TEORÍA DE CONTROL - Panel de Estado - Facultad de Ingeniería … 2 -Modelo de... ·...

TEORÍA DE CONTROL

MODELO DE ESTADO

Teoría de Control

Definiciones: (Ogata)

Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables

(denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables

en t = to, junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ to, determina por completo

el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t ≥ to.

Variables de estado. Las variables de estado de un sistema dinámico son las que

forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema

dinámico.

Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir por completo

el comportamiento de un sistema determinado, estas n variables de estado se

consideran los n componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de

estado.

Espacio de estados. El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas están

formados por el eje x1, el eje x2,. . . , el eje xn, se denomina espacio de estados.

Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados

MODELO DE ESTADO

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Ecuaciones en el espacio de estados.

En el análisis en el espacio de estados, existen tres tipos de variables :

variables de entrada,

variables de salida y

variables de estado.

1 1 1 1

2 2 1 1

1 1

( ) ( ... , ... , )

( ) ( ... , ... , )

...

( ) ( ... , ... , )

n r

n r

n n n r

x t f x x u u t

x t f x x u u t

x t f x x u u t

),,()( tuxftx

1 1 1 1

2 2 1 1

1 1

( ) ( ... , ... , )

( ) ( ... , ... , )

...

( ) ( ... , ... , )

n r

n r

p p n r

y t g x x u u t

y t g x x u u t

y t g x x u u t

),,()( tuxgty

Teoría de Control

Sistemas lineales.

1 11 1 1 11 1 1

2 21 1 2 21 1 2

1 1 1 1

( ) ... ...

( ) ... ...

...

( ) ... ...

n n r r

n n r r

n n nn n n nr r

x t a x a x b u b u

x t a x a x b u b u

x t a x a x b u b u

)()()( tuBtxAtx

1 11 1 1 11 1 1

2 21 1 2 21 1 2

1 1 1 1

( ) ... ...

( ) ... ...

...

( ) ... ...

n n r r

c n n r r

n n pn n dp pr r

y t c x c x d u d u

y t a x c x d u d u

y t c x c x b u d u

)()()( tuDtxCty

MODELO DE ESTADO

Teoría de Control

Elección de las Variables de Estado

E KwIa

s La Ra

BJs

IKt

a

Ra Kw E

Ia IaLa La La

a IKtBJ

J

B

J

KtI a

0 1

0 0

00 1 0

0 0 1

Ra Kw

La LaIa Ia LaKt B

EJ J

Ia

Ia La Ia Ra E Kw

EJEMPLO 1

MODELO DE ESTADO

Se consideran condiciones iníciales nulas para las variables .

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


0 1

0 0

00 1 0

Ra Kw

La LaIa Ia LaKt B

EJ J

T

x Eg

0 0 0

0 0 0

0 0 0 =

0 1

0 0 0

0 0

B

Ra

La

J

T Kt

Eg KwIa

V RaE

V Ra Kw

T B

T Kt B

B

T

x T

La

T

x V

SI NO NO

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

0 1

0 0

00 1 0

0 0 1

Ra Kw

La LaIa Ia LaKt B

EJ J

Ia

Ra=2 W

La=5 mHy

J=0.005 Nms2

B1=0.005 Nms

Kt=0.7 Nm/A

Kw=0.8 Vs

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


1111 RIVV C

11

3

21

2

14321 CV

R

VV

R

VIIII C

CCC

1 211

1 1 1 1 2 3 1 3

1 1 1C CC

V VVV

C R C R R R C R

22

2

12 CV

R

VI C

C

22

12

RC

VV C

C

11 1 1 2 3 1 31 1 1

22

2 2

0 1

3 2

3 3

1 1 1 1 11

1

00

0 1

1 1

CC

CC

C

C

VV C R R R C RC R V

VV

C R

V V

I VR R

EJEMPLO 2

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


1

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )n n

n ns X s s X s sX s X s R s

1

1 1 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )m m

m mC s s X s s X s sX s X s

)()()(...)()( 111

)1(

11

)(

1 trtxtxtxtx nn

nn

1

DenominadorNumerador

R(s) C(s)X (s)1

1

1 2

1 2 1

( ) 1

( ) ...n n n

n n

X s

R s s s s s

1

1 2 1

1

( )...

( )

m m

m m

C ss s s

X s

1

1 2 1

1 2

1 2 1

...( )( )

( ) ...

m m

m m

n n n

n n

s s sC sG s

R s s s s s

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


1 2

2 3 1

( 2)

2 1 1

( 1)

1 1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

....

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n

n n

n

n n

x t x t

x t x t x t

x t x t x t

x t x t x t

)()()(...)()( 1211 trtxtxtxtx nnnn

)()()(...)()( 1211 trtxtxtxtx nnnn

txtxtxtxtc mmmm 1122211 ...

)(

1

0

...

0

0

)(

...

10...00

.........

00...00

00...10

)(

121

trtxtx

nn

1 1( ) ... 0 ... 0 ( )m mc t x t

MODELO DE FASE

)()()(...)()( 111

)1(

11

)(

1 trtxtxtxtx nn

nn

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


Para el caso del motor3 2

( )( )

( )

Kt

s JLaG sRa B Ra B Kt KwE s

s s sLa J La J

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 1 0 0

0 0 1 0 ; 0 0

10

x x xKt

x x u y xJLa

x Ra B Kt Kw Ra B x x

La J La J

EJEMPLO 1

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Función de Transferencia

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

( ) ( ) ( )Y s G s U s

( ) ( )

( ) ( )

U s u t

Y s y t

L

L

1 11 12 11 1 12 2

1

2 21 22 21 1 22 2

2

3 31 32 31 1 32 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y s g s g s g s u s g s u su s

y s g s g s g s u s g s u su s

y s g s g s g s u s g s u s

ò+

+B

X(t) Y(t)

A

CX(t).

U(t)

G(s)U(s) Y(s)

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Función de Transferencia

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

( ) ( ) ( ) ; (0) 0sX s AX s BU s x

( ) ( ) ( )sX s AX s BU s ( ) ( )sI A X s BU s

1

( ) ( )X s sI A BU s

1

( ) ( )Y s C sI A B D U s

( ) ( ) ( )Y s G s U s 1

( )G s C sI A B D

Aplicando Transformada de Laplace

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

FCFCKRRR 1.0 ; 9.0100 21 ; 321 W

11

1

22

0 1

5 5

3 2

33.33 11.11 11.11

100 0 0

0 1

10 10

CC

CC

C

C

VVV

VV

V V

I V

33.33 11.11

100

ss I A

s

1

2

11.11

100 33.33

s +33.33s +1111

s

ss I A

1

2

2

11.11

( ) 11.11100 33.33 ( )

( ) 0s +33.33s +1111

C

C

s

V s sU s

V s

11 1 1 2 3 1 31 1 1

22

2 2

0 1

3 2

3 3

1 1 1 1 11

1

00

0 1

1 1

CC

CC

C

C

VV C R R R C RC R V

VV

C R

V V

I VR R

EJEMPLO 2

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

FCFCKRRR 1.0 ; 9.0100 21 ; 321 W

11 1 1 2 3 1 31 1 1

22

2 2

0 1

3 2

3 3

1 1 1 1 11

1

00

0 1

1 1

CC

CC

C

C

VV C R R R C RC R V

VV

C R

V V

I VR R

0

5 5 2

3

11.11

( ) 0 1 11.11100 33.33 ( )

( ) 10 10 0s +33.33s +1111

s

V s sU s

I s

0

3

2

2

1111

( )( )

( ) 0.0001111( 100)

33.33 1111

33.33 1111

s s

s s

V sU s

I s s

30

3

2

2

3

33.33 1111

1Si ( )

1111

( )

( ) 0.0001111( 100)

33.33 1111

s s

U Ss

V s

s

s

I s

s

s s

(-16.67 )0

-5 -5 (-16,67 )3

( ) -1 1.155cos(28.87 -0.5236)*

( ) 10 - 1.018 10 cos(28.87 -0.1901)

t

t

V t t e

I t t e

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Solución del Vector de Estado.

Si se considera una ecuación diferencial lineal de primer orden:

La solución resulta:

Ahora para el vector x(t) se ensaya la siguiente solución:

Se debe cumplir que:

y

( ) ( ) ( )

dx ta x t b u t

dt

( )

0

( ) (0) ( )

t

at a tx t e x e b u d ò

( )

0

( ) (0) ( )

t

At A tx t e x e B u d ò

( 0) (0)x t x

( ) ( ) ( )

dx tA x t B u t

dt

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


Propiedades de

At Atde Ae

dt

Ate

0Ae I

Ate Es no singular para todo t finito

1 2 1 2( )At At A t te e e

1

( )At A te e

( )n

At A nte e

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


( 0) (0)x t x

( ) ( ) ( )

dx tA x t B u t

dt

0

0 ( )

0

0

(0) (0) ( ) (0)A A t

I

x e x e B u d x ò

0 0

( , ) ( , ) ( , )

t t

t

t t

f t d f t d f tt t

ò ò

( )

0

( ) (0) ( )

t

At A tdx t e x e B u d

dt

ò

( ) ( )

0

( ) (0) ( ) ( )

t

At A t A t

tx t Ae x Ae B u d e Bu

ò

( )

0

( )

( ) (0) ( ) ( )

t

At A t

x t

x t A e x e B u d Bu t

ò

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


( ) ( ) ( )x t A x t B u t Aplicando transformada de Laplace

( ) (0) ( ) ( )sX s x A X s B U s ( ) (0) ( )sI A X s x B U s

1 1

( ) (0) ( )X s sI A x sI A B U s

11( )t L sI A

0

( ) ( ) (0) ( ) ( )

t

x t t x t B u d ò ( ) Att e

Antitransformando (sI-A)-1

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


Ra=2 W

La=5 mHy

J=0.005 Nms2

B1=0.005 Nms

Kt=0.7 Nm/A

Kw=0.8 Vs

400 160 0 200

140 1 0 0

0 1 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Ia Ia

E

Ia

y

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


400 160 0 200

140 1 0 0

0 1 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Ia Ia

E

Ia

y

400 160 0

140 1 0

0 1

s

sI A s

s

2 4

( 1) 160 0

140 ( 400) 0

140 ( (40 401 2,28 00) 1 )

s s s

Adj sI A s s s

s s s

2 4( 1)( 400) (160)( 1 ( 40140) 2.28 10 )Det sI A s s s s s s s

2 4

2 4

1

( 1) 160 0

140 ( 400) 0

140 ( 401 2,28 10 )

( 401 2.28

( 400)

10 )

s s s

s s s

ssI A

s

ss

s

s

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


2 4

2 4

( 1) 160 0

140 ( 400) 0(0) 200

140 ( 400)( ) (0

( 401 2,28 10) 0 (

)

401 2,2)

(08 0

)1

0

s s

s s s

s s s

s s sIa Ia

ss U s

1.3(0)

(0) 122.5

(0) 2.0

100( )

AmpIa

rads

rad

U ss

2 4

2 4

( 1) 160 020000

140 ( 400) 0 1.3

14 ( 4010 ( 400 2,28 10 )

401 2,28

)( ) 122.5

2.0 10

s s

s s s

s

s s s

s sIa s

ss

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


2 4

2 4

3 2 4

2 2 4

0.13 - 1.93987 10 200

122.5 4.9182 10 28000

2 924.5 9.4782 10 28000

401 2,28 1( )

0

s s

s s s

Ia s s s

s ss

s

(-68,59 ) (-332,4 )

(-68,59 ) (-332,4 )

(-68,59 ) (-332,4 )

0.008772 73.88 75.17

( ) 1.228 153 31.75

(1.228 4.136) 2.231 0.09553

t t

t t

t t

Ia e e

t e e

t e e

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Controlabilidad y observabilidad. (Ogata)

Se dice que un sistema es controlable en el tiempo to si se puede llevar de cualquier

estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin

restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

Se dice que un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado

x(to), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante

un intervalo de tiempo finito. Se supone que la entrada u(t) es conocida en el intervalo.

SCOU(s) Y(s)

SCO

SCO

SCO

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

1 1

1 2

2 2

3 4

1 2

C

C

C

e V VI

R R

e V VI

R R

V V X

I CX

4 2 1 3 4 3 1 22

1 2 3 4 3 4 2 3 4

·( ) - ( )V =

( ( ) ) · ·

R R R R e R R R R X

R R R R R R R R R

1 2 3 4 1 4 2 3

1 2 4 3 3 4 2 3 4

( )( ) ( )

(

R R R R X R R R R eX

C R R R R R R R R R

2

- V =

2

e X

XX

CR

Si R1=R2=R3=R4=R

X no es

controlable

desde e(t)

X es

observable

desde V2(t)

Controlabilidad y Observabilidad.

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

1 1 1 3

2 2 2 4

E X X C R

E X X C R

11

1 3

22

2 4

E XX

C R

E XX

C R

El circuito permite controlar las variables de estado salvo el caso en que las

constantes de tiempo de ambas ramas sean iguales. En este caso las dos

variables se comportan de la misma manera para una dada entrada y no puedo

diferenciarlas y el sistema resulta incontrolable desde e(t)

Si planteo la salida en V2 no se puede obtener información del valor de la

variable X1 por que las dos ramas están desacopladas. El sistema resulta

inobservable desde V2

Controlabilidad y observabilidad.

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Verificación de Controlabilidad y Observabilidad.

Sistemas MIMO

Un sistema de orden n con r entradas y q salidas

es controlable , si y sólo si , la matriz compuesta U [nxnr] , denominada

matriz controlabilidad, es de rango n.

Matriz Controlabilidad:2 2 1 | | | ...| | n nU B AB A B A B A B

es observable , si y sólo si , la matriz compuesta V [nqxn] , denominada

matriz observabilidad, es de rango n.

Matriz Observabilidad:

1

2

...nCA

CA

CA

C

V

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Para un modelo de orden n:

Si el rango de la matriz controlabilidad U (matriz observabilidad V) es j<n

entonces, habrá j variables de estado controlables (observables) y (n-j)

no controlables (no observables)

Sistemas SISO

Para un sistema SISO, tanto la matriz controlabilidad U como la matriz

observabilidad V, son matrices cuadradas. Por lo tanto, para que resulten de

rango igual a n, las matrices deben ser no singulares.

Entonces:

2 2 1det det | | | ...| | 0n nU B AB A B A B A B

1

det det 0...

n

C

CAV

CA

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

1 1

2

0

( ) ( ) ( )1 1

0

( ) 0 1 ( )

R R

L Lx t x t u t

R C C

y t x t

2

1 1

2

2

2

1 1

R R

L LU

C R C

1 1

2

1det

R RU

LC L R C

2

2

0 1

10

V

R C

det 0V

No será controlable si las

ctes de tiempo son iguales

Desde la salida solamente

es observable X2

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

a ba a b b

b a

R II R I R K

R I

1

1 1b p a p

KR R R R

K K

11

3 3

a b

x KI I x

R R

1 1 21 1

1 5

x u xC x

R R

2 2 2

2 2 4 1

2 4 3

b

x u x KC x I I x

R R R

1 2 1

2 2 2 1

31

pb

b

V x x

RI KV x x x

R K R

1 1 2 1

1 1 1 5 1 5

2 1 2 2

2 3 2 2 4 2 4

1 1 1

1 1 1 1

x x x uC R C R C R

Kx x x u

C R C R R C R

Teoría de Control

2

1 5 1 1 5 1 2 4 5

2 4

2 2

2 4 1 2 3 5 2 2 4

1 1 10

10

C R C R R C C R RU

R RK

C R C C R R C R R

MODELO DE ESTADO

1 1

2 2

3

1 1

11

p

V xRK

V xK R

1 1 1 5 1 51 1 1

2 2 2

2 42 3 2 2 4

1 1 10

11 1 10

C R C R C Rx x u

x x uK

C RC R C R R

2Rg U

2

1 5 1 1 5

1

1 2 3 5

1 1

0

C R C R RU U

K

C C R R

Si K=0 entonces

1 1Rg U U

Teoría de Control

3

2 4

1 1 2 3 1 5 2 2 4

2 4

2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 4

1 1

11

1 1

1 1

p

p p

RK

K R

V R RK

C R C R C R C R R

KR KR R RK

C R C R R K C R R K C R R

MODELO DE ESTADO

3

2

2 4

2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 4

11

( )

1 1

p

p p

RK

K RV V

KR KR R RK

C R C R R K C R R K C R R

2Rg V

Si K=0 entonces

2( ) 1Rg V V

221

1

( )( ) 0

( )

V sG s

U s Si K=0 entonces

Teoría de Control

Suponga una planta descrita por el siguiente modelo de estado:

Y considere una transformación lineal a través de una matriz no singular T, tal

que:

Reemplazando en el modelo:

Despejando la derivada:

MODELO DE ESTADO

Transformación de Modelo de Estado.

( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) x t A x t B u t y t C x t D u t

1( ) ( ) ; ( ) ( )x t T x t x t T x t

( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) T x t A T x t B u t y t C T x t D u t

1 1 ( ) ( ) x t T AT x t T B u t ( ) ( ) ( ) x t A x t B u t

1 1 A T AT B T B C CT D D

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

1111 RIVV C

11

3

21

2

14321 CV

R

VV

R

VIIII C

CCC

31

2

3211

1

11

11

111

RC

V

RRRC

V

RC

VV CC

C

22

2

12 CV

R

VI C

C

22

12

RC

VV C

C

2

1

333

0

1112

1

22

313211

2

1

1110

0

1

01

11111

C

C

C

C

C

C

V

V

RRI

V

VRCV

V

RC

RCRRRC

V

V


FCFCKRRR 1.0 ; 9.0100 21 ; 321 W

2

1

55

3

0

1

2

1

2

1

1010

10

0

11.11

0100

11.1133.33

C

C

C

C

C

C

V

V

I

V

VV

V

V

V

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


2

1

5

55

2

1

2

33

2

3

010

1010

01

11

C

C

C

C

V

V

V

V

R

RR

I

I 5 5 5

1

5 5 5

10 10 0 10 ;

10 0 10 10T T

1010

100

0100

11.1133.33

010

101055

5

5

55

A

0

11.11

010

10105

55

B

1010

100

1010

10

55

5

55

C

22,22-11,11-

77,7811,11-

A

10*3,33-

10*3,33-

4

4

B

01

1010

55

C

2

355

3

0

14

4

2

3

2

3 01

1010 ;

10*3,33-

10*3,33-

22,22-11,11-

77,7811,11-

I

I

I

VV

I

I

I

I

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

1 1

2 2

1 1

0.8 1

V xy

V x

4 4 41 1 1

4 4 42 2 2

10 10 10 0

4 10 2 10 0 10

x x u

x x u

1

1 1

2 2

1 1

0.8 1

T

V xx

V x

4 4

1

4 4

1 1 -0,5556 0,555610 10

0.8 1 0,4444 0,55564 10 2 10A T AT

4 4

4

-3.222 10 2.222 10

-3,0222 10 2222,22A

4 4 4

1

4 3 4

1 1 10 0 10 10

0.8 1 0 10 8 10 10B T B

1 1 -0,5556 0,5556 1 0=

0.8 1 0,4444 0,5556 0 1C CT

1 2 3 4 5

1 2

Si 10

0.01

10 4a b p

R R R R R K

C C F

R R R K K

W

W

Teoría de Control

Autovalores:

MODELO DE ESTADO


det( ) 0sI A

1 1 1det det det 0sI A sI T AT sI T T T AT

Como sI es una matriz diagonal se cumple:1 1 sI T T sI

1 1 1det det det 0sI A T sI T T AT T sI A T

1det det det det( ) det 0sI A T sI A T sI A

Esto significa que los autovalores de son los mismos que los de , es decir

que la transformación lineal no modifica los autovalores del modelo.A A

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

1 1 1 1 1 1... ... .....n

I

U B AB A B T B T ATT B T AT T B

1 1 1... nU T B AB A B T U

Como el rango de una matriz no cambia si se premultiplica o posmultiplica

por una matriz no singular .

Controlabilidad:


1Rango T U Rango U

Por lo tanto: Rango U Rango U

Entonces la controlabilidad no es afectada por la transformación del

modelo.

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Como el rango de una matriz no cambia si se premultiplica o posmultiplica

por una matriz no singular .

Observabilidad:


Rango VT Rango VPor lo tanto:

Rango V Rango V

Entonces la observabilidad no es afectada por la transformación del

modelo.

1

111

...... ...

....

I

nn

CT CCC TT AT CACA

V T VT

CACA CT T AT

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Formas Canónicas de Modelos de Estado

Modelos de estado en donde las matrices tienen formas especiales. En

general, se llega a estas formas aplicando una transformación lineal al

vector de estado.

1 2 3 1

1 2

0 1 0 ... 0 0 0

0 0 1 ... 0 0 0

( ) ... ... ... ... ... ... ( ) ( )...

0 0 0 ... 0 1 0

... 1

( ) ... 0 ... 0 ( ) ( )

n n

m

x t x t u t

a a a a a

y t c c c x t d u t

1 2

1 2 1

1 2

1 2 1

....( )( )

( ) ....

m m

m m

n n n

n n

c s c s c s cN sG s d

D s s a s a s a s a

Modelo Canónico Controlable

( ) detD s sI A

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Modelo Canónico Observable


1

1 2

2

1

0 0 ... 0 0

1 0 ... 0 0 ...

( ) ... ... ... ... ... ... ( ) ( )

0 0 ... 1 0 0

0 0 ... 0 1 ...

0

( ) 0 0 ... 0 0 1 ( ) ( )

m

n

n

b

a b

a

x t x t u tb

a

a

y t x t d u t

1 2

1 2 1

1 2

1 2 1

....( )( )

( ) ....

m m

m m

n n n

n n

b s b s b s bN sG s d

D s s a s a s a s a

( ) detD s sI A

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Modelo Canónico Diagonal


1

2

1

1 2 2 1

0 ... 0 0 0 1

0 ... 0 0 0 1

( ) ... ... ... ... ... ... ( ) ( )...

0 0 ... 0 0 1

0 0 ... 0 0 1

( ) ... ( ) ( )

n

n

n n n

x t x t u t

y t c c c c c x t d u t

11 2

1 2 1

( ) ... n n

n n

c cc cG s d

s s s s

Todos los i distintos

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Matrices de Transformación


Dado un modelo de estado controlable y observable:

( ) ( ) ; ( ) ( ) x t A x t B u t y t C x t D u t

Con 1 2

1 2 1det ....n n n

n nsI A s a s a s a s a

Transformación a Modelo Canónico Controlable

1 1

1 2 3 1

0 1 0 ... 0 0 0

0 0 1 ... 0 0 0

... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 ... 0 1 0

... 1n n

Ac P AP Bc P B Cc CP

a a a a a

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO


Puesto que el modelo es controlable las matrices U y Uc resultarán no

singulares :1 1... nUc Bc AcBc Ac Bc P U

Por lo tanto resulta:

Dada la topología de Ac y Bc, resulta:

1 1 1 y P UcU P UUc

2 3 1

3 4

1

... 1

... 1 0

... ... ... ... ... ...

1 ... 0 0 0

1 0 ... 0 0 0

n n

n

n

a a a a

a a a

Uc

a

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Transformación a Modelo Canónico Observable

1

2

1 1

1

0 0 ... 0 0

1 0 ... 0 0

... ... ... ... ... ... ; 0 0 ... 0 1 ;

0 0 ... 1 0

0 0 ... 0 1

n

n

a

a

Ao Q AQ Co CQ Bo Q B

a

a

Puesto que el modelo es observable las matrices V y Vo resultarán no

singulares :

1 1

... ...n n

Co C

CoAo CAVo Q VQ

CoAo CA

Teoría de Control

Sea entonces

MODELO DE ESTADO

Por lo tanto resulta:

Dada la topología de Ao y Co, resulta: 2 3 1

3 4

1

... 1

... 1 0

... ... ... ... ... ...

1 ... 0 0 0

1 0 ... 0 0 0

n n

n

n

a a a a

a a a

Vo

a

1 1 1 y Q V Vo Q Vo V

Transformación a Modelo Canónico Diagonal

1 y x T x x T x 1A T AT

Premultiplicando por T resulta

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

0 ... 0 ...

0 ... 0 ...

... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... ...

n n

n n

n n n nn n

t t t

t t tAT TA T

t t t

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Si se designa a cada columna de T como un vector:

Entonces cada columna de AT será

1 2 1...

T

i i i nin iv t t t t

1 1

2 2

1 1

... ...

i i

i i

i i i i

n i n i

ni ni

t t

t t

Av A v

t t

t t

Desarrollando se llega a:

Este sistema tiene solución si la matriz (iI-A) es singular, en este caso se

debe cumplir que:

Y por lo tanto los i son los autovalores de la matriz A

o sea 0i i i i iAv v I A v

0iDet I A

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO

Entonces la matriz T esta formada por los autovectores de A.

Dado que, para obtener el modelo transformado se necesita T-1 , la matriz T

debe ser no singular y por lo tanto todos los autovectores deben ser

linealmente independientes. Esto se cumple solamente si los i son todos

distintos.

TEORÍA DE CONTROL - Panel de Estado - Facultad de Ingeniería … 2 -Modelo de... ·...

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