Pontificia Universidad Catolica de ChileEscuela de Ingenierıa

Teorıa Electromagnetica

Ayudantıa 5

0.1. Lıneas de Transmision

Un problema tecnico interesante en Ingenierıa es el de la conexion entre dos objetos, deforma que energıa electromagnetica pueda ser transmitida entre ellos de forma eficiente. Encircuitos de baja frecuencia la conexion se realiza mediante cables. Sin embargo, este metodono funciona muy bien a altas frecuencias debido a que los circuitos radiarıan energıa en todo elespacio, y es difıcil controlar la propagacion de la energıa (no es bien guiada). En este capıtuloveremos como interconectar objetos a radiofrecuencias, inferiores a los 3 GHz .

Las lıneas de transmision comunes que van de una torre a otra irradian parte de su energıa,pero a frecuencias bajas (60 Hertz en Chile) esta perdida de energıa no es demasiado seria. Laradiacion puede evitarse al rodear la linea con un tubo metalico, pero este metodo no serıa nadade practico para lıneas de transmision por que los voltajes y corrientes utilizados requerirıantubos realmente largos, caros y pesados. De forma que simplemente se utilizan lineas abiertas

A frecuencias mas altas, (por sobre los kHz), el tema de la radiacion se vuelve intolerable,debido a que se pierde mucha potencia en forma de radiacion o bien por que se inducen corrientesy voltajes en otros circuitos donde no se desean. Para frecuencias desde unos pocos kHz hastaalgunos Mhz, las senales electromagneticas y su energıa son transmitidas tıpicamente mediantelıneas que consisten de dos conductores y un medio dielectrico entre ellos (tıpico ejemplo es elcable coaxial)

Figura 1: Una lınea de transmision coaxial

El ejemplo de la lınea coaxial es el mas ilustre, la cual se usa mucho para conectar com-ponentes RF. Los cables de alambres paralelos no se usan para microondas pues no estanprotegidos e irradian mucho, pero sı se utilizan para conectar antenas a la television. Las lineasde microstrip son utilizadas en circuitos integrados de alta frecuencia. Las guıas de onda rectan-gulares son utilizadas para transmitir grandes potencias de microondas de frecuencia superiora 3 GHz. La fibra optica opera a frecuencias opticas e infrarojas.

Figura 2: Distintos tipos de lıneas de transmision

Lo que vamos a desarrollar a continuacion vale para cualquier lınea que consta de dosconductores paralelos de cualquier forma. Aquı vamos a considerar efectos que no son estudiadosen el analisis ordinario de circuitos, que son apreciables a altas frecuencias. Imaginemos que seaplica una diferencia de potencial entre dos conductores. Debido a que el dielectrico intermediono es perfecto (posee una cierta conductividad), existiran corrientes en el dielectrico y estose traduce en perdidas a lo largo de la lınea. Ademas, los conductores en sı tampoco sonperfectos y poseen una cierta resistencia, lo que tambien genera perdidas. Mas aun, cuando losvoltajes y corrientes varıan en el tiempo, entre los conductores de una lınea ocurren fenomenoscapacitivos e inductivos, que mas notorios seran a medida que aumenta la frecuencia. Una formade modelar este comportamiento es ver una lınea de transmision como la union de muchossegmentos infinitesimales, cada uno de ellos caracterizado por ciertos parametros. Estos son:Capacitancia por unidad de largo, Inductancia por unidad de largo, y resistencia por unidad delargo (tanto la del dielectrico como la de los conductores). A estos parametros por unidad delargo les llamaremos parametros distribuıdos, y asumiremos que son constantes a lo largode la lınea (la lınea es entonces homogenea)

0.2. Parametros distribuıdos de algunas lıneas

0.2.1. Lınea coaxial, radio interno a, radio externo b, espesor externot

Capacidad

C =2πεd

ln(b/a)(F/m)

Inductancia (externa)

Le =µd ln(b/a)

2π(H/m)

Resistencia DC (para frecuencias menores a 10 kHz)

Rd =1

σcπ

(1

a2+

1

t(b+ t)

)(Ω/m)

2

Resistencia AC (util para operacion sobre los 10 kHz)

Ra =1

2πσcδ

(1

a+

1

b

), t >> δ

Inductancia (interna)

Li =

Ra/2πf(H/m) paraf > 10kHz

µ0

4π(H/m) paraf < 10kHz

)Conductancia

G =C

εdσd(S/m)

Inductancia totalLt = Li + Le(H/m)

donde εd permitividad del dielectricoµd permeabilidad del dielectricoσc= conductividad de los conductoresσd= conductividad del dielectricoδ = 2√

πfµcσcprofundidad de penetracion del conductor

0.2.2. Alambres Paralelos (radio a, separacion d)

Capacidad

C =πεd

Arccosh (d/2a)(F/m) ≈ πεd

ln(d/a)(F/m), d >> a

Inductancia (externa)

Le =µdArccosh (d/2a)

π(H/m) ≈ µd ln(d/a)

π(H/m), d >> a

Resistencia DC (para frecuencias menores a 10 kHz)

Rd =1

σcπ

2

a2(Ω/m)

Resistencia AC (util para operacion sobre los 10 kHz)

Ra =1

2πσcδ

2

a(Ω/m)

3

Inductancia (interna)

Li =

Ra/2πf(H/m) paraf > 10kHz

µ0

4π(H/m) paraf < 10kHz

)Conductancia

G =C

εdσd(S/m)

Inductancia totalLt = Li + Le(H/m)

εd permitividad del dielectricoµd permeabilidad del dielectricoσc= conductividad de los conductoresσd= conductividad del dielectricoδ = 2√

πfµcσcprofundidad de penetracion del conductor

0.2.3. Placas paralelas( ancho w, espesor t, separacion d)

Capacidad

C =wεdd

(F/m)

Inductancia (externa)

Le =µdd

w(H/m)

Resistencia DC (para frecuencias menores a 10 kHz)

Rd =2

σcwt(Ω/m)

Resistencia AC (util para operacion sobre los 10 kHz)

Ra =1

σcδ

2

w(Ω/m)

Inductancia (interna)

Li =

Ra/2πf(H/m) paraf > 10kHz

µ0

4π(H/m) paraf < 10kHz

)Conductancia

G =C

εdσd(S/m)

Inductancia totalLt = Li + Le(H/m)

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εd permitividad del dielectricoµd permeabilidad del dielectricoσc= conductividad de los conductoresσd= conductividad del dielectricoδ = 2√

πfµcσcprofundidad de penetracion del conductor

0.3. Lıneas sin perdidas

Si la lınea de transmision es sin perdidas , es decir, tanto la resistencia como la conductanciapor unidad de largo son despreciables, veremos que su comportamiento estara enteramentedescrito por un unico parametro llamado impedancia caracterıstica. Consideremos una lıneaque consiste de dos conductores paralelos, representada por el circuito de la figura

Interesa ver que ocurre entre dos puntos cercanos x y x + ∆x en la lınea de transmision.Sean C0 y L0 la capacitancia e inductancia por unidad de largo de esta lınea (Recordar quesupondremos que son parametros constantes). Sea la diferencia de potencial entre ambos con-ductores V (x), y la corriente que fluye en dicho punto como I(x). Si la corriente en la lınea varıaen el tiempo, la inductancia sera responsable de una diferencia de potencial entre los extremosde una pequena seccion de la lınea desde x a x+ ∆x

∆V = V (x+ ∆x)− V (x) = −L0∆x∂I

∂t

tomando el lımite cuando ∆x→ 0, se obtiene

∂V (x, t)

∂x= −L0

∂I(x, t)

∂t

un cambio de corriente en el tiempo da origen a un gradiente de voltaje. Por otra parte, siel voltaje en x esta cambiando en el tiempo, debe haber una diferencia en la carga acumuladapor la capacitancia. Si nuevamente tomamos una pequena seccion de lınea entre x y x + ∆x,la carga almacenada en esta seccion sera

q = C0∆xV

la razon de cambio de la carga estara dada por

dq

dt= C0∆x

∂V (x, t)

∂t

pero solo puede haber un cambio de la carga en x si la corriente I(x) es diferente de I(x+∆x)

I(x)− I(x+ ∆x) = C0∆x∂V

∂t

5

Nuevamente tomando el lımite cuando ∆x tiende a cero

∂I(x, t)

∂x= −C0

∂V (x, t)

∂t

de forma que la conservacion de la carga implica que existe un gradiente de corriente en lalınea siempre que haya una variacion temporal del voltaje. Las ecuaciones basicas para la lıneade transmision son entonces

∂V (x, t)

∂x= −L0

∂I(x, t)

∂t

∂I(x, t)

∂x= −C0

∂V (x, t)

∂t

Estas ecuaciones se pueden desacoplar de la siguiente forma

∂2V (x, t)

∂x2= −L0

(∂2I(x, t)

∂t∂x

)∂2I(x, t)

∂t∂x= −C0

∂2V (x, t)

∂t2

Multiplicando la segunda por L0 y sumandola a la primera se obtiene

∂2V (x, t)

∂x2− C0L0

∂2V (x, t)

∂t2= 0

del mismo modo

∂2I(x, t)

∂x2− C0L0

∂2I(x, t)

∂t2= 0

Se reconoce inmediatamente que tanto el voltaje como la corriente satisfacen la ecuacionde onda en una dimension. La conclusion es entonces, que para una lınea de transmisionhomogenea (C0 y L0) sin perdidas, el voltaje y la corriente se propagan a traves de la lınea comouna onda. El voltaje en la lınea debe ser de la forma V (x, t) = f(x− vt) o V (x, t) = g(x+ vt),o una combinacion de ambas (la ecuacion de onda es lineal). La velocidad a la cual se propagaen esta lınea es

v =1√C0L0

Se puede verificar a partir de los parametros distribuıdos entregados que

v =1

√µdεd

= c

Es decir, la velocidad de propagacion del voltaje y la corriente en la lınea es igual a lavelocidad de la luz en el dielectrico. Ahora, escribiremos las soluciones de la forma

V (x, t) = vinc(t−√LCx) + vref (t+

√LCx)

I(x, t) = iinc(t−√LCx) + iref (t+

√LCx)

Es decir, dentro de la lınea pueden existir ondas incidentes y reflejadas. Ademas, debecumplirse

−L∂I(x, t)

∂t=∂V (x, t)

∂x

6

luego∂I(x, t)

∂t= − 1

L

−√LC

∂

∂uvinc(u) +

√LC

∂

∂uvref (u)

∂I(x, t)

∂t=

√C

L

∂

∂uvinc(u)−

√C

L

∂

∂uvref (u) =

∂I(u)

∂u

Ası

I(u) =

√C

Lvinc(u)−

√C

Lvref (u)

Finalmente

I(x, t) =1√L/C

vinc(t−√LCx)− 1√

L/Cvref (t+

√LCx)

Se define la impedancia caracterıstica Z0 de la lınea como

Z0 =

√L

CΩ

de forma que

I(x, t) =1

Z0

vinc(t−√LCx) +− 1

Z0

vref (t+√LCx) = iinc(t−

√LCx) + iref (t+

√LCx)

De aquı se obtienen las siguientes relaciones

iinc(x, t) =vinc(x, t)

Z0

iref (x, t) = −vref (x, t)Z0

NotaPara lıneas sin perdidas, la impedancia caracterıstica esta determinada por un numero real.Algunos valores tıpicos son 50 y 75 Ω para un cable coaxial comun, unos 100 Ω para un partrenzado y cerca de 300 Ω para un par de cobre usado en radiocomunicaciones

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0.4. Regimen transistorio en lıneas sin perdidas y cargas

resistivas

Consideremos la lınea de transmision sin perdidas de la figura, cuya impedancia caracterısti-ca es Z0 = R0. En x = 0 se encuentra un interruptor, el cual es cerrado en t = 0. En el extremoderecho se aprecia una carga resistiva RL conectada a la lınea. A partir de la fuente V0 sepropagaran un voltaje y una corriente hacia la carga resistiva. Inicialmente se tiene

vin(0, 0+) =V0R0

R0 +RG

= V1(V )

La corriente incidente en ese instante esta dada por

iin(0, 0+) =vin(0, 0+)

Z0

=vin(0, 0+)

Z0

=V0

RG +R0

= I1(A)

Tanto el voltaje como la corriente se propagaran en forma de ondas hacia la carga, convelocidad

v =1√LC

de forma que alcanzan al extremo de la carga en un tiempo igual a

τ =l

v

donde l es el largo de la lınea. En ese instante, el voltaje incidente es vinc(l, τ) = V +, yademas se generara un voltaje reflejado, V − = vref (l, τ). Ası, el voltaje en la carga sera lasuperposicion de ambos

VL = V + + V −

Lo mismo ocurre para la corriente

IL =1

R0

(V + − V −

)y debe cumplirse que

RL =VLIL

=V + + V −

1R0

(V + − V −)

Definimos el coeficiente de reflexion en la carga ΓL como

ΓL =V −

V +

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´de forma que

RL = R01 + ΓL

(1− ΓL)

y se obtiene

ΓL =RL −R0

RL +R0

Es decir, habra un voltaje reflejado en la resistencia siempre y cuando RL 6= R0.Con esto, el voltaje en la carga en t = τ esta dado por

VL(τ) = V (l, τ) =V0R0

RG +R0

(1 + ΓL)

y la corriente

IL(τ) = I(l, τ) =V0

RG +R0

(1− ΓL)

La intensidad de las ondas reflejadas en la carga en τ+ estan dadas por

V2 = V1ΓL = V1ΓL =V0R0

RG +R0

ΓL

I2 = V1ΓL = −I1ΓL = − V0

RG +R0

ΓL

Estas ondas alcanzaran al extremo transmisor en t = 2τ , y en t = 2τ+ se reflejaran en eltransmisor. Definiendo

ΓG =RG −R0

RG +R0

V3 = ΓLΓGV1 = ΓGV2

I3 = ΓLΓGI1 = −ΓGI2

Y ası ocurriran sucesivas reflexiones en ambos extremos de la lınea. Notar que los coeficientesde reflexion son menores que uno, de forma que las ondas reflejadas despues de un cierto tiemposon practicamente nulas, y se alcanza un estado de regimen permanente Nota

Figura 3: La figura muestra las reflexiones en los extremos de la lınea en funcion del tiempo

Cuando se envıa potencia a traves de una lınea de transmision, lo mas deseable es que toda esapotencia enviada sea transmitida a la carga, sin que exista potencia reflejada hacia la fuente.A partir del analisis recien visto, se aprecia que esta condicion ideal se logra haciendo que laimpedanca de fuente y carga sean cada una iguales a Z0 (la impedancia caracterıstica de lalınea), caso en el cual se dice que la lınea de transmision esta adaptada

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ProblemaUna lınea de transmision sin perdidas de 90 Ω, con εr = 2,78, se conecta en t = 0 a una fuentecontınua de 70 V, que tiene una resistencia interna de 120 Ω. Si la lınea es de 135 metros,encuentre el tiempo necesario para que el voltaje en el extremo abierto de la lınea (carga) seael 97 % del valor alcanzado en estado de regimen. ¿Cuando llega a ser el 99.8 % del valor deregimen permanente?

SolucionLa velocidad de propagacion en la lınea esta dada por la velocidad de la luz en el dielectrico

v =3× 108

√εr

= 1,79928× 108

El tiempo que demora una senal en recorrer el largo total de la lınea es, entonces

τ =L

v

donde L = 135 m. Evaluando

τ = 7,503× 10−7s

El voltaje que se alcanza en regimen permanente en el extremo de la linea es igual a 70Volts (circuito abierto). El 97 % de este voltaje es

V97 = 0,97× 70 = 67,9

El coeficiente de reflexion en la carga esta dado por

ΓL =RL→∞RL − Z0

RL + Z0

= 1

donde Z0 es la impedancia caracterıstica de la lınea, Z0 = 90 Ω. El coeficiente de reflexionen el generador es

ΓG =RG − Z0

RG + Z0

= 0,142857

En el extremo del generador, al momento de la conexion (t = 0) se tiene un voltaje

Vi1 =VGZ0

Z0 +RG

= 30

En t = τ se refleja un voltaje en la carga dado por

Vr1 = Vi1ΓL = 30

En ese instante, el voltaje total en la carga alcanza un valor de

Vcarga,τ = Vi1 + Vr1 = 60

En t = 2τ se refleja un voltaje en el generador

Vi2 = Vi1ΓLΓG = 4,28571

En t = 3τ− este voltaje alcanza la carga. Con esto, el voltaje total en la carga en ese instantees de

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Vcarga,3τ− = Vi1 + Vr1 + Vi2 = 64,26571

En t = 3τ+ este voltaje es reflejado en la carga. Ası, el voltaje total en la carga en eseinstante es de

Vcarga,3τ+ = Vi1 + Vr1 + Vi2 + Vr2 = 68,5714

el cual es mayor al solicitado. El tiempo que tarda entonces es 3τ = 2,2509×10−6 segundos.

Ahora, el 99,95 % del Voltaje en regimen permanente es

V2 = 70× 0,9995 = 69,965

En t = 4τ se refleja un voltaje en el generador dado por

Vi3 = Vi1Γ2LΓ2

G = 0,612245

En t = 5τ este voltaje alcanza a la carga y es reflejado

Vr3 = Vi1Γ3LΓ2

G = 0,612245

En este instante el voltaje en la carga es

Vcarga,5τ+ = Vi1 + Vr1 + Vi2 + Vr2 + Vi3 + Vr3 = 69,79589

En t = 6τ es reflejado un voltaje en el generador

Vi4 = Vi1Γ3LΓ3

G = 0,0874636

En t = 7τ− este voltaje llega a la carga, y entonces

Vcarga,7τ− = Vi1 + Vr1 + Vi2 + Vr2 + Vi3 + Vr3 + Vi4 = 69,88335

Es decir, en t = 7τ = 5,2521× 10−6 el voltaje en la carga ya ha alcanzado un 99,8 % de suvalor de regimen

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ProblemaUna lınea de transmision sin perdidas de 60 metros de largo, con Z0 = 50 Ω y velocidad de fase2× 108 m/s esta terminada con un cortocircuito. La lınea se conecta en t = 0 a una fuente de30 V cuya resistencia interna es de 25Ω. Dibuje el voltaje en el extremo transmisor desde t = 0hasta el tiempo en que el voltaje cae bajo los 0, 1 V

Solucion

En t = 0, en el extremo del generador se tendra un voltaje inicial de

Vi1 =30Z0

RG + Z0

=30× 50

75= 20V

Este voltaje se propagara hacia el extremo derecho y lo alcanzara en un tiempo igual a

τ =L

v=

60

2× 108= 30× 10−8s

Veamos los coeficientes de reflexion. En la carga es

ΓL =0− 50

0 + 50= −1

Es decir, todo es reflejado con un cambio de fase. En el generador

ΓG =25− 50

25 + 50= −0,333

En t = τ es reflejado un voltaje igual a

Vr1 = −20 = Vi1ΓL

En t = 2τ , es reflejado un voltaje nuevamente hacia la carga dado por

Vi2 = Vi1ΓLΓG = 6,66

Y el voltaje total en el extremo transmisor es

Vt,2τ = Vi1 + Vr1 + Vi2 = 6,66V

Ası, en t = 3τ , se produce una reflexion en la carga

Vr2 = Vi2ΓL = −6,66

En t = 4τ este voltaje vuelve al extremo transmisor y es parcialmente reflejado

Vi3 = Vr2ΓG = 2,21778 = Vt,3τ

Del mismo modo, en t = 6τ , se tendra en el extremo transmisor

Vi4 = −2,21778×−0,333 = 0,73852

y en t = 8τ

Vi5 = −0,73852×−0,333 = 0,24592

y en t = 10τ

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Vi6 = −0,24592×−0,333 = 0,08189V

Finalmente, la secuencia es la siguiente

Vt = 20V, 0 < t < 2τ

Vt = 6,66V, 2τ < t < 4τ

Vt = 2,2178V, 4τ < t < 6τ

Vt = 0,738V, 6τ < t < 8τ

Vt = 0,24592V, 8τ < t < 10τ

Vt = 0,08189V, 10τ < t < 12τ

El voltaje en el extremo transmisor ha caıdo a menos de 0,1 V en t = 10τ

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0.5. Lıneas con perdidas

Consideremos ahora un caso mas general, en donde se consideran las perdidas resistivas enla lınea y el dielectrico. En la siguiente figura se muestra un circuito equivalente para este caso

La diferencia de voltaje entre x y x+ ∆x es

V (x+ ∆x)− V (x) = −R∆xI(x, t)− L∆x∂I(t, x)

∂t

En el lımite cuando ∆x→ 0, se tiene

∂V (t, x)

∂x= −RI(x, t)− L∂I(x, t)

∂t

De la misma forma, se tiene para la corriente

I(x+ ∆x)− I(x) = −G∆xV (x, t)− C∆x∂V (x, t)

∂t

En el lımite cuando ∆x→ 0

∂I(x, t)

∂x= −GV (x, t)− C∂V (x, t)

∂t

En resumen, el sistema de ecuaciones diferenciales acoplado para V (x, t) e I(x, t) es

∂V (t, x)

∂x= −RI(x, t)− L∂I(x, t)

∂t

∂I(x, t)

∂x= −GV (x, t)− C∂V (x, t)

∂t

Derivando la primera con respecto a x

∂2V (t, x)

∂x2= −R ∂

∂xI(x, t)− L∂

2I(x, t)

∂t∂x

Derivando la segunda con respecto a t

∂2I(x, t)

∂x∂t= −G ∂

∂tV (x, t)− C∂

2V (x, t)

∂t2

Reemplazando en la primera

∂2V (t, x)

∂x2= −R ∂

∂xI(x, t) + LG

∂

∂tV (x, t) + LC

∂2V (x, t)

∂t2

∂2V (t, x)

∂x2= RGV (x, t) +RC

∂V (x, t)

∂t+ LG

∂

∂tV (x, t) + LC

∂2V (x, t)

∂t2

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∂2V (t, x)

∂x2= RGV (x, t) + (RC + LG)

∂V (x, t)

∂t+ LC

∂2V (x, t)

∂t2

Procediendo de forma similar, es posible demostrar que la corriente satisface exactamentela misma ecuacion, es decir

0.6. Caso Sinusoidal

Las ecuaciones generales de la lınea de transmision pueden ser resueltas de forma sencillasi existe una dependencia armonica en el tiempo. Al igual que en el caso de ondas electro-magneticas monocromaticas, buscaremos soluciones de la forma

V (x, t) = V (x)eiwt

I(x, t) = I(x)eiwt

donde, por supuesto, los voltajes y corrientes fısicos corresponden a la parte real de estasmagnitudes. De esta forma

∂V (x, t)

∂t= iwV (x)e−iwt

entonces

∂2V (x)

∂x2=(RG+ iw (RC + LG)− w2LC

)V (x)

Las ecuaciones para la lınea de transmision quedan de la siguiente forma

∂2V (x)

∂x2= (R + iwL) (G+ iwC)V (x) = γ2V (x)

∂2I(x)

∂x2= (R + iwL) (G+ iwC) I(x) = γ2I(x)

Se definen

Z = (R + iwL)

Y = (G+ iwC)

asıγ =√Z√Y

Las soluciones estan dadas por

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V (x) = V +e−√ZY x + V −e

√ZY x

I(x) = I+e−√ZY x + I−e

√ZY x

Ademas, debe cumplirse

dV (x)

dx= − (R + iwL) I(x) = −ZI(x)

I(x) = − 1

Z

dV (x)

dx= − 1

Z

d

dx

(V +e−

√ZY x + V −e

√ZY x)

I(x) =

√ZY

Z

(V +e−

√ZY x − V −e

√ZY x)

Es decir

I(x) =1√Z/Y

(V +e−

√ZY x − V −e

√ZY x)

donde√Z/Y es la impedancia caracterıstica de la lınea, denotada por

Z0 =√Z/Y =

√R + iwL

G+ iwCΩ

Notar que para el caso sin perdidas, (R = G = 0), se recupera la expresion Z0 =√L/C. El

numero complejo γ se conoce como constante de propagacion

γ =√ZY =

√(R + iwL) (G+ iwC) = α + iβ

Ahora, consideremos una lınea de transmision de impedancia caracterıstica Z0, como semuestra en la figura

Se escoge x = 0 en el extremo de la carga. El voltaje y la corriente en la carga estan dadospor

VL = V + + V −

IL =1

Z0

(V + − V −

)Ademas en la carga debe cumplirse que

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ZL =VLIL

=V + (1 + ΓL)

V +/Z0 (1− ΓL)= Z0

1 + ΓL1− ΓL

donde ΓL es el coeficiente de reflexion de la carga

ΓL =V −

V +

Despejando, se obtiene la misma expresion que para el caso sin perdidas

Γ =ZL − Z0

ZL + Z0

donde ahora Γ podrıa ser un numero complejo. A una distancia x = l de la carga, se tendra

V (l) = V +eγl + V −e−γl = V +(eγl + ΓLe

−γl)I(l) =

V +

Z0

(eγl − ΓLe

−γl)

El voltaje se puede reescribir inteligentemente como

V (l) =V +

2(1 + ΓL)

(eγl + e−γl

)+V +

2(1− ΓL)

(eγl − e−γl

)lo que es equivalente a

V (l) = VL cosh γl + ILZ0 sinh γl

del mismo modo

I(l) = IL cosh γl +VLZ0

sinh γl

Ası es posible obtener el voltaje y la corriente en cualquier punto de la lınea en terminosdel voltaje y la corriente en la carga (x = 0). La impedancia de la lınea a una distancia l de lacarga se define como la razon del voltaje total a la corriente total a una distancia l de la carga

Zin = Zl =V (l)

I(l)=V +(eγl + Γe−γl

)V +

Z0(eγl − Γe−γl)

Zin = Z0

(eγl + ZL−Z0

ZL+Z0e−γl

eγl − ZL−Z0

ZL+Z0e−γl

)

Zin = Z0

(ZL + Z0tanhγl

Z0 + ZLtanhγl

)Nota

Se puede definir como lınea de transmision de alta frecuencia a aquellas que estan especıfi-camente disenadas para transmitir ondas electromagneticas cuyas longitudes de onda sonpequenas (alta frecuencia) y, por tanto, comparables a la extension completa de la lınea. Bajoestas condiciones, la longitud fısica de la lınea puede ser pequena, pero dado que el tamano de la

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lınea es comparable a la longitud de onda, las aproximaciones utiles para bajas frecuencias, queasumen propagacion energetica instantanea entre dos puntos separados de un mismo conductor,dejan de tener sentido y se ponen de manifiesto fenomenos de retardo en la propagacion. Estoocurre con las senales de radio, de microondas y opticas, y con las senales que se encuentranen los circuitos digitales de alta velocidad.

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ProblemaUna lınea de transmision de alambres paralelos se define por los siguientes parametros

R = 4,11Ω/km

L = 0,00337H/km

G =0,29

106S/km

C =0,00915

106F/km

a) Encontrar Z0, γ y la impedancia de entrada a 20 km de distancia de una carga ZL =50 + i50, si la frecuencia de la lınea es f = 1000b) Repetir para el caso en que la lınea no es disipativa, es decir R = G = 0

Soluciona) La impedancia caracterıstica de la lınea a una frecuencia de 1 kHz esta dada por

Z0 =√R + i2πfLG+ i2πfC

Z0 = 612,515− i5,34784

Ademasγ =

√(R + i2πfL) (G+ i2πfC)

γ = 0,00345889 + i0,0350444 = α + iβ

A una distancia de 20 km de la lınea, la impedancia de la lınea esta dada por

Zin = Z0(ZL + Z0tanhγl)

Z0 + ZLtanhγl

Zin = 225,982 + i575,173

b) Si la lınea es no disipativa, entonces

Z0 =

√L

C= 606,882Ω

ademas γ es puramente imaginario (no hay atenuacion)

γ =√

(i2πfL) (i2πfC) = i0,0348904

La impedancia de la lınea a 20 km de la carga

Zin = Z0ZL + Z0tanhγl

Z0 + ZLtanhγl= 601,122 + i80,6435

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ProblemaUna lınea de transmision sin perdidas, de 80 cm de longitud, opera a 600 Mhz. Los parametrosde la lınea son L = 0,25 µH/m y C = 100 pF/m. Encuentre la impedancia caracterıstica dela lınea, la constante de fase, la velocidad de propagacion y el coeficiente de reflexion Γ si laimpedancia de carga es ZL = 100 Ω

SolucionLa impedancia caracterıstica de la lınea esta dada por

Z0 =

√L

C

pues se trata de una lınea sin perdidas. Evaluando

Z0 = 50Ω

Ademas, la constante de propagacion es

γ = α + iβ =√

(i2L) (i2πfC)

donde f = 600× 106 Hz

γ = i18,8496 = iβ

La velocidad de propagacion es

v =1√LC

= 2× 108m/s

Finalmente, el coeficiente de reflexion es

Γ =ZL − Z0

ZL + Z0

= 0,3333

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0.7. Lıneas sin distorsion

Vimos que en general, γ = α+ iβ puede ser un numero complejo cuya parte real es respon-sable de una atenuacion de los voltajes y corrientes a medida que se propagan en la lınea. Sedefine una lınea de distorsion como una lınea donde la constante de atenuacion α no dependede la frecuencia, y donde la constante de propagacion β es lineal en la frecuencia. Esto ocurresi la impedancia caracterıstica es real

Z0 =

√R + iwL

G+ iwC

es decir, se cumple queL

R=C

G

y entonces

Z0 =

√R

G=

√L

CΩ

En efectoγ =

√(R + iwL) (G+ iwC)

γ =√RG

√(1 + iw

L

R

)(1 + iw

C

G

)

γ =√RG

(1 + iw

L

R

)=√RG

(1 + iw

C

G

)o

γ =√RG+ iw

√LC = α + iβ

0.8. Lıneas con perdidas bajas

Si las perdidas de una lınea de transmision son pequenas, es decir RG << w2LC, entonces

γ =√

(R + iwL) (G+ iwC)

γ =√RG+ iwRC + iwLG− w2LC

γ = iw√LC

√1− RG

w2LC+RC + LG

iwLC

Despreciando el termino RG/w2LC y utilizando una expansion en taylor a primer orden en(RC + LG)/(iwLC)

γ ≈ iw√LC

(1− 1

2iRC + LG

iwLC

)

γ ≈ 1

2

(RC + LG√

LC+ iw

√LC

)21

Ası, la constante de atenuacion para una lınea poco disipativa es

α ≈ 1

2

(RC + LG√

LC

)y la constante de propagacion

β ≈ w√LC

Es aproximadamente igual que para una lınea no disipativa

0.9. Lıneas con perdidas altas

En este caso, RG >> w2LC

γ =√RG

√1 + iw

(C

G+L

R

)− w2

LC

RG

γ ≈√RG

√1 + iw

(C

G+L

R

)Utilizando la expansion en Taylor a primer orden en C/G+ L/R

γ ≈√RG

(1 +

1

2iw

(C

G+L

R

))Entonces, en el caso de una lınea altamente disipativa

α ≈√RG

y

β ≈ 1

2w

(C

√R

G+ L

√G

R

)

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ProblemaLas especificaciones para una lınea coaxial rıgida con dielectrico aire, utilizada en un radar queopera a 3 Ghz son las siguientes: Construıda en cobre, soportada por anillos de teflon cadacierto intervalo para mantener el dielectrico de aire, diametro externo 2,2225 cm, espesor de lapared 0,08128 cm, diametro del conductor interno 0,9525 cm, impedancia caracterıstica 46, 4Ω; atenuacion de 0,066 dB/m, maximo peak de potencia 1,31 kW, potencia de operacion 200W, mınima longitud de onda para operacion segura 5,28 cm

a) Determine los valores por metro de L,C, G, y Ra para la lınea, despreciando la induc-tancia internab) Determine la impedancia caracterıstica y la atenuacion correcta y compare los resultadoscon los entregados en la especificacion de la lınea

Soluciona) Los parametros relevantes en la geometrıa de la lınea coaxial son los siguientes

a =0,9525

2× 10−2

b =2,2225

2× 10−2

t = 0,08128× 10−2

La capacitancia por unidad de largo esta dada por

C =2πε0

ln(b/a)= 6,56573× 10−11F/m

La inductancia(externa) por unidad de largo es

L =µ0 ln(b/a)

2π= 1,6946× 10−7H/m

La resistencia AC por unidad de largo

Ra =

(1

a+

1

b

)1

2πσcδ

donde σc = 58×106 (S/m) es la conductividad del cobre y δ la profundidad de penetracion,la cual a una frecuencia de f = 3 Ghz esta dada por

δ =1√

πfµ058× 106m−1

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y entoncesRa = 0,682203Ω/m

La conductancia es nula, pues el dielectrico aire no tiene conductividad

G = 0S/m

b) La impedancia caracterıstica para una lınea de bajas perdidas a alta frecuencia es

R0 =

√L

C= 50,8032

La cual es mayor que la impedancia especificada (46, 8 Ω). Ademas, el coeficiente de aten-uacion es, aproximadamente

α ≈ 1

2

(RC + LG√

LC

)en este caso

α ≈ 1

2

(RC√LC

)= 0,00671417

Esto quiere decir que en la lınea existe una atenuacion (por unidad de largo) igual a

At = e−α = 0,993308

En decibeles

−20Log[At] = 0,0583185dB/m

la cual es menor a la especificada, de 0.0666 dB/m

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