Tema Movimiento Armonico Simple(I)
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“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”. Facultad: INGINIERIA DE SISTEMAS. Curso: FISICA II. Docente tutor: JULIO NUÑES CHEG. Tema: Movimiento Armónico Simple (I) Ciclo: CUARTO OSORIO BALTAZAR AGUSTIN AÑO = 2015
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Tema Movimiento Armonico Simple(I)
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ldquoAntildeo de la Diversificacioacuten Productiva y del Fortalecimiento de la Educacioacutenrdquo
Facultad
INGINIERIA DE SISTEMAS
Curso FISICA II
Docente tutor
JULIO NUNtildeES CHEG
Tema
Movimiento Armoacutenico Simple (I)
Ciclo CUARTO
OSORIO BALTAZAR AGUSTIN
ANtildeO = 2015
MOVIMIENTO ARMOacuteNICO SIMPLE (I)
INTRODUCCIOacuteN
En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo estos
son llamados movimientos perioacutedicos En Fiacutesica se ha idealizado un tipo
de movimiento oscilatorio en el que se considera que sobre el sistema no existe la accioacuten de
las fuerzas de rozamiento es decir no existe disipacioacuten de energiacutea y el movimiento se
mantiene invariable sin necesidad de comunicarle energiacutea exterior a este Este movimiento se
llama MOVIMIENTO ARMOumlNICO SIMPLE (MAS)
El movimiento Armoacutenico Simple un movimiento que se explica en el movimiento armoacutenico de
una partiacutecula tiene como aplicaciones a los peacutendulos es asiacute que podemos estudiar el
movimiento de este tipo de sistemas tan especiales ademaacutes de estudiar las expresiones de la
Energiacutea dentro del Movimiento Armoacutenico Simple
EL MOVIMIENTO ARMOacuteNICO SIMPLE
Definicioacuten es un movimiento vibratorio bajo la accioacuten de una fuerza recuperadora elaacutestica
proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento
Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa graacuteficamente por
la funcioacuten seno Eacutesta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armoacutenico
simple que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son
directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto
cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme su proyeccioacuten (Q)
sobre cualquiera de los diaacutemetros de esta realiza un tipo de movimiento armoacutenico simple
Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia se
trazaraacute una perpendicular desde el punto a un diaacutemetro fijo de la circunferencia A medida que
el punto escogido se mueve a velocidad uniforme el punto proyectado en el diaacutemetro
realizaraacute un movimiento oscilatorio rectiliacuteneo
Para representar graacuteficamente (en una funcioacuten) el movimiento armoacutenico simple de un punto
se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del periacuteodo (T12 T6 T4)
que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia y como
a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo La resultante es una sinusoide ya que la
variacioacuten del tiempo t se traduce como una variacioacuten del sin x donde x es el aacutengulo que forma
el radio con el sami-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo)
ELEMENTOS
1 Oscilacioacuten o vibracioacuten es el movimiento realizado desde cualquier posicioacuten hasta regresar
de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias
2 Elongacioacuten es el desplazamiento de la partiacutecula que oscila desde la posicioacuten
de equilibrio hasta cualquier posicioacuten en un instante dado
3 Amplitud es la maacutexima elongacioacuten es decir el desplazamiento maacuteximo a partir de la
posicioacuten de equilibrio
4 Periodo es el tiempo requerido para realizar una oscilacioacuten o vibracioacuten completa Se
designa con la letra t
5 Frecuencia es el nuacutemero de oscilacioacuten o vibracioacuten realizadas en la unidad de tiempo
6 Posicioacuten de equilibrio es la posicioacuten en la cual no actuacutea ninguna fuerza neta sobre la
partiacutecula oscilante
Relacioacuten entre el MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la proyeccioacuten
(sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme
(MCU) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω sobre el diαmetro vertical de la
circunferencia que recorre
En lo siguiente podraacutes visualizar dicha relacioacuten
Vamos a establecer una relacioacuten entre un movimiento vobratorio armoacutenico simple y el
movimiento circular uniforme Esto nos va a permitir dos cosas
- Hallar la ecuacioacuten del MAacuteS sin tener que recurrir a caacutelculos matemaacuteticos complejos
- Conocer de doacutende vienen algunos de los conceptos que usamos en el MAacuteS como frecuencia
angular o el desfase
Observando el applet que viene a continuacioacuten Tememos inicialmente el resorte azul que
oscila verticalmente En la circunferencia tienes un punto negro que gira con movimiento
circular uniforme ocupando en cada instante una posicioacuten en la circunferencia Traza
mentalmente la proyeccioacuten de esa posicioacuten sobre el diaacutemetro vertical de la circunferencia En
cada momento la masa que cuelga del resorte ocupa una posicioacuten determinada Observa que
la posicioacuten de la masa del resorte coincide exactamente con la proyeccioacuten de la posicioacuten del
objeto sobre el diaacutemetro que veraacutes en forma de liacutenea azul en el diaacutemetro vertical
Es decir como resumen cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una
trayectoria circular el movimiento de la proyeccioacuten del objeto sobre el diaacutemetro es un
movimiento armoacutenico simple
Lo mismo
podriacuteamos decir
del resorte
amarillo y la
proyeccioacuten sobre
el diaacutemetro
horizontal que
veraacutes como un
trazo amarillo
sobre dicho
diaacutemetro
Los vectores azul
y amarillo que
variacutean en el applet corresponden al valor de la velocidad del resorte azul para diaacutemetro
vertical y amarillo para el horizontal Observa su variacioacuten y comprobaraacutes que la velocidad es
maacutexima en el centro de equilibrio del resorte y miacutenima en los extremos en los puntos de
miacutenima y maacutexima elongacioacuten Observa tambieacuten como el vector rojo de la graacutefica de la derecha
la velocidad del MAacuteS coincide con el vector azul la velocidad de la proyeccioacuten sobre el
diaacutemetro vertical lo que supone una prueba maacutes de lo que hemos afirmado anteriormente
Ecuaciones del Movimiento Armoacutenico Simple
Foacutermulas
x = A cos W t
x = elongacioacuten
r = A = radio
t = tiempo
w = velocidad angular
Vx = - V Sen Oslash
V = w R
h = w T
W t = V = Vector representativo de la velocidad lineal
Vx = proyeccioacuten de Y sobre el eje X
h = aacutengulo
Vx = -2 F A Sen (2)
Vx = + w A2 - x2
Ax = - w2 A cos w t
Ax = - Ac Cos Oslash
Ac = proyeccioacuten de aceleracioacuten sobre el eje horizontal
Ac = w2 X
Ac = aceleracioacuten centriacutepeta
t = 2 mk
T = periodo
Peacutendulo simple
Definicioacuten es llamado asiacute porque consta de un cuerpo de masa m suspendido de un hilo largo
de longitud l que cumple las condiciones siguientes el hilo es inextensible su masa es
despreciable comparada con la masa del cuerpo el aacutengulo de desplazamiento que llamaremos
0 debe ser pequentildeo
Como funciona con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del
cuerpo el aacutengulo de desplazamiento debe ser pequentildeo
Hay ciertos sistemas que si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo
Hooke si pueden bajo ciertas condiciones considerarse como tales El peacutendulo simple es
decir el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio
constante es uno de ellos
Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce
una oscilacioacuten perioacutedica Para estudiar esta oscilacioacuten es necesario proyectar las fuerzas que se
ejercen sobre el peso en todo momento y ver que componentes nos interesan y cuales no
Esto se puede observar en la figura 131
Vemos pues que considerando uacutenicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria es
decir el arco que se estaacute recorriendo podemos poner
Que a veces tambieacuten se expresa como
Esta ecuacioacuten es absolutamente anaacuteloga a la de un movimiento armoacutenico simple y por tanto
su solucioacuten tambieacuten seraacute (132) teniendo uacutenicamente la precaucioacuten de sustituir el valor de
antiguo por el que tiene ahora para un peacutendulo
A partir de aquiacute se pueden extraer todas las demaacutes relaciones para un peacutendulo simple el
periodo frecuencia etc
Periacuteodo de un Peacutendulo
Periacuteodo Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilacioacuten completa Para
determinar el periacuteodo se utiliza la siguiente expresioacuten T Ndeg de Osc (Tiempo empleado
dividido por el nuacutemero de oscilaciones)
1) El periodo de un peacutendulo es independiente de su amplitud Esto significa que si se tienen 2
peacutendulos iguales (longitud y masa) pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor
que el otro en ambas condiciones la medida del periodo de estos peacutendulos es el mismo
2) El periodo de un peacutendulo es directamente proporcional a la raiacutez cuadrada de su longitud
Esto significa que el periodo de un peacutendulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raiacutez
cuadrada de la longitud de ese peacutendulo
Aplicaciones
Algunas aplicaciones del peacutendulo son la medicioacuten del tiempo el metroacutenomo y la plomada
Otra aplicacioacuten se conoce como Peacutendulo de Foucault el cual se emplea para evidenciar la
rotacioacuten de la Tierra Se llama asiacute en honor del fiacutesico franceacutes Leoacuten Foucault y estaacute formado por
una gran masa suspendida de un cable muy largo
Tambieacuten sirve puesto que un peacutendulo oscila en un plano fijo como prueba efectiva de la
rotacioacuten de la Tierra aunque estuviera siempre cubierta de nubes En 1851 Jean Leoacuten Foucault
colgoacute un peacutendulo de 67 metros de largo de la cuacutepula de los Invaacutelidos en Paris (latitudcong49ordm) Un
recipiente que conteniacutea arena estaba sujeto al extremo libre el hilo de arena que caiacutea del cubo
mientras oscilaba el Peacutendulo sentildealaba la trayectoria demostroacute experimentalmente que el
plano de oscilacioacuten del peacutendulo giraba 11ordm 15rsquo cada hora y por tanto que la Tierra rotaba
CONCLUSIOacuteNES
El Movimiento Armoacutenico Simple es un movimiento perioacutedico en el que la posicioacuten variacutea seguacuten
una ecuacioacuten de tipo senoidal o cosenoidal
La velocidad del cuerpo cambia continuamente siendo maacutexima en el centro de la trayectoria y
nula en los extremos donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento
El MAS es un movimiento acelerado no uniformemente Su aceleracioacuten es proporcional al
desplazamiento y de signo opuesto a este Toma su valor maacuteximo en los extremos de la
trayectoria mientras que es miacutenimo en el centro
Podemos imaginar un MAS como una proyeccioacuten de un Movimiento Circular Uniforme El
desfase nos indica la posicioacuten del cuerpo en el instante inicial
ANEXOS
ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DEL MAS
1- Una masa de 400g unida a un resorte de k = 100 Nm realiza un MAS de amplitud 4 cm a)
Escribe la ecuacioacuten de su posicioacuten en funcioacuten del tiempo si empezamos a contarlo cuando la
soltamos desde la posicioacuten extrema b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez
por la posicioacuten de equilibrio c) iquestCuaacutento tarda en llegar desde la posicioacuten de equilibrio hasta
una elongacioacuten de 2 cm iquestY desde 2 cm al extremo d)iquestCuaacutel es la velocidad media para el
recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilacioacuten e) iquestSeraacute cero la velocidad
media de una oscilacioacuten completa
2- Una partiacutecula que oscila con MAS describe un movimiento de amplitud de 10 cm y
periodo 2 s Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades Una mientras va hacia
un extremo y otra cuando regresa a) Calcula estas velocidades b) Escribe la ecuacioacuten de la
posicioacuten con un desfase suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando estaacute en ese
punto (3cm)
3- Una partiacutecula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a
ndash 40x (N) estando x expresada en metros Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen con
una velocidad de 15 ms dirigida hacia el centro calcula a) La amplitud del movimiento b) El
instante en que pasa por primera vez por el origen
4- Un objeto realiza un movimiento armoacutenico simple Cuando se encuentra a 3 cm de la
posicioacuten de equilibrio su velocidades es 6 ms mientras que si la distancia es de 5 cm su
velocidades es 2 ms Calcula la amplitud del movimiento
5- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm pero al colgar de su extremo libre una
masa de 1 Kg su longitud es de 14 cm iquestCuaacutel seraacute la frecuencia de oscilacioacuten de esa masa
cuando se desplaza verticalmente fuera de la posicioacuten de equilibrio Nota tomar g = 9rsquo8
ms2)
6- Un punto material de 25 g describe un MAS de 10 cm de amplitud y periacuteodo de 1 s En el
instante inicial la elongacioacuten es maacutexima Calcula a) La velocidad maacutexima que puede alcanzar la
citada masa b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0rsquo125 s
7- La energiacutea total de un cuerpo que realiza un MAS es de 3middot10- 4 y la fuerza maacutexima que
actuacutea sobre eacutel es 1rsquo5middot10-2 N Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60ordm
determinar a) La ecuacioacuten del movimiento de este cuerpo b) Su velocidad y aceleracioacuten para
todo
BIBLIOGRAFIacuteA
A P Mariaacutetegui - J A Saacutebato
Introduccioacuten a la fiacutesica
Editorial Kapelus
Microsoft Corporacioacuten regEncarta 2000
httpwwwxtecescentresa8019411caixamovhar_eshtm
httphtmlrincondelvagocommovimiento-armonico-simple_3html
httppersowanadooescpalaciomas2htm
httppersowanadooescpalaciomcu2htm
httpwwwscehuessbwebfisicaoscilacionescircularoscila1htm
httpusuarioslycosespefecomas2mas2htm
MOVIMIENTO ARMOacuteNICO SIMPLE (I)
INTRODUCCIOacuteN
En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo estos
son llamados movimientos perioacutedicos En Fiacutesica se ha idealizado un tipo
de movimiento oscilatorio en el que se considera que sobre el sistema no existe la accioacuten de
las fuerzas de rozamiento es decir no existe disipacioacuten de energiacutea y el movimiento se
mantiene invariable sin necesidad de comunicarle energiacutea exterior a este Este movimiento se
llama MOVIMIENTO ARMOumlNICO SIMPLE (MAS)
El movimiento Armoacutenico Simple un movimiento que se explica en el movimiento armoacutenico de
una partiacutecula tiene como aplicaciones a los peacutendulos es asiacute que podemos estudiar el
movimiento de este tipo de sistemas tan especiales ademaacutes de estudiar las expresiones de la
Energiacutea dentro del Movimiento Armoacutenico Simple
EL MOVIMIENTO ARMOacuteNICO SIMPLE
Definicioacuten es un movimiento vibratorio bajo la accioacuten de una fuerza recuperadora elaacutestica
proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento
Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa graacuteficamente por
la funcioacuten seno Eacutesta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armoacutenico
simple que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son
directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto
cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme su proyeccioacuten (Q)
sobre cualquiera de los diaacutemetros de esta realiza un tipo de movimiento armoacutenico simple
Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia se
trazaraacute una perpendicular desde el punto a un diaacutemetro fijo de la circunferencia A medida que
el punto escogido se mueve a velocidad uniforme el punto proyectado en el diaacutemetro
realizaraacute un movimiento oscilatorio rectiliacuteneo
Para representar graacuteficamente (en una funcioacuten) el movimiento armoacutenico simple de un punto
se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del periacuteodo (T12 T6 T4)
que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia y como
a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo La resultante es una sinusoide ya que la
variacioacuten del tiempo t se traduce como una variacioacuten del sin x donde x es el aacutengulo que forma
el radio con el sami-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo)
ELEMENTOS
1 Oscilacioacuten o vibracioacuten es el movimiento realizado desde cualquier posicioacuten hasta regresar
de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias
2 Elongacioacuten es el desplazamiento de la partiacutecula que oscila desde la posicioacuten
de equilibrio hasta cualquier posicioacuten en un instante dado
3 Amplitud es la maacutexima elongacioacuten es decir el desplazamiento maacuteximo a partir de la
posicioacuten de equilibrio
4 Periodo es el tiempo requerido para realizar una oscilacioacuten o vibracioacuten completa Se
designa con la letra t
5 Frecuencia es el nuacutemero de oscilacioacuten o vibracioacuten realizadas en la unidad de tiempo
6 Posicioacuten de equilibrio es la posicioacuten en la cual no actuacutea ninguna fuerza neta sobre la
partiacutecula oscilante
Relacioacuten entre el MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la proyeccioacuten
(sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme
(MCU) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω sobre el diαmetro vertical de la
circunferencia que recorre
En lo siguiente podraacutes visualizar dicha relacioacuten
Vamos a establecer una relacioacuten entre un movimiento vobratorio armoacutenico simple y el
movimiento circular uniforme Esto nos va a permitir dos cosas
- Hallar la ecuacioacuten del MAacuteS sin tener que recurrir a caacutelculos matemaacuteticos complejos
- Conocer de doacutende vienen algunos de los conceptos que usamos en el MAacuteS como frecuencia
angular o el desfase
Observando el applet que viene a continuacioacuten Tememos inicialmente el resorte azul que
oscila verticalmente En la circunferencia tienes un punto negro que gira con movimiento
circular uniforme ocupando en cada instante una posicioacuten en la circunferencia Traza
mentalmente la proyeccioacuten de esa posicioacuten sobre el diaacutemetro vertical de la circunferencia En
cada momento la masa que cuelga del resorte ocupa una posicioacuten determinada Observa que
la posicioacuten de la masa del resorte coincide exactamente con la proyeccioacuten de la posicioacuten del
objeto sobre el diaacutemetro que veraacutes en forma de liacutenea azul en el diaacutemetro vertical
Es decir como resumen cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una
trayectoria circular el movimiento de la proyeccioacuten del objeto sobre el diaacutemetro es un
movimiento armoacutenico simple
Lo mismo
podriacuteamos decir
del resorte
amarillo y la
proyeccioacuten sobre
el diaacutemetro
horizontal que
veraacutes como un
trazo amarillo
sobre dicho
diaacutemetro
Los vectores azul
y amarillo que
variacutean en el applet corresponden al valor de la velocidad del resorte azul para diaacutemetro
vertical y amarillo para el horizontal Observa su variacioacuten y comprobaraacutes que la velocidad es
maacutexima en el centro de equilibrio del resorte y miacutenima en los extremos en los puntos de
miacutenima y maacutexima elongacioacuten Observa tambieacuten como el vector rojo de la graacutefica de la derecha
la velocidad del MAacuteS coincide con el vector azul la velocidad de la proyeccioacuten sobre el
diaacutemetro vertical lo que supone una prueba maacutes de lo que hemos afirmado anteriormente
Ecuaciones del Movimiento Armoacutenico Simple
Foacutermulas
x = A cos W t
x = elongacioacuten
r = A = radio
t = tiempo
w = velocidad angular
Vx = - V Sen Oslash
V = w R
h = w T
W t = V = Vector representativo de la velocidad lineal
Vx = proyeccioacuten de Y sobre el eje X
h = aacutengulo
Vx = -2 F A Sen (2)
Vx = + w A2 - x2
Ax = - w2 A cos w t
Ax = - Ac Cos Oslash
Ac = proyeccioacuten de aceleracioacuten sobre el eje horizontal
Ac = w2 X
Ac = aceleracioacuten centriacutepeta
t = 2 mk
T = periodo
Peacutendulo simple
Definicioacuten es llamado asiacute porque consta de un cuerpo de masa m suspendido de un hilo largo
de longitud l que cumple las condiciones siguientes el hilo es inextensible su masa es
despreciable comparada con la masa del cuerpo el aacutengulo de desplazamiento que llamaremos
0 debe ser pequentildeo
Como funciona con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del
cuerpo el aacutengulo de desplazamiento debe ser pequentildeo
Hay ciertos sistemas que si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo
Hooke si pueden bajo ciertas condiciones considerarse como tales El peacutendulo simple es
decir el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio
constante es uno de ellos
Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce
una oscilacioacuten perioacutedica Para estudiar esta oscilacioacuten es necesario proyectar las fuerzas que se
ejercen sobre el peso en todo momento y ver que componentes nos interesan y cuales no
Esto se puede observar en la figura 131
Vemos pues que considerando uacutenicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria es
decir el arco que se estaacute recorriendo podemos poner
Que a veces tambieacuten se expresa como
Esta ecuacioacuten es absolutamente anaacuteloga a la de un movimiento armoacutenico simple y por tanto
su solucioacuten tambieacuten seraacute (132) teniendo uacutenicamente la precaucioacuten de sustituir el valor de
antiguo por el que tiene ahora para un peacutendulo
A partir de aquiacute se pueden extraer todas las demaacutes relaciones para un peacutendulo simple el
periodo frecuencia etc
Periacuteodo de un Peacutendulo
Periacuteodo Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilacioacuten completa Para
determinar el periacuteodo se utiliza la siguiente expresioacuten T Ndeg de Osc (Tiempo empleado
dividido por el nuacutemero de oscilaciones)
1) El periodo de un peacutendulo es independiente de su amplitud Esto significa que si se tienen 2
peacutendulos iguales (longitud y masa) pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor
que el otro en ambas condiciones la medida del periodo de estos peacutendulos es el mismo
2) El periodo de un peacutendulo es directamente proporcional a la raiacutez cuadrada de su longitud
Esto significa que el periodo de un peacutendulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raiacutez
cuadrada de la longitud de ese peacutendulo
Aplicaciones
Algunas aplicaciones del peacutendulo son la medicioacuten del tiempo el metroacutenomo y la plomada
Otra aplicacioacuten se conoce como Peacutendulo de Foucault el cual se emplea para evidenciar la
rotacioacuten de la Tierra Se llama asiacute en honor del fiacutesico franceacutes Leoacuten Foucault y estaacute formado por
una gran masa suspendida de un cable muy largo
Tambieacuten sirve puesto que un peacutendulo oscila en un plano fijo como prueba efectiva de la
rotacioacuten de la Tierra aunque estuviera siempre cubierta de nubes En 1851 Jean Leoacuten Foucault
colgoacute un peacutendulo de 67 metros de largo de la cuacutepula de los Invaacutelidos en Paris (latitudcong49ordm) Un
recipiente que conteniacutea arena estaba sujeto al extremo libre el hilo de arena que caiacutea del cubo
mientras oscilaba el Peacutendulo sentildealaba la trayectoria demostroacute experimentalmente que el
plano de oscilacioacuten del peacutendulo giraba 11ordm 15rsquo cada hora y por tanto que la Tierra rotaba
CONCLUSIOacuteNES
El Movimiento Armoacutenico Simple es un movimiento perioacutedico en el que la posicioacuten variacutea seguacuten
una ecuacioacuten de tipo senoidal o cosenoidal
La velocidad del cuerpo cambia continuamente siendo maacutexima en el centro de la trayectoria y
nula en los extremos donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento
El MAS es un movimiento acelerado no uniformemente Su aceleracioacuten es proporcional al
desplazamiento y de signo opuesto a este Toma su valor maacuteximo en los extremos de la
trayectoria mientras que es miacutenimo en el centro
Podemos imaginar un MAS como una proyeccioacuten de un Movimiento Circular Uniforme El
desfase nos indica la posicioacuten del cuerpo en el instante inicial
ANEXOS
ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DEL MAS
1- Una masa de 400g unida a un resorte de k = 100 Nm realiza un MAS de amplitud 4 cm a)
Escribe la ecuacioacuten de su posicioacuten en funcioacuten del tiempo si empezamos a contarlo cuando la
soltamos desde la posicioacuten extrema b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez
por la posicioacuten de equilibrio c) iquestCuaacutento tarda en llegar desde la posicioacuten de equilibrio hasta
una elongacioacuten de 2 cm iquestY desde 2 cm al extremo d)iquestCuaacutel es la velocidad media para el
recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilacioacuten e) iquestSeraacute cero la velocidad
media de una oscilacioacuten completa
2- Una partiacutecula que oscila con MAS describe un movimiento de amplitud de 10 cm y
periodo 2 s Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades Una mientras va hacia
un extremo y otra cuando regresa a) Calcula estas velocidades b) Escribe la ecuacioacuten de la
posicioacuten con un desfase suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando estaacute en ese
punto (3cm)
3- Una partiacutecula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a
ndash 40x (N) estando x expresada en metros Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen con
una velocidad de 15 ms dirigida hacia el centro calcula a) La amplitud del movimiento b) El
instante en que pasa por primera vez por el origen
4- Un objeto realiza un movimiento armoacutenico simple Cuando se encuentra a 3 cm de la
posicioacuten de equilibrio su velocidades es 6 ms mientras que si la distancia es de 5 cm su
velocidades es 2 ms Calcula la amplitud del movimiento
5- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm pero al colgar de su extremo libre una
masa de 1 Kg su longitud es de 14 cm iquestCuaacutel seraacute la frecuencia de oscilacioacuten de esa masa
cuando se desplaza verticalmente fuera de la posicioacuten de equilibrio Nota tomar g = 9rsquo8
ms2)
6- Un punto material de 25 g describe un MAS de 10 cm de amplitud y periacuteodo de 1 s En el
instante inicial la elongacioacuten es maacutexima Calcula a) La velocidad maacutexima que puede alcanzar la
citada masa b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0rsquo125 s
7- La energiacutea total de un cuerpo que realiza un MAS es de 3middot10- 4 y la fuerza maacutexima que
actuacutea sobre eacutel es 1rsquo5middot10-2 N Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60ordm
determinar a) La ecuacioacuten del movimiento de este cuerpo b) Su velocidad y aceleracioacuten para
todo
BIBLIOGRAFIacuteA
A P Mariaacutetegui - J A Saacutebato
Introduccioacuten a la fiacutesica
Editorial Kapelus
Microsoft Corporacioacuten regEncarta 2000
httpwwwxtecescentresa8019411caixamovhar_eshtm
httphtmlrincondelvagocommovimiento-armonico-simple_3html
httppersowanadooescpalaciomas2htm
httppersowanadooescpalaciomcu2htm
httpwwwscehuessbwebfisicaoscilacionescircularoscila1htm
httpusuarioslycosespefecomas2mas2htm
ELEMENTOS
1 Oscilacioacuten o vibracioacuten es el movimiento realizado desde cualquier posicioacuten hasta regresar
de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias
2 Elongacioacuten es el desplazamiento de la partiacutecula que oscila desde la posicioacuten
de equilibrio hasta cualquier posicioacuten en un instante dado
3 Amplitud es la maacutexima elongacioacuten es decir el desplazamiento maacuteximo a partir de la
posicioacuten de equilibrio
4 Periodo es el tiempo requerido para realizar una oscilacioacuten o vibracioacuten completa Se
designa con la letra t
5 Frecuencia es el nuacutemero de oscilacioacuten o vibracioacuten realizadas en la unidad de tiempo
6 Posicioacuten de equilibrio es la posicioacuten en la cual no actuacutea ninguna fuerza neta sobre la
partiacutecula oscilante
Relacioacuten entre el MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la proyeccioacuten
(sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme
(MCU) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω sobre el diαmetro vertical de la
circunferencia que recorre
En lo siguiente podraacutes visualizar dicha relacioacuten
Vamos a establecer una relacioacuten entre un movimiento vobratorio armoacutenico simple y el
movimiento circular uniforme Esto nos va a permitir dos cosas
- Hallar la ecuacioacuten del MAacuteS sin tener que recurrir a caacutelculos matemaacuteticos complejos
- Conocer de doacutende vienen algunos de los conceptos que usamos en el MAacuteS como frecuencia
angular o el desfase
Observando el applet que viene a continuacioacuten Tememos inicialmente el resorte azul que
oscila verticalmente En la circunferencia tienes un punto negro que gira con movimiento
circular uniforme ocupando en cada instante una posicioacuten en la circunferencia Traza
mentalmente la proyeccioacuten de esa posicioacuten sobre el diaacutemetro vertical de la circunferencia En
cada momento la masa que cuelga del resorte ocupa una posicioacuten determinada Observa que
la posicioacuten de la masa del resorte coincide exactamente con la proyeccioacuten de la posicioacuten del
objeto sobre el diaacutemetro que veraacutes en forma de liacutenea azul en el diaacutemetro vertical
Es decir como resumen cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una
trayectoria circular el movimiento de la proyeccioacuten del objeto sobre el diaacutemetro es un
movimiento armoacutenico simple
Lo mismo
podriacuteamos decir
del resorte
amarillo y la
proyeccioacuten sobre
el diaacutemetro
horizontal que
veraacutes como un
trazo amarillo
sobre dicho
diaacutemetro
Los vectores azul
y amarillo que
variacutean en el applet corresponden al valor de la velocidad del resorte azul para diaacutemetro
vertical y amarillo para el horizontal Observa su variacioacuten y comprobaraacutes que la velocidad es
maacutexima en el centro de equilibrio del resorte y miacutenima en los extremos en los puntos de
miacutenima y maacutexima elongacioacuten Observa tambieacuten como el vector rojo de la graacutefica de la derecha
la velocidad del MAacuteS coincide con el vector azul la velocidad de la proyeccioacuten sobre el
diaacutemetro vertical lo que supone una prueba maacutes de lo que hemos afirmado anteriormente
Ecuaciones del Movimiento Armoacutenico Simple
Foacutermulas
x = A cos W t
x = elongacioacuten
r = A = radio
t = tiempo
w = velocidad angular
Vx = - V Sen Oslash
V = w R
h = w T
W t = V = Vector representativo de la velocidad lineal
Vx = proyeccioacuten de Y sobre el eje X
h = aacutengulo
Vx = -2 F A Sen (2)
Vx = + w A2 - x2
Ax = - w2 A cos w t
Ax = - Ac Cos Oslash
Ac = proyeccioacuten de aceleracioacuten sobre el eje horizontal
Ac = w2 X
Ac = aceleracioacuten centriacutepeta
t = 2 mk
T = periodo
Peacutendulo simple
Definicioacuten es llamado asiacute porque consta de un cuerpo de masa m suspendido de un hilo largo
de longitud l que cumple las condiciones siguientes el hilo es inextensible su masa es
despreciable comparada con la masa del cuerpo el aacutengulo de desplazamiento que llamaremos
0 debe ser pequentildeo
Como funciona con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del
cuerpo el aacutengulo de desplazamiento debe ser pequentildeo
Hay ciertos sistemas que si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo
Hooke si pueden bajo ciertas condiciones considerarse como tales El peacutendulo simple es
decir el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio
constante es uno de ellos
Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce
una oscilacioacuten perioacutedica Para estudiar esta oscilacioacuten es necesario proyectar las fuerzas que se
ejercen sobre el peso en todo momento y ver que componentes nos interesan y cuales no
Esto se puede observar en la figura 131
Vemos pues que considerando uacutenicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria es
decir el arco que se estaacute recorriendo podemos poner
Que a veces tambieacuten se expresa como
Esta ecuacioacuten es absolutamente anaacuteloga a la de un movimiento armoacutenico simple y por tanto
su solucioacuten tambieacuten seraacute (132) teniendo uacutenicamente la precaucioacuten de sustituir el valor de
antiguo por el que tiene ahora para un peacutendulo
A partir de aquiacute se pueden extraer todas las demaacutes relaciones para un peacutendulo simple el
periodo frecuencia etc
Periacuteodo de un Peacutendulo
Periacuteodo Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilacioacuten completa Para
determinar el periacuteodo se utiliza la siguiente expresioacuten T Ndeg de Osc (Tiempo empleado
dividido por el nuacutemero de oscilaciones)
1) El periodo de un peacutendulo es independiente de su amplitud Esto significa que si se tienen 2
peacutendulos iguales (longitud y masa) pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor
que el otro en ambas condiciones la medida del periodo de estos peacutendulos es el mismo
2) El periodo de un peacutendulo es directamente proporcional a la raiacutez cuadrada de su longitud
Esto significa que el periodo de un peacutendulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raiacutez
cuadrada de la longitud de ese peacutendulo
Aplicaciones
Algunas aplicaciones del peacutendulo son la medicioacuten del tiempo el metroacutenomo y la plomada
Otra aplicacioacuten se conoce como Peacutendulo de Foucault el cual se emplea para evidenciar la
rotacioacuten de la Tierra Se llama asiacute en honor del fiacutesico franceacutes Leoacuten Foucault y estaacute formado por
una gran masa suspendida de un cable muy largo
Tambieacuten sirve puesto que un peacutendulo oscila en un plano fijo como prueba efectiva de la
rotacioacuten de la Tierra aunque estuviera siempre cubierta de nubes En 1851 Jean Leoacuten Foucault
colgoacute un peacutendulo de 67 metros de largo de la cuacutepula de los Invaacutelidos en Paris (latitudcong49ordm) Un
recipiente que conteniacutea arena estaba sujeto al extremo libre el hilo de arena que caiacutea del cubo
mientras oscilaba el Peacutendulo sentildealaba la trayectoria demostroacute experimentalmente que el
plano de oscilacioacuten del peacutendulo giraba 11ordm 15rsquo cada hora y por tanto que la Tierra rotaba
CONCLUSIOacuteNES
El Movimiento Armoacutenico Simple es un movimiento perioacutedico en el que la posicioacuten variacutea seguacuten
una ecuacioacuten de tipo senoidal o cosenoidal
La velocidad del cuerpo cambia continuamente siendo maacutexima en el centro de la trayectoria y
nula en los extremos donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento
El MAS es un movimiento acelerado no uniformemente Su aceleracioacuten es proporcional al
desplazamiento y de signo opuesto a este Toma su valor maacuteximo en los extremos de la
trayectoria mientras que es miacutenimo en el centro
Podemos imaginar un MAS como una proyeccioacuten de un Movimiento Circular Uniforme El
desfase nos indica la posicioacuten del cuerpo en el instante inicial
ANEXOS
ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DEL MAS
1- Una masa de 400g unida a un resorte de k = 100 Nm realiza un MAS de amplitud 4 cm a)
Escribe la ecuacioacuten de su posicioacuten en funcioacuten del tiempo si empezamos a contarlo cuando la
soltamos desde la posicioacuten extrema b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez
por la posicioacuten de equilibrio c) iquestCuaacutento tarda en llegar desde la posicioacuten de equilibrio hasta
una elongacioacuten de 2 cm iquestY desde 2 cm al extremo d)iquestCuaacutel es la velocidad media para el
recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilacioacuten e) iquestSeraacute cero la velocidad
media de una oscilacioacuten completa
2- Una partiacutecula que oscila con MAS describe un movimiento de amplitud de 10 cm y
periodo 2 s Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades Una mientras va hacia
un extremo y otra cuando regresa a) Calcula estas velocidades b) Escribe la ecuacioacuten de la
posicioacuten con un desfase suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando estaacute en ese
punto (3cm)
3- Una partiacutecula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a
ndash 40x (N) estando x expresada en metros Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen con
una velocidad de 15 ms dirigida hacia el centro calcula a) La amplitud del movimiento b) El
instante en que pasa por primera vez por el origen
4- Un objeto realiza un movimiento armoacutenico simple Cuando se encuentra a 3 cm de la
posicioacuten de equilibrio su velocidades es 6 ms mientras que si la distancia es de 5 cm su
velocidades es 2 ms Calcula la amplitud del movimiento
5- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm pero al colgar de su extremo libre una
masa de 1 Kg su longitud es de 14 cm iquestCuaacutel seraacute la frecuencia de oscilacioacuten de esa masa
cuando se desplaza verticalmente fuera de la posicioacuten de equilibrio Nota tomar g = 9rsquo8
ms2)
6- Un punto material de 25 g describe un MAS de 10 cm de amplitud y periacuteodo de 1 s En el
instante inicial la elongacioacuten es maacutexima Calcula a) La velocidad maacutexima que puede alcanzar la
citada masa b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0rsquo125 s
7- La energiacutea total de un cuerpo que realiza un MAS es de 3middot10- 4 y la fuerza maacutexima que
actuacutea sobre eacutel es 1rsquo5middot10-2 N Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60ordm
determinar a) La ecuacioacuten del movimiento de este cuerpo b) Su velocidad y aceleracioacuten para
todo
BIBLIOGRAFIacuteA
A P Mariaacutetegui - J A Saacutebato
Introduccioacuten a la fiacutesica
Editorial Kapelus
Microsoft Corporacioacuten regEncarta 2000
httpwwwxtecescentresa8019411caixamovhar_eshtm
httphtmlrincondelvagocommovimiento-armonico-simple_3html
httppersowanadooescpalaciomas2htm
httppersowanadooescpalaciomcu2htm
httpwwwscehuessbwebfisicaoscilacionescircularoscila1htm
httpusuarioslycosespefecomas2mas2htm
circular uniforme ocupando en cada instante una posicioacuten en la circunferencia Traza
mentalmente la proyeccioacuten de esa posicioacuten sobre el diaacutemetro vertical de la circunferencia En
cada momento la masa que cuelga del resorte ocupa una posicioacuten determinada Observa que
la posicioacuten de la masa del resorte coincide exactamente con la proyeccioacuten de la posicioacuten del
objeto sobre el diaacutemetro que veraacutes en forma de liacutenea azul en el diaacutemetro vertical
Es decir como resumen cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una
trayectoria circular el movimiento de la proyeccioacuten del objeto sobre el diaacutemetro es un
movimiento armoacutenico simple
Lo mismo
podriacuteamos decir
del resorte
amarillo y la
proyeccioacuten sobre
el diaacutemetro
horizontal que
veraacutes como un
trazo amarillo
sobre dicho
diaacutemetro
Los vectores azul
y amarillo que
variacutean en el applet corresponden al valor de la velocidad del resorte azul para diaacutemetro
vertical y amarillo para el horizontal Observa su variacioacuten y comprobaraacutes que la velocidad es
maacutexima en el centro de equilibrio del resorte y miacutenima en los extremos en los puntos de
miacutenima y maacutexima elongacioacuten Observa tambieacuten como el vector rojo de la graacutefica de la derecha
la velocidad del MAacuteS coincide con el vector azul la velocidad de la proyeccioacuten sobre el
diaacutemetro vertical lo que supone una prueba maacutes de lo que hemos afirmado anteriormente
Ecuaciones del Movimiento Armoacutenico Simple
Foacutermulas
x = A cos W t
x = elongacioacuten
r = A = radio
t = tiempo
w = velocidad angular
Vx = - V Sen Oslash
V = w R
h = w T
W t = V = Vector representativo de la velocidad lineal
Vx = proyeccioacuten de Y sobre el eje X
h = aacutengulo
Vx = -2 F A Sen (2)
Vx = + w A2 - x2
Ax = - w2 A cos w t
Ax = - Ac Cos Oslash
Ac = proyeccioacuten de aceleracioacuten sobre el eje horizontal
Ac = w2 X
Ac = aceleracioacuten centriacutepeta
t = 2 mk
T = periodo
Peacutendulo simple
Definicioacuten es llamado asiacute porque consta de un cuerpo de masa m suspendido de un hilo largo
de longitud l que cumple las condiciones siguientes el hilo es inextensible su masa es
despreciable comparada con la masa del cuerpo el aacutengulo de desplazamiento que llamaremos
0 debe ser pequentildeo
Como funciona con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del
cuerpo el aacutengulo de desplazamiento debe ser pequentildeo
Hay ciertos sistemas que si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo
Hooke si pueden bajo ciertas condiciones considerarse como tales El peacutendulo simple es
decir el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio
constante es uno de ellos
Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce
una oscilacioacuten perioacutedica Para estudiar esta oscilacioacuten es necesario proyectar las fuerzas que se
ejercen sobre el peso en todo momento y ver que componentes nos interesan y cuales no
Esto se puede observar en la figura 131
Vemos pues que considerando uacutenicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria es
decir el arco que se estaacute recorriendo podemos poner
Que a veces tambieacuten se expresa como
Esta ecuacioacuten es absolutamente anaacuteloga a la de un movimiento armoacutenico simple y por tanto
su solucioacuten tambieacuten seraacute (132) teniendo uacutenicamente la precaucioacuten de sustituir el valor de
antiguo por el que tiene ahora para un peacutendulo
A partir de aquiacute se pueden extraer todas las demaacutes relaciones para un peacutendulo simple el
periodo frecuencia etc
Periacuteodo de un Peacutendulo
Periacuteodo Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilacioacuten completa Para
determinar el periacuteodo se utiliza la siguiente expresioacuten T Ndeg de Osc (Tiempo empleado
dividido por el nuacutemero de oscilaciones)
1) El periodo de un peacutendulo es independiente de su amplitud Esto significa que si se tienen 2
peacutendulos iguales (longitud y masa) pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor
que el otro en ambas condiciones la medida del periodo de estos peacutendulos es el mismo
2) El periodo de un peacutendulo es directamente proporcional a la raiacutez cuadrada de su longitud
Esto significa que el periodo de un peacutendulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raiacutez
cuadrada de la longitud de ese peacutendulo
Aplicaciones
Algunas aplicaciones del peacutendulo son la medicioacuten del tiempo el metroacutenomo y la plomada
Otra aplicacioacuten se conoce como Peacutendulo de Foucault el cual se emplea para evidenciar la
rotacioacuten de la Tierra Se llama asiacute en honor del fiacutesico franceacutes Leoacuten Foucault y estaacute formado por
una gran masa suspendida de un cable muy largo
Tambieacuten sirve puesto que un peacutendulo oscila en un plano fijo como prueba efectiva de la
rotacioacuten de la Tierra aunque estuviera siempre cubierta de nubes En 1851 Jean Leoacuten Foucault
colgoacute un peacutendulo de 67 metros de largo de la cuacutepula de los Invaacutelidos en Paris (latitudcong49ordm) Un
recipiente que conteniacutea arena estaba sujeto al extremo libre el hilo de arena que caiacutea del cubo
mientras oscilaba el Peacutendulo sentildealaba la trayectoria demostroacute experimentalmente que el
plano de oscilacioacuten del peacutendulo giraba 11ordm 15rsquo cada hora y por tanto que la Tierra rotaba
CONCLUSIOacuteNES
El Movimiento Armoacutenico Simple es un movimiento perioacutedico en el que la posicioacuten variacutea seguacuten
una ecuacioacuten de tipo senoidal o cosenoidal
La velocidad del cuerpo cambia continuamente siendo maacutexima en el centro de la trayectoria y
nula en los extremos donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento
El MAS es un movimiento acelerado no uniformemente Su aceleracioacuten es proporcional al
desplazamiento y de signo opuesto a este Toma su valor maacuteximo en los extremos de la
trayectoria mientras que es miacutenimo en el centro
Podemos imaginar un MAS como una proyeccioacuten de un Movimiento Circular Uniforme El
desfase nos indica la posicioacuten del cuerpo en el instante inicial
ANEXOS
ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DEL MAS
1- Una masa de 400g unida a un resorte de k = 100 Nm realiza un MAS de amplitud 4 cm a)
Escribe la ecuacioacuten de su posicioacuten en funcioacuten del tiempo si empezamos a contarlo cuando la
soltamos desde la posicioacuten extrema b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez
por la posicioacuten de equilibrio c) iquestCuaacutento tarda en llegar desde la posicioacuten de equilibrio hasta
una elongacioacuten de 2 cm iquestY desde 2 cm al extremo d)iquestCuaacutel es la velocidad media para el
recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilacioacuten e) iquestSeraacute cero la velocidad
media de una oscilacioacuten completa
2- Una partiacutecula que oscila con MAS describe un movimiento de amplitud de 10 cm y
periodo 2 s Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades Una mientras va hacia
un extremo y otra cuando regresa a) Calcula estas velocidades b) Escribe la ecuacioacuten de la
posicioacuten con un desfase suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando estaacute en ese
punto (3cm)
3- Una partiacutecula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a
ndash 40x (N) estando x expresada en metros Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen con
una velocidad de 15 ms dirigida hacia el centro calcula a) La amplitud del movimiento b) El
instante en que pasa por primera vez por el origen
4- Un objeto realiza un movimiento armoacutenico simple Cuando se encuentra a 3 cm de la
posicioacuten de equilibrio su velocidades es 6 ms mientras que si la distancia es de 5 cm su
velocidades es 2 ms Calcula la amplitud del movimiento
5- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm pero al colgar de su extremo libre una
masa de 1 Kg su longitud es de 14 cm iquestCuaacutel seraacute la frecuencia de oscilacioacuten de esa masa
cuando se desplaza verticalmente fuera de la posicioacuten de equilibrio Nota tomar g = 9rsquo8
ms2)
6- Un punto material de 25 g describe un MAS de 10 cm de amplitud y periacuteodo de 1 s En el
instante inicial la elongacioacuten es maacutexima Calcula a) La velocidad maacutexima que puede alcanzar la
citada masa b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0rsquo125 s
7- La energiacutea total de un cuerpo que realiza un MAS es de 3middot10- 4 y la fuerza maacutexima que
actuacutea sobre eacutel es 1rsquo5middot10-2 N Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60ordm
determinar a) La ecuacioacuten del movimiento de este cuerpo b) Su velocidad y aceleracioacuten para
todo
BIBLIOGRAFIacuteA
A P Mariaacutetegui - J A Saacutebato
Introduccioacuten a la fiacutesica
Editorial Kapelus
Microsoft Corporacioacuten regEncarta 2000
httpwwwxtecescentresa8019411caixamovhar_eshtm
httphtmlrincondelvagocommovimiento-armonico-simple_3html
httppersowanadooescpalaciomas2htm
httppersowanadooescpalaciomcu2htm
httpwwwscehuessbwebfisicaoscilacionescircularoscila1htm
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Vx = proyeccioacuten de Y sobre el eje X
h = aacutengulo
Vx = -2 F A Sen (2)
Vx = + w A2 - x2
Ax = - w2 A cos w t
Ax = - Ac Cos Oslash
Ac = proyeccioacuten de aceleracioacuten sobre el eje horizontal
Ac = w2 X
Ac = aceleracioacuten centriacutepeta
t = 2 mk
T = periodo
Peacutendulo simple
Definicioacuten es llamado asiacute porque consta de un cuerpo de masa m suspendido de un hilo largo
de longitud l que cumple las condiciones siguientes el hilo es inextensible su masa es
despreciable comparada con la masa del cuerpo el aacutengulo de desplazamiento que llamaremos
0 debe ser pequentildeo
Como funciona con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del
cuerpo el aacutengulo de desplazamiento debe ser pequentildeo
Hay ciertos sistemas que si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo
Hooke si pueden bajo ciertas condiciones considerarse como tales El peacutendulo simple es
decir el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio
constante es uno de ellos
Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce
una oscilacioacuten perioacutedica Para estudiar esta oscilacioacuten es necesario proyectar las fuerzas que se
ejercen sobre el peso en todo momento y ver que componentes nos interesan y cuales no
Esto se puede observar en la figura 131
Vemos pues que considerando uacutenicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria es
decir el arco que se estaacute recorriendo podemos poner
Que a veces tambieacuten se expresa como
Esta ecuacioacuten es absolutamente anaacuteloga a la de un movimiento armoacutenico simple y por tanto
su solucioacuten tambieacuten seraacute (132) teniendo uacutenicamente la precaucioacuten de sustituir el valor de
antiguo por el que tiene ahora para un peacutendulo
A partir de aquiacute se pueden extraer todas las demaacutes relaciones para un peacutendulo simple el
periodo frecuencia etc
Periacuteodo de un Peacutendulo
Periacuteodo Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilacioacuten completa Para
determinar el periacuteodo se utiliza la siguiente expresioacuten T Ndeg de Osc (Tiempo empleado
dividido por el nuacutemero de oscilaciones)
1) El periodo de un peacutendulo es independiente de su amplitud Esto significa que si se tienen 2
peacutendulos iguales (longitud y masa) pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor
que el otro en ambas condiciones la medida del periodo de estos peacutendulos es el mismo
2) El periodo de un peacutendulo es directamente proporcional a la raiacutez cuadrada de su longitud
Esto significa que el periodo de un peacutendulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raiacutez
cuadrada de la longitud de ese peacutendulo
Aplicaciones
Algunas aplicaciones del peacutendulo son la medicioacuten del tiempo el metroacutenomo y la plomada
Otra aplicacioacuten se conoce como Peacutendulo de Foucault el cual se emplea para evidenciar la
rotacioacuten de la Tierra Se llama asiacute en honor del fiacutesico franceacutes Leoacuten Foucault y estaacute formado por
una gran masa suspendida de un cable muy largo
Tambieacuten sirve puesto que un peacutendulo oscila en un plano fijo como prueba efectiva de la
rotacioacuten de la Tierra aunque estuviera siempre cubierta de nubes En 1851 Jean Leoacuten Foucault
colgoacute un peacutendulo de 67 metros de largo de la cuacutepula de los Invaacutelidos en Paris (latitudcong49ordm) Un
recipiente que conteniacutea arena estaba sujeto al extremo libre el hilo de arena que caiacutea del cubo
mientras oscilaba el Peacutendulo sentildealaba la trayectoria demostroacute experimentalmente que el
plano de oscilacioacuten del peacutendulo giraba 11ordm 15rsquo cada hora y por tanto que la Tierra rotaba
CONCLUSIOacuteNES
El Movimiento Armoacutenico Simple es un movimiento perioacutedico en el que la posicioacuten variacutea seguacuten
una ecuacioacuten de tipo senoidal o cosenoidal
La velocidad del cuerpo cambia continuamente siendo maacutexima en el centro de la trayectoria y
nula en los extremos donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento
El MAS es un movimiento acelerado no uniformemente Su aceleracioacuten es proporcional al
desplazamiento y de signo opuesto a este Toma su valor maacuteximo en los extremos de la
trayectoria mientras que es miacutenimo en el centro
Podemos imaginar un MAS como una proyeccioacuten de un Movimiento Circular Uniforme El
desfase nos indica la posicioacuten del cuerpo en el instante inicial
ANEXOS
ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DEL MAS
1- Una masa de 400g unida a un resorte de k = 100 Nm realiza un MAS de amplitud 4 cm a)
Escribe la ecuacioacuten de su posicioacuten en funcioacuten del tiempo si empezamos a contarlo cuando la
soltamos desde la posicioacuten extrema b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez
por la posicioacuten de equilibrio c) iquestCuaacutento tarda en llegar desde la posicioacuten de equilibrio hasta
una elongacioacuten de 2 cm iquestY desde 2 cm al extremo d)iquestCuaacutel es la velocidad media para el
recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilacioacuten e) iquestSeraacute cero la velocidad
media de una oscilacioacuten completa
2- Una partiacutecula que oscila con MAS describe un movimiento de amplitud de 10 cm y
periodo 2 s Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades Una mientras va hacia
un extremo y otra cuando regresa a) Calcula estas velocidades b) Escribe la ecuacioacuten de la
posicioacuten con un desfase suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando estaacute en ese
punto (3cm)
3- Una partiacutecula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a
ndash 40x (N) estando x expresada en metros Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen con
una velocidad de 15 ms dirigida hacia el centro calcula a) La amplitud del movimiento b) El
instante en que pasa por primera vez por el origen
4- Un objeto realiza un movimiento armoacutenico simple Cuando se encuentra a 3 cm de la
posicioacuten de equilibrio su velocidades es 6 ms mientras que si la distancia es de 5 cm su
velocidades es 2 ms Calcula la amplitud del movimiento
5- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm pero al colgar de su extremo libre una
masa de 1 Kg su longitud es de 14 cm iquestCuaacutel seraacute la frecuencia de oscilacioacuten de esa masa
cuando se desplaza verticalmente fuera de la posicioacuten de equilibrio Nota tomar g = 9rsquo8
ms2)
6- Un punto material de 25 g describe un MAS de 10 cm de amplitud y periacuteodo de 1 s En el
instante inicial la elongacioacuten es maacutexima Calcula a) La velocidad maacutexima que puede alcanzar la
citada masa b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0rsquo125 s
7- La energiacutea total de un cuerpo que realiza un MAS es de 3middot10- 4 y la fuerza maacutexima que
actuacutea sobre eacutel es 1rsquo5middot10-2 N Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60ordm
determinar a) La ecuacioacuten del movimiento de este cuerpo b) Su velocidad y aceleracioacuten para
todo
BIBLIOGRAFIacuteA
A P Mariaacutetegui - J A Saacutebato
Introduccioacuten a la fiacutesica
Editorial Kapelus
Microsoft Corporacioacuten regEncarta 2000
httpwwwxtecescentresa8019411caixamovhar_eshtm
httphtmlrincondelvagocommovimiento-armonico-simple_3html
httppersowanadooescpalaciomas2htm
httppersowanadooescpalaciomcu2htm
httpwwwscehuessbwebfisicaoscilacionescircularoscila1htm
httpusuarioslycosespefecomas2mas2htm
Vemos pues que considerando uacutenicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria es
decir el arco que se estaacute recorriendo podemos poner
Que a veces tambieacuten se expresa como
Esta ecuacioacuten es absolutamente anaacuteloga a la de un movimiento armoacutenico simple y por tanto
su solucioacuten tambieacuten seraacute (132) teniendo uacutenicamente la precaucioacuten de sustituir el valor de
antiguo por el que tiene ahora para un peacutendulo
A partir de aquiacute se pueden extraer todas las demaacutes relaciones para un peacutendulo simple el
periodo frecuencia etc
Periacuteodo de un Peacutendulo
Periacuteodo Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilacioacuten completa Para
determinar el periacuteodo se utiliza la siguiente expresioacuten T Ndeg de Osc (Tiempo empleado
dividido por el nuacutemero de oscilaciones)
1) El periodo de un peacutendulo es independiente de su amplitud Esto significa que si se tienen 2
peacutendulos iguales (longitud y masa) pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor
que el otro en ambas condiciones la medida del periodo de estos peacutendulos es el mismo
2) El periodo de un peacutendulo es directamente proporcional a la raiacutez cuadrada de su longitud
Esto significa que el periodo de un peacutendulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raiacutez
cuadrada de la longitud de ese peacutendulo
Aplicaciones
Algunas aplicaciones del peacutendulo son la medicioacuten del tiempo el metroacutenomo y la plomada
Otra aplicacioacuten se conoce como Peacutendulo de Foucault el cual se emplea para evidenciar la
rotacioacuten de la Tierra Se llama asiacute en honor del fiacutesico franceacutes Leoacuten Foucault y estaacute formado por
una gran masa suspendida de un cable muy largo
Tambieacuten sirve puesto que un peacutendulo oscila en un plano fijo como prueba efectiva de la
rotacioacuten de la Tierra aunque estuviera siempre cubierta de nubes En 1851 Jean Leoacuten Foucault
colgoacute un peacutendulo de 67 metros de largo de la cuacutepula de los Invaacutelidos en Paris (latitudcong49ordm) Un
recipiente que conteniacutea arena estaba sujeto al extremo libre el hilo de arena que caiacutea del cubo
mientras oscilaba el Peacutendulo sentildealaba la trayectoria demostroacute experimentalmente que el
plano de oscilacioacuten del peacutendulo giraba 11ordm 15rsquo cada hora y por tanto que la Tierra rotaba
CONCLUSIOacuteNES
El Movimiento Armoacutenico Simple es un movimiento perioacutedico en el que la posicioacuten variacutea seguacuten
una ecuacioacuten de tipo senoidal o cosenoidal
La velocidad del cuerpo cambia continuamente siendo maacutexima en el centro de la trayectoria y
nula en los extremos donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento
El MAS es un movimiento acelerado no uniformemente Su aceleracioacuten es proporcional al
desplazamiento y de signo opuesto a este Toma su valor maacuteximo en los extremos de la
trayectoria mientras que es miacutenimo en el centro
Podemos imaginar un MAS como una proyeccioacuten de un Movimiento Circular Uniforme El
desfase nos indica la posicioacuten del cuerpo en el instante inicial
ANEXOS
ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DEL MAS
1- Una masa de 400g unida a un resorte de k = 100 Nm realiza un MAS de amplitud 4 cm a)
Escribe la ecuacioacuten de su posicioacuten en funcioacuten del tiempo si empezamos a contarlo cuando la
soltamos desde la posicioacuten extrema b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez
por la posicioacuten de equilibrio c) iquestCuaacutento tarda en llegar desde la posicioacuten de equilibrio hasta
una elongacioacuten de 2 cm iquestY desde 2 cm al extremo d)iquestCuaacutel es la velocidad media para el
recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilacioacuten e) iquestSeraacute cero la velocidad
media de una oscilacioacuten completa
2- Una partiacutecula que oscila con MAS describe un movimiento de amplitud de 10 cm y
periodo 2 s Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades Una mientras va hacia
un extremo y otra cuando regresa a) Calcula estas velocidades b) Escribe la ecuacioacuten de la
posicioacuten con un desfase suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando estaacute en ese
punto (3cm)
3- Una partiacutecula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a
ndash 40x (N) estando x expresada en metros Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen con
una velocidad de 15 ms dirigida hacia el centro calcula a) La amplitud del movimiento b) El
instante en que pasa por primera vez por el origen
4- Un objeto realiza un movimiento armoacutenico simple Cuando se encuentra a 3 cm de la
posicioacuten de equilibrio su velocidades es 6 ms mientras que si la distancia es de 5 cm su
velocidades es 2 ms Calcula la amplitud del movimiento
5- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm pero al colgar de su extremo libre una
masa de 1 Kg su longitud es de 14 cm iquestCuaacutel seraacute la frecuencia de oscilacioacuten de esa masa
cuando se desplaza verticalmente fuera de la posicioacuten de equilibrio Nota tomar g = 9rsquo8
ms2)
6- Un punto material de 25 g describe un MAS de 10 cm de amplitud y periacuteodo de 1 s En el
instante inicial la elongacioacuten es maacutexima Calcula a) La velocidad maacutexima que puede alcanzar la
citada masa b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0rsquo125 s
7- La energiacutea total de un cuerpo que realiza un MAS es de 3middot10- 4 y la fuerza maacutexima que
actuacutea sobre eacutel es 1rsquo5middot10-2 N Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60ordm
determinar a) La ecuacioacuten del movimiento de este cuerpo b) Su velocidad y aceleracioacuten para
todo
BIBLIOGRAFIacuteA
A P Mariaacutetegui - J A Saacutebato
Introduccioacuten a la fiacutesica
Editorial Kapelus
Microsoft Corporacioacuten regEncarta 2000
httpwwwxtecescentresa8019411caixamovhar_eshtm
httphtmlrincondelvagocommovimiento-armonico-simple_3html
httppersowanadooescpalaciomas2htm
httppersowanadooescpalaciomcu2htm
httpwwwscehuessbwebfisicaoscilacionescircularoscila1htm
httpusuarioslycosespefecomas2mas2htm
Periacuteodo Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilacioacuten completa Para
determinar el periacuteodo se utiliza la siguiente expresioacuten T Ndeg de Osc (Tiempo empleado
dividido por el nuacutemero de oscilaciones)
1) El periodo de un peacutendulo es independiente de su amplitud Esto significa que si se tienen 2
peacutendulos iguales (longitud y masa) pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor
que el otro en ambas condiciones la medida del periodo de estos peacutendulos es el mismo
2) El periodo de un peacutendulo es directamente proporcional a la raiacutez cuadrada de su longitud
Esto significa que el periodo de un peacutendulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raiacutez
cuadrada de la longitud de ese peacutendulo
Aplicaciones
Algunas aplicaciones del peacutendulo son la medicioacuten del tiempo el metroacutenomo y la plomada
Otra aplicacioacuten se conoce como Peacutendulo de Foucault el cual se emplea para evidenciar la
rotacioacuten de la Tierra Se llama asiacute en honor del fiacutesico franceacutes Leoacuten Foucault y estaacute formado por
una gran masa suspendida de un cable muy largo
Tambieacuten sirve puesto que un peacutendulo oscila en un plano fijo como prueba efectiva de la
rotacioacuten de la Tierra aunque estuviera siempre cubierta de nubes En 1851 Jean Leoacuten Foucault
colgoacute un peacutendulo de 67 metros de largo de la cuacutepula de los Invaacutelidos en Paris (latitudcong49ordm) Un
recipiente que conteniacutea arena estaba sujeto al extremo libre el hilo de arena que caiacutea del cubo
mientras oscilaba el Peacutendulo sentildealaba la trayectoria demostroacute experimentalmente que el
plano de oscilacioacuten del peacutendulo giraba 11ordm 15rsquo cada hora y por tanto que la Tierra rotaba
CONCLUSIOacuteNES
El Movimiento Armoacutenico Simple es un movimiento perioacutedico en el que la posicioacuten variacutea seguacuten
una ecuacioacuten de tipo senoidal o cosenoidal
La velocidad del cuerpo cambia continuamente siendo maacutexima en el centro de la trayectoria y
nula en los extremos donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento
El MAS es un movimiento acelerado no uniformemente Su aceleracioacuten es proporcional al
desplazamiento y de signo opuesto a este Toma su valor maacuteximo en los extremos de la
trayectoria mientras que es miacutenimo en el centro
Podemos imaginar un MAS como una proyeccioacuten de un Movimiento Circular Uniforme El
desfase nos indica la posicioacuten del cuerpo en el instante inicial
ANEXOS
ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DEL MAS
1- Una masa de 400g unida a un resorte de k = 100 Nm realiza un MAS de amplitud 4 cm a)
Escribe la ecuacioacuten de su posicioacuten en funcioacuten del tiempo si empezamos a contarlo cuando la
soltamos desde la posicioacuten extrema b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez
por la posicioacuten de equilibrio c) iquestCuaacutento tarda en llegar desde la posicioacuten de equilibrio hasta
una elongacioacuten de 2 cm iquestY desde 2 cm al extremo d)iquestCuaacutel es la velocidad media para el
recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilacioacuten e) iquestSeraacute cero la velocidad
media de una oscilacioacuten completa
2- Una partiacutecula que oscila con MAS describe un movimiento de amplitud de 10 cm y
periodo 2 s Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades Una mientras va hacia
un extremo y otra cuando regresa a) Calcula estas velocidades b) Escribe la ecuacioacuten de la
posicioacuten con un desfase suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando estaacute en ese
punto (3cm)
3- Una partiacutecula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a
ndash 40x (N) estando x expresada en metros Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen con
una velocidad de 15 ms dirigida hacia el centro calcula a) La amplitud del movimiento b) El
instante en que pasa por primera vez por el origen
4- Un objeto realiza un movimiento armoacutenico simple Cuando se encuentra a 3 cm de la
posicioacuten de equilibrio su velocidades es 6 ms mientras que si la distancia es de 5 cm su
velocidades es 2 ms Calcula la amplitud del movimiento
5- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm pero al colgar de su extremo libre una
masa de 1 Kg su longitud es de 14 cm iquestCuaacutel seraacute la frecuencia de oscilacioacuten de esa masa
cuando se desplaza verticalmente fuera de la posicioacuten de equilibrio Nota tomar g = 9rsquo8
ms2)
6- Un punto material de 25 g describe un MAS de 10 cm de amplitud y periacuteodo de 1 s En el
instante inicial la elongacioacuten es maacutexima Calcula a) La velocidad maacutexima que puede alcanzar la
citada masa b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0rsquo125 s
7- La energiacutea total de un cuerpo que realiza un MAS es de 3middot10- 4 y la fuerza maacutexima que
actuacutea sobre eacutel es 1rsquo5middot10-2 N Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60ordm
determinar a) La ecuacioacuten del movimiento de este cuerpo b) Su velocidad y aceleracioacuten para
todo
BIBLIOGRAFIacuteA
A P Mariaacutetegui - J A Saacutebato
Introduccioacuten a la fiacutesica
Editorial Kapelus
Microsoft Corporacioacuten regEncarta 2000
httpwwwxtecescentresa8019411caixamovhar_eshtm
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recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilacioacuten e) iquestSeraacute cero la velocidad
media de una oscilacioacuten completa
2- Una partiacutecula que oscila con MAS describe un movimiento de amplitud de 10 cm y
periodo 2 s Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades Una mientras va hacia
un extremo y otra cuando regresa a) Calcula estas velocidades b) Escribe la ecuacioacuten de la
posicioacuten con un desfase suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando estaacute en ese
punto (3cm)
3- Una partiacutecula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a
ndash 40x (N) estando x expresada en metros Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen con
una velocidad de 15 ms dirigida hacia el centro calcula a) La amplitud del movimiento b) El
instante en que pasa por primera vez por el origen
4- Un objeto realiza un movimiento armoacutenico simple Cuando se encuentra a 3 cm de la
posicioacuten de equilibrio su velocidades es 6 ms mientras que si la distancia es de 5 cm su
velocidades es 2 ms Calcula la amplitud del movimiento
5- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm pero al colgar de su extremo libre una
masa de 1 Kg su longitud es de 14 cm iquestCuaacutel seraacute la frecuencia de oscilacioacuten de esa masa
cuando se desplaza verticalmente fuera de la posicioacuten de equilibrio Nota tomar g = 9rsquo8
ms2)
6- Un punto material de 25 g describe un MAS de 10 cm de amplitud y periacuteodo de 1 s En el
instante inicial la elongacioacuten es maacutexima Calcula a) La velocidad maacutexima que puede alcanzar la
citada masa b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0rsquo125 s
7- La energiacutea total de un cuerpo que realiza un MAS es de 3middot10- 4 y la fuerza maacutexima que
actuacutea sobre eacutel es 1rsquo5middot10-2 N Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60ordm
determinar a) La ecuacioacuten del movimiento de este cuerpo b) Su velocidad y aceleracioacuten para
todo
BIBLIOGRAFIacuteA
A P Mariaacutetegui - J A Saacutebato
Introduccioacuten a la fiacutesica
Editorial Kapelus
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