tareas administrativas, desligándose así de sus intensas actividades científicas, aunque igualmente siguió supervisando la publicación de sus obras, haciendo algunas aportaciones menores y, como veremos después, manteniendo sus proverbiales litigios con otros sabios contemporáneos. La cuestión es que Newton se dedicó seriamente a su trabajo respaldado por una fama de científico que pocos han disfrutado en vida: su reputación era reconocida en todo el mundo erudito.

Desde 1703 tuvo el indiscutido cargo de Presidente Vitalicio de la Royal Society; era verdaderamente una figura nacional y en 1705 la Reina Ana lo nombró caballero por sus contribuciones a la ciencia. Parece que la Reina consideraba un verdadero privilegio haber sido contemporánea de Newton y haberle conocido. Todo esto le permitió tener una posición privilegiada y lucrativa hasta sus últimos días. A su muerte, en 1727, tuvo los máximos honores y se considera que fue la primera y última ocasión en que se concedieron estos honores en su país a un hombre de la ciencia, del arte o de las letras. Estuvo en la Cámara de Jerusalén de cuerpo presente y fue llevado por el Lord Canciller, dos duques y tres condes.

Gottfried Wilheim Leibniz: (1646-1716). Nació en Leipzig, donde estudió teología, leyes, filosofía y matemáticas. La universidád le negó la posiblilidad de doctorarse en leyes porque era demasiado joven, tenía veinte años, así que para graduarse tuvo que ir a Nuremberg, donde rehusó la oferta de una plaza como profesor en leyes, prefiriendo convertirse en diplomático para los Hanover. Se considera a menudo como el último gran universalista, con un marcado interés por la lógica y los fundamentos de un lenguaje universal. Esto es evidente si sabemos que el lenguaje del cálculo que hoy

utilizamos proviene básicamente de Leibniz. Los términos cálculo diferencial y cálculo integral

son suyos, así como la notación y . Su carrera diplomática le ofreció muchas

oportunidades para viajar. En 1673 visitó Londres, donde se convirtió en miembro de la Royal Society, regresando en 1676 para demostrar sus nuevos cálculos mecánicos. No tuvo tanto renombre como Newton, pero gran parte del debate posterior se centró en que Leibniz tuvo la oportunidad de leer el De analysi de Newton durante estas visitas. Los dos hombres entablaron rápidamente una amistosa correspondencia, intercambiando puntos de vista sobre las series infinitas.

María Gaetana Agnesi: (1718-1799). Nacida en Milán en 1718, fue la mayor de los 22 hijos de un profesor de matemáticas de la Universidad de Bolonia. A los 9 años podía conversar en latín, griego, hebreo, alemán, español, francés e italiano; a los 10 destacaba en matemáticas; estudió las obras de Newton, Leibniz, Descartes y Fermat y a los 17 años resolvía complicados problemas de geometría analítica y cinemática. A los 17 años elaboró un comentario crítico del análisis de las cónicas del Marqués de L´Hôpital. En su casa, su padre abrió un salón cultural

al estilo de los salones ilustrados franceses, donde a los 20 años opinaba y discutía sobre filosofía, lógica, mecánica, elasticidad, mecánica celeste y sobre la reciente teoría newtoniana de la gravitación universal. Con 21 años comenzó a escribir Instituciones Analíticas, publicando el primer tomo en 1748. Le siguieron tres tomos más y el último fue considerado por la Academia de Ciencias de París como el mejor tratado de cálculo diferencial e integral desde L´Hôpital y Euler. Por su éxito, el Papa Benedicto XIV la propuso para la cátedra de matemáticas de la Universidad de Bolonia. Al cumplir 34 años, murió su padre y ella abandonó las matemáticas.

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Cuando la Universidad de Turín solicitó su colaboración, respondió que ya no tenía interés en los temas matemáticos, pues se dedicaba al cuidado de mujeres pobres y enfermas. Vivió 81 años, produjo su obra matemática en el primer tercio de su vida y el resto lo dedicó a la caridad y la meditación.

Gabrielle Emilie Le Tonnelier de Breteuil, Marquesa du Châtelet: (1706-1749). Emilie abrió en Cirey uno de los salones más importantes de la Francia de entonces, visitado por los científicos más prestigiosos. En el s. XVIII la ciencia no se abrió paso gracias a las instituciones públicas y las universidades, fue en los salones de las damas ilustradas donde los científicos, literatos, filósofos, políticos o compositores exponían sus últimos descubrimientos, leían ensayos o las recién publicadas teorías científicas y discutían sobre los más diversos temas. En el grupo que se reunía en el salón de Cirey estaban Voltaire y los seguidores de

las teorías de Newton, Euler, Celsius, Bernouilli, Maupertuis, Clairault y Le Condamine. Las primeras publicaciones de Emilie se refieren a tratados sobre óptica y la naturaleza del fuego. Elaboró un libro de texto de cálculo diferencial para su hijo, Instituciones de Física (1740), y preparó la traducción y comentarios de los Principia de Newton, obra que se publicó después de su muerte, y que aún se sigue editando hoy. Emilie facilitó el acceso a las modernas notaciones de la física de Leibniz y de su cálculo infinitesimal, comentó la obra de Newton para hacerla inteligible y, sin embargo, hoy sólo es recordada por haber sido la amante de Voltaire.

Leonhard Euler: (1707-1783). Fue un matemático y físico suizo. Es el matemático más prolífero de la historia. Contó en la Universidad de Basilea con cierta colaboración privada de Johan Bernoulli. (La familia Bernoulli dio muchos matemáticos distinguidos durante varias generaciones; es una auténtica dinastía de matemáticos). Hacia 1727, Euler se había incorporado a la Academia de ciencias de San Petersburgo, recién fundada por Catalina la Grande. En 1733, Daniel Bernoulli, hijo de Johan, regresó a Basilea y dejó vacante la cátedra de matemáticas de San Petersburgo a favor del joven Euler. Un año después, Euler se casó; tuvo trece hijos, de los que sólo cinco

sobrevivieron a la infancia. Más tarde dejaría escrito que algunos de sus mejores descubrimientos los había hecho con un bebé en brazos y rodeado de niños que jugaban. Tuvo problemas con la vista. En 1740 había perdido la visión de un ojo y hacia 1771 estaba ciego de ambos. En 1741 aceptó una invitación de Federico el Grande para ir a Berlín. Unos años después se convertía en el primer director de matemáticas de la recién fundada Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, y, a pesar de su creciente ceguera, produjo casi la mitad de su obra con posterioridad a este año, gracias a la colaboración de ayudantes devotos y a la ayuda de su prodigiosa memoria.

La producción matemática de Euler abarcó prácticamente todos los campos de las matemáticas, incluso un trabajo muy práctico en cartografía, construcción de barcos, calendarios y finanzas. Pero su fama radica principalmente en haber puesto las bases del análisis matemático y la mecánica analítica, con obras tan fundamentales como la Introductio in analysin infinitorum (1748), su Teoría de los movimientos de los cuerpos rígidos (1765) y obras capitales sobre cálculo diferencial y cálculo integral. Todo el lenguaje de las funciones es suyo, como la notación y una multitud de símbolos matemáticos hoy comunes, como π para el número

pi, para y para el sumatorio. Consideró que la teoría de los números, la geometría y el análisis se apoyaban mutuamente a la hora de trazar el modelo de los fenómenos naturales.

Océanos y estrellas.

Desde las primeras civilizaciones se crearon mapas. Ya fuera con la intención de construir, de recaudar impuestos o para planear la guerra, el trabajo del topógrafo es una de las más viejas profesiones en las que la matemática tenía algo que ver.

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Con el crecimiento de la navegación y el comercio europeos a partir del año 1300 encontramos las cartas portulanas (del italiano portolano, que originalmente hacía referencia a direcciones de navegación escritas) que elaboran una red de líneas rectas, o líneas de rumbo, para ayudar a los navegantes a la hora de planificar sus viajes alrededor de Europa y el Mediterráneo. Se producían mayormente en Venecia, Génova y Mallorca, y eran bastante precisas, incluso a pesar de que no quede claro si se elaboraban con alguna proyección particular en mente. La difusión del uso de la brújula, un invento chino, y el estado de la navegación astronómica en ese período todavía están sujetos a especulación. Pero con el descubrimiento de América y la primera impresión de la Geografía de Ptolomeo, las cartas náuticas resurgieron en Europa a finales del s. XV. Durante el Renacimiento, se empleaban diferentes tipos de proyecciones, como el popular mapa oval del mundo, utilizado por primera vez por Francesco Rosselli en 1508. Estas proyecciones se basaban en construcciones gráficas más que en fórmulas trigonométricas.

El creciente conocimiento, tanto de las esferas terrestres como de las celestes, popularizó la producción de globos gemelos en los que un globo terrestre a menudo aparecía encajado en un globo celeste. Con la mejora de la precisión de las observaciones astronómicas y los principios de los grandes proyectos de triangulación en Francia, Gran Bretaña y otros países de Europa, los mapas de todo el mundo necesitaban una actualización regular.

Pero si se deseaba construir mapas y cartas, las latitudes y las longitudes exactas de los lugares clave resultaban imprescindibles. Durante el día, se puede utilizar la posición del Sol, ajustada con el uso de tablas de declinación, que proporcionan la distancia angular del Sol respecto al ecuador cada día del año. La longitud siempre ha sido más difícil de establecer. Las proyecciones fueron haciéndose más complicadas con la popularización de la certeza de que la tierra no era una esfera perfecta, sino una esfera achatada por los polos, una esfera cuyos polos eran ligeramente planos.

Dichas desviaciones respecto a una esfera perfecta apuntaron hacia una forma trigonométrica que iba más allá del plano y la esfera, y permitía manejar cómodamente los esferoides generales. Se definieron entonces nuevas proyecciones utilizando el cálculo, en las que se podía establecer la distorsión requerida mediante fórmulas. Johann Heinrich Lambert (1728-1777) publicó en 1772 diversas proyecciones, una de las cuales, la proyección cónica, todavía se utiliza. En esta proyección, la Tierra es proyectada dentro de un cono que toca la esfera en un paralelo; el cono puede entonces abrirse para crear un mapa plano.

Las herramientas del comercio se mejoraron rápidamente. El astrolabio, heredado de los griegos y perfeccionado por los árabes, fue una especie de computador analógico. El astrolabio se utilizaba para calcular la altitud y el acimut de los cuerpos celestes, para calcular el tiempo y para medir distancias astronómicas. El uso de la altitud y el acimut como medidas estándar se debe a los árabes; la altitud era el ángulo respecto al horizonte y el acimut la distancia angular respecto al meridiano. Los relojes de sol también eran una manera común de medir el tiempo, utilizando tanto los cambios en la altitud del Sol durante el día como los cambios de su acimut. El astrolabio de los marineros, una construcción esencialmente sencilla, fue reemplazado por el cuadrante.

El incremento de la necesidad de precisión en las medidas de la tierra, del mar o del cielo se convirtió en un incremento en el número de cálculos que se debían realizar. El uso de los logaritmos en el s. XVII fue uno de los mayores desarrollos prácticos, ya que de esta manera los navegantes podían disponer de tablas de funciones trigonométricas y logaritmos para facilitar los cálculos.

Matemáticos destacables:

Gerardus Mercator: (1512-1594). Definido como el Ptolomeo de su época, diseñó la primera proyección específicamente creada para la ayuda de los marinos. Estudió en la Universidad de Lobaina, se licenció en filosofía y completó sus

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estudios con matemáticas, astronomía y cartografía. También se convirtió en maestro grabador y creador de instrumentos. En el año 1569 diseñó la famosa proyección Mercator para su mapa del mundo; donde lo novedoso era que las líneas de longitud eran paralelas, lo cual facilitaba la navegación por mar al poderse marcar las direcciones de las brújulas con líneas rectas. Fue uno de los primeros en utilizar la palabra atlas para designar a un conjunto de mapas.

2.5 Las matemáticas en la Edad Contemporánea (desde la Revolución Francesa hasta la actualidad).

Hacia finales del s. XVIII, Lagrange iniciaría una rigurosa teoría de funciones y de la mecánica. Ese periodo vio la gran obra de Laplace sobre mecánica celeste así como los grandes progresos de Monge y Carnot en la geometría sintética.

A principios del s. XIX, la geometría se amplía con las aportaciones de Monge, en una rama autónoma denominada Geometría descriptiva, la cual estudia los métodos con los cuales se pueden representar sobre el plano figuras sólidas y las soluciones de problemas relativos a ellas; también se produce un desarrollo sistemático de otra rama de la geometría denominada Geometría proyectiva, gracias a las aportaciones de Poncelet, pero cuyos orígenes se remontan a los trabajos de Pascal y de Desargues. Ambas geometrías nacieron del espíritu común de la perspectiva, pero sus caminos iban a ser distintos. Mientras que la proyectiva optó por el estilo clásico geométrico y por el lenguaje matemático, la descriptiva optó por el cultivo de un lenguaje gráfico. Otros autores como Plücker produjeron obras importantes sobre Geometría analítica (es el estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas) y Steiner sobre Geometría sintética (o geometría pura que estudia y construye de manera sintética las formas y lugares geométricos).

La Geometría no-euclidiana desarrollada por Lobachevsky y Bolyai condujo a la caracterización de la geometría por Riemann. Gauss, considerado por algunos como el mejor matemático de todos los tiempos, estudió la reciprocidad cuadrática y las congruencias de enteros. Su trabajo sobre Geometría diferencial revolucionaría la materia. También hizo grandes contribuciones a la astronomía y el magnetismo.

Por otra parte el álgebra se amplía a elementos que ya no son los números racionales, reales y complejos, y a operaciones que no son necesariamente las cuatro operaciones aritméticas clásicas. El álgebra llamada moderna comienza con la Teoría de los grupos y es debida en parte a Gauss y principalmente a Evariste Galois, quien define a la Matemática como el trabajo del espíritu humano, que está destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla. La introducción de Galois al concepto de grupo anunciaría una nueva dirección para la investigación en matemáticas que ha continuado desde entonces.

Cauchy, partiendo del trabajo sobre funciones de Lagrange, empezó un análisis riguroso y comenzó el estudio de la teoría de funciones de una variable compleja. Esta labor la continuarían Weierstrass y Riemann.

En la segunda mitad del s. XIX, la geometría no euclídea es convertida por Riemann en una rama matemática, la cual tiene sus orígenes en los trabajos de Lobatchevski, Bolyai y del mismo Gauss.

Durante este siglo es cuando un grupo de matemáticos consiguen que los estudios matemáticos se conviertan en un campo en el cual el hombre pueda proyectar su imaginación y su creatividad. Esto no gustó a todos los matemáticos de la época, de ahí surgen tres formas distintas de entender la Matemática: la logicista (la Matemática se deriva de la lógica), la intuicionista (la lógica se deriva de la Matemática) y la formalista (que conciben a la Matemática como un juego combinatorio sin sentido, con ciertas reglas formales arbitrarias y convenidas de antemano).

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Durante esta segunda mitad del s. XIX, el álgebra tiene como principal objeto el estudio de las estructuras algebraicas abstractas. Las teorías de los cuerpos, debidas a Kummer, nacen a partir de los trabajos de Gauss sobre los números complejos y el álgebra de los conjuntos en la que tomó parte decisiva George Cantor, cuyas primeras aportacione datan de 1879.

Henri Poincaré, quien definió a la Matemática como el arte de dar el mismo nombre a cosas distintas, publica en 1895 su Analysis situ, que origina, ya de un modo sistematizado, la rama matemática de Topología, siendo hoy una rama extensa y fundamental en la Matemática actual y que a grandes rasgos se puede dividir, a su vez, en dos ramas distintas: la Topología combinatoria o algebraica y la Topología conjuntista.

El final del s. XIX vio a Cantor inventar la Teoría de conjuntos casi sin ayuda mientras que su análisis del concepto de número se sumó al importante trabajo de Dedekind y Weierstrass sobre los números irracionales. El análisis fue conducido por las necesidades de la física matemática y la astronomía. La obra de Lie sobre ecuaciones diferenciales llevó al estudio de los grupos topológicos y la topología diferencial. Maxwell revolucionaría la aplicación del análisis a la física matemática. La mecánica estadística fue desarrollada por Maxwell, Boltsmann y Gibbs y condujo a la teoría ergódica o métricamente transitiva.

El estudio de las ecuaciones integrales fue impulsado por el estudio de la electrostática y la teoría potencial. El trabajo de Fredholm llevó a Hilbert a desarrollar el Análisis funcional.

En el s. XX nace la actual matemática moderna, cuyo padre es Cantor, con las aplicaciones de la teoría de juegos, la teoría de la información, la informática, etc. Dos de los desarrollos más notables son la teoría de conjuntos y la lógica. La primera facilita un nuevo tipo de aritmética para el tratamiento del infinito y la segunda, representa un intento para traducir todo el razonamiento matemático en abreviatura.

Tanto una teoría como la otra son impulsadas por una tercera forma de matemáticas, la teoría de los grupos, que desempeña un papel unificador en el análisis y revela similitudes asombrosas entre los dominios matemáticos. De ahí se vuelve a una vieja costumbre, que se escribe Matemática en singular, para mostrar la unicidad de todas las matemáticas.

Sin embargo, de todos los triunfos de las matemáticas modernas, el más espectacular ha sido la teoría de la relatividad, obra maestra de Einstein. Esta teoría está formada en realidad por dos teorías: la relatividad general y la relatividad especial.

Las ecuaciones denominadas campo de la relatividad general, las pudo alcanzar Einstein gracias a que adoptó las teorías hipotéticas ya aparentemente inútiles de Riemann sobre el espacio geométrico curvo.

Polinomios de quinto orden.

En el s. XVI las matemáticas se encuentran con los números complejos, como consecuencia de que cualquier polinomio de orden mayor que cuatro no podía ser resuelto mediante radicales como raíces cuadradas, cúbicas o raíces superiores. En el s. XVIII, los números complejos se establecieron de manera correcta como una extensión de los números reales, pero todavía conducían a un extraño lapso.

Uno de los problemas más tormentosos en esa época fue la cuestión de si los polinomios de quinto orden se podían resolver mediante métodos algebraicos; o sea, con un número finito de pasos algebraicos. En la escuela aprendemos ahora la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas, y desde el s.XVI se conocen métodos similares para casos de tercer y cuarto orden. Pero no se ha podido encontrar un método para resolver las de quinto. El Teorema fundamental del álgebra puede dar a entender una respuesta positiva, pero este teorema sólo garantiza que la solución existe, sin embargo no dice nada acerca de la existencia de fórmulas que proporcionen soluciones

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exactas (los métodos de aproximación numérica y gráfica ya se conocen). Centrémonos ahora en dos genios matemáticos que sufrieron trágicos destinos.

Matemáticos destacables:

Niels Henrik Abel: (1802-1829). Creció en una familia numerosa y pobre en un pequeño pueblo de Noruega, un país destruido por años de guerra contra Inglaterra y Suecia. Un comprensivo maestro alentó sus estudios privados, pero a la edad de 18 años la muerte de su padre le llevó a cargar sobre sus hombros y su frágil salud las responsabilidades familiares. En 1824 publicó una memoria en la que anunciaba que los polinomios de quinto orden no se podían resolver mediante sistemas algebraicos, y tampoco los de grado superior. Abel creía que esto sería su entrada

en la carrera académica y envió su texto a Gauss en la Universidad de Gotinga; por desgracia, al parecer, Gauss no separó las páginas con un cuchillo (en aquellos días una labor que debía ejecutar el autor o el lector, más que el impresor) y nunca lo leyó. En 1826, el gobierno noruego finalmente dio a Abel los medios para viajar a Europa. Temiendo que resultara poco agradable contactar directamente con Gauss, evitó Gotinga y fue a Berlin. Allí entabló amistad con August Leopold Crelle (1780-1855), ingeniero y matemático asesor del Ministro de instrucción de Prusia, quien ya había lanzado su Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de matemáticas puras y aplicadas).La obra de Abel encontró entonces un vehículo para una mayor difusión y el propio autor contribuyó enormemente en los primeros números del Journal, lo que le proporcionó un prestigio inmediato y una publicación autorizada. Incluyó una versión más extensa de su prueba acerca de la irresolubilidad de los polinomios de quinto orden. Después se fue a París, donde se desilusionó profundamente, pues encontró dificultades para ganar el apoyo que necesitaba de los matemáticos franceses. Se acercó a Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), en aquel entonces la figura cimera en el campo del análisis matemático, pero a su vez un hombre de trato difícil. Como el propio Abel señaló, “Cauchy está loco y no hay nada que se pueda hacer por él, aunque, ahora mismo, es el único que sabe cómo deberían ser las matemáticas”. Si fuera posible justificar el desprecio que sufrió de manos tanto de Gauss como de Cauchy, se podría decir que la ecuación de quinto grado adquirió cierta notoriedad que atrajo la atención en igual medida de valiosos matemáticos y de majaretas. Abel regresó a Noruega, cada vez más enfermo de tuberculosis. Continuó enviándole material a Crelle, pero murió en 1829, sin ser consciente de su creciente reputación. Dos días después de su muerte, llegó a su casa una oferta para un puesto en Berlín. Abel demostró que, en general, cualquier polinomio de orden mayor a cuatro no podía ser resuelto mediante radicales como raíces cuadradas, cúbicas o raíces superiores. Sin embargo, las condiciones explícitas bajo las cuales los casos particulares podían ser resueltos y su método de solución lo mostró Galois.

Evariste Galois: (1811-1832).Es un matemático genial que no es conocido por el público en general porque su obra pertenece al campo del Análisis Matemático, que no está entre los contenidos de la escuela primaria ni secundaria, quedando al margen de los estudios básicos de cultura general. Y curiosamente es uno de los matemáticos más famosos para los que alguna vez hemos tenido contacto con la historia de la matemática, porque su genio le permitió dejar una obra de inestimable valor

habiendo vivido sólo 21 años y en circunstancias muy azarosas. Su vida se desarrolló en Francia a comienzos del s. XIX, en uno de los turbulentos períodos de la historia de Europa, en plena época romántica, con revoluciones políticas, luchas filosóficas, altibajos económicos, avances científicos y sobre todo una época en la que el ansia de libertad era una prioridad y se gestaba la reacción contra el falso idealismo de la época anterior.

Evariste Galois nació en Bourg-la-Reine el 25 de octubre de 1811. Su padre, con el espíritu que animó a los franceses en el siglo anterior, tanto representaba comedias de salón como componía cuplés galantes y había tenido actuación pública en la época de los Cien Días. A los doce años ganó una beca para estudiar en el Colegio de Reims y al poco tiempo se fue a París

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para estudiar en el Liceo Luis-le-Grand. De ahí en adelante su vida se convirtió prácticamente en un torbellino. Al comienzo de la escuela secundaria dice uno de los informes escolares: "Es dulce, lleno de candor y de buenas cualidades, pero hay algo raro en él". Realmente Galois era raro, con sus escasos doce años discutía violentamente sobre el destino político de Francia. El contraste entre la agresividad que ponía al manifestar sus ideas políticas y sus escasos años conseguía poner nerviosos a los adultos y sobre todo al director del Liceo. En realidad la política era el tema que lo volvía agresivo y por lo demás era un adolescente soñador como lo testimonia un informe escolar: "Nada travieso; pero original y singular; razonador". Pero ya en las notas de fin de curso había algo más: "Hay algo oculto en su carácter. Afecta ambición y originalidad. Odia perder el tiempo en redactar los deberes literarios". La verdad es que Galois gustaba de la literatura, leía mucho, leía los clásicos igual que a sus contemporáneos y también participaba de las tertulias literarias no con poco entusiasmo y sin por esto descuidar su inclinación ya notable por la matemática. Pero la incomprensión de sus maestros fue una constante en la vida de Galois. Quizás el único maestro que supo interpretar el genio de Galois fue Vernier, profesor de matemática del Liceo, que escribió este informe sobre su atípico alumno: "La locura matemática domina a este alumno y sus padres deberían dejarle estudiar matemática. Aquí pierde el tiempo, y todo lo que hace es atormentar a sus profesores y atormentarse a sí mismo".

Dice Vera, historiador de la matemática, "Tenía razón Vernier. A poco de estar en el Liceo, Galois inspiraba a sus profesores y condiscípulos una mezcla de temor y cólera. Suave y violento, dulce y agresivo a un mismo tiempo, aquel niño de doce años era la encarnación de una paradoja viva". Por entonces hubo una revuelta en la calle provocada por las luchas políticas del momento y Galois, por supuesto, lideró un grupo de alumnos del Liceo para participar activamente en ella. Era un orador de barricada que arengaba a los parisinos vehementemente, pero debió ser un individuo que mientras hablaba a la gente de política, su cerebro elaboraba matemática, pero cuando llegaba a su casa tampoco se sentaba a escribir. La consecuencia fue inmediata: lo expulsaron del Liceo. De todos modos Vernier siguió siendo su amigo y le aconsejaba, ahora con más razón, que se dedicara a trabajar en forma organizada para que sus estudios se consolidaran, pero Galois tenía tanto de genial como de desordenado así que su vida continuó con los altibajos de siempre.

A estas alturas se encontró con la geometría de Legendre y a pesar de tener sólo trece años, la leyó de un tirón y en pocos meses asimiló su contenido. Buscó aprender álgebra, así que desechó los manuales y se puso a desentrañar la obra de Lagrange. Estos dos matemáticos, Legendre y Lagrange, influyeron notablemente en su pasión por la matemática y entonces se propuso preparar el ingreso en la Escuela Politécnica de París sin dejar, por supuesto, las otras actividades. Intervenía en las discusiones artísticas, dividida la opinión en dos bandos: los partidarios del viejo Ingres, que había expuesto El voto de Luis XII, y los adictos a Delacroix, con su Matanza de Quíos, discusiones que no pudo parar el gobierno a pesar de que lo intentó, concediéndole la Legión de Honor al más viejo (Ingres) y de haberle comprado el cuadro al más joven (Delacroix). Leía con pasión a Lamartine y odiaba igualmente a los partidarios de Napoleón, que a estas alturas ya estaba en Santa Elena, y también al conde de Artois, que acababa de suceder a Luis XVIII.

En el año 1827, cuando ya no estaba Monge al frente de la Escuela Politécnica, Galois intentó ingresar en ella pero fracasó, así que se dedicó a preparar una memoria con sus trabajos y la presentó por su cuenta en la Academia de Ciencias. Cauchy era el secretario de la Academia y el encargado de recibir el trabajo de Galois sobre la teoría de ecuaciones algebraicas. Por un lado debieron influir los prejuicios religiosos que Cauchy tenía contra los republicanos como Galois, ya que él era realista borbónico, pero también le pudo haber preocupado que ese joven matemático pudiera hacer sombra a su fama. Lo cierto es que las investigaciones de Galois se perdieron irremisiblemente en manos de Cauchy y nunca más se supo de ellas. Al año siguiente volvió a hacer el examen de ingreso a la Politécnica. No consiguió entenderse con los profesores que le hicieron el examen y se puso a corregir las preguntas que le hacían sobre la teoría de

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logaritmos y es muy probable que Galois supiera mucho más que sus profesores. Pero claro, a ellos no les gustó nada la observación del aspirante y le llamaron seriamente la atención con lo cual Galois ya no pudo dominar su temperamento, les tiró el borrador a la cabeza y se fue diciendo que eran unos "ganapanes de la enseñanza" y, por supuesto, tampoco esa vez pudo ingresar en la Politécnica de París.

En aquellos días París hervía de pasión política y Galois, con sus apasionados dieciséis años, se dejó llevar por sus emociones. La hostilidad contra el gobernante, consagrado en la catedral de Reims, se hacía cada vez mayor. Se había reformado la ley electoral de modo que entonces los ricos podían votar dos veces; los periódicos ya no podían informar claramente no sólo porque la censura decidía lo que se tenía que publicar, sino también porque debían presentar los ejemplares con cinco días de anticipación para ser revisados; la Facultad de Derecho y la de Medicina habían sido clausuradas; la Escuela Normal Superior, de enseñanza liberal, había sido suprimida; el Clero vigilaba la Universidad; se habían suspendido los cursos de Guizot, de Villemain y de Cousin y sobre todos se extendía el control de la llamada "Ley del sacrilegio". En este estado de cosas los bonapartistas y los republicanos se unieron contra la monarquía borbónica y Galois se hizo jefe de un grupo de estudiantes. Por otro lado, las luchas entre los liberales y los clericales en las que el padre de Galois se vio envuelto, perturbaron de tal forma a éste que finalmente se suicidó en 1829.

Esto impresionó profundamente a Galois, no solamente por la muerte de su padre sino porque le mostró crudamente los desengaños de las correrías políticas, así que se apartó por un tiempo de estas actividades y su particular temperamento lo impulsó a dedicarse, no con menos pasión, al estudio de la matemática. Abandonó para siempre la posibilidad del ingreso a la Politécnica y se dedicó a entrar en la Escuela Normal, que había sido reabierta. Luis Richard fue el maestro que lo ayudó en los preparativos valorando en la medida real la capacidad de Galois, al punto de llamarlo el "Abel francés". Entró en la Escuela Normal el 20 de febrero de 1830. Parece que ganarse la incomprensión de sus maestros fue una condición que Galois conservó toda su vida de estudiante.

En la Escuela Normal sus profesores de matemática lo tenían por un alumno inteligente, lúcido y aceptaban que había obtenido resultados nuevos en el Análisis Matemático, pero los demás lo consideraban un pésimo alumno y hasta se extrañaban de que hubiera sido capaz de hacer algo en matemáticas. Cinco días después de ser aceptado como alumno de la Normal se estrenaba la obra de Víctor Hugo, Hernani, que era una clara alusión a la vigencia del movimiento romántico lanzado en el prefacio de Cronwell. Es fácil de imaginar el efecto que produjo en el alma de nuestro joven matemático el clima que se vivió en el tumultuoso estreno; la atmósfera de la ciudad ya estaba cargada y desde ese momento lo que siguió fue a desembocar directamente en la revolución de julio, que derrocó a Carlos X y puso en el poder a Luis Felipe. Y así fue como olvidó sus recientes dudas sobre la actuación pública y se lanzó nuevamente a la actividad política. Pero esta vez sin descuidar totalmente sus estudios matemáticos.

En esta época publicó el resultado de algunas de sus investigaciones, dio clases particulares de álgebra superior, funciones elípticas y teoría de números, pero también tuvo tiempo para participar de las reuniones literarias en el Cenáculo, una sociedad literaria famosa, fanática de Víctor Hugo que se reunía en el salón Charles Nodier. Cuando el 26 de julio se publicaron las famosas Ordenanzas que pretendían anular las elecciones que habían dado el triunfo a los liberales, la hostilidad contra Carlos X creció precipitadamente porque además el gobierno pretendía sostener a Polignacque, que era un reaccionario que decía actuar por inspiración directa de la Virgen. La reacción del pueblo francés, parecida a la del 14 de julio de 1789, fue salir a las calles a defender su libertad. Para esto levantaron toda suerte de barricadas que les permitiera hacer frente a las fuerzas realistas del mariscal Marmont, en un intento de acabar con los borbones. Y por supuesto allí estaba Galois tomando parte de la acción, con toda la pasión de sus ideales y de su juventud e imprimiendo en el compromiso el mismo genio con que hacía todas sus cosas. Cuando Carlos X fue expulsado del poder, el 9 de agosto, se proclamó a

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Luis Felipe como rey de Francia. Pero los republicanos que eran los verdaderos hacedores de la revolución se sintieron ultrajados al ver que los orleanistas habían conseguido el lugar para su candidato. Así que Galois, llevado por su temperamento extremista, no tuvo mejor idea que dejar aclarado su punto de vista y para eso eligió a un partidario de Luis Felipe, nada menos que el director de la Escuela Normal a quien envió una explosiva carta de protesta. Y así fue como lo expulsaron también de la Escuela Normal.

Al poco tiempo formó parte de la artillería de la Guardia Nacional. Si era necesario, quería morir por su patria, dijo. Pero como los artilleros desconfiaban de Luis Felipe, que cada vez más renegaba de su origen revolucionario para mostrarse marcadamente conservador, decidieron entregar los cañones a los republicanos, por lo que se dispuso la disolución del Cuerpo y fueron sometidos a juicio. En el proceso fueron declarados inocentes así que hubo un festejo, en el que participó Galois con unos doscientos correligionarios. La comida se hizo en Belleville, a las afueras de la París. Galois dio la nota en el banquete cuando propuso un brindis en honor de Luis Felipe pero levantando a un tiempo la copa y un cuchillo. Se armó un revuelo enorme en el que la mayoría huyó como pudo previendo las implicaciones del caso y los más jóvenes, inspirados por la misma inconsciencia de Galois, lo aplaudieron, lo vitorearon y hasta lo acompañaron a seguir los festejos en París bailando hasta el amanecer en la Plaza Vendome. Como es de suponer, cuando Galois llegó a su casa, lo estaban esperando para llevarlo a la cárcel de Santa Pelagia de donde su abogado defensor consiguió sacarlo inventando que el cuchillo que había usado en el brindis no pretendía mostrar intenciones de matar a Luis Felipe, sino que era lo que le esperaba si traicionaba a su patria. Lo cierto es que Galois salió en libertad pero por poco tiempo.

El partido republicano tenía preparada una manifestación para el 14 de julio y el gobierno acentuó las medidas de seguridad. Entre esas medidas estaba tener a Galois en la cárcel. Así que usaron una excusa tonta para detenerlo, lo acusaron de usar indebidamente el uniforme de artillero y lo retuvieron en Santa Pelagia mucho tiempo más del que duró la protesta. En marzo del año siguiente, como estaba declarada una epidemia de cólera en París, el gobierno decidió que Galois era un preso político lo suficientemente importante como para ser protegido de la enfermedad, así que el 6 de marzo lo trasladaron a un sanatorio. Aunque volvió a la cárcel, salió de ella en el mes de mayo.

En cuanto estuvo en libertad se complicó nuevamente con enredos políticos con sus enemigos a consecuencia de lo cual aceptó batirse en duelo por motivos que nunca quedaron claros. Lo cierto es que dejó una carta en la que se dirige a "los patriotas" diciendo que muere por una mujer que no vale la pena, que se arrepiente de haber hablado con la verdad a hombres que no lo pudieron comprender y que lo hace con la conciencia limpia de mentiras y considerándose un verdadero patriota. Y en otra carta a sus amigos dice: "He sido provocado por dos patriotas y me ha sido imposible negarme. Os pido perdón por no haberos prevenido; pero mis adversarios me han obligado a jurar por mi honor guardar el secreto. Sólo os hago un encargo muy sencillo: probar que me he batido a pesar de mí mismo, es decir, luego de haber agotado todos los medios de arreglo, y sostener que no soy capaz de mentir ni aún por tan pequeño motivo como el de una infame coqueta. Conservad mi recuerdo ya que la suerte no me ha dado vida bastante para que la Patria conozca mi nombre".

Pero quizás el detalle más impresionante de la vida de este matemático es que la noche anterior la dedicó a escribir su testamento científico. En él puso sus especulaciones sobre la teoría de grupos que había concebido en los último tiempos y a las que nunca había destinado el tiempo suficiente para escribirlas ya que estaba siempre involucrado en episodios confusos, aunque es obvio que sus pocos momentos desocupados habían sido suficientes para concebirlas. De este modo expuso sus teorías en una sola noche, intercalando las fórmulas matemáticas con frases como esta: "No tengo tiempo, no tengo tiempo, mi vida se extingue como un miserable cancán", porque sabía perfectamente que iba a ser superado por su contrincante al día siguiente. ¿Cuáles podrían ser los valores de Galois que lo llevaron a dedicar sus últimas horas a escribir sus teorías matemáticas? ¿Cómo hubiera sido su obra si sus

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contemporáneos hubieran comprendido la medida de su genio? Lo cierto es que al día siguiente se enfrentó con su adversario: duelo a pistola y a veinticinco pasos. Recibió un balazo en el vientre y lo dejaron tirado, sin más, a que muriera. A media mañana pasó un desconocido y avisó al hospital para que lo vinieran a buscar. Aunque estaba con vida y fue trasladado al centro de salud, la peritonitis presagiaba su muerte inminente. El único que lo vio agonizar fue su hermano al que dijo: "No llores que me emocionas. Necesito conservar todo mi valor para morir a los veinte años". Falleció al día siguiente, el 31 de mayo de 1832 y fue enterrado en la fosa común. Sus restos se perdieron y su actuación política no cambió el rumbo de la historia, pero su obra matemática escrita sintéticamente esa noche dio trabajo a los matemáticos por mucho tiempo.

Galois era un genio, pero un genio netamente romántico. No hace falta destacar que su vida y también su muerte tuvieron los detalles del romanticismo francés. No es casual entonces que los temas matemáticos de su interés hayan sido abstractos y que hiciera incursiones en la teoría de las estructuras mostrando así las aspiraciones románticas de ocuparse de ideales filosóficos elevados.

Nuevas geometrías

A fines del s. XVIII y principios del XIX los matemáticos estaban ocupados en desarrollar las ramas de la matemática que se habían originado en las nuevas concepciones posteriores al Renacimiento. El Análisis Matemático de Newton y Leibniz y los caminos algebraicos abiertos por Descartes habían dado mucho que hacer a los matemáticos y en geometría en particular uno de los grandes protagonistas fue Monge cuya obra fue nada menos que la de crear una nueva rama: la Geometría Descriptiva (es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional y, por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso).

Por otro lado, desde que aparecieron los Elementos de Euclides en el s. III a. C., la geometría euclidiana ha sido erigida como el más perfecto sistema matemático. Sin embargo este templo de geometría tenía una pequeña imperfección en la que los matemáticos han continuado trabajando, el quinto postulado: “si dos líneas no son paralelas, se encontrarán finalmente en un punto”. Todos estaban de acuerdo en que era cierto, pero no estaba claro que mereciera ser esencialmente un axioma.

A principios del s. XIX, todos los intentos de probar el quinto postulado terminaron en fracaso, lo que dio la impresión a los matemáticos de que era posible una geometría consistente más allá de la euclidiana. En 1826, Lobachevsky envió su primer texto a la universidad, en el que esbozaba algunas de sus ideas sobre geometría y pasaron tres años hasta que el Mensajero de Kazán publicó Sobre los principios de la geometría. Así pues, 1829 es la fecha oficial para el nacimiento de la geometría no euclidiana según la forma de Lobachevsky. En este texto, afirmaba que el quinto postulado no podía ser probado y construía una geometría que reemplazaba ese postulado con otro. Tras luchar con el quinto postulado durante dos mil años, la demolición de este pilar de la geometría euclidiana hizo que todo el edificio se viniera abajo. Irónicamente, el descubrimiento de geometrías en las cuales el quinto postulado no es cierto, justificó la inclusión de este postulado como necesario, a pesar de su aparente complicación. La geometría euclidiana sigue siendo lógicamente consistente, pero ahora es sólo una de las muchas geometrías posibles, y de ahí que ya no fuera obvio que había una sola geometría del espacio. El espacio en el que vivimos ya no es euclidiano, sino que ahora tenemos herramientas matemáticas para explorar la verdadera geometría del universo.

Matemáticos destacables:

Gaspar Monge: (1746-1818). Nació el 10 de mayo de 1746 en Beaune, Borgoña, era hijo de un humilde afilador que valoraba la cultura y dedicó sus esfuerzos a que su hijo tuviera acceso a una posición social más elevada.

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Monge, respondiendo a esas expectativas, destacó en el colegio como un excelente alumno y hasta obtuvo varios premios por su capacidad. A los catorce años se hizo famoso en su pueblo por inventar una bomba contra incendios. "He empleado, decía, dos medios infalibles: una tenacidad a toda prueba y mis dedos, que han reproducido mi pensamiento con fidelidad geométrica". Verdaderamente estas dos condiciones se reflejan en la vida y la obra de este matemático que llevó una vida laboriosa, que dedicó grandes esfuerzos a la actuación pública y a la actividad científica, pero que no por esto despreció el trabajo manual.

Desde muy joven fue profesor y a los veintidós años presentó trabajos matemáticos a la Academia de Ciencias de París y fue nombrado profesor titular de la Escuela Militar: primero de matemática y después de física, lo que le obligaba a un doble trabajo abrumador. Pero sus ocupaciones científicas no eran estorbo para que dedicara parte de su tiempo a las actividades sociales. Al fin y al cabo era un francés de fines del s. XVIII, así que gustaba de las reuniones, del diálogo galante y de la conversación literaria. La historia lo presenta como a un ser humano cabal, con una vida hogareña estable y una esposa que lo alentó en sus empresas. Se cuenta que su mujer era viuda cuando la conoció, en una reunión social, y que desafió a duelo a un hombre porque lo escuchó hablar mal de ella. Le propuso un duelo a muerte pero finalmente la sangre no llegó al río porque los padrinos consiguieron que la disputa se superara por medio de un acta y el duelo no se consumó.

En el año 1777 se casó y su prestigio científico ya era grande en París. A los tres años de ese episodio se funda el Instituto de Hidráulica en el Louvre y como le ofrecieron hacerse cargo de él se muda a París, terminando así una etapa apacible de su vida en la que se había dedicado a la enseñanza y a forjar las bases de sus creaciones científicas posteriores, que le darían una fama inmortal. Su fama de científico laborioso y honesto hizo que fuera considerado un hombre de confianza para el gobierno y sus actividades públicas hicieron por ese entonces que su vida se desarrollara en condiciones más azarosas de ahí en adelante. Monge sentía verdaderamente los principios de la Revolución Francesa, ya que su origen era genuinamente popular, y cuando el 20 de setiembre de 1792 la batalla de Valmy hizo que se aboliera la monarquía y se implantara la república, la Asamblea Legislativa le ofreció ser ministro de Marina. Aceptó el nombramiento pero al poco tiempo corrió la versión de que Monge no era demasiado radical en sus convicciones revolucionarias, así que renunció el 13 de febrero de 1793. De todos modos la Convención volvió a nombrarlo al poco tiempo, al convencerse de que era honesto en su postura política. Fue un ministro incorruptible y aunque era muy consciente de las circunstancias históricas que le tocaban vivir y de la inestabilidad de su puesto político, no claudicó nunca a la hora de enfrentarse con los ineptos.

Creía firmemente en el rumbo que había tomado Francia, pero le preocupaba que su país se encontrara presionado por luchas internas y, al no poseer armas, corría el peligro de ser atacada por un país extranjero, lo cual amenazaba invalidar las conquistas de la Revolución. Habló con el gobierno de estas preocupaciones y cuando la ofensiva se produjo, la Convención le pidió que sugiriera las soluciones que había estado ideando. Era abril de 1793 y los arsenales no tenían municiones para hacer frente a la situación. Hasta ese momento el salitre indispensable para la pólvora se importaba, así que Monge propuso que se obtuviera de los sótanos de las casas. Toda la nación se puso en pie de guerra. Se movilizó un ejército de novecientos mil hombres para defender el suelo patrio, dirigidos por el matemático que convirtió a Francia en una inmensa fábrica de material bélico.

En la ciudad de París se instalaron doscientas cincuenta y ocho fraguas y quince herrerías que producían unos mil fusiles por día; la fábrica de Grenoble fabricaba unas mil libras de pólvora diarias y las fundiciones producían al ritmo de siete mil piezas de bronce y trece mil de hierro colado al año. Monge se dedicó enteramente a este proyecto; no sólo tomó la delantera en idear nuevas maneras de producción, apelando a todos sus conocimientos científicos, sino que también puso en juego todas sus otras condiciones humanas. Inspirado en su profundo amor a la patria y en el convencimiento de que la Revolución era el verdadero camino que Francia tenía para su destino de grandeza, aportó a ese momento histórico que le tocó vivir su

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capacidad de mando para organizar a los obreros, su capacidad de trabajar de manera sostenida para recorrer personalmente las instalaciones y hasta corregir los elementos que se producían defectuosos y también su experiencia profesional, redactando circulares sobre las maneras más eficaces de trabajar y de hacer máxima la producción y mínimo el tiempo que se empleaba. Este trabajo consta en una publicación que se llamó El arte de construir cañones que sirvió de material de consulta aún en nuestro siglo.

Como es de imaginar todo esto redundó en una gran fama para Monge y también para Berthollet, el químico amigo suyo que tanto tenía que ver con el tema de la pólvora y que comprometiera como Monge sus esfuerzos en el rearme de Francia. Y con la popularidad vinieron también los enemigos, que trataron de sembrar sospechas que minaran la confianza que el gobierno tenía en el matemático. Pero esos no eran tiempos para malentendidos porque una acusación, aunque falsa, bien podía pagarse con la vida, así que cuando a los pocos días de comenzar los rumores Monge fue denunciado por su portero, decidió que lo más prudente era ausentarse de París hasta que se olvidaran de él y, efectivamente, después pudo volver sin que nadie más lo molestara. Así termina una etapa en la vida de este hombre dando paso a otra bien distinta.

La preocupación de la Convención Nacional se centró entonces en la educación de los ciudadanos y decidió que lo primero que necesitaban eran maestros y para eso el 30 de octubre de 1793 creó la Escuela Normal, la misma que fuera años después de la muerte de Monge la que expulsara a Galois por sus actividades revolucionarias. El espíritu de esta institución era convocar profesores hábiles que capacitaran a ciudadanos conocedores de la ciencia para que se convirtieran en maestros capaces de instruir a los ciudadanos de Francia. Monge fue llamado para dar clases de matemáticas allí y en los años que siguieron enseñó los secretos de la nueva geometría que había creado, la Geometría Descriptiva, que fue publicada como tal en el año 1800. Después de la Escuela Normal se creó la Central de Trabajos Públicos, que era una escuela de ingenieros civiles y militares que, para describir su fama, baste decir que luego se llamó Escuela Politécnica de París. Monge no sólo organizó la Politécnica y explicó en ella matemáticas, sino que su nombre ha quedado asociado para siempre a este famoso centro de altos estudios.

Hasta ese entonces el sabio propiamente dicho, el investigador, rara vez se dedicaba en esa época a la enseñanza. Vera, historiador de la matemática, lo describe muy bien: "mal vestido y peor alimentado, por lo general, sabía lo que todo el mundo ignoraba e ignoraba lo que todo el mundo sabía". Los científicos eran hombres al margen de la vida de todos los demás. Se conectaban con sus colegas en las sociedades científicas que habían comenzado a crearse a fines del siglo anterior y publicaban los resultados de sus investigaciones en las revistas que ya se editaban, aunque sin mucho profesionalismo, y que hoy son una necesidad imperativa para el intercambio científico. Pero la Convención, que había modificado por completo el sistema social y político de Francia, dio también un paso decisivo en materia pedagógica cuando autorizó a Monge a innovar en este sentido. Y a partir de 1795 los métodos de enseñanza sufrieron una transformación cuando Monge promovió que los sabios empezaran a enseñar.

Monge tuvo un amigo entrañable y su relación con él le deparó no sólo aventuras sino también una orientación diferente a su carrera, se trataba de Napoleón. En el año 1796 recibe una carta donde Napoleón le dice: "Permítame que le agradezca la acogida que el ministro de Marina de 1792 dispensó en cierta ocasión a un joven oficial de artillería, desconocido y un poco en desgracia. El oscuro oficial de entonces es hoy el general del ejército de Italia y tiene el honor de tenderle una mano agradecida y amiga". Así comenzó una larga y noble amistad entre ellos que no es sorprendente en el caso de Monge, pero sí considerando que Napoleón era tan poco sensible a los afectos y tenía poco de desinteresado. Se dijo que Napoleón decía de Monge que "lo adoraba como a una amante".

Monge estuvo muy cerca de Napoleón, sobre todo porque éste lo requería para misiones para las cuales el matemático había probado sobradamente estar capacitado. Así fue nombrado

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comisario del Directorio, que se encargaría de seleccionar en Italia las obras de arte "regaladas" por los italianos como aporte "voluntario" para contribuir a los gastos de guerra. En el año que siguió a su peritaje de obras de arte en Italia fue nombrado miembro de una comisión encargada de investigar el asesinato del general Duphot. En el año 1798 fue designado miembro de la Legión de Cultura junto con otro gran matemático que también era amigo de Napoleón: Fourier. Esta Legión de Cultura era un agregado que Napoleón llevó consigo a Egipto y cuyos objetivos, un poco desubicados pero influidos por las creencias imperialistas, fueron: "para tender una mano segura a los pueblos desgraciados y libertarlos del yugo brutal bajo el cual gimen desde hace siglos, a fin de hacerles gozar sin retraso de los beneficios de la civilización europea". La cuestión es que Monge, Fourier y Berthollet se embarcaron en esa expedición y corrieron toda suerte de aventuras. La flota francesa, que se componía de quinientos barcos, llegó a Malta el 8 de junio de 1798 y tres días después los franceses tomaban la plaza.

Como primera medida "civilizadora", Monge creó quince escuelas elementales y una superior con el molde de la Politécnica y a los pocos días los tres matemáticos partían rumbo a Egipto en el navío "Oriente" junto a Napoleón. Se cuenta que en estos viajes el militar acostumbraba mantener largas tertulias nocturnas en las que, después de la cena, se dedicaba a discutir con los sabios las teorías que explicaban el origen de la Tierra, la posibilidad de que se destruyera y también los misterios de otros mundos habitados. Ya para el 1 de julio la flota francesa llegó a Alejandría y como Napoleón quiso resguardar la seguridad de los matemáticos, partieron directamente hacia El Cairo remontando el Nilo y se perdieron así el asalto a la ciudad al son de la Marsellesa. Las aventuras de Monge en este viaje incluyen un episodio en el que el barco fluvial de los intelectuales en el que se encontraba varó en un banco de arena y fue atacado por unos asaltantes. Pero Monge no tuvo ningún reparo en contestar la ofensiva mostrando sus cualidades de artillero consumado. Para cuando el ejército francés entró en El Cairo, el 20 de julio, después de la batalla de las Pirámides, Napoleón empezó a preocuparse por la reacción de los egipcios que insistían en matar todos los franceses que podían, pero, obviamente, más le preocupaba la postura de los ingleses, así que decidió volver secretamente a París y se llevó a Monge y a Berthellot. Y la última aventura fue el viaje de vuelta acompañando a Napoleón, preocupado fundamentalmente por la posibilidad de ser atrapado por los ingleses. Llegaron con un aspecto que mostraba a las claras que ni siquiera se habían mudado de ropa en todo el viaje. Cuando se produjo la retirada de Rusia, en 1812, Monge no participó de la campaña porque ya tenía sesenta y seis años. Cuando se enteró de la noticia de este fracaso, comprendió que era el fin del imperio napoleónico y se impresionó tan profundamente que tuvo un ataque de apoplejía.

Monge estimaba profundamente a Napoleón pero su patriotismo estaba basado en un gran amor a Francia y una convicción republicana. Por otra parte todavía no había claudicado a la hora de decir lo que pensaba, de modo que tampoco lo hizo con Napoleón y no dudó en enfrentarse con él cuando lo creía justo. Cuando se coronó emperador los alumnos de la Escuela Politécnica protestaron ostensiblemente como sólo sabían hacerlo los estudiantes y Napoleón se quejó a su amigo matemático, preguntándole si los politécnicos se habían vuelto en su contra, a lo que Monge contestó tranquilamente: "Es natural, me costó mucho trabajo hacerlos republicanos y como usted ha cambiado de casaca tan bruscamente, no he tenido tiempo todavía de hacerlos imperialistas".

Monge pasó sus últimos años retirado de la vida pública lo mejor que pudo. Casi siempre estaba en su casa de campo, donde podía descansar merecidamente después de llevar una vida tan significativa para la ciencia y para Francia. Pero había una razón más ingrata para ese ostracismo. Su doble carrera de revolucionario y favorito de Napoleón despertó las iras de los borbones y fue perseguido, viéndose obligado a cambiar de domicilio varias veces. Cuando murió, el 23 de julio de 1818, causó un hondo pesar en los círculos científicos pero los borbones se vengaron de él prohibiendo a los politécnicos asistir al entierro. De todos modos los estudiantes asistieron masivamente a rendir al gran geómetra el homenaje que

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indudablemente merecía. Con su geometría descriptiva Monge aportó una rama a la matemática que permitió representar en una hoja de papel problemas planteados por cuerpos en tres dimensiones. El móvil fue dar respuesta a los problemas de la ingeniería militar, el dibujo de máquinas y los métodos gráficos de construcción, pero también consiguió consolidar las ideas matemáticas que inventó Vitrubio en el s. I a.C., para la construcción de la Roma de Augusto, las investigaciones geométricas de Durero motivadas por su pasión por la pintura en la Alemania luterana y los avances de Leonardo da Vinci que buscó en la matemática las respuestas a interrogantes que le planteaban tanto la arquitectura como la pintura en el Renacimiento italiano.

Sophie Germain: (1776-1831). Estudió matemáticas en la biblioteca de su padre, banquero, durante los turbulentos años del París de la Revolución. Estudiaba de día y de noche y su familia también le tuvo que quitar las velas, para que no leyera tanto (como a Mary Somerville). Después mantuvo correspondencia con Lagrange y con Gauss, ocultándose bajo el seudónimo de Monsieur Le Blanc. Gauss se enteró de que era mujer cuando ésta intercedió para salvarle la vida cuando Napoleón invadió Prusia. Estudió problemas de elasticidad de superficies, valiéndose de los trabajos de Euler y recurriendo

a la geometría diferencial, definiendo para ello la noción de curvatura media. Sus trabajos avanzaron los conocimientos necesarios para poder realizar, un siglo más tarde, construcciones como la Torre Eiffel.

Johann Karl Friedrich Gauss: (1777-1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria. El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios

secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su

tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda

ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que

Gauss demostró.

En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación

de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las

Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba

de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar

si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde

los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y

numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en

1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir

de sus representaciones en el plano) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de

los números algebraicos.

Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de

predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez

pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por

él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación

astronómica.

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En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo

en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había

contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en

segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría

no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que

prescindiera del quinto postulado de Euclides; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó

en más de veinte años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.

Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la forma y el tamaño

del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los datos

experimentales, entre los cuales destaca la curva de distribución de errores que lleva su nombre,

conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de

la estadística.

Otros resultados asociados a su interés por la geodesia son la invención del heliotropo y, en el

campo de la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de las superficies

curvas que, desarrolladas en su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828),

sentaron las bases de la moderna geometría diferencial. También mereció su atención el

fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo eléctrico (1833).

Íntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha materia fueron los principios de la

teoría matemática del potencial, que publicó en 1840.

Otras áreas de la física que Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y, muy

especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el tratado Investigaciones dióptricas

(1841), en las cuales demostró que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una

sola lente con las características adecuadas. Fue tal vez la última aportación fundamental de Karl

Friedrich Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y rigor de

tratamiento le merecieron en vida el apelativo de “príncipe de los matemáticos”.

Nicolai Ivanovich Lobachevsky: (1793-1856). Era el hijo menor de un oficial ruso que murió cuando Nicolai tenía sólo 7 años, dejando una viuda y tres hijos con dificultades financieras. Se trasladaron a Kazán, los niños tuvieron un buen rendimiento académico y Lobachevsky se mostró especialmente brillante. Asistió a la recién fundada Universidad de Kazán a la edad de 14 años y allí se puso en contacto con distinguidos profesores, algunos de ellos procedentes de Alemania. A la temprana edad de 22 años, Lobachevsky se convirtió en miembro del equipo de enseñanza y en profesor al completo dos años

después. Como hombre paciente, metódico y trabajador se ganó el respeto de sus iguales, que le honraron con una sucesión de agradecidas labores administrativas. Fue nombrado bibliotecario de la universidad así como encargado del caótico museo universitario. Hizo todo el trabajo sin ayudantes, manteniendo en orden la biblioteca y el museo. En 1827 era rector de la universidad y con su acostumbrada buena naturaleza reorganizó el equipo, liberalizó la enseñanza y creó una infraestructura que incluyó la construcción de un observatorio. La universidad era su vida y la amaba. El gobierno, inexplicablemente, le despidió del puesto de rector y profesor. La vista de Lobachevsky empeoró, pero continuó sus investigaciones matemáticas. Su última publicación la dictó, pues estaba ya totalmente ciego. Publicó Sobre principios de geometría (1829), Nuevos fundamentos de la geometría (1838), Investigaciones geométricas sobre la teoría de las paralelas (1840) y Pangeometría (1855). Fue considerado el “Copérnico de la geometría”.

János Bolyai: (1802-1860). Había desarrollado una geometría no euclidiana simultáneamente a su padre, Farkas Bolyai. Matemático húngaro. A los 13 años ya

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dominaba el cálculo. Entre 1818 y 1822 estudió en el Colegio Real de Ingeniería en Viena. En 1832 publicó un completo tratado sobre geometría no euclídea, sin conocer a Nikolái Lobachevski, que tres años antes había publicado un estudio similar, por lo que sus logros matemáticos no fueron merecidamente reconocidos. Su padre le había enviado una carta a Karl Gauss para que este lo tomara como discípulo, pero este se negó, aduciendo que sus logros los había concebido diez años atrás, pero que no los había publicado, aunque en cartas a otros matemáticos reconoce su prominente genio. Ello desanimó irremediablemente a János Bolyai y nunca continuó su carrera como matemático. Perteneció al cuerpo de oficiales-ingenieros de la armada austríaca durante 11 años, donde se destacó por su gran capacidad lingüística, que le permitió hablar hasta nueve idiomas extranjeros (incluido el chino) y por sus cualidades de violinista, bailarín y esgrimista. En 1843, aquejado de fiebres, tuvo que jubilarse de su carrera militar. Desde entonces se dedicó a la investigación matemática. Murió de neumonía, el 27 de enero de 1860 en Marosvásárhely, Hungría. En su homenaje, se ha colocado su nombre a un cráter lunar.

Bernhard Riemann: (1826-1866). Hijo de un pastor, a pesar de su modesto origen consiguió una buena educación en Berlín y Gotinga, donde en 1854 se convirtió en Privatdozent, profesor ayudante. La Universidad de Gotinga necesitaba como presentación una Habilitationsschrift, o conferencia doctoral. La suya fue la conferencia introductoria más espectacular en la historia de las matemáticas. La tesis, titulada Sobre la hipótesis que radica en los fundamentos de la geometría, describía en los términos más amplios posibles lo que hacía de la geometría una materia. Definió la geometría como el estudio de las

variedades, espacios con o sin límite con cualquier número de dimensiones, junto a un sistema coordenado y una métrica para definir la distancia más corta entre dos puntos. Para Riemann, la geometría trataba esencialmente acerca de grupos ordenados de n-tuplas, combinadas de acuerdo a ciertas reglas; sus ideas sobre los espacios eran tan generales que eran casi no-espaciales, y así cualquier relación entre las variables podía ser considerada un espacio. Si no se define métrica alguna para un sistema, entonces estamos en la rama de las matemáticas conocida como topología, que estudia cómo las regiones del espacio están conectadas unas con otras.

Los dialectos del algebra

Vamos a ver los cambios que se desarrollaron en el álgebra cuando empezó a desarrollarse en Gran Bretaña y cómo se extendieron allí los métodos desarrollados en el continente. La proliferación resultante de los diferentes dialectos del álgebra llevó una revaluación fundamental de lo que eran realmente las matemáticas.

En el Reino Unido el análisis siempre ha ido rezagado con respecto al resto de Europa. Gran parte de la culpa radica en la notación newtoniana y su inferioridad respecto a los símbolos de Leibniz. Peacock publicó su Tratado sobre álgebra (1830) para establecer el álgebra como una ciencia demostrativa. El primer paso fue separar el álgebra aritmética del álgebra simbólica: los elementos de álgebra aritmética eran números y operaciones aritméticas, mientras que el álgebra simbólica es una ciencia que respeta las combinaciones de signos y símbolos sólo bajo determinadas condiciones, las cuales son independientes de los valores específicos de los símbolos en sí. Gracias a una fuerte determinación y a su brillantez, Boole escribió lo que ahora se considera el primer trabajo sobre lógica matemática. Por primera vez encontramos claramente establecida la visión de que las matemáticas no son una cuestión de contenidos sino de estructura. Una investigación de las leyes del pensamiento, de Boole (1854), clarificó estas ideas y estableció tanto la lógica formal como la nueva álgebra, ahora definida como lógica algebraica.

Hamilton presentó la visión definitiva de los números complejos, , como pares ordenados ; entonces intentó extender el sistema de los números complejos bidimensionales a

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tres dimensiones, lo que dio lugar a los cuaternios. Fue la primera teoría de lo que ahora conocemos como álgebras no conmutativas.

En este período el álgebra no sólo se libraba del marco de la geometría, sino que también la geometría quedaba liberada de los conceptos espaciales. En el área de las nuevas álgebras encontramos la lenta emergencia de los matemáticos americanos desde los balbuceos de la nueva nación.

Matemáticos destacables:

George Peacock: (1791-1858). Matemático británico. Profesor en el Trinity College y en la Universidad de Cambridge, llevó a cabo una importante labor de introducción en su país de las corrientes matemáticas europeas. Inició la estructuración del álgebra como sistema hipotético deductivo, al que intentó subordinar los diversos campos de la matemática. Publicó su Tratado sobre álgebra (1830) para establecer el álgebra

como una ciencia demostrativa. El primer paso fue separar el álgebra aritmética del álgebra simbólica: los elementos de álgebra aritmética eran números y operaciones aritméticas, mientras que el álgebra simbólica es una ciencia que respeta las combinaciones de signos y símbolos sólo bajo determinadas condiciones, las cuales son independientes de los valores específicos de los símbolos en sí.

Emmy Noether: (Erlangen, Alemania, 1882-1935). La admisión de mujeres en la universidad no era posible, porque “destrozaría el orden académico”. Se doctora en 1908. Colabora con Hilbert y Klein en la resolución de problemas relacionados con la Teoría de la Relatividad General. Fue la segunda mujer matemática que ayudó a Albert Einstein a alumbrar sus teorías. La primera fue su esposa, Mileva Maric, de la que un amigo común dijo que “... era la base sobre la que Albert se levantaba, era famoso gracias a ella”. Sus contribuciones en los campos de la física teórica y el álgebra abstracta son fundamentales.

August De Morgan: (1806-1871). Fue un ferviente seguidor de la nueva álgebra (lógica matemática). Nacido en India, asistió al Triniy College, Cambridge, pero no fue nombrado profesor ni de Oxford ni de Cambridge porque, a pesar de ser miembro de la Iglesia anglicana, se había negado a someterse al examen teológico necesario para obtener su MA. Por el contrario, a la edad de 22 años, fue nombrado profesor de la recientemente establecida y secular Universidad de Londres, posteriormente University College de Londres. Llevó las ideas de

Peacock hasta el límite y en 1830 afirmó que, “con una excepción, ni una sola palabra o signo aritmético o de álgebra tiene un átomo de significado en todo este capítulo, el objeto del cual son los símbolos y sus leyes de combinación, dando un álgebra simbólica que se puede convertir en el porvenir en la gramática de miles de diferentes álgebras”. Su única excepción era el símbolo para la igualdad, en el que en una expresión los símbolos e deben tener el mismo significado. Esto puede sonar extraño viniendo de un libro titulado Trigonometría y algebra doble (1830), en el que el álgebra doble se refiere a la naturaleza binaria de los números complejos como opuesta al álgebra simple de los números reales. Pero De Morgan pareció no comprender la extensión de su propia idea: habiendo observado la similitud entre el álgebra simple y la doble, pensaba que un álgebra triple o cuádruple no era posible. Ahí estaba muy equivocado.

Benjamin Peirce: (1809-1890). Matemático y astrónomo estadounidense. Profesor de matemáticas y astronomía (1833-1880) en Harvard, sentó la teoría de la fluidez de los anillos de Saturno y dirigió estudios geodésicos en el US Coast Survey. Los trabajos de Hamilton sobre los cuaterniones y su empleo de las matrices le llevaron al estudio de los sistemas de álgebras múltiples; en su obra Linear associative algebra (1870) introduce la noción de elemento idempotente.

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George Boole: (1815-1864). Matemático británico. Procedía de una familia venida a menos y tuvo que desestimar la idea de convertirse en monje al verse obligado a mantener a sus padres. A los dieciséis años enseñaba matemáticas en un colegio privado y más tarde fundó uno propio. A los veintecuatro años, tras la publicación de su primer escrito, pudo ingresar en Cambridge, pero desestimó la oferta, de nuevo a causa de sus deberes respecto a su familia. En 1849 le nombraron profesor de matemáticas del Queen’s College, en Cork, donde permaneció el resto de su vida.

El gran descubrimiento de Boole fue aplicar una serie de símbolos a operaciones lógicas y hacer que estos símbolos y operaciones (por elección cuidadosa) tuvieran la misma estructura lógica que el álgebra convencional. En el álgebra de Boole, los símbolos podían manipularse según reglas fijas que producirían resultados lógicos.

En 1854 publicó Investigación sobre las leyes del pensamiento, libro que trataba por completo de la lógica simbólica y su álgebra. La influencia de esta lógica matemática sobre las matemáticas modernas tendría una evolución lenta: si en un primer momento no parecía más que un intrincado juego de palabras, más adelante se vio que era de lo más útil y hasta completamente indispensable para conseguir la matemática lógica. Boole se casó a la edad de cuarenta años y tuvo cinco hijas, a las que no llegó a ver adolescentes.

Mary Everest Boole: (1832–1916). Sobrina de Sir George Everest, estudió matemáticas de manera autodidacta. George Boole, amigo de su padre, le dio clase durante dos años, casándose posteriormente con ella. Durante su matrimonio, Mary formó parte del grupo de estudiantes de Boole, revisando y corrigiendo sus manuscritos. Cuando George murió, Mary tenía 32 años y cinco hijas, pudo encontrar trabajo de bibliotecaria en el Queen’s College de Londres y aunque no podía enseñar, fue amiga y consejera de los estudiantes, organizaba tertulias donde se discutía sobre matemáticas booleanas, sobre la historia natural de

Darwin y sobre psicología.

Campos de acción.

Desde mediados del s. XVIII, los desarrollos del cálculo tuvieron estrecha relación con el análisis matemático de los fenómenos físicos y, en particular, con el movimiento en la termodinámica, la hidrodinámica y las investigaciones sobre la luz, la electricidad y el magnetismo, abordadas mediante la formulación de ecuaciones diferenciales para describir los fenómenos y el desarrollo de los métodos necesarios para resolver estas ecuaciones. Las dificultades para encontrar soluciones únicas llevaron a centrarse en métodos de aproximación. Aunque los fenómenos que se acaban de mencionar parecían ser físicamente diferentes, todos ellos se relacionaban en cierto sentido con el medio espacial. Sobre todo desde la época de los Principia de Newton, los argumentos se interesaban por la realidad de la acción a distancia; por ejemplo, ¿cómo podía la gravitación operar a través del espacio?, ¿eran la gravitación y el magnetismo aspectos diferentes de la misma fuerza o fenómenos distintos?

El cálculo leibniziano se había expandido para abarcar más de una variable independiente; esto fue posible gracias a la introducción de ecuaciones diferenciales parciales. Así las interacciones de las partículas en movimiento se podían representar mediante ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones mostraran los caminos que recorrían las partículas.

Se desarrolló la teoría de la perturbación, según la cual el recorrido orbital de un planeta no sólo es resultado de la interacción entre el planeta y el Sol, sino también de la interacción entre dicho planeta y todos los demás. Las ecuaciones necesarias para describir el movimiento planetario aumentaron en cantidad y en complejidad. En Francia se prefería los métodos analíticos a los geométricos, y esto llevó a ecuaciones aún más difíciles de manejar. Un representante típico del enfoque analítico es Lagrange, quien desarrolló un sistema de ecuaciones conocido como

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lagrangeano y cuya Mécanique analitique (1788) no tenía un solo diagrama en sus más de 500 páginas.

Muchos de los avances que tuvieron lugar en Francia se produjeron en un momento en el que pocos matemáticos pudieron escapar a las convulsiones de la Revolución francesa. El enfoque francés de aproximar funciones por medio de series de potencias truncadas, con la esperanza de lograr mejores aproximaciones si se tomaban más términos, fue blanco de críticas de muchos que buscaban métodos menos engorrosos. La obra de Riemann sobre espacios dimensionales superiores convirtió la geometría diferencial en el vehículo perfecto para modelar sistemas físicos en un marco único. Precisamente Maxwell expresó su teoría del electromagnetismo en la notación de la geometría diferencial.

A mediados del s. XIX había un vasto cuerpo de resultados experimentales y teóricos sobre electricidad y magnetismo. En los ochenta del s. XVIII, Charles Coulomb había descubierto experimentalmente que la fuerza electrostática entre dos partículas cargadas seguía la ley de la inversa del cuadrado. En 1812, Siméon-Denis Poisson trató la electrostática de una manera que recordaba la Mécanique céleste de Laplace, dando lugar a la ecuación de Poisson. En 1820, Hans Christian Oersted descubrió el electromagnetismo al mostrar que, al transmitir corriente, un alambre podía provocar la oscilación de una guja magnética. Esto dio a André-Marie Ampère la idea de estudiar la interacción entre electricidad y magnetismo, para la que acuñó el término electrodinámica. El descubrimiento de Faraday de la inducción electromagnética mostró que la electricidad y el magnetismo estaban inseparablemente ligados.

Aparece en 1828 el teorema de Green, debido a George Green, que surgió al tratar matemáticamente la relación entre las fuerzas internas y las de la superficie de un cuerpo, como una relación entre el volumen integral y la superficie integral.

En 1905, con Albert Einstein, vio la luz una reelaboración fundamental de toda la concepción del espacio y del tiempo. Dos usos tempranos de las ecuaciones de Maxwell se vieron en las comunicaciones telegráficas y de radio y transformó totalmente el panorama con su ecuación telegráfica, que tenía en cuenta la autoinductancia en las líneas de transmisión. Esto propició la introducción de las bobinas de inducción para incrementar el nivel de la señal a lo largo de los cables, como el cable transatlántico. Esto planteó a los físicos matemáticos el problema de modelar con exactitud cómo las ondas magnéticas viajaban alrededor de la atmósfera terrestre especialmente cuando el receptor está bajo el horizonte visual del transmisor. La industria de las telecomunicaciones no ha dejado de prosperar desde estos primeros días.

Matemáticos destacables:

Mary Fairfax Somerville: (1780-1872). Nació en Burntisland, en la costa norte de Escocia. Descubrió el gusto por la aritmética a los 13 años, en un colegio de Edimburgo. En su casa no la dejaban estudiar, pues era malo para las niñas, que podían quedarse estériles; le quitaban las velas con las que leía por las noches (Debemos terminar con el vicio de leer que tiene Mary o tendremos que ponerle una camisa de fuerza, decía su padre, vicealmirante de la marina británica). Sin embargo, con su tenacidad consiguió aprenderse los seis primeros libros de la geometría de Euclides y como diversión le gustaba plantearse problemas y resolverlos

mentalmente. Una vez encontró en un diario el siguiente rompecabezas matemático: "A una velada asistieron 20 personas. Mary bailó con siete muchachos, Ada con ocho, Jane con nueve, y así hasta llegar a Evelyn, que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos había en la velada?". Mary envió su solución al editor, profesor de la Universidad de Edimburgo, quien luego le proporcionaría libros de astronomía y de matemáticas superiores, adquiriendo así una formación autodidacta, pues no tenía acceso a la universidad. Hizo la traducción inglesa de la "Mecánica celeste" de Laplace, aportando notas aclaratorias, ejemplos y soluciones a los difíciles problemas propuestos por el autor. Después publicó dos libros, La conexión entre las ciencias

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físicas y Geografía física, fue nombrada miembro honorífico de la Royal Astronomical Society y se erigió una estatua en su memoria en la sede de esta Sociedad. Sus libros son usados por matemáticos, científicos y estudiantes. Muere a los 92 años, sin parar de trabajar, publicando ese mismo año La ciencia molecular y microscópica.

Augustin-Louis Cauchy: (1789-1857). Eludió los peores excesos de la Revolución francesa cuando su familia se marchó por un tiempo de París. Tras graduarse en la École Polytechnique trabajó en las instalaciones portuarias para la invasión de Inglaterra que Napoleón tenía planeada. Pero lo que de verdad deseaba era dedicarse a las matemáticas y, después de muchas decepciones, fue nombrado profesor asistente de análisis en la École Polytechnique. Su producción fue portentosa: sus trabajos más importantes son el Cours d’analyse (1821) y las Leçons sur le calcul differential (1829), mientras que sus obras escogidas llenan 27

gruesos volúmenes. Pero en el clima político de la Francia de comienzos del s. XIX, sus acendradas convicciones católicas no fueron bien recibidas en muchos sitios y sus relaciones con los colegas solían ser tensas. Por apoyar a los jesuitas contra la Académie de Sciences y negarse a jurar lealtad al nuevo régimen de 1830, fue expulsado de todas sus posiciones y marchó al exilio bajo Carlos X. A su regreso a París se prescindió dos veces de él para ocupar la cátedra de matemáticas en el Collège de France pese a ser, con mucha diferencia, el mejor candidato. Sólo en 1848, con el derrocamiento de Luis Felipe, recuperó sus puestos universitarios. Entre 1840 y 1847, Cauchy publicó sus Exercices d’analyse et de physique mathématique en 4 volúmenes. Cauchy coadyuvó a establecer las bases del análisis real y del análisis complejo, que constituyen el fundamento de la física matemática.

Sofia Kowalevsky: (San Petersburgo, Rusia, 1850-1891). Sofía Vasilievna Korvin-Krukovski Kowalevsky se sintió atraída por las matemáticas desde muy joven, pero para poder estudiarlas tuvo que vencer la oposición de su familia, que consideraba que su estudio no era apropiado para una joven. Se vio obligada a aceptar un matrimonio de conveniencia con Vladimir Kovalevsky para así poder salir de Rusia y tener acceso a una educación de nivel superior. Tampoco en Alemania las cosas estaban mucho mejor, pero Karl Weierstrass le dio clases privadamente y dirigió su tesis doctoral. Gracias a la intervención de Mittag-

Leffler conseguiría una plaza de profesora en Estocolmo, donde desarrollaría la parte más importante de sus investigaciones matemáticas. En 1886 le otorgan el premio Bordin de la Academia Francesa de Ciencias, y en 1889 consiguió una cátedra, era la tercera mujer que lo conseguía. Su papel en las ecuaciones diferenciales parciales es actualmente conocido como el Teorema de Cauchy-Kowalevsky, que da condiciones para la existencia de soluciones de una cierta clase de ecuaciones diferenciales parciales.

La captación del infinito.

A lo largo de la historia, matemáticos y filósofos han luchado con el concepto de infinito. El horror helénico a los infinitos y su inversa, los infinitesimales, ha resurgido una y otra vez en las definiciones del cálculo. Finalmente el s. XIX se enfrentó de lleno al problema. Muchas ramas de las matemáticas se desarrollaron gracias al trabajo de muchas mentes, pero la batalla con el infinito y la consecuente fundación de la teoría de conjuntos fueron obra de un solo hombre: George Cantor. Para ello sirvieron de acicate el uso creciente de series infinitas y las dudas acerca de su validez. Cauchy reformuló los conceptos básicos del cálculo más en términos de aritmética que de geometría (es lo que se llamó la aritmetización del cálculo). En una inversión de la tradición griega que otorgaba a la geometría un puesto de honor como la más rigurosa de las disciplinas, el objetivo del s. XIX fue el relanzamiento del análisis a imagen de la aritmética. Y esto se hizo mediante el uso cada vez mayor de funciones con variables múltiples y complejas, cuya visualización era muchas veces imposible.

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Hacia los años cincuenta del s. XIX se aceptaba que los números reales se podían dividir en

dos tipos de dos maneras diferentes: como racionales ( ) e irracionales (no racionales

) o como algebraicos (eran las soluciones de ecuaciones polinomiales) y trascendentes (números no algebraicos).

Matemáticos destacables:

Joseph Fourier: (1768-1830). Ingeniero y matemático francés. Era hijo de un sastre, y fue educado por los benedictinos. Los puestos en el cuerpo científico del ejército estaban reservados para familias de estatus reconocido, así que aceptó una cátedra militar de matemáticas. Tuvo un papel destacado durante la revolución en su propio distrito y fue recompensado con una candidatura para una cátedra en la École Polytechnique. Fourier acompañó a Napoleón en su expedición oriental de 1798 y fue nombrado gobernador del Bajo Egipto. Aislado de Francia

por la flota británica, organizó los talleres con los que el ejército francés debía contar para sus suministros de munición. También aportó numerosos escritos sobre matemáticas al Instituto Egipcio que Napoleón fundó en El Cairo.

Tras las victorias británicas y la capitulación de los franceses al mando del general Menou en 1801, Fourier volvió a Francia donde fue nombrado prefecto del departamento de Isère, y empezó sus experimentos sobre la propagación del calor. Se trasladó a París en 1816 y en 1822 publicó Teoría analítica del calor, basándose en parte en la ley del enfriamiento de Newton.

A partir de esta teoría desarrolló la denominada serie de Fourier, de notable importancia en el posterior desarrollo del análisis matemático y con interesantes aplicaciones en la resolución de numerosos problemas de física (más tarde, Dirichlet consiguió una demostración rigurosa de diversos teoremas que Fourier dejó planteados). Dejó inacabado su trabajo sobre resolución de ecuaciones, que se publicó en 1831, y que contenía una demostración de su teorema sobre el cálculo de las raíces de una ecuación algebraica.

Bernard Bolzano: (1781-1848). Matemático checo. Tras estudiar teología, filosofía y matemáticas, fue ordenado sacerdote en 1805. Profesor de religión en Praga y matemático aficionado, en 1820 las autoridades le prohibieron ejercer cualquier actividad académica a causa de su posicionamiento crítico con respecto a las condiciones sociales vigentes en el Imperio Austrohúngaro. Las inquietudes científicas de Bolzano resultaron muy avanzadas para su tiempo, preocupado como estaba por los fundamentos de varias ramas de la matemática, a saber, la

teoría de funciones, la lógica y la noción de cardinal. Tras demostrar el teorema de valores intermedios, dio el primer ejemplo de una función continua no derivable sobre el conjunto de los números reales. En el campo de la lógica, trató la tabla de verdad de una proposición e introdujo la primera definición operativa de deducibilidad. Así mismo estudió, con anterioridad a Cantor, los conjuntos infinitos. Desarrolló ideas interesantes que desafortunadamente quedaron sin descubrir hasta mucho más tarde. Trabajó en una aritmetización muy similar a la del cálculo de Cauchy, con quien se encontró cuando éste se exilió en Praga. En Paradoxien des Unendlichen, publicado póstumamente en 1850, Bolzano mostró que las paradojas como las descubiertas por Galileo son comunes no sólo ente los números naturales sino también entre los reales.

Bertrand Russell: (1872-1970). Filósofo, matemático, político y ensayista, fue definido como un “escéptico apasionado". Tanto el escepticismo como la pasión han caracterizado su extensa obra y su vida inquieta. En su Autobiografía explica que han sido tres las pasiones ("simples pero abrumadoramente intensas") las que motivaron su vida: "el ansia de amor, la búsqueda de conocimiento y una insoportable piedad por el sufrimiento de la Humanidad. Estas tres pasiones como grandes vendavales, me han zarandeado por una ruta cambiante". Pero su escepticismo le ha marcado los

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rumbos llevándolo a fundar sus convicciones sólo en los casos en que las pruebas racionales se lo garantizaban. Así combatió duramente los prejuicios de los sistemas políticos, pautas sociales y credos religiosos que, en lugar de basarse en la razón, lo hacían en el ansia de poder, en la fe o en la costumbre. Estaba convencido de que para resolver los problemas de la humanidad hacía falta que las personas alcanzaran la independencia basando sus convicciones en elementos de juicio valederos.

Russell nació en Trellec, Gales, el 18 de mayo de 1872 en una familia de nobles políticamente reformistas. Cuando tenía dos años murió su padre y antes que cumpliera cuatro, también murió su madre, así que quedó al cuidado de sus abuelos y le dieron una educación puritana. No supo casi nada de sus padres durante su solitaria infancia y adolescencia en que fue educado por institutrices alemanas y suizas, y algún tutor inglés, y casi no tenía contacto con otros chicos. Llegado a los 21 años conoció los detalles de la vida de sus padres y su manera de pensar y, como él mismo declara, con sorpresa advirtió que él mismo había seguido prácticamente las mismas inclinaciones de su padre. Como era tradicional en la familia Russell, se esperaba que el padre de Russell se dedicara a la política. Estuvo un corto período en el parlamento y se presentó en las elecciones de 1868. Ya a los 21 años se negó a asistir a la iglesia el día de Navidad porque consideró que ya no era cristiano y se identificó con posturas demasiado revolucionarias para la época, como el sufragio femenino y el control de la natalidad. Todo esto le valió una campaña en su contra, se lo acusó de inmoralidad, un obispo católico le achacó defender el infanticidio y perdió las elecciones. Aunque quería seguir su carrera política ya no consiguió otra candidatura. La madre, que compartía las opiniones de su marido, también tuvo una actuación pública organizando protestas en favor de los derechos de la mujer en plena década de los 60. Aunque tenían previsto educar liberalmente a Bertand Russell y asignaron para él dos tutores librepensadores, los abuelos, a la muerte de los padres, hicieron revocar el testamento para brindarle una formación cristiana. El abuelo, lord John Russell, murió al poco tiempo de hacerse cargo de su nieto así que la abuela, presbiteriana escocesa, fue la que condujo la infancia de Russell. Ella poseía una rígida moral puritana: despreciaba el confort, nada de vino, ni comida en exceso ni tabaco y quería que sus hijos y sus nietos llevaran una vida útil y virtuosa. Como protestante estaba convencida del valor del juicio personal para forjar las convicciones. En lo político era decidida enemiga del imperialismo y enseñó a Russell a desarrollar un espíritu crítico ante las decisiones de los gobernantes. En el salón de su casa tenían una estatua de Italia que había regalado a su abuelo el gobierno italiano con la inscripción "A lord John Russell l'Italia Riconoscente". Esta obra de arte despertó de tal modo la curiosidad del pequeño Bertrand que aprendió la historia completa de Garibaldi y la unificación italiana. Pero la biblioteca de su abuelo fue la que lo estimuló en un sentido más amplio: llenó los vacíos de su solitaria infancia y se convirtió en su cuarto de estudios, en ella leyó los clásicos y codició algunos libros que no pudo leer por ser demasiado pesados para moverlos. Desde los catorce años dedicó sus esfuerzos a revisar sus creencias religiosas. Durante unos meses pudo compartir sus especulaciones con un tutor agnóstico que tuvo, pero pronto lo despidieron justamente por ese motivo y desde ese momento guardó para sí esas cuestiones y las anotaba en su diario con caracteres griegos para que nadie las leyera. Finalmente, a los 18 años descartó la idea de la existencia de Dios al decidir que los argumentos en que había creído eran contradictorios. Para esta época fue a estudiar a Cambridge donde empezó una vida socialmente diferente cuando en 1890 ingresó al Trinity College, en donde estudió matemática y filosofía hasta 1894. Él mismo dice refiriéndose a esta etapa de su vida: "Cambridge me abrió un mundo nuevo de infinito encanto. Por primera vez me encontré con que mis opiniones parecían ser aceptadas como dignas de consideración".

Esta apertura social y la posibilidad de compartir las inquietudes intelectuales con gente de su edad le permitió vivir una época hermosa. "Encontré, dice, un grupo de compañeros capaces, bastante serios y trabajadores, pero interesados en muchas cosas aparte de su labor académica (poesía, filosofía, ética), en todo tipo de aventura intelectual. Acostumbrábamos a quedarnos discutiendo hasta tarde los sábados a la noche. El domingo nos encontrábamos para desayunar ya tarde y nos íbamos a pasear el resto del día. Los jóvenes inteligentes no habían adoptado la

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cínica superioridad que vino unos años más tarde. El mundo parecía sólido y esperanzador; todos nos sentíamos convencidos de que el progreso del s. XIX iba a continuar, y que nosotros mismos teníamos que ser capaces de contribuir con algo valioso. Para los que han sido jóvenes después de 1914, debe ser difícil de imaginar la felicidad de aquellos días".

Después de 1894 pasó algún tiempo en el extranjero. Estuvo como delegado honorario en la embajada británica en París pero, como no deseaba seguir la carrera diplomática, la dejó a los pocos meses. Luego se casó (por primera vez, lo hizo cuatro veces) y pasó gran parte del año 1895 en Berlín estudiando economía y la social-democracia alemana. En 1896 estuvo con su esposa tres meses en América y luego se establecieron en Sussex. El año 1900 fue, según él mismo lo manifestara, el más importante de su vida intelectual y el hecho que lo determinó fue la concurrencia al Congreso Internacional de Filosofía de París. Comenzó así el período más fructífero de su vida. Fue fundamentalmente un filósofo; así como otros se dedicaron a la matemática porque les interesaba la física o la ciencia natural, Russell lo hizo por la filosofía y este congreso fue determinante para su carrera de matemático.

Publicó en esta época algunas de sus obras más importantes: Sobre la denotación (1905), Los problemas de la filosofía (1912) y su obra más conocida, Principia Mathematica (1910-1913). Por más que siempre se interesó por la actualidad política y social y hasta fue candidato al parlamento en 1907, la Segunda Guerra Mundial fue lo que dio un vuelco a su vida. Desde 1910 fue profesor del Trinity pero en 1916 fue apartado de la cátedra por sus actividades antibelicistas. En 1918 estuvo seis meses en la cárcel por haber escrito un panfleto abiertamente antiamericano en el que acusaba al ejército de "intimidar a los huelguistas de su país". Pero su tiempo en la cárcel no estuvo perdido porque lo aprovechó para escribir una de sus obras más notables: Introducción a la filosofía matemática. Aunque en 1919 se le invitó nuevamente a la Universidad, prefirió dejar su carrera académica y vivir de sus libros y conferencias.

Por cuestiones teóricas Russell era contrario al régimen político implantado en Rusia tras la revolución de principios de siglo, pero en 1920 decidió viajar allí para tener una experiencia directa. Conoció personalmente a Lenin, Trotsky y Gorki. Con estos encuentros privados con dirigentes y las amplias facilidades que allí se le brindaron para informarse sobre el funcionamiento del sistema comunista, reafirmó sus opiniones. Dice, "no encontré nada que me gustara ni pudiera admirar". Muy frecuentemente reconoció que este viaje fue uno de los acontecimientos definitivos en su vida a cuyo regreso publicó Teoría y práctica del Bolchevismo, en donde critica al régimen soviético. Después de volver de Rusia fue invitado a China donde estuvo casi un año. Cuando cuenta las experiencias de este viaje dice que "el espíritu oriental de este pueblo me enseño a pensar el tiempo en grandes períodos y a no desesperar por la precariedad del presente". Sus obras directas y polémicas contienen ideas sobre educación, moral y cuestiones sociales, que lo llevaron a ser una figura controvertida. No es de extrañar que en 1940 se le prohibiera ocupar una cátedra en la universidad en una de las más notables persecuciones religiosas del s. XX. La década del 40, con una notable producción filosófica, le trajo un gran reconocimiento: lo nombraron Miembro Honorario de la British Academy y Orden del Mérito, en 1949. Al año siguiente recibió el Premio Nobel de Literatura y bien podría haber recibido el de la Paz ya que sus últimos años los pasó entregado a tareas de solidaridad que lo han llevado a convertirse en un mito.

Junto con Einstein creó en 1953 el Movimiento Pugwash, para oponerse a los peligros de la guerra atómica y a la política de bloques. En 1961, a los 89 años de edad todavía tenía espíritu para protestar en actos públicos contra las armas nucleares y hasta para pasar un tiempo en la cárcel por organizar una marcha de protesta antinuclear en Inglaterra. En 1967 promovió un tribunal para juzgar la agresión norteamericana en Vietnam y consiguió que Jean Paul Sartre aceptara formar parte de él como presidente.

¿Y qué lugar tuvo la matemática en la vida de este pacifista europeo? Russell se enganchó verdaderamente con la matemática a los once años de edad. "Un gran suceso en mi vida, dice, fue mi encuentro con Euclides. Cuando superé el desengaño que siguió al descubrimiento de que partía de axiomas que tenían que ser aceptados sin prueba, llegué a disfrutar mucho con él.

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Durante el resto de mi niñez las matemáticas absorbieron en gran parte mi interés". Más adelante, en el año 1900, que como se dijo antes fue trascendental en su evolución, tuvo la oportunidad de conocer a Peano en el Congreso Internacional de Filosofía de París. Le impresionó el hecho de que este matemático y sus discípulos hablaban con una precisión que nadie más tenía en las discusiones. A partir de ese momento se dedicó al estudio de la matemática y, basándose en los trabajos de Cantor, Frege y del mismo Peano, se propuso fundamentar y axiomatizar la matemática a partir de la lógica. Este empeño culminó con la publicación de su monumental obra Principia Mathematica (en colaboración con Whitehead), sentando además las bases de una moderna lógica formal.

Su trascendental aportación a la matemática surgió como una manera de precisar la filosofía y, contando con la habilidad que había desarrollado en la niñez, lo llevó a aportar mucho a la filosofía de la matemática así como también a la epistemología y la metafísica. No es de extrañar esta integración entre las ramas del saber en un hombre que manifestó genio y sensibilidad en los campos más diferentes. Dice él mismo que la historia siempre le había interesado más que nada, a excepción de la filosofía y la matemática. Sus intereses políticos, aunque secundarios, eran de todos modos muy serios, a pesar de que sus mayores siempre esperaron que fueran prioritarios. Creció con la idea de que cualquier cosa es buena si se hace en contra de la monarquía, a no ser que fuese hecha por la Iglesia. A pesar de que su familia pertenecía a la nobleza, era reformista y republicana y él puede considerarse un independiente en política.

La Guerra del 14 llamó su atención sobre la psicología social porque le "chocó especialmente el hecho de que al principio, mucha gente parecía gozar con la guerra". En filosofía consideró que era misión del filósofo convertirse en un verdadero espejo del mundo, lo más fiel posible, y precisamente por esto se dedicó a escribir sus ideas para el lector de cultura general. En este sentido también trabajó en la divulgación científica y produjo varias obras. El ABC de la relatividad, por ejemplo, es una sugestiva y extraordinariamente rigurosa vulgarización de la teoría de Einstein.

Aunque su prestigio ya estaba ganado con su contribución a la filosofía de la matemática, abrió sus ideas a un público más amplio con una extensa producción literaria. En sus escritos se combinan la claridad, el estilo literario, la agudeza y el pensamiento enérgico. Tiene el mérito de haber llegado al público general, no sólo por su estilo sino también porque captó los grandes cambios de la época y no dudó en pronunciarse en temas espinosos. Sus conceptos sobre la educación engloban su visión de las cosas. Decía que hay que educar a las personas para la felicidad, felicidad como sinónimo de vida buena, constituida en gran parte por la casa, la comida, el amor, el éxito en el propio trabajo y el respeto de los demás. En este sentido se pronunció a favor de las relaciones prematrimoniales como medio de formar en la juventud criterios válidos forjados en la experiencia, se mostró partidario del trabajo profesional de la mujer fuera del hogar y de no hacer de la reproducción el único fin de las relaciones sexuales. Aunque pregonaba conceptos básicos de los credos religiosos, no era partidario de la religión organizada porque la consideraba una manera de control social y de intolerancia. Creía que el secreto para que no prosperaran los males de la Humanidad era despertar, mediante la educación, el espíritu crítico en las generaciones jóvenes.

En la época que dedicó sus esfuerzos a la educación habían nacido sus hijos, durante su segundo matrimonio, y por ese motivo fundó, junto con su esposa, una escuela, pero no tuvo mucho futuro ya que Russell no era bueno como administrador. En suma, su idea de aceptar sólo las razones evidentes las aplicó tanto a la matemática como a su vida entera. Al cumplir los 80 años opinó que le gustaría vivir otros diez años más (llegó casi hasta los 100) con la buena salud de que gozaba y que atribuía al "hábito de la alegre controversia olímpica, al estar siempre ocupado y evitar los excesos, salvo fumar”, y dice: “hasta los cuarenta y dos años no fumé pero luego he fumado sin cesar, interrumpiéndome sólo para comer y dormir".

No es casual que Russell se haya dedicado a la matemática motivado por el estudio de la filosofía ya que en esa época los problemas que se planteaban necesitaban pensadores que definieran una nueva filosofía de la matemática. Si bien Russell vio en el trabajo de los

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matemáticos herramientas que le sirvieron para la filosofía y por esto empezó a hacer matemática, finalmente las necesidades concretas de tener una lógica confiable lo llevaron a sentar las bases de la teoría de los conjuntos.

De dados y de genes.

El estudio de la probabilidad, tal como hoy la concebimos, no comenzó hasta el s. XVII. Más larga es la historia de las investigaciones en las combinaciones y permutaciones de objetos o acontecimientos, por las que se mostró gran interés en la India del año 300 a. C., sobre todo por parte de los matemáticos jainíes.

El estudio de las combinaciones y permutaciones se conoce hoy como matemática combinatoria. La teoría de la probabilidad llegó a un nuevo nivel de sofisticación con la correspondencia de 1654 entre Pascal y Fermat. El primer estudio teórico de las probabilidades comprendidas entre 0 y 1 se encuentra en Ars conjectandi de Jakob Bernoulli, de 1713. En un contexto social, la teoría de la probabilidad se veía como cálculo de la conducta racional. Sin embargo, las estadísticas matemáticas se pueden considerar un avance de finales del s. XIX, que produjo al mismo tiempo los métodos estadísticos de los astrónomos y la recogida de datos de los expertos en seguros.

La tradición biométrica fue fundada por Francis Galton (1822-1911), primo de Charles Darwin, quien usó métodos estadísticos en el análisis de datos sociales y características hereditarias. La principal ambición del llamado movimiento eugenista (eugenesia= genética humana) era mejorar la especie humana mediante la crianza selectiva, y se consideró que la estadística proporcionaba una visión cuantitativa de la evolución y una mano orientadora en su progreso.

Hacia los años veinte del s. XX, los matemáticos vieron en la estadística un tema de investigación legítimo que llevaba a un mayor rigor y a métodos más sutiles.

Matemáticos destacables:

Francis Galton: (1822-1911). Fue un polímata: antropólogo, geógrafo, explorador, inventor, meteorólogo, estadístico y psicólogo británico. Estudió Medicina en el hospital de Birmingham, en Londres y en Cambridge. Terminados los estudios en 1844, emprendió -como su primo el gran Charles Darwin, y también como muchos estudiosos ingleses de la época- una larga serie de viajes: en 1845-46 estuvo en Sudáfrica; en 1850 exploró el Damaraland en el sudoeste africano; fruto de tales andanzas fueron dos libros: Explorer in Tropical South Africa (1853) y Arte de viajar (Art of Travel, 1855). En 1860 emprende nuevo viaje,

esta vez a España. Sólo a partir de 1860 se dedica íntegramente a la investigación científica, primero a la

Meteorología, y en 1863 publica Meteorographica, notable obra en la que se contiene la primera exposición de una teoría de los anticiclones (es el inventor de este vocablo) y en la que se hace también por primera vez un uso sistemático de mapas meteorológicos. Inspirado por la reciente publicación del Origen de las especies, de Darwin, se dedicó a continuación a la antropología, teoría de la herencia y estadística demográfica, escribiendo sobre tales temas muchos libros, de los cuales los más notables son Hereditary Genius (1869) y La herencia natural (1889). Mientras su contribución a la teoría de la herencia (leyes de la regresión filial y de la herencia ancestral), que gozó de mucha popularidad en su tiempo, ha sido modernamente superada por el desarrollo de la genética mendeliana-weismaniana, sus estudios de estadística, por el contrario, dedicados sobre todo a la investigación de las correlaciones de los caracteres cuantitativos, conservan todavía un cierto valor. Fue quien introdujo las nociones de regresión y de correlación. El concepto estadístico de regresión surgió de un estudio sobre guisantes.

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Karl Pearson: (1857-1936). Matemático británico. Fue profesor en el University College de Londres, donde impartió enseñanzas de matemáticas, mecánica y genética. Considerado como uno de los fundadores de la estadística, llevó a cabo investigaciones en el campo de la herencia y de la genética. En 1902 fundó junto con Galton la revista Biometrika, que se convirtió en la principal revista de estadística.

Ronald Aylmer Fisher: (1890-1962). Matemático y biólogo británico. Se graduó por la Universidad de Cambridge en 1912. Pionero en la aplicación de métodos estadísticos al diseño de experimentos científicos, en 1919 comenzó a trabajar en la estación experimental de Rothamsted, donde realizó trabajos estadísticos relacionados con la reproducción de las plantas. Desarrolló técnicas para obtener mayor cantidad de información útil a partir de muestras de datos más pequeñas, introdujo el principio de aleatoriedad en la recogida de muestras y el análisis de la varianza o análisis multivariacional. Publicó su metodología estadística en 1925 en Methods for Research

Workers. Trasladó sus investigaciones al campo de la genética en The Genetical Theory of Natural Selection (1930), que resume sus puntos de vista sobre la eugenesia y el papel de control que ejercen los genes sobre los caracteres dominantes, y en el que considera la selección como la fuerza directriz de la evolución, más que la mutación. En 1933 ocupó la cátedra Galton de eugenesia en la Universidad de Londres, y de 1943 a 1957, la cátedra Balfour de genética en la Universidad de Cambridge. Los últimos años de su vida los pasó trabajando para la Commonwealth Scientific and Industrial Research Organization en Adelaida.

Juegos de guerra.

A los humanos siempre les han gustado los juegos y toda época ha tenido sus costumbres sobre ello. La mayoría de los juegos son una combinación de habilidad y de azar en los que el auténtico buen jugador hace su aparición una vez que las vicisitudes del destino se han visto equilibradas tras muchos juegos consecutivos. Sin embargo, hay juegos que se basan en la mera estrategia: son los que constituyen el tema de estudio de la teoría de juegos. También hay juegos que son literalmente a vida o muerte. Como en un campo de batalla simulado los errores tácticos son menos costosos, los estrategas militares han recurrido siempre al juego de la guerra para refinar sus habilidades. Tal vez no sea casual que tanto el ajedrez como el juego chino del go sean juegos de guerra sublimados. Tampoco sorprende que la primera aplicación práctica de la teoría de juegos fuera el análisis de un nuevo tipo de guerra, que es potencialmente la última.

En el s. XIX, el éxito militar del ejército prusiano se atribuyó en gran parte a su refinamiento táctico, adquirido durante las simulaciones del Kriegspiel (juego de guerra de tablero). Era cada vez más evidente que el desarrollo de nuevas armas y de sistemas de aprovisionamiento implicaba la revisión de los fundamentos de la estrategia militar. Así pues, los militares no sólo necesitaban matemáticos y científicos para desarrollar el hardware militar, sino también para asesoramiento estratégico, hasta entonces dominio exclusivo de los grandes generales de la historia militar.

Pero los juegos estratégicos fueron objeto de análisis matemáticos para aumentar la comprensión de la teoría con aplicabilidad práctica. Émile Borel, matemático francés y Ministro de la armada francesa en los años veinte, escribió La Théorie du jeu, obra en la que analizó el engaño en el póker y la aplicación de las matemáticas de los juegos en economía política. John Von Neuman y Oskar Morgenstern presentaron la teoría de juegos como un modelo de interacciones económicas. Los economistas tardaron en hacer suya la nueva teoría, que en sus primeros años se asoció a estrategias militares.

El tipo más simple de juego es el de dos jugadores, dos estrategias y suma cero, es decir, un juego en el que cada uno de los dos jugadores perfectamente racionales trata de ganar y en el que la utilidad total es igual a cero, o sea, el beneficio de un jugador es la pérdida del otro. En los años

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cuarenta John Forbes Nash extendió las teorías de Von Neumann a juegos que no eran de suma cero.

En 1948 se constituyó la RAND Corporation, una organización sin fines de lucro con financiación procedente de sectores militares y empresariales. Es la fuerza intelectual arquetípica, cuyos cerebros estaban para pensar lo impensable. RAND es la abreviatura de research and developmen (investigación y desarrollo), la mayor parte de lo cual se centraba en las estrategias racionales para un mundo nuclear. Casi todos los matemáticos estadounidenses de los años cuarenta y cincuenta trabajaron allí en algún momento. RAND funcionó más como universidad que como agencia militar, y hoy existen otros centros intelectuales de este tipo estimulados por el éxito de RAND.

Aunque su desarrollo inicial fue lento, la teoría de juegos es hoy parte integral del análisis de la economía de mercado. Un uso reciente de ella es el fenómeno global de la subasta de licencias de utilidad pública a empresas privadas, con el doble objetivo de obtener ingresos muy necesarios y de abrir nuevos mercados. Todo el mercado global es una situación cambiante entre colaboraciones y competición: un mundo de teoría de juegos.

Matemáticos destacables:

János von Neumann: (1903-1957). Conocido como John Von Neumann, nació en Budapest y desde muy temprana edad mostró formidables habilidades para el cálculo. En 1921 obtuvo una de las plazas limitadas reservadas a los judíos en la Universidad de Budapest, y en 1926 se le concedió el doctorado por una tesis sobre teoría de juegos, a pesar de no haber asistido nunca a clase. Este tiempo lo pasó en Berlín y en Zurich estudiando química, que era la carrera a la que su padre lo había destinado, mientras aprendía matemáticas con Hermann Weyl y George Pólya y luego con David Hilbert en Gotinga. En 1930 marchó a Princeton y en 1933 se

convirtió en uno de los cinco matemáticos que se encontraron en el recién fundado Institute for Advanced Studies, donde pasaría el resto de su vida de trabajo. Cuando los nazis llegaron al poder, renunció a sus puestos en Alemania y decidió establecerse en los Estados Unidos, no como un refugiado, sino porque pensaba que allí había más oportunidades. A partir de 1940 ocupó muchos cargos de asesoramiento científico sobre cuestiones militares, trabajó en Los Álamos en mecánica cuántica para la producción de la bomba atómica y en 1955 fue designado para la Comisión de Energía Atómica. De los días de Zurich, Pólya recuerda que “Johnny era el único estudiante al que siempre tuve miedo. Si en el curso de una lección enunciaba un problema sin resolver, era casi seguro que al terminar la lección viniera a verme con la solución completa en unos cuantos garabatos en un trocito de papel”. Murió en 1957 de cáncer y sus amigos hablan de la desesperación de Neumann ante la idea de perder las facultades mentales tras toda una vida cultivándolas. Su obra más recordada versa sobre teoría de juegos, mecánica cuántica y computación.

John Forbes Nash: (1928- ). Nació el 13 de junio de 1928 en Virginia occidental, hijo de un ingeniero electrónico y una maestra. Tuvo la infancia de un superdotado intelectual: aprendió a leer muy pronto, fue incapaz de prestar atención en clase, obtuvo siempre malas notas y demostró una aversión congénita a la disciplina. El mayor problema, sin embargo, fue su falta de amigos, nunca logró establecer relaciones personales. Sólo dos chicos de su edad se aproximaron a él en la adolescencia, cuando instaló en su sótano un laboratorio para fabricar explosivos. Uno de ellos, Herman Kirschner, se mató manipulando un artefacto, y

el otro, Donald Reynolds, fue enviado por sus padres a una academia militar para que no volviera a tratarse con alguien tan raro como el joven Nash. El talento científico de Nash era evidente, pese a su torpeza social. En 1945 ingresó en el Instituto Carnegie de Tecnología de Pittsburgh y, tras probar sin éxito la ingeniería y la química, empezó a interesarse seriamente en

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las matemáticas. A esas alturas resultaba obvia la disparidad entre su madurez intelectual y su retraso emocional. Por esa época asistió a un breve curso de comercio internacional, su única relación conocida con la economía. Con la II Guerra Mundial recién concluida y el prestigio de los científicos por las nubes (el prodigio nuclear había vencido a Japón y ofrecía, según se pensaba entonces, un futuro de recursos energéticos ilimitados), las mejores universidades se disputaron al joven Nash. Él optó, en 1948, por Princeton, la meca de las matemáticas, el selecto club donde trabajaban Albert Einstein, Robert Oppenheimmer (creador de la bomba atómica) y John von Neumann (pionero en la teoría de los juegos, un asunto que había de marcar a Nash). El chico de la mente prodigiosa se había convertido en un hombre alto y atractivo, encerrado en sí mismo salvo por algún arranque de pasión, obsesionado en problemas de geometría y lógica, enemigo de los libros (quería aprenderlo todo por sí solo) y marginado por excéntrico en un lugar donde todo el mundo, desde Einstein hasta el último estudiante, tendía a la rareza. La tesis doctoral de Nash, 27 páginas escritas a los 21 años, contenía los elementos de una revolución en la teoría económica. Aplicó la teoría de los juegos de Von Neumann a situaciones que implicaran conflicto y ganancias, y concluyó que la "partida" concluía cuando cada jugador, de forma independiente, elegía su mejor respuesta a la estrategia de sus adversarios. Esa idea simple, "el equilibrio de Nash", permitía reemplazar con razonamientos científicos la vieja idea de Adam Smith, la "mano invisible" que movía los mercados. Recibió el Premio Nobel de Economía de 1994 por sus aportaciones a la teoría de juegos y los procesos de negociación, junto con Reinhard Selten y John Harsanyi. Su vida fue llevada a la pantalla en 2001 con el título Una mente maravillosa, dirigida por Ron Howard y protagonizada por Russell Crowe

Matemáticas y arte moderno.

Ahora nos centraremos en la influencia de las matemáticas, a veces en conjunción con la física, en las artes y en la cultura en general. Muchas veces las artes son la mayor expresión pública de los cambios filosóficos y de las reacciones personales de los artistas a los cambios del medio tecnológico. Las matemáticas no fueron la única influencia, ni la mayor, en los diversos movimientos culturales, pero es interesante observar las áreas en las que las matemáticas han desempeñado un papel único e importante. El mero uso de términos matemáticos en el discurso artístico ha mostrado que los artistas se han apoderado del lenguaje y de las ideas de las matemáticas y los han transformado al hacerlos pasar por el prisma de la vida artística.

Muchos de los nuevos movimientos artísticos que surgieron en las dos primeras décadas del s. XX abrazaron el lenguaje y las ideas de las nuevas geometrías que desarrollaron los matemáticos. La pintura y la escultura, por su propia naturaleza, son expresiones artísticas en dos y en tres dimensiones, respectivamente. Pero éstas son limitaciones a la plena representación del mundo y de la existencia humana. ¿Cuál fue la contribución de las nuevas geometrías a los nuevos modos de expresión?

En el Renacimiento italiano, las matemáticas de la perspectiva permitieron una representación más realista de las tres dimensiones en una superficie bidimensional. La perspectiva ensanchó el lenguaje de la pintura y los artistas aprendieron rápidamente las nuevas reglas. Más adelante violentaron conscientemente esas mismas reglas por mor del efecto visual y estético. En el s. XX, el cubismo, el futurismo y el surrealismo asimilaron los conceptos de las nuevas geometrías, como la no euclidiana y el espacio multidimensional, específicamente la cuarta dimensión. En los primeros años del siglo, las nuevas geometrías constituyeron una influencia más importante en los artistas individuales que en cada movimiento artístico como totalidad. A finales de los años veinte, la cuarta dimensión temporal de la teoría de la relatividad de Einsten campaba por sus fueros, pero ya antes se había investigado mucho acerca de una cuarta dimensión espacial. No obstante, en general fueron pocos los pintores de los años treinta que demostraron un abierto interés por la cuarta dimensión espacial o la geometría no euclidiana, salvo los surrealistas.

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Códigos mecánicos.

Originalmente, el término algoritmo se refería a la realización de cálculos con sistemas de numeración indo arábigos, a diferencia de los cálculos con el ábaco. Cuando el empleo del ábaco decayó en Europa y dado que los cálculos fueron operaciones cada vez más complicadas, aumentó el interés por construir calculadoras mecánicas. Matemáticos como Pascal, Descares y Leibniz soñaron en el s. XVII con un lenguaje universal en el que se pudieran codificar todos los problemas matemáticos y que engendrase métodos de solución que se pudieran aplicar mecánicamente. Ellos mismos construyeron una variedad de calculadoras mecánicas. La visión de Leibniz de un cálculo universal trascendía el cálculo diferencial y el integral para incluir reglas formales capaces de decidir en cuestiones de ciencia, ética y derecho. El poder de cualquier algoritmo eficaz se puede ver enormemente magnificado por el empleo de máquinas de calcular, pero hubo que esperar hasta el s. XX para que software y hardware se dieran la mano.

El origen de los ordenadores se halla en gran medida en la necesidad de acelerar las operaciones que realizaban las calculadoras mecánicas. La primera máquina de calcular automática fue construida en Harvard, con financiación de IBM, alrededor de 1940. El primer ordenador programable fue el Colossus, construido en 1943 con la cooperación de Alan Turing y John Von Neumann. Sin embargo, el diseño que habría de influir en la futra arquitectrura del ordenador fue el ENIAC (Electric Numerator Integrator and Computer), construido en la Universidad de Pennsylvania más o menos por la misma época. Von Neumann propuso un nuevo diseño para un ordenador con programa almacenado que recibió el nombre de EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer). Tenía cinco componentes principales: alimentación, salida, unidad de control, memoria y unidad aritmética. El primer ordenador práctico de este tipo fue construido en 1949 en el Reino Unido y se conoce como EDSAC (Electronnic Delay Store Automatic Calculator). Tanto en EE.UU. como en Gran Bretaña se construyeron otras máqinas y el diseño de programa almacenado fue común hacia los años sesenta. La introducción de componentes semiconductores para reemplazar los tubos de rayos catódicos incrementó la velocidad y la fiabilidad.

La invención de los ordenadores se debió a preocupaciones muy prácticas en el mundo de los negocios, la administración, la criptografía o la resolución de ecuaciones en la física matemática.

Matemáticos destacables:

Ada Byron, Condesa de Lovelace: (1815-1852). Hija de Lord Byron, a quien no conoció, su madre puso gran empeño en que recibiera una educación científica. Tuvo como profesora a Mary Somerville y también a August De Morgan. Cuando conoció a Charles Babbage, éste acababa de presentar su máquina de diferencias finitas, prototipo mecánico de las calculadoras, y esta amistad propició que Ada empezase a estudiar los algoritmos, inventando las subrutinas, pieza clave para la programación actual de los ordenadores. De ese modo consiguió mejorar el recientemente inventado telar Jacquard, reutilizando las tarjetas perforadas en las tareas cíclicas.

Evelyn Boyd Granville: (1924-). Junto con Marjorie Lee Browne fueron las dos primeras mujeres afroamericanas que obtuvieron el doctorado en matemáticas en Estados Unidos. Se interesó por la astronomía y la informática, trabajando en las universidades de Nueva York, de Fisk (Tennessee), en la NBS, en la IBM y en la NASA, donde participó en los Proyectos Vanguard, Mercury y Apolo.

Caos y complejidad.

La entrada en este mundo del caos se produjo a través del uso de ordenadores, auténticos laboratorios de las nuevas matemáticas basadas en algoritmos.

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El nombre de Benoît Mandelbrot (1924-2010), profesor en la Universidad de Yale y miembro emérito de IBM, es sinónimo de la geometría fractal. Su interés en lo que luego denominó fractales, que empezó en 1951 y culminó en 1977 con su libro La geometría fractal de la naturaleza. Se ha escrito mucho sobre fractales, cuyas imágenes son ampliamente conocidas. Los fractales son formas que tienen una estructura detallada muy similar en todas las escalas de ampliación, como los helechos y las montañas.

La palabra caos es susceptible de una mala interpretación, pues en el lenguaje cotidiano es sinónimo de desorden, pero la teoría del caos (o dinámica no lineal) es completamente determinista. Es una rama de las matemáticas que trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles de los sistemas dinámicos (sistemas complejos que presentan un cambio o evolución de su estado en un tiempo). Ciertos tipos de estos sistemas tienden a lo largo del tiempo a un punto (atractor o sumidero) y a veces dan lugar a los denominados fractales.

La idea de un atractor es muy conocida en dinámica, como, por ejemplo, la órbita de un planeta, que es un atractor elíptico y, aunque se produzcan perturbaciones, se mantienen bajo control dentro de ciertos límites. En la solución de polinomios por métodos numéricos, si la iteración converge a la solución, esa solución es un atractor. A veces es imposible llegar por un proceso iterativo a una raíz cuya existencia se conoce gráficamente, en cuyo caso se dice que esa raíz es repulsora. Pero en un sistema caótico como el de una corriente de aire turbulenta, el atractor es un fractal, y se lo conoce como atractor extraño. Estas figuras fractales contienen infinitas copias de ellas mismas, pero no son simétricas en el sentido que estamos acostumbrados a considerar, es decir, respecto a un punto, un plano o un eje; sino que es como una armonía de las partes respecto al todo. Posteriormente se comprobó que dicha característica no es propiedad sólo de los objetos fractales, sino también de muchos fenómenos naturales que ocurren en cascada, tales como la fisión nuclear o el crecimiento y modo de reproducción de una determinada especie (helechos, romanescu).

No obstante, aunque la generación de un fractal es un proceso determinista, no es predecible. Las versiones coloreadas de los fractales son una indicación visual de cuántos pasos iterativos son necesarios para que un punto tienda a un valor muy grande, y los dibujos complicados muestran que, a la larga, los puntos adyacentes de diferentes colores tenderán a divergir.

En resumen, el caos es un comportamiento altamente irregular (como el comportamiento meteorológico) causado por leyes deterministas. La geometría fractal y la teoría del caos son utilizadas para investigar, entre otras cosas, cómo se rompen las moléculas durante una reacción química, cómo los planetas gaseosos gigantes capturan nuevas lunas, o cómo las especies en un ecosistema se reparten los recursos.

Podría parecer que la teoría del caos ofrece una visión claramente depresiva del universo, sin embargo, el universo está lleno de estructuras: desde el ritmo metronómico de los pulsars (estrella de neutrones que emite radiación periódica) a los exquisitos enroscamientos en la molécula del ADN. El estudio de cómo surgen esas estructuras es el campo de lo que llamamos Teoría de la complejidad. Los sistemas complejos modelan las interacciones de grandes números de entidades relativamente simples, como pueden ser los corredores en la Bolsa. El estudio de los sistemas complejos incluye un amplio despliegue de diferentes áreas, incluso la teoría del caos, la inteligencia artificial, los sistemas emergentes y los autómatas.

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Matemáticos destacables:

Benoît Mandelbrot: (1924-2010). Ha sido en gran parte responsable del actual interés en la geometría fractal. Mostró cómo los fractales pueden surgir en muchos lugares diferentes, tanto en matemáticas como en cualquier lugar de la naturaleza.

Mandelbrot nació en Polonia en 1924 en una familia con mucha tradición académica. Su padre se ganaba la vida comprando y vendiendo ropa y su madre era médica. De joven fue iniciado en las matemáticas por sus dos tíos. La familia Mandelbrot emigró a Francia en 1936 y su tío Szolem Mandelbrot, quién fue Profesor de Matemáticas en el Colegio de Francia y el

sucesor de Hadamard en este cargo, tomó la responsabilidad de su educación. De hecho la influencia de Szolem Mandelbrot fue a la vez positiva y negativa puesto que era un gran admirador de Godfrey Hardy y de su filosofía matemática. Esto condujo a una reacción por parte de Mandelbrot contra la matemática pura, aunque como dice el propio Mandelbrot, ahora entiende cómo el profundo sentido de pacifismo de Hardy le hizo temer que la matemática aplicada, en malas manos, pudiera ser usada para el mal en tiempos de guerra. Asistió al Liceo Rolin en Paris al inicio de la Segunda Guerra Mundial. Esta fue una época de extraordinaria dificultad para él, que temió por su vida en muchas ocasiones. En esta época se mantuvo lejos de la escuela y la universidad, lo que le obligó a ser autodidacta. Él mismo atribuía gran parte de su éxito a esta educación no convencional. Le permitió pensar de maneras que hubiera sido difícil para alguien a quien una educación convencional lo orientase a pensar de manera estándar. También le permitió desarrollar una aproximación muy geométrica a las matemáticas y su notable intuición y visión geométrica empezó a darle visiones reveladoras únicas de problemas matemáticos. Tras estudiar en Lyon, entró en la Escuela Normal en Paris. Fue uno de los periodos de tiempo más cortos en los que alguien estudió allí, puesto que solo duró un día. Tras una actuación exitosa en los exámenes de ingreso de la Escuela Politécnica, Mandelbrot empezó allí sus estudios en 1944. Estudió bajo la dirección de Paul Lévy, otra persona que influyó fuertemente en él. Tras su doctorado, otorgado por la Universidad de Paris en 1952, fue al MIT y al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton donde trabajó bajo la dirección de John von Neumann. Regresó a Francia en 1955 y trabajó en el Centro Nacional de Investigación Científica. Se casó con Aliette Kagan y volvió a los Estados Unidos en 1958. Allí empezó a su larga y más fructífera colaboración con IBM en sus laboratorios de Nueva York. IBM dio a Mandelbrot un ambiente que le permitió explorar una amplia variedad de ideas diferentes, “una oportunidad que ningún puesto universidad le podría haber dado”, según sus propias palabras. A lo largo de su vida fue también profesor de Ingeniería de la Universidad de Yale, Profesor de Matemáticas en París, profesor de Economía en Harvard y profesor de Fisiología en el Colegio Albert Einstein de Medicina.

Curiosidades:

1. Notación y comunicación Hay muchos descubrimientos matemáticos importantes pero solamente aquellos que

pueden ser comprendidos por otras personas conducen al progreso. La facilidad de uso y de comprensión de los conceptos matemáticos depende de su notación.

Por ejemplo, es muy claro cómo el trabajo con números se entorpece con una notación pobre. Intenta multiplicar dos cifras usando notación en números romanos. ¿Cuánto da MLXXXIV por MMLLLXIX? La suma, por supuesto, es otra cuestión y, en ese caso los números romanos alcanzan todo su potencial; los mercaderes, quienes hacían la mayor parte de sus cuentas sumando cifras, se mostraron reacios a dejar de usar los números romanos.

Hay otros ejemplos de problemas con la notación. El más conocido probablemente sea la notación para el cálculo usada por Leibniz y Newton. La de Leibniz llevó con mayor facilidad

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hacia la extensión de las ideas del cálculo mientras que la de Newton, aunque buena para describir velocidad y aceleración, tenía mucho menor potencial cuando se consideran funciones con dos variables. Los matemáticos británicos, que muy patrióticamente usaban la notación de Newton, se colocaron en desventaja respecto a los matemáticos de la Europa continental que siguieron a Leibniz.

Pensemos por un momento sobre cuánto dependemos de la notación matemática y de las convenciones. Pídele a cualquier matemático que resuelva y obtendrás como respuesta

Me sorprendería mucho que recibieras la respuesta pero no hay realmente razón para que no sea así. Estamos usando, muchas veces sin darnos cuenta, la convención de que las últimas letras del alfabeto representan las incógnitas mientras que las del principio representan cantidades conocidas.

No siempre fue así: Harriot usó a como su incógnita, lo mismo que otros de sus contemporáneos. La convención que empleamos (las letras finales del alfabeto como incógnitas) fue iniciada por Descartes en 1637. Otras convenciones han caído en desgracia; por ejemplo la notación de Viète, quien usó las vocales como incógnitas y las consonantes como cantidades conocidas.

Por supuesto que contiene otras convenciones de notación que utilizamos sin notarlo. Por ejemplo, el signo de igual ('=') fue usado por primera vez por Recorde en 1557. También tenemos que se usa para denotar el producto de a por x, ¡la notación más eficiente de todas ya que no requiere escribir nada para denotar el producto!

2. ¿Descubrimientos brillantes? Es muy difícil comprender la brillantez de los descubrimientos matemáticos más

importantes. Por un lado, muchas veces aparecen como destellos aislados aunque de hecho son la culminación de la obra de muchos matemáticos, con frecuencia menos hábiles, durante un largo periodo de tiempo.

Por ejemplo, la controversia de si el cálculo fue descubierto por Newton o por Leibniz puede ser resuelta fácilmente. Ninguno de ellos lo hizo ya que no hay duda de que Newton lo aprendió de su maestro, Barrow. Claro que no significa eso que Barrow deba recibir el crédito de haber descubierto el cálculo; simplemente quiere decir que el cálculo surge de un largo periodo de progreso que empieza con las matemáticas griegas.

Ahora estamos en peligro de reducir los más importantes descubrimientos matemáticos a la simple suerte de alguien que estaba trabajando sobre un tema en 'el momento idóneo'. Esto también sería totalmente injusto (aunque algo ayuda a explicar por qué tantas veces dos o más personas descubrieron lo mismo de manera independiente, más o menos al mismo tiempo). Todavía existe el destello del genio en los descubrimientos, muchas veces proveniente de un entendimiento más profundo o de poder ver la importancia de ciertas ideas con mayor claridad.

3. Cómo vemos la historia Vemos la historia de las matemáticas desde nuestra propia posición de entendimiento y

sofisticación. No puede ser de otro modo pero aún así tenemos que tratar de comprender la diferencia entre nuestro punto de vista y el de los matemáticos de hace siglos. Muchas veces la manera en que se enseñan las matemáticas hoy en día hace que cueste trabajo que entendamos las dificultades del pasado. No hay razón alguna para que alguien introdujera los números negativos para resolver ecuaciones como . De hecho, no hay una verdadera razón para introducir los números negativos. Nadie tenía -2 libros. Podemos pensar en el 2 como una propiedad abstracta que posee todo conjunto con dos elementos. Esto en sí mismo es una idea muy profunda. Añadir dos manzanas a tres manzanas es una cosa. Darse cuenta de que hay propiedades abstractas 2 y 3 que se aplican a cada conjunto con 2 y 3 elementos y de que 2 + 3 = 5 es un teorema general que se aplica a los conjuntos, estén formados por manzanas, libros o árboles, es dar el paso desde contar hacia el mundo de las matemáticas.

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Los números negativos no tienen este tipo de representación concreta sobre la cual construir la abstracción. No debe sorprendernos que su uso empezara solamente después de una larga lucha. Entender estas dificultades sería beneficioso para cualquier profesor que esté tratando de enseñar a estudiantes de primaria. Hasta los enteros, que consideramos un concepto muy básico, tienen una sofisticación que solamente puede ser comprendida adecuadamente si se examina su contexto histórico.

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Educación Matemática I. Tema 2.

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