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UNIDAD 3 TEORIA DE PROBABILIDADESEL INTERS DE LA ESTADSTICA VA MS ALL DE LA MERA DESCRIPCIN DE LAS OBSERVACIONES. Los fenmenos pueden ser determinsticos (que se pueden predecir por ecuaciones matemticas) o aleatorios (que no pueden predecirse exactamente). En estadstica se manejan datos aleatorios; en ellos no es posible efectuar predicciones exactas mediante el uso de modelos matemticos, pero al ser estudiados un gran nmero de veces bajo condiciones semejantes se encuentra que los resultados presentan cierta regularidad. Por lo tanto, nunca vamos a estar seguros de lo que vaya a pasar, pero con base en la informacin del pasado podemos predecir con fundamentos. El concepto de probabilidad ocupa un lugar importante en el proceso de toma de decisiones bajo incertidumbre, no importa si el problema es enfrentado en el campo de los negocios, de la ingeniera, en las ciencias sociales o simplemente en nuestras vidas diarias. En muy pocas situaciones de toma de decisiones la informacin perfecta est disponible todos los factores u hechos necesarios-; la mayora de las decisiones se toman encarando la incertidumbre. Precisamente, el objetivo de la teora de probabilidades es poder hacer predicciones y tener un elemento ms de juicio en la toma de decisiones (si pronostico qu tan probable es que ocurra algo, puedo determinar si tomo el riesgo o no). Con la teora de probabilidades se pueden construir modelos que describen adecuadamente la regularidad de los resultados aleatorios, de tal forma que se puedan hacer predicciones.

1. CONCEPTOS BSICOSa. Qu es?: Es la medicin de la incertidumbre acerca de la ocurrencia de determinada situacin. Puede tomar un valor entre 0 y 1 (0 si es imposible y 1 si es seguro). Si un experimento puede tener como resultado cualquiera de N diferentes resultados igualmente probables y si exactamente n de esos resultados corresponden al evento A, entonces:

P( A) = n

N

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La probabilidad de que no ocurra es: q = 1 p Una probabilidad tambin puede expresarse como p/q (p:q o de p a q). Aparte de su valor en apuestas, esta manera de expresarla permite especificar una probabilidad pequea (cerca de cero) o una probabilidad grande (cerca de uno) usando nmeros enteros grandes (1.000 a 1 o un milln a uno) para expresar probabilidades pequeas (o probabilidades grandes) con el objetivo de hacer las diferencias relativas visibles. Dicho de otra manera, la probabilidad clsica de que un evento ocurra se calcula dividiendo el nmero de resultados favorables entre el nmero de posibles resultados. El enfoque anterior supone que los resultados experimentales son equiprobables; eso es razonable si el caso es completamente aleatorio, pero tiene muchos problemas cuando intentamos aplicarlo a los problemas de decisin menos ordenados que encontramos en la realidad. Por eso, en general, lo mejor es calcular la probabilidad experimentalmente, determinando la frecuencia con que algo ha sucedido en el pasado y mediante esa cifra predecir la probabilidad de que vuelva a suceder en el futuro; por eso, la probabilidad de un resultado puede interpretarse como el valor lmite de la proporcin de veces que el resultado aparece en n repeticiones del experimento aleatorio, a medida que n crece sin cota alguna. Si n tiende a infinito, se da una estabilizacin de la frecuencia relativa (tiende a un lmite fijo). Por ejemplo, al lanzar un dado, es imposible que un valor determinado resulte en 1/6 de las observaciones; tampoco significa que si hacemos 600 observaciones, vamos a obtener 100 de cada especie; pero si se repite muchas veces, en promedio, los 6 resultados posibles se presentarn con frecuencias prcticamente iguales. Si esto no sucede, debemos sospechar que otro factor est interviniendo en lo que observamos. Las probabilidades que se usan en el anlisis de decisiones pueden tambin provenir de juicios subjetivos, es decir, puede ser definida por el grado de creencia en la ocurrencia del resultado; por ello, personas distintas pueden asignar distintas probabilidades a un mismo fenmeno. Para aplicar este mtodo se puede usar cualquier dato disponible o la experiencia e intuicin de la persona que evala. Cuando se asigna una probabilidad se est expresando un resultado del cual no se tiene seguridad, pero con base en la informacin del pasado o a partir de una comprensin de la estructura del experimento puede tenerse algn grado de confianza en la validez de la informacin. b. Experimento: Cualquier proceso que genere resultados bien definidos, lo cual quiere decir que en cualquier repeticin nica del experimento ocurrir uno y slo uno de los resultados experimentales posibles. En estadstica, la nocin de experimento es distinta de la nocin en ciencias fsicas; en stas, por lo general, un experimento se lleva a cabo en un laboratorio o en un ambiente controlado, para aprender acerca de un hecho cientfico y

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cuando se repiten los experimentos bajo condiciones idnticas se espera obtener el mismo resultado. En los experimentos estadsticos, los resultados estn determinados por el azar y aunque el experimento se repita exactamente en la misma forma, puede obtenerse un resultado completamente distinto. c. Espacio muestral (S): Conjunto de todos los datos posibles de un experimento estadstico. d. Punto muestral: Cada resultado de un espacio muestral. Se pueden especificar por un diagrama de rbol, que es un dispositivo grfico til para visualizar un experimento de varias etapas y enumerar los resultados experimentales. La enumeracin de puntos muestrales puede hacerse mediante un diagrama de rbol, que es una representacin grfica de un experimento que consta de r pasos, cada uno de los cuales tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo.

EJEMPLO 3.1.Considere el experimento de lanzar sucesivamente dos monedas. Describa el espacio muestral C C,C

C

S

C,S

C S S

S,C

S,S

S = {(C , C ), (C , S ), ( S , C ), ( S , S )}

EJEMPLO 3.2.De todos los bits transmitidos por un canal de transmisin digital 10% se reciben con error. Describa el espacio muestral del experimento que consiste en evaluar los ltimos 4 bits transmitidos.Solucin:

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Si denotamos con E un bit errneo y con C un bit sin error, el espacio muestral estar constituido por los siguientes puntos muestrales: S = {CCCC, CCCE, CCEC, CECC, ECCC, CCEE, CEEC, EECC, ECCE, CECE, ECEC, EEEC, EECE, ECEE, CEEE, EEEE}

e. Evento o suceso (E): Subconjunto del espacio muestral (coleccin de puntos muestrales). Un evento es el elemento bsico al cual se puede aplicar la probabilidad; un evento sucede o no sucede. Por ejemplo, dado el espacio muestral S = {t/t0} donde t es la vida en aos de un componente elctrico, entonces el evento A de que el componente se dae antes del final del dcimo ao es A = {t/0t