tema2 geometria del elipsoide de revolucion.pdf
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GEODESIA Y TOPOGRAFÍA __________________________________________________________________________________________ 1 TEMA 2.- GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN EJERCICIO 2.1 3 c ; 5 a = = 2 2 2 c b a + = ⇒ 4 9 25 c a b 2 2 = − = − = 1 b y a x 2 2 2 2 = + ⇒ 1 16 y 25 x 2 2 = + EJERCICIO 2.2 1 b z a y a x 2 2 2 2 2 2 = + + ⇒ 1 16 z 25 y 25 x 2 2 2 = + + 5 4 5 4 b 5 a a b a f − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = = = − = ⇒ 2 , 0 5 / 1 f = = 5 3 a c e = = ⇒ 6 , 0 5 / 3 e = = ; 4 3 b c ' e = = ⇒ 75 , 0 4 / 3 ' e = = EJERCICIO 2.3 a b 1 f − = ⇒ ( ) ) f 1 a b − ⋅ = ( ) ( ) f 2 f 1 1 a f 1 1 a f 1 a a b a c 2 2 2 2 2 2 2 + − − = − − = − − = − = ⇒ ( ) f 2 f a c − = ( ) a f 2 f a a c e − = = ⇒ ( ) f 2 f e − = ; ( ) ( ) f 1 a f 2 f a b c ' e − − = = ⇒ ( ) f 1 f 2 f ' e − − = ⎭ ⎬ ⎫ = = 297 / 1 f m 388 . 378 . 6 a m 95 , 911 . 356 . 6 b = m 09 , 976 . 522 c = 8 0819918899 , 0 e = 1 0822688896 , 0 ' e = EJERCICIO 2.4 ⎭ ⎬ ⎫ = = 257 , 298 / 1 f m 137 . 378 . 6 a ( ) f 1 a b − = ⇒ m 30 , 752 . 356 . 6 b = ( ) f 2 f a c − = ⇒ m 20 , 854 . 521 c =
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Solucionario de Milan Gamboa
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GEODESIA Y TOPOGRAFÍA
__________________________________________________________________________________________ 1
TEMA 2.- GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
EJERCICIO 2.1
3c;5a == 222 cba += ⇒ 4925cab 22 =−=−=
1by
ax
2
2
2
2=+ ⇒ 1
16y
25x 22
=+
EJERCICIO 2.2
1bz
ay
ax
2
2
2
2
2
2=++ ⇒ 1
16z
25y
25x 222
=++
545
4b5a
abaf −
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==
=−
= ⇒ 2,05/1f ==
53
ace == ⇒ 6,05/3e == ;
43
bc'e == ⇒ 75,04/3'e ==
EJERCICIO 2.3
ab1f −= ⇒ ( ))f1ab −⋅=
( ) ( ) f2f11af11af1aabac 2222222 +−−=−−=−−=−= ⇒ ( )f2fac −=
( )a
f2faace
−== ⇒ ( )f2fe −= ;
( )( )f1a
f2fabc'e
−
−== ⇒
( )f1f2f
'e−
−=
⎭⎬⎫
==
297/1fm388.378.6a m95,911.356.6b = m09,976.522c =
80819918899,0e = 10822688896,0'e = EJERCICIO 2.4
⎭⎬⎫
==
257,298/1fm137.378.6a ( )f1ab −= ⇒ m30,752.356.6b =
( )f2fac −= ⇒ m20,854.521c =
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN .
__________________________________________________________________________________________ 2
( )f2fe −= ⇒ 60818192214,0e =
( )f1f2f
'e−
−= ⇒ 70820944688,0'e =
EJERCICIO 2.5
ϕ22 sene1
awaN
−== ⇒
( ) ϕ2senf2f1
aN−−
=
Internacional.-
( ) 999159312,0m388.378.6
º30sen29712
29711
m388.378.6
senf2f1
aN2
2=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
=−−
=ϕ
⇒ m74,754.383.6N =
WGS84.-
( ) 999162851,0m137.378.6
º30sen257,29812
257,29811
m137.378.6
senf2f1
aN2
2=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
=−−
=ϕ
⇒ m92,480.383.6N =
EJERCICIO 2.6
( ) ϕ
ϕ
sene1Ny
cosNx2−=
= º30
297/1fm388.378.6a
Hayford=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
== ϕ
( ) ϕ2senf2f1w −−= ⇒ 999159312,0w =
999159312,0m388.378.6
waN == ⇒ m74,754.383.6N =
º30cos74,754.378.6cosNx == ϕ ⇒ m78,528493.5x =
( ) ( )( ) º30sen29712
2971174,754.378.6senf2f1Nsene1Ny 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=−−=−= ϕϕ ⇒ m43,419.170.3y =
GEODESIA Y TOPOGRAFÍA
__________________________________________________________________________________________ 3
EJERCICIO 2.7
( ) ( )( )( ) 2/3223
2
sene1
f2f1awe1a
ϕρ
−
−−=
−= ⇒
( )( )( ) 2/322 sene1
f2f1a
ϕρ
−
−−=
( ) ϕ2senf2f1
aN−−
=
⎭⎬⎫
==
257,298/1fm137.378.6a m08,377.351.6=ρ m92,480.383.6N =
EJERCICIO 2.8
αcosNαsenρρN
R22α
+=
( )( )
( ) 9949622369,0m202,508.335.6
sene1
f2f1a2/322=
−
−−=
ϕρ ⇒ m60,586.367.6=ρ
( ) 780,99831791m388.378.6
senf2f1
aN2
=−−
=ϕ
⇒ m05,135.389.6N =
αcosNαsenρρN
R22α
+= ⇒
º02cosNº02senρρNR 2220 +
= ⇒ m78,099.370.6R20 =
En efecto es: NR << αρ
EJERCICIO 2.9
( ) ϕ2senf2f1w −−= ⇒ 998500217,0w = ⇒ 995507395,0w3 =
( ) ( )( )
995507395,0m295,439.335.6
wf2f1a
we1a
33
2=
−−=
−=ρ ⇒ m37,030.364.6=ρ
70,99850021m137.378.6
waN == ⇒ m19,717.387.6N =
ρ⋅= NR ⇒ m78,862.375.6R =
EJERCICIO 2.10
⎭⎬⎫
==
297/1fm388.378.6a ( ) ϕ2senf2f1w −−= ⇒
⎩⎨⎧
==998435345,0w998838012,0w
43
36
m233,808.385.6998838012,0
m388.378.6waN36
36 === ; m61,383.388.6998435345,0
m388.378.6waN43
43 ===
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN .
__________________________________________________________________________________________ 4
λ∆ϕcosNS p =
( )1803600
º36cosNS 3636p ⋅=
π ⇒ m05,25S36p =
( )1803600
º43cosNS 4343p ⋅=
π ⇒ m65,22S43p =
EJERCICIO 2.11
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= M
22
mm cos2∆8e1∆ρS ϕϕϕ
⎭⎬⎫
==
297/1fm388.378.6a ( )f2fe2 −= ⇒ 220067226700,0e2 =
( ) 2/3223 sene1w ϕ−= ⇒ ⎪⎩
⎪⎨⎧
==995313378,0w996518085,0w
343
336
( ) ( )( )
33
2
mw
f2f1awe1a −−
=−
=ρ ⇒ ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
m15,340.365.6m98,644.357.6
43m
36m
ρρ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅+
⋅⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= º72cos
18036008220067226700,01
180360098,644.357.6cos2∆
8e1∆ρS
2
M2
2
36m36mππϕϕϕ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅+
⋅⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= º86cos
18036008220067226700,01
180360015,340.365.6cos2∆
8e1∆ρS
2
M2
2
43m43mππϕϕϕ
[ ]15M
22
36m36m 1038,11823,30cos2∆8e1∆ρS −⋅+⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= ϕϕϕ ⇒ m823,30S 36m =
[ ]15M
22
43m43m 1038,11860,30cos2∆8e1∆ρS −⋅+⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= ϕϕϕ ⇒ m860,30S 43m =
EJERCICIO 2.12
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= M
22
mm cos2∆8e1∆ρS ϕϕϕ
( )f2fe2 −= ⇒ 006694385,0e2 = ; ( ) 2/3223
5 º5sene1w −= ⇒ 999923723,0w35 =
GEODESIA Y TOPOGRAFÍA
__________________________________________________________________________________________ 5
º5m =ϕ ; ⇒ ( ) ( )( )
35
35
2
mw
f2f1awe1a −−
=−
=ρ ⇒ m575,922.335.6m =ρ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= º10cos
18010
8006694385,01
18010575,922.335.6cos2∆
8e1∆ρS
2
M2
2
mmππϕϕϕ
m86,854.105.1Sm =
EJERCICIO 2.13
( )f2fe2 −= ⇒ 006694385,0e2 = ; ( ) 2/322315 º15sene1w −= ⇒ 999327417,0w315 =
º15m =ϕ ; ⇒ ( ) ( )( )
315
315
2
mw
f2f1awe1a −−
=−
=ρ ⇒ m27,703.339.6m =ρ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= º30cos
18010
8006694385,01
1801027,703.339.6cos2∆
8e1∆ρS
2
M2
2
mmππϕϕϕ
m29,512.106.1Sm =
La longitud de este arco es mayor que la del ejercicio anterior, es decir:
º20º10º10º0 SS −− <
Se trata del caso de la derecha de la figura, en el que el arco medido a mayor latitud da mayor longitud, por tanto, se demuestra que en los dos últimos ejercicios se trabaja con un elipsoide achatado por los polos.
