TEMA : TEORÍAS Y FUNDAMENTOS DEL APRENDIZAJE MATEMÁTICO

Dos grandes corrientes de pensamiento sobre el conocimiento:

GRECIA:

El conocimiento es interior al ser humano(Platon; mayéutica de Sócrates)

El conocimiento es exterior al ser humano, éstelo aprehende (actividad del pensamiento que tiendea la captación inmediata y consciente de lainformación) del exterior y lo transforma en saberpropio

(Aristóteles)

HISTORIA MODERNA

Racionalismo: (Descartes, Spinoza, Kant)

La razón es más poderosa que la experiencia sensorial y no se deja engañar por los sentidos

Empirismo: (Locke, Berkeley, Hume)

El entorno del individuo es la fuente de su

conocimiento, que adquiere por medio de

sus sentidos

El conexionismo de Thorndike Uno de los primeros conductistas, el psicólogo

norteamericano Thorndike, postuló cierto número de leyes que desde entonces han promovido la discusión y los debates. Aunque estas leyes se formularon hace muchos años, es interesante considerar si todavía resultan aceptables en la enseñanza de las Matemáticas. Ley del ejercicio: La respuesta a una situación se asocia con esa situación y cuanto más se emplee en una determinada situación, más fuertemente se asociará con ésta. Por otro lado, el uso infrecuente de la respuesta debilita la asociación. Ley del efecto: Las respuestas acompañadas o inmediatamente seguidas por una satisfacción ofrecen mayor probabilidad de repetirse cuando se produzca de nuevo la situación, mientras que las respuestas acompañadas o inmediatamente seguidas por la incomodidad tendrán menor probabilidad de repetirse.

El neoconductismo de R. Gagné. La teoría de aprendizaje acumulativo y las jerarquías de aprendizaje

Para R. Gagné, el aprendizaje de una habilidad consiste en aprender las subhabilidades de las que consta ordenadas jerárquicamente.

Los niños aprenden una secuencia aditiva y ordenada de capacidades, siendo cada una de éstas más compleja que las destrezas previas sobre las que se basa. Es decir, se establece una jerarquía de aprendizaje.

Es posible que alumnos que poseen una capacidad final, no tengan algunas de las intermedias.

Psicología de la Forma (Gestalt) : La tesis central de la psicología de la Gestalt es que el

pensamiento y la percepción están dominados por una tendencia innata a aprehender la estructura. Siendo así, la experiencia de la percepción o del pensamiento consigue una organización que es superior a la suma de los elementos o estímulos elementales identificables.

El psicólogo más destacado fue Wertheimer (ejemplos del paralelogramo, Gauss y progresión aritmética).

La experiencia se presenta siempre organizada en totalidades estructuradas que no son simple resultado de la suma de las partes.

Se reconoce la importancia del insight (conocimiento súbito) como fenómeno de aprendizaje humano.

La demostración de un resultado por el profesor no puede conducir al insight del alumno, éste surge como aspecto del proceso de descubrimiento.

La teoría de Polya :

Realiza indicaciones para facilitar el descubrimiento de estructuras subyacentes, es decir buscar insights, en la resolución de problemas.

Se realizan una serie de preguntas que llevan a reconsiderar los objetivos del problema, a buscar problemas similares anteriormente resueltos, a analizar datos del problema y a reconsiderar la solución del mismo.

Fases para resolver un problema:

Comprender el problema (LECTURA).

Concebir un plan.

Ejecución del plan.

Examinar la solución obtenida. Visiónretrospectiva.

La teoría de Dienes : Emplea materiales para enseñar las estructuras

matemáticas.

Siguiendo los trabajos de Piaget, trata de relacionar

la estructura de las Matemáticas con las capacidades

cognoscitivas de los alumnos.

Etapas del aprendizaje matemático:

juegos preliminares

descubrimiento de regularidades

juego del isomorfismo

representación

simbolización

axiomas

Principios del aprendizaje según Dienes: Principio dinámico: considera indispensables las

experiencias proporcionadas por juegos. Principio de constructividad: los propios juegos

permiten la construcción del concepto y las relaciones como paso previo al análisis. Los niños pueden desarrollar sus conceptos apoyados en sus propias experiencias.

Principio de variabilidad matemática: posibilidad de estudiar conceptos a través de experiencias que supongan el manejo de diferentes variables.

Principio de variabilidad perceptiva: al presentar el mismo concepto mediante diferentes formas perceptivas, se pretende favorecer el proceso de abstracción.

LA EPISTEMOLOGÍA GENÉTICA Y LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

La epistemología genética, desarrollada por Wallon, Vygostky y sobre todo Piaget, busca comprender cómo se constituyen y se interrelacionan los conocimientos en el curso del aprendizaje.

Se considera que la naturaleza de los conocimientos depende de su modo de formación, y que su desarrollo se efectúa por niveles de organización sucesivos.

Esta teoría toma al sujeto como centro del aprendizaje, como actor que construye su saber por interacción con el medio que le rodea. El sujeto aprende a realizar su adaptación a través de fases de ruptura y de reequilibración por asimilación y por acomodación.

La asimilación designa la incorporación por el sujeto de datos que le son exteriores, de los cuales, algunos son integrados a los esquemas o a los conceptos ya preconstruídos; otros son inconscientemente ignorados.

La acomodación busca integrar y clasificar las informaciones dejadas de lado por la asimilación. Entonces se modifica la estructura conceptual para poder asimilar las informaciones.

La equilibración es el proceso fundamental del desarrollo cognitivo, que corresponde al esquema siguiente: el alumno ha alcanzado un cierto equilibrio, pero el encuentro de perturbaciones (conflictos de conocimientos, contradicciones, rupturas... ) que no supera inmediatamente, provoca una regresión a la que sucederá una fase de reorganización de los conocimientos o de los conceptos (por medio de la asimilación y de la acomodación), conducentes a la constitución de un nuevo equilibrio. La conquista de este nuevo equilibrio es un cambio cognitivo que se identifica con el aprendizaje.

Piaget distingue dos formas de conocimiento en el individuo: a) Conocimientos construidos mediante la experiencia física. b) Conocimiento lógico-matemático.

Los conocimientos construidos mediante la experiencia física son reconstrucciones que éste realiza a partir de la asimilación del objeto a sus esquemas conceptuales. El conocimiento de objetos tiene un origen fundamentalmente externo al individuo (posición empirista). El conocimiento físico provenía de la abstracción empírica.

El conocimiento lógico-matemático es aquel que el sujeto posee como resultado de la interiorización de sus acciones y coordinación de las mismas. El conocimiento lógico-matemático se deduce de la abstracción reflexiva.

Además, el análisis del saber a enseñar y los procesos de conceptualización de los alumnos demuestran que los conceptos matemáticos no funcionan de manera aislada.

Para ayudar a su comprensión se pueden considerar conjuntos de situaciones “cuyo tratamiento implica esquemas, conceptos y teoremas, en estrecha conexión, así como las representaciones lingüísticas y simbólicas susceptibles de ser utilizadas para representarlos”.

Es a lo que Vergnaud llama campo conceptual.

IDEAS DE LA TEORÍA DE VYGOTSKY DE INTERÉS EN DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA

Toda función mental se da primero entre las personas en la interacción social y después en el plano psicológico del individuo. Es decir, los cambios a nivel de organización social se reflejarán en cambios en la organización del funcionamiento psicológico del individuo.

Para que se dé este paso del plano social (interpsicológico) al plano individual (intrapsicológico) la interacción social es un prerrequisito indispensable.

Dos niveles de desarrollo:

El desarrollo actual está determinado por la capacidad del niño para resolver problemas por sí mismo.

El desarrollo potencial está determinado por su capacidad para resolver problemas en colaboración con un compañero más capaz o bajo la guía de un adulto.

LA ZONA DE DESARROLLO PRÓXIMO (ZDP).

Se define la ZDP como “la distancia entre el nivel de desarrollo actual determinado por la capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial, determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con compañeros más capaces”.

Una ZDP puede también desarrollarse gracias a la influencia de un ambiente estructurado de manera que guíe al niño hacia el uso de elementos nuevos para él, pero accesibles desde su ZDP.

Los resultados de algunas investigaciones indican que para provocar el desarrollo de una ZDP, para trabajar con conceptos matemáticos nuevos, es necesaria la concurrencia de varios factores:

Una tarea motivadora que genere niveles de dificultad, tanto a nivel individual como colectivo, que impliquen la solicitud de ayuda.

Un ambiente que ofrezca elementos que permitan resolver la tarea y que estén en la ZDP del niño.

Un ambiente social que fomente el intercambio de ideas entre los niños y propicie que los niños soliciten ayuda del profesor.

La disposición del maestro de pasar de ser un transmisor de un cuerpo de conocimientos, a ser un experto que proporciona ayuda oportuna a través de la orientación.

Se distinguen dos clases de conceptos : Espontáneos como aquellos que emergen

de las reflexiones del niño sobre sus experiencias cotidianas.

Sus características son : Carecen de sistematicidad y van desde los

fenómenos hacia la generalización. Sus virtudes están en su aspecto práctico,

empírico y situacional. Sus limitaciones están en la incapacidad

del niño para usarlos a voluntad y crear abstracciones.

Conceptos científicos como los que se originan en la actividad estructurada y especializada de la instrucción en clase.

Sus características son: El desarrollo de la definición verbal que, aplicada

sistemáticamente, desemboca gradualmente en fenómenos concretos.

Sus virtudes están en la conciencia que se tiene de ellos y en su carácter deliberado.

Sus limitaciones están en su verbalismo, esto es, en su abstracción excesiva y desapego de la realidad.

En cada momento del desarrollo existe cierta proporción entre conceptos espontáneos y científicos y el papel de la educación es crear contextos en los cuales, a través de la colaboración con el adulto, los conceptos espontáneos del niño entren en contacto con los conceptos científicos, más abstractos, que introduce el adulto.

EL ALUMNO

EL SABER EL ENSEÑANTE

Polo Psicológico

Polo pedagógicoPolo epistemológico

Concepciones Contrato Didáctico

Relación Pedagógica y

La TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

1.2.- DIFERENTES CONCEPCIONES SOBRE EL APRENDIZAJE

En la historia del estudio sobre el conocimiento humano aparecen, en líneas muy generales, dos grandes corrientes contrapuestas: las que creen que el conocimiento es interior al ser humano y las que manifiestan que el saber está fuera del ser humano y que este lo aprehende del exterior, transformándolo en conocimiento propio.

Estas dos tendencias se manifiestan ya en Platón y su conocido mito de la caverna, o bien, en los Diálogos, cuando Sócrates hace aflorar en la mente del esclavo de Menón aquellas ideas geométricas que siempre habían estado en su alma.

En el lado opuesto se encuentra Aristóteles que no cree en la doctrina de las ideas innatas y propone la idea de la tabula rasa sobre la que se imprimen las sensaciones recibidas, por lo que puede ser considerado como el padre del asociacionismo psicológico (Pozo, 1989).

Muchos siglos después estas ideas vuelven a surgir con la formación de las dos corrientes de pensamiento, que más han influenciado a la Humanidad, en cuanto al estudio de la naturaleza y origen del conocimiento: el empirismo y el racionalismo.

Los empiristas (Locke, Berkeley, Hume) sostenían que el entorno del sujeto es la fuente de su conocimiento, es decir, exterior a la persona, y que dicho conocimiento se adquiere a través de los sentidos.

Admiten que el individuo, al nacer, es la tabla rasa, el recipiente vacío, en el que se acumula el conocimiento, a través de las experiencias, a medida que se crece. Como Locke escribió en 1690: "Al principio los sentidos dan paso a ciertas ideas, y llenan el armario aun vacío, y la mente progresivamente se familiariza con algunas de ellas, que son alojadas en la memoria ... " .

Los racionalistas (Descartes, Spinoza, Kant) mantienen que la razón es más poderosa que la experiencia sensorial, porque permite conocer con un rigor de certeza que los sentidos jamás podrían comprobar.

Aunque no niegan la importancia de los sentidos, afirman que éstos nos engañan con cierta frecuencia (las ilusiones ópticas), por tanto, el conocimiento sensorial no es fiable.

El principal argumento de los racionalistas a favor del poder de la razón es la precisión, el rigor y la certidumbre del conocimiento matemático. Así, en 1637, Descartes escribe: "y considerando que entre todos los que antes han buscado la verdad en las ciencias, solamente los matemáticos han podido hallar algunas demostraciones, es decir, algunas razones ciertas y evidentes ...“.

Estas teorías llevan implícito un modelo de enseñanza. Más aún, por ser el aprendizaje una experiencia vital, todo ser humano tiene sus propias teorías implícitas sobre él, del mismo modo que las tiene sobre otras experiencias vitales como: el amor, la felicidad, la salud, ...

Es un tema sobre el que todo el mundo opina y cree conocer. Los profesores en activo se quejan de la frase que se suele oír al final de curso: "si el niño no aprendió es porque el profesor no le enseñó", pero aceptando que el fracaso del alumno no indica necesariamente la incompetencia del maestro, sí se debe aceptar que aprender es el único mérito de la enseñanza

Ahora bien, podemos aceptar que una enseñanza tendrá más posibilidades de ser efectiva en cuanto pueda manipular, de manera eficiente, las variables que influyen en el aprendizaje.

La estrecha relación que guardan las teorías sobre la enseñanza y el aprendizaje la podemos expresar con palabras de Ausubel y cols.:

"... las teorías del aprendizaje y las de la enseñanza son más interdependientes que mutuamente exclusivas. Ambas son necesarias para una ciencia pedagógica completa y ninguna de ellas es sustituto adecuado de la otra. Las teorías de la enseñanza deben basarse en teorías del aprendizaje, pero deben tener también un enfoque más aplicado; esto es, ocuparse más de

la manera de manejar los problemas."

TRES CONCEPCIONES SOBRE EL APRENDIZAJE La concepción transmisiva:

Es una concepción tradicional que se refiere a cuando se tiene que enseñar algo a alguien.

De una manera esquemática podemos decir que esta concepción se apoya sobre la hipótesis de que el que aprende, al principio del aprendizaje de una nueva noción, no sabe nada de aquello, tiene la “cabeza vacía” y que el saber entra en su cabeza cuando se le “comunica”.

El papel del alumno será permanecer atento, escuchar, tomar nota. El papel del enseñante será presentar de la forma más clara el saber.

En este tipo de enfoque, el enseñante comunica en primer lugar el saber; a continuación, propone ejercicios de entrenamiento a los alumnos.

Esta concepción se apoya en el siguiente modelo de comunicación :

Canal

Fuente Mensaje Codificación Decodificación Mensaje Destinatario

Ruido

Aquí la fuente es el enseñante. Su mensaje es el conocimiento que desea enseñar. El destinatario es el alumno.

En esta concepción los errores son evitados por el enseñante y si, a pesar de todo, hay errores, la culpa es del alumno que no ha estado suficientemente atento, o bien porque el enseñante no lo ha explicado bien, o iba muy rápido, etc...

Límites de la enseñanza basada en esta concepción:

Las limitaciones están ligadas a los límites de la comunicación humana.

La experiencia nos muestra que aunque los alumnos estén muy atentos, lo que dice el enseñante no siempre es entendido de la misma forma por los todos los estudiantes. El alumno entiende muchas cosas que jamás ha dicho el maestro.

Las dificultades ocurren porque contrariamente a lo que se supone en la hipótesis de partida, el alumno no tiene la “cabeza vacía”, sino que sabe muchas cosas, adquiridas con anterioridad, lo que constituye su experiencia y todos los nuevos conocimientos se interpretan a través del filtro de esta experiencia.

Ventajas de la enseñanza basada en esta concepción:

Permite (al menos a corto plazo) ganar tiempo. Un profesor puede enseñar a un gran número de alumnos.

Se tendrá éxito sí: Los alumnos están motivados y atentos. Éste es el

caso de los demandantes de conocimientos. La experiencia almacenada de los aprendices está

suficientemente próxima a la del enseñante. Lo que siempre no es el caso con los alumnos que tenemos delante.

Se dan algunas variantes: El enseñante intercala preguntas en su exposición

para sostener la atención de los alumnos y asegurar la buena comprensión y obtener feed-back.

El enseñante hace preguntas hábiles e intenta que el alumno encuentre elementos de conocimiento nuevo, lo que algunos llaman “El curso dialogado”.

La concepción behaviorista o conductista

La palabra behaviorista es la castellanización de la palabra inglesa “behavior” que significa conducta, comportamiento.

Se basa en una corriente psicológica que se ha desarrollado desde principios del siglo pasado (1910), gracias a los trabajos de muchos psicólogos como Thorndike, Watson...

Los enseñantes que se apoyan en el behaviorismo deben:

Definir con precisión el nuevo conocimiento que desea que aprendan los estudiantes para lo cual definirán los objetivos de manera precisa, y que contengan un comportamiento observable mediante objetivos operativos o micro-objetivos.

Proponer situaciones mediante las cuales el alumno se apropie del conocimiento de los objetivos definidos, descubriendo los conocimientos poco a poco, según los objetivos definidos. Esto será reforzado por una recompensa que generalmente es la aprobación del maestro.

Proponer actividades de entrenamiento y refuerzo sistemático para automatizar el nuevo comportamiento.

Este modelo se puede esquematizar de la siguiente forma

Etapas intermedias

Maestro

Alumno

Estado de conocimiento inicial

Estado de conocimiento final

Límites de enseñanza basada en esta concepción Frecuentemente los alumnos suelen tener

dificultades de dar sentido a los conocimientos que se les presenta en las actividades. No comprenden lo que hacen aunque realicen las actividades correctamente.

El desarrollo de la secuencia de enseñanza impide al alumno volver hacia atrás con lo que les falta una visión global.

Los alumnos no tienen facilidad de transferir los conocimientos adquiridos, debido al desarrollo de la secuencia que impide a los alumnos encontrarse con los obstáculos (cuando deben estar, no aparecen).

Existe el problema de la integración de los micro-objetivos. Si el alumno ha tenido éxito en todos los micro-objetivos puede tener problema de integrar sus conocimientos para llegar al objetivo general. (saber arrancar un coche, mover el volante, cambiar las velocidades, frenar, ..., no implica saber conducir).

En esta teoría, el error se debe evitar a toda costa: si aparece, se atribuye a que la marcha del alumno ha sido demasiado rápida. La necesidad de que el alumno descubra el nuevo conocimiento, pero sin cometer errores, obliga al enseñante a llevar una fuerte vigilancia después de las actividades de los alumnos.

Ventajas de la enseñanza basada en esta concepción

La enseñanza se centra en el alumno y favorece la acción.

Este modelo racionaliza la construcción de secuencias de enseñanza y la evaluación.

Favorece la individualización de la enseñanza. En el desarrollo de las tareas de descubrimiento los

alumnos suelen tener éxito, lo que facilita la motivación (las secuencias se construyen para que los alumnos tengan éxito).

La concepción socio-constructivista Este modelo se ha elaborado a partir de los trabajos

de psicología genética (Piaget), de la psicología social, de epistemólogos (Bachelard), de didactas de la Matemática (Brousseau, Vergnaud, ...), etc.

Una metáfora para ilustrar las hipótesis en las que se basa: Imaginemos un carpintero enfrentado a un nuevo trabajo para él. Su primera reacción será abrir su caja de herramientas y buscar el útil que le parece mejor adaptado a la situación planteada. Si este útil resulta que no es adecuado (porque no le permite resolver el problema o porque su uso es costoso en tiempo) entonces probará con otro útil, ... Solamente después de varios intentos tomará conciencia de que, en su caja de útiles, no hay una herramienta adecuada y, en consecuencia, para resolver su problema, construirá un útil nuevo o bien intentará apropiarse del que le aconseje un amigo o un experto.

Esta metáfora, permite poner en evidencia las siguientes hipótesis en las que se basa esta concepción:

Hipótesis 1ª. La adquisición de conocimiento pasa por una interacción entre el sujeto y el objeto de estudio en la resolución del problema. Sentado en su sillón, el carpintero no se apropiará del nuevo útil.

Hipótesis 2ª. Contrariamente a lo que se podría pensar espontáneamente, la cabeza de los alumnos no esta vacía de conocimientos (como la caja de herramientas del carpintero no esta vacía de herramientas). “Cualquiera que sea la edad, el espíritu jamás está virgen, no es tabla rasa ni cera sin huella” (Bachelard, 1999). El alumno construye rápidamente concepciones (o representaciones) de todas las nociones que se le enseñan.

Hipótesis 3ª. El aprendizaje no se hace apilando los conocimientos, ni de manera lineal: en tanto que el alumno, en relación con una noción dada, no tome conciencia de la insuficiencia de sus concepciones, las mantendrá (si al carpintero le das una herramienta nueva, pero no toma conciencia de que es la adecuada, volverá a la herramienta antigua mientras no tome conciencia de su insuficiencia).

Como dice Bachelard (1999), “Se conoce en contra de un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal adquiridos o superando aquello que, en el espíritu mismo, obstaculiza al nuevo conocimiento”.

Aprender es tanto perder “las ideas anteriores” como adquirir otras nuevas.

Esta concepción se puede representar mediante la siguiente figura:

Antiguo equilibrio

Enfrentarse a una situación-problema

Fase de desequilibrio

Nuevo equilibrio

La fase de desequilibrio corresponde al momento en que el alumno percibe la insuficiencia de los conocimientos que ha movilizado para resolver la tarea. Esta fase frecuentemente va acompañada de un tiempo de “regresión” en la cual el alumno llega a poner en duda los saberes y las habilidades que se pensaban sólidamente adquiridas.

Así, según Piaget, el aprendizaje es el resultado del juego de desequilibración / reequilibración cognitiva, a la que contribuyen dos elementos: Asimilación, que permite a los sujetos integrar los

datos del medio a los conocimientos anteriores. Acomodación, que obliga a los sujetos a transformar

sus conocimientos bajo la presión del medio.

Hipótesis 4ª. El alumno solo llegará a dar sentido a un conocimiento si aparece como útil indispensable para resolver un problema dado. En esta concepción el conocimiento debe aparecer como un útil permanente de resolver problemas antes de ser un objeto de conocimiento estudiado en sí mismo.

Hipótesis 5ª. Las interacciones sociales entre los alumnos pueden ayudar a los aprendizajes. El trabajo en grupo y la organización de debates entre los alumnos pueden facilitar estas interacciones.

De este modo “aprender” es pasar de una concepción antigua a una concepción nueva, después de una fase de sustitución de la concepción antigua, que es a la vez punto de apoyo y obstáculo para el nuevo conocimiento.

El alumno construye su saber. Esta construcción puede ser facilitada por la provocación de un conflicto sociocognitivo, de ahí el nombre del modelo: socio-constructivistasocio-constructivista.

Las situaciones que permiten superar estos conflictos cognitivos son las situaciones-problemassituaciones-problemas

que analizaremos:

• Características de una situación-problema:

Una situación-problema es una situación de enseñanza que tiene por objetivo permitir a los alumnos adquirir un conocimiento nuevo (un saber, un saber hacer, método, razonamiento, ...) y que se apoya sobre una concepción socio-constructivista del aprendizaje.

Posee un cierto número de características:

Características ligadas al problema en sí. Características ligadas a la gestión de la clase.

Analicemos cada una de estas características.

• Características relativas al problema (Douady, 1986)

1.Proponer una situación problema presupone que se han identificado previamente:

Unas concepciones erróneas en los alumnos, ligadas a la adquisición del conocimiento que se pretende enseñar. Estas concepciones pueden ser identificadas analizando los errores que habitualmente cometen los alumnos en relación con este conocimiento. Unos procedimientos correctos pero que se van a revelar fuente de errores.

2.Los alumnos deben poder comprometerse fácilmente en la resolución del problema movilizando sus concepciones erróneas o procedimientos insuficientes. Es necesario que utilicen sus concepciones si se desea que tomen conciencia de su insuficiencia.

3. Los conocimientos del alumno deben ser insuficientes o poco económicos (fuente de errores) para resolver el problema. Si no es así, se trata de un problema de repaso de conocimientos antiguos, actividad indispensable para la adquisición de conceptos, pero aquí el objetivo es permitir al alumno adquirir un conocimiento nuevo.

4. Los alumnos deben tener un medio de controlar los resultados por ellos mismos. El control puede hacerse eventualmente en el seno de un grupo o de la clase. En este caso puede aparecer la dificultad de que algunos alumnos puedan ser convencidos de las soluciones erróneas de otros compañeros y adoptarlas como correctas sin reconocer la concepción subyacente. Se corre el riesgo de, algún tiempo más tarde, volver a cometer el mismo error.

5. El conocimiento que se desea que los alumnos adquieran debe ser el útil más adaptado para la resolución de ese problema a ese nivel. Para verificar esta característica es necesario realizar un análisis a priori de la situación: ¿Qué harán los alumnos cuando intenten resolver el problema? ¿Qué estrategias utilizarán? ¿Qué conocimientos van a utilizar? ... Aquí el enseñante puede realizar algunos cambios en la situación que provoquen cambios de procedimientos en la resolución del problema. Los cambios se realizan en las variables didácticas de la situación.

6. El problema se puede hacer en varios cuadros, numérico, geométrico, gráfico: las adquisiciones de los alumnos serán diferentes, según el cuadro utilizado, lo que puede favorecer la construcción de los conocimientos.

• Características relativas a la gestión de la clase

La gestión de la clase, en este tipo de situaciones, es muy importante. Un mismo problema se puede utilizar de maneras diferentes: trabajo en grupo, trabajo individual, el profesor ayuda a los alumnos o rehúsa al principio responder a las preguntas. Según la gestión de la clase, los efectos serán distintos. La elección de la gestión puede ser considerada como una de las variables didácticas.

Es necesario no perder de vista que el objetivo de la situación-problema es permitir al alumno adquirir nuevo conocimiento. Es absolutamente necesario que el alumno haga suyo el problema y no intentar resolverlo adivinando lo que le gustará al maestro.

Generalmente una enseñanza de este tipo pasa por las fases siguientes:

Fase de acción: Frecuentemente en grupos, durante la cual los alumnos se apropian del problema utilizando sus conocimientos antiguos. El reto para los alumnos es resolver con éxito la tarea, y, para el enseñante, permitir a los alumnos apropiarse de un procedimiento.Fase de formulación: En esta fase los alumnos explicitan por escrito u oralmente los procedimientos utilizados y las soluciones encontradas. Fase de comunicación: Los alumnos comunican a otros alumnos, mediante mensajes escritos u orales, una tarea que los receptores deben realizar correctamente.

Fase de validación: En esta fase los alumnos deben convencer a los otros de que la solución encontrada es válida.Fase de institucionalización: Las fases anteriores no son suficientes para que haya adquisición de conocimiento para todos. Es imprescindible que el maestro identifique los nuevos saberes y procedimientos y que precise las convenciones del lenguaje (vocabulario, simbolización, ... ). Se trata de homogeneizar los conocimientos de la clase y de precisar entre los saberes construidos los que se van a retener y bajo qué forma.Fase de entrenamiento y refuerzo, con ejercicios, seguido de una evaluación. Se trata de ayudar a familiarizarse con los nuevos conocimientos adquiridos, de hacerles funcionar en situaciones diferentes, para que tomen conciencia de su campo de aplicación.

Brousseau distingue en su teoría de las situaciones didácticas las siguientes:

Las situaciones de acción, sobre las que el alumno manifiesta ciertos saberes bajo la forma de premisas de decisión.

Las situaciones de formulación, donde el alumno anuncia, en su lenguaje, las conjeturas en cuanto a las propiedades reconocidas y a los procedimientos puestos en práctica.

Las situaciones de validación, donde las declaraciones se colocan en la argumentación y donde se pone en camino un proceso de prueba.

Las situaciones de institucionalización, donde los conocimientos invocados precedentemente son reconocidos, traducidos en términos rigurosos, descontextualizados y despersonalizados.

Esta teoría de las situaciones didácticas permite analizar las observaciones de clase que son la base de la experimentación y de la formación didáctica.

En la cuestión de las relaciones de los alumnos al saber es necesario, por último, señalar el importante papel de la noción de obstáculoobstáculo.

Estos obstáculos se manifiestan por las incomprensiones o por los errores. Un error, lejos de ser visto como algo negativo en la producción matemática del alumno, es doblemente importante:

Al permitir al profesor investigar un posible obstáculo, lo cual es siempre difícil, a fin de superarlo.

Es una fuente de situaciones de ruptura para el alumno que detectado puede ser conducido a revisar una parte de sus conocimientos o procedimientos. Un error es fuente de progreso, una condición que se debe autorizar, incluso solicitar en el contrato didáctico.

La actitud de un profesor cara al error es reveladora de concepciones profundas sobre el aprendizaje. La experiencia muestra que la actitud de los profesores ante los errores que tienen los alumnos puede ser lo que cambie muy rápidamente una formación didáctica.

• Limitaciones de la enseñanza basada en la situación -problema: Esta enseñanza se ha desarrollado en las disciplinas cuyo criterio de validez es “la verdad”. No se sabe cómo se podría usar en otras disciplinas. Por el momento, esta noción de situación-problema se aplica solamente a algunos conceptos. En consecuencia, es evidente que este enfoque sea pertinente para todos los conceptos. Gestionar situaciones en una clase no es simple, sobre todo si hay muchos alumnos. Este tipo de prácticas llevan tiempo porque la diversidad de los alumnos demanda más tiempo en la fase de construcción de conocimientos. Este modelo no tiene en cuenta, por ahora, el papel de los “toques” afectivos, que intervienen de manera muy importante en las fases de desequilibrio.

• Ventajas de la enseñanza basada en la situación-problema:

Esta concepción da un verdadero status al error: es significativa del estado de conocimiento del alumno, tiene una coherencia y una lógica. Los errores, que son identificados como obstáculos, son puntos de apoyo del aprendizaje en la medida en que, si se superan, son fuente de adquisición de conocimientos. Las investigaciones actuales han puesto en evidencia el papel de los problemas y de los errores en el desarrollo del conocimiento. Solamente este modelo toma en cuenta las concepciones de los alumnos, cuya existencia no se puede negar.

A modo de resumen:

Enfoque Transmisivo

Enfoque Conductista

Enfoque socio-constructivista

Actividad principal de

los alumnos

Escuchar y estar atentos. No hay trabajo de investigación por parte de los alumnos.

Resolver una sucesión de tareas guiadas para que la enseñanza sea bien oralmente o bien a través de una sucesión de cuestiones escritas (fichas).

Resolver una situación-probl.

El alumno toma a su cargo la responsabilidad de la resolución de este problema y la validación de su producción.

A modo de resumen:

Enfoque Transmisivo

Enfoque Conductista

Enfoque socio-constructivista

Actividad principal

del profesor en

clase

Comunicar o mostrar el saber.

Ayudar a los alumnos a resolver las tareas propuestas, atenuando las dificultades. Institucionalizar los conocimientos

Asegurar que los alumnos se responsabilicen de resolver el problema.Animar la fase de confrontación de resultados. Institucionalizar

los conocimientos

A modo de resumen:

Enfoque Transmisivo

Enfoque Conductista

Enfoque socio-constructivista

Papel de los errores

Los errores son faltas. Deben ser evitados, sobre todo, para no tener que repetir y ganar tiempo.

Los errores son faltas. Se deben evitar porque dejan marcas difíciles de eliminar.

La toma de conciencia y la superación de algunos obstáculos son esenciales para la adquisición de conceptos. Así algunos errores son provocados de forma que los alumnos puedan superarlos después de haber reconocido que eran errores.

A modo de resumen:

Enfoque Transmisivo

Enfoque Conductista

Enfoque socio-constructivista

Localización del saber

El saber es transmitido por el enseñante.

El saber es descubierto por el alumno.

El saber es construido por el alumno.

¿Quién controla las

producciones de los

alumnos?

El enseñante. El enseñante. El alumno, a través de la situación o del debate.

VARIABLES DIDÁCTICAS. SU GESIÓN EN SITUACIONES DE

ENSEÑANZA-APRENDIZAJE.

Los profesores, para provocar el aprendizaje deseado en los alumnos, necesitarán diseñar situaciones de enseñanza a través de procesos de ingeniería didáctica. Para ello, han de controlar y gestionar las variables didácticas ligadas a toda situación de enseñanza, ya que éstas condicionan y organizan los aprendizajes de los alumnos.

Una variable didáctica es un elemento de la situación que puede ser modificado por el maestro, y que afecta a la jerarquía de las estrategias de solución que pone en funcionamiento el alumno (por el costo, por la validez, por la complejidad, etc.).

No podemos considerar que "todo" sea variable didáctica en una situación. Una variable didáctica es un elemento de la situación tal que, si actuamos sobre él, podemos provocar adaptaciones y aprendizajes.

Sólo las modificaciones que afectan a la jerarquía de las estrategias las podemos considerar como variables pertinentes. Aquéllas que puede manipular un profesor son particularmente interesantes: éstas son las variables didácticas. (Brousseau, 1982).

Como afirma Balacheff (1996, p. 219) la didáctica se interesa por las perturbaciones provocadas deliberadamente en un determinado medio con la intención de suscitar un aprendizaje. Los comportamientos de los alumnos, ante este medio, son indicadores de sus aprendizajes: Cada situación problema demanda a los alumnos comportamientos que son el índice de un conocimiento. Esta correspondencia fundamental establecida, caso por caso, está justificada por la interpretación de las situaciones-problema en términos de juego, y los comportamientos en términos de índices de estrategias. (Brousseau, 1981, p. 112).

Conclusiones :

Entre los múltiples modelos de aprendizaje, hemos propuesto los tres que nos parecen más representativos, de una manera esquemática. Cuando observamos una secuencia de clase o cuando preparamos un curso, nos damos cuenta que frecuentemente navegamos de un modelo a otro.

Creemos que no hay un modelo superior a otro, depende de las circunstancias. Es necesario saber elegir un modelo en función de un cierto número de parámetros:

La noción enseñada, particularmente teniendo en cuenta los errores que comenten los alumnos.

Los alumnos: su número, su nivel, los prerrequisitos…

El tiempo que se dispone, etc.

Así, por ejemplo, para introducir un concepto nuevo, para el que habitualmente hay errores muy persistentes, o para dar sentido a una nueva técnica, un enfoque socio-constructivista parece el mejor adaptado.

Por el contrario, para la adquisición de automatismos el modelo behaviorista parece ser el más eficaz.

Para introducir un concepto, para el que habitualmente hay pocos errores, o que no se estima determinante en el programa, un enfoque transmisivo permite ganar tiempo.

Por último, el enseñante debe ser consciente de la concepción sobre la cual, de manera habitual, tiene tendencia a apoyarse. Conociendo la existencia de otros modelos podrá diversificar su enseñanza.

Teoría de Situaciones Didácticas

OBJETIVOS Proporcionar un marco teórico que facilite al futuro

maestro/a la modelización de los procesos de enseñanza y aprendizaje del conocimiento matemático.

Introducir la Teoría de Situaciones Didáctican (TSD) de Brousseau como modelo teórico de la actividad matemática.

Conocer la noción de situación fundamental relativa a un conocimiento matemático.

Identificar las situaciones a-didácticas de acción, formulación y validación.

Realizar análisis didácticos de diferentes situaciones de enseñanza - aprendizaje de conocimientos matemáticos, utilizando el marco teórico de la TSD.

1. Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) de Brousseau: una respuesta científica al proceso de enseñanza –aprendizaje de las Matemáticas.

La TSD es una teoría sobre los procesos de enseñanza - aprendizaje del conocimiento matemático con una clara marca constructivista en la cual se considera que el aprendizaje matemático se produce como resultado de la resolución de problemas.

Brousseau considera que los conocimientos matemáticos sólo pueden construirse a través de las actividades que ellos permiten realizar y de los problemas que permiten resolver. Así, postula que las Matemáticas no son simplemente un sistema conceptual, lógicamente consistente y productor de demostraciones: son, en primer lugar, una actividad que se realiza en una situación y contra un medio (situación-problema). Se trata, además, de una actividad estructurada, en la que se pueden separar diferentes fases: acción, formulación, validación e institucionalización.

Guy Brousseau parte de un modelo general del conocimiento matemático: Saber Matemáticas no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y de aplicarlos, es “resolver problemas”, que en un sentido amplio incluye tanto encontrar buenas preguntas como encontrar soluciones.

Enseñar un conocimiento matemático concreto es, en una primera aproximación, hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho conocimiento una actividad matemática en el sentido anterior. El profesor/a debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones matemáticas que ellos puedan vivir, que provoquen la emergencia de genuinos problemas matemáticos y en las cuales el conocimiento en cuestión aparezca como una solución óptima a dichos problemas, con la condición adicional de que dicho conocimiento sea construible por los propios alumnos. Es decir, que no sea el profesor quien dé el conocimiento al alumno para que, posteriormente, lo aplique (aplicacionismo), sino que realmente sea el alumno el que, enfrentándose a un verdadero problema, buscando su solución, lo construya.

Desde esta concepción, tiene una particular importancia para la Didáctica de la Matemática, la elaboración y el estudio del medio, es decir, de las situaciones que debemos proponer a los alumnos, que ellos puedan "vivir" y en las cuales los conocimientos matemáticos deberán aparecer como la solución óptima a los problemas propuestos.

Serán situaciones donde el alumno desarrolle un trabajo intelectual comparable, en algunos momentos, a la actividad científica, es decir, donde actúe, formule, pruebe y construya modelos de lenguaje, conocimientos que intercambie con los demás, donde reconozca aquéllos que están conformes con la cultura y donde recoja aquéllos que le son útiles y pertinentes.

2. Situación matemática específica de un conocimiento concreto

Una situación matemática es específica de un conocimiento matemático concreto si cumple las dos condiciones siguientes:

Es comunicable sin utilizar dicho conocimiento.

La estrategia óptima que permite resolver el problema planteado es el conocimiento matemático que se desea que el alumno construya.

Situación a-didáctica Una situación a-didáctica es aquella en la que el alumno hace

frente, de manera autónoma, a la resolución del problema, construyendo para ello un conocimiento.

Las siguientes condiciones son indispensables para que una situación sea a-didáctica: El alumno debe poder entrever una respuesta (estrategia de

base) al problema planteado (no se debe “quedar en blanco” ante el problema propuesto).

La estrategia de base debe mostrarse rápidamente como insuficiente y antieconómica.

El alumno debe poder validar sus estrategias interactuando con la situación.

Debe existir incertidumbre por parte de los alumnos en las decisiones.

El “medio” (la situación problema) debe permitir retroacciones que informen al alumno sobre la validez de sus estrategias.

La situación debe ser repetible. El conocimiento buscado debe aparecer como la estrategia

óptima que permita resolver el problema, haciendo, así, que el alumno abandone la estrategia de base.

Situación fundamental Se llama “situación fundamental” a un conjunto

mínimo de situaciones a-didácticas que permite engendrar, por manipulación de los valores de sus variables didácticas, un campo de problemas suficientemente extenso como para proporcionar una buena representación de un conocimiento matemático concreto.

Cada conocimiento matemático se caracteriza por una familia de situaciones a-didácticas específicas de dicho conocimiento, es decir, para todo saber matemático, existe una familia de situaciones a-didácticas susceptibles de darle un sentido correcto. Esta familia de situaciones a-didácticas constituye lo que se denomina situación fundamental.

Cada Cada conocimientoconocimiento matemmatemááticotico se se

caracteriza por una caracteriza por una

FAMILIA de situaciones aFAMILIA de situaciones a--diddidáácticascticas

especespecííficas de dicho conocimiento, que ficas de dicho conocimiento, que

constituyen lo que se denomina constituyen lo que se denomina

EJEMPLO: Situación fundamental para la cardinación de una colección mediante la actividad de contar:

El conocimiento de los primeros números naturales se manifiesta por el conteo.

En la vida diaria, todo el mundo sabe lo que es contar: se trata de una actividad totalmente naturalizada, que conocemos y dominamos sin ninguna dificultad.

Socialmente, el contar es algo que se hace, no es algo que se explica.

Vamos a determinar un modelo de situación-problema que nos permita realizar con sentido las actividades de cardinar y contar en la escuela.

Construir una situación fundamental,para que a través de la actividad de contar determinemos el cardinal de una colección, supone definir una clase de situaciones con un cierto número de variables didácticas que, al tomar distintos valores, permita generar un conjunto de problemas característicos del contar.

Serán problemas donde el contar constituya su solución óptima y que debe resolver alguien que no posee este conocimiento: que no sabe contar.

Esta situación fundamental se puede modelizar con el siguiente juego:

Dada una cierta cantidad de objetos (por ejemplo, botes de pintura), pedimos a un niño que vaya a otro lugar, desde el que no ve los objetos anteriores, a buscar otro tipo de objetos (por ejemplo, pinceles) y que, en un sólo viaje, traiga aquellos que necesite para poner un sólo pincel en cada bote sin que sobre ni falte ninguno. “Diremos que alguien sabe contar – en el sentido de la teoría de situaciones – cuando es capaz de realizar correctamente esta tarea y, aún más, cuando es capaz de pedirle a alguien la cantidad exacta de pinceles que necesita y controlar si ha llevado a cabo estas acciones correctamente”. (Brousseau14, 1995, p. 12)

En este punto, podemos definir qué significa, bajo este marco teórico, “aprender un conocimiento” :

Diremos que un alumno ha aprendido un conocimiento matemático específico si se ha adaptado a todas las situaciones a-didácticas que constituyen una situación fundamental. Esta adaptación se manifiesta mediante un cambio de estrategia del alumno que le lleva a poner en práctica la estrategia ganadora u óptima de manera estable en el tiempo.

3. El paso de la situación a-didáctica a la situación didáctica

Para que un alumno aprenda un conocimiento matemático concreto es necesario que lo haga funcionar en sus relaciones con cierto medio a-didáctico. Pero los conocimientos matemáticos no pueden vivir por sí mismos en la institución escolar, sólo pueden funcionar como tales conocimientos, en la relación didáctica, resultando, por tanto, que la situación a-didáctica es únicamente una parte de la situación más amplia que Brousseau denominó “situación didácticasituación didáctica”, y que comprende las relaciones establecidas entre los alumnos, el medio y el profesor, con el objetivo de que los alumnos aprendan un conocimiento matemático concreto.

Profesor/aProfesor/a

Alumno/aAlumno/a

MedioMedio

Sit

uaci

Sit

uacióón d

idn d

idááct

ica

ctic

a

SituaciSituacióón an a--diddidáácticactica

Una situación es didáctica cuando un individuo (en general, el profesor) tiene la intención de enseñar a otro individuo (en general, un alumno) un saber dado. Se llama situación a-didáctica a aquella parte de una situación didáctica en la que la intención del enseñante no es explícita[1] para el alumno. (Briand, 2000, p. 27)

La situación didáctica comprende una serie de intervenciones del

profesor sobre el par alumno-medioalumno-medio destinadas a hacer funcionar las situaciones a-didácticas y los aprendizajes que ellas provocan. Estas intervenciones son principalmente devoluciones e institucionalizaciones, conceptos que explicaremos posteriormente. La evolución de una situación didáctica requiere la intervención constante, la acción mantenida y la vigilancia del profesor.

[1] Es decir, cuando el alumno está trabajando en la resolución de un problema, “juega” con una marioneta, o construye un tapiz, o realiza el plano de su clase,..., pero no conoce explícitamente el conocimiento matemático que está construyendo. El profesor, debe, posteriormente, institucionalizar dichos conocimientos: “hemos aprendido a sumar”, “este signo + se lee más y significa añadir”, “esta figura es un triángulo”, “hemos aprendido el nombre de muchas figuras geométricas”, etc.

Hipótesis de aprendizaje

Profesor Alumno

Medio

Situación

Variables didácticas

Acción

RetroacciónGestión

Control

Relaciones que se establecen en el sistema didáctico

Como se ha podido leer anteriormente, en una situación didáctica participan al menos dos actores: el alumno y el profesor, en la que uno de ellos, el profesor, busca que el otro, el alumno, se apropie, se responsabilice o haga suya la situación a-didáctica (se debe enfrentar al problema de forma autónoma). Este primer paso se denomina la devolución del problemadevolución del problema al alumno.

Es necesario que la situación “devuelta” al alumno provoque en éste una interacción con el conocimiento lo más fecunda posible en lo que respecta a la construcción por parte del alumno de dicho conocimiento. De esta forma podemos definir, dentro de la teoría de las situaciones, una noción básica que aún no ha sido introducida. Enseñar un conocimiento matemático consiste en hacer devolución al alumno de una situación a-didáctica específica de dicho conocimiento.

La devolución de una situación a-didáctica consiste no sólo en presentar al alumno el problema y las “reglas del juego”, es decir, la situación como tal, sino, además, en hacer que el alumno se sienta responsablesienta responsable, (en el sentido matemático de la palabra), del resultado que debe buscar, es decir, de la resolución del problema planteado.

En la didáctica actual, la enseñanzaenseñanza es la devolución a un alumno de una situación a-didáctica correcta y el aprendizajeaprendizaje es una adaptación a esta situación. (Brousseau, 1998, p. 60).

TEORTEORÍÍA DE SITUACIONES DIDA DE SITUACIONES DIDÁÁCTICASCTICAS

Adaptarse a una situación específica de dicho conocimiento.

Siempre se corresponde con un cambio de estrategia.

Todo conocimiento surge asociado a una nueva estrategia capaz de resolver un problema que la estrategia “de base”se había mostrado incapaz de resolver.

(Chevallard, Bosch, Gascón, 1998, p. 218-225)

APRENDERAPRENDER un conocimiento matemático

Aprender un conocimiento matemático en la TSD

TEORTEORÍÍA DE SITUACIONES DIDA DE SITUACIONES DIDÁÁCTICASCTICAS

Llevar a cabo un proceso de DEVOLUCIDEVOLUCIÓÓNN al alumno de una

situación aa--diddidáácticactica específica de dicho conocimiento

ENSEENSEÑÑARAR un conocimiento matemático

Enseñar un conocimiento matemático en la TSD

4. Tipos de situaciones a-didácticas Brousseau (1998) plantea una serie de

situaciones a-didácticas que permiten al alumno construir el conocimiento matemático, respetando a la vez todos los principios anteriormente propuestos. Estas situaciones a-didácticas son:

Situaciones de acción. Situaciones de formulación. Situaciones de validación.

4.1. Situaciones a-didácticas de acción Toda situación a-didáctica de acción propone al alumno

un problema en unas condiciones tales que la mejor solución se obtiene mediante el conocimiento a enseñar y, de tal forma, que el alumno puede actuar sobre la situación y hacer elecciones durante esta acción, al tiempo que la situación le devuelve información sobre las consecuencias de su acción.

Si el alumno no cuenta con una estrategia inicial asegurada, se verá inmerso en una dialéctica de ensayo-errorensayo-error en búsqueda de la solución, que le ofrecerá mucha y variada información. De esta forma puede llegar un momento en que construya una nueva estrategia que contenga nociones, relaciones y propiedades subyacentes que serán utilizadas y de las cuales el alumno no es consciente, a pesar de que su acción se descubra como exitosa.

El objetivo de estas situaciones es facilitar y favorecer un cierto tipo de interacciones entre el sujeto y el medio, siendo en todo momento una situación que permita el feedback para que el alumno pueda juzgar el resultado de su acción, permitiendo el ajuste de éstas a los resultados obtenidos, de forma que el docente no tenga que intervenir en el desarrollo y transcurso de dicha situación.

No se trata de una situación de manipulación libre o según un orden preestablecido: una buena situación de acción debe permitir al alumno juzgar el resultado de su acción y ajustarla, sin la intervención del profesor, gracias a la retroalimentación por parte del medio. En una buena situación de acción el alumno debe percibir informaciones que han de servirle como sanciones o refuerzos.

En una situación de acción se produce un “diálogo” entre el alumno y la situación. Esta dialéctica de la acción le permite mejorar su modelo implícito, es decir, tener reacciones que no puede todavía formular, probar ni, mucho menos, organizar en una teoría. En todo caso la situación a-didáctica provoca un aprendizaje por adaptación.

Dialéctica de la ACCIÓN

Situación Alumnoinformación

acción

sanciones o retroacciones

4.2. Situaciones a-didácticas de formulación En esta fase se diseñan situaciones en las que las

estrategias que ha puesto en funcionamiento el alumno en la fase anterior tengan necesariamente que hacerse explícitas, que formularse (oralmente o por escrito).

Así, en las situaciones de formulación el alumno debe intercambiar sus informaciones con otras personas, comunicando al interlocutor (o interlocutores) los resultados obtenidos en la etapa anterior. A su vez el receptor hace lo mismo, y le comunica sus observaciones.

Esta comunicación entre emisor y receptor puede hacerse efectiva a través de mensajes orales o escritos, empleando, según las posibilidades del emisor, un lenguaje matemático. Permite al alumno comunicar su modelo implícito (la estrategia empleada en la resolución del problema).

Como resultado de esta dialéctica el alumno creará un modelo explícito, que puede formularse con ayuda de signos y reglas (conocidas o nuevas).

Dialéctica de la formulación

Situación

Emisor

sanciones o retroacciones

Receptor

4.3. Situaciones a-didácticas de validación En Matemáticas decir que algo es verdadero implica

tener medios para poder probarlo. Desde los niveles escolares más iniciales y elementales,

el hacer Matemáticas debe permitir el desarrollo de la personalidad racional del alumno y enseñarle comportamientos sociales relativos a la toma de decisiones y al establecimiento de la verdad.

“El aprendizaje más fundamental que los niños/as pueden encontrar en las Matemáticas, desde la escuela infantil, es el de la gestión personal y social de la verdad. Las Matemáticas no tienen el monopolio de la búsqueda de la verdad pero constituyen el dominio donde los niños la encuentran más precozmente y donde comienzan a tratarla con el menor número de saberes previos”. (Brousseau, 2006, p. 6)

En la dialéctica de la validación, el alumno debe demostrar por qué la estrategia que ha creado para resolver el problema es válida, es verdadera. Debe “convencer” a otro, debe probar la exactitud y la pertinencia de su modelo.

Pero para que el alumno construya una demostración y ésta tenga sentido para él es necesario que la construya en una situación, llamada de validación, en la que debe convencer a otra persona.

Una situación a-didáctica de validación proporciona la ocasión para que un alumno (proponente) pruebe la exactitud y la pertinencia de su modelo.

El alumno oponente puede pedir explicaciones suplementarias, rechazar las que no comprende o aquéllas con las que no está de acuerdo, siempre y cuando justifique su desacuerdo.

Situación

Proponente

sanciones o retroacciones

Oponente

pru

eb

as

Dialéctica de la validación

4.4. Situaciones de institucionalización de los conocimientos matemáticos

Las situaciones de institucionalizacióninstitucionalización tienen como misión dotar de un cierto estatuto oficial al nuevo conocimiento que ha sido construido y validado.

El profesor/a es el responsable de informar a los alumnos de que el conocimiento que acaban de construir en las fases anteriores forma parte de un conocimiento social (contar, sumar, restar, nombrar figuras geométricas, medir de longitudes, medir superficies, etc.) y del patrimonio de la institución matemática. De este modo, el conocimiento es etiquetado (recibe un nombre “oficial”) y pasa a ser algo que los alumnos deben saber y pueden nombrar y aplicar en lo sucesivo.

La institucionalización supone un doble reconocimiento social: el alumno reconoce como oficial el objeto de conocimiento que acaba de construir y el maestro reconoce como oficial el aprendizaje del alumno.

Se trata de un trabajo cultural e histórico que difiere totalmente del que puede dejarse a cargo del alumno y es responsabilidad del profesor.

Inversamente a la devolución, la institucionalización consiste en dar un estatuto cultural a las producciones de los alumnos: actividades, lenguajes y conocimientosactividades, lenguajes y conocimientos. Constituye, junto a la devolución, una de las actividades principales del profesor/a.

Dialéctica de la institucionalización

Conocimiento cultural

Profesor/aProfesor/a SujetoSujetoInformación

Control oficial

SITUACISITUACIÓÓNN

Estatuto

El error en el aprendizaje matemático Los errores se encuentran omnipresentes en

todas las producciones de los alumnos, teniendo un lugar destacado en los trabajos de Didáctica de las Matemáticas.

La actitud de los profesores hacia el error está estrechamente ligada a las concepciones del aprendizaje de las cuales son referencia.

Concepción de “la cabeza vacía”. Teorías de aprendizaje tradicionales. Concepción conductista. Concepción constructivista.

Análisis didáctico del error: "Un obstáculo se manifiesta por medio de los

errores, pero éstos no son debidos al azar, fugaces, erráticos, son reproducibles, persistentes. Además estos errores, en un mismo sujeto, están ligados entre sí por un origen común: una forma de conocer, una concepción característica, coherente si no correcta, un "conocimiento" anterior y que ha funcionado para todo un dominio de acciones."

Así, el error será la expresión o la manifestación explícita de un conjunto de concepciones espontáneas o preconstruidas, integradas en una red coherente de representaciones cognitivas, que se convierten en obstáculos para la adquisición y dominio de nuevos conceptos. La superación de estos obstáculos está dentro del propio proyecto del acto de enseñar, y el error es paso obligado.

Noción de obstáculo: En Didáctica de las Matemáticas, se extraen

las cinco características siguientes para un obstáculo:

Es un conocimiento (y no una ausencia del mismo). Permite dar respuestas adaptadas a ciertos

problemas o clases de problemas. Conduce a respuestas erróneas en otro tipo de

problemas. Presenta una resistencia a toda modificación o

transformación, y se manifiesta de manera recurrente. (Es decir, es predominante en ciertas situaciones, después de haberse reemplazado en apariencia por un nuevo conocimiento ).

La desestimación de este conocimiento conducirá a un conocimiento nuevo.

Tipos de obstáculos:a) Obstáculos epistemológicos .Son inherentes al propio saber. La complejidad de

los conceptos, y sus relaciones con los campos conceptuales que los alumnos dominan poco, chocan con las concepciones espontáneas que tienden a oponerse a los conocimientos empíricos del saber científico.

b) Obstáculos didácticos. Son los obstáculos originados por la elección de

una estrategia de enseñanza, que permiten formar, durante el aprendizaje, conocimientos erróneos o incompletos que se revelarán posteriormente como obstáculos al desarrollo de la conceptualización.

c) Obstáculos psicológicos. Son los obstáculos que se presentan cuando el

aprendizaje está en contradicción con las representaciones profundamente ancladas en el sujeto, o cuando induce una desestabilización inaceptable.

d) Obstáculos ontogenéticos. Son los obstáculos que se experimentan cuando

el aprendizaje requerido es demasiado en relación a la madurez conceptual del sujeto. Cualquiera que sea la explicación, el alumno no comprende lo que se le pide, el desarrollo de su pensamiento resulta extraño al terreno conceptual al que se le quiere llevar.

Los profesores tienen varias elecciones didácticas a su disposición para la gestión de los errores. Se pueden anticipar, se pueden gestionar didácticamente los obstáculos para evitarlos, pero lo que no se debe es ignorarlos.

A modo de conclusión.

Desde un principio, hemos intentado ofrecer respuestas a las cuestiones formulada al principio:

¿Qué es hacer Matemáticas en la Escuela Infantil? ¿En qué consiste la actividad matemática en este nivel

educativo?Nuestras respuestas, basadas fundamentalmente en la Teoría

de Situaciones Didácticas de Guy Brousseau, han procurado proporcionar al profesorado de este nivel educativo conocimientos didácticos validados científicamente, producto de ingenierías didácticas derivadas de rigurosos trabajos de investigación.

Estamos convencidos de que las Matemáticas en cualquier nivel educativo tienen necesariamente que construirlas los alumnos/as con total significación.

En consecuencia, podemos declarar que el derecho a la educación matemática que tiene todo individuo, debe estar siempre unido al derecho a la construcción significativa de los conocimientos matemáticos.

En tiempos de crisis para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas, donde han surgido tantos problemas derivados de la alta tasa de fracaso de nuestros alumnos (basta recordar los resultados del último informe PISAPISA), no es suficiente con aportar soluciones espontáneas que no satisfacen a nadie, debemos seguir en la brecha, trabajando e investigando para la optimización del conocimiento matemático de nuestros alumnos/as, tratando de unir lo mejor que podamos “el pesimismo de la inteligencia al optimismo de la voluntad”. Este es el gran deseo que debe movilizar nuestras energías, nuestros esfuerzos y nuestros trabajos.

A todos los que estamos aquí presentes nos compete la tarea de hacer que los niños y niñas de la Escuela Infantil comiencen su relación con el conocimiento matemático de forma funcional y operativa. Es en los primeros niveles educativos donde se encuentran todos los niños, sin excepción. Tenemos el compromiso social y ético de su promoción educativa. No pueden quedar excluidos de una completa educación matemática. Tampoco pueden quedar excluidos del placer de aprender Matemáticas con sentido.

Es de justicia.