Tema IV

Universidad TÉCNICA

de BABAHOYO.

Métodos Numéricos.

Tema III. Otros polinomios de Interpolación.

Gilma Tablada Martínez.

Ingeniera en Matemática.

Interpolación.

Ing. Gilma Tablada Martínez Página 2

OTROS POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN PARA NODOS EQUIDISTANTES. Para estas fórmulas que vamos a estudiar se usan las diferencias finitas divididas y

se calculan de la misma manera que en los casos anteriores, sólo que se van a

indexar de diferente forma.

La tabla de diferencias finitas tendrá la siguiente estructura y las diferencias son:

Si el número de nodos de interpolación es impar los nodos se indexan desde –n hasta n.

Si el número de nodos de interpolación es par los nodos se indexan desde –n hasta n+1.

Cada uno de los polinomios que vamos a estudiar se basa en algunas de estas diferencias.

2.2.4. Polinomio progresivo de Gauss para número impar de nodos. En este caso i = -n, . . . . , n. La fórmula se basa en las diferencias 0 de orden par y las diferencias ½ de orden impar. El polinomio será de grado 2n+1.

= + ∑ *(

) ⁄ (

) +

EJEMPLO 13: (Resuelto en el Ejemplo 6) P(xk) =

(

)

Dado el siguiente conjunto de datos encontrar el polinomio progresivo de Gauss.

SOLUCIÓN: La tabla de diferencias finitas es:

i xi yi yi

-2 x-2 y-2

⁄

-1 x-1 y-1

⁄

⁄

0 x0 y0

⁄

⁄

1 x1 y1

⁄

2 x2 y2

x 1 2 3 4 5

y 1 -1 1 -1 1

Interpolación.


De la tabla se usarán las diferencias en negritas. La fórmula progresiva de Gauss para un número impar de nodos dice que:

= + ∑ *(

) ⁄ (

) +

= + *( )

⁄ (

) ++ *(

)

⁄ (

) +

= + * ( )

( )( )++*

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )+

= - 2k +2 ( )+

( )+

( )

=

[ ( ) ( ) ( )]

=

[ ]

=

( )

Como k = xk – 3, sustituyendo este valor en pk, tenemos:

P(xk) =

( ( – )

( – )

)

P(xk) =

[ (

) ( ) ]

P(xk) =

[

]

P(xk) =

(

)

2.2.5. Polinomio progresivo de Gauss para número par de nodos. En este caso i = -n, . . . . , n+1. La fórmula se basa en las diferencias 0 de orden par y las diferencias ½ de orden impar. El polinomio será de grado 2n+1.

= ∑ *( ) (

) ⁄+

EJEMPLO 14: (Resuelto en el Ejemplo 12) ( ) =

[

]

Para los datos del ejemplo 2 calculemos las diferencias regresivas.

SOLUCIÓN:

i xi yi yi

-2 1 1 -2

-1 2 -1 4 2 -8

0 3 1 -4 16 -2 8

1 4 -1 4 2

2 5 1

x 2 4 6 8 y -2 1 3 8

Interpolación.


Para este caso h = 2. La tabla de diferencias finitas es:

De la tabla se usarán las diferencias en negritas. La fórmula progresiva de Gauss para un número par de nodos dice que:

= ∑ *( ) (

) ⁄+

= *( ) (

)

⁄+ *(

) (

)

⁄+

= [( )( ) ( )]+*

( ) ( )

( ) ( )( )+

= [ ]+*

( )

( )+

=

[ ]

=

[ ]

Como xk = x0 + kh; xk = 4 + 2k k =

( ) =

[ (

) (

) (

) ]

( ) =

*

( )

( )

( ) +

( ) =

*

(

)

( )

( ) +

( ) =

(

) [ (

) (

) ( ) ]

( ) =

[

]

( ) =

[

]

2.2.6. Polinomio regresivo de Gauss. En este caso i = -n, . . . . , n. La fórmula se basa en las diferencias 0 de orden par y las diferencias -½ de orden impar. El polinomio será de grado 2n+1.

= + ∑ *(

) ⁄ (

) +


(

)

i xi yi yi

-1 2 -2 3

0 4 1 -1 2 4

1 6 3 3 5

2 8 8

Interpolación.


Dado el siguiente conjunto de datos encontrar el polinomio regresivo de Gauss.

SOLUCIÓN: La tabla de diferencias finitas es:

Se usarán las diferencias en negritas. La fórmula regresiva de Gauss dice que:

= + ∑ *(

) ⁄ (

) +

= + *( ) ⁄ (

) ++ *(

) ⁄ (

) +

= + * ( )

( )( )++*

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )+

= 2k - 2 ( )

( )+

( )

=

[ ( ) ( ) ( )]

=

[ ]

=

( )


P(xk) =

( ( – )

( – )

)

P(xk) =

[ (

) ( ) ]

P(xk) =

[

]

P(xk) =

(

)

2.2.7. Polinomio de Everett para número par de nodos. En este caso i = -n, . . . . , n+1. La fórmula se basa en las diferencias 0 y1 de orden par. El polinomio será de grado 2n+1.

= ∑ [(

) (

) ]

x 1 2 3 4 5 y 1 -1 1 -1 1

i xi yi yi

-2 1 1 -2

-1 2 -1 4 2 -8

0 3 1 -4 16 -2 8

1 4 -1 4 2

2 5 1

Interpolación.



[

]

Dado el siguiente conjunto de datos encontrar el polinomio de Everett.

SOLUCIÓN: Para este caso h = 2. La tabla de diferencias finitas es:

De la tabla se usarán las diferencias en negritas. La fórmula de Everett dice que:

= ∑ [(

) (

) ]

= [( ) (

) ] +[(

) (

) ]

= [( )( ) ( )( )]+*

( ) ( )( )

( )( ) ( )+

= [ ]+*

( )

( )+

= [ ]+ ( )

( )

=

[ ( ) ( )]

=

[ ]

=

[ ]

Como xk = x0 + kh; xk = 4 + 2k k =

( ) =

[ (

) (

) (

) ]

( ) =

*

( )

( )

( ) +

( ) =

*

(

)

( )

( ) +

( ) =

(

) [ (

) (

) ( ) ]

( ) =

[

]

( ) =

[

]

x 2 4 6 8 y -2 1 3 8

i xi yi yi

-1 2 -2 3

0 4 1 -1 2 4

1 6 3 3 5

2 8 8

Interpolación.


2.2.8. Polinomio de Stirling para número impar de nodos. En este caso i = -n, . . . . , n. La fórmula se basa en las diferencias 0 de orden par y en la media de las diferencias ½ y -½ para las diferencias de orden impar.

El polinomio será de grado 2n+1.

= + ∑ *(

)

(

) +

donde: =

(

⁄

⁄)


(

)

Dado el siguiente conjunto de datos encontrar el polinomio de Stirling.


De la tabla se usarán las diferencias en negritas. La fórmula de Stirling dice que:

= + ∑ *(

)

(

) +

donde: =

(

⁄

⁄)

= +*( )

( )

( )( )++*(

)

( )

( )( )+

= +* ( )

( )++*

( ) ( )

( )

( ) ( )( )+

= +[ ]+ *

( )+

=

[ ( )]

=

[ ]

=

( )


P(xk) =

( ( – )

( – )

)

x 1 2 3 4 5 y 1 -1 1 -1 1

i xi yi yi

-2 1 1 -2

-1 2 -1 4 2 -8

0 3 1 -4 16 -2 8

1 4 -1 4 2

2 5 1

Interpolación.


P(xk) =

[ (

) ( ) ]

P(xk) =

[

]

P(xk) =

(

)

2.2.7. Polinomio de Bessel para número par de nodos. En este caso i = -n, . . . . , n+1. La fórmula se basa en las diferencias ½ de orden impar y en la media de las diferencias 0 y 1 para las diferencias de orden par.

El polinomio será de grado 2n+1.

= ∑ *( )

⁄

(

) (

)

⁄+

donde: ⁄

=

(

)


[

]

Dado el siguiente conjunto de datos encontrar el polinomio de Bessel.


De la tabla se usarán las diferencias en negritas. La fórmula de Bessel dice que:

= ∑ *( )

⁄

(

) (

)

⁄+

= *( )

⁄

(

) (

)

⁄++*(

)

⁄

(

) (

)

⁄+

= *( )

(

) ( ) (

) ( )( )++*

( )( )

(

)

(

)

( )( )( )+

= *

( ) ( )++*

( )

( )

( )( )+

[ ( )]=+*

( )

( )+

= 2k+1+

( )

( )

=

[ ( ) ( )]

x 2 4 6 8 y -2 1 3 8

i xi yi yi

-1 2 -2 3

0 4 1 -1 2 4

1 6 3 3 5

2 8 8

Interpolación.


=

[ ]

=

[ ]

Como xk = x0 + kh; xk = 4 + 2k k =

( ) =

[ (

) (

) (

) ]

( ) =

*

( )

( )

( ) +

( ) =

*

(

)

( )

( ) +

( ) =

(

) [ (

) (

) ( ) ]

( ) =

[

]

( ) =

[

]

Note que estos resultados coinciden con los encontrados en los ejemplos resueltos anteriormente. Esto corrobora el postulado que dice que el polinomio de interpolación es único para el mismo conjunto de nodos de interpolación.

EJERCICIOS DE INTERPOLACIÓN PARA NODOS EQUIDISTANTES. 1.- Aplique la fórmula progresiva de Newton a los siguientes datos para obtener el polinomio de interpolación. 2.- Ajuste el polinomio encontrado en el ejercicio 1 a la siguiente tabla: 3.- Encuentre el polinomio progresivo y regresivo de Gauss y el de Stirling que se ajusta a la función y = 2x2 + 3x +1 en el intervalo [0.1, 0.5] con h = 0.1. a) Elabore la tabla de diferencias finitas. b) Compruebe que los polinomios obtenidos coinciden usando las fórmulas progresiva y regresiva de Gauss y de Stirling. 4.- Encuentre las diferencias finitas para los sgtes puntos. Encuentre los polinomios de Gauss y Stirling. Compare los resultados obtenidos. 5.- Aplique la fórmula progresiva de Gauss, la de Everett y la de Bessel a los siguientes datos para obtener un polinomio de interpolación en cada caso. Compruebe que los polinomios obtenidos coinciden usando cualquiera de las fórmulas. a)

xi 1 2 3 4 5 yi -2 0 1 6 24

xi 0 1 2 3 4 yi 0 0 1 6 24

xi 0 1 2 3 4 yi -2 0 1 6 24

xi 3 4 5 6 yi 6 24 60 120

Interpolación.


b) 6.- Aplique las fórmulas de Gauss, Everett, Stirling y/o Bessel a los sgtes datos para obtener un polinomio de interpolación en cada caso. Compare los polinomios obtenidos usando las diferentes fórmulas. a)

b)

7.- Dada la función ( ) √ ( ). Obtenga un polinomio de interpolación en el intervalo [0, 2], con h = 0.4. Use las fórmulas de:

a) Everett

b) Bessel

8.- Ajuste la función del ejercicio 7 para los puntos:

a) k = -2, -1, 0, 1.

b) k = 0, 1, 2, 3.

c) En ambos casos deduzca la magnitud del error para el punto x = 0.23.

9.- Para los datos que aparecen a continuación use la fórmula de Stirling y obtenga un polinomio de cuarto grado. Evalúe dicho polinomio para x = 3.

10.- Ajuste la función ( )

en el intervalo [0, 3] con h = 0.5 a través de

los polinomios de Gauss y Stirling. Construya la tabla de diferencias finitas.

Compare el polinomio de Stirling con los de Gauss.

11.- Pruebe que para los siguientes juegos de datos los polinomios de interpolación

coinciden con los que se señalan para cada caso.

a)

p(x) =

b)

xi 0 3 6 9 yi 0 6 120 720

i -4 -3 -2 -1 0

xi 1 2 3 4 5

yi 1 -1 1 -1 1

i -5 -4 -3 -2 -1 0

xi 0 1 2 3 4 5

yi 0 0 1 1 0 0

xi 0 1 2 3 4

yi 0 16 48 88 0

xi -1 0 1 2 3

yi 2 1 2 -7 10

xi 0 3

yi 0 1 1 0

Interpolación.


p(x) =

( )

12.- Encuentre un polinomio de interpolación para los siguientes pares de puntos x y f(x). a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

xi -2 -1 0 1 2 3

yi -13 -6 -5 -4 3 52

xi 2 4 6 8 10

yi -2 -1 3 8 20

xi 0 1 2 3 4 5

yi 0 -1 8 135 704 2375

xi 0 3

yi 0 ½ 1

xi 0 3

yi 0 ½ 1 ½

xi -1 0 1 2 3

yi 3 1 3 7 11

xi 0 3

yi -1 1 -1 1

xi 0 1 2 3

yi 0 1 1.41 1.73

xi 1 3 5 7

yi 2 4 8 15

xi 0 2 4 6

yi 2 4 7 11

xi 0 3

yi ½ 1 -½ 1

xi 0 1 2 3 4

yi 0 1 1 1 0

xi 0 1 2 3 4

yi 0 0 1 6 24

xi 0 1 2 3 4

yi 0 1 2 1 0

Interpolación.


ñ)

o)

p)

q)

r)

13.- Ajuste a la función y = sen(x) para los puntos 0,

14.- Calcule un polinomio de interpolación en el intervalo [0,1.5] con h = 0.3 para la

función ( ) ( )

15.- Para el siguiente juego de datos encuentre un polinomio de interpolación de orden 5 ó menor. Encuentre los valores de la función en los puntos de 10 y 12 usando la tabla de diferencias finitas.

16.- Dada la siguiente tabla de diferencias finitas para nodos equidistantes:

a) Complétela.

b) Encuentre un polinomio de interpolación que permita conocer una expresión analítica para la función que los genera.

c) Compruebe que ( )

17.- Dada la siguiente tabla de diferencias finitas para nodos equidistantes:

a) Complétela añadiendo un nodo al final.

b) Encuentre el polinomio de interpolación progresivo de Newton que permita conocer una expresión analítica para la función que los genera.

xi 0 1 2 3 4 5

yi 0 3 8 15 24 35

xi 0 1 2 3 4 5

yi 0 1 16 54 62 81

xi 0 1 2 3 4 5

yi 12 0 -4 -6 6 4

xi 0 1 2 3 4 5

yi -1 0 4 5 6 8

xi 0 2 4 6 8

yi 0 ½ 1 -½ 0

xi 0 8

yi 0 3 8 15 24

xi yi 2 0 0

4 0 6 6 6

6 6 6

8

10

Interpolación.


c) Compruebe que p(xi) = yi.

i xi yi

2 4 6 1/6 8 -1/3 -1/2 -1 10 3/2 1 1/2

Interpolación.


RESUMEN. INTERPOLACIÓN PARA NODOS EQUIDISTANTES.

1.- Lagrange. Se usa para número par e impar de nodos. (k = 0, . . . . . ,n)

p(xk) = ∑ ( )

donde: ( ) = ∏ ( )

∏ ( )

;

2.- Newton: - Progresivo. Se usa para número par e impar de nodos. (k = 0, . . . . . ,n)

p(k) = ∑ ( )

- Regresivo: Se usa para número par e impar de nodos. (-n, . . . . . . , 0)

p(k) = + ∑ ( )( ) ( )

3.- Gauss: - Progresivo. Se usa para número impar de nodos. (k = -n, . . . . . ,n)

p(k) = + ∑ *(

) ⁄ (

) +

- Progresivo. Se usa para número par de nodos. (k = -n, . . . . . ,n+1)

p(k) = ∑ *( ) (

) ⁄+

- Regresivo. Se usa para número impar de nodos. (k = -n, . . . . . ,n)

p(k) = + ∑ *(

) ⁄ (

) +

4.- Everett. Se usa para número par de nodos. (k = -n, . . . . . . ,n+1)

p(k) = ∑ [(

) (

) ]

5.- Stirling. Se usa para número impar de nodos. (k = -n, . . . . . . , n)

p(k) = + ∑ *(

)

(

) +

donde: =

(

⁄

⁄)

6.- Bessel. Se usa para número par de nodos. (k = -n, . . . . . . , n+1)

p(k) = ∑ *( )

⁄

(

) (

)

⁄+

donde: ⁄

=

(

)

Tema IV

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