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INSTITUTO SONORENSE DE EDUCACIÓN PARA LOS ADULTOS TEMAS PARA FORTALECER EL MÓDULO FRACCIONES Y PORCENTAJES DIRECCIÓN DE SERVICIOS EDUCATIVOS
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INSTITUTO SONORENSE DE EDUCACIÓN PARA LOS ADULTOS
TEMAS PARA FORTALECER EL MÓDULO
FRACCIONES Y PORCENTAJES
DIRECCIÓN DE SERVICIOS EDUCATIVOS
2
LAS FRACCIONES
I. NOCION DE FRACCIÓN.
Una vez que ya identificamos visualmente lo que es una fracción
ahora nombremos la definición.
Si dividimos un objeto o unidad en partes iguales, a cada una de
ellas, o a un grupo de esas partes, se le denomina Fracción. Las
fracciones están formadas por dos números: el Numerador y el
Denominador.
Es decir, el numerador es el número de partes que se han
considerado después de dividir la unidad, y el denominador es el
número de partes en que se ha dividido la unidad.
Por ejemplo, en la fracción anterior la unidad esta dividida en
seis partes y consideramos dos.
Para nombrarlas es muy fácil dependen del denominador, si el
denominador es:
2 se dice medios
7 se dice séptimos
3 se dice tercios
8 se dice octavos
4 se dice cuartos
9 se dice novenos
5 se dice quintos
10 se dice decimos
6 se dice sextos
A partir del 11 se añade al número la terminación avo. Ejemplo:
Onceavo, doceavo, treceavo, etc.
2
3
Numerador
Denominador
3
Así solo mencionaremos cuantas partes consideramos y luego el
denominador. De tal manera que la siguiente fracción se leería
“dos sextos.”
Para complementar y reforzar este conocimiento podemos
realizar la actividad sugerida en ANEXO 1. LOS LISTONES.
Ahora veamos que también podemos fraccionar un grupo de
objetos.
Queremos considerar “tres cuartos”, 3 / 4 del siguiente grupo de
objetos.
Si nos piden 3/4 del grupo anterior entonces tomamos tres
recuadros.
Ahora queremos 2 / 6 del siguiente grupo.
Como el grupo que nos presentan no esta ordenadito para poder
partirlo como el del primer ejemplo debemos entonces contar el
número de elementos y dividirlo entre el número de partes que
queremos tener.
Así dividimos este grupo de
objetos en cuatro partes iguales
ya que el denominador es 4
Es decir 3 / 4 equivale a 9
unidades del grupo.
2
6
Numerador
Denominador
4
Tenemos 18 objetos entre 6 partes que queremos, nos da tres.
Así encerraremos en grupos de tres.
y coloreamos dos ya que nos piden 2 / 6, así tenemos que 2 / 6
es igual a seis objetos del grupo.
FICHA 1
Recuerda que también podemos fraccionar un grupo de objetos
¿Cuántos objetos se te piden de acuerdo a la fracción indicada?
a) La mitad del grupo de estrellas.
b) La tercera parte de las fichas.
Realiza los ejercicios de la siguiente ficha para reforzar la idea
5
c) La cuarta parte de todas las canicas.
d) 3 / 4 del grupo de corazones.
e) 1 / 5 del grupo de niños.
¿Cómo te fue?...
Continuemos con el tema II
6
II. CLASIFICACION DE LAS FRACCIONES.
Las fracciones pueden ser:
Fracciones Propias son aquellas en que el numerador es menor
que el denominador, por lo tanto, son menores que la unidad.
Ejemplo:
Fracciones Impropias son aquellas en las que el numerador es
mayor que el denominador, por lo tanto son mayores a la unidad.
Ejemplo:
Fracciones Decimales son aquellas en las que el denominador es
10 o algún múltiplo de éste, 100, 1000, 10000…
Ejemplo:
3
1
10
4
4
6
7
Todas las fracciones impropias se pueden expresar como número
mixto, es decir, aquellos que están formados por un número
natural y una fracción.
Por ejemplo:
¿Por qué? y ¿Como le hago? es muy fácil.
Hay dos casos:
Caso 1. Pasar de fracción a número mixto
Ejemplo pasar 8/5 a número mixto.
Debemos hacer la división 8 entre 5 que nos da 1 y nos sobran 3.
Por lo tanto: 1 es el número natural y 3 es el numerador de la
fracción y el denominador no cambia, es decir 5.
´ =
Otro ejemplo 9 / 2 a numero mixto.
9 entre 2 es 4 y nos sobra 1 por lo tanto:
=
Caso 2. Pasar de número mixto a fracción
El número natural se multiplica por el denominador y se suma el
numerador.
Multiplicamos 1 X 3 = 3 + 2 = 5 y el denominador no cambia es 3
=
4
6 =
4
2 1
3
2 1
3
5
3
2 1
5
8
5
3 1
Fracción
Numero mixto
2
1 4
2
9
8
Analicemos otro ejemplo el número mixto a fracción.
Multiplicamos 2 X 7= 14 y sumamos 4, nos da 18 por lo tanto y
se deja el mismo denominador 7
=
FICHA 2 Escribe sobre la línea si la fracción es propia o impropia y el
signo < o > según sea el caso.
A) es una fracción _________ por lo tanto es _____que 1
B) es una fracción _________ por lo tanto es ______ que 1
C) es una fracción _________ por lo tanto es ______ que 1
D) es una fracción _________ por lo tanto es ______que 1
C) es una fracción _________ por lo tanto es ______ que 1
Realiza los ejercicios de las fichas 2 y 3 para reforzar la idea
7
5
8
9
3
8
3
10
8
7
6
8
2
8
7
4 2
7
4 2
7
18
9
FICHA 3.
Convierte las siguientes fracciones impropias a número mixto.
= por que 15 entre 4 es _____ y sobran _______
= por que 7 entre 3 es _____ y sobran _______
= por que 11 entre 2 es _____ y sobran _______
= por que 15 entre 4 es _____ y sobran _______
Convierte los números mixtos a fracciones.
= por que 1 por 5 es ______ más _____ da ______
= por que 4 por 7 es ______ más _____ da ______
= por que 2 por 9 es ______ más _____ da ______
= por que 5 por 6 es ______ más _____ da ______
4
15
3
7
2
11
08
3
7
5
2 1
7
1 4
9
3 2
6
2 5
10
Recuerda: “Si practicamos cualquier acto extraordinario,
se volverá ordinario”.
III. FRACCIONES EQUIVALENTES.
Las fracciones equivalentes son las que tienen el mismo valor,
aun cuando sus numeradores y denominadores sean diferentes.
Veamos.
Don Lupe, en su carnicería, prepara manteca en bolsas de kg
y de kg, porque así se lo piden con frecuencia sus clientes.
Un día, una señora le pidió medio kilogramo de manteca, pero al
ver el refrigerador se dio cuenta que ya no tenía bolsas de medio
kilo; entonces tomó dos bolsas de un cuarto y las pesó en su
báscula.
Don Lupe mostró así a su cliente que 2 bolsas de de kg, o sea,
kg, tienen el mismo peso que una bolsa de kg.
=
Así, don Lupe se dio cuenta que hay fracciones que aun cuando
se escriben diferente valen lo mismo.
¿Cómo te fue?...
Continuemos con el tema III
Si consideras necesario realiza más ejercicios para convertir
fracciones
11
También podemos entenderlo gráficamente, observemos las
partes sombreadas de las siguientes figuras.
Cada fracción tiene infinitas otras fracciones equivalentes a ella.
Para obtener otra fracción equivalente a una dada hay dos
formas:
La primera forma para obtener fracciones equivalentes es:
Multiplicar sus términos por el mismo número.
Por ejemplo:
a)
b)
c)
2
4 1
2
1
2
X
X
2
2 = 2
1 4
Es equivalente a
4
3
X
X
5
5
2
5 = 20
21 15
4
Es equivalente a
Es equivalente a
1
2
X
X
2
2 = 2
1 4
Es equivalente a
X
X
2
2 =
4
1 8
4
X
X
2
2 = 8
16
4
12
Es importante tener en cuenta que el número por el que
multiplicamos puede ser cualquiera y podemos realizar la
operación cuantas veces sea necesario, así, obtener muchas
fracciones equivalentes a una dada.
FICHA 4. Colorea en el dibujo y escribe sobre la línea la fracción
equivalente a las fracciones dadas.
A)
B)
Completa las líneas para encontrar fracciones equivalentes.
Realiza los ejercicios de la ficha 4 para reforzar la idea
1
3
3
=
8
15
33
=
3
5
X X
2 2
= X
X
3
3 =
13
La segunda forma para obtener fracciones equivalentes consiste
en: Dividir al denominador y al numerador entre un mismo
número; a este método, se le conoce como simplificación.
Por ejemplo
a)
b)
Para realizar la simplificación de fracciones es muy importante
tener en cuenta las reglas de divisibilidad, en este caso no
podemos escoger cualquier número para dividir, ya que ambos
elementos de la fracción deben ser divisibles entre el número
que escogimos es decir que los divida exactamente.
El siguiente recuadro contiene alguna de las reglas de
divisibilidad mas usadas, nos será útil al momento de simplificar
fracciones.
Un número es divisible entre:
2 Si el último digito es 0, 2, 4, 6, 8.
3 Si la suma de los dígitos es divisible por 3.
4 Si los últimos dos dígitos forman un numero divisible por 4.
5 Si los últimos dígitos son 0 o 5.
6 Si el numero es par & la suma de los dígitos es divisible
por 3.
9 Si la suma de los dígitos es divisible por 9.
10 Si el último digito es 0.
9
4 6
3
÷X ÷
3
5
2
3 = 3
2
Es equivalente a
75
100
3
÷X ÷
5
2 5 =
15
20
Es equivalente a
÷X ÷
5
2 5 = 3
4
Es equivalente a
14
Entonces, utilizando la herramienta anterior simplifiquemos la
siguiente fracción.
Según las reglas de divisibilidad el 57 es divisible entre 3 ya que
sumados sus dígitos me dan 12 y lo mismo pasa con el 48, por lo
tanto, para simplificar hay que dividir por 3 ambos términos.
Debemos seguir efectuando divisiones hasta llegar a una fracción
que ya no se pueda simplificar mas, a esta fracción la llamaremos
irreducible.
En nuestro ejemplo con un solo paso llegamos a una fracción
irreducible ya que no hay un común divisor para los números que
obtuvimos
FICHA 5. Encuentra fracciones equivalentes a las fracciones dadas por el
método de simplificación.
a) =
b) =
Realiza los ejercicios de la ficha 5
48
57
48
57 ÷X
3
5
2
÷X
3
5
2
= 16
19
16
8
25
40
÷X ÷X
÷X ÷X
15
c) =
d) =
IV. FRACCIONES DECIMALES Y NÚMEROS DECIMALES
Como ya vimos cuando clasificamos las fracciones, éstas pueden
ser propias, impropias y decimales.
Recordemos:
Fracciones Decimales son aquellas en las que el denominador es
10 o algún múltiplo de éste, 100, 1000, 10000…
Ejemplos:
Ahora conoceremos los números decimales, los cuales nacen
como una forma especial de escritura de las fracciones
decimales.
A principios del siglo XVI d.c. luego de varios estudios y viendo
la necesidad de facilitar los cálculos con las fracciones decimales
un matemático escocés, Napier, perfecciona e introduce la
escritura decimal.
¿Cómo te fue con las fracciones equivalentes?
Continuemos con el tema IV
18
36 ÷X ÷X
4
6 ÷X ÷X
2
10
6
100
16
Partamos entonces de las fracciones decimales para llegar a los
números decimales.
Como ya sabemos si la unidad la partimos en 10 partes iguales a
cada una de ellas le llamamos décima, así:
Si la unidad la dividimos en 100 partes iguales a cada una de
ellas la llamamos centésima
Y si la dividimos en 1000 partes iguales a cada una de ellas la
llamamos milésima
1
10 = 0.1 Un décimo
1
100 = 0.01 Un centésimo
1
1000 = 0.001 Un milésimo
17
Entonces para expresar una fracción decimal como número
decimal escribiremos el numerador y colocamos el punto
contando desde la derecha tantos lugares como ceros tenga el
denominador llenando con ceros los lugares vacíos.
Observemos los ejemplos.
= 0.7
Ponemos el 7 y recorremos el punto un lugar desde la derecha
hacia la izquierda. 0.7
= 1.5
Ponemos el 15 y recorremos el punto un lugar desde la derecha
hacia la izquierda. 1.5
= 0.04
Ponemos el 4 y recorremos el punto dos lugares desde la
derecha hacia la izquierda. 0.04
= 0.026
Ponemos el 26 y recorremos el punto tres lugares desde la
derecha hacia la izquierda. 0.026
Así que el primer lugar después del punto corresponde a los
décimos, el segundo a los centésimos y el tercero a los
milésimos.
De tal manera que las cantidades anteriores se leerían:
0.7 Siete décimos.
1.5 Un entero cinco décimos
7
10
15
2 10
4
100
26
1000
18
0.04 Cuatro centésimos
0.026 veintiséis milésimos
Entonces para leer cualquier número decimal leeremos primero
la parte entera luego la parte decimal tomando en cuenta donde
queda ubicado el último dígito.
Veamos los ejemplos.
Parte
entera
Punto
Parte decimal DECIMOS –CENTÉSIMOS-MILÉSIMOS
Se leen
2 . 2 4 Dos enteros, veinticuatro centésimos
0 . 0 1 3 Cero enteros, trece milésimos
12 . 0 0 8 Siete enteros, siete décimos
7 . 7 Siete enteros, siete décimos
2 . 0 0 9 Dos enteros nueve milésimos
105 . 0 3 Ciento cinco enteros tres
centésimos
Realiza los ejercicios de la ficha 6 para reforzar la idea
19
FICHA 6. Completa el siguiente recuadro.
Fracción
Decimal
Numero
Decimal
Se lee
Todas las fracciones las podemos convertir a numero decimal.
Para hacerlo, solo hay que efectuar la división que representa, es
decir, dividir el numerador entre el denominador.
Por ejemplo:
=0.75 Setenta y cinco centésimos.
3
100
41
10
4.007
Dos enteros, nueve centésimos.
0.5
19
1000
6
10
Quinientos dos milésimos.
3
4 4 3 0
0.7 5
2 0 0
20
= 0.4 Cuatro décimos
=0.44 Cuarenta y cuatro centésimos
= 0.71 Setenta y un centésimos
Si tienes algún problema con el concepto, lectura y/o aplicación
de los números decimales puedes revisar el ANEXO 2.
¿Cómo te fue con el tema?...
Fracciones decimales y números decimales
Continuemos con el tema V
2
5 5 2 0
0. 4
0
4
9 9 4 0
0. 4 4
4 0 4 0
5
7 7 5 0
0. 7 1
1 0 3 0
21
V. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Para sumar o restar dos fracciones, hay que tener en cuenta de
que existen 2 tipos de fracciones:
Fracciones homogéneas. Son las fracciones que tienen el
mismo denominador.
Para operarlas solo hay que sumar o restar, según sea el caso,
los numeradores y conservamos el denominador.
Ejemplos:
Sumas:
Restas:
Quizá una herramienta que nos seria útil para la enseñanza de
este tema seria aplicar las sumas y restas visualizando las
fracciones.
1
5
3
5 + =
4
5
4
7
2
7 + =
6
7
6
9
1
9 - =
5
9
5
2
4
2 - =
1
2
1
8
2
8 + =
3
8
1
3
4
3 + =
5
3
22
Así como también aplicarlo en algún problema de la vida
cotidiana.
Por ejemplo:
Pedro compró dos pizzas para invitar a comer a Juan y Maria.
Pedro se comió tres rebanadas de pizza, es decir, 3/8; Juan 4
rebanadas y Maria 2. ¿Cuántas rebanadas de pizza le quedaron
para la cena? R= Siete Rebanadas
Fracciones heterogéneas. Son las fracciones que tienen
diferentes denominadores.
Para realizar las operaciones entre ellas utilizaremos el método
más sencillo, observemos.
Ejemplos:
Sumas:
2
3
1
2 + =
(2)(2) + (3)(1)
6 =
4 + 3
6
7
6 =
5
6
2
3 + =
(5)(3) + (6)(2)
18 =
15 + 12
18
27
18 =
(Multiplicamos cruzado y sumamos)
(Se multiplican los denominadores)
3
8
4
8 + =
9
8
2
8 +
9
8
16
8 - =
7
8
23
Restas:
Seguimos los mismos pasos de la suma solo que en vez de sumar,
restamos.
FICHA 7. Practica la suma y resta de fracciones.
9 + 1 =
5 5
2 + 5 =
3 3
1 + 2 =
2 3
5 + 1 =
6 5
3 + 1 =
7 2
1 + 1 =
8 4
9 + 5 =
11 7
3 + 4 =
2 3
Para reforzar el tema realiza los ejercicios de la ficha 7
2
3
1
2 - =
(2)(2) - (3)(1)
6 =
4 - 3
6
1
6 =
18 2
3 = = 5
6 - (5)(3)- (6)(2)
18 15 - 12 3
18 =
24
6 - 1 =
7 7
6 - 1 =
11 2
4 - 5 =
3 2
5 - 1 =
8 8
9 - 1 =
11 5
1 - 1 =
5 8
3 - 1 =
4 2
7 - 1 =
9 3
¿Cómo te fue con el tema?...
Continuemos con el tema VI
25
VI. MULTIPLICACION DE FRACCIONES
Para multiplicar dos o más fracciones, es muy sencillo, se
multiplican "en línea". Esto es, el numerador por el numerador y
el denominador por el denominador.
FICHA 8. Practica la multiplicación de fracciones resolviendo los siguientes
ejercicios.
X =
X =
X =
Realiza los ejercicios de la ficha 8
¿Cómo te fue con el tema...muy sencillo verdad?
Continuemos con el tema VII
3
2
1
7 X =
3 X 1
2 X 7 =
3
14
3
2
1
7 X =
3 X 1
2 X 7 =
3
14
4
7
2
9
9
7
1
2
5
8 1
8
26
VII. DIVISION DE FRACCIONES
Para dividir dos o más fracciones, utilizaremos un procedimiento
igual de sencillo: se multiplican "en cruz".
Esto es, el numerador de la primera fracción por el denominador
de la segunda fracción (ya tenemos el numerador)
Y el denominador de la primera fracción por el numerador de la
segunda fracción (este es el denominador).
Por ejemplo:
FICHA 9. Resuelve las siguientes divisiones de fracciones.
2 ÷ 2
5 5
2 ÷ 5
3 3
3 ÷ 5
2 3
3 ÷ 1
6 2
3 ÷ 3 7 8
1 ÷ 2
5 4
Realiza los ejercicios de la ficha 9
¿Cómo te fue con el tema...muy sencillo verdad?
Con esto hemos llegado al final
4
5
3
9 X =
4 X 9
5 X 3 =
36
15
2
6
4
7 X =
2 X 7
6 X 4 =
14
24
27
ANEXO 1. LOS LISTONES.
a) primera fase
Se entrega a cada participante tres hojas de distintos colores
(azul, blancal rosa) se les pide que la doblen a lo largo en cuatro
partes iguales & recortarlas. Ahora tenemos listones de
aproximadamente 5 cm. de ancho.
b) segunda fase
Tomaremos las bandas azules, las doblaremos a lo largo
exactamente a la mitad & las superpondremos en las blancas
hasta llenar una de ellas. Así se darán cuenta que con dos bandas
azules cubren una blanca.
Es importante de hacer verbalizar a los adultos para que
expliquen sus construcciones. Es decir que mencione por
ejemplo "dos azules es lo mismo que una blanca"
Los alumnos dicen que hay 1 banda blanca y 2 bandas azules
1
1/2 1/2
Es en ese momento que se introduce un sistema simbólico que
resume las acciones realizadas. Como dos bandas azules tienen
el mismo largo que una blanca, se escribe sobre las bandas
azules 1/2 y sobre las blancas 1.
c) tercera fase
Ahora tomaremos las bandas de color rosa y guiaremos al adulto
para que las parta en cuatro partes iguales, doblando y doblando.
Dejaremos que el adulto las manipule y compare para que llegue
a sus conclusiones. Escribiremos en ellas 1/4.
28
Pediremos al igual que la fase anterior que verbalice sus
descubrimientos y lo apoyaremos para que refuerce los
conceptos que deseamos.
Podemos reafirmar pidiendo al adulto que escriba oraciones de lo
que ha observado como, por ejemplo:
“el largo de dos listones azules es igual al largo de un listón
blanco”
“un listón azul es la mitad de un listón blanco”
“un listón rosa es la mitad de un listón azul”
“un listón rosa es la cuarta parte de un listón blanco”
“dos listones rosas son iguales de largo que un listón azul”
De esta manera ya construimos medios y cuartos podemos
ampliar la actividad haciendo octavos, tercios, sextos, etc.
Estos listones nos servirán de apoyo para reforzar otros
conocimientos como: la suma y resta de fracciones y
equivalencia de fracciones.
29
ANEXO 2.
1º Dibujamos un cuadrado.
2º Lo dividimos en 10 rectángulos iguales.
A cada uno de los rectángulos le
llamamos décimo y lo
representamos como
3º De tal manera que si escogemos dos rectángulos decimos que tenemos dos
décimos
4º Si escogemos tres rectángulos decimos que tenemos tres décimos
5º Ahora divide cada uno de los rectángulos en diez cuadrados iguales.
1
10
2
10
3
10
30
6º Ahora el cuadro de partida está dividido en 100 partes iguales y cada una se
llama centésima.
7º Si escogemos 20 cuadrados decimos que hemos escogido 20 centésimas y se
escribe
Observa que es la misma parte del cuadro que cuando escogíamos 2 décimos.
8º Si ampliamos el cuadrito y cada centésima la divides en 10 partes iguales,
cada parte se llama milésima.
Ahora estas listo para completar los siguientes ejercicios.
Una décima tiene__ centésimas Una centésima tiene ____ milésimas
Una décima tiene_____ milésimas Una unidad tiene ______ milésimas
1
100
20
100
1
1000
31
Une con flechas:
4 décimas 60 milésimas
6 centésimas 8000 milésimas
2 unidades 400 milésimas
7 centésimas 500 centésimas
5 décimas 70 milésimas
8 unidades 40 milésimas
4 centésimas 200 centésimas
Indica lo que representa cada cifra:
Ejemplo: 5.39; 5 unidades, 3 décimas y 9 centésimas.
• 4,63:
• 0,03:
• 5,003:
• 7,013:
Relaciona cada número con su expresión decimal:
• Tres unidades y cincuenta y ocho centésimas 13,15
• Trece unidades y veintiuna milésimas. 13,021
• Cuatro unidades y cinco milésimas. 3,58
• Seis unidades y catorce milésimas. 0,018
• Dieciocho milésimas. 1,74
• Una unidad y setenta y cuatro milésimas. 4,005
• Trece unidades y quince centésimas. 6,014
• Seis unidades y catorce centésimas 0,18
• Dieciocho centésimas 6,14
