Tema+2+Divisibilidad

IES Los Colegiales Matemticas 1 ESO Tema 2 Divisibilidad

Tema 2 Divisibilidad1. Relacin de Divisibilidad Entre dos nmeros a y b existe la relacin de divisibilidad si al dividir a : b la divisin es exacta.

Ejemplo:

Existe la relacin de divisibilidad entre estos nmeros?

a) 42 y 6

Dividimos 42 : 6 El cociente es 7 y el resto es 0. La divisin es exacta.

Si existe la relacin de divisibilidad.

b) 35 y 8

Dividimos 35 : 8 El cociente es 4 y el resto es 3. La divisin no es exacta.

No existe la relacin de divisibilidad.

2. Mltiplos y Divisores de un nmero Si entre dos nmeros a y b existe la relacin de divisibilidad se cumple siempre que:

a es mltiplo de b a est en la tabla de multiplicar de b

b es divisor de a b divide exactamente a a

Ejemplo:

a) 42 y 6

Entre 42 y 6 si existe la relacin de divisibilidad porque la divisin es exacta, por lo tanto:

42 es mltiplo de 6, porque est en la tabla del 6 6x7 = 42

6 es divisor de 42, porque la divisin 42:6 es exacta.

b) 35 y 8

Entre 35 y 8 no existe la relacin de divisibilidad porque la divisin no es exacta, por lo tanto:

35 no es mltiplo de 8, porque 35 no est en la tabla del 8

8 no es divisor de 35, porque la divisin no es exacta.

3. Mltiplos de un nmero Para calcular los mltiplos de un nmero a construimos su tabla de multiplicar:

mltiplos de a = {a0, a1, a2, a3, a4, }

Ejemplo:

Calcula los 15 primeros mltiplos de 7

mltiplos de 7 = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 ,77, 84, 91, 98, 105, }

Fco. Javier Snchez Garca Pg. 1/6


4. Divisores de un nmero Para calcular los divisores de un nmero a dividimos a entre los nmeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, , hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. Tachamos las divisiones que no sean exactas y de las divisiones exactas cogemos todos los divisores y todos sus cocientes.

Ejemplo:

Calcula los divisores de 45

div (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45 }

45 l 1 45 l 2 45 l 3 45 l 4 45 l 5 45 l 6 45 l 7 No sigo 00 45 01 22 00 15 01 11 00 9 03 7 03 6 porque el

cociente (6) es menor o igual que el divisor (7)

5. Nmeros Primos y Compuestos Nmeros primos son los que slo tienen dos divisores: el 1 y el mismo nmero.

Ejemplo:

17 l 1 17 l 2 17 l 3 17 l 4 No sigo dividiendo porque el cociente es

00 17 01 8 02 5 01 4 menor o igual que el divisor.

Div(17) = { 1, 17 } Es un nmero primo.

Nmeros Compuestos son los que tienen ms de dos divisores, es decir, adems del 1 y del mismo nmero tambin tiene otros divisores

Ejemplo:

45 l 1 45 l 2 45 l 3 45 l 4 45 l 5 45 l 6 45 l 7 00 45 01 22 00 15 01 11 00 9 03 7 03 6 div (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45 }Es un nmero compuesto.

6. Nmeros Primos comprendidos entre el 1 y el 100 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19,23, 29,31, 37,41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97



7. Criterios de Divisibilidad Son reglas que nos ayudan a saber si un nmero es divisible por otro sin tener que hacer la divisin.

Vamos a estudiar los criterios de divisibilidad de los primeros nmeros primos: 2, 3, 5, 7 y 11:

Un nmero es divisible por 2, cuando termina en cifra par (0, 2, 4, 6 y 8).Ejemplo:

54: SI es divisible por 2, porque acaba en cifra par

79: NO es divisible por 2, porque no acaba en cifra par (9 es impar)

Un nmero es divisible por 3, cuando la suma de todas sus cifras es mltiplo de 3.Ejemplo:

87: SI es divisible por 3, porque 8 + 7 = 15 = mltiplo de 3

179: NO es divisible por 3, porque 1 + 7 + 9 = 17 = no es mltiplo de 3

Un nmero es divisible por 5, cuando termina en 0 o en 5Ejemplo:

130: SI es divisible por 5, porque acaba en 0

709: NO es divisible por 5, porque no acaba ni en 0 ni en 5

El 7 no tiene criterio de divisibilidad, hay que hacer la divisin: Si da exacta es divisible por 7. Si no da exacta no es divisible por 7.

Ejemplo:

91: SI es divisible por 7, porque la divisin 91 : 7 es exacta

142: NO es divisible por 7, porque la divisin 142 : 7 no es exacta

Un nmero es divisible por 11, cuando :

Sumamos las cifras que ocupan lugar par.

Sumamos las cifras que ocupan lugar impar.

Restamos los dos resultados y tiene que dar 0 o mltiplo de 11

Ejemplo:

253 : SI es divisible por 11, porque:

2 + 3 = 5

2 5 3 5 5 = 0

5

Los siguientes nmeros primos 13, 17, 19, 23 no tienen criterios de divisibilidad. Hay que hacer la divisin para saber si es divisible por ellos.



8. Descomponer un nmero en Factores Primos Consiste en expresar un nmero a como producto de nmeros primos (factores primos):

30 = 6 x 5 No vale, 6 no es un nmero primo

30 = 2 x 3 x 5 Si vale, 2, 3 y 5 son nmeros primos.

Para descomponer un nmero en factores primos tenemos que saber dos cosas:

Los nmeros primos

Los criterios de divisibilidad

Procedimiento para descomponer un nmero en factores primos:

60 2 Es divisible por 2 porque acaba en cifra par. 60 : 2 = 3030 2 Es divisible por 2 porque acaba en cifra par. 30 : 2 = 1515 3 Ya no se puede a 2. Es divisible por 3 porque 1 + 5 = 6 = mltiplo de 3 5 5 5 es primo y slo se puede dividir entre l mismo 5 : 5 = 1 1 Ya hemos terminado.

Expresamos 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5 En forma de potencia.

9. Cmo puedo averiguar si un nmero es primo? Con los criterios de divisibilidad de 2, 3, 5, 7, 11 y a partir del 13, 17, 19, 23..., haciendo las divisiones hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. Si ninguna divisin ha dado exacta el nmero es primo.

Ejemplo:

241 241 No es divisible por 2, porque no acaba en cifra par

1 No es divisible por 3, porque 2 + 4 +1 = 7 no es mltiplo de 3

No es divisible por 5, porque no acaba ni en 0 ni en 5

No es divisible por 7, porque la divisin no es exacta. Hacemos la divisin:

241 l 7

31 34

3

Con los siguientes nmeros primos hacemos las divisiones:

241 l 11 241 l 13 241 l 17 No sigo dividiendo porque

21 21 111 18 71 14 el cociente es menor o igual

10 7 3 que el divisor.

No se cumple ningn criterio de divisibilidad y ninguna divisin ha dado exacta, por lo tanto:

241 es un nmero primo.



10. Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.) de varios nmeros. Dados dos o ms nmeros el m.c.m., es el menor de los mltiplos comunes de esos nmeros, distinto de cero.

Ejemplo:

Calcula el m.c.m.(4, 6, 9)

Mltiplos de 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76 }Mltiplos de 6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, }Mltiplos de 9 = {0, 9, 18,. 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ...} Los mltiplos comunes de 4, 6 y 9 son: 0, 36, 72, ...

El m.c.m. (4, 6 y 9) = 36 Es el menor distinto de ceroEsta forma de hacerlo tiene inconvenientes: larga, te puedes equivocar y ya todos mal..., as que vamos a a aprender un mtodo para calcular el m.c.m.1 Se descomponen los nmeros en factores primos.

2 El m.c.m., es el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.Ejemplo:

a) Calcula el m.c.m.(4, 6 y 9)

4 2 6 2 9 3 4 = 22

2 2 3 3 3 3 6 = 2 x 3

1 1 1 9 = 32

m.c.m. (4, 6 y 9) = 22 x 32 = 4 x 9 = 36

b) Calcula el m.c.m. (42, 70 y 90)

42 2 70 2 90 2 42 = 2 x 3 x 7

21 3 35 5 45 3 70 = 2 x 5 x 7

7 7 7 7 15 3 90 = 2 x 32 x 5

1 1 5 5

1

m.c.m. (42, 70 y 90) = 2 x 32 x 5 x 7 = 2 x 9 x 5 x 7 = 630



11. Mximo Comn Divisor (M.C.D.) de varios nmeros Dados dos o ms nmeros el M.C.D., es el mayor de los divisores comunes de esos nmeros.

Ejemplo:

Calcula el M.C.D. (12, 24, 30)

Div(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Div(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Div(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

12 l 1 12 l 2 12 l 3 12 l 4

00 12 00 6 00 4 00 3

24 l 1 24 l 2 24 l 3 24 l 4 24 l 5

00 24 00 12 00 8 00 6 04 4

30 l 1 30 l 2 30 l 3 30 l 4 30 l 5 30 l 6

00 30 00 15 00 10 2 7 00 6 00 5

Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6

El M.C.D.(12, 24 y 30) = 6 porque 6 es el mayor de todos.Esta forma de hacerlo tiene inconvenientes: larga, te puedes equivocar y ya todos mal..., as que vamos a a aprender un mtodo para calcular el M.C.D.1 Se descomponen los nmeros en factores primos.

2 El M.C.D., es el producto de los factores comunes elevados al menor exponente.Ejemplo:

a) Calcula el M.C.D.(12, 24, 30)12 2 24 2 30 2 12 = 22 x 3

6 2 12 2 15 3 24 = 23 x 3

3 3 6 2 5 5 30 = 2 x 3 x 5

1 3 3 1

1

M.C.D.(12, 24 y 30) = 2 x 3 = 6


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