Teoría de ECUACIONES ALGEBRAICAS - WordPress.com · El primer objetivo sólo se alcanza totalmente...

Teoría de

ECUACIONESALGEBRAICAS

L. COUDER A.

Teoría de

ECUACIONESALGEBRAICAS

Luciano Couder AlonsoDepartamento de Matemáticas

Escuela Superior de Física y MatemáticasInstituto Politécnico Nacional

México, 1996

A mis padres

Norberta y Francisco(en sus memorias)

A mi hijo Carlos

A mis hermanos

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN 13

0 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS 150.1 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.2 Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.3 Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190.4 Primos relativos y números primos . . . . . . . . . . . 230.5 El teorema fundamental de la aritmética . . . . . . . . 240.6 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1 LOS NÚMEROS COMPLEJOS 311.1 El conjunto de los números complejos . . . . . . . . . 311.2 Suma y multiplicación de complejos . . . . . . . . . . 341.3 Los complejos como parejas ordenadas . . . . . . . . . 411.4 Complejos conjugados. Valor absoluto de complejos . 421.5 Las raíces cuadradas de un complejo . . . . . . . . . . 461.6 Forma trigonométrica de un complejo . . . . . . . . . 501.7 Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.8 Resolución de la ecuación xn � z = 0 . . . . . . . . . . 581.9 Representación geométrica de las raíces de la ecuación

xn � z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.10 Las raíces n�ésimas de la unidad . . . . . . . . . . . . 631.11 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.12 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2 POLINOMIOS 752.1 Conjuntos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.2 Suma y multiplicación de polinomios . . . . . . . . . . 792.3 Divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 90

9

10 CONTENIDO

2.4 El algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . 932.5 El teorema del residuo y la división sintética . . . . . . 972.6 Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.7 Polinomios primos relativos y polinomios irreducibles . 1092.8 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3 RAÍCES DE POLINOMIOS 1173.1 Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.2 El teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . 1223.3 Multiplicidad de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.4 Raíces imaginarias de polinomios con coe�cientes reales1293.5 Raíces racionales de polinomios con coe�cientes enteros1313.6 Acotamiento de las raíces reales de polinomios con

coe�cientes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.7 Factorización de un polinomio en polinomios de raíces

simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.8 Relación entre las raíces y los coe�cientes de un poli-

nomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.9 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4 SEPARACIÓN DE RAÍCES 1634.1 Raíces aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.2 El signo de un polinomio para grandes y pequeños

valores de la indeterminada . . . . . . . . . . . . . . . 1644.3 El teorema de cambio de signo . . . . . . . . . . . . . 1684.4 El teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.5 El teorema de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.6 El teorema de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.7 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5 APROXIMACIÓN DE RAÍCES 2075.1 Sucesiones monótonas y acotadas . . . . . . . . . . . . 2085.2 El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 2135.3 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.4 El método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2185.5 El método de regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225.6 El error de aproximación en el método de regula falsi . 2315.7 El método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355.8 El error de aproximación en el método de Newton . . 244

CONTENIDO 11

5.9 El error de aproximación al combinar los métodos deregula falsi y de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5.10 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485.11 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2516.1 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 2516.2 Matriz de coe�cientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales. Método

de reducción de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.4 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

A SOLUCIÓN PORRADICALES DE LAS ECUACIONESDE SEGUNDO, TERCER Y CUARTO GRADOS 273A.1 El discriminante de una ecuación . . . . . . . . . . . . 274A.2 La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . 275A.3 El discriminante de la ecuación de segundo grado . . . 276A.4 La ecuación de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . 277A.5 El discriminante de la ecuación de tercer grado . . . . 281A.6 La ecuación de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . 285

B EL USO DE LA COMPUTADORA 289

BIBLIOGRAFÍA 303

INTRODUCCIÓN

El presente libro es producto de la impartición, en repetidas ve-ces, del primer curso de álgebra en la Escuela Superior de Física yMatemáticas del Instituto Politécnico Nacional (ESFM�IPN). Losobjetivos centrales son resolver la ecuación algebraica

anxn + an�1x

n�1 + : : :+ a1x+ a0 = 0

y resolver un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.El segundo objetivo se alcanza totalmente, pues se proporciona unmétodo, el de Gauss, por medio del cual puede decidirse si un sis-tema dado tiene o no solución; y en caso de tener, decidir si tienesólo una o más de una; y en cualquiera de estos casos, encontrarlas.El primer objetivo sólo se alcanza totalmente en cuanto a las raícesreales de ecuaciones con coe�cientes reales.

Consta este trabajo de siete capítulos numerados de 0 a 6. Enel Capítulo 0 se estudian algunas propiedades elementales de la a-ritmética de números enteros; además de que su presentación facilitael estudio del Capítulo 2, algunos resultados aquí vistos serán útilesen las demostraciones de otros, en capítulos siguientes. En el Capí-tulo 1 se estudian los números complejos y se resuelven algunas ecua-ciones algebraicas de tipo particular. En el Capítulo 2 se estudian lasexpresiones de la forma anxn+an�1xn�1+: : :+a1x+a0; denominadaspolinomios, y que aparecen en el miembro izquierdo de las ecuacionesalgebraicas. En el Capítulo 3, se aborda formalmente el problema deencontrar las raíces de un polinomio, es decir, de resolver la ecuaciónalgebraica anxn + an�1xn�1 + : : : + a1x + a0 = 0: En el Capítulo 4se estudia el problema de separar las raíces reales de polinomios concoe�cientes reales. En el Capítulo 5, una vez que se tienen separadas

13

14 INTRODUCCIÓN

las raíces reales de polinomios con coe�cientes reales, se dan métodospara encontrar valores aproximados de tales raíces. Finalmente enel Capítulo 6, se estudia el problema de resolver un sistema de mecuaciones lineales con n incógnitas.

Se supone el conocimiento de los números naturales N con susoperaciones y propiedades; lo mismo en cuanto a los números enterosZ; así como de los números racionales Q y de los números reales R:También se supone el conocimiento de las propiedades de orden,valor absoluto y de la exponenciación racional de los números reales;así como la propiedad arquimedeana y el concepto de intervalo enlos mismos. Finalmente, se supone el conocimiento del principio deBuen Orden y la demostración por inducción matemática.

Quiero expresar mi agradecimiento al Dr. Carlos Rentería Márquezy al Dr. Roberto S. Acosta Abreu, quienes aparte de haber sido misprofesores en algunos cursos, revisaron el presente trabajo. Tambiénexpreso mi agradecimiento a Ma. Eugenia Carrillo Hernández, quienpacientemente mecanogra�ó el manuscrito.

Luciano Couder Alonso

México, D.F., abril de 1996

Capítulo 0

PROPIEDADES DE LOSNÚMEROS ENTEROS

En este capítulo se estudiarán, brevemente, algunas propiedadeselementales de la aritmética de números enteros. Además de serútiles en posteriores resultados, son esencialmente las mismas queveremos en el álgebra de polinomios, en el capítulo 2.

0.1 Divisibilidad

De�nición (0.1.1).�Sean a; b 2 Z: Decimos que b divide a a (oque b es un factor de a o que a es un múltiplo de b) si existe q 2 Z talque a = bq:

Notación: Para decir que b divide a a escribiremos bja; y laexpresión b 6 ja signi�ca que b no divide a a: Por tanto, bja; si y sólosi, existe q 2 Z tal que a = bq: Además, b 6 ja; si y sólo si, a 6= bqpara todo q 2 Z:

Observación: Si a = bq y b 6= 0; entonces q es único. En efecto:si a = bq0; entonces bq0 = bq y como b 6= 0; se sigue que q0 = q:

15

16CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Proposición (0.1.2).�En Z :

1. bjb; para cada b 2 Z:

2. bj0; para cada b 2 Z:

3. 1ja y �1ja; para cada a 2 Z:

4. 0ja() a = 0:

5. Si bj1; entonces b = �1:

6. Si bja y ajb; entonces a = �b:

7. Si bja y ajc; entonces bjc:

8. Si bja y bjc; entonces bja+ c y bja� c:

9. Si bja; entonces bjac 8 c 2 Z:

10. Si bja y bjc; entonces bjas+ ct 8 s; t 2 Z:

11. bja() bj � a() �bja() �bj � a:

12. bja() b

�� jaj () jbj��a() jbj

�� jaj :Demostración: Sólo demostraremos (5) y (6), los demás se de-

jan como ejercicio al lector.

(5) Si bj1; entonces existe q 2 Z tal que 1 = bq, luego b 6= 0 y q 6= 0y también 1 = jbj jqj ; por lo tanto jbj � 1 y jqj � 1: Si jbj > 1;entonces 1 = jbj jqj > jqj � 1; lo cual es una contradicción. Asíque jbj = 1; de donde se sigue que b = �1:

(6) Si bja y ajb; entonces existen q1; q2 2 Z tales que a = bq1 yb = aq2; por lo tanto a = a(q1q2): Suponiendo que a 6= 0 (puessi a = 0; entonces b = 0), tenemos que 1 = q1q2; por tanto q1j1;y por (5) q1 = �1: Puesto que a = bq1; entonces a = �b:

q.e.d.

0.2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 17

Proposición (0.1.3).�Sean a; b 2 Z: Si bja; entonces a = 0 ójbj � jaj :

Demostración: Si bja; existe q 2 Z tal que a = bq; por lo tantojaj = jbj jqj : Si a 6= 0; entonces 1 � jbj y 1 � jqj ; de donde se sigueque jbj � jbj jqj ; o sea, jbj � jaj :

q.e.d.

0.2 Algoritmo de la división

Teorema (0.2.1).�Si a; b 2 Z y b 6= 0; entonces existen q; r 2 Z;únicos, tales que

a = bq + r con 0 � r < jbj :

En este caso a se llama dividendo, b se llama divisor, y los números q yr se llaman, respectivamente, el cociente y el residuo de dividir a por b:

Demostración:

I) Suponemos primero que a > 0 y b > 0 (jbj = b): En este casoprocederemos por inducción sobre a:

i) Si a = 1 : Como b > 0; entonces b � 1: Si b = 1; como1 = 1 � 1 + 0; elegimos q = 1 y r = 0: Si b > 1; como1 = b � 0 + 1; elegimos q = 0 y r = 1: En cualquier caso1 = bq + r con 0 � r < b:

ii) Suponemos el resultado cierto para a; es decir, suponemosque existen q1; r1 2 Z tales que a = bq1+r1 con 0 � r1 < b:

iii) Probaremos que el resultado es válido para a+1; es decir,probaremos que existen q; r 2 Z tales que a+ 1 = bq + rcon 0 � r < b: En efecto: Por hipótesis de induccióna = bq1+ r1 con 0 � r1 < b; entonces a+1 = bq1+ r1+1


con 0 < r1+1 � b: Si r1+1 < b; como a+1 = bq1+(r1+1);elegimos q = q1 y r = r1 + 1: Si r1 + 1 = b; se tiene quea + 1 = b(q1 + 1) + 0; por lo que en este caso elegimosq = q1 + 1 y r = 0: En cualquier caso a+ 1 = bq + r con0 � r < b:

II) Suponemos ahora que a = 0 y b > 0: Como 0 = b�0+0; elegimosq = 0 y r = 0; así obtenemos a = bq + r con 0 � r < b:

III) Suponemos que a < 0 y b > 0: Como a < 0; entonces 0 < �ay por (I), existen q1; r1 2 Z tales que �a = bq1 + r1 con0 � r1 < b; por lo tanto a = b(�q1)+(�r1): Si r1 = 0; elegimosq = �q1 y r = 0: Si 0 < r1; como a = b(�q1� 1)+ (b� r1) con0 < b� r1; elegimos en este caso q = �q1 � 1 y r = b� r1: Encualquier caso a = b q + r con 0 � r < b:

Observemos que de (I), (II) y (III) se sigue que si a 2 Z y b > 0;entonces existen q; r 2 Z tales que a = bq + r con 0 � r < b:

IV) Finalmente suponemos que a 2 Z y b < 0: Como b < 0; en-tonces 0 < �b; y por la observación anterior, existen q1; r1 2 Ztales que a = (�b)q1 + r1 con 0 � r1 < �b = jbj ; por tantoa = b(�q1) + r1 con 0 � r1 < jbj : Eligiendo q = �q1 y r = r1;obtenemos a = b q + r con 0 � r < jbj :

Probaremos ahora la unicidad de q y r :

Si existen q0; r0 2 Z tales que a = bq0 + r0 con 0 � r0 < jbj ;entonces bq + r = bq0 + r0; por tanto b(q � q0) = r0 � r; de dondese sigue que bjr0 � r; entonces, por la proposición (0.1.3), r0 � r = 0ó jbj � r0 � r: Pero jbj � r0 � r no es posible, porque 0 � r < jbjy 0 � r0 < jbj : Así que r0 � r = 0; por lo tanto r0 = r; por lo quetambién b(q0 � q) = 0; y como b 6= 0; entonces q0 = q:

q. e. d.

0.3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 19

0.3 Máximo común divisor

Dados a; b 2 Z no ambos cero, construimos el conjunto

A = fx 2 Z��x > 0; xja y xjbg:

Por el principio de buen orden, aplicado al conjunto

B = fy 2 Z j y > x; 8x 2 Ag;

es posible probar que A tiene elemento máximo, a este lo podemosde�nir como el máximo común divisor de a y b: Sin embargo, daremosotra de�nición, la cual facilita su estudio posterior y desde luegopuede probarse que es equivalente a la anterior.

De�nición (0.3.1).�Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Decimos qued 2 Z; d > 0; es máximo común divisor (mcd) de a y b; si:

i) dja y djb:

ii) Si c 2 Z es tal que cja y cjb; entonces cjd:

Notación: Para decir que d es máximo común divisor de a y b,escribiremos d = (a; b) ó d =mcd fa; bg:

Observación: Si d = (a; b); entonces d es único. En efecto: Sitambién d0 = (a; b); entonces por la de�nición, d0jd y djd0; luego por(6) de la proposición (0.1.2), d0 = d:

Lema (0.3.2).�Sean a; b 2 Z; con b 6= 0: Si bja; entonces

jbj = (a; b):

Demostración:


i) Como bjb y por hipótesis bja; entonces por (12) de la proposi-

ción (0.1.2), jbj��b y jbj ��a:

ii) Si c 2 Z es tal que cja y cjb; entonces por (12) de la proposición

(0.1.2), c

�� jbj :De (i) y (ii) se sigue que jbj = (a; b):

q.e.d.

Lema (0.3.3).�Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Si a = bq+ r; paraalgunos q; r 2 Z; entonces d = (a; b); si y sólo si, d = (b; r):

Demostración: Suponemos primero que d = (a; b) y probare-mos que d = (b; r):

i) Como d = (a; b); entonces dja y djb; y como a = bq+r; entoncesdjr; luego djb y djr:

ii) Si c 2 Z es tal que cjb y cjr; entonces cja; pues a = bq + r; porlo tanto cjb y cja; luego cjd:

De (i) y (ii) se sigue que d = (b; r):

Probaremos ahora que si d = (b; r); entonces d = (a; b): En efecto:Como a = bq+r; entonces r = b(�q)+a; luego si d = (b; r); entonces,por lo ya probado anteriormente, d = (a; b):

q.e.d.

Teorema (0.3.4) [Algoritmo de Euclides].�Dados a; b 2 Z; noambos cero, existe d = (a; b): Además, d es el mínimo entero positivopara el cual existen s; t 2 Z tales que d = as+ bt:

Demostración: Sin pérdida de generalidad podemos suponerque b 6= 0. Por teorema (0.2.1), existen q1; r1 2 Z tales que

a = bq1 + r1 con 0 � r1 < jbj :


Si r1 = 0; entonces por lema (0.3.2), jbj = (a; b): Si r1 > 0; nueva-mente por teorema (0.2.1), existen q2; r2 2 Z tales que

b = r1q2 + r2 con 0 � r2 < r1:

Si r2 = 0; entonces, por lema (0.3.2), r1 = (b; r1); y por lema (0.3.3)r1 = (a; b): Si r2 > 0; continuamos el proceso anterior, obteniéndosela siguiente tabla:

a = bq1 + r1 con 0 < r1 < jbjb = r1q2 + r2 con 0 < r2 < r1r1 = r2q3 + r3 con 0 < r3 < r2� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �rn�3 = rn�2qn�1 + rn�1 con 0 < rn�1 < rn�2rn�2 = rn�1qn + rn con 0 < rn < rn�1rn�1 = rnqn+1 + rn+1 con rn+1 = 0

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;(�)

El proceso termina cuando para alguna n 2 N; rn > 0 y rn+1 = 0;lo que siempre ocurre, pues en caso contrario el conjunto

fjbj ; r1; r2; r3; : : :g � N;

donde jbj > r1 > r2 > r3 > : : : ; no tendría elemento mínimo, lo quecontradiría el principio de buen orden.

A�rmamos que rn; el último residuo diferente de cero, es el mcdde a y b, es decir, rn = d = (a; b). En efecto: Procediendo de abajopara arriba en la tabla (�), por el lema (0.3.2), rn = (rn; rn�1) y porlema (0.3.3)

rn = (rn; rn�1) = (rn�1; rn�2) = : : : = (b; r1) = (a; b):

Veamos ahora que existen s; t 2 Z tales que rn = as + bt : Pro-cediendo de arriba para abajo en la tabla (�), se tiene que:

r1 = a(1) + b(�q1):


Si s1 = 1 y t1 = �q1; entonces

r1 = as1 + bt1:

Tambiénr2 = r1(�q2) + b;

por lo tanto r2 = a(�s1 q2) + b(�t1q2 + 1): Si s2 = �s1q2 yt2 = �t1q2 + 1; entonces

r2 = as2 + bt2:

Análogamente, de la tabla (�)

r3 = r2(�q3) + r1;

por lo tanto r3 = a(�s2q3 + s1) + b(�t2q3 + t1): Si s3 = �s2q3 + s1y t3 = �t2q3 + t1; entonces

r3 = as3 + bt3:

Continuando este proceso tenemos que

rn = asn + btn

donde sn = �sn�1qn + sn�2 y tn = �tn�1qn + tn�2: Eligiendos = sn y t = tn, obtenemos rn = d = as + bt; donde es claro ques; t 2 Z:

Finalmente demostraremos que d es el mínimo entero positivopara el cual existen s; t 2 Z tales que d = as+ bt : Sea c 2 Z; c > 0;tal que c = ax+ by con x; y 2 Z: Como d = (a; b); entonces dja y djby por lo tanto djax+ by; o sea, djc, luego d � c:

q.e.d.

Ejemplo: Calcular el mcd de 60 y 168.

Solución:

2 1 360 168 48 60 12 48

48 12 0

0.4. PRIMOS RELATIVOS Y NÚMEROS PRIMOS 23

Por tanto, 12 = (60; 168):

Observación: Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Si c 2 Z; c > 0; estal que c = ax+ by; con x; y 2 Z; no necesariamente c es el mcd dea y b. Sin embargo, si 1 = ax+ by; con x; y 2 Z; entonces 1 = (a; b):

Proposición (0.3.5).�Si a; b 2 Z; son no ambos cero, entonces(a; b) = (jaj ; jbj):

Demostración: Se deja al lector como ejercicio.

0.4 Primos relativos y números primos

De�nición (0.4.1).�Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Decimos quea y b son primos relativos, si 1 = (a; b):

Proposición (0.4.2).�Sean a; b; c 2 Z:

1. Si 1 = (a; b) y ajbc; entonces ajc:

2. Si 1 = (a; b); entonces 1 = (a; bn) 8n 2 N:

Demostración:

De (1): Como 1 = (a; b) entonces existen s; t 2 Z tal que1 = as + bt; luego c = a(cs) + bc(t): Claro que aja y por hipótesisajbc; por lo tanto ajc:

De (2): Procederemos por inducción sobre n:

i) Si n = 1 : Claro que 1 = (a; b) implica que 1 = (a; b1):

ii) Suponemos que el resultado es válido para n; es decir, supone-mos que 1 = (a; b) implica que 1 = (a; bn):


iii) Probaremos que el resultado es válido para n + 1; es decir,probaremos que 1 = (a; b) implica que 1 = (a; bn+1) : Como1 = (a; b); entonces existen s; t 2 Z tales que 1 = as + bt;y además, por hipótesis de inducción, 1 = (a; bn); por tantoexisten x; y 2 Z tales que 1 = ax+bny. Multiplicando miembroa miembro 1 = ax+ bny y 1 = as+ bt; obtenemos1 = a(axs+ bxt+ sbny) + bn+1(yt); por lo tanto 1 = (a; bn+1):

q.e.d.

De�nición (0.4.3).� Decimos que p 2 Z es número primo, sip > 1 y los únicos divisores positivos de p; son 1 y p mismo.

Proposición (0.4.4).�Sean a; b 2 Z y sea p un número primo.Entonces:

1) pja ó 1 = (a; p):

2) Si pjab; entonces pja o pjb:

Demostración:

De (1): Sea d = (a; p); entonces dja y djp; y por lo tanto d = 1 ód = p; de donde se sigue que pja ó 1 = (a; p):

De (2): Supongamos que p 6 ja; luego, por (1), 1 = (a; p): Comopor hipótesis pjab; entonces por proposición (0.4.2)(1), pjb:

q.e.d.

0.5 El teorema fundamental de la aritmética

Lema (0.5.1).�Si a 2 Z y a > 1; entonces el menor entero mayorque 1 y que divide a a; es un número primo.

0.6. EJERCICIOS 25

Demostración: Sea A = fm 2 N��m > 1 y mjag: Claro que

A 6= �; pues a 2 A: Por el principio de buen orden, A tiene unelemento mínimo, sea este p: A�rmamos que p es número primo. Enefecto: Si p no es primo, entonces existe q 2 Z; con 1 < q < p; talque qjp: Como pja; entonces qja; por tanto q 2 A; lo cual es unacontradicción a la elección de p:

q.e.d.

Teorema (0.5.2) [Teorema fundamental de la aritmética].�Sia 2 Z y a > 1; entonces a es primo ó existen p1; p2; : : : ; pk númerosprimos tales que

a = p1 � p2 � : : : � pk:

Además, si q1; q2; : : : ; qm son números primos tales que

a = q1 � q2 � : : : � qm;

entonces m = k y qi = pj para algunos i; j = 1; 2; :::; k:

Demostración: Se deja como ejercicio al lector.

0.6 EJERCICIOS

1. Sean a; b; c 2 Z: Decimos que c es combinación lineal de a y b,si existen x; y 2 Z tales que c = ax+ by:

1.1 Pruebe que 29 es combinación lineal de 5 y 7:

1.2 Escriba a 50 en dos formas diferentes como combinaciónlineal de 5 y 2:

1.3 Si dja; djb y d 6 jc; pruebe que c no es combinación linealde a y b:

1.4 Pruebe que 64 no es combinación lineal de 10 y 25:


1.5 Encuentre un entero m que no sea combinación lineal de28 y 49:

1.6 Sim divide a cualquier combinación lineal de a y b; pruebeque mja y mjb:

1.7 Decida si la ecuación 153 = 34x + 51y tiene solucionesenteras x y y:

1.8 Si c es impar, pruebe que la ecuación c = 14x + 72y notiene soluciones enteras x y y:

2. Si bjm para todo m 2 Z, pruebe que b = �1:

3. Si bja1; bja2; : : : ; bjan; pruebe que bja1 + a2 + : : :+ an:

4. Pruebe que:

4.1 8j(2n� 1)2 � 1; para cada n 2 N:4.2 6jn3 � n; para cada n 2 N:4.3 9jn3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3; para cada n 2 N:4.4 133j11n+2 + 122n+1; para cada n 2 N:4.5 Si a; b; c son dígitos, entonces 143 divide al número (cifrado)

abcabc:

5. Si a; b 2 Z; pruebe que a� bjan � bn; para cada n 2 N:

6. Sean a; b 2 Z; con b 6= 0: Pruebe que bja; si y sólo si, el residuode dividir a por b; es r = 0:

7. Aplicando el algoritmo de división, encuentre q y r para escribira = bq + r en los siguientes casos:

7.1 a = 0 y b = 5: 7.2 a = 138 y b = 11:7.3 a = 18 y b = 46: 7.4 a = �137 y b = 18:7.5 a = �23 y b = 52: 7.6 a = 14 y b = �8:7.7 a = 32 y b = �57: 7.8 a = �18 y b = �4:7.9 a = �28 y b = �46:7.10 a = m3 + 3m2 + 3m+ 2 y b = m+ 1 (m > 0):

8. Pruebe que (a; b) = (jaj ; jbj):

0.6. EJERCICIOS 27

9. Aplicando el algoritmo de Euclides y el ejercicio anterior, en-cuentre el mcd de:

9.1 a = 60 y b = 42: 9.2 a = �60 y b = 42:9.3 a = �35 y b = �49: 9.4 a = 82 y b = �36:9.5 a = 764 y b = �866: 9.6 a = �468 y b = �964:

10. Si (a; b) = 1; pruebe que la ecuación c = ax+by tiene solucionesenteras x y y; para cada c 2 Z:

11. Sean a; b; c 2 Z: Si d = (a; b); pruebe que la ecuaciónc = ax+ by tiene soluciones enteras, si y sólo si, djc:

12. Si d > 0 es tal que dja; djb y d = as+bt; pruebe que d = (a; b):

13. Si d = (a; b) y d = as+ bt; pruebe que (s; t) = 1 [?�son únicoss y t ?].

14. Si d = (a; b); a = dq1 y b = dq2; pruebe que (q1; q2) = 1:

15. Si cja y (a; b) = 1; pruebe que (b; c) = 1:

16. Si ajc; bjc y d = (a; b); pruebe que abjcd:

17. Si (a; b) = 1 y c 6= 0; pruebe que (a; b c) = (a; c):

18. Si k > 0; pruebe que (ak; bk) = k(a; b):

19. Si k 6= 0; pruebe que (ak; bk) = jkj (a; b)

20. Si (a; b) = 1; pruebe que (a+ b; a� b) = 1 ó 2:

21. Si (a; b) = 1; pruebe que (am; bn) = 1 para todo m;n 2 N:

22. Si (a; b) = k; pruebe que (an; bn) = kn para todo n 2 N:

23. Seanm;n; k 2 N: Simn = k2 y (m;n) = 1; pruebe quem = a2

y n = b2 para algunos a; b 2 N:

24. Si (a; c) = 1 y (b; c) = 1; pruebe que (ab; c) = 1:

25. Si b2ja2; pruebe que bja:

26. Si bnjan; pruebe que bja:


27. Si a 2 N y a 6= k2 para todo k 2 N; pruebe quepa =2 Q:

28. Si a 2 N y a 6= kn para todo k 2 N; pruebe que npa =2 Q:

29. Si a1; a2; : : : ; an son dígitos, pruebe que 9ja1a2 : : : an; si y sólosi, 9ja1 + a2+ : : :+ an (a1a2 : : : an es número cifrado).

Sugerencia: Pruebe y use que 9j10n � 1, para cada n 2 N:

30. Sean a0; a1; : : : ; an 2 Z; no todos cero. Decimos que d 2 Z;d > 0; es máximo común divisor (mcd) de a0; a1; : : : ; an; yescribimos d = (a0; a1; : : : ; an); si:I) dja0; dja1; : : : ; djan:II) Si c 2 Z es tal que cja0; cja1; : : : ; cjan; entonces cjd:

30.1 Si d = (a0; a1; : : : ; an); pruebe que d es único.

30.2 Pruebe que existe d = (a0; a1; : : : ; an); y además queexisten s0; s1; : : : ; sn 2 Z tales que

d = a0s0 + a1s1 + : : :+ ansn;

y que d es el mínimo entero positivo con esta propiedad.

Sugerencia: Proceda por inducción. De otro modo, de-�na A = fx 2 N j x = a0t0 +a1t1 + : : : + antn; cont0; t1; : : : ; tn 2 Zg, veri�que que A 6= �: Por el Principiode Buen Orden, A tiene elemento mínimo, pruebe que estesatisface (I) y (II).

31. Sean a; b; c 2 Z; no todos cero. Pruebe que (a; b; c) = ((a; b); c):

32. Sean a0; a1; : : : ; an 2 Z; no todos cero. Pruebe que(a0; a1; : : : ; an) = (ja0j ; ja1j ; : : : ; janj):

33. Sean a; b 2 Z; con a 6= 0 y b 6= 0. Decimos que m 2 Z;m > 0; es mínimo común múltiplo (mcm) de a y b; y escribi-mos m = [a; b] ó m =mcm fa; bg; si:I) ajm y bjm:II) Si a j s y b j s para algún s 2 Z; entonces mjs:

33.1 Si m = [a; b]; pruebe que m es único.

33.2 Dados a; b 2 Z� f0g, pruebe que existe m = [a; b].

0.6. EJERCICIOS 29

33.3 Pruebe que [a; b] = [ jaj ; jbj] :

33.4 Si a > 0 y b > 0; pruebe que [a; b] =a � b(a; b)

:

33.5 Si k > 0; pruebe que [ak; bk] = k[a; b]:

34. Escriba una de�nición de mcm de a; b 2 Z; sin la restricción deque a 6= 0 y b 6= 0:

35. Sean a0; a1; : : : ; an 2 Z; con ai 6= 0 para cada i = 0; 1; : : : ; n:Escriba una de�nición de mcm de a0; a1; : : : ; an: Además, enun-cie y pruebe ejercicios similares a 33.1, 33.2, 33.3, 33.4 y 33.5.

36. Factorice en primos los siguientes números: 834; 656; 383; 637;2831:

37. Si p es primo y pja1 � a2 � : : : � an; pruebe que pj ai para algúni = 1; 2; : : : ; n:

38. Si a 2 Z y a < �1; pruebe que existen primos p1; p2; : : : ; pntales que a = �p1 � p2 � : : : � pn:

39. Sean a = p�11 � p�22 � : : : � p�nn y b = p�11 � p�22 � : : : � p�nn ; donde

p1; p2; : : : ; pn son números primos tales que pi 6= pj ; si i 6= j;y donde �i � 0 y �i � 0; para cada i = 1; 2; : : : ; n:

39.1 Si d = p 11 � p 12 � : : : � p nn con 0 � i =mín f�i; �ig ; para

cada i = 1; 2; : : : ; n, pruebe que d = (a; b):

39.2 Si m = p�11 � p�22 � : : : � p�nn con 0 � �i =máx f�i; �ig ; para

cada i = 1; 2; : : : ; n; pruebe que m = [a; b]:

40. Sea n 2 N: Si 2n � 1 es primo, pruebe que n es primo

41. Sea a 2 N; a > 1: Si p 6 ja para cada primo p tal quep2 � a; pruebe que a es primo (Teorema de Eratóstenes).

42. Sean a; b 2 Z: Si p 2 Z; p > 1; es tal que pjab implica pja o pjb;pruebe que p es primo.

43. Si p es un número primo y n 2 N; pruebe que la suma de losdivisores positivos de pn�1 es

pn � 1p� 1 :

44. Pruebe que el conjunto de números primos no es �nito.

Capítulo 1

LOS NÚMEROSCOMPLEJOS

1.1 El conjunto de los números complejos

Uno de nuestros objetivos es la resolución de ecuaciones alge-braicas con una incógnita y de coe�cientes reales, es decir, de expre-siones de la forma

anxn + an�1x

n�1 + : : :+ a1x+ a0 = 0;

donde an; an�1; : : : ; a1; a0 son números reales llamados coe�cientesde la ecuación, x es la incógnita (o indeterminada) y n � 1; sian 6= 0; es el grado de la ecuación. Resolver la ecuación ante-rior signi�ca encontrar todos los valores numéricos de la incógnitax que la satisfagan, es decir, que al sustituir x por tales valores,llamados soluciones o raíces de la ecuación, y efectuar las opera-ciones indicadas, el primer miembro de la ecuación se reduzca a cero.Veremos enseguida que el conjunto de números reales no es su�cientepara resolver cualquier ecuación de coe�cientes reales. En efecto:

Consideremos la ecuación

x2 + 1 = 0: (1)

Supongamos que t 2 R es una solución de (1), entonces t2+1 = 0;por tanto t2 = �1: Si t > 0; entonces t2 > 0: Si t = 0; entonces

31

32 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS

t2 = 0: Si t < 0; entonces t2 > 0: Por tanto t2 6= �1; para todot 2 R: En consecuencia, no hay número real que satisfaga la ecuaciónx2 + 1 = 0:

Consideremos ahora la ecuación

x2 + x+ 1 = 0: (2)

Sabemos que las soluciones reales de una ecuación del tipo

ax2 + bx+ c = 0;

con a; b; c 2 R, son de la forma

�b�pb2 � 4ac2a

:

Suponiendo que s 2 R es una solución de la ecuación (2), en-tonces

s =�1 +

p�3

2ó s =

�1�p�3

2:

En el primer caso se tendría quep�3 = 2s+1; y en el segundo caso

se tendría quep�3 = �(2s + 1): En cualquier caso se tendría que

�3 = (2s + 1)2; donde 2s + 1 2 R; pues hemos supuesto s 2 R; yesto no es posible ya que, como vimos antes, el cuadrado de todonúmero real es positivo o cero. Así pues, tampoco hay número realque satisfaga la ecuación (2).

Lo que haremos enseguida es ampliar el sistema de los númerosreales, a un sistema de números donde, por lo menos, las ecuaciones(1) y (2) tengan soluciones. De hecho, como veremos más adelante,toda ecuación de coe�cientes reales o en el nuevo sistema, tendrásoluciones en éste.

Una solución de la ecuación (1) sería un número i tal que i2 = �1;el cual, como hemos visto, no puede ser número real. Las solucionesde la ecuación (2) serían números de la forma

�1�p�3

2:

1.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 33

Si en lugar de �3 dentro del radical, escribimos 3i2; y si intentamosextender las leyes de radicales de números reales, tendríamos

�1�p3i2

2=�1�

p3i

2:

Así que las soluciones de la ecuación (2) serían

�12+

p3

2i y � 1

2�p3

2i;

donde claro que �12 ;

p32 y�

p32 son números reales.

Motivados por las ideas anteriores, hacemos la siguiente

De�nición (1.1.1).�Un número complejo es una expresión de laforma a+ bi; donde a y b son números reales e i es un símbolo.

Si con C denotamos al conjunto de los números complejos, en-tonces C = fa+ bi j a 2 R y b 2 Rg:

La expresión a+ bi se llama forma normal de un número com-plejo. Al número real a se le llama la parte real de a + bi, y lodenotamos por a =Re(a + bi). Al número real b se le llama parteimaginaria de a+ bi; y lo denotamos por b =Im(a+ bi):

De�nición (1.1.2).�Decimos que dos números complejos a+ biy c+ di son iguales, y escribimos a+ bi = c+ di; si a = c y b = d:

Si b 6= 0; al número complejo a+bi se le llama número imaginario,y al complejo 0+bi se le llama número imaginario puro, y se le denotasimplemente por bi; esto es, bi = 0+bi: Al número complejo a+0i sele denota simplemente por a; es decir, a = a+ 0i; que es un númeroreal.

Por a� bi entenderemos el número complejo a+(�b)i; o sea que

a� b i = a+ (�b)i:


Análogamente�a+ bi = (�a) + bi;�a� bi = (�a) + (�b)i;

i = 0 + 1i;�i = 0 + (�1) i;

a+ i = a+ 1i:

1.2 Suma y multiplicación de complejos

De�nición (1.2.1).�Sean a+ bi y c+ di números complejos.

i) De�nimos la suma de a+ bi y c+ di; denotada por(a+ bi) + (c+ di); como:

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i:

ii) De�nimos la multiplicación de a + bi y c + di; denotada por(a+ bi) � (c+ di) o por (a+ bi)(c+ di); como:

(a+ bi) � (c+ di) = (ac� bd) + (ad+ bc)i:

Comentario: La suma de dos números complejos se ha de�nido,naturalmente, como el complejo cuya parte real es la suma de partesreales, y cuya parte imaginaria es la suma de partes imaginarias. Lamultiplicación se ha de�nido bajo la siguiente indicación:

Si x; y; v; ! 2 R; sabemos que

(x+ y)(v + !) = xv + y! + x! + yv:

Siguiendo esta idea, y como queremos i2 = �1; obtenemos

(a+ bi) � (c+ di) = ac+ bdi2 + adi+ bci

= (ac� bd) + (ad+ bc)i:

Teorema (1.2.2).�Los números complejos con las operaciones desuma y multiplicación antes de�nidas, constituyen un campo, es decir,satisfacen las siguientes propiedades:

1.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS 35

S1) 8z1; z2 2 C; z1 + z2 2 C:

S2) 8 z1; z2; z3 2 C; (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3):

S3) 8 z1; z2 2 C; z1 + z2 = z2 + z1:

S4) Existe un único elemento � 2 C tal que z + � = z; 8 z 2 C:

S5) 8 z 2 C; existe un único �z 2 C tal que z + (�z) = �:

M1) 8 z1; z2 2 C; z1 � z2 2 C:

M2) 8 z1; z2; z3 2 C; (z1 � z2) � z3 = z1 � (z2 � z3).

M3) 8 z1; z2 2 C; z1 � z2 = z2 � z1:

M4) Existe un único ` 2 C; tal que z � ` = z 8 z 2 C:

M5) 8 z 2 C; z 6= �; existe un único � 2 C tal que z � � = `:

D) 8 z1; z2; z3 2 C; z1 � (z2 + z3) = z1 � z2 + z1 � z3:

Demostración:

De (S1): Es consecuencia inmediata de la de�nición de suma.

De (S2): Sean z1 = a+ bi; z2 = c+ di y z3 = e+ fi; entonces

(z1 + z2) + z3 = ((a+ bi) + (c+ di)) + (e+ fi)

= ((a+ c) + (b+ d)i) + (e+ fi)

= ((a+ c) + e) + ((b+ d) + f)i

= (a+ (c+ e)) + (b+ (d+ f))i

= (a+ bi) + ((c+ e) + (d+ f)i)

= (a+ bi) + ((c+ di) + (e+ fi))

= z1 + (z2 + z3):

De (S3): Se deja al lector.

De (S4): Sea z = a + bi un complejo arbitrario, y consideremosel complejo 0 + 0i; entonces:

(a+ bi) + (0 + 0i) = (a+ 0) + (b+ 0)i

= a+ bi:


Por tanto, � = 0 + 0i es tal que z + � = z; 8 z 2 C:

Veamos ahora que � es único: Si también �0 es un complejo talque z + �0 = z; 8 z 2 C; entonces, en particular, � + �0 = � y�0 + � = �0: Como por (S3) � + �0 = �0 + �; entonces �0 = �:

En resumen, � = 0 + 0i es único tal que z + � = z;8 z 2 C.Como por notación 0 = 0 + 0i, entonces en lugar de � escribimossimplemente 0, o sea � = 0 + 0i = 0:

De (S5): Dado z = a+ bi; consideremos el complejo

�a� bi = (�a) + (�b)i:

Claro que

(a+ bi) + (�a� bi) = (a� a) + (b� b)i= 0 + 0i

= 0:

Así que dado z = a + bi; �z = �(a + bi) = �a � bi es tal quez + (�z) = 0: Veamos ahora que �z es único: Si también z0 es uncomplejo tal que z + z0 = 0; entonces

z0 = 0 + z0

= (�z + z) + z0

= �z + (z + z0)= �z + 0= �z:

Resumiendo, dada z = a + b i; �z = �a � bi es el único tal quez + (�z) = 0:

De (M1): Es consecuencia inmediata de la de�nición de multipli-cación.

De (M2): Se deja al lector.


De (M3): Sean z1 = a+ bi y z2 = c+ di; entonces

z1 � z2 = (a+ bi) � (c+ di)= (ac� bd) + (ad+ bc)i= (ca� db) + (da+ cb)i= (c+ di) � (a+ bi)= z2 � z1:

De (M4): Sea z = a+ b i un complejo arbitrario y consideremosel complejo ` = 1 + 0i: Claro que

z � ` = (a+ bi) � (1 + 0i)= (a� 0) + (0 + b)i= a+ bi

= z:

Así pues, ` = 1 + 0 i es tal que z � ` = z; 8 z 2 C:

Veamos ahora que ` es único: Si también `0 2 C es tal quez � `0 = z; 8 z 2 C; en particular ` � `0 = ` y `0 � ` = `0; y como`0 � ` = ` � `0; entonces `0 = `:

Puesto que por notación a + 0 i = a; entonces 1 + 0 i = 1, asíque, en lugar de ` escribiremos simplemente 1:

De (M5): Sea z = a+bi 6= 0 (a 6= 0 o b 6= 0); y sea � = x+yi uncomplejo tal que z � � = 1, es decir, (a + bi)(x + yi) = 1; entonces(ax� by) + (ay + bx)i = 1 y por lo tanto

ax� by = 1 (1)

ya y + b x = 0: (2)

Multiplicando (1) por a; y (2) por b; tenemos que

a2x� aby = a (3)

yaby + b2x = 0: (4)


Sumando miembro a miembro las ecuaciones (3) y (4), se tieneque a2x+ b2x = a; entonces (a2 + b2)x = a; y por tanto

x =a

a2 + b2:

Multiplicando ahora (1) por �b; y (2) por a; y haciendo un pro-ceso análogo al anterior, se tiene que

y =�b

a2 + b2:

Así pues, dado z = a+ bi 6= 0;

� =a

a2 + b2+

�ba2 + b2

i

es tal que z � � = 1. Veamos ahora que � es único: Si �0 es tal quez � �0 = 1; entonces

�0 = �0 � 1= �0 � (z � �)= (�0 � z) � �= (z � �0) � �= 1 � �= �:

En lugar de � escribimos z�1; o sea que, si z = a + b i 6= 0;entonces

z�1 =a

a2 + b2+

�ba2 + b2

i

es el único tal que z � z�1 = 1:De (D): Se deja al lector.

q.e.d.

Notación: Dados z1; z2 2 C; en lugar de z1+(�z2); escribimosz1 � z2; es decir,

z1 � z2 = z1 + (�z2):En particular, z � z = z + (�z): Análogamente,

�z1 � z2 = (�z1) + (�z2)


y�z1 + z2 = (�z1) + z2:

Puesto que las once propiedades anteriores (denominadas axio-mas de campo) son las mismas que cumplen los números reales, lasconsecuencias de ellas son también las mismas que se tienen paralos números reales. Para recordar algunas de ellas, enunciamos lasiguiente

Proposición (1.2.3).�Si z; z1; z2 2 C; entonces:

1. z � 0 = 0:

2. �z = (�1) z y � (�z) = z:

3. (z1)(�z2) = (�z1)(z2) = �(z1 z2):

4. (�z1)(�z2) = z1 z2:

5. Si z1 � z2 = 0; entonces z1 = 0 o z2 = 0:

6. Si z + z1 = z + z2; entonces z1 = z2:

7. Si z � z1 = z � z2 y z 6= 0; entonces z1 = z2:

8. Si z 6= 0; entonces (z�1)�1 = z:

Demostración: Ejercicio.

Observación: Considerando la notación b+0i = b y 0+i = i; porla conmutatividad de la multiplicación tenemos que ib = bi: Así quetambién escribimos a+ib en lugar de a+bi: Análogamente, podemosescribir bi+a ó ib+a en lugar de a+ bi; debido a la conmutatividadde la suma y a la notación a+ 0i = a y 0 + bi = bi = ib:

De�nición (1.2.4).�Sean z1; z2 2 C; con z2 6= 0: Se de�ne el

cociente de z1 y z2; denotado porz1z2; como

z1z2= z1 � z�12 :


De la de�nición anterior se deduce que z�1 = 1 � z�1 = 1

z:

Proposición (1.2.5).� Si z1; z2; z3; z4 2 C; con z2 6= 0 y z4 6= 0;entonces:

1. (z2 � z4)�1 = z�12 � z�14 :

2.z11= z1:

3.z1z2� z3z4=z1 � z3z2 � z4

:

4.z1z2+z3z2=z1 + z3z2

:

5.z1z2+z3z4=z1 � z4 + z2 � z3

z2 � z4:

6. Si z3 6= 0;z1z2z3z4

=z1 � z4z2 � z3

:

7.�z2z4

��1=z�12z�14

=z4z2:

8. �z2z4=�z2z4

=z2�z4

:

Demostración: Ejercicio.

De�nición (1.2.6).�Dados n 2 N y z 2 C; de�nimos z1 = z yzn+1 = zn � z: Si z 6= 0; de�nimos z�n =

�z�1�n y z0 = 1:

De la de�nición anterior se siguen las propiedades usuales, quese tienen en los números reales, para la exponenciación entera denúmeros complejos. Más adelante hacemos una observación sobreexponentes racionales.

1.3. LOS COMPLEJOS COMO PAREJAS ORDENADAS 41

Sea R el conjunto de los números complejos del tipo x + 0i, esdecir, R = fx+0i j x 2 Rg: Dados z1; z2 2 R, claramente z1+z2 2 Ry z1 � z2 2 R. Además, si z 2 R, entonces �z 2 R y si z 6= 0;z�1 2 R: De lo anterior se sigue que R, con las operaciones de C;es un campo (compruébese!) contenido en C y además es una copiadel campo de números reales R; lo que nos ha permitido escribirx+0i = x. Por las razones anteriores, convenimos que el campo de losnúmeros reales está contenido en el campo de los números complejos,simbólicamente, R � C: Se dice que un número complejo a+ bi esnúmero real si b = 0; y si b 6= 0; se dice que es número imaginario.

1.3 Los complejos como parejas ordenadas

Dadas las parejas ordenadas (a; b); (c; d) 2 R2, se tiene que(a; b) = (c; d); si y sólo si, a = c y b = d. Por lo tanto, al complejoa + bi lo podemos identi�car con la pareja ordenada (a; b) 2 R2; yescribiremos (a; b) = a+ bi. Observemos que

a = a+ 0i= (a; 0)

ybi = 0 + bi

= (0; b) :

En particular 1 = 1 + 0i = (1; 0) e i = 0 + i = (0; 1): La suma ymultiplicación de complejos como parejas ordenadas, quedan comosigue:

(a; b) + (c; d) = (a+ c; b+ d)

y

(a; b) � (c; d) = (ac� bd; ad+ bc):

Al identi�car al complejo a + bi con la pareja (a; b); de hechoestamos identi�cando al conjunto de los números complejos con elconjunto R2; o sea C = R2; y por lo tanto, geométricamente los


números complejos son los puntos del plano cartesiano, llamado tam-bién plano complejo.

1.4 Complejos conjugados. Valor absoluto decomplejos

De�nición (1.4.1).�Sea a+ bi un número complejo.

i) De�nimos el conjungado de a+ bi; denotado por a+ bi; como

a+ bi = a� bi:

ii) De�nimos el valor absoluto o módulo de a + bi; denotado porja+ bij; como la raíz cuadrada del número real a2 + b2; es decir,

ja+ bij =pa2 + b2:

Observación: Geométricamente el valor absoluto o módulo, deun complejo z; es la longitud del segmento que une el origen delplano complejo con el punto que representa a z:

1.4. COMPLEJOS CONJUGADOS. VALOR ABSOLUTODE COMPLEJOS43

Observación: Si z = a+ bi; entonces z � z = a2 + b2; de dondese sigue que jzj =

pz � z; y por lo tanto jzj2 = z � z:

Proposición (1.4.2).� Si z1 y z2 son números complejos, en-tonces:

i) (z1) = z1:

ii) z1 + z2 = z1 + z2:

iii) z1 � z2 = z1 � z2:

iv) z1 � z2 = z1 � z2:

v) Si z2 6= 0;�z1z2

�=z1z2:

Demostración: Sólo demostraremos (ii) y (iii). Los incisos (i),(iv) y (v) debe demostrarlos el lector.


De (ii): Sean z1 = a+ bi y z2 = c+ di; entonces:

z1 + z2 = (a+ bi) + (c+ di)

= (a+ c) + (b+ d)i

= (a+ c)� (b+ d)i= (a+ c) + (�b� d)i= (a� bi) + (c� di)= z1 + z2:

De (iii):

z1 � z2 = (a+ bi) � (c+ di)= (ac� bd) + (ad+ bc)i= (ac� bd)� (ad+ bc)i= (ac� bd) + (a(�d) + (�b)c)i= (a� bi) � (c� di)= z1 � z2:

q.e.d.

Proposición (1.4.3).�Si z1 y z2 son complejos, entonces:

i) jz1j = 0; si y sólo si, z1 = 0:

ii) j z1 j = j z1 j:

iii) j z1 � z2 j = j z1 j � j z2 j:

iv) j z1 + z2 j � j z1 j+ j z2 j:

v) Si z2 6= 0;��z1z2�� = jz1j

jz2j:

vi) j z1 j � j z2 j � j z1 � z2 j:

Demostración: Sólo demostraremos (iii) y (iv), los demás in-cisos debe demostrarlos el lector.

1.4. COMPLEJOS CONJUGADOS. VALOR ABSOLUTODE COMPLEJOS45

De (iii): Puesto que 8 z 2 C; j z j2 = z � z; entonces

j z1 � z2 j2 = (z1 � z2) � (z1 � z2)= (z1 � z2) � (z1 � z2)= (z1 � z1) � (z2 � z2)= j z1 j2 � j z2 j2

= (j z1 j � j z2 j)2:

por lo tanto j z1 � z2 j = j z1 j � j z2 jDe (iv):

j z1 + z2 j2 = (z1 + z2) � (z1 + z2)= (z1 + z2) � (z1 + z2)= z1 � z1 + z2 � z2 + z1 � z2 + z2 � z1:

O sea que

jz1 + z2j2 = z1 � z1 + z2 � z2 + z1 � z2 + z2 � z1: (1)

Observemos que z1 � z2 = z1 � z2 = z1 � z2 = z2 � z1: Tambiénobservemos que 8 z 2 C; z+z = 2Re z: Entonces de (1) se tiene que

j z1 + z2j2 = j z1 j2 + j z2 j2 + 2Re( z1 � z2): (2)

Puesto que 8 a; b 2 R; a � j a j =pa2 �

pa2 + b2; entonces

8 z 2 C; Re z � j z j:

De donde se sigue, por (2), que

j z1 + z2 j2 � j z1 j2 + j z2 j2 + 2j z1 � z2 j:

Por lo tanto

j z1 + z2 j2 � j z1 j2 + j z2 j2 + 2j z1 j j z2 j:

Como j z2 j = j z2 j; entonces

j z1 + z2 j2 � j z1 j2 + j z2 j2 + 2j z1 jj z2 j:

Por lo tanto

j z1 + z2 j2 � (j z1 j+ j z2 j)2:


En consecuenciaj z1 + z2 j � j z1 j+ j z2 j:

q.e.d.

Ejemplo: Hallar el valor absoluto del complejo

z =(4 + 3i)(1 + i)

1� 7i :

Solución:

jzj =

��(4 + 3 i)(1 + i)1� 7 i

��=

j(4 + 3 i)(1 + i)jj1� 7ij

=j4 + 3ijj1 + ijj1� 7ij

=

p25p2p

50= 1:

Observación: Si z es un número complejo, con z 6= 0, claro quez = j z j zjzj ; donde

�� zjzj�� = 1:

1.5 Las raíces cuadradas de un complejo

Naturalmente que encontrar las raíces cuadradas de un númerocomplejo z; es equivalente a resolver la ecuación X2 � z = 0:

Consideremos pues la ecuación X2 � z = 0; la que podemosescribir como X2 = z: Sea z = a+ bi y supongamos que X = x+ yies tal que X2 = z: Entonces (x + yi)

2 = a + bi; de donde se sigue

1.5. LAS RAÍCES CUADRADAS DE UN COMPLEJO 47

que x2 � y2 + 2x yi = a + bi; y por igualdad de números complejostenemos que

x2 � y2 = a y 2xy = b: (1)

Puesto que

(x2 + y2)2 = (x2 � y2)2 + 4x2y2;

entonces combinando esta ecuación con las ecuaciones (1), obte-nemos

(x2 + y2)2 = a2 + b2:

Puesto que x2 + y2 � 0, entonces

x2 + y2 =pa2 + b2: (2)

Como x2 � y2 = a, podemos escribir x2 = a+ y2, y combinandoesta ecuación con la ecuación (2), obtenemos

y2 =

pa2 + b2 � a

2;

de donde se sigue que

y = �

spa2 + b2 � a

2:

Análogamente, de x2 � y2 = a, podemos escribir y2 = x2 � a ycombinando esta ecuación nuevamente con la ecuación (2), se tieneque

x2 =

pa2 + b2 + a

2;

de donde se concluye que

x = �

spa2 + b2 + a

2:

Puesto que 2xy = b; entonces los signos de x y y, dependen delsigno de b: Así que, si b > 0; entonces x y y tienen el mismo signo,y si b < 0 entonces x y y tienen signos opuestos. En consecuenciatenemos que:


I) Si b > 0; las dos raíces de la ecuación X2 = a+bi vienen dadaspor:

X = �

0@spa2 + b2 + a2

+ i

spa2 + b2 � a

2

1A :

II) Si b < 0; las dos raíces de la ecuación X2 = a+bi vienen dadaspor:

X = �

0@spa2 + b2 + a2

� i

spa2 + b2 � a

2

1A :

III) Si b = 0; la ecuación X2 = a + bi se reduce a X2 = a; cuyasraíces son:

i) Si a � 0; X = �pa:

ii) Si a < 0; X = �ip�a:

Observación: Es claro de los casos I), II) y III), que las dosraíces cuadradas de un número complejo z 6= 0; son diferentes unade otra por un cambio de signo, es decir, si x1 es una raíz cuadradade z, entonces x2 = �x1 es la otra raíz cuadrada de z: De lo anteriorse deduce que las raíces de la ecuación cuadrática

Ax2 +B x+ C = 0;

donde A; B y C son números complejos, vienen dadas por

X =�B �W2A

;

donde W es una raíz de la ecuación

y2 = B2 � 4AC:

Ejemplos:

1.5. LAS RAÍCES CUADRADAS DE UN COMPLEJO 49

1) Encontrar las raíces cuadradas del complejo z = 4 + 3i.

Solución: Basta resolver la ecuación x2 = 4+3i, en donde a = 4y b = 3. Como b > 0; las raíces vienen dadas por

x = �

0@spa2 + b2 + a2

+ i

spa2 + b2 � a

2

1A :

Por lo tanto

x = �

0@sp16 + 9 + 42

+ i

sp16 + 9� 4

2

1A :

En consecuencia

x1 =3p2+

1p2i y x2 = �

3p2� 1p

2i:

Así pues, las raíces cuadradas de z = 4 + 3 i son:

3p2+

1p2i y � 3p

2� 1p

2i:

2) Resolver la ecuación x2 � (1 + i)x+ (6� 2i) = 0:

Solución: Claramente A = 1; B = �(1+ i) y C = 6� 2i: Por lotanto, las soluciones de la ecuación dada vienen dadas por

x =(1 + i)�W

2;

donde W es una raíz de la ecuación y2 = �24 + 10i:

Como las raíces de esta última sonW = 1+5i y �W = �(1+5i);entonces x1 = 1 + 3i y x2 = �2i son las raíces de

x2 � (1 + i)x+ (6� 2i) = 0:


1.6 Forma trigonométrica de un complejo

Dado z 2 C; en la sección anterior resolvimos la ecuación

x2 � z = 0:

En esta sección y la que sigue, estableceremos las condiciones pararesolver la ecuación más general

xn � z = 0:

Sea z = a+ ib un número complejo y sea r = j z j: Si z 6= 0; con-siderando su representación geométrica, sea � la medida del ánguloque forman el eje real positivo y el segmento que une el origen delplano complejo con el punto que representa a z; entonces se tieneque a = r cos � y b = r sen �: En consecuencia z = a + ib puede es-cribirse en la forma z = r(cos �+ i sen �): A � se le llama la amplitudo argumento de z; y escribimos � = arg z. Si z = 0; entonces r = 0;y por lo tanto z = r(cos � + i sen �) para cualquier �:

En consecuencia, todo complejo z = a+bi puede expresarse como

z = r (cos � + i sen �);

donde r = j z j y � = arg z; llamada forma trigonométrica de z:

Puesto que 8 m 2 Z;

cos(2m� + �) = cos(�)

1.6. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO 51

ysen(2m� + �) = sen(�);

entonces � = arg z puede tomar muchos valores, di�riendo cada dospor múltiplos de 2�. Será siempre conveniente elegir � de modo que�2� < � < 2�.

Dado z = a+bi; con a 6= 0 y b 6= 0; para determinar un argumento� de z podemos emplear la función tangente, pues por de�nición

tan(�) =sen(�)cos(�)

;

y las tablas trigonométricas, bajo las siguientes indicaciones:

Primero determinamos el ángulo agudo ! (positivo) por

! = tan�1jbjjaj ;

y luego:

i) Si a > 0 y b > 0; elegimos � = ! > 0 ó � = ! � 2� < 0:

ii) Si a < 0 y b < 0; elegimos � = ! + � > 0 ó � = ! � � < 0:


iii) Si a > 0 y b < 0; elegimos � = 2� � ! > 0 ó � = �! < 0:

iv) Si a < 0 y b > 0; elegimos � = � � ! > 0 ó � = �� ! < 0:

1.6. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO 53

Ejemplos:

Expresar en forma trigonométrica los siguientes números comple-jos:

1) z = �3 : En este caso r = 3 y � = �: Así que

z = 3(cos� + i sen �):

2) z = 7i : En este caso r = 7 y � = �2 : Así que

z = 7�cos

�

2+ i sen

�

2

�:

3) z = 12 �

p32 i : En este caso r = 1 y � =

5�3 ó � = ��

3 : Así que

z = cos

�5�

3

�+ i sen

�5�

3

�ó z = cos

��3

�+ i sen

��3

�:


4) z = 8� 8p3i : En este caso

r = 16;

Puesto que z = j z j zjzj ; entonces

z = 16�816 �

8p3

16 i�

= 16�12 �

p32 i�:

Y por el ejemplo (3)

z = 16

�cos

�5�

3

�+ i sen

�5�

3

��:

1.7 Fórmula de De Moivre

Seanz1 = r1(cos �1 + i sen �1)

y

z2 = r2(cos �2 + i sen �2)

1.7. FÓRMULA DE DE MOIVRE 55

dos números complejos en forma trigonométrica, entonces:

z1 � z2 = [r1(cos �1 + i sen �1)] � [r2(cos �2 + i sen �2)]= r1 � r2[(cos �1 + i sen �1) � (cos �2 + i sen �2)]= r1 � r2[(cos �1 cos �2 � sen�1sen�2) +

+i(cos �1sen�2 + sen�1 cos �2)]:

Puesto que

cos �1 cos �2 � sen �1 sen �2 = cos(�1 + �2)

y

cos �1 sen �2 + sen �1 cos �2 = sen (�1 + �2);

entonces

z1 � z2 = r1 � r2 [cos(�1 + �2) + i sen (�1 + �2)] : (1)

En consecuencia, el módulo del producto es el producto de losmódulos de los factores, y el argumento del producto es la suma delos argumentos de los factores.

Claro que si

z1 = r1(cos �1 + i sen �1);

z2 = r2(cos �2 + i sen �2);

...

zn = rn(cos �n + i sen �n);

entonces por (1), inductivamente, se tiene que

z1 � : : : � z2 = r1 � : : : � rn[cos(�1+ : : :+ �n)+ i sen (�1+ : : :+ �n)]: (2)

Si

z = r(cos � + i sen �)


es un complejo en forma trigonométrica, entonces por (2)

zn = rn [cos(n�) + i sen (n�)] : (3)

De (3) se sigue que si j z j = r; entonces j zn j = rn; y si arg z = �;entonces arg zn = n�:

Si j z j = 1; es decir, si

z = cos � + i sen �

entonces por (3) tenemos que

zn = cos(n�) + i sen (n�):

Perozn = [cos � + i sen �]n;

de donde se sigue la importante identidad conocida como fórmula deDe Moivre:

[cos � + i sen �]n = cos(n�) + i sen (n�); 8n 2 N:

Consideremos nuevamente los complejos en forma trigonométrica

z1 = r1(cos �1 + i sen �1)

y

z2 = r2(cos �2 + i sen �2);

con z2 6= 0; entonces

z1z2

=r1(cos �1 + i sen �1)

r2(cos �2 + i sen �2)

=r1(cos �1 + i sen �1)

r2(cos �2 + i sen �2)� cos �2 � i sen �2cos �2 � i sen �2

=r1r2

�(cos �1 cos �2 + sen �1sen �2) + i(sen �1 cos �2 � cos �1 sen �2)

cos2 �2 + sen2 �2

�

1.7. FÓRMULA DE DE MOIVRE 57

Como se sabe que

cos �1 cos �2 + sen �1 sen �2 = cos(�1 � �2);

sen �1 cos �2 � cos �1 sen �2 = sen (�1 � �2)y

cos2 �2 + sen2�2 = 1;

entonces

z1z2=r1r2[cos(�1 � �2) + i sen (�1 � �2)] : (4)

En consecuencia, el módulo del cociente es el cociente de losmódulos del dividendo y el divisor, y el argumento del cociente es ladiferencia de los argumentos del dividendo y el divisor.

Si z = cos � + i sen �; entonces z 6= 0; y puesto que1 = cos 0 + i sen 0; entonces por (4)

1

cos � + i sen �= cos(��) + i sen (��);

o sea que,

(cos � + i sen �)�1 = cos(��) + i sen (��):Como 8n 2 N

(cos � + i sen �)�n =�(cos � + i sen �)�1

�n;

por la fórmula de De Moivre se tiene que

(cos � + i sen �)�n = cos(�n�) + i sen (�n�):

En consecuencia, la fórmula de De Moivre es válida también paralos enteros negativos. Resumiendo tenemos que 8m 2 Z

[cos � + i sen �]m = cos(m�) + i sen (m�);

pues si m = 0 cada miembro de la identidad anterior tiene valor 1:


1.8 Resolución de la ecuación xn � z = 0

Veremos enseguida que la ecuación

xn � z = 0

donde z 2 C; z 6= 0 y n 2 N (n � 1); es soluble en el campo de losnúmeros complejos y que tiene exactamente n soluciones (o raíces)distintas. Para encontrar las soluciones, la fórmula de De Moivre nosserá de gran utilidad.

En lugar de xn � z = 0; con z 2 C; z 6= 0; podemos escribirxn = z: Tanto a z como al valor numérico complejo, si lo hay,de la incógnita x que resuelve la ecuación, los escribimos en formatrigonométrica, digamos

z = r(cos � + i sen �)

y

x = R(cos'+ i sen'):

Por lo tanto

[R(cos'+ i sen')]n = r(cos � + i sen �);

o sea,

Rn [cos'+ i sen']n = r(cos � + i sen �):

De donde se sigue, aplicando la fórmula de De Moivre al primermiembro de la ecuación, que

Rn[cos (n') + i sen (n')] = r(cos � + i sen �):

En consecuencia, Rn = r y n' = � + 2k� con k 2 Z; y por lotanto

R = npr y ' =

� + 2k�

n:

1.8. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN XN � Z = 0 59

Resumiendo, si z = r(cos � + i sen �), entonces

x = npr

�cos

� + 2k�

n+ i sen

� + 2k�

n

�(1)

donde k 2 Z; es un número complejo que es solución de la ecuaciónxn = z:

Ahora probaremos que el número de soluciones (o raíces) distin-tas, de la ecuación xn = z; es exactamente n; y que se obtienensustituyendo en la fórmula (1) los valores de k = 0; 1; : : : ; n � 1; esdecir, para cada valor de k = 0; 1; : : : ; n � 1 que se sustituya en lafórmula (1), se obtiene una solución distinta de las otras y son todaslas soluciones.

En efecto: considerando los enteros k y n; por el algoritmo de ladivisión tenemos que

k = nq + ` con 0 � ` < n:

(Así que ` es uno de los números 0; 1; : : : ; n� 1); y entonces

� + 2k�

n=

� + 2(nq + `)�

n

=� + 2nq� + 2`�

n

=� + 2`�

n+ 2q�;

por lo tanto

cos

�� + 2k�

n

�= cos

�� + 2`�

n

�y

sen�� + 2k�

n

�= sen

�� + 2`�

n

�:

Lo anterior dice que 8 k 2 Z; existe ` 2 f0; 1; : : : ; n� 1g tal que

cos

�� + 2k�

n

�+i sen

�� + 2k�

n

�= cos

�� + 2`�

n

�+i sen

�� + 2`�

n

�o sea, que a lo sumo hay n soluciones distintas de la ecuación


xn = r(cos � + i sen �);

y se obtienen al sustituir k = 0; 1; : : : ; n� 1 en la fórmula (1).

Sean ahora k1; k2 2 f0; 1; : : : ; n� 1g tales que k1 6= k2; y sean

xk1 =npr

�cos

� + 2k1�

n+ i sen

� + 2k1�

n

�y

xk2 =npr

�cos

� + 2k2�

n+ i sen

� + 2k2�

n

�:

Si xk1 = xk2 ; entonces

� + 2k1�

n=� + 2k2�

n+ 2s� con s 2 Z:

Por lo tanto2k1� = 2k2� + 2ns�;

y �nalmentek1 � k2 = ns:

Esto dice que k1 � k2 es un múltiplo de n; lo que no es posible, yaque 0 � k1 � n� 1 y 0 � k2 � n� 1; y por lo tanto

�(n� 1) � k1 � k2 � n� 1:

Resumiendo, si k1; k2 2 f0; 1; : : : ; n� 1g y k1 6= k2; entoncesxk1 6= xk2 :

Así pues, al sustituir cada k = 0; 1; : : : ; n � 1 en la fórmula (1),se obtiene una solución distinta de las otras, de la ecuación

xn = r(cos � + i sen �);

y son todas las soluciones.

En conclusión, todas las soluciones (o raíces) de la ecuación

xn = r(cos � + i sen �) (r > 0)

1.8. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN XN � Z = 0 61

vienen dadas por

x = npr

�cos

� + 2k�

n+ i sen

� + 2k�

n

�;

sustituyendo k = 0; 1; : : : ; n� 1:

Observación: Resolver la ecuación xn = z es equivalente a en-contrar las raíces n-ésimas del complejo z:

Ejemplo: Resolver la ecuación x3 = 8i:

Solución: En este caso es claro que r = j8ij = 8 y que� = arg 8i =

�

2; y por lo tanto

8i = 8(cos�

2+ i sen

�

2):

Así que la ecuación dada puede escribirse como

x3 = 8(cos�

2+ i sen

�

2);

y sus soluciones vienen dadas por

x =3p8

�cos

�2 + 2k�

3+ i sen

�2 + 2k�

3

�;

sustituyendo k = 0; 1; 2:

Para k = 0;

x0 = 2�cos

�

6+ i sen

�

6

�= 2

p3

2+1

2i

!=

p3 + i:

Para k = 1;

x0 = 2

�cos

5�

6+ i sen

5�

6

�= 2

�p3

2+1

2i

!= �

p3 + i:


Para k = 2;

x0 = 2

�cos

3�

2+ i sen

3�

2

�= 2(0� i)= �2i:

Así pues, las raíces o soluciones de x3 = 8i son:

x0 =p3 + i;

x1 = �p3 + i;

x2 = �2i:

1.9 Representación geométrica de las raícesde la ecuación xn � z = 0

De acuerdo con la sección anterior, si

z = r(cos � + i sen �);

entonces las raíces de la ecuación

xn � z = 0

vienen dadas por

x = npr

�cos

� + 2k�

n+ i sen

� + 2k�

n

�sustituyendo k = 0; 1; : : : ; n�1: De donde se sigue, inmediatamente,que todas las raíces tienen el mismo módulo R = n

pr; y por lo tanto,

geométricamente todas estan en la circunferencia de radio R = npr

y centro en el origen del plano.

Observemos ahora que la medida del ángulo entre dos raíces con-secutivas, para k = j y k = j+1; viene dada por la diferencia de losargumentos de estas raíces, o sea, por

� + 2(j + 1)�

n� � + 2j�

n=2�

n:

1.10. LAS RAÍCES N�ÉSIMAS DE LA UNIDAD 63

Y como son n raíces, entonces son n ángulos y por lo tanto, la sumade sus medidas es 2�: Así que, geométricamente las raíces parten ala circunferencia de radio R = n

pr y centro en el origen, en n arcos

iguales.

Ejemplo: Representamos enseguida las raíces de la ecuaciónx3 = 8i; resuelta en la sección anterior. Dichas raíces son:

x0 =p3 + i; x1 = �

p3 + i y x2 = �2 i:

1.10 Las raíces n�ésimas de la unidad

Encontrar las raíces n�ésimas de la unidad, signi�ca encontrarlas raíces o soluciones de la ecuación

xn � 1 = 0:

Puesto que1 = cos 0 + i sen 0;


la ecuación anterior la podemos escribir como

xn = cos 0 + i sen 0:

Y por lo visto anteriormente, sus raíces o soluciones vienen dadaspor

x = cos

�2k�

n

�+ i sen

�2k�

n

�;

sustituyendo k = 0; 1; : : : ; n� 1:

Debido a que

cos

�2k�

n

�+ i sen

�2k�

n

�= cos

�k2�

n

�+ i sen

�k2�

n

�;

por la fórmula de De Moivre tenemos que

cos

�2k�

n

�+ i sen

�2k�

n

�=

�cos

�2�

n

�+ i sen

�2�

n

��k:

En consecuencia, las raíces n�ésimas de la unidad, es decir, lasraíces de la ecuación

xn � 1 = 0

se obtienen al sustituir k = 0; 1; : : : ; n� 1 en la fórmula

x =

�cos

�2�

n

�+ i sen

�2�

n

��k;

y son precisamente

1 = !0; !; !2; : : : ; !n�1;

donde

! = cos

�2�

n

�+ i sen

�2�

n

�:

Geométricamente las raíces n�ésimas de la unidad están sobrela circunferencia de radio 1; con centro en el origen y, como vimosanteriormente, la dividen en n arcos iguales.

1.10. LAS RAÍCES N�ÉSIMAS DE LA UNIDAD 65

Lo anterior puede emplearse para resolver la ecuación

xm + xm�1 + : : :+ x+ 1 = 0:

En efecto: inductivamente o por multiplicación directa se com-prueba que

xm+1 � 1 = (x� 1)(xm + xm�1 + : : :+ x+ 1):

Como 1 = !0; !; !2; : : : ; !m son las raíces, distintas entre sí, dela ecuación xm+1 � 1 = 0; entonces

0 =�!k�m+1

� 1 =�!k � 1

� h�!k�m

+ : : :+ !k + 1i

para todo k = 0; 1; : : : ;m:

Si k � 1; entonces !k 6= 1; es decir !k � 1 6= 0; por lo tanto�!k�m

+ (!k)m�1 + : : :+ !k + 1 = 0

para todo k = 1; 2; : : : ;m:

Resumiendo,!; !2; : : : ; !m

son raíces de la ecuación

xm + xm�1 + : : :+ x+ 1 = 0:

Y son todas, pues si hubiera otra diferente de ellas, entonces tambiénlo sería de xm+1 � 1 = 0; lo que no es posible.

En conclusión, para resolver la ecuación

xm + xm�1 + : : :+ x+ 1 = 0

basta resolver la ecuación

xm+1 � 1 = 0;

cuyas raíces son1; !; !2; : : : ; !m;


donde

! = cos2�

m+ 1+ i sen

2�

m+ 1;

y de éstas,!; !2; : : : ; !m

son las raíces de

xm + xm�1 + : : :+ x+ 1 = 0:

Ejemplo: Resolver la ecuación x3 + x2 + x+ 1 = 0:

Solución: Basta resolver la ecuación

x4 � 1 = 0;

cuyas raíces vienen dadas por

x = cos2k�

4+ i sen

2k�

4

sustituyendo k = 0; 1; 2; 3: Y son precisamente:

Para k = 0; x0 = 1:

Para k = 1; x1 = ! = cos �2 + i sen�2 = i:

Para k = 2; x2 = !2 = cos� + i sen� = �1:

Para k = 3; x3 = !3 = cos 32 � + i sen32 � = �i:

Así pues, las raíces de x3 + x2 + x+ 1 = 0 son: i;�1; y �i:

1.11 Notas

1. En los números reales tenemos de�nida una relación de orden\ � " que cumple con las siguientes propiedades:

1.12. EJERCICIOS 67

i) 8x 2 R; x � x:

ii) Dados x; y 2 R; si x � y y y � x; entonces x = y:

iii) Dados x; y; z 2 R; si x � y y y � z; entonces x � z:

iv) 8 x; y 2 R; x � y o y � x:

Sin embargo, la relación de orden en los números reales nopuede ser extendida a los números complejos. De hecho, nose puede de�nir en los números complejos una relación quecumpla con todas las propiedades antes mencionadas.

2. Si x es un número real positivo y n es un número natural, connpx = x1=n denotamos al único número real positivo c tal que

cn = x: Puesto que un número complejo z 6= 0; tiene n raícesn�ésimas distintas, el símbolo n

pz = z1=n no representaría a

un complejo, sino a n posibles complejos. Sin la aclaraciónanterior podemos tener resultados como el siguente:

3 =p9 =

p(�3)(�3) =

p�3p�3 =

�p3i��p

3i�= �3:

Lo que es una contradicción. Por tanto, las leyes de exponen-ciación racional que se tienen en los números reales positivos,no se tienen en los complejos. Si z1 y z2 son números complejosy z = z1z2; lo más que podemos a�rmar es que cualquier raízn�ésima de z; será el producto de alguna raíz n�ésima de z1por alguna raíz n�ésima de z2:

1.12 EJERCICIOS

1. Sean z; z1; z2; z3 2 C: Pruebe que:

1.1 z � 0 = 0:1.2 �z = (�1)z:1.3 �(�z) = z:


1.4 (�z1) z2 = z1 (�z2) = � (z1z2) :1.5 (�z1) (�z2) = z1z2:

1.6 z1 (z2 � z3) = z1z2 � z1z3:1.7 Si z 6= 0; entonces

�z�1��1

= z:

1.8 Si z1 � z2 = 0, entonces z1 = 0 ó z2 = 0:1.9 Si z + z1 = z + z2; entonces z1 = z2:

1.10 Si z � z1 = z � z2 y z 6= 0; entonces z1 = z2:

2. Pruebe la proposición (1.2.5).

3. Sean z; z1 2 C con z 6= 0 y z1 6= 0; y sean m;n 2 Z: Pruebeque:

3.1 z�n =1

zn: 3.2 (zz1)

n = znzn1 :

3.3 (zn)m = znm: 3.4 znzm = zn+m:

3.5 ( zz1 )n = zn

zn1:

4. Escriba el conjugado de los siguientes complejos:

4.1 z = 3 + 2i: 4.2 z = �3 + i:4.3 z = 1

2 �43 i: 4.4 z = �8� 1

5 i:

5. Escriba en forma normal los siguientes números complejos:

5.1 z = (a+ 0i)(c+ di): 5.2 z = a+bic+0i (c 6= 0):

5.3 z = 3� 7i� 8� 2i: 5.4 z = 5� 2i� (6� 4i)i:5.5 z = 1+i

1�i �2�i1+i : 5.6 z = �i

(1+i)(2�i) :

5.7 z = 3�2i�5+i : 5.8 z = (2+i)(1�2i)

3�i :

5.9 z = 1+ii + �i

1�i : 5.10 z = (1+i)3

1�i :

5.11 z = i1+i+ i

1+i+ i1+i

: 5.12 z = (4+3i)(2�i)7�i +

�12 +

32 i�3:

6. Represente en el plano cartesiano los siguientes números com-plejos:

1.12. EJERCICIOS 69

6.1 z = 3 + 2i: 6.2 z = 1�3i1+3i :

6.3 z = �8 + 8p3i: 6.4 z = �i+ 1

i :

7. Calcule z � z; z + z; z � z y zzsi:

7.1 z = �3 + 5i: 7.2 z = 1�i7�2i :

7.3 z = 2� 7i: 7.4 z = (�3� 2i)(�1 + 2i):

8. Sean z; z1; z2; : : : ; zn 2 C: Pruebe que:

8.1 zn = ( z )n; para cada n 2 N:8.2 Si z 6= 0; z�1 = (z )�1:8.3 Si z 6= 0; z�n = ( z )�n; para cada n 2 N:8.4 z1 + z2 + : : :+ zn = z1 + z2 + : : :+ zn, para cada n 2 N

9. Si z; z1; z2 2 C; pruebe que:

9.1 jjz1j � jz2jj � jz1 � z2j :9.2 jz1 + z2j2 + jz1 � z2j2 = 2 jz1j2 + 2 jz2j2 :9.3 j�zj = jzj :9.4 jz1 � z2j = jz2 � z1j :9.5 jz1 � z2j es la longitud del segmento que une los puntos

que representan a z1 y z2 en el plano complejo.

9.6 jznj = jzjn ; para cada n 2 N:9.7 Si z 6= 0;

��z�1�� = jzj�1 :9.8 Si z 6= 0; jz�nj = jzj�n ; para cada n 2 N:

10. Si z1; z2; : : : ; zn 2 C, pruebe que:

10.1 jz1 + z2 + : : :+ znj � jz1j+ jz2j+ : : :+ jznj :10.2 jz1 � z2 � : : : � znj = jz1j jz2j : : : jznj :

11. Calcule el módulo de los siguientes números complejos:


11.1 z = i: 11.2 z = �i:11.3 z = 1 + i� 3 + 2i: 11.4 z = 1

i :

11.5 z = �12 +

p32 i: 11.6 z = 1�ip

2:

11.7 z = (4�3i)(1�2i)2�i : 11.8 z = (1+i)3(3�4i)4

(4�3i)5 :

11.9 z =

�12�p32i�8(6�8i)5

(�8�6i)6 : 11.10 z = (p3�2i)3(

p3�p7i)4

(�9+3i)+(2�3i) :

12. Calcule jzj si:

12.1 z = 1�xi1+xi con x 2 R:

12.2 z = x2 � 1 + 2xi con x 2 R:

13. Si jzj = 3; ¿cuál es el valor máximo que puede tomar��1 + z + z3��?14. Resuelva las siguientes ecuaciones:

14.1 x2 � 6� 8i = 0 14.2 x2 � i = 0:14.3 x2 � 24� 70i = 0: 14.4 2ix2 � 4� 6i = 0:14.5 x2 � 1�

p3i = 0: 14.6 x2 + 1

2 �p32 i = 0:

15. Pruebe que las soluciones de la ecuación Ax2+Bx+C = 0 decoe�cientes complejos A;B y C; vienen dadas por:

x =�B �W2A

;

donde W es cualquier solución de la ecuación

y2 = B2 � 4AC:

16. Resuelva las siguientes ecuaciones:

16.1 �2x2 + 2x� 5 = 0:16.2 x2 + 2ix� 1 = 0:16.3 x2 � (2 + 3i)x� 1 + 3i = 0:16.4 (2� 2i)x2 � (11 + 9i)x� 16 + 6i = 0:

1.12. EJERCICIOS 71

16.5 x2 � x+ 1 + i = 0:

17. Escriba en forma trigonométrica los siguientes números com-plejos:

17.1 z = �35 : 17.2 z = 6i:

17.3 z = �4� 3i: 17.4 z = 1� i:17.5 z = 1

2 �p32 i: 17.6 z = �3 + 3

p3i:

17.7 z = 1�p3� (1 +

p3)i: 17.8 z = �2 + i:

17.9 z = �8+8ip2: 17.10 z = 1 + cos�+ i sen�

17.11 z =�p3 + i

�n; con n 2 Z:

17.12 z =�1 +

p3�

�1�

p3�i�m

; con m 2 Z:

18. Interprete geométricamente la suma y la multiplicación denúmeros complejos.

19. Escribiendo z = cos � + i sen � en la identidad

1 + z + z2 + : : :+ zn�1 =1� zn1� z ;

pruebe que:

1 + 2 cos � + 2 cos 2� + : : :+ 2 cos(n� 1)� =sen

�n� 1

2

��

sen 12�

y

sen � + sen 2� + : : :+ sen (n� 1) � =cos 12� � cos

�n� 1

2

��

2 sen 12�:

20. Resuelva las siguientes ecuaciones. Escriba sus soluciones enforma normal:

20.1 x2 = 1: 20.2 x4 = 1:20.3 x4 = �16i: 20.4 x3 = �2i:20.5 ix6 + 4i = 0: 20.6 (1� i)x4 � 2 = 0:20.7 x4 = 8� 8

p3i: 20.8 x4 = �1

2 +p32 i:

20.9 x7 = 1: 20.10 x3 = 4p3 + 4i:


21. Resuelva las siguientes ecuaciones. Escriba sus soluciones enforma normal:

21.1 x2 + x+ 1 = 0:

21.2 x3 + x2 + x+ 1 = 0:

21.3 x5 + x4 + x3 + x2 + x = 0:

21.4 x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1 = 0:

21.5 x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1 = 0:

22. Pruebe que si y1; y2; : : : ; y` son soluciones de la ecuación

y` + y`�1 + : : :+ y + 1 = 0;

entonces las soluciones x11; x12; : : : ; x1 k; x21; x22; : : : ; x2 k; : : : ;x` 1; x` 2; : : : ; x` k de las respectivas ecuaciones xk = y1;xk = y2 ; : : : ; x

k = y`; son todas las soluciones de

xk ` + xk (`�1) + : : :+ xk + 1 = 0:

23. Resuelva las siguientes ecuaciones:

23.1 x4 + x2 + 1 = 0:

23.2 x6 + x3 + 1 = 0:

23.3 x6 + x4 + x2 + 1 = 0:

23.4 x15 + x12 + x9 + x6 + x3 + 1 = 0:

23.5 x9 + x7 + x5 + x3 = 0:

23.6 x12 + x8 + x4 + 1 = 0:

24. Si � es una raíz n�ésima del complejo z, es decir, si � es raízde xn = z y �1; �2; : : : ; �n son las raíces de x

n = 1; pruebe queentonces ��1; ��2; : : : ; ��n son todas las raíces de xn = z:

25. Si � y � son raíces de xn = 1; pruebe que también �� es raízde xn = 1:

26. Si � es raíz de xn = 1; pruebe que también ��1 es raíz dexn = 1:

1.12. EJERCICIOS 73

27. Si � es raíz de xn = 1; pruebe que también �m es raíz dexn = 1; para cada m 2 Z:

28. Si � es raíz de xk = 1; pruebe que entonces � es raíz dexk` = 1; para cada ` 2 N:

29. Si � es raíz de xn = 1 y n = k` con k; ` 2 N; pruebe que laraíz �` de xn = 1 es también raíz de xk = 1:

30. Decimos que � es raíz primitiva de xn = 1; si � es raíz dexn = 1 y �0; �1; �2; : : : ; �n�1 son diferentes entre sí, esto es,son todas las raíces de xn = 1:

30.1 Pruebe que ! = cos 2�n + i sen2�n es raíz primitiva de

xn = 1:

30.2 Encuentre todas las raíces primitivas de x6 = 1:

30.3 Encuentre todas las raíces primitivas de x5 = 1:

30.4 Si � es raíz primitiva de xn = 1; pruebe que �k es raízprimitiva de xn = 1; si y sólo si, 1 = (k; n):

Capítulo 2

POLINOMIOS

2.1 Conjuntos de polinomios

Por convenir a nuestro objetivo de resolver la ecuación algebraica

anxn + an�1x

n�1 + : : :+ a1x+ a0 = 0; (1)

estamos ahora interesados en estudiar las expresiones de la forma

an xn + an�1 x

n�1 + : : :+ a1 x+ a0;

a las que llamaremos polinomios en la indeterminada x:

Dada la ecuación algebraica (1), si an; an�1; : : : ; a1; a0 son núme-ros enteros, decimos que la ecuación es de coe�cientes enteros; análo-gamente, si an; an�1; : : : ; a1; a0 son números racionales o númerosreales o números complejos, decimos que la ecuación es de coe�-cientes racionales o de coe�cientes reales o de coe�cientes complejos,respectivamente.

En lo que sigue, D representará cualquiera de los conjuntos denúmeros Z;Q;R ó C; con sus respectivas operaciones.

De�nición (2.1.1).�Un polinomio en la indeterminada x y decoe�cientes en D; es una expresión de la forma

anxn + an�1x

n�1 + : : :+ a1x+ a0; (2)

75

76 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS

donde n 2 N[f0g; y donde las constantes an; an�1; : : : ; a1; a0 pertene-cen a D y son los coe�cientes del polinomio. Las expresiones

anxn; an�1x

n�1; : : : ; a1x; a0

se llaman términos o sumandos del polinomio. A anxn; si an 6= 0 y

n � 1; se le llama el término de mayor potencia o exponente; y a a0 tér-mino independiente o constante. Al término akxk le llamamos términode potencia o exponente k:

Observación: Además de la expresión (2) de un polinomio,según las potencias decrecientes de la indeterminada, también sepermiten otras expresiones obtenidas de (2), al permutar los tér-minos del polinomio. Por ejemplo la expresión según las potenciascrecientes de la indeterminada:

a0 + a1 x+ a2 x2 + : : :+ an x

n:

También, en lugar de (2), se usa la expresión

a0xn + a1x

n�1 + : : :+ an�1x+ an:

Notación: Para denotar polinomios en la indeterminada x y decoe�cientes en D; se utilizan las expresiones f(x); g(x); p(x); : : : Porejemplo

f(x) = anxn + an�1x

n�1 + : : :+ a1x+ a0

yg(x) = bmx

m + bm�1xm�1 + : : :+ b1x+ b0:

Al conjunto de polinomios en la indeterminada x y de coe�cientesen D; se le denota por D[x]; es decir,

D[x] = ff(x) j f(x) es polinomio de coe�cientes en Dg:

Así tenemos que:

Si D = Z;

Z[x] = ff(x) j f(x) es polinomio de coe�cientes en Zg:

2.1. CONJUNTOS DE POLINOMIOS 77

f(x) = 3x4 + 2x3 + 0x2 + (�8)x+ (�6) 2 Z[x]:

Si D = Q;

Q[x] = ff(x) j f(x) es polinomio de coe�cientes en Qg:

f(x) =2

3x3 + 3x2 +

��12

�x+

8

52 Q[x]:

Si D = R;

R[x] = ff(x) j f(x) es polinomio de coe�cientes en Rg:

f(x) = 5x3 +p3x2 +

��7 + 2

p3�x+ � 2 R[x]:

Si D = C;

C[x] = ff(x) j f(x) es polinomio de coe�cientes en Cg:

f(x) = 7x4 + ix3 +��p2i�x2 + (7 + 3i)x+ 4 2 C[x]:

Observación: Puesto que Z � Q � R � C; entonces es inme-diato que Z[x] � Q[x] � R[x] � C[x]:

Convención:

i) Si el coe�ciente ai; i � 0; de un polinomio, es cero, conveni-mos que el término con este coe�ciente se puede omitir al escribir elpolinomio; excepto cuando todos los coe�cientes son cero, en cuyocaso escribiremos sólo el término independiente. Por ejemplo, lospolinomios

f(x) = 3x5 + 0x4 + 4x3 + 0x2 + 8x+ 0

yg(x) = 0x3 + 0x2 + 0x+ 0

se pueden escribir como

f(x) = 3x5 + 4x3 + 8x y g(x) = 0;

respectivamente.


ii) Si el coe�ciente ai; i � 1; de un polinomio, es 1; es decir, siai = 1; con i � 1; convenimos que se puede omitir este coe�cienteal escribir el polinomio. Por ejemplo, el polinomio

f(x) = 1x3 + (�3)x2 + 1x+ 1

se puede escribir como

f(x) = x3 + (�3)x2 + x+ 1:

iii) Convenimos también en que a un polinomio que tiene térmi-nos con coe�cientes precedidos de signo menos, podemos escribirloanteponiendo a tales términos el signo menos del coe�ciente y omi-tiendo el signo más. Por ejemplo, el polinomio

f(x) = (�3)x5 + 8x4 + 12x2 + (�a)x+ (�2)

se puede escribir como

f(x) = �3x5 + 8x4 + 12x2 � ax� 2:

De�nición (2.1.2).�Sea

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0 2 D[x]

con aj 6= 0 para al menos un j = 0; 1; 2; : : : ; n: De�nimos el grado def(x) como k; y escribimos gr f(x) = k; si y sólo si,

k = máx fj 2 f0; 1; 2; : : : ; ng j aj 6= 0g :

Observación: Si f(x) = a0 y a0 6= 0; por de�nición gr f(x) = 0:No de�nimos el grado del polinomio

f(x) = 0xn + : : :+ 0x+ 0;

al cual denotamos por f(x) = 0 y llamaremos el polinomio cero.Diremos que un polinomio es constante, si es el polinomio cero ó esde grado cero.

2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 79

Es claro que para cada n 2 N[f0g, existen polinomios de gradon: Convenimos en decir que un polinomio es de primer, segundo,tercer grado,. . . si tiene grado 1,2,3, . . . , respectivamente. Tambiénse dice que un polinomio es lineal ó cuadrático, si tiene grado 1 ó 2,respectivamente.

De�nición (2.1.3).�Sean f(x); g(x) 2 D[x]; con

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0

yg(x) = bnx

n + : : :+ b1x+ b0:

Decimos que g(x) es igual a f(x); y escribimos g(x) = f(x); si bi = aipara cada i = 0; 1; 2; : : : ; n:

Observación: Si f(x) = anxn+: : :+a1x+a0; entonces f(x) 6= 0;

es decir,anx

n + : : :+ a1x+ a0 6= 0;

si y sólo si, aj 6= 0 para algún j = 0; 1; 2; : : : ; n:

2.2 Suma y multiplicación de polinomios

Sean f(x); g(x) 2 D [x] con

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0

yg(x) = bmx

m + : : :+ b1x+ b0:

Si n > m; claro que por como hemos convenido, podemos escribir

g(x) = 0xn + : : :+ 0xm+1 + bmxm + : : :+ b1x+ b0:

Análogamente, si m > n podemos escribir

f(x) = 0xm + : : :+ 0xn+1 + anxn + : : :+ a1x+ a0:


De�nición (2.2.1).�Sean f(x); g(x) 2 D[x]; con

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0

yg(x) = bmx

m + : : :+ b1x+ b0:

i) De�nimos la suma de los polinomios f(x) y g(x); denotada porf(x) + g(x); como el polinomio

f(x) + g(x) = ckxk + : : :+ c1x+ c0;

donde k = n si n � m ó k = m si m > n; y donde ci = ai + bipara cada i = 0; 1; : : : ; k; conviniendo que bm+1 = : : : = bn = 0 ó quean+1 = : : : = am = 0; si n > m ó m > n; respectivamente.

ii) De�nimos la multiplicación o producto de los polinomios f(x) yg(x); denotada por f(x) � g(x) o por f(x)g(x); como el polinomio

f(x) � g(x) = dn+mxn+m + : : :+ d1x+ d0;

dondedi =

X`+k=i

a`bk

para i = 0; 1; : : : ; n+m; ` = 0; 1; : : : ; n y k = 0; 1; : : : ;m:

Notación: En lugar de f(x)+g(x) también se escribe (f+g)(x);es decir,

(f + g)(x) = f(x) + g(x):

Análogamente, en lugar de f(x) � g(x); también se escribe (f � g)(x);es decir,

(f � g)(x) = f(x) � g(x):

La de�nición de suma de polinomios dice, como ya es conocido,que para sumar dos polinomios, se suman los coe�cientes de sus tér-minos semejantes (los términos son semejantes si son constantes otienen la misma potencia). La de�nición de multiplicación de poli-nomios dice, como también ya es conocido, que para multiplicar dospolinomios, se multiplican cada uno de los términos de un factor por


cada uno de los términos del otro, conviniendo en que a � bx� = abx�

y que ax� �bx� = abx�+�; y luego se reducen los términos semejantes(sumando sus coe�cientes). El proceso para obtener la multiplicaciónde dos polinomios puede hacerse de acuerdo al siguiente arreglo, tam-bién muy conocido, y que para mayor claridad haremos para el casoparticular en que

f(x) = a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0 y g(x) = b2x2 + b1x+ b0:

(b2x2 + b1x+ b0)� (a3x3 + a2x2 + a1x+ a0)

a3b2x5 + a3b1x

4 + a3b0x3

a2b2x4 + a2b1x

3 + a2b0x2

a1b2x3 + a1b1x

2 + a1b0xa0b2x

2 + a0b1x + a0b0

a3b2x5 + (a3b1 + a2b2)x

4 + (a3b0 + a2b1 + a1b2)x3+

+(a2b0 + a1b1 + a0b2)x2 + (a1b0 + a0b1)x+ a0b0

O sea que en este caso,

f(x) � g(x) = a3b2x5 + (a3b1 + a2b2)x

4 + (a3b0 + a2b1 + a1b2)x3

+(a2b0 + a1b1 + a0b2)x2 + (a1b0 + a0b1)x+ a0b0:

Puesto que la multiplicación de polinomios sólo depende de suscoe�cientes, el arreglo anterior puede quedar de la siguiente manera:

b2 b1 b0 � a3 a2 a1 a0a3b2 a3b1 a3b0

a2b2 a2b1 a2b0a1b2 a1b1 a1b0

a0b2 a0b1 a0b0

a3b2 a3b1 + a2b2 a3b0 + a2b1 + a1b2 a2b0 + a1b1 + a0b2a1b0 + a0b1 a0b0

Así que

f(x) � g(x) = a3b2x5 + : : :+ (a1b0 + a0b1)x+ a0b0


como ya se había obtenido.

Volviendo a la de�nición de multiplicación, tenemos que:

d0 = a0b0;d1 = a1b0 + a0b1;d2 = a2b0 + a1b1 + a0b2;

...dn+m = anbm:

En general, escribiendo ai = 0 para i = n + 1; : : : ; n + m; ybi = 0 para i = m+ 1; : : : ;m+ n; tenemos que:

di = aib0 + ai�1b1 + : : :+ a1bi�1 + a0bi:

Ejemplos:

1. Si f(x) = 3x2 � 7x+ 3 y g(x) = 5x3 + 2x+ 1; entonces escri-biendo f(x) = 0x3 + 3x2 � 7x + 3 y g(x) = 5x3 + 0x2 + 2x + 1;tenemos que f(x) + g(x) = 5x3 + 3x2 � 5x+ 4:

2. Si f(x) = 12x3 � 8 y g(x) = 6x2 � 2x; entonces sumando

directamente tenemos que f(x) + g(x) = 12x3 + 6x2 � 2x� 8:

3. Sean f(x) = x5 � 2x2 + 3 y g(x) = 2x4 � 3x3 + x� 1: Si que-remos aplicar el segundo proceso para multiplicar, debemos escribirf(x) = x5+0x4+0x3�2x2+0x+3 y g(x) = 2x4�3x3+0x2+x�1, conlo que se tiene:

2 -3 0 1 -1 � 1 -0 0 -2 0 32 -3 0 1 -1

0 0 0 0 00 0 0 0 0

-4 6 0 -2 20 0 0 0 0

6 -9 0 3 -32 -3 0 -3 5 6 -11 2 3 -3


Y por lo tanto

f(x) � g(x) = 2x9 � 3x8 � 3x6 + 5x5 + 6x4 � 11x3 + 2x2 + 3x� 3:

En el arreglo anterior, los renglones de ceros pueden ser omitidos,siempre y cuando se haga el corrimiento exacto hacia la derecha, estoes:

2 -3 0 1 -1 � 1 0 0 -2 0 32 -3 0 1 -1

-4 6 0 -2 26 -9 0 3 -3

2 -3 0 -3 5 6 -11 2 3 -3

4. Multiplicar los polinomios

f(x) = �2x2 + x

yg(x) = 4x3 + x2 � 5:

4 1 0 -5 � -2 1 0-8 -2 0 10

4 1 0 -5-8 2 1 10 -5

De donde tenemos que

f(x) � g(x) = �8x5 + 2x4 + x3 + 10x2 � 5x:

5. Si f(x) = c y g(x) = bmxm + : : :+ b1x+ b0; es claro que

f(x) � g(x) = c � g(x) = cbmxm + : : :+ cb1x+ cb0:


6. Si f(x) = 3 y g(x) = 2x3 � 7x+ 13 ; entonces

f(x) � g(x) = 3g(x) = 6x3 � 21x+ 1:

Proposición (2.2.2).�Si f(x); g(x) 2 D[x]; con f(x) 6= 0 yg(x) 6= 0; entonces:

i) f(x) + g(x) = 0 ó gr (f(x) + g(x)) � máx fgr f(x); gr g(x)g:

ii) f(x)g(x) 6= 0 y gr (f(x) � g(x)) = gr f(x)+ gr g(x):

Demostración: Sean

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0

yg(x) = bmx

m + : : :+ b1x+ b0:

Puesto que f(x) 6= 0 y g(x) 6= 0, podemos suponer que an 6= 0 ybm 6= 0; es decir, gr f(x) = n y gr g(x) = m:

De (i): Si f(x) + g(x) = 0; nada hay que demostrar. Suponemosentonces que f(x) + g(x) 6= 0:

Si n > m; por de�nición de suma tenemos que

f(x) + g(x) = cnxn + : : :+ c1x+ c0;

donde ci = ai + bi para i = 0; 1; 2; : : : ; n: Por lo tanto

cn = an + bn = an + 0 = an 6= 0:

De donde se sigue que

gr (f(x) + g(x)) = n = máx fgr f(x); gr g(x)g :

Si m > n; entonces

f(x) + g(x) = cmxm + : : :+ c1x+ c0;


donde cm = am + bm = 0 + bm = bm 6= 0; y por lo tanto

gr (f(x) + g(x)) = m = máx fgr f(x); gr g(x)g :

Si n = m; entonces

f(x) + g(x) = cnxn + : : :+ c1x+ c0;

donde puede ocurrir que

cn = an + bn 6= 0

ó quecn = an + bn = 0:

Puesto que f(x) + g(x) 6= 0; entonces cj 6= 0 para algúnj = 0; 1; : : : ; n: Sea k 2 f0; 1; : : : ; ng el máximo tal que ck 6= 0;entonces

gr (f(x) + g(x)) = k � n = máx fgr f(x); gr g(x)g :

De (ii): Por de�nición

f(x) � g(x) = dn+mxn+m + : : :+ d1x+ d0;

dondedi =

X`+k=i

a`bk:

Por lo tanto dn+m = anbm. Como an 6= 0 y bm 6= 0; entoncesdn+m 6= 0; y por tanto f(x) � g(x) 6= 0; y además

gr (f(x) � g(x)) = n+m = gr f(x) + gr g(x):

q.e.d.

Corolario (2.2.3).� Si f(x); g(x) 2 D[x]; con f(x) 6= 0 yg(x) 6= 0; entonces:

i) gr f(x) � gr (f(x) � g(x)) :

ii) gr (cf(x)) = gr f(x); si c 2 D y c 6= 0:


iii) gr (f(x) + c) = gr f(x); si c 2 D y f(x) + c 6= 0:


Teorema (2.2.4).�El conjunto de polinomiosD[x]; con las opera-ciones de suma y multiplicación antes de�nidas, constituye un dominioentero, es decir, satisface las siguientes propiedades:

S1) Si f(x); g(x) 2 D[x]; entonces f(x) + g(x) 2 D[x]:

S2) (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) ;8 f(x); g(x); h(x) 2 D[x]:

S3) f(x) + g(x) = g(x) + f(x); 8 f(x); g(x) 2 D[x]:

S4) Existe un único polinomio o(x) 2 D[x] tal quef(x) + o(x) = f(x); 8 f(x) 2 D[x]:

S5) Para cada f(x) 2 D[x]; existe un único polinomio�(x) 2 D[x] tal que f(x) + �(x) = o(x):

M1) Si f(x); g(x) 2 D[x]; entonces f(x) � g(x) 2 D[x]:

M2) (f(x) � g(x)) � h(x) = f(x) � (g(x) � h(x)) ;8 f(x); g(x); h(x) 2 D[x]:

M3) f(x) � g(x) = g(x) � f(x); 8 f(x); g(x) 2 D[x]:

M4) Existe un único polinomio `(x) 2 D[x] tal quef(x) � `(x) = f(x); 8 f(x) 2 D[x]:

D) f(x) � (g(x) + h(x)) = f(x) � g(x) + f(x) � h(x);8 f(x); g(x); h(x) 2 D[x]:

E) Si f(x); g(x) 2 D[x] y f(x) � g(x) = o(x); entoncesf(x) = o(x) ó g(x) = o(x):

Demostración:

De (S1): Es clara de la de�nición de suma de polinomios.


De (S2): Se deja al lector.

De (S3): Sean

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0

yg(x) = bmx

m + : : :+ b1x+ b0:

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que n � m; y ental caso escribimos

g(x) = bnxn + : : :+ bmx

m + : : :+ b1x+ b0

donde bm+i = 0 8 i � 1: Puesto que ak; bk 2 D; 8 k = 0; 1; : : : ; n; en-tonces ak + bk = bk + ak; 8 k = 0; 1; : : : ; n; y en consecuencia

f(x) + g(x) = (an + bn)xn + : : :+ (am + bm)x

m +

+ : : :+ (a1 + b1)x+ (a0 + b0)

= (bn + an)xn + : : :+ (bm + am)x

m +

+ : : :+ (b1 + a1)x+ (b0 + a0)

= g(x) + f(x):

o sea,f(x) + g(x) = g(x) + f(x)

como se quería probar.

De (S4): El polinomio o(x) es precisamente el polinomio cero, esdecir,

o(x) = 0xk + : : :+ 0x+ 0 = 0;

ya que dado f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0 tenemos que:

f(x) + o(x) = (an + 0)xn + : : :+ (a1 + 0)x+ (a0 + 0)

= anxn + : : :+ a1x+ a0

= f(x):

Así pues,f(x) + o(x) = f(x):

La demostración de que o(x) es único, se deja al lector.


De (S5): Dado

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0

elegimos�(x) = �anxn � : : :� a1x� a0:

Se comprueba inmediatamente que

f(x) + �(x) = o(x):

La demostración de que �(x) es único, se deja al lector.

Al polinomio �(x) lo denotamos por �f(x); es decir,

�(x) = �f(x):

Por tantof(x) + (�f(x)) = o(x):

En general, dados f(x); g(x) 2 D[x]; en lugar de f(x) + (�g(x))escribiremos f(x)� g(x); es decir,

f(x)� g(x) = f(x) + (�g(x)) :

En particular f(x) + (�f(x)) = f(x)� f(x):

De (M1): Es clara de la de�nición de multiplicación.



De (M4): El polinomio `(x) es precisamente el polinomio cons-tante 1; es decir, `(x) = 1; ya que dado f(x) = anx

n+ : : :+a1x+a0;se comprueba inmediatamente que

f(x) � `(x) = f(x) � 1 = f(x):

La demostración de que `(x) = 1 es único, se deja al lector.

De (D): Se deja al lector.

De (E): Escribiendo en lugar de o(x); simplemente 0; demostrare-mos ahora que si f(x) � g(x) = 0; entonces f(x) = 0 ó g(x) = 0: Enefecto: Supongamos que f(x) 6= 0 y g(x) 6= 0; entonces, por (2.2.2)(ii), tenemos que f(x) � g(x) 6= 0:

q.e.d.


Puesto que las once propiedades anteriores son las que satisfacenlos números enteros, las consecuencias de ellas son las mismas quese tienen para dichos números. Para recordar, algunas de ellas lasenunciamos en la proposición siguiente.

Proposición (2.2.5).�Si f(x); g(x); h(x) 2 D[x]; entonces:

i) f(x) � 0 = 0:

ii) �f(x) = (�1)f(x):

iii) � (�f(x)) = f(x):

iv) f(x) (�g(x)) = � (f(x)g(x)) :

v) (�f(x)) ((�g(x)) = f(x)g(x):

vi) Si f(x) + g(x) = f(x) + h(x); entonces g(x) = h(x):

vii) Si f(x) � g(x) = f(x) � h(x) y f(x) 6= 0; entonces g(x) = h(x):

Demostración: Se deja al lector.

Mientras que los números enteros están ordenados, los polinomios,análogamente que los complejos, no están ordenados, es decir, en lospolinomios no se puede de�nir una relación de orden (ver notas 1.11).El orden que se tiene en los enteros nos permite demostrar que si ay b son números enteros y a�b = 1; entonces (a = 1 y b = 1) ó (a = �1y b = �1): Aprovechando las propiedades del grado, demostraremosla siguiente proposición para los polinomios.

Proposición (2.2.6).�Si f(x); g(x) 2 D[x] y f(x) � g(x) = 1;entonces f(x) y g(x) son polinomios constantes distintos de cero.

Demostración: 1 es, en este caso, el polinomio constante`(x) = 1: Debido a que 0 = gr (1) = gr (f(x) � g(x)) ; entonces


gr f(x)+gr g(x) = 0; y como el grado de un polinomio es posi-tivo o cero, entonces gr f(x) = 0 y gr g(x) = 0; de donde se sigueque f(x) y g(x) son polinomios constantes distintos de cero.

q.e.d.

Una generalización de la proposición anterior, sería:

Si f(x) � g(x) = c con c 6= 0; entonces f(x) y g(x) son polinomiosconstantes distintos de cero.

Sobre la exponenciación en los polinomios sólo diremos que dadof(x) 2 D[x] y n 2 N; se de�ne

fn(x) = f(x) � f(x) � : : : � f(x)| {z }n veces

:

Y si f(x) 6= 0; se de�ne f0(x) = 1: Las leyes usuales para exponentesno negativos se siguen de la de�nición anterior. Obsérvese que tantoen los números enteros como en los polinomios, no tenemos exponen-ciación negativa (?�por qué?).

2.3 Divisibilidad de polinomios

Por comodidad, en ésta y las siguientes secciones de este capítulo,trabajaremos con K[x], donde K representa a cualquiera de Q;R óC, con sus respectivas operaciones. Las de�niciones y resultados quetendremos son válidos para Z[x] haciendo en algunos casos algunarestricción, debido a que en Z sólo 1 y �1 tienen inverso multiplica-tivo; y precisamente, la comodidad que obtenemos al trabajar conK[x]; es que cualquier elemento distinto de cero de K (Q;R ó C);tiene inverso multiplicativo.

De�nición (2.3.1).�Sean f(x); g(x) 2 K[x]: Decimos que g(x)divide a f(x); o que g(x) es un factor de f(x); si existe q(x) 2 K[x]tal que f(x) = g(x)q(x):

2.3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 91

Notación: Para decir que g(x) divide a f(x) se escribe g(x)jf(x);y si g(x) no divide a f(x) escribiremos g(x) 6 jf(x): Con esta notaciónla de�nición anterior puede escribirse de la siguiente manera: Dadosg(x); f(x) 2 K[x]; g(x)jf(x); si y sólo si, existe q(x) 2 K[x] talque f(x) = g(x)q(x):

Ejemplo: En K[x]; g(x) = x + 1 divide a f(x) = x2 � 1; pueseligiendo q(x) = x� 1 tenemos que x2 � 1 = (x+ 1)(x� 1):

Comentario: Observemos que g(x) = 3x y f(x) = 5x2 + 6xson elementos de Z[x]; sin embargo no existe q(x) 2 Z[x] tal quef(x) = g(x)q(x): Por tanto, en Z[x] 3x no divide 5x2 + 6x; lo que síocurre en K[x]; pues 5x2 + 6x = 3x

�53 x+ 2

�:

Proposición (2.3.2).�Sean f(x); g(x) 2 K [x]: Si g(x) 6= 0 yexiste q(x) 2 K[x] tal que f(x) = g(x)q(x); entonces q(x) es único (siel divisor es distinto de cero, el cociente es único).

Demostración: Por hipótesis f(x) = g(x)q(x): Supongamosqueexiste otro q1(x) 2 K [x] tal que f(x) = g(x)q1(x); entoncesg(x)q(x) = g(x)q1(x); y aplicando la proposición (2.2.5) (vii) se tieneque q1(x) = q (x).

q.e.d.

Proposición (2.3.3).�En K [x] :

i) g(x)jg (x) para cualquier g(x) 2 K [x]:

ii) Si g(x) = 0 y g(x)jf(x); entonces f(x) = 0:

iii) Si g(x) = c con c 2 K; c 6= 0; entonces g(x)jf(x) para cualquierf(x) 2 K[x]:

iv) Si f(x) = 0; entonces g(x)jf(x); para cualquier g(x) 2 K[x]:


v) Sea f(x) = c; con c 2 K y c 6= 0: Si g(x)jf(x); entoncesg(x) = a; con a 2 K y a 6= 0:

vi) Si g(x)jf(x) y f(x)jh(x); entonces g(x)jh(x):

vii) Si g(x)jf(x) y g(x)jh(x); entonces g(x)jf(x) + h(x) yg(x)jf(x)� h(x):

viii) Si g(x)jf(x); entonces g(x)jf(x) � h(x) para cualquierh(x) 2 K[x]: Particularmente si h(x) = c 6= 0:

ix) Sean f(x) 6= 0 y g(x) 6= 0: Si g(x)jf(x) y f(x)jg(x); entoncesf(x) = cg(x) para alguna constante c 6= 0:

x) g(x)jf(x)() cg(x)jf(x); con c 2 K y c 6= 0:

Demostración:

De (i): Eligiendo q(x) = 1 se tiene el resultado.

De (ii): Se deja al lector.

De (iii): Eligiendo q(x) = 1cf(x) se tiene f(x) = cq(x); luego

cjf(x) para todo c 6= 0:

De (iv): Se deja al lector.

De (v): Si g(x)jc (c 6= 0); entonces existe q(x) 2 K [x] tal quec = g(x)q(x); por tanto gr (g(x) � q(x)) = 0; entonces gr g(x) = 0y gr q(x) = 0; en consecuencia g(x) es constante distinto de cero,digamos g(x) = a:

De (vi): Si g(x)jf(x) y f(x)jh(x); entonces existen q1(x);q2(x) 2 K[x]; tales que f(x) = g(x)q1(x) y h(x) = f(x)q2(x): Susti-tuyendo f(x) en esta última igualdad, se tiene queh(x) = (g(x)q1(x)) q2(x); por lo tanto h(x) = g(x) (q1(x)q2(x)) :Eligiendo q(x) = q1(x)q2(x) se tiene que h(x) = g(x)q(x); o sea,g(x)jh(x):

De (vii), (viii), (ix), y (x): Se dejan como ejercicio al lector.q.e.d.

2.4. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 93

Proposición (2.3.4).�Sean f(x); g(x) 2 K[x]; con g(x) 6= 0: Sig(x)jf(x); entonces f(x) = 0 ó gr g(x) � gr f(x):

Demostración: g(x)jf(x) implica que existe q(x) 2 K[x]; talque f(x) = g(x)q(x): Si f(x) 6= 0; entonces q(x) 6= 0; por tantogr f(x) = gr g(x)+gr q(x); y como el grado de un polinomio es posi-tivo o cero, entonces gr g(x) � gr f(x):

q.e.d.

2.4 El algoritmo de la división

El siguiente teorema a�rma que dados f(x); g(x) 2 K[x]; cong(x) 6= 0; existen polinomios q(x); r(x) 2 K[x]; únicos, tales quef(x) = g(x)q(x) + r(x); donde gr r(x) < gr g(x) ó r(x) = 0: En lademostración se dá el método para encontrar q(x) y r(x):

Teorema (2.4.1) [Algoritmo de la división para polinomios].� Sif(x); g(x) 2 K[x] y g(x) 6= 0; entonces existen q(x); r(x) 2 K[x];únicos, tales que

f(x) = g(x)q(x) + r(x);

donde r(x) = 0 ó gr r(x) < gr g(x): A los polinomios q(x) y r(x) se lesllama, repectivamente, el cociente y el residuo de dividir f(x) por g(x):

Demostración: Sean

f(x) = amxm + : : :+ a1x+ a0

yg(x) = bnx

n + : : :+ b1x+ b0;

donde gr g(x) = n; es decir, bn 6= 0:

i) Si f(x) = 0; claro que existen q(x) = 0 y r(x) = 0 tales quef(x) = g(x)q(x) + r(x); y se cumple r(x) = 0:


ii) Si m = gr f(x) < gr g(x) = n; entonces existen q(x) = 0 yr(x) = f(x); tales que f(x) = g(x)q(x) + r(x) y se cumple quegr r(x) = m < n = gr g(x):

iii) Supongamos ahora que m = gr f(x) � gr g(x) = n: Sea

r1(x) = f(x)� ambnxm�ng(x): (1)

Por como se de�ne, r1 (x) cumple que r1(x) = 0 ó gr r1(x) � m� 1:Además, de (1) se sigue que

f(x) =ambnxm�ng(x) + r1(x):

Si r1(x) = 0 ó k1 = gr r1(x) < gr g(x) = n; ya terminamos, pueselegimos q(x) = am

bnxm�n 2 K[x] y r(x) = r1(x) 2 K[x]:

Si k1 = gr r1(x) � gr g(x) = n y r1(x) es de la forma

r1(x) = ck1xk1 + : : :+ c1x+ c0;

sear2(x) = r1(x)�

ck1bnxk1�ng(x): (2)

Por como se de�ne, r2(x) cumple que r2(x) = 0 ógr r2(x) = k2 � k1 � 1:

Sumando miembro a miembro (1) y (2), obtenemos

f(x) = g(x)

�ambnxm�n +

ck1bnxk1�n

�+ r2(x):

Si r2(x) = 0 ó k2 = gr r2(x) < gr g(x) = n, ya terminamos, pueselegimos q(x) = am

bnxm�n +

ck1bnxk1�n 2 K[x] y r(x) = r2(x) 2 K[x]:

Si k2 = gr r(x) � n; continuamos el proceso anterior, obtenién-dose la siguiente tabla:

r1(x) = f(x)� ambnxm�ng(x) con k1 = gr r1(x) < m

r2(x) = r1(x)�ck1bnxk1�ng(x) con k2 = gr r2(x) < k1

...

r`(x) = r`�1(x)�ck`�1bn

xk`�1�ng(x) con r`(x) = 0 ó k` = gr r`(x) < n

9>>>>>>=>>>>>>;(3)

2.4. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 95

El proceso termina cuando para alguna ` 2 N se cumple quer`(x) = 0 ó gr r`(x) < gr g(x); lo cual siempre ocurre, ya que si paracada ` 2 N; k` = gr r`(x) � gr g(x) = n; entonces el conjunto

fm; k1; k2; : : : ; k`; : : :g � N

donde m > k1 > k2 > : : : ; no tendría elemento mínimo, lo quecontradice el principio de buen orden.

Sumando miembro a miembro las igualdades de la tabla (3), obte-nemos

f(x) = g(x)

�ambnxm�n +

ck1bnxk1�n + : : :+

ck`�1bn

xk`�1�n�+ r`(x);

donde r`(x) = 0 ó gr r`(x) < gr g(x):

Eligiendo

q(x) =ambnxm�n +

ck1bnxk1�n + : : :+

ck`�1bn

xk`�1�n 2 K[x]

yr(x) = r`(x) 2 K[x];

se tiene quef(x) = g(x)q(x) + r(x);

donde r(x) = 0 ó gr r(x) < gr g(x):

Veamos ahora que q(x) y r(x) son únicos. Si q0(x); r0(x) 2 K[x]son tales que f(x) = g(x)q0(x) + r0(x); donde r0(x) = 0 ógr r0(x) < gr g(x); entonces

g(x)q(x) + r(x) = g(x)q0(x) + r0(x);

por tantog(x)

�q(x)� q0(x)

�= r0(x)� r(x):

De donde se sigue que g(x)jr0(x)�r(x); y por tanto r0(x)�r(x) = 0 ógr g(x) � gr (r0(x)� r(x)) : Pero gr g(x) � gr (r0(x)� r(x)) no puedeocurrir, pues gr (r0(x)� r(x)) � máxfgr r0(x); gr r(x)g < gr g(x).En consecuencia r0(x)� r(x) = 0; y esto implica que r0(x) = r(x):


Además, como r0(x)� r(x) = 0; entonces g(x) (q(x)� q0(x)) = 0;y como g(x) 6= 0; entonces q(x) � q0(x) = 0; de donde se sigue queq0(x) = q(x):

q.e.d.

Ejemplo: Sean

f(x) = 2x3 + 3x2 + 2

yg(x) = 3x2 + 2x� 1:

Calcular q(x) y r(x):

Solución: Para calcular q(x) y r(x); podemos emplear, entreotros, el siguiente arreglo bastante conocido:

23x + 5

93x2 + 2x� 1 2x3 + 3x2 + 2

� 2x3 � 43x2 + 2

3x53x2 + 2

3x + 2� 5

3x2 � 10

9 x + 59

� 49x + 23

9

Por lo tanto q(x) = 23x+

59 y r(x) = �4

9x+239 :

Comentario: Para que el algoritmo de división sea válido enZ[x]; es necesario que el coe�ciente del término de mayor potencia,del divisor, sea 1 ó �1: Es decir, si g(x) = bnx

n + : : : + b1x + b0;entonces bn debe ser 1 ó �1; sólo así se garantiza encontrar siempreq(x) y r(x) en Z[x]; pues los coe�cientes am

bn;ck1bn; : : : de q(x); y

también los coe�cientes de r(x); serán elementos de Z:

Proposición (2.4.2).�Si f(x); g(x) 2 K[x] y g(x) 6= 0; entoncesg(x)jf(x); si y sólo si, el residuo de dividir f(x) por g(x) (en el algoritmode división), es cero.

2.5. EL TEOREMADEL RESIDUOY LADIVISIÓN SINTÉTICA97


2.5 El teorema del residuo y la división sin-tética

De�nición (2.5.1).�Sea f(x) 2 K[x] con

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0;

y sea c 2 K: El número

f(c) = ancn + : : :+ a1c+ a0

obtenido al sustituir la indeterminada x por c; se llama el valor de f(x)en c:

Observación: Si f(x) = a0; claro que f(c) = a0 para todoc 2 K: Si f(x) = g(x) + h(x) y p(x) = g(x) � h(x); entoncesf(c) = g(c) + h(c) y p(c) = g(c) � h(c); para todo c 2 K:

Teorema (2.5.2) [Teorema del residuo].� Sea f(x) 2 K[x] ysea c 2 K: El residuo de dividir f(x) por el polinomio x� c 2 K[x]; esf(c): Es decir,

f(x) = (x� c)q(x) + f(c):

Demostración: Por algoritmo de división, existen q(x) y r(x);elementos de K[x]; tales que

f(x) = (x� c)q(x) + r(x);

donde r(x) = 0 ó gr r(x) < gr (x � c) = 1: Entonces r(x) = 0 ógr r(x) = 0; en consecuencia r(x) es una constante, digamos quer(x) = r: Por tanto

f(x) = (x� c)q(x) + r:


Comof(c) = (c� c)q(c) + r;

entonces r = f(c); y se tiene que

f(x) = (x� c)q(x) + f(c):

q.e.d.

Corolario (2.5.3).� f(c) = 0; si y sólo si, x� cjf(x):


El cociente q(x) y el residuo f(c) de dividir f(x) por x�c; puedenser encontrados por un proceso conocido como división sintética, elcual exponemos a continuación:

Seaf(x) = anx

n + an�1xn�1 + : : :+ a1x+ a0

con gr f(x) = n � 1: Como

f(x) = (x� c)q(x) + f(c);

entonces gr q(x) = n� 1; luego q(x) es de la forma

q(x) = bn�1xn�1 + bn�2x

n�2 + : : :+ b1x+ b0:

Por tanto

f(x) = (x� c)(bn�1xn�1 + bn�2xn�2 + : : :+ b1x+ b0) + f(c);

o sea,

f(x) = bn�1xn + (bn�2 � cbn�1)xn�1 + (bn�3 � cbn�2)xn�2 + : : :+(b1 � cb2)x2 + (b0 � cb1)x+ (f(c)� cb0) ;

y por lo tanto

2.5. EL TEOREMADEL RESIDUOY LADIVISIÓN SINTÉTICA99

bn�1 = an;bn�2 � cbn�1 = an�1;bn�3 � cbn�2 = an�2;

...b1 � cb2 = a2;b0 � cb1 = a1;

f(c)� cb0 = a0:

Consecuentemente

bn�1 = an;bn�2 = an�1 + cbn�1;bn�3 = an�2 + cbn�2;

...b1 = a2 + cb2;b0 = a1 + cb1;

f(c) = a0 + cb0:

En resumen, conocemos bn�1 = an y a partir de éste conocemoslos demás coe�cientes de q(x) y también a f(c):

Para calcular fácilmente los coe�cientes de q(x) y a f(c), hacemosel siguiente arreglo:

an an�1 an�2 � � � a1 a0cbn�1 cbn�2 � � � cb1 cb0 c

bn�1 = an bn�2 bn�3 � � � b0 f(c)

Ejemplos:

1. Calcular el cociente y el residuo de dividir f(x) = 7x3�4x2+9por x� 2:

Solución:

7 -4 0 914 20 40 2

7 10 20 49


Por tanto, q(x) = 7x2 + 10x+ 20 y f(2) = 49:

2. Sea f(x) = 3x5 � 7x4 + 9x2 � 1: Calcular f��13

�:

Solución: Basta dividir f(x) entre x��13

�= x+ 1

3 .

3 -7 0 9 0 -1-1 8=3 �8=9 �73=27 73=81 �1=3

3 -8 8=3 73=9 �73=27 �8=81

En consecuencia, f��13

�= � 8

81 :

2.6 Máximo común divisor

De�nición (2.6.1).� Sean f(x); g(x) 2 K[x]: Decimos queh(x) 2 K[x] es común divisor de f(x) y g(x) si h(x)jf(x) y h(x)jg(x):

Sean f(x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero. Si h(x)jf(x) y h(x)jg(x);entonces h(x) 6= 0; pues f(x) 6= 0 ó g(x) 6= 0; por lo tantogr h(x) � 0: Además, si por ejemplo f(x) 6= 0; entoncesgr h(x) � gr f(x): Ya se sabe que h(x) = c; con c 2 K y c 6= 0;divide a cualquier polinomio, es decir, cjf(x) y cjg(x)8 c 2 K; c 6= 0:En consecuencia, todo polinomio de grado cero es divisor comúnde f(x) y g(x); pero puede suceder que polinomios de grado mayorque cero sean divisores comunes de f(x) y g(x): Lo que pretendemoses encontrar un polinomio de máximo grado que sea común divisorde f(x) y g(x); a un tal polinomio se le llamará máximo común divi-sor de f(x) y g(x), y siempre será posible encontrarlo, como veremosenseguida. La de�nición de máximo común divisor que damos a con-tinuación, facilita el estudio posterior de éste, y es equivalente a laanterior.

De�nición (2.6.2).� Sean f(x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero.Decimos que d(x) 2 K[x] es máximo común divisor (mcd) de f(x) yg(x); si:


i) d(x)jf(x) y d(x)jg(x):

ii) Si c(x) 2 K[x] es tal que c(x)jf(x) y c(x)jg(x); entoncesc(x)jd(x):

Notación: Para decir que d(x) es mcd de f(x) y g(x); que es lomismo que de g(x) y f(x); escribiremos d(x) = (f(x); g(x)) ód(x) = mcdff(x); g(x)g :

Observación: Si d(x) = (f(x); g(x)) ; de la parte (i) de lade�nición anterior, se sigue que d(x) 6= 0:

Lema (2.6.3).� Sean f(x); g(x) 2 K[x]; con g(x) 6= 0: Sig(x)jf(x); entonces g(x) = (f(x); g(x)) :

Demostración: Por hipótesis g(x)jf(x) y por otro lado es claroque g(x)jg(x): Además, si c(x) 2 K[x] es tal que c(x)jf(x) yc(x)jg(x); entonces particularmente c(x)jg(x). Por lo tantog(x) = ((f(x); g(x)) :

q.e.d.

Lema (2.6.4).�Sean f(x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero. Si

f(x) = g(x)h(x) + p(x);

para algunos h(x); p(x) 2 K[x];entonces d(x) = (g(x); p(x)) ; si y sólosi, d(x) = (f(x); g(x)) :

Demostración: Probaremos primero que si d(x) = (g(x); p(x)),entonces d(x) = (f(x); g(x))

Si d(x) = (g(x); p(x)) ; entonces d(x)jg(x) y d(x)jp(x); por lotanto d(x)jg(x)h(x) y d(x)jp(x); y por lo tanto d(x)jg(x)h(x)+p(x);o sea, d(x)jf(x): Consecuentemente, d(x)jf(x) y d(x)jg(x):

Si c(x) 2 K[x] es tal que c(x)jf(x) y c(x)jg(x); entonces

c(x)jf(x); c(x)jg(x) y c(x)jg(x)h(x);



c(x)jg(x) y c(x)jf(x)� g(x)h(x);

o sea, c(x)jg(x) y c(x)jp(x): Puesto que d(x) = (g(x); p(x)) ; entoncesc(x)jd(x):

Debemos probar ahora que si d(x) = (f(x); g(x)) ; entoncesd(x) = (g(x); p(x)) : Como f(x) = g(x)h(x)+p(x), entonces

p(x) = g(x) (�h(x)) + f(x);

de donde se sigue, por lo antes probado, que si d(x) = (f(x); g(x)),entonces d(x) = (p(x); g(x)) :

q.e.d.

Observación: En el lema anterior no se requiere que p(x) = 0ó que gr p(x) < gr g(x):

El siguiente teorema garantiza la existencia del máximo comúndivisor para cualesquiera dos polinomios, no ambos cero. La de-mostración proporciona el método para encontrarlo.

Teorema (2.6.5) [Algoritmo de Euclides para polinomios].� Sif(x); g(x) 2 K[x] son no ambos cero, entonces existe d(x) 2 K[x]tal que d(x) = (f(x); g(x)) : Además d(x) es polinomio de mínimogrado para el cual existen s(x); t(x) 2 K[x] tales que

d(x) = f(x)s(x) + g(x)t(x):

Demostración: Puesto que alguno de f(x) o g(x) no es cero,sin pérdida de generalidad, podemos suponer que g(x) 6= 0. Por elalgoritmo de división existen q1(x); r1(x) 2 K[x] tales que

f(x) = g(x)q1(x) + r1(x);

donde r1(x) = 0 ó gr r1(x) < gr g(x):


Si r1(x) = 0 ya terminamos, pues por el lema(2.6.3) d(x) = g(x)es máximo común divisor de f(x) y g(x):

Si r1(x) 6= 0; aplicando el algoritmo de división a g(x) y r1(x);existen q2(x); r2(x) 2 K[x] tales que

g(x) = r1(x)q2(x) + r2(x);

donde r2(x) = 0 ó gr r2(x) < gr r1(x):

Si r2(x) = 0; por el lema (2.6.3) r2(x) = (g(x); r1(x)) ; y por ellema (2.6.4) r2(x) = (f(x); g(x)) :

Si r2(x) 6= 0; aplicando sucesivamente el algoritmo de la división,continuamos el proceso como se indica en la siguiente tabla:

f(x) = g(x)q1(x) + r1(x) y gr r1(x) < gr g(x)g(x) = r1(x)q2(x) + r2(x) y gr r2(x) < gr r1(x)r1(x) = r2(x)q3(x) + r3(x) y gr r3(x) < gr r2(x)

......

......

...rn�3(x) = rn�2(x)qn�1(x) + rn�1(x) y gr rn�1(x) < gr rn�2(x)rn�2(x) = rn�1(x)qn(x) + rn(x) y gr rn(x) < gr rn�1(x)rn�1(x) = rn(x)qn+1(x) + rn+1(x) y rn+1(x) = 0

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>;(1)

El proceso termina cuando para alguna n; rn(x) 6= 0 perorn+1(x) = 0, y esto siempre ocurre, pues en caso contrario el conjunto

fgr g(x); gr r1(x); gr r2(x); : : :g � N;

donde gr g(x) > gr r1(x) > gr r2(x) > : : : ; no tendría elemento míni-mo, lo que contradiría el principio de buen orden.

A�rmamos que d(x) = rn(x); el último residuo distinto de cero,es máximo común divisor de f(x) y g(x): En efecto: Procediendode abajo para arriba en la tabla (1), puesto que rn+1(x) = 0; en-tonces rn(x)jrn�1(x); y por lo tanto, según el lema (2.6.3),

rn(x) = (rn�1(x); rn(x)) :


Y aplicando el lema (2.6.4) se tiene que

rn(x) = (rn�1(x); rn(x))

= (rn�2(x); rn�1(x))...

= (g(x); r1(x))

= (f(x); g(x)) :

Veamos ahora que existen s(x); t(x) 2 K[x] tales que

d(x) = rn(x) = f(x)s(x) + g(x)t(x):

En efecto: Procediendo de arriba para abajo en la tabla (1), se tieneque

r1(x) = f(x) + g(x) (�q1(x))= f(x)s1(x) + g(x)t1(x);

donde s1(x) = 1 y t1(x) = q1(x): Análogamente

r2(x) = r1(x) (�q2(x)) + g(x)= f(x)s2(x) + g(x)t2(x);

donde s2(x) = �s1(x)q2(x) y t2(x) = 1� t1(x)q2(x). Así mismo

r3(x) = r1(x) + r2(x) (�q3(x))= f(x)s3(x) + g(x)t3(x);

donde

s3(x) = s1(x)� s2(x)q3(x) y t3(x) = t1(x)� t2(x)q3(x):

Continuando el proceso anterior concluimos �nalmente que

rn(x) = d(x) = f(x)sn(x) + g(x)tn(x);

donde

sn(x) = sn�2(x)� sn�1(x)qn(x) y tn(x) = tn�2(x)� tn�1(x)qn(x):


Además, por construcción sn(x); tn(x) 2 K[x]:

Eligiendo s(x) = sn(x) y t(x) = tn(x) obtenemos

d(x) = f(x)s(x) + g(x)t(x):

Supongamos ahora que p(x) 2 K[x]; p(x) 6= 0; es tal que

p(x) = f(x)h(x) + g(x)k(x)

para algunos h(s); k(x) 2 K[x]: Como d(x)jf(x) y d(x)jg(x), en-tonces d(x)jf(x)h(x) y d(x)jg(x)k(x); y por lo tantod(x)jf(x)h(x) + g(x)k(x); es decir, d(x)jp(x); y en consecuenciagr d(x) � gr p(x): Esto prueba que d(x) es polinomio de mínimogrado para el cual existen s(x); t(x) 2 K[x] tales que

d(x) = f(x)s(x) + g(x)t(x):

q.e.d.

Ejemplo: Aplicando el teorema anterior, calcular un máximocomún divisor de

f(x) = 3x4 + 9x3 � 3x2 � 12x� 9

y

g(x) =1

2x3 +

5

3x2 +

1

3x� 1

2:

Solución:

6x � 212x3 + 5

3x2 + 1

3x� 1

23x4 + 9x3 � 3x2 � 12x � 9

� 3x4 � 10x3 � 2x2 + 3x� x3 � 5x2 � 9x � 9

x3 + 103x2 + 2

3x � 1

� 53x2 � 25

3x � 10


� 310x + 1

2�53x2 � 25

3 x� 1012x3 + 5

3x2 + 1

3x � 12

� 12x3 � 5

2x2 � 3x

� 56x2 � 8

3x � 12

56x2 + 25

6 x + 532x + 9

2

� 109 x � 20

932x+

92 � 5

3x2 � 25

3 x � 1053x2 + 5x

� 103 x � 10103 x + 10

0

Por lo tanto

d(x) =3

2x+

9

2= (f(x); g(x)) :

Nos preguntamos ahora ?�Es único el máximo común divisor dedos polinomios?. La respuesta completa la dan las siguientes dosproposiciones.

Proposición (2.6.6).�Sean f(x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero.Si d(x) es máximo común divisor de f(x) y g(x); entonces, para cadac 2 K; c 6= 0; cd(x) es también máximo común divisor de f(x) y g(x):

Demostración: Por hipótesis, d(x) = (f(x); g(x)) ; entoncesd(x)jf(x) y d(x)jg(x); luego, por (2.3.3)(x), cd(x)jf(x) y cd(x)jg(x)para cada c 2 K: Por otro lado, si k(x)jf(x) y k(x)jg(x), en-tonces k(x)jd(x) y por lo tanto, aplicando (2.3.3)(viii), k(x)jcd(x)para cada c 2 K: En consecuencia, cd(x) = (f(x); g(x)) ; para cadac 2 K; c 6= 0:

q.e.d.

Proposición (2.6.7).�Sean f(x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero, ysea d(x) mcd de f(x) y g(x): Si p(x) es también mcd de f(x) y g(x);entonces p(x) = cd(x); para alguna c 2 K; c 6= 0:


Demostración: Puesto que d(x) = (f(x); g(x)) y tambiénp(x) = (f(x); g(x)) ; entonces d(x)jp(x) y p(x)jd(x); y como p(x) 6= 0y d(x) 6= 0; aplicando (2.3.3) (ix), se sigue que p(x) = cd(x) para al-guna c 2 K; c 6= 0:

q.e.d.

Convención: De las proposiciones (2.6.6) y (2.6.7) se sigue quesi d(x) es mcd de dos polinomios, d(x) no es único; y que cualesquierados mcd sólo son diferentes por un factor constante distinto de cero.Por tanto, si

d(x) = dkxk + dk�1x

k�1 + : : :+ d1x+ d0

con dk 6= 0; es mcd de dos polinomios, entonces

1

dkd(x) = xk +

dk�1dk

xk�1 + : : :+d1dkx+

d0dk

es también mcd de esos polinomios; y si d(x) = c, con c 6= 0 unaconstante, también 1

cd(x) =1c c = 1 es mcd. Por lo anterior, vamos

a convenir en elegir como mcd de dos polinomios, a aquel cuyo coe-�ciente del término de mayor potencia sea 1; esto en el caso de queno sea constante; y si lo és, lo elegimos como 1: Con esta convención,el mcd de dos polinomios es único. Si el coe�ciente del término demayor potencia de un polinomio d(x) es 1 o si d(x) = 1; diremosque d(x) es polinomio mónico.

El siguiente resultado, junto con el lema (2.6.4), facilitan el cál-culo del máximo común divisor.

Proposición (2.6.8).�Sean f(x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero.Si a; b 2 K con a 6= 0 y b 6= 0; entonces d(x) = (af(x); bg(x)) ; si ysólo si, d(x) = (f(x); g(x)) :



Ejemplo 1. Para apreciar la utilidad de la proposición anterior,calculamos nuevamente el mcd de los polinomios

f(x) = 3x4 + 9x3 � 3x2 � 12x� 9

y

g(x) =1

2x3 +

5

3x2 +

1

3x� 1

2:

Solución: Primero multiplicamos a g(x) por b = 6; así tenemos:

x + 13x3 + 10x2 + 2x� 3 3x4 + 9x3 � 3x2 � 12x � 9

� 3x4 � 10x3 � 2x2 + 3x� x3 � 5x2 � 9x � 9

por �3 3x3 + 15x2 + 27x + 27� 3x3 � 10x2 � 2x + 3

5x2 + 25x + 30por 1

5x2 + 5x + 6

3x � 5x2 + 5x+ 6 3x3 + 10x2 + 2x � 3

� 3x3 � 15x2 � 18x� 5x2 � 16x � 3

5x2 + 25x + 309x + 27

por 19 x + 3

x + 2x+ 3 x2 + 5x + 6

� x2 � 3x2x + 6

� 2x � 60

2.7. POLINOMIOS PRIMOS RELATIVOS Y POLINOMIOS IRREDUCIBLES109

Por lo tanto d(x) = x+ 3 es el mcd de f(x) y g(x):

Ejemplo 2: Calcular el mcd de los polinimios f(x) = x2�3x+2y g(x) = x+ 3:

Solución:

x � 6x + 3 x2 � 3x + 2

� x2 � 3x� 6x + 2

6x + 1820

por 120 1

x + 31 x + 3

� x3

� 30

Por lo tanto 1 = (f(x); g(x)) :

2.7 Polinomios primos relativos y polinomiosirreducibles

De�nición (2.7.1).�Sean f(x); g(x) 2 K[x]: Decimos que f(x)y g(x) son primos relativos o primos entre sí, si (f(x); g(x)) = c;donde c 6= 0 es una constante.

Observación: Por una convención anterior se tiene que f(x) yg(x) son primos relativos, si y sólo si, (f(x); g(x)) = 1:


De�nición (2.7.2).�Sea �(x) 2 K[x]; polinomio no constante.Decimos que �(x) es irreducible o primo en K[x]; si siempre que�(x) = f(x)g(x) con f(x); g(x) 2 K[x]; entonces alguno de f(x)ó g(x) es polinomio constante. Decimos que �(x) es reducible en K[x];si �(x) no es irreducible en K[x]; es decir, si existen f(x);g(x) 2 K[x]; polinomios no constantes, tales que �(x) = f(x)g(x):

Ejemplo: Todos los polinomios de primer grado son irreducibles.

Lema (2.7.3).� Si �(x) 2 K[x] es polinomio no constante, en-tonces �(x) es irreducible en K[x]; si y sólo si, f(x) 2 K[x] y f(x)j�(x)implica que f(x) = c ó f(x) = a�(x); para algunas a; c 2 K; a 6= 0y c 6= 0:


La irreducibilidad de un polinomio en K[x] depende de cuálseaK; pues por ejemplo �(x) = x2�2 2 R[x]; es reducible enR[x] yaque x2 � 2 = (x�

p2)(x+

p2): Sin embargo, �(x) = x2 � 2 2 Q[x];

es irreducible en Q[x]: En efecto: Si x2 � 2 = f(x)g(x) con f(x);g(x) 2 Q[x]; no constantes, entonces f(x) = x + a y g(x) = x + b:Por lo tanto

x2 � 2 = x2 + (a+ b)x+ ab;

de donde se sigue que a + b = 0 y ab = �2; es decir, a = �by ab = �2: Por tanto b2 = 2; luego b =2 Q; lo que contradiceque g(x) 2 Q[x]:

Proposición (2.7.4).�Sean f(x); g(x); h(x); �(x) 2 K[x]:

i) Si g(x)jf(x)h(x) y (g(x); f(x)) = 1; entonces g(x)jh(x):

ii) Si �(x) es irreducible, entonces (�(x); f(x)) = 1 ó �(x)jf(x):

iii) Si �(x) es irreducible y �(x)jf(x)g(x); entonces �(x)jf(x)o �(x)jg(x):

2.7. POLINOMIOS PRIMOS RELATIVOS Y POLINOMIOS IRREDUCIBLES111

iv) Si g(x)jf(x); h(x)jf(x) y (g(x); h(x)) = 1; entoncesg(x)h(x)jf(x):

Demostración:

De (i): Como (f(x); g(x)) = 1; entonces existen s(x); t(x) 2 K[x];tales que 1 = f(x)s(x) + g(x)t(x); y por lo tanto

h(x) = f(x)h(x)s(x) + g(x)h(x)t(x):

Puesto que g(x)jf(x)h(x) y claro que g(x)jg(x); entoncesg(x)jf(x)h(x)s(x) y g(x)jg(x)h(x)t(x): Por lo tantog(x)jf(x)h(x)s(x) + g(x)h(x)t(x); es decir, g(x)jh(x):

De (ii): Sea d(x) = (�(x); f(x)) ; entonces d(x)j�(x) y d(x)jf(x):Como d(x)j�(x); aplicando el lema (2.7.3), se sigue que d(x) = có d(x) = a�(x); por tanto, (�(x); f(x)) = 1 ó �(x)jf(x):

De (iii): Supongamos que �(x) 6 jf(x); entonces por (ii),(�(x); f(x)) = 1; y como �(x)jf(x)g(x); aplicando (i) tenemos que�(x)jg(x):

De (iv): Se deja al lector.q.e.d.

Teorema (2.7.6).�Si f(x) 2 K[x] es no constante, entonces f(x)es irreducible ó existen �1(x); �2(x); : : : ; �s(x) 2 K[x] irreducibles,tales que

f(x) = �1(x)�2(x) : : : �s(x):

Además, sif(x) = p1(x)p2(x) : : : pt(x)

con p1(x); p2(x); : : : ; pt(x) 2 K[x] irreducibles, entonces t = s y paracada i = 1; 2; : : : ; t pi(x) = ci�j(x) para algún j = 1; 2; : : : ; s y algunaci 2 K; ci 6= 0:

Demostración: Para demostrar la primera parte procederemospor inducción sobre el grado de f(x): Si gr f(x) = 1; entonces f(x)es irreducible. En efecto: Si existen g(x); h(x) 2 K[x] tales que


f(x) = g(x)h(x); entonces 1 = gr g(x)+grh(x); y por lo tantogr g(x) = 0 ó grh(x) = 0; es decir, alguno de g(x) o h(x) es cons-tante. Supongamos que el resultado es válido para el caso en quegr f(x) � n: Probaremos que entonces el resultado es válido parael caso en que gr f(x) = n + 1: En efecto: Si f(x) es irreducibleya terminamos. Si existen g(x); h(x) 2 K[x]; no constantes, talesque f(x) = g(x)h(x); entonces 1 � gr g(x) � n y 1 � grh(x) � n;por tanto, por hipótesis de inducción, g(x) es irreducible o es pro-ducto de irreducibles y también h(x) es irreducible o es producto deirreducibles. En consecuencia, f(x) es un producto de irreducibles,digamos que

f(x) = �1(x)�2(x) : : : �s(x)

donde �1(x); �2(x); : : : ; �s(x) 2 K[x] son irreducibles.

La demostración de la otra parte del teorema, se deja al lector.q.e.d.

2.8 EJERCICIOS

1. Sume los polinomios f(x) y g(x) en los casos siguientes:

1.1 f(x) = �3x4 + 12x3 + 7x2 � x+ 1 y g(x) = 2

3x3 + 1

2x� 3:1.2 f(x) = 4x5� 1

2x2+8x�9 y g(x) = �4x5�x4+x3+ 1

2x2+9:

1.3 f(x) = �7x3+(2�i)x2+i y g(x) = ix4�ix3�(2�i)x2�3:1.4 f(x) = (2�3i)x2�7x+2i y g(x) = (�2+3i)x2+7x�2i:

2. Multiplique los polinomios f(x) y g(x) en los siguientes casos:

2.1 f(x) = 3x2 � 7x+ 2 y g(x) = 3x2 + 7x� 23 :

2.2 f(x) = 3ix2 � 8x+ (2� 3i) y g(x) = (3� 2i)x� 3i:2.3 f(x) = x3 + 2x2 + 3x+ 1

3 y g(x) = 4x3 + 1

2x2 + 2x+ 1:

2.4 f(x) = x� (a+ bi) y g(x) = x� (a� bi):2.5 f(x) = x� (2 + 3i) y g(x) = x� (2� 3i):

2.8. EJERCICIOS 113

3. Sean f(x); g(x) 2 K[x] y sea c 2 K; c 6= 0: Si f(x) � g(x) = c;pruebe que f(x) y g(x) son polinomios constantes.

4. Sean f(x); g(x) 2 K[x]; con f(x) 6= 0 y g(x) 6= 0: Si g(x)jf(x)y gr g(x) = gr f(x); pruebe que f(x) = c � g(x); para algunac 2 K:

5. Aplicando el algoritmo de la división, calcule el cociente y elresiduo de dividir f(x) entre g(x) en los casos siguientes:

5.1 f(x) = 3x2 � 15x+ 18 y g(x) = 2x� 6:5.2 f(x) = x2 � 4x+ 29 y g(x) = x� (2� 5i):5.3 f(x) = 3x2 � 7x+ 8 y g(x) = 7x2 � 1

2x+ 2:

5.4 f(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1 y g(x) = x+ 1:

5.5 f(x) = x5 � 1 y g(x) = x� 1:5.6 f(x) = xn � 1 y g(x) = x� 1:5.7 f(x) = x7 + 3x6 � 2x3 + 3x2 � x+ 1 y g(x) = x4 � x+ 1:5.8 f(x) = 3x5 � 9x2 + 18x� 3 y g(x) = 2x2 + 2x+ 2:5.9 f(x) = x10 + x5 + 1 y g(x) = (1� i)x2 + 2ix+ 1:5.10 f(x) = 3ix5 � 9x2 + (1� i)x+ 2i y g(x) = x2 + x+ 1

2 :

5.11 f(x) = (2� 3i)x3 � ix2 + x� 2i y g(x) = ix+ 2:

6. Por división sintética calcule el cociente y el residuo de dividirf(x) entre g(x); en los siguientes casos:

6.1 f(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + 3x+ 2 y g(x) = x+ 2:

6.2 f(x) = x3 � 1 y g(x) = x+ 12 �

p32 i:

6.3 f(x) = x3 � ix2 + 9x� 9i y g(x) = x+ 3i:

6.4 f(x) = 3x5 + 96x+ 43 y g(x) = x� 1

3 :

6.5 f(x) = 9x2 � 7x+ 2 y g(x) = x� 3 + i:6.6 f(x) = 5x6 � ix4 + 1 y g(x) = x+ 1:

7. Calcule f(c) en los casos siguientes:

7.1 f(x) = �3x3 + 6x2 � x+ 1 y c = 0:75:7.2 f(x) = 3x5 � 6x3 + x� 2

5 y c = �1:3:


7.3 f(x) = x3 � ix2 + 9x� 9i y c = i:

7.4 f(x) = x4 + 4ix3 � 6x2 + (2� 4i)x+ 1 y c = 1� 2i:7.5 f(x) = 7x5 � 4x2 � 1

2x+23 y c =

23 :

8. Sea f(x) 2 K[x] y sean a; b 2 K; a 6= 0. Pruebe que el residuode dividir f(x) por ax� b es f

�ba

�; y por tanto

f(x) = (ax� b)q(x) + f�ba

�:

9. Aplicando el ejercicio (8), decida si g(x) divide a f(x) en lossiguientes casos:

9.1 f(x) = x4 � 5x3 + 5x2 + 5x� 6 y g(x) = 3x� 6:9.2 f(x) = x3 + 8 y g(x) = 2x+ 4:

9.3 f(x) = 10x3 � 2x2 + 3x� 1 y g(x) = 2x� 3:

10. Sea f(x) 2 K[x] y sean a; b 2 K: Si x � ajf(x); x � bjf(x) ya 6= b; pruebe que (x� a)(x� b)jf(x):

11. Usando división sintética y el ejercicio (10), pruebe que f(x)es divisible por g(x) en los siguientes casos:

11.1 f(x) = 2x4 � 7x3 � 2x2 + 13x+ 6 y g(x) = x2 � 5x+ 6:11.2 f(x) = x5 + x4 � x� 1 y g(x) = x2 + 1:

11.3 f(x) = x4 + 2x2 + x+ 2 y g(x) = x2 + x+ 1:

11.4 f(x) = x4 � x3 � 12x2 + 16x� 64 y g(x) = x2 � 16:11.5 f(x) = (x+ 1)5 � x5 � 1 y g(x) = x2 + x+ 1:

12. Pruebe que x2+x+1j(x+1)n�xn� 1; si y sólo si, n es impary 3 6 jn:

13. Sea f(x) 2 Z[x] con f(x) = anxn + : : : + a1x + a0 y sean

m; k 2 Z con k 6= 0 y (m; k) = 1: Si x � mk jf(x); pruebe que

mja0 y kjan:

14. Sea f(x) 2 Z[x] con f(x) = xn + an�1xn�1 + : : :+ a1x+ a0 ysea c 2 Q: Si x� cjf(x); pruebe que c 2 Z:

15. Sea f(x) 2 R[x] y sea z 2 C: Si x � zjf(x); pruebe quex� �zjf(x):

2.8. EJERCICIOS 115

16. Sea f(x) 2 K[x] con f(x) = anxn + an�1xn�1 + : : :+ a1x+ a0

y sea s 2 K; s 6= 0: Pruebe que x � sjf(x); si y sólo si,x� 1

s jg(x) = an + an�1x+ : : :+ a1xn�1 + a0xn:

17. Calcule el mcd de f(x) y g(x) en los casos siguientes:

17.1 f(x) = x4 + 2x2 + x+ 2 y g(x) = x2 + x+ 1:

17.2 f(x) = x5 + x4 � x� 1 y g(x) = x2 + 1:

17.3 f(x) = x3 + x2 + x+ 1 y g(x) = x2 � 1:17.4 f(x) = x6 + 2x5 + x3 + 3x2 + 3x+ 2 y

g(x) = x4 + 4x3 + 4x2 � x� 2:17.5 f(x) = 2x4+2x3�3x2�2x+1 y g(x) = 3x3+6x2+6x+3:17.6 f(x) = 10x6 � 9x5 � 12x4 + 2x2 � x� 1 y

g(x) = 4x5 + x4 � 7x3 � 8x2 � x+ 1:17.7 f(x) = x3 � ix2 + 9x� 9i y g(x) = x+ 3i:

17.8 f(x) = 3ix4 + (2� i)x3 + x2 � 3x+ 2i yg(x) = ix2 � 2ix+ 2� 3i:

18. Sea d(x) = (f(x); g(x)):

18.1 Si d(x) = f(x)s(x)+g(x)t(x); pruebe que (s(x); t(x)) = 1:

18.2 Si f(x) = d(x)q1(x) y g(x) = d(x)q2(x); pruebe que(q1(x); q2(x)) = 1:

19. Si a 6= b; pruebe que (x� a; x� b) = 1:

20. Si (f(x); g(x)) = 1; f(x)jh(x) y g(x)jh(x); pruebe quef(x)g(x)jh(x):

21. Si g(x)jh(x)p(x); g(x)jh(x)q(x) y (p(x); q(x)) = 1; pruebe queg(x)jh(x)

22. Sean f(x); g(x); �(x) 2 K[x]: Si �(x) es irreducible y�(x)jf(x)g(x); pruebe que �(x)jf(x) o �(x)jg(x):

23. Pruebe que f(x) = anxn + an�1xn�1 + : : : + a1x + a0 es irre-

ducible, si y sólo si, g(x) = an + an�1x + : : : + a1xn�1 + a0x

n

es irreducible.

24. Pruebe que f(x) = x2 + 1 es irreducible en Q[x]:


25. Pruebe que f(x) = x4 + 2x2 + 1 es reducible en Q[x]:

26. Sean f(x); g(x) 2 K[x] con f(x) 6= 0 y g(x) 6= 0: Decimos quem(x) 2 K[x]; m(x) 6= 0; es mínimo común múltiplo (mcm) def(x) y g(x) si:

i) f(x)jm(x) y g(x)jm(x):ii) Si h(x) 2 K[x] es tal que f(x)jh(x) y g(x)jh(x); entonces

m(x)jh(x):

Notación:Para decir que m(x) es mcm de f(x) y g(x); es-cribiremos m(x) = [f(x); g(x)] ó m(x) =mcmff(x); g(x)g:

26.1 Dados f(x); g(x) 2 K[x] con f(x) 6= 0 y g(x) 6= 0; pruebeque existe m(x) 2 K[x] tal que m(x) = [f(x); g(x)]:

26.2 Si m(x) es mcm de los polinomios f(x) y g(x); pruebe queam(x); con a 6= 0 constante, es también mcm de f(x) yg(x):

26.3 Si m(x) y n(x) son mcm de los polinomios f(x) y g(x);pruebe que entonces n(x) = am(x); para alguna constantea 6= 0:

26.4 Pruebe que f(x) �g(x) = a �((f(x); g(x)) [f(x); g(x)] ; paraalguna constante a 6= 0:

26.5 Calcule un mcm de f(x) = x5+x4�x�1 y g(x) = x2+1:

26.6 Calcule un mcm de f(x) = x3�ix2+9x�9i y g(x) = x+3i:

27. Haga un estudio sobre los conceptos de mcd y mcm para másde dos polinomios. Sugerencia: revise los ejercicios 30 y 35 delcapítulo 0.

28. Sean f(x); g(x) 2 K[x] con gr f(x) = n y gr g(x) = m: Pruebeque f(x) y g(x) tienen un común divisor no cosntante, si y sólosi, existen f1(x); g1(x) 2 K[x]; distintos de cero, congr f1(x) < n y gr g1(x) < m tales que

f(x)g1(x) + f1(x)g(x) = 0:

Capítulo 3

RAÍCES DEPOLINOMIOS

En este capítulo vamos a trabajar, generalmente, con polinomiosde coe�cientes complejos, aunque tendremos algunos resultados so-bre polinomios de coe�cientes reales, incluso sobre polinomios decoe�cientes enteros.

3.1 Raíces de polinomios

De�nición (3.1.1).�Sea f(x) 2 C[x]; con gr f(x) = n � 1 y

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0:

Decimos que c 2 C es raíz de f(x); si f(c) = 0; es decir, si

ancn + : : :+ a1c+ a0 = 0:

Observación: De acuerdo con la de�nición anterior, decir que ces raíz del polinomio

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0; (1)

117

118 CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS

es equivalente a decir que c es solución o raíz de la ecuación algebraica

anxn + : : :+ a1x+ a0 = 0: (2)

En consecuencia, el problema de encontrar las soluciones o raícesde la ecuación (2), es equivalente a encontrar las raíces del polinomio(1). Observemos que un polinomio constante no tiene raíces, porde�nición.

Lema (3.1.2).� Sea f(x) 2 C[x]; con gr f(x) � 1; y seanc1; c2; : : : ; cm 2 C diferentes, es decir, ci 6= cj si i 6= j:

Si c1; c2; : : : ; cm son raíces de f(x); entonces

(x� c1)(x� c2) : : : (x� cm) j f(x):

Recíprocamente, si

(x� c1)(x� c2) : : : (x� cm) j f(x);

entonces c1; c2; : : : ; cm son raíces de f(x):

Demostración: Suponemos que c1; c2; : : : ; cm son raíces dife-rentes de f(x); por inducción sobre m probaremos que

(x� c1)(x� c2) : : : (x� cm) j f(x):

i) Si m = 1; por teorema (2.5.2), existe q1(x) 2 C[x]; tal quef(x) = (x � c1)q1(x) + f(c1): Como c1 es raíz de f(x); entoncesf(c1) = 0; por lo tanto f(x) = (x� c1)q1(x); o sea, (x� c1) j f(x):

ii) Suponemos el resultado cierto para m = k; esto es, suponemosque si c1; c2; : : : ; ck son raíces diferentes de f(x); entonces

(x� c1)(x� c2) : : : (x� ck) j f(x):

Es decir, existe qk(x) 2 C[x] tal que

f(x) = (x� c1)(x� c2) : : : (x� ck)qk(x):

3.1. RAÍCES DE POLINOMIOS 119

iii) Probaremos que el resultado se cumple para m = k + 1 : Sic1; c2; : : : ; ck; ck+1 son raíces diferentes de f(x); por (ii)

f(x) = (x� c1)(x� c2) : : : (x� ck) qk(x); (3)

y por el teorema (2.5.2), existe qk+1(x) 2 C[x]; tal que

qk(x) = (x� ck+1)qk+1(x) + qk(ck+1): (4)

Puesto que ck+1 es raíz de f(x); por (3) tenemos que

0 = f(ck+1) = (ck+1 � c1) : : : (ck+1 � ck)qk(ck+1);

y como ck+1 6= ci para cada i = 1; 2; : : : ; k; entonces ck+1 � ci 6= 0;para cada i = 1; 2; : : : ; k: Por lo tanto qk(ck+1) = 0: Asi que por (4),qk(x) = (x� ck+1)qk+1(x): Y sustituyendo esto en (3), se tiene que

f(x) = (x� c1)(x� c2) : : : (x� ck)(c� ck+1)qk+1(x);

o sea,(x� c1)(x� c2) : : : (x� ck)(c� ck+1) j f(x):

Recíprocamente, si (x�c1) : : : (c�ci) : : : (x�cm) j f(x); entoncesexiste q(x) 2 C[x] tal que

f(x) = (x� c1) : : : (x� ci) : : : (x� cm)q(x):

Para cada i = 1; 2; : : : ;m tenemos que

f(ci) = (ci � c1) : : : (ci � ci) : : : (ci � cm)q(ci):

Por tanto, para cada i = 1; 2; : : : ;m; ci es raíz de f(x):q.e.d.

Teorema (3.1.3).�Sea f(x) 2 C[x]: Si gr f(x) = n � 1; entoncesf(x) tiene a lo más n raíces diferentes.

Demostración: Supongamos que c1; c2; : : : ; cm son raíces dife-rentes de f(x); entonces por el lema (3.1.2), existe qm(x) 2 C[x] tal


que f(x) = (x � c1)(x � c2) : : : (x � cm)qm(x); con qm(x) 6= 0 puesf(x) 6= 0: Por tanto

gr f(x) = gr [(x� c1)(x� c2) : : : (x� cm)] + gr qm(x);

o sea, n = m+gr qm(x): Por tanto m � n:q.e.d.

Observemos que si

f(x) = (x� c1)(x� c2) : : : (x� cm)qm(x)

y gr f(x) = m; entonces qm(x) es una constante diferentes de cero.

Proposición (3.1.4).� Si f(x); g(x); q(x) 2 C[x] son tales quegr f(x) � 1 y f(x) = g(x)q(x); entonces c es raíz de f(x); si y sólosi, c es raíz de g(x) o de q(x): Particularmente, si f(x) = aq(x) con aconstante, entonces f(x) y q(x) tienen las mismas raíces.

Demostración: Suponemos primero que c es raíz de f(x), en-tonces 0 = f(c) = g(c) q(c); y por lo tanto g(c) = 0 o q(c) = 0; o sea,c es raíz de g(x) o c es raíz de q(x):

Recíprocamente, si c es raíz de g(x) o c es raíz de q(x); entoncesf(c) = g(c)q(c) = 0: Por lo tanto c es raíz de f(x):

q.e.d.

Por el lema (3.1.2), si c1; c2; : : : ; cm son raíces diferentes de

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0;

con gr f(x) = n � 1; entonces

f(x) = (x� c1)(x� c2) : : : (x� cm)qm(x):

Y por la proposición (3.1.4), las otras raíces de f(x); si tiene, sonlas de qm(x); donde gr qm(x) = n �m: Para calcular a qm(x) bastadividir a f(x) por (x� c1)(x� c2) : : : (x� cm):

3.1. RAÍCES DE POLINOMIOS 121

De la demostración del lema (3.1.2), se sigue que

f(x) = (x� c1)q(x);q1(x) = (x� c2)q2(x);

...qm�1(x) = (x� cm)qm(x):

Así que otro modo de calcular qm(x) es aplicando sucesivamentela división sintética a

f(x); q1(x); : : : ; qm�1(x)

conx� c1; x� c2; : : : ; x� cm;

respectivamente, lo que se indica en el siguiente arreglo:

an an�1 . . . a2 a1 a0c1bn�1 . . . c1b2 c1b1 c1b0 c1

bn�1 = an bn�2 . . . b1 b0 0c2dn�2 . . . c2d1 c2d0 c2

dn�2 = bn�1 dn�3 . . . d0 0...

......cm

`n�m . . . `1 `0 0

donde

qm(x) = `n�mxn�m + : : :+ `1(x) + `0:

Ejemplo:

Sabiendo que 2 i y �3 son raíces del polinomio

f(x) = x4 + (4� 2i)x3 + (4� 8i)x2 + (3� 8i)x� 6i;

encontrar sus otras raíces.


Solución:

1 4� 2i 4� 8i 3� 8i �6i2i 8i 8i 6i 2i

1 4 4 3 0�3 �3 �3 �3

1 1 1 0

Por lo tanto, f(x) = (x� 2i)(x+ 3)(x2 + x+ 1): Las otras raícesde f(x) son las de q(x) = x2+x+1; las cuales pueden ser calculadaspor la fórmula

x =�b�

pb2 � 4ac2a

:

Obteniéndose x1 = �12 +

p32 i y x2 = �1

2 �p32 i:

Finalmente tenemos que

f(x) = (x� 2i)(x+ 3) x+

1

2�p3

2i

! x+

1

2+

p3

2i

!;

o sea que

2i; �3; �12+

p3

2i y � 1

2�p3

2i

son todas las raíces de f(x):

3.2 El teorema fundamental del álgebra

Hasta ahora hemos visto que un polinomio de grado n � 1 tienea los más n diferentes raíces, pero no sabemos todavía si siempretiene el menos una raíz. En los casos en que n = 1 ó n = 2; es fácilcomprobar que el polinomio tiene una ó dos raíces, respectivamente.El siguiente resultado, conocido como el teorema fundamental delálgebra, aclara plenamente el problema, garantizando la existenciade raíces de polinomios de grado n � 1; la demostración del mismo nola escribiremos aquí, pues junto a su grado de di�cultad se encuentrael hecho de no ayudar en modo alguno a encontrar las raíces. Quienes

3.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA 123

tengan oportunidad de tomar un curso de Funciones de VariableCompleja podrán ver una demostración sencilla, y en todo caso puedeleerse una demostración en alguno de: [3], [5] u [8] de la bibliografía.

Recordemos que el númereo complejo a + bi es número real sib = 0; y le llamamos número imaginario, si b 6= 0:

Teorema (3.2.1) [Teorema fundamental del álgebra].� Sif(x) 2 C[x] y gr f(x) = n � 1; entonces f(x) tiene al menos unaraíz compleja (real o imaginaria).

Corolario (3.2.2).�Si f(x) 2 C[x] y gr f(x) = n � 1; entoncesf(x) tiene n raíces (no necesariamente diferentes).

Demostración: Por el teorema (3.2.1) existe c1 2 C tal quef(c1) = 0; por lo tanto f(x) = (x � c1)q1(x) con q1(x) 2 C[x] ygr q1(x) = n� 1:

Si n � 1 = gr q1(x) = 0; ya terminamos, pues entonces q1(x) esconstante, n = 1; y la única raíz de f(x) es c1: Si n�1 = gr q1(x) � 1;aplicamos ahora el teorema (3.2.1) a q1(x); y tenemos que existec2 2 C [c2 no tiene que ser diferente de c1] tal que q1(c2) = 0; por lotanto q1(x) = (x� c2)q2(x) con q2(x) 2 C[x] y gr q2(x) = n� 2:

Por tanto, f(x) = (x� c1)(x� c2)q2(x): Si n� 2 = gr q2(x) = 0;ya terminamos, pues en este caso q2(x) es constante, n = 2, y lasdos raíces de f(x) son c1 y c2: Si n� 2 = gr q2(x) � 1; continuamosel proceso anterior hasta obtener

f(x) = (x� c1)(x� c2) : : : (x� cn)qn(x);

con qn(x) 2 C[x] y gr qn(x) = n � n = 0: Por tanto qn(x) es unaconstante, digamos a: Entonces

f(x) = a(x� c1)(x� c2) : : : (x� cn):

Las n raíces de f(x) son c1; c2; : : : ; cn; mismas que por el proceso enque se obtienen, no necesariamente son diferentes.

q.e.d.


Observación: Si f(x) = anxn + an�1xn�1 + : : : + a1x + a0 y

gr f(x) = n � 1; por corolario (3.2.2), existen a; c1; c2; : : : ; cn 2 Ctales que f(x) = a(x� c1)(x� c2) : : : (x� cn): Por lo tanto

f(x) = a�xn + (�c1 � c2 � : : :� cn)xn�1 + : : :

�= axn + a(�c1 � c2 � : : :� cn)xn�1 + : : : ;

entonces

anxn + an�1x

n�1 + : : : = axn + a(�c1 � c2 � : : :� cn)xn�1 + : : : ;

y en consecuencia a = an:

Resumiendo, si

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0

y c1; c2; : : : ; cn son las raíces de f(x); no necesariamente diferentes,entonces

f(x) = an(x� c1)(x� c2) : : : (x� cn):

3.3 Multiplicidad de raíces

Sea f(x) 2 C[x] con f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0; gr f(x) = n y

n � 1: Si c1; c2; : : : ; cn son las n raíces de f(x); entonces

f(x) = an(x� c1)(x� c2) : : : (x� cn):

Como las raíces c1; c2; : : : ; cn no tienen que ser diferentes, seanr1; r2; : : : ; rk (1 � k � n) las diferentes raíces de f(x); digamos quer1 aparece �1 veces como raíz de f(x); r2 aparece �2 veces como raízde f(x); : : : ; rk aparece �k veces como raíz de f(x): Entonces

f(x) = an(x� r1)�1(x� r2)�2 : : : (x� rk)�k ;

donde�1 + �2 + : : :+ �k = n:

3.3. MULTIPLICIDAD DE RAÍCES 125

El hecho que ri aparezca �i veces como raíz de f(x); es equiva-lente a que x � ri aparezca �i veces como factor de f(x); en conse-cuencia tenemos la siguiente

De�nición (3.3.1).� Sea f(x) 2 C[x]; con gr f(x) � 1: Seac 2 C raíz de f(x) y sea � 2 N: Decimos que c es raíz de multiplicidad�; de f(x); si

(x� c)�jf(x) y (x� c)�+1 /j f(x):

Observación: El número c es raíz de multiplicidad �; de f(x);si y sólo si, f(x) = (x � c)�q(x) y c ya no es raíz de q(x); es decir,x� c 6 jq(x):

Convención: Convenimos en decir que c es raíz simple, doble ótriple de f(x); si c es raíz de multiplicidad 1; 2 ó 3; respectivamente,de f(x):

Ejemplo: El polinomio

f(x) = x8 + x7 � x6 � 3x5 � 7x4 � 9x3 � 7x2 � 5x� 2

tiene las raíces �1; 2; i y �i: ?�Qué multiplicidad tiene cada una?Solución:

1 1 -1 -3 -7 -9 -7 -5 -2-1 0 1 2 5 4 3 2 -1

1 0 -1 -2 -5 -4 -3 -2 0-1 1 0 2 3 1 2 -1

1 -1 0 -2 -3 -1 -2 0-1 2 -2 4 -1 2 -1

1 -2 2 -4 1 -2 0-1 3 -5 9 -10 -1

1 -3 5 -9 10 -12

Por tanto, �1 es raíz triple de f(x); y se tiene que

f(x) = (x+ 1)3(x5 � 2x4 + 2x3 � 4x2 + x� 2): (1)


1 -2 2 -4 1 -22 0 4 0 2 2

1 0 2 0 1 02 4 12 24 2

1 2 6 12 25

Entonces 2 es raíz simple de f(x); y por (1) se tiene que

f(x) = (x+ 3)3(x� 2)(x4 + 2x2 + 1): (2)

1 0 2 0 1i -1 i -1 i

1 i 1 i 0i -2 �i i

1 2i -1 0i -3 i

1 3i -4

En consecuencia, i es raíz doble de f(x); y por (2) tenemos que

f(x) = (x+ 1)3(x� 2)(x� i)2(x2 + 2ix� 1): (3)

1 2i -1�i 1 �i

1 i 0�i �i

1 0

Finalmente, �i es raíz doble de f(x); y por (3) tenemos que

f(x) = (x+ 1)3(x� 2)(x� i)2(x+ i)2:

Nuestro objetivo siguiente es dar otro criterio, diferente de lade�nición (3.3.1), y que emplearemos más adelante, para decidir so-bre la multiplicidad de raíces. Este otro criterio involucra la derivadade un polinomio, la cual de�nimos a continuación.

De�nición (3.3.2).�Sea f(x) 2 C[x]; con


n�1 + : : :+ a2x2 + a1x+ a0:

3.3. MULTIPLICIDAD DE RAÍCES 127

De�nimos la derivada de f(x); denotada por f 0(x) ó por f (1)(x); comoel polinomio

f 0(x) = nanxn�1 + (n� 1)an�1xn�2 + : : :+ 2a2x+ a1:

En particular, si f(x) = a0 (polinomio constante), se de�ne f 0(x) = 0:

Dado m 2 N; m � 2; de�nimos la m-ésima derivada de f(x); denotadapor f (m)(x); como el polinomio

f (m)(x) =hf (m�1)

i0(x):

Convención: Por notación f 0(x) = f (1)(x); y convenimos enescribir f 00(x) y f 000(x) en lugar de f (2)(x) y f (3)(x); respectivamente.

Ejemplo: Calcular todas las derivadas del polinomio

f(x) = 3x4 � 8x2 � 3x+ 7:

Solución:f 0(x) = 12x3 � 16x� 3;f 00(x) = 36x2 � 16;f 000(x) = 72x;

f (4)(x) = 72;

f (k)(x) = 0; 8 k � 5:

Proposición (3.3.3).� Si f(x); g(x) 2 C[x]; c 2 C y n 2 N;entonces:

i) (f + g)0(x) = f 0(x) + g0(x):

ii) (f � g)0(x) = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x):

iii) f(x) = (x� c)n =) f 0(x) = n(x� c)n�1



Observemos que un caso particular de (3.3.3) (ii), es cuandof(x) = a (polinomio constante). En tal caso (ag)0(x) = ag0(x):

Lema (3.3.4).�Si f(x) 2 C[x] y c 2 C es raíz de f(x); entoncesc es raíz de multiplicidad � � 1 de f(x); si y sólo si, c es raíz demultiplicidad ��1 de f 0(x): Entendiéndose que ��1 = 0 signi�ca quec no es raíz de f 0(x):

Demostración: Si c es raíz de multiplicidad � de f(x); entoncesf(x) = (x� c)�q(x); donde q(c) 6= 0: Derivando a f(x) tenemos que

f 0(x) = �(x� c)��1q(x) + (x� c)�q0(x):

Claramente (x�c)��1jf 0(x) y (x�c)� /jf 0(x); pues si (x�c)�jf 0(x);entonces (x� c)jq(x); lo que contradice que q(c) 6= 0: Por tanto, c esraíz de multiplicidad �� 1 de f 0(x):

Recíprocamente, sea � la multiplicidad de la raíz c en f(x); en-tonces por lo ya probado, c es raíz de multiplicidad � � 1 de f 0(x) ypor lo tanto � � 1 = �� 1; o sea, � = �:

q.e.d.

Teorema (3.3.5).�Sea f(x) 2 C[x]; con gr f(x) = n � 1; y seac 2 C: El número c es raíz de multiplicidad � � 1 de f(x); si y sólo si,

f(c) = 0; f 0(c) = 0; f 00(c) = 0; : : : ; f (��1)(c) = 0 y f (�)(c) 6= 0:

Demostración: Suponemos primero que c es raíz de f(x) demultiplicidad �; entonces c es raíz de multiplicidad � � 1 de f 0(x):Como f (m)(x) =

�f (m�1)

�0(x); entonces c es raíz de multiplicidad

� � 2; � � 3; : : : ; � � (� � 1) = 1 y � � � = 0 de los polinomiosf 00(x); f 000(x); : : : ; f (��1)(x) y f (�)(x); respectivamente. En conse-cuencia

f(c) = 0; f 0(c) = 0; f 00(c) = 0; : : : ; f (��1)(c) = 0 y f (�)(c) 6= 0:

3.4. RAÍCES IMAGINARIAS DE POLINOMIOS 129

Recíprocamente, si

f(c) = 0; f 0(c) = 0; f 00(c) = 0; : : : ; f (��1)(c) = 0 y f (�)(c) 6= 0;

entonces por el lema (3.3.4), c es raíz de multiplicidad 1; 2; : : : ; �� 1y � de f (��1)(x); f (��2)(x); : : : ; f 0(x) y f(x); respectivamente. Enparticular, c es raíz de multiplicidad � de f(x):

q.e.d.

3.4 Raíces imaginarias de polinomios con coe-�cientes reales

Lema (3.4.1).�Si f(x) es un polinomio de coe�cientes reales, esdecir, f(x) 2 R[x] y z 2 C; entonces f(z) = f(z):

Demostración: Sea


n�1 + : : :+ a1x+ a0;

donde, por hipótesis, an; an�1; : : : ; a1; a0 2 R: Entonces

f(z) = anzn + an�1z

n�1 + : : :+ a1z + a0:

Por lo tanto

f(z) = anzn + an�1zn�1 + : : :+ a1z + a0= anzn + an�1zn�1 + : : :+ a1z + a0= anzn + an�1zn�1 + : : :+ a1z + a0= an(z)

n + an�1(z)n�1 + : : :+ a1(z) + a0= f(z):

q.e.d.

Teorema (3.4.2).�Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales,es decir, f(x) 2 R[x]: Si z = a+ bi es raíz imaginaria (b 6= 0) de f(x);de multiplicidad �; entonces z = a� bi es también raíz de f(x); de lamisma multiplicidad �:


Demostración: Sea

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0;

donde, por hipótesis, an; an�1; : : : ; a1; a0 2 R: Si z = a + bi (b 6= 0)es raíz de f(x); de multiplicidad �; entonces, por teorema (3.3.5),

f(z) = 0; f 0(z) = 0; : : : ; f (��1) (z) = 0 y f (�) (z) 6= 0:

Por lo tanto

f(z) = 0; f 0(z) = 0; : : : ; f (��1) (z) = 0 y f (�) (z) 6= 0:

Aplicando el lema (3.4.1) a los polinomios de coe�cientes realesf(x); f 0(x); : : : ; f (��1)(x) y f (�)(x); tenemos que

f(z) = 0; f 0(z) = 0; : : : ; f (��1)(z) = 0 y f�(z) 6= 0:

De donde se sigue, por el mismo teorema (3.3.5), que z es raíz def(x) de multiplicidad �:

q.e.d.

Ejemplo:

Encontrar todas las raíces de

f(x) = x4 � 2x3 + 6x2 � 2x+ 5;

sabiendo que 1 � 2i es una raíz. Escribir a f(x) como un productode factores cuadráticos de coe�cientes reales.

Solución:

Como f(x) 2 R[x] y 1� 2i es raíz de f(x), entonces por (3.4.2),1 + 2i también es raíz de f(x):

1 �2 6 �2 51� 2i �5 1� 2i �5 1� 2i

1 �1� 2i 1 �1� 2i 01 + 2i 0 1 + 2i 1 + 2i

1 0 1 0

3.5. RAÍCES RACIONALES DE POLINOMIOS 131

Así que

f(x) = (x� (1� 2i)) (x� (1 + 2i)) (x2 + 1);

y por lo tanto las raíces de f(x) son 1� 2i; 1 + 2i; i y �i: Además,la escritura de f(x) como producto de factores cuadráticos de coe�-cientes reales, es

f(x) = (x2 � 2x+ 5)(x2 + 1):

3.5 Raíces racionales de polinomios con coe-�cientes enteros

Antes de enunciar el siguiente teorema, recordemos que cualquiernúmero racional se puede escribir como el cociente de dos enterosprimos relativos.

Teorema (3.5.1).�Sea


n�1 + : : :+ a1x+ a0

un polinomio de coe�cientes enteros, es decir, f(x) 2 Z[x]; congr f(x) = n � 1: Si el número racional pq es raíz de f(x) y p y qson enteros primos relativos, entonces p j a0 y q j an:

Demostración:

Si pq es raíz de f(x) = anxn+an�1xn�1+ : : :+a1x+a0; entonces

an

�p

q

�n+ an�1

�p

q

�n�1+ : : :+ a1

p

q+ a0 = 0;

o sea,

anpn

qn+ an�1

pn�1

qn�1+ : : : + a1

p

q+ a0 = 0:


Por lo tanto

anpn + an�1p

p�1q + : : :+ a1pqn�1 + a0q

n = 0: (1)

Entonces

p�anp

n�1 + an�1pn�2q + : : :+ a1q

n�1� = �a0qn;de donde se sigue que pja0qn: Como p y q son primos relativos,entonces por (0.4.2)(2), p y qn son primos relativos, y aplicando(0.4.2)(1) tenemos que pja0:

Análogamente, de (1) se tiene que

q�an�1p

n�1 + : : :+ a1pqn�2 + a0q

n�1� = �anpn;y por lo tanto qjanpn; de donde se sigue, por los mismos argumentosanteriores, que qjan:

q.e.d.

Corolario (3.5.2).�Sea

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0

un polinomio de coe�cientes enteros, es decir, f(x) 2 Z[x]; congr f(x) = n � 1: Si m 2 Z es raíz de f(x); entonces mja0:

Demostración: Al entero m podemos verlo como el númeroracional m1 ; donde claro que m y 1 son primos relativos, así queaplicando (3.5.1) tenemos que mja0:

q.e.d.

Así pues, si p y q son enteros primos relativos y el número racionalpq es raíz de


n�1 + : : :+ a1x+ a0 2 Z[x];

es condición necesaria que pja0 y qjan; pero esta condición no essu�ciente, es decir, si m y k son enteros primos relativos tales que

3.5. RAÍCES RACIONALES DE POLINOMIOS 133

mja0 y kjan; no necesariamente mk es raíz de f(x): Puede suceder

que f(x) ni tenga raíces racionales, en todo caso mk sólo es candidato

a raíz racional de f(x): Se sigue entonces que para encontrar loscandidatos a raíz racional de f(x); encontramos todos los divisoresm de a0 y todos los divisores k de an; y precisamente los diferentescocientes mk son los candidatos a raíz racional de f(x): Para decidirsi f(x) tiene raíces racionales y cuáles son, debemos calcular el valorde f(x) en cada candidato m

k ; lo que, como se sabe, puede hacersefácilmente por división sintética. Si se tiene que a0 = 0; entonces

f(x) = anxn + : : :+ at+1x

t+1 + atxt con t � 1 y at 6= 0;

y por lo tanto

f(x) = xt�anx

n�t + : : :+ at+1x+ at�:

Así que 0 es raíz de multiplicidad t de f(x); y las demás raícesracionales de éste, si tiene, son las de

anxn�t + : : :+ at+1x+ at;

al cual se le aplica el proceso antes mencionado.

Ejemplos:

1. Encontrar las raíces racionales del polinomio

f(x) = 3x4 + 4x3 � x2 + 4x� 4:Solución:

Los divisores de �4; que son los mismos que de 4; son:m = 1;�1; 2;�2; 4 y �4: Los divisores de 3 son: k = 1;�1; 3;�3:Así que los candidatos a raíces racionales de f(x) son:

m

k= 1;�1; 1

3;�13; 2;�2; 2

3;�23; 4;�4; 4

3y � 4

3:

Evaluando por división sintética en 1;�1; 13 ;�13 y 2; vemos que

no son raíces de f(x): Ahora evaluamos a f(x) en �2 :3 4 �1 4 �4

�6 4 �6 4 �23 �2 3 �2 0

�6 16 �38 �23 �8 19 �40


Así que �2 es raíz simple de f(x): Ahora evaluamos en 23 :

3 �2 3 �22 0 2 2

3

3 0 3 0

Por lo tanto f(x) = (x+ 2)�x� 2

3

� �3x2 + 3

�; de donde se sigue

que las únicas raíces racionales de f(x) son �2 y 23 ; pues 3x

2 + 3 notiene raíces racionales.

2. Encontrar las raíces racionales del polinomio

f(x) = 2x4 � 2x3 + 5x2:

Solución:f(x) = x2(2x2 � 2x+ 5);

así que 0 es raíz doble de f(x) y si tiene otras raíces racionales, éstasson las mismas que las de q(x) = 2x2 � 2x+ 5; el cual, como puedeverse, no tiene raíces racionales.

Observación: Sea f(x) 2 Q[x] con gr f(x) = n � 1; y digamosque

f(x) =anbnxn +

an�1bn�1

xn�1 + : : :+a1b1x+

a0b0

con an; an�1; : : : ; a1; a0; bn; bn�1; : : : ; b1; b0 2 Z:

Sea s 2 Z; con s 6= 0; un múltiplo común de bn; bn�1; : : : ; b1; b0(por ejemplo: s = bn � bn�1 � : : : � b1 � b0).

Para cada i = 0; 1; 2; : : : ; n; sean ci =s

biy di = ciai:

Seaq(x) = dnx

n + dn�1xn�1 + : : :+ d1x+ d0:

Claro que f(x) =1

sq(x) (verifíquese) donde, por construcción,

q(x) 2 Z[x]: Sabemos por (3.1.4) que f(x) y q(x) tienen las mismasraíces. Por tanto p

q ; donde p y q son enteros primos relativos, es raízde f(x); si y sólo si, pq es raíz de q(x), al que puede aplicársele elteorema (3.5.1).

3.6. ACOTAMIENTO DE LAS RAÍCES REALES 135

Ejemplo: Encontrar las raíces racionales del polinomio

f(x) = x4 � 12x+

3

16:

Solución:f(x) =

1

16(16x4 � 8x+ 3);

por lo tanto, las raíces racionales de f(x) son las mismas que las deq(x) = 16x4� 8x+3: Los divisores de 3 son: m = 1;�1; 3 y �3: Losdivisores de 16 son k = 1;�1; 2;�2; 4;�4; 8;�8; 16 y �16: Así quelos candidatos a raíz racional de f(x) son:

m

k= 1;�1; 12 ;�

12 ;14 ;�

14 ;18 ;�

18 ;

116 ;�

116 ;

3;�3; 32 ;�32 ;34 ;�

34 ;38 ;�

38 ;

316 ;�

316 :

Evaluando por división sintética, encontramos que solamente 12

es raíz doble de f(x):

3.6 Acotamiento de las raíces reales de poli-nomios con coe�cientes reales

Dado el polinomio de coe�cientes enteros

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0;

dependiendo de an y a0; la cantidad de candidatos a raíces racionalesde f(x) puede ser relativamente grande, lo que hace laborioso deter-minar cuáles son raíces en caso de que haya. Enseguida daremosun método fácil de aplicar, con el cual se reduce la cantidad decandidatos a raíz racional de un polinomio con coe�cientes enteros.Más generalmente, el método se aplica para encontrar los intervalosen que se encuentran, en caso de haber, las raíces reales positivas ynegativas de un polinomio de coe�cientes reales. Este método tam-bién será de utilidad en el tema de separación de raíces reales depolinomios con coe�cientes reales.


De�nición (3.6.1).�Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales,es decir, f(x) 2 R[x]:

i) Decimos que M 2 R es cota superior para las raíces reales posi-tivas (negativas) de f(x); si r �M para cada r raíz real positiva(negativa, respectivamente) de f(x):

ii) Decimos que m 2 R es cota inferior para las raíces reales positi-vas (negativas) de f(x); si m � r para cada r raíz real positiva(negativa, respectivamente) de f(x):

Observación: Dado f(x) 2 R[x]; claro que 0 es cota inferior (su-perior) para las raíces reales positivas (negativas, respectivamente)de f(x): Si m1 < 0 y M1 � 0 son cotas inferior y superior, respec-tivamente, para las raíces reales negativas de f(x), entonces éstas,en caso de haber, estarán en el intervalo [m1;M1] : Análogamente, sim2 � 0 yM2 > 0 son cotas inferior y superior, respectivamente, paralas raíces reales positivas de f(x); entonces éstas, en caso de haber,estarán en el intervalo [m2;M2] : Más generalmente, las raíces realesde f(x); en caso de haber, estarán en el intervalo [m1;M2] : Si 0 esraíz de f(x) de multiplicidad k; entonces f(x) = xkg(x); luego f(x)y g(x) tienen las mismas raíces diferentes de cero, y por lo tanto,encontrar las cotas superior e inferior para las raíces reales positivasy negativas de f(x) es lo mismo que hacerlo para g(x):

Enseguida de�nimos el importante concepto de grá�ca de un poli-nomio de coe�cientes reales, lo que nos permitirá tener una visióngeométrica de sus raíces reales.

De�nición (3.6.2).�Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales,es decir, f(x) 2 R[x]: De�nimos la grá�ca de f(x), denotada por Gf ;como el conjunto de puntos Gf = f(t; f(t)) j t 2 Rg :

Observación: c 2 R es raíz de f(x) 2 R[x]; si y sólo si, lagrá�ca de f(x) interseca al eje X; del plano cartesiano, en el punto(c; 0) :


En las �guras (a) y (b) dibujamos las grá�cas de los polinomiosf(x) = x3� 2x2�x+2 y g(x) = x3� 3

2x2� 2; respectivamente. Los

números m1;M1;m2 y M2 son cotas.

Teorema (3.6.3).�Sea f(x) 2 R[x] con gr f(x) = n � 1 y

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0:

Si an > 0; entonces existe M 2 R; M > 0; tal que

f(x) = (x�M)(bn�1xn�1 + : : :+ b1x+ b0) + f(M);

donde bi � 0 8 i = 0; 1; 2; : : : ; n � 1 y f(M) � 0: Además, en estecaso M es cota superior para las raíces reales positivas de f(x):

Demostración: Como an > 0 por la propiedad arquimedeanade los números reales, existe s1 > 0 tal que

d1 = s1an + an�1 > 0:

Análogamente, como d1 > 0; existe s2 > 0 tal que

d2 = s2d1 + an�2 > 0:


Continuando este proceso obtenemos lo siguiente:

Existe s1 > 0 tal que d1 = s1an + an�1 > 0Existe s2 > 0 tal que d2 = s2d1 + an�2 > 0Existe s3 > 0 tal que d3 = s3d2 + an�3 > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Existe sn > 0 tal que dn = sndn�1 + a0 > 0

9>>>>=>>>>; (1)

SeaM = máxfs1; s2; : : : ; sng: Por el teorema (2.5.2) y la divisiónsintética, sabemos que

f(x) = (x�M)(bn�1xn�1 + : : :+ b1x+ b0) + f(M);

dondebn�1 = an > 0;bn�2 = Mbn�1 + an�1;bn�3 = Mbn�2 + an�2;

...b0 = Mb1 + a1;

f(M) = Mb0 + a0:

Como M � si 8 i = 1; 2; : : : ; n; de (1) se sigue que

bn�2 � d1 > 0;bn�3 � d2 > 0;

...b0 � dn�1 > 0;

f(M) � dn > 0:

Veamos ahora queM es cota superior para las raíces reales positi-vas de f(x): Si t > M > 0; entonces t � M > 0; ybn�1tn�1 + : : :+ b1t+ b0 > 0; ya que bi � 0 8i = 0; 1; 2; : : : ; n� 1; yde hecho bn�1 = an > 0: Puesto que f(M) � 0; entonces

f(t) = (t�M)(bn�1tn�1 + : : :+ b1t+ b0) + f(M) > 0:

Así que cualquier t > M > 0 no es raíz de f(x); lo que quiere decirque M es cota superior para las raíces reales positivas de f(x):

q.e.d.


Observación: Sea f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0 2 R[x] tal que

an < 0: Como los polinomios f(x) y

�f(x) = (�an)xn + : : :+ (�a1)x+ (�a0)

tienen las mismas raíces, encontrar una cota superior para las raícespositivas de f(x) es lo mismo que hacerlo para �f(x); y como�an > 0; el teorema (3.6.3) se le aplica a este último.

La siguiente proposición completa un método para encontrar lascotas de las raíces reales, positivas y negativas, de un polinomio decoe�cientes reales.

Proposición (3.6.4).�Sea f(x) 2 R[x] con gr f(x) = n � 1 y

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0:

i) Si K > 0 es cota superior para las raíces positivas del polinomio

(x) = an + an�1x+ : : :+ a1xn�1 + a0x

n = xnf

�1

x

�;

entonces 1K es cota inferior para las raíces positivas de f(x):

ii) Si L > 0 es cota superior para las raíces positivas del polinomio

�(x) = (�1)nanxn + (�1)n�1an�1xn�1 + : : :+ (�1)a1x+ a0 = f(�x);

entonces �L es cota inferior para las raíces negativas de f(x):

iii) Si N > 0 es cota superior para las raíces positivas del polinomio

'(x) = (�1)nan+(�1)n�1an�1x+: : :+(�1)a1xn�1+a0xn = xnf�� 1x

�;

entonces � 1N es cota superior para las raíces negativas de f(x):

Demostración:


De (i): Si r > 0 es raíz de f(x); entonces

f(r) = anrn + an�1r

n�1 + : : :+ a1r + a0 = 0:

Por lo tanto

1

rn�anr

n + an�1rn�1 + : : :+ a1r + a0

�= 0;

es decir,

an + an�1

�1

r

�+ : : :+ a1

�1

r

�n�1+ a0

�1

r

�n= 0;

o sea,

�1

r

�= 0:

Como r > 0; entonces 1r > 0; luego por hipótesis1

r� K lo que

implica 1K � r:

De (ii): Si r < 0 es raíz de f(x); sea s = �r > 0; por lo tantor = �s: Así tenemos que

an(�s)n + an�1(�s)n�1 + : : :+ a1(�s) + a0 = 0;

o sea,

(�1)nansn + (�1)n�1an�1sn�1 + : : :+ (�1)a1s+ a0 = 0:

Esto signi�ca que �(s) = 0; y como s = �r > 0; se tiene por hipótesisque s � L: Por lo tanto �L � �s; o sea, �L � r:

De (iii): Se deja como ejercicio al lector.q.e.d.

Observación: El hecho de encontrar cotas superiores e inferiorespara las raíces positivas o negativas de un polinomio f(x) 2 R[x];no signi�ca que este tenga raíces positivas o negativas, sino que encaso de tenerlas están entre las cotas. Si el término independiente de

3.7. FACTORIZACIÓN EN POLINOMIOS DE RAÍCES SIMPLES141

f(x) es cero, entonces f(x) = xkg(x); por lo que conviene trabajarcon g(x):

Ejemplo: Encontrar las cotas superiores e inferiores para lasraíces positivas y negativas del polinomio

f(x) = x4 � 12x+

3

16:

Solución:

Como f(x) =1

16(16x4 � 8x+ 3); nos conviene trabajar con

g(x) = 16x4 � 8x+ 3:

(i):16 0 0 �8 3

16 16 16 8 116 16 16 8 11

Por lo tanto 1 es cota superior para las raíces positivas de f(x):

(ii): (x) = 3x4 � 8x3 + 16

3 �8 0 0 169 3 9 27 3

3 1 3 9 43

Por lo tanto 13 es cota inferior para las raíces positivas de f(x):

(iii): � (x) = (�1)416x4 + (�1)(�8)x + 3; o sea, �(x) = 16x4 +8x+3: Como �(x) no tiene coe�cientes negativos, entonces no tieneraíces positivas y en consecuencia f(x) no tiene raíces negativas.

3.7 Factorización de un polinomio en poli-nomios de raíces simples

Dado un polinomio f(x) 2 C[x]; los resultados de esta sección nospermitirán decidir cuántas raíces simples, dobles, triples,. . . , tiene.


Particularmente, vamos a poder decidir si f(x) tiene raíces múltiplesy en tal caso encontrar un polinomio que tenga exactamente lasdiferentes raíces de f(x); cada una como raíz simple.

Teorema (3.7.1).� Sea f(x) 2 C[x]; con gr f(x) = n � 1 ydigamos que

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0:

Si c1; c2; : : : ; cm 2 C son las diferentes raíces de f(x) y �1; �2; : : : ; �msus respectivas multiplicidades, entonces

d(x) = (x� c1)�1�1(x� c2)�2�1 : : : (x� cm)�n�1

es el máximo común dividor de f(x) y f 0(x):

Demostración: Sea k(x) =mcd ff(x); f 0(x)g:

Por hipótesis tenemos que

f(x) = an(x� c1)�1(x� c2)�2 : : : (x� cm)�m :

Por lo tanto

f 0(x) = an��1(x� c1)�1�1(x� c2)�2 : : : (x� cm)�m+

+�2(x� c1)�1(x� c2)�2�1 : : : (x� cm)�m + : : :++�m(x� c1)�1(x� c2)�2 : : : (x� cm)�m�1

�;

de donde se sigue que d(x)jf(x) y d(x)jf 0(x); y en consecuenciad(x)jk(x): Entonces existe q(x) 2 C[x] tal que

k(x) = d(x)q(x): (1)

Vamos a probar que q(x) 6= 0 es un polinomio constante. Siq(x) no es constante, sea c una raíz de q(x); entonces c es raízde k(x); luego c es raíz de f(x) y por lo tanto c = ci para algúni = 1; 2; : : : ;m:

Como k(x)jf 0(x); entonces f 0(x) = k(x)h(x); con h(x) 2 C[x]; ypor (1)

f 0(x) = d(x)q(x)h(x): (2)


Como ci es raíz de q(x); entonces existe p(x) 2 C[x] tal queq(x) = (x� ci)p(x); y sustituyendo esto en (2) se tiene que

f 0(x) = d(x)(x� ci)p(x)h(x): (3)

Puesto que

d(x) = (x� c1)�1�1 : : : (x� ci)�i�1 : : : (x� cm)�m�1;por (3) tenemos que

f 0(x) = (x� c1)�1�1 : : : (x� ci)�i : : : (x� cm)�m�1p(x)h(x);de donde se sigue que la multiplicidad de ci en f 0(x) es al menos�i; lo que contradice el Lema (3.3.4), pues ci es de multiplicidad�i en f(x); y por lo tanto tiene multiplicidad �i � 1 en f 0(x): Enconsecuencia, q(x) 6= 0 es constante y por lo tanto

d(x) = mcd ff(x); f 0(x)g:q.e.d.

Dado f(x) 2 C[x]; conf(x) = anx

n + : : :+ a1x+ a0

y gr f(x) = n � 1; sean g1(x) el producto de todos los factoreslineales correspondientes a las raíces simples de f(x); g2(x) el pro-ducto de los distintos factores lineales correspondientes a las raícesdobles de f(x); g3(x) el producto de los distintos factores lineales co-rrespondientes a las raíces triples de f(x); : : : ; g`(x) el producto de losdistintos factores lineales correspondientes a las raíces de multiplici-dad ` de f(x): Suponiendo que f(x) no tiene raíces de multiplicidadmayor que ` y conviniendo en que gk(x) = 1 si f(x) no tiene raícesde multiplicidad k; para 1 � k < `; tenemos que

f(x) = ang11(x)g

22(x)g

33(x) : : : g

``(x):

Del teorema (3.7.1) se sigue que

d1(x) = g2(x)g23(x) : : : g

`�1(x) es el mcd de f(x) y f 0(x);d2(x) = g3(x)g

24(x) : : : g

`�2` (x) es el mcd de d1(x) y d01(x);

d3(x) = g4(x) : : : g`�3` (x) es el mcd de d2(x) y d02(x);

...d`�1(x) = g`(x) es el mcd de d`�2(x) y d0`�2(x);d`(x) = 1 es el mcd de d`�1(x) y d0`�1(x):


Por lo anterior, sean

f1(x) =f(x)

d1(x)= ang1(x)g2(x) : : : g`(x);

f2(x) =d1(x)

d2(x)= g2(x)g3(x) : : : g`(x);

f3(x) =d2(x)

d3(x)= g3(x)g4(x) : : : g`(x);

...

f`(x) =d`�1(x)

d`(x)= g`(x):

Finalmente tenemos que

ang1(x) =f1(x)

f2(x);

g2(x) =f2(x)

f3(x);

...

g`�1(x) =f`�1(x)

f`(x);

g`(x) = f`(x):

En resumen, dado f(x) 2 C[x];

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0;

el proceso anterior indica cómo obtener los polinomios

g1(x); g2(x); : : : ; g`(x):

En efecto, al tener f(x); calculamos f 0(x) y encontramos

d1(x) = mcd ff(x); f 0(x)g:


Enseguida calculamos d01(x) y encontramos

d2(x) = mcd fd1(x); d01(x)g:

Continuando este proceso, obtenemos los polinomios mónicos

d1(x); d2(x); : : : ; d`(x) = 1:

Ahora calculamos los polinomios

f1(x) =f(x)

d1(x);

f2(x) =d1(x)

d2(x);

f3(x) =d2(x)

d3(x);

...

f`(x) =d`�1(x)

d`(x):

Y �nalmente obtenemos

ang1(x) =f1(x)

f2(x);

g2(x) =f2(x)

f3(x);

...

g`�1(x) =f`�1(x)

f`(x);

g`(x) = f`(x):

Por construcción, los polinomios g1(x); g2(x); : : : ; g`(x) tienen,cada uno, raíces simples; y también todas las raíces del polinomiof1(x) = ang1(x)g2(x) : : : g`(x) son simples y son precisamente lasdiferentes raíces de f(x). Así que para encontrar las diferentesraíces de f(x) basta encontrar las raíces de g1(x); g2(x); : : : ; g`(x):Las raíces de g1(x) son raíces simples de f(x); las raíces de g2(x) sonraíces dobles de f(x); : : : ; las raíces de g`(x) son raíces de multipli-cidad ` de f(x):


Ejemplo: Consideremos el polinomio

f(x) = x4 + x3 � 3x2 � x+ 2;

entonces f 0(x) = 4x3 + 3x2 � 6x� 1:

Calculemos d1(x) =mcdff(x); f 0(x)g :

x + 14x3 + 3x2 � 6x� 1 4x4 + 4x3 � 12x2 � 4x + 8

� 4x4 � 3x3 + 6x2 + xx3 � 6x2 � 3x + 8

por 4 4x3 � 24x2 � 12x + 32� 4x3 � 3x2 + 6x + 1

� 27x2 � 6x + 33por � 1

39x2 + 2x � 11

4x + 199x2 + 2x� 11 36x3 + 27x2 � 54x � 9

� 36x3 � 8x2 + 44x19x2 � 10x � 9

por 9 171x2 � 90x � 81� 171x2 � 38x + 209

� 128x + 128por � 1

128 x � 1

9x + 1x� 1 9x2 + 2x � 11

� 9x2 + 9x11x � 11x � 1

� x + 10

Por lo tanto d1(x) = x � 1: De donde se sigue que d01(x) = 1; yen consecuencia d2(x) = 1 (En este caso ` = 2).


Calculemos ahora

f1(x) =f(x)

d1(x):

x3 + 2x2 � x � 2x� 1 x4 + x3 � 3x2 � x + 2

� x4 + x3

2x3 � 3x2 � x + 2� 2x3 + 2x2

� x2 � x + 2x2 � x

� 2x + 22x � 2

0

Por lo tantof1(x) = x3 + 2x2 � x� 2:

Como d2(x) = 1; entonces

f2(x) = x� 1:

Enseguida calculamos g1(x) =f1(x)

f2(x):

x2 + 3x + 2x� 1 x3 + 2x2 � x � 2

� x3 + x2

3x2 � x � 2� 3x2 + 3x

2x � 2� 2x + 2

0

Por lo tanto

g1(x) = x2 + 3x+ 2

= (x+ 1)(x+ 2)


yg2(x) = f2(x) = x� 1:

Finalmente tenemos que las raíces de f(x) son: �1 y �2 comoraíces simples y 1 como raíz doble.

Observación: Subrayamos que si d1(x) = mcdff(x); f 0(x)g; en-tonces las raíces de

f1(x) =f(x)

d1(x)

son simples y son las diferentes raíces de f(x); de donde se sigue quesi d1(x) = 1; entonces todas las raíces de f(x) son simples y ademásf(x) y f 0(x) no tienen raíces comunes.

3.8 Relación entre las raíces y los coe�cientesde un polinomio

Sea f(x) 2 C[x] con gr f(x) = n � 1 y


n�1 + : : :+ a1x+ a0:

Sean c1; c2; : : : ; cn las raíces de f(x); no necesariamente diferen-tes. Entonces

f(x) = an(x� c1)(x� c2) : : : (x� cn):

Observemos que

x� c1 = x� c1;(x� c1)(x� c2) = x2 � (c1 + c2)x+ c1c2;

(x� c1)(x� c2)(x� c3) = x3 � (c1 + c2 + c3)x2

+(c1c2 + c1c3 + c2c3)x� c1c2c3;(x� c1)(x� c2)(x� c3)(x� c4) = x4 � (c1 + c2 + c3 + c4)x3

+(c1c2 + c1c3 + c1c4 + c2c3 + c2c4 + c3c4)x2

�(c1c2c3 + c1c2c4 + c1c3c4 + c2c3c4)x+c1c2c3c4:

3.8. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES149

Inductivamente se sigue que

(x� c1)(x� c2) : : : (x� cn) = xn � (c1 + c2 + : : :+ cn)xn�1 ++(c1c2 + : : :)x

n�2 ��(c1c2c3 + : : :)xn�3 ++ : : :+ (�1)k(c1c2 : : : ck + : : :)xn�k ++ : : :+ (�1)nc1c2 : : : cn

(compruébese por inducción matemática).

Para abreviar, sean s1 la suma de los números c1; c2; : : : ; cn; s2la suma de los productos de los números c1; c2; : : : ; cn tomando dosa la vez; s3 la suma de los productos de los números c1; c2; : : : ; cntomando tres a la vez;. . . ; sk la suma de los productos de los númerosc1; c2; : : : ; cn tomando k a la vez;. . . ; sn el producto de los númerosc1; c2; : : : ; cn:

De lo anterior se sigue que

f(x) = an[xn � s1xn�1 + s2xn�2 � : : :+ (�1)kskxn�k + : : :+ (�1)nsn];

por lo tanto

f(x) = anxn � ans1xn�1 + ans2xn�2 � : : :+ (�1)kanskxn�k + : : :+ (�1)nansn:

Y como


n�1 + : : :+ an�kxn�k + : : :+ a1x+ a0;

entonces

an�1 = �ans1;an�2 = ans2;

...

an�k = (�1)kansk;...

a0 = (�1)nansn:


Y por lo tanto

s1 = �an�1an

;

s2 =an�2an

;

...

sk = (�1)k an�kan

;

...

sn = (�1)n a0an:

Estas últimas relaciones se conocen como fórmulas de Vieta.

Ejemplo: Encontrar las raíces del polinomio

f(x) = 3x3 � 8x2 + 3x+ 2;

sabiendo que el producto de dos raíces es 2.

Solución: Sean c1; c2; c3 las raíces de f(x); entonces:

c1 + c2 + c3 = ��83

� � � (1)

c1c2 + c1c3 + c2c3 = 1 � � � (2)

c1c2c3 = �23

� � � (3)

Sean c1 y c2 tales que c1c2 = 2; entonces por (3) tenemos que2c3 = �2

3 ; y por lo tanto c3 = �13 :

Aplicando división sintética se tiene que

3 �8 3 2�1 3 �2 �1

3

3 �9 6 0

Así que las otras raíces de f(x) son las del polinomio

3x2 � 9x+ 6;

3.9. EJERCICIOS 151

el cual puede factorizarse como sigue

3x2 � 9x+ 6 = 3(x� 1)(x� 2):

En resumen, c1 = 1; c2 = 2 y c3 = �13 son las raíces de f(x):

3.9 EJERCICIOS

1. Sabiendo que f(x) = x4 + 2x3 � 7x2 � 8x+ 12 tiene las raíces1 y �2; encuentre el polinomio cuadrático que tiene las demásraíces de f(x) y también éstas.

2. Sabiendo que �1 y 3 son raíces de

f(x) = x4 + 2x3 � 12x2 � 10x+ 3;

encuentre sus demás raíces.

3. Sabiendo que 1� i yp2 son raíces de f(x) = x4�2x3+4x�4;


4. Una raíz de f(x) = 20x3 � 30x2 + 12x� 1 es 12 : Encuentre lasotras raíces.

5. Una raíz de f(x) = x3 � (2a + 1)x2 + a(a + 2)x � a(a + 1) esa+ 1. Encuentre las otras raíces.

6. Sabiendo que 1 +p2 y 1�

p2 son raíces de

f(x) = 2x4 � x3 � 17x2 + 15x+ 9;

encuentre sus otras raíces.

7. Dado que 1 + 2i es raíz de

f(x) = x3 � 2(1 + i)x2 � (1� 2i)x+ 2(1 + 2i);



8. Dos raíces de f(x) = x4�(1+2i)x3+(�4+i)x2+(3+6i)x+3�3ison i y

p3: Encuentre las otras raíces.

9. Escriba como producto de factores lineales los siguientes poli-nomios

9.1 f(x) = x4 � 1: 9.2 g(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1:9.3 h(x) = x3 � i: 9.4 f(x) = x5 � 3x4 + x3 + x2 � 3x+ 1:9.5 g(x) = x3 � x2 + x� 1: 9.6 h(x) = x4 � 5x2 + 6:9.7 f(x) = x4 � x2 + 1: 9.8 g(x) = x5 � x4 + x3 � 2x2 + 2x� 2:

10. Pruebe que sen �n � sen2�n � : : : � sen

(n�1)�n = n

2n�1 :

[Sugerencia: Escriba f(x) = xn�1+xn�2+ : : :+x+1 como unproducto de factores lineales, luego sustituya x por 1 y tome�nalmente el valor absoluto en ambos miembros].

11. Sea f(x) 2 C[x] con gr f(x) = n � 1: Si f(0) 6= 0 yc1; c2; : : : ; cn 2 C; con ci 6= 0 para cada i = 1; 2; : : : ; n; son lasraíces de f(x); pruebe que

f(x) = f(0)

�1� x

c1

��1� x

c2

�: : :

�1� x

cn

�:

12. Sean f(x); g(x) 2 C[x]; con gr f(x) = n y gr g(x) = m; y seanc1; c2; : : : ; ck 2 C; con ci 6= cj si i 6= j: Si f(ci) = g(ci) paracada i = 1; 2; : : : ; k y k >máx fn;mg; pruebe que f(x) = g(x):

13. Escriba un polinomio de mínimo grado que tenga las raíces:

13.1 �1; 0; 1: 13.2 �1;�2;�3:13.3 1;�1; 2;�2: 13.4 1

2 ; 2� i; 1�12 i:

13.5 i;�i; 1 + i; 1� i:

14. Encuentre el polinomio f(x) de mínimo grado tal quef(�1) = 0; f(0) = 0; f(1) = 0 y f(2) = 1:

15. Escriba un polinomio f(x) de mínimo grado que tenga a 1 y a�1 como raíces simples, a �3 como raíz doble, a 2 como raíztriple y tal que f(0) = 1:

16. Encuentre un polinomio f(x) de mínimo grado que tenga lasraíces 0; 2 + i; 2� i y tal que f(�1) = 1 y f(1) = �1:

3.9. EJERCICIOS 153

17. Escriba un polinomio f(x) de mínimo grado y de coe�cientesreales que tenga a 1 como raíz doble, a 1� i como raíz simple,y tal que f(�1) = �10 y f(0) = 2:

18. Demuestre que el único polinomio f(x) de grado n�1 que tienelas raíces x2; x3; : : : ; xn y tal que f(x1) = 1; es

f(x) =g(x)

(x� x1)g0(x1)

donde g(x) = (x� x1)(x� x2) : : : (x� xn):

[Sugerencia: Para la unicidad use el ejercicio (12)].

19. Sean x1; x2; : : : ; xn 2 C distintos entre sí, seany1; y2; : : : ; yn 2 C y sea g(x) = (x � x1)(x � x2) : : : (x � xn):Demuestre que

f(x) = g(x)(x�x1)g0(x1)y1 +

g(x)(x�x2)g0(x2)y2 + : : :+

g(x)(x�xn)g0(xn)yn

tiene grado no mayor que n� 1; que f(xi) = yi para cadai = 1; 2; : : : ; n y que f(x) es único con las propiedades ante-riores [Así queda resuelto el problema de encontrar un poli-nomio de mínimo grado que para los números x1; x2; : : : ; xn;distintos entre si, tome los valores dados y1; y2; : : : ; yn; respec-tivamente].

20. En cada caso, encuentre el polinomio f(x) de mínimo gradoque satisface las condiciones que se piden:

20.1 f(0) = 1; f(1) = 2; f(2) = 0; f(3) = �1 y f(4) = �2:20.2 f(�3) = �2; f(�1) = 1; f(0) = 2; f(2) = 1 y f(3) = 3:20.3 f

��12

�= 0; f(0) = 1

2 ; f(2) = 2; f(4) = 0; f(5) = �1 yf(7) = �4:

20.4 f(�i) = 1; f(i) = 1 + i; f(1� i) = �i y f(1 + i) = i:

20.5 f(1 + i) = 0; f(1� 2i) = �4; f(�2) = 1 + i y f(3i) = 1

21. Demuestre que f(x) 2 C[x] es dividido por el cuadrado de unpolinomio no constante, si y sólo si, el mcd de f(x) y f 0(x) esun polinomio no constante.


22. Sea f(x) 2 C[x], con gr f(x) � 1; y sea d(x) mcd de f(x) yf 0(x). Pruebe que:

22.1 f(x) y f 0(x) tienen al menos una raíz en común, si y sólosi, d(x) es no constante.

22.2 Si r 2 C es raíz simple de f(x); entonces r no es raíz ded(x):

22.3 r 2 C es raíz de multiplicidad � > 1 de f(x); si y sólo si,r es raíz de multiplicidad �� 1 de d(x):

22.4 Si q(x) es el cociente de dividir f(x) por d(x); entonceslas raíces de q(x) son simples y son las diferentes raícesde f(x).

23. Aplicando (22.3), encuentre las raíces de:

23.1 f(x) = x3 � 4x2 � 3x+ 18:23.2 f(x) = x4 � 8x3 + 22x2 � 24x+ 9:23.3 f(x) = 4x5 + 8x4 � 23x3 � 19x2 + 55x� 25:

24. Encuentre todas las raíces de los siguientes polinomios y escribaéstos como producto de factores lineales y/o cuadráticos decoe�cientes reales.

24.1 f(x) = x4 � 4x3 + 5x2 � 2x� 2; dado que 1 + i es raíz.24.2 f(x) = x3 � 3x2 � 6x� 20; dado que �1�

p3i es raíz.

24.3 f(x) = x5 � 3x4 + 4x3 � 4x+ 4; dado que 1 + i es raíz.24.4 f(x) = x4 � 4x2 + 8x� 4; dado que 1� i es raíz.24.5 f(x) = x6� 3x5+4x4� 6x3+5x2� 3x+2; dado que i es

raíz.

24.6 f(x) = x7 +2x5 � x4 + x3 � 2x2 � 1; dado que �i es raíz.

25. Pruebe que un polinomio de coe�cientes reales y de grado im-par, tiene al menos una raíz real.

26. Escriba un polinomio de coe�cientes reales y de grado tres, quetenga la raíces 1 y 3� 2i:

3.9. EJERCICIOS 155

27. Si el polinomio de coe�cientes reales f(x) = x3+ ax2+ bx� 20tiene la raíz 3+ i; encuentre sus otras raíces y determine a y b:

28. El polinomio f(x) = x3� (8+ i)x2+(19+7i)x�12�12i tienela raíz 1 + i. ?�Es también 1� i raíz de f(x)?

29. Si el polinomio de coe�cientes reales f(x) = x3 + px+ q tienela raíz imaginaria a+ bi; pruebe que entonces tiene la raíz �2a

30. Sabiendo que las raíces de f(x) = 3x3 + 4x2 + 8x + 24 tienenel mismo módulo, encuéntrelas.

31. Escriba a f(x) = x6 � 1 como un producto de factores linealesy cuadráticos de coe�cientes reales.

32. Sean p; q 2 R: Demuestre que 4p3 +27q2 = 0 es una condiciónnecesaria y su�ciente para que el polinomio f(x) = x3+ px+ qtenga una raíz doble [Sugerencia: Observe que la raíz dobletiene que ser real].

33. Si �(x) 2 R[x] es irreducible en R[x]; pruebe que gr�(x) = 1ó gr�(x) = 2:

34. Sea f(x) 2 Q[x] y sean a; b; c 2 Q tal que c > 0 y c 6= d2

para todo d 2 Q: Pruebe que si a + bpc es raíz de f(x) de

multiplicidad �; entonces también a � bpc es raíz de f(x) de

la misma multiplicidad � [Sugerencia: Proceda por inducciónsobre �].

35. Encuentre todas las raíces de:

35.1 f(x) = x3 � 3x2 � 5x+ 7; dado que 1�p8 es raíz.

35.2 f(x) = x4 � 13x2 + 4x+ 2; dado que 2 +p2 es raíz.

35.3 f(x) = x4 � 3x2 + 10x� 6; dado que �1 +p3 es raíz.

35.4 g(x) = x3 � 6x2 + ax+ b; con a; b 2 Q; dado que 1�p5

es raíz.

36. Si f(x) = x3+ax2+ bx+28; con a; b 2 Q; tiene la raíz 3�p2;

encuentre sus demás raíces y determine a y b.

37. Encuentre las raíces enteras, si hay, de los siguientes poli-nomios:


37.1 f(x) = x3 � 10x2 + 18x� 16:37.2 g(x) = 2x3 � 18x2 + 32x� 28:37.3 h(x) = 3x4 + 24x3 � 21x2 � 147x+ 168:37.4 f(x) = 1

5x5 � x4 + 2

5x3 � 5x2 + 21

5 x+ 54:

37.5 g(x) = 3x6 � 40x5 + 130x4 � 120x3 + 27x2:

38. Encuentre las raíces racionales, si hay, de los siguientes poli-nomios:

38.1 f(x) = 3x3 � 2x2 + 9x� 6:38.2 g(x) = �2x4 + 7x3 � 10x2 + 6x:38.3 h(x) = �10x3 � 19x2 + 30x� 9:38.4 f(x) = x5 + 1

2x4 � x3 � 3x2:

38.5 g(x) = 24x3 � 2x2 � 5x+ 1:38.6 h(x) = x4 � 11

4 x2 + 9

4x�12 :

38.7 f(x) = 3x5 + 12x4 � 7x3 + 2x2 + 5

2x� 1:38.8 g(x) = 2x6 + x5 � 9x4 � 6x3 � 5x2 � 7x+ 6:38.9 h(x) = 6x5 + 11x4 � x3 + 5x� 6:38.10 f(x) = 8x5 + 3x2 � 17:

39. Pruebe que f(x) = 30xn � 91 no tiene raíces racionales paracada n � 2:

40. Si r es raíz racional del polinomio con coe�cientes enterosf(x) = xn + an�1xn�1 + : : : + a1x + a0; pruebe que r debeser un número entero.

41. Si f(x) es un polinomio de coe�cientes enteros y los númerosf(0) y f(1) son impares, pruebe que f(x) no tiene raíces en-teras.

42. Si f(x) es un polinomio de coe�cientes enteros y ninguno delos números f(�1); f (0) y f(1) es divisible por 3, pruebe quef(x) no tiene raíces enteras.

43. Sea f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0 un polinomio de coe�cientes

enteros, y sea m un entero que divide a a0: Si existe k; númeroentero, tal que m� k no divide a f(k); pruebe que entonces mno es raíz de f(x):

3.9. EJERCICIOS 157

44. Pruebe que la grá�ca de un polinomio de coe�cientes reales yde grado 1; es una recta.

45. Pruebe que la grá�ca de un polinomio de coe�cientes reales yde grado 2; es una parábola que abre para arriba o para abajo,según el coe�ciente de x2 sea positivo o negativo, respectiva-mente.

46. Sea f(x) = anxn + an�1xn�1 + : : : + a1x + a0 un polinomio

de coe�cientes complejos y sea z un complejo distinto de cero.Pruebe que:

46.1 z es raíz de f(x); si y sólo si, 1z es raíz de

g(x) = an + an�1x+ : : :+ a1xn�1 + a0x

n:

46.2 z es raíz de f(x); si y sólo si, �z es raíz de g(x) =(�1)nanxn + (�1)n�1an�1xn�1 + : : :+ (�1)a1x+ a0.

46.3 z es raíz de f(x); si y sólo si, �1z es raíz de g(x) =

(�1)nan + (�1)n�1an�1x+ : : :+ (�1)a1xn�1 + a0xn.


reales. Si ai � 0 (ó ai � 0) para cada i = 0; 1; : : : ; n; pruebeque f(x) no tiene raíces reales positivas.

48. Sea f(x) = a2kx2k + a2(k�1)x

2(k�1) + : : : + a2x2 + a0 un poli-

nomio de coe�cientes reales. Si a0 > 0 y a2i � 0 para cadai = 1; 2; : : : ; k (ó a0 < 0 y a2i � 0 para cada i = 1; 2; : : : ; k);pruebe que f(x) no tiene raíces reales.

49. Con referencia a los ejercicios 47 y 48, ?�qué puede decir sobrelas raíces reales de los siguientes polinomios?

49.1 f(x) = x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1:

49.2 f(x) = 3x4 + x3 + 9x:

49.3 f(x) = �x6 � 7x3 � 2x2 � 6x� 4:49.4 f(x) = 2x7 + 3x5 + 5x3:

49.5 f(x) = 2x8 + 5x6 + x4 + 9x2 + 1:

49.6 f(x) = �4x6 � x4 � 7:


49.7 f(x) = 9x8 + 3x2 + 2:

49.8 f(x) = 6x8 + 2x4 + 3x2:

49.9 f(x) = x9 + 3x5 + 7x3 + x:

49.10 f(x) = �4x7 � 9x5 � x3 � 4x:

50. Encuentre cotas superiores e inferiores para las raíces positivasy negativas de los siguientes polinomios:

50.1 f(x) = 2x3 � 7x2 + 10x� 6:50.2 f(x) = 3x6 � 8x5 � 9x4 + 10x3 � 27x2:50.3 f(x) = �6x5 + 20x2 � 5x+ 10:50.4 f(x) = 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x+ 2:

50.5 f(x) = �x6 + 5x5 � x4 � 12x3 + 12x2 � 1:50.6 f(x) = 3x9 � 7x6 + 12x4 � 8x3:50.7 f(x) = 2

3x7 � 3

5x4 � 7x3 + 8x� 1

2 :

50.8 f(x) = �35x8 + 7x3 � 1

2x2:

50.9 f(x) =p2x5 � 7p

2x3 + 3

p2x2:

50.10 f(x) = 73x8 + 4x4 + 8x2 + 3:

51. Encuentre cotas superiores e inferiores para las raíces positivasy negativas de los siguientes polinomios. También encuentre,si hay, sus raíces racionales.

51.1 f(x) = 24x3 � 2x2 � 5x+ 1:51.2 f(x) = �2x5 + x4 � x2:51.3 f(x) = 3x5 + 1

2x4 � 7x3 + 2x2 + 5

2x� 1:51.4 f(x) = �x6 � 1

6x5 + 1

6x4 + 5

6x2 � x:


reales. Si an > 0 y el primer coe�ciente negativo de f(x); con-tando de izquierda a derecha, está precedido por k coe�cientespositivos o cero, y si G denota el máximo valor absoluto de loscoe�cientes negativos, pruebe que

M = 1 + k

rG

an

es cota superior para las raíces positivas de f(x):

3.9. EJERCICIOS 159

53. Aplique el criterio dado en el ejercicio 52, para encontrar cotassuperiores e inferiores de las raíces positivas y negativas de lossiguientes polinomios:

53.1 f(x) = x5 + 4x4 � 7x2 � 40x+ 1:53.2 f(x) = 4x7 � 8x6 + 22x5 + 98x4 � 73x3 + 5x2:53.3 f(x) = �7x6 � 3x4 + 8x3 � 9x+ 4:


de coe�cientes complejos con gr f(x) = n � 1: Para cadai = 0; 1; : : : ; n; sea Ai = jaij ; y sea

F (x) = Anxn �An�1xn�1 � : : :�A1x�A0 2 R[x]:

SiM > 0 es un real tal que F (x) = (x�M)q(x)+F (M); dondeF (M) � 0 y donde los coe�cientes de q(x) son no negativos (ypor tanto M es cota superior para las raíces reales positivas deF (x)), pruebe entonces que M es cota superior para el módulode las raíces de f(x):

55. Aplicando el criterio dado en el ejercicio 54, encuentre unacota superior para el módulo de las raíces de los siguientespolinomios:

55.1 f(x) = 2x4 � 7x3 + 6x2 � 5:55.2 g(x) = �2x5 � ix3 + (5� 5i)x2 � (3 + 2i)x+ 10:

56. Sea f(x) = anxn + an�1xn�1 + : : :+ a1x+ a0 un polinomio de

coe�cientes reales. Si an � an�1 � : : : � a0 > 0; pruebe queM = 1 es cota superior para el módulo de las raíces de f(x)[Sugerencia: Considere el polinomio (x� 1)f(x)].


de coe�cientes reales. Si ai > 0 para cada i = 0; 1; 2; : : : ; n y

� = máxnai�1ai

j i = 1; 2; : : : ; no; pruebe que � es cota supe-

rior para el módulo de las raíces de f(x): [Sugerencia: Escribax = �y y aplique 56].

58. Aplicando el método de factorizar un polinomio en polinomiosde raíces simples, encuentre las raíces de los siguientes poli-nomios. Diga la multiplicidad de cada raíz.


58.1 f(x) = x3 � 7x2 + 15x� 9:58.2 g(x) = 3x3 � 3x� 2p

3:

58.3 h(x) = x3 � (3 + i)x2 + (4 + 2i)x� (2 + 2i):58.4 f(x) = x5 � x4 � 2x3 + 2x2 + x� 1:58.5 g(x) = 2x6 � 12x5 + 19x4 � 6x3 + 9x2:58.6 h(x) = 2x4 � x+ 3

8 :

58.7 f(x) = x5 � 6x3 � 8x2 � 3x:58.8 g(x) = x6 � 3x5 + 6x3 � 3x2 � 3x+ 2:58.9 h(x) = x7 � 3x6 + 5x5 � 7x4 + 7x3 � 5x2 + 3x� 1:58.10 f(x) = x8 + x7 � 8x6 � 6x5 + 21x4 + 9x3 � 22x2 � 4x+ 8

59. Decida si los siguientes polinomios tienen raíces de multiplici-dad mayor que uno, y en tal caso encuéntrelas.

59.1 f(x) = x3 � 3x+ 1:59.2 g(x) = x5 + 5x4 � 20x2 � 10x+ 2:59.3 h(x) = x4 � 8x3 + 22x2 � 24x+ 9:59.4 f(x) = 8x4 � 20x3 + 18x2 � 7x+ 1:59.5 g(x) = x3 � (3� 2i)x2 + (4� 4i)x� (2� 4i):59.6 h(x) = 4x5 + 8x4 � 23x3 � 19x2 + 55x� 25:59.7 f(x) = x5 � 12x4 + 46x3 � 40x2 � 96x+ 128:

60. Si f(x) es polinomio de coe�cientes complejos ygr f(x) = n � 1; pruebe que f 0(x) divide a f(x); si y sólo si,f(x) = a(x� c)n con a; c 2 C:

61. Encuentre las raíces a; b; c de los siguientes polinomios:

61.1 f(x) = 2x3 � 7x2 � 5x+ 4; si a+ b = 3:61.2 f(x) = 4x3�12x2+3x+5; si a; b y c están en progresión

aritmética [a = r � s; b = r y c = r + s].

61.3 f(x) = x3 � 7x2 � 42x+ 216; si c2 = ab:

61.4 f(x) = x3�(3�2i)x2+(4�4i)x�(2�4i); si a+b = 2�i:61.5 f(x) = x3 � 2x2 � 5x+ 6; si ab = 3:

3.9. EJERCICIOS 161

61.6 f(x) = 2x3 � 11x2 � 7x+ 6; si ab = 3:61.7 f(x) = 3x3 � 26x2 + 52x� 24; si a; b; y c

están en progresión geométrica [a = rs ; b = r y c = rs].

61.8 f(x) = 3x3 + 17x2 � 87x+ 27; si b = 1a :

61.9 f(x) = x3 � 27x2 + 242x� 720; si a = b+c2 :

61.10 f(x) = x3 � x2 + 3x+ 5; si a+ b = 2i:

62. Si f(x) = x3� 9x2+ kx� 24; encuentre k y las raíces de f(x),si éstas están en progresión aritmética.

63. Si f(x) = 2x3 � 6x2 + 3x+ k; encuentre k y las raíces a; b y cde f(x) si a = 2b+ 2c:

64. Si las raíces de f(x) = x3 + px2 + qx + r están en progresióngeométrica, encuentre la relación entre p; q y r:

65. Encuentre las raíces a; b; c y d de los siguientes polinomios:

65.1 f(x) = x4 � 2x3 + 2x2 � x� 2; si a+ b = 1:65.2 f(x) = 4x4 + 28x3 + 33x2 � 56x+ 16; si a = b y c = d:

65.3 f(x) = x4 � 5x3 + 6x2 + 4x� 8; si a = b = c:

65.4 f(x) = 9x4 + 9x3 + 2x2 � 14x+ 4; si a = 2b:

66. Pruebe que la suma de las raíces n�ésimas de la unidad, escero.

67. Pruebe que el producto de las raíces n�ésimas de la unidad es1 ó �1; según si n es impar o par, respectivamente.

68. Si g(x) 2 Q[x] es irreducible en Q[x]; pruebe que todas lasraíces de g(x) son simples. [Sugerencia: Bajo la hipótesis,pruebe y use que si c es raíz de g(x); entonces g(x) es poli-nomio de mínimo grado en Q[x] tal que g(c) = 0].

69. Si f(x); g(x) 2 Q[x] son irreducibles en Q[x] y tienen una raízen común, pruebe que f(x) = ag(x) para alguna constantea 2 Q:

Capítulo 4

SEPARACIÓN DERAÍCES

Posiblemente el lector ya se preguntó por qué razón no se haabordado el problema general de resolver una ecuación algebraica(encontrar las raíces de un polinomio) por medio de fórmulas comolas que se emplean para las ecuaciones de primero y segundo gra-dos. La respuesta es simple: El noruego Abel (1802 � 1829) y elfrancés Evariste Galois (1811 � 1832) probaron que una ecuaciónalgebraica general de grado n � 5; no es soluble por radicales, esdecir, no pueden encontrarse sus raíces por fórmulas que involucrensólo operaciones de suma, multiplicación y radicación sobre sus coe-�cientes, como ocurre con la ecuación de segundo grado. Desde luegoque hay ecuaciones particulares, de grado arbitrario, que pueden re-solverse por radicales; de hecho Galois establece las condiciones bajolas cuales, una ecuación de grado n � 5 es soluble por radicales. Encuanto a las ecuaciones generales de tercer y cuarto grados, fueronresueltas por radicales, por los italianos Tartaglia (1500 �1557) yFerrari (1522 �1565), respectivamente.

Una vez aclarado lo anterior, proseguimos con el estudio sobre laresolución de ecuaciones algebraicas, es decir, sobre raíces de poli-nomios.

En este capítulo y en el que sigue, sólo trabajaremos con poli-nomios de coe�cientes reales y estaremos interesados exclusivamente

163

164 CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES

en las raíces reales de éstos.

4.1 Raíces aisladas

De�nicion (4.1.1).� Sea f(x) 2 R[x]; sea r 2 R una raíz def(x) y sean a; b 2 R; con a < b: Decimos que r está aislada enel intervalo abierto ]a; b[; si r 2 ]a; b[ y ]a; b[ no tiene otras raíces def(x): Y decimos que las diferentes raíces reales de f(x) están separadas,cuando cada una de ellas está aislada en un intervalo abierto.

Ejemplo: El polinomio f(x) = x3� 12x2�2x+1 tiene sus raíces

reales separadas en los intervalos ]� 2;�1[ ; ]0; 1[ y ]1; 2[ :

Para separar las raíces reales de un polinomio de coe�cientesreales, es necesario decidir cuántas raíces reales diferentes tiene; omás generalmente, cuántas raíces reales tiene en un intervalo dado]a; b[; contando y sin contar multiplicidad.

4.2 El signo de un polinomio para grandes ypequeños valores de la indeterminada

De�nición (4.2.1).�Sea y 2 R; con y 6= 0: De�nimos el signo dey; denotado por sig (y); como sig (y) = 1; si y > 0; y comosig (y) = �1; si y < 0:

Teorema (4.2.2).�Si g(x) 2 R[x] y

g(x) = c1x+ c2x2 + : : :+ cnx

n;

entonces para cada " > 0 existe � > 0 (que depende de ") tal que

jg (t)j < " si t 2 R y jtj < �:

4.2. EL SIGNO DE UN POLINOMIO 165

Demostración: Dada " > 0; demostraremos que el número

� ="

c+ "� 1;

donde

c = máx�jcij�� i = 1; 2; : : : ; n� ;

satisface las condiciones que se piden. En efecto:

Dado t 2 R;

g(t) = c1t+ c2t2 + : : :+ cnt

n:

Por lo tanto

jg(t)j =��c1t+ c2t2 + : : :+ cntn�� jc1j jtj+ jc2j jtj2 + : : :+ jcnj jtjn :

Si r = jtj y c =máx�jcij�� i = 1; 2; : : : ; n� ; entonces

jg(t)j � cr + cr2 + : : :+ crn;

o sea,jg(t)j � c

�r + r2 + : : :+ rn

�:

Observemos que si r 6= 1;

1 + r + r2 + : : :+ rn�1 =1� rn1� r ;

y por lo tanto

r + r2 + : : :+ rn =r � rn+11� r :


jg(t)j � c

�r � rn+11� r

�: (1)

Si 0 � r < 1; entonces rn < 1; por lo tanto rn+1 � r; y por lotanto 0 � r � rn+1 � r: Consecuentemente

0 � r � rn+11� r � r

1� r :


Entonces por (1) se tiene que

jg(t)j � cr

1� r :

En conclusión, si jtj = r < "c+" � 1; entonces rc + r" < "; y por

lo tanto

cr

1� r < "; o sea, jg(t)j < ":

q.e.d.

Corolario (4.2.3).�Sea f(x) 2 R[x]; con


n�1 + : : :+ a1x+ a0

y an 6= 0: Si t 2 R y jtj es su�cientemente grande�jtj > 2c+ 1; donde c = máx

��an�ian

�� i = 1; 2; : : : ; n�� ;entonces

sig f(t) = sig antn:

Demostración: Sea t 2 R; con jtj > 1; entonces

f(t) = antn + an�1t

n�1 + : : :+ a1t+ a0:

Por lo tanto

f(t) = antn

�1 +

an�1an

1

t+ : : :+

a1an

1

tn�1+a0an

1

tn

�:

Si s = 1t y para cada i = 1; 2; : : : ; n; ci =

an�ian

; entonces

f(t) = antn�1 + c1s+ : : :+ cn�1s

n�1 + cnsn�:

Dado " = 12 ; si jsj <

"c+" ; donde c =máx

�jcij�� i = 1; 2; : : : ; n� ;

por teorema (4.2.2) tenemos que��c1s+ : : :+ cn�1sn�1 + cnsn�� < 1

2:

4.2. EL SIGNO DE UN POLINOMIO 167

Por tanto

�12< c1s+ : : :+ cn�1s

n�1 + cnsn <

1

2:


0 < 1� 12< 1 + c1s+ : : :+ cn�1s

n�1 + cnsn < 1 +

1

2:

En consecuencia, si jsj es su�cientemente pequeño,

jsj = 1

jtj <1

2c+ 1;

es decir, si jtj es su�cientemente grande, jtj > 2c+ 1; entonces

sig f(t) = sig antn:

q.e.d.

Corolario (4.2.4).�Sea f(x) 2 R[x]:

i) Si f(x) = anxn+an�1xn�1+ : : :+a1x+a0 con a0 6= 0; y t 2 R

con jtj su�cientemente pequeño�jtj < 1

2c+1 ; donde c = máx�� aia0 ��

�� i = 1; 2; : : : ; n�� ;entonces

sig f(t) = sig a0:

ii) Si f(x) = am+kxm+k+am+k�1x

m+k�1+: : :+am+1xm+1+amxm

con am 6= 0 y m � 1; y si t 2 R con 0 < jtj su�cientementepequeño�0 < jtj < 1

2c+ 1; donde c = máx

��am+iam

�� i = 1; 2; : : : ; k�� ;entonces

sig f(t) = sig amtm:



Convención: Sea f(x) 2 R[x]: Las expresiones f(+1) = +1y f(+1) = �1; signi�can que para t > 0 su�cientemente grande,f(t) > 0 y f(t) < 0; respectivamente. Así mismo, f(�1) = +1y f(�1) = �1 signi�can que para t < 0; con jtj su�cientementegrande, f(t) > 0 y f(t) < 0; respectivamente.

Ejemplos:

1. Si f(x) = x5 � 10x2 + 20000; entoncesf(+1) = +1 y f(�1) = �1:

2. Si f(x) = 2x6 � 80x3 + 100x2 � 106; entoncesf(+1) = +1 y f(�1) = +1:

3. Si f(x) = �3x4 + 20x3 � 10x2 + 108; entoncesf(+1) = �1 y f(�1) = �1:

4. Si f(x) = �2x5 + 80x4 + 100; entoncesf(+1) = �1 y f(�1) = +1:

4.3 El teorema de cambio de signo

Teorema (4.3.1).�Sea f(x) 2 R[x] y sean a; b 2 R tales quea < b: Si sig f(a) 6= sig f(b); entonces existe r 2 ] a; b[ tal quef(r) = 0: Es decir, si a < b y los números f(a) y f(b) tienen sig-nos diferentes, entonces f(x) tiene al menos una raíz entre a y b:

Demostración: Geométricamente el resultado es evidente, véanselas �guras (13.1) y (13.2).

4.3. EL TEOREMA DE CAMBIO DE SIGNO 169

Este teorema es un caso particular de uno más general, cono-cido como propiedad de Darboux, sobre funciones continuas, el cualseguramente ya conoce el lector.

Enseguida damos algunos resultados que serán útiles en la demostración:

I) Si f(x) = a0+a1x+a2x2+ : : :+anx

n es un polinomio de coe�-cientes reales y c es un número real, entonces existenA0; A1; A2; : : : ; An números reales tales que

f(x) = A0 +A1(x� c) +A2(x� c)2 + : : :+An(x� c)n:

En efecto: Aplicando sucesivamente el teorema (2.5.2) tenemosque

f(x) = (x� c)q1(x) + f(c);q1(x) = (x� c)q2(x) + q1(c);

...

qn�1(x) = (x� c)qn(x) + qn�1(c);qn(x) = constante:


Por lo tanto

f(x) = f(c) + (x� c)q1(x)= f(c) + q1(c)(x� c) + (x� c)2q2(x)...

= f(c) + q1(c)(x� c) + q2(c)(x� c)2 + : : :+ qn(c)(x� c)n;

o sea,

f(x) = A0 +A1(x� c) +A2(x� c)2 + : : :+An(x� c)n

donde A0 = f(c) y Ai = qi(c) para cada i = 1; 2; : : : ; n:

II) Sea f(x) = a0 + a1x + a2x2 + : : : + anx

n un polinomio decoe�cientes reales, y sea c un número real. Entonces, paracada " > 0 existe � > 0 (que depende de " y de c) tal que

jf(s)� f(c)j < " si s 2 ]c� �; c+ �[:

En efecto: Por el resultado anterior

f(x) = A0 +A1(x� c) +A2(x� c)2 + : : :+An(x� c)n;

y evaluando f(x) en el número real c+ t se tiene que

f(c+ t) = f(c) +A1t+A2t2 + : : :+Ant

n;

por lo tanto

f(c+ t)� f(c) = A1t+A2t2 + : : :+Ant

n:

Por el teorema (4.2.2), si � = "A+" > 0 donde

A = máx�jAij

�� i = 1; 2; : : : ; n� ;y si jtj < �; entonces

jf(c+ t)� f(c)j =��A1t+A2t2 + : : :+Antn�� < ":

Escribiendo s = c+ t se tiene que t = s� c; y como js� cj < �;si y sólo si, c � � < s < c + �; si y sólo si, s 2 ]c � �; c + �[;entonces para cada " > 0 existe � = "

A+" tal que

jf(s)� f(c)j < " si s 2 ]c� �; c+ �[:


III) Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales, y sea c un númeroreal.

i) Si f(c) > 0; entonces existe � > 0 tal que f(s) > 0 paracada s 2 ]c� �; c+ �[:

ii) Si f(c) < 0; entonces existe � > 0 tal que f(s) < 0 paracada s 2 ]c� �; c+ �[:

En efecto:

(i): Supongamos que para cada � > 0 existe s 2 ]c � �; c + �[tal que f(s) � 0: Tomando " = f(c) se tiene que

jf(s)� f(c)j = jf(c)� f(s)j = f(c)� f(s) � ";

lo que contradice (II).

(ii): Se procede en forma análoga a (i).

IV) De�nición.� Sea A un conjunto de números reales. Decimosque r 2 R es una cota superior de A; si r � a para todo a 2 A:Decimos que A está acotado superiormente, si A tiene cotasuperior.

Observemos que si r es cota superior de A y t > r; entoncestambién t es cota superior de A:

V) De�nción.�Sea A un conjunto de números reales. Decimos quer0 es cota superior mínima de A; y escribimos r0 = supA; si:

i) r0 es cota superior de A:

ii) Si r es también cota superior de A; entonces r0 � r:

Obsérvese que si A tiene cota superior mínima, ésta es única.

VI) Axioma: Si A es un conjunto no vacío de números reales y estáacotado superiormente, entonces A tiene cota superior mínima.


Procedemos ahora a demostrar el teorema.

Como sig f(a) 6= sig f(b);

(�) Supongamos primero que f(a) < 0 y f(b) > 0:

Sea A = fs j a � s � b y f(t) < 0 si t 2 [a; s]g :

Como a 2 A; entonces A 6= �: Además, puesto que f(a) < 0;entonces por III(ii), existe � > 0 tal que f(s) < 0 para todos 2 [a; a+ �[:

Por otro lado, claro que b es cota superior de A; y como f(b) > 0;entonces por III(i), existe � > 0 tal que f(t) > 0 para todot 2 ]b� �; b]:

De estas observaciones se sigue que A tiene cota superior mínima,digamos que ésta es c: Además a < c < b:

A�rmamos que f(c) = 0: En efecto:

Si f(c) < 0; entonces por III(ii), existe � > 0 tal que f(t) < 0para cada t 2 ]c��; c+�[: Como c = supA; entonces existe t1 2 A tal


que c� � < t1 � c (pues en caso contrario c no sería el sup A). Estosigni�ca, por como se de�ne A, que f(u) < 0 para cada u 2 [a; t1]:Pero si t2 es tal que c < t2 < c + �; entonces f(v) < 0 para cadav 2 [t1; t2]; y en consecuencia f(w) < 0 para cada w 2 [a; t2]; demodo que t2 2 A: Esto último contradice que c = supA. Por lotanto no es posible que f(c) < 0:

Si f(c) > 0; entonces por III(i), existe � > 0 tal que f(t) > 0 paracada t 2 ]c� �; c+ �[: Nuevamente, como c = supA; entonces existet1 2 A tal que c � � < t1 < c (pues en caso contrario c no sería elsupA), pero ésto signi�ca que f(t1) < 0; lo que contradice quef(t1) > 0: Por lo tanto no es posible que f(c) > 0:

Así pues, como f(c) < 0 y f(c) > 0 no son posibles, la únicaalternativa es f(c) = 0:

(��) Suponemos ahora que f(a) > 0 y f(b) < 0: En este caso, seag(x) = �f(x): Entonces g(a) < 0 y g(b) > 0: Por lo probado en (�) ;existe c 2 ]a; b[ tal que g(c) = 0; y como g(x) = �f(x); entoncesf(c) = 0.

q.e.d.

Corolario (4.3.2).�Si f(x) 2 R[x] tiene grado impar, entoncesf(x) tiene al menos una raíz real.

Demostración: Sea f(x) = a2k+1x2k+1+a2kx

2k+ : : :+a1x+a0con gr f(x) = 2k + 1:

i) Si a2k+1 > 0; entonces por el corolario (4.2.3) f(�1) = �1y f(+1) = +1; o sea, sig f(�1) 6= sig f(+1), por lo tantoexiste r 2 ]�1;+1[ tal que f(r) = 0:

ii) Si a2k+1 < 0; entonces por el corolario (4.2.3) f(�1) = +1y f(+1) = �1; o sea, sig f(�1) 6= sig f(+1); por lo tantoexiste r 2 ]�1;+1[ tal que f(r) = 0:

q.e.d.


Corolario (4.3.3).� Sea f(x) 2 R[x] con grado par y digamosque f(x) = a2kx

2k + a2k�1x2k�1 + : : :+ a1x+ a0: Si sig a2k 6= sig a0;

entonces f(x) tiene al menos dos raíces reales, una positiva y otranegativa.


Corolario (4.3.4).� Sea f(x) 2 R[x] con f(x) 6= 0; y seana; b 2 R con a < b: Si f(x) no tiene raíces en [a; b]; entoncessig f(s) = sig f(t) para cada s; t 2 [a; b]:

Demostración: Supongamos que existen s; t 2 [a; b]; con s < t;tales que sig f(s) 6= sig f(t); entonces por el teorema (4.3.1), exister 2 ]s; t[ � [a; b] tal que f(r) = 0; lo cual contradice que f(x) notiene raíces en [a; b]:

q.e.d.

Corolario (4.3.5).�Sea f(x) 2 R[x] y sean a; b 2 R con a < b:Si f(a) 6= 0 y f(b) 6= 0; entonces:

i) f(x) no tiene raíces en ]a; b[ ó tiene, contando multiplicidad, unnúmero par de raíces en ]a; b[; si y sólo si, sig f(a) = sig f(b):

ii) f(x) tiene, contando multiplicidad, un número impar de raíces en]a; b[; si y sólo si, sig f(a) 6= sig f(b):

Demostración: Si r1; r2; : : : ; rk son las diferentes raíces de f(x)en ]a; b[; y �1; �2; : : : ; �k son sus respectivas multiplicidades, entoncesf(x) tiene, contando multiplicidad, �1+�2+ : : :+�k raíces en ]a; b[y

f(x) = (x� r1)�1(x� r2)�2 : : : (x� rk)�kq(x); (1)

donde q(x) no tiene raíces en [a; b]; puesto que si tuviera alguna, éstatambién lo sería de f(x); y ya han sido elegidas todas las raíces de


éste en ]a; b[; además de que por hipótesis a y b no son raíces de f(x):

De (1) tenemos que

f(a) = (a� r1)�1(a� r2)�2 : : : (a� rk)�kq(a)

yf(b) = (b� r1)�1(b� r2)�2 : : : (b� rk)�kq(b):

Particularmente

f(a) = (�1)�1(r1 � a)�1(�1)�2(r2 � a)�2 : : : (�1)�k(rk � a)�kq(a);

o sea,

f(a) = (�1)�1+�2+:::+�k(r1 � a)�1(r2 � a)�2 : : : (rk � a)�kq(a):

Por lo tanto

f(a)

f(b)= (�1)�1+�2+:::+�k

�r1 � ab� r1

��1 �r2 � ab� r2

��2: : :

�rk � ab� rk

��k q(a)q(b)

:

Como a < ri < b para cada i = 1; 2; : : : ; k; y además q(a) yq(b) tienen el mismo signo debido a que q(x) no tiene raíces en [a; b];entonces sig f(a)f(b) = (�1)

�1+�2+:::+�k ; y consecuentemente

sig f(a) = sig f(b); si y sólo si, �1 + �2 + : : :+ �k es par

y

sig f(a) 6= sig f(b); si y sólo si, �1 + �2 + : : :+ �k es impar.

q.e.d.

Suponiendo que en la �gura (15.1), siguiente, se dibuja una por-ción de la grá�ca de un polinomio f(x); por el corolario (4.3.5), r1 esraíz de multiplicidad par y r2 es raíz simple o de multiplicidad impar.En la �gura (15.2) se dibuja parte de la grá�ca de un polinomio queno tiene raices en el intervalo [a; b]:


4.4 El teorema de Rolle

De�nición (4.4.1).�Sea f(x) 2 R[x] y sean a; b 2 R; con a < b;raíces de f(x): Decimos que a y b son raíces consecutivas de f(x); siéste no tiene raíces en ]a; b[:

Teorema (4.4.2) [Teorema de Rolle].�Si a; b 2 R; con a < b; sonraíces consecutivas de f(x) 2 R[x]; entonces f 0(x) tiene al menos unaraíz, y en todo caso un número impar de raíces, contando multiplicidad,en ]a; b[:

Demostración: Sean � � 1 y � � 1 las respectivas multiplici-dades de las raíces a y b de f(x); entonces

f(x) = (x� a)�(x� b)�q(x);

4.4. EL TEOREMA DE ROLLE 177

donde claro que q(x) no tiene raíces en [a; b]: Aplicando las propieda-des de derivación tenemos que

f 0(x) = �(x� a)��1(x� b)�q(x) + �(x� a)�(x� b)��1q(x) + (x� a)�(x� b)�q0(x);

y por lo tanto

f 0(x) = (x� a)��1(x� b)��1g(x); (1)

donde

g(x) = �(x� b)q(x) + �(x� a)q(x) + (x� a)(x� b)q0(x):

Puesto que

g(a) = �(a� b)q(a) 6= 0 y g(b) = �(b� a)q(b) 6= 0;

entoncesg(a)

g(b)=�

�

a� bb� a

q(a)

q(b):

Como q(x) no tiene raíces en [a; b]; entonces q(a)q(b) > 0; además

�� > 0 y

a�bb�a < 0; por lo tanto sig g(a) 6= sig g(b); de donde se sigue

por teorema (4.3.1), que existe r 2 ]a; b[ tal que g(r) = 0: De he-cho, por corolario (4.3.5) (ii), g(x) tiene, contando multiplicidad, unnúmero impar de raíces en ]a; b[: Por (1), f 0(x) y g(x) tienen, con-tando multiplicidad, las mismas raíces en ]a; b[; de donde se sigue elresultado.

q.e.d.

Corolario (4.4.3).� Sea f(x) 2 R[x]: Si c; d 2 R; con c < d;son raíces consecutivas de f 0(x); entonces f(x) tiene a lo más una raízsimple en ]c; d[:

Demostración: Si f(x) tiene raíz en ]c; d[; ésta es simple. Enefecto: Si r 2 ]c; d[ es raíz de multiplicidad � > 1 de f(x); entoncesr es raíz de multiplicidad � � 1 � 1 de f 0(x); contradiciendo quec y d son raíces consecutivas de f 0(x): A lo más hay una raíz def(x) en ]c; d[: En efecto: Si hay más de una, sean a; b 2 ]c; d[; cona < b; raíces consecutivas de f(x); entonces por teorema (4.4.2),


existe r 2 ]a; b[ � ]c; d[ tal que f 0(r) = 0, lo cual contradice que c yd son raíces consecutivas de f 0(x):

q.e.d.

Análogamente a la demostración del corolario anterior, se de-muestra que si s y t son, respectivamente, las raíces reales más pe-queña y más grande de f 0(x); entonces f(x) tiene a lo más una raízsimple en cada uno de los intervalos ]�1; s[ y ]t;+1[:

Si c < d son raíces consecutivas de f 0(x); entonces f(x) no tieneraíz en ]c; d[; si f(c)f(d) � 0; y tiene una raíz simple si f(c)f(d) < 0:Similarmente, si s y t son, respectivamente, la más pequeña y la másgrande raíces de f 0(x); entonces f(x) no tiene raíz en los intervalos]�1; s[ y ]t;+1[; si tiene el mismo signo en los respectivos extremos,o si f(s) = 0 ó f(t) = 0; según sea el intervalo; y tiene una raíz simplesi tiene signos contrarios en los extremos del intervalo que se trate.

En resumen, dado f(x) 2 R[x]; si c1; c2; : : : ; ck son las diferentesraíces reales de f 0(x); con c1 < c2 < : : : < ck; entonces posiblementealgunos ci sean raíz de f(x); de multiplicidad mayor que 1; y losintervalos

]�1; c1[ ; ]c1; c2[ ; : : : ; ]ck�1; ck[ ; ]ck;+1[

son los candidatos para aislar las otras raíces reales, simples, de f(x):

Corolario (4.4.4).�Si f(x) 2 R[x] tiene r raíces reales, contandomultiplicidad, entonces f 0(x) tiene al menos r�1 raíces reales, contandomultiplicidad.

Demostración: Sean c1; c2; : : : ; ck; con c1 < c2 < : : : < ck; lasdiferentes raíces reales de f(x); y sean �1; �2; : : : ; �k sus respectivasmultiplicidades. Como suponemos que f(x) tiene r raíces reales,entonces �1 + �2 + : : : + �k = r: Puesto que ci es raíz de f(x) demultiplicidad �i; entonces ci es raíz de multiplicidad �i� 1 de f 0(x);

4.4. EL TEOREMA DE ROLLE 179

entendiéndose que �i � 1 = 0 signifca que ci no es raíz de f 0(x):Por el teorema (4.4.2), f 0(x) tiene al menos una raíz en cada uno delos k � 1 intervalos ]c1; c2[ ; ]c2; c3[ ; : : : ; ]ck�1; ck[; y en consecuenciaf 0(x) tiene al menos (�1�1)+(�2�1)+ : : :+(�k�1)+k�1 = r�1raíces reales.

q.e.d.

Del corolario anterior se sigue inmediatamente que si todas lasraíces de f(x) 2 R[x] son reales, entonces todas las raíces de f 0(x)son reales. Además, entre cada dos raíces consecutivas de f(x); f 0(x)sólo tiene una raíz simple.

También del corolario anterior se sigue que f 0(x) no puede tenermás raíces imaginarias que f(x) 2 R[x]: En efecto: supongamos quen = gr f(x): Sean 2k y r los números respectivos de raíces imaginariasy raíces reales de f(x); y sean 2k0 y r0 los números respectivos deraíces imaginarias y raíces reales de f 0(x): Entonces n = 2k + r yn � 1 = 2k0 + r0: Por el corolario anterior r0 � r � 1; por lo tanto2k+ r0 � 2k+ r�1 = n�1; de donde se sigue que 2k+ r0 � 2k0+ r0;y en consecuencia 2k � 2k0:

Ejemplos:

1. Si f(x) 2 R[x] es un polinomio de tercer grado, entoncestiene al menos una raíz real r1; la que, si no es cero, se encuentra enalguno de los internvalos ]m; 0[ ó ]0;M [; donde m yM son cotas infe-rior y superior, respectivamente, de las raíces reales de f(x): Si ceroes raíz de f(x); las otras dos raíces pueden encontrarse fácilmente.Derivando a f(x); el polinomio f 0(x) es de segundo grado y sus raícesx1 y x2 pueden ser encontradas por la fórmula general. Si x1 y x2son imaginarias, entonces la única raíz real de f(x) es r1; pues f 0(x)no puede tener más raíces imaginarias que f(x): Supongamos ahoraque x1 y x2 son reales y que x1 = x2: Si x1 es raíz de f(x); entoncesx1 = r1 es raíz triple de f(x). Si x1 no es raíz de f(x); entonces f(x)sólo tiene la raíz real r1 la que también se encuentra en alguno de losinternvalos ]m;x1[ ó ]x1;M [: Finalmente suponemos que x1 y x2 sonreales y que x1 < x2: Si x1 (ó x2) es raíz de f(x); entonces f(x) tiene


tres raíces reales, x1 (ó x2) como raíz doble y la otra raíz en algunode los intervalos ]m;x1[ ó ]x2;M [; si ninguna de x1 y x2 es raíz def(x), entonces puede ocurrir que f(x) tenga tres raíces reales, unaen cada uno de los intervalos ]m;x1[ ; ]x1; x2[ y ]x2;M [; esto en elcaso que f(m)f(x1) < 0; f(x1)f(x2) < 0 y f(x2)f(M) < 0; y puedeocurrir que f(x) sólo tenga la raíz real r1 en alguno de los intervalosmencionados.

2. Separar las raíces reales del polinomio

f(x) = x5 � 80x+ 35:

Solución: f 0(x) = 5x4 � 80; por lo tanto f 0(x) = 5(x4 � 16):Claramente f 0(x) tiene a �2 y 2 como raíces reales y sus otras dosraíces son imaginarias. En consecuencia f(x) tiene al menos dosraíces imaginarias y a lo más tres raíces reales.

Puesto que

f(�1) f(�2) f(2) f(+1);� + � +

entonces f(x) tiene tres raíces reales simples, separadas en los in-ternvalos ]�1;�2[ ; ]� 2; 2[ y ]2;+1[ ; o más precisamente, en losintervalos ]� 4;�2[ ; ]0; 2[ y ]2; 3[ :

3. Separar las raíces reales del polinomio

f(x) = x6 � 6x5 + 4:

Solución: f 0(x) = 6x5 � 30x4; por lo tanto f 0(x) = 6x4(x � 5):Claramente todas las raíces de f 0(x) son reales: 0 como raíz de mul-tiplicidad cuatro y 5 como raíz simple.

Puesto que

f(�1) f(0) f(5) f(+1);+ + � +

entonces f(x) tiene dos raíces reales simples, separadas en los inter-valos ]0; 5[ y ]5;+1[; o más precisamente, separadas en los intervalos]0; 1[ y ]5; 6[ :

4.5. EL TEOREMA DE DESCARTES 181

El ejemplo (3) muestra que todas las raíces de f 0(x) pueden serreales y sin embargo, no todas las raíces de f(x) son reales.

4.5 El teorema de Descartes

Sea a0; a1; a2; : : : ; an una sucesión �nita de números reales dife-rentes de cero. Entonces términos consecutivos ai y ai+1 tienen sig-nos diferentes o iguales. En el primer caso decimos que presentan unavariación de signo, y en el segundo caso decimos que presentan unapermanencia de signo. Con V denotamos el número de variacionesde signo en la sucesión y con P el número de permanencias.

Si en una sucesión �nita de números reales a0; a1; a2; : : : ; an; haytérminos iguales a cero, contamos sus variaciones y permanencias designo en la sucesión que resulta de descartar a éstos.

Ejemplos:

1. En la sucesión 3;�2; 5; 7;�1;�4;�5; 8 se tiene que V = 4 yP = 3:

2. En la sucesión �6; 7; 0; 23; 0; 0;�9; 8; 0;�5; 1 tenemos queV = 5 y P = 1:

Observación: Si el primer y el último término de la sucesión denúmeros reales a0; a1; a2; : : : ; an; tienen el mismo signo, claramenteV = 0 ó V es un número par; y si tienen signos diferentes, entoncesV es un número impar.

Lema (4.5.1).�Sea f(x) 2 R[x] con gr f(x) = n � 1 y

f(x) = a0xn + a1x

n�1 + : : :+ an�1x+ an;


donde a0 > 0 y an 6= 0: Si c es un número real positivo, entonces elnúmero V0 de variaciones de signo en la sucesión de los coe�cientes def(x); es menor en un número impar que el número V de variaciones designo en la sucesión de los coe�cientes de (x� c)f(x):

Demostración: Si todos los coe�cientes a0; a1; a2; : : : ; an sonpositivos, el resultado se satisface claramente, pues el primer y elúltimo término en la sucesión de los coe�cientes de (x�c)f(x); tienensignos diferentes y por lo tanto V � V0 = V es impar.

Supongamos que hay coe�cientes negativos en la sucesión de coe-�cientes de f(x): Contando de izquierda a derecha, sea ak1 el primercoe�ciente negativo de f(x); sea ak2 el primer coe�ciente positivodespués de ak1 ; sea ak3 el primer coe�ciente negativo después deak2 ; : : : ; sea akm el último coe�ciente que tiene signo opuesto a akm�1[particularmente akm tiene el mismo signo que an y de hecho puedeser an]. Entonces

f(x) = (a0xn + : : :) + (ak1x

n�k1 + : : :) + (ak2xn�k2 + : : :) + : : :+

+(akm�1xn�km�1 + : : :) + (akmx

n�km + : : :+ an):

Como los coe�cientes en cada paréntesis tienen el mismo signo ylos signos de los coe�cientes en paréntesis consecutivos son diferentes,entonces V0 = m:

Por otro lado

(x� c)f(x) = p0xn+1 + p1x

n + p2xn�1 + : : :+ pnx+ pn+1;

donde

p0 = a0;p1 = a1 � ca0;p2 = a2 � ca1;

...pki = aki � caki�1;

...pn = an � can�1;

pn+1 = �can:


A�rmamos que los términos de la sucesión

p0; pk1 ; pk2 ; : : : ; pkm ; pn+1

son diferentes de cero y que sus signos coinciden, en el mismo orden,con los de la sucesión

a0; ak1 ; ak2 ; : : : ; akm ; �an:

En efecto: como p0 = a0 y pn+1 = �can; entonces p0 y pn+1 sondiferentes de cero y tienen, respectivamente, los mismos signos quea0 y �an: Además pki = aki � caki�1; donde aki�1 tiene el mismosigno que aki�1 ; por tanto aki�1 tiene signo diferente a aki ; y puestoque c > 0; entonces pki 6= 0 y tiene el mismo signo que aki ; para cadai = 1; 2; : : : ;m:

Como V0 = m es el número de variaciones de signo en la sucesióna0; ak1 ; ak2 ; : : : ; akm ; entonces m + 1 es el número de variaciones designo en la sucesión a0; ak1 ; ak2 ; : : : ; akm ;�an y por lo tanto, de lasucesión p0; pk1 ; pk2 ; : : : ; pkm ; pn+1:

Estamos ahora interesados en el número de variaciones de signoen la sucesión de coe�cientes p0; p1; p2; : : : ; pn+1 de (x� c)f(x):

En cada una de las m+ 1 sucesiones

p0; : : : ; pk1 ;pk1 ; pk1+1; : : : ; pk2 ;...pkm�1 ; pkm�1+1; : : : ; pkm ;pkm ; pkm+1; : : : ; pn+1;

el primer y el último término tienen signos diferentes, por lo tantocada sucesión tiene un número impar de variaciones de signo. Qui-tando una variación de signo en cada una de ellas, tenemos m + 1


variaciones que corresponden a la sucesión p0; pk1 ; pk2 ; : : : ; pkm ; pn+1;en consecuencia, la sucesión

p0; p1; p2; : : : ; pn+1

tieneV = m+ 1 + 2`

variaciones de signo, donde ` � 0; y por lo tanto V � V0 = 2`+ 1 esun número impar, como se quería demostrar.

q.e.d.

Lema (4.5.2).�Si un polinomio f(x) 2 R[x] no tiene raíces po-sitivas, entonces el número de variaciones de signo en la sucesión de suscoe�cientes es cero ó es par.

Demostración: Sin pérdida de generalidad podemos suponerque f(x) = a0x

n + a1xn�1 + : : : + an; con an 6= 0 y n � 1; pues si

f(x) = xkg(x); entonces f(x) y g(x) tienen las mismas raíces positi-vas.

Como f(x) no tiene raíces positivas, entonces f(0) y f(+1)tienen el mismo signo, es decir, an y a0 tienen el mismo signo, dedonde se sigue que el número de variaciones de signo en la sucesióna0; a1; a2; : : : ; an es cero ó es par.

q.e.d.

Teorema (4.5.3) [Teorema de Descartes].�El número de raícesreales positivas, contando multiplicidad, de f(x) 2 R[x]; es menor oigual que el número de variaciones de signo en la sucesión de sus coe�-cientes; y si es menor, lo es por un número par.

Demostración: Sin pérdida de generalidad podemos suponerque

f(x) = a0xn + a1x

n�1 + : : :+ an;


con a0 > 0; an 6= 0 y n � 1; puesto que si f(x) = xkg(x); entoncesf(x) y g(x) tienen las mismas raíces positivas, y también f(x) y�f(x) tienen las mismas raíces positivas.

Sean c1; c2; : : : ; cr las raíces positivas, no necesariamente dife-rentes, de f(x): Entonces

f(x) = (x� c1)(x� c2) : : : (x� cr)q(x);

donde q(x) no tiene raíces positivas, y por lo tanto, según el lema(4.5.2), el número de variaciones de signo en la sucesión de sus coe-�cientes es cero o es par.

Sean V0; V1; V2; : : : ; Vr los números de variaciones de signo en lasucesión de coe�cientes de los polinomios

q(x);(x� c1)q(x);(x� c1)(x� c2)q(x);...(x� c1)(x� c2) : : : (x� cr)q(x) = f(x);

respectivamente. Por el lema (4.5.1)

V1 = V0 + 2`1 + 1;V2 = V1 + 2`2 + 1;

...Vr = Vr�1 + 2`r + 1:


Vr = V0 + 2(`1 + `2 + : : :+ `r) + r;

y por lo tantoVr � r = V0 + 2`

donde V0 es cero o es par y ` = `1 + `2 + : : :+ `r � 0:q.e.d.


Si con V designamos el número de variaciones de signo en lasucesión de los coe�cientes de f(x) 2 R[x]; y con r designamos sunúmero de raíces reales positivas, contando multiplicidad, entonces,por el teorema de Descartes, V = 2`+ r con ` � 0:

Si V = 0; entonces r = 0; es decir, si el número de variaciones designo es cero, entonces f(x) no tiene raíces positivas.

Si V = 1; entonces ` = 0 y r = 1; es decir, si el número devariaciones de signo es uno, entonces f(x) tiene justamente una raízpositiva simple.

Corolario (4.5.4).�El número de raíces reales negativas, con-tando multiplicidad, de

f(x) = a0xn + a1x

n�1 + : : :+ an 2 R[x];

es menor o igual que el número de variaciones de signo en la sucesiónde los coe�cientes del polinomio

g(x) = (�1)na0xn + (�1)n�1a1xn�1 + : : :+ an = f(�x);

y si es menor, lo es por un número par.

Demostración: Es fácil comprobar que c es raíz de g(x) demultiplicidad �; si y sólo si, �c es raíz de f(x) de multiplicidad �:Aplicando el Teorema de Descartes a g(x); se obtiene el resultado.

q.e.d.

Lema (4.5.5).�Sea f(x) = a0xn+ a1x

n�1+ : : :+ an 2 R[x] conan 6= 0 y gr f(x) = n � 1: Si V y V 0 son los números de variaciones designo en las sucesiones de coe�cientes de f(x) y

g(x) = (�1)na0xn + (�1)n�1a1xn�1 + : : :+ an = f(�x);

respectivamente, entonces V + V 0 � n:


Demostración: Procederemos por inducción sobre n: Paran = 1; presenta variación de signo sólo uno de los polinomios

f(x) = a0x+ a1 ó g(x) = �a0x+ a1 = f(�x):

O sea que, en este caso V + V 0 = 1: Supongamos que el resultadose satisface para los polinomios de grado menor que n: Probaremosque entonces se satisface para los polinomios de grado n: Si f(x) esde grado n; entonces f(x) es de la forma

f(x) = a0xn + an�`x

` + : : :+ an;

donde an�` es el primer coe�ciente distinto de cero después de a0; ypor lo tanto 0 � ` � n� 1:

Sea p(x) = an�`x` + : : : + an: Entonces f(x) = a0x

n + p(x) yf(�x) = (�1)na0xn+p(�x); donde p(�x) = (�1)àn�`x`+ : : :+an:

Si V1 y V2 son los números de variaciones de signo en la suce-sión de coe�cientes de p(x) y p(�x); respectivamente, entonces porhipótesis de inducción V1 + V2 � `:

Si ` = n� 1; sólo uno de los polinomios f(x) ó f(�x) presentaráuna variación de signo en los coe�cientes a0 y a1 = an�` ó en loscoe�cientes (�1)na0 y (�1)n�1a1 = (�1)àn�`; respectivamente. Porlo tanto

V + V 0 = V1 + V2 + 1 � `+ 1 = n:

Si ` � n� 2, entonces cada uno de los polinomios f(x) ó f(�x)puede presentar variaciones de signo en los coe�cientes a0 y an�` ó(�1)na0 y (�1)àn�`; respectivamente. Por lo tanto

V + V 0 � V1 + V2 + 2 � `+ 2 � (n� 2) + 2 = n:

q.e.d.

Corolario (4.5.6).�Sea f(x) = a0xn+a1x

n�1+ : : :+an 2 R[x]con an 6= 0 y gr f(x) = n � 1: Sean V y V 0 los números de variacionesde signo en las sucesiones de coe�cientes de f(x) y

g(x) = (�1)na0xn + (�1)n�1a1xn�1 + : : :+ an = f(�x);


respectivamente. Si todas las raíces de f(x) son reales, entonces sunúmero de raíces positivas es V y su número de raíces negativas es V 0;contando multiplicidad, en cada caso.

Demostración: Sea r el número de raíces positivas de f(x)y sea r0 su número de raíces negativas, contando multiplicidad encada caso. Como todas las raíces de f(x) son reales y el términoindependiente an 6= 0; entonces r+ r0 = n; donde n = gr f(x): Por ellema (4.5.5) V + V 0 � n: Como por el teorema (4.5.3) y el corolario(4.5.4), V = r + 2` y V 0 = r0 + 2`0; con ` � 0 y `0 � 0; entonces

n = r + r0 � V + V 0 � n;

por lo tanto

r + r0 = V + V 0 = r + r0 + 2(`+ `0):

En consecuencia ` = 0 y `0 = 0; de donde se sigue que r = V yr0 = V 0:

q.e.d.

Ejemplos:

1. En el polinomio f(x) = x4+12x2+5x� 9 se tiene que V = 1;y como f(�x) = x4+12x2�5x�9; entonces V 0 = 1: En Conclusiónf(x) tiene sólo dos raíces reales, una positiva y una negativa.

2. Si f(x) = x2k � 1 con k � 1; entonces V = 1 y V 0 = 1; puesf(�x) = f(x): Por lo tanto f(x) tiene sólo dos raíces reales, unapositiva y una negativa.

3. En el polinomio f(x) = x4�x2+x�2 se tiene que V = 3: Comof(�x) = x4 � x2 � x � 2; entonces V 0 = 1: Así que f(x) tiene unao tres raíces positivas y justamente una raíz negativa. Observemosahora que

h(x) = (x+ 1)f(x) = x5 + x4 � x3 � x� 2

4.6. EL TEOREMA DE STURM 189

tiene las mismas raíces positivas que f(x): Por lo tanto f(x) tienejustamente una raíz positiva.

4.6 El teorema de Sturm

Dado un polinomio de coe�cientes reales, si los resultados hastaahora vistos en este capítulo, no son su�cientes para decidir cuál essu número de raíces reales y por lo tanto separarlas, entonces po-drá aplicársele el Teorema de Sturm, el cual, aunque tedioso, darásu número exacto de raíces reales. Aclaremos de una vez que elTeorema de Sturm se aplica a polinomios de coe�cientes reales quesólo poseen raíces simples. Sin embargo, esto no es obstáculo paraque se le aplique, indirectamente, a un polinomio arbitrario de coe-�cientes reales, pues por lo visto en 3.7 [Capítulo 3, Sección 7], sid1(x) =mcdff(x); f 0(x)g; entonces las raíces de f1(x) = f(x)

d1(x)son

simples y son las diferentes raíces de f(x): Además, los polinomiosg1(x); g2(x); : : : ; g`(x); obtenidos en el capítulo y sección menciona-dos, contienen cada uno raíces simples, y precisamente las raíces deg1(x); g2(x); : : : ; g`(x) son las raíces simples, dobles,. . . , y de multi-plicidad `; respectivamente, de f(x); con lo que se reunen todas lasraíces reales de éste, contando multiplicidad.

De�nición (4.6.1).�Sea f(x) un polinomio de coe�cientes realesque sólo posee raíces simples. Una sucesión �nita ordenada de poli-nomios diferentes de cero y de coe�cientes reales

f0(x) = f(x); f1(x); f2(x); : : : ; fs(x)

se llama sistema de Sturm para f(x); si se cumplen las condicionessiguientes:

1) El último polinomio fs(x); no tiene raíces reales.

2) Dos polinomios consecutivos de la sucesión, no tienen raíces co-munes.


3) Si c es raíz real de un polinomio intermedio fk(x); 1 � k � s�1;entonces fk�1(c) y fk+1(c) tienen signos diferentes.

4) Si c es raíz real del polinomio f(x); entonces el producto f(t)f1(t)cambia su signo de menos a más, cuando al crecer t pasa por c:

Enseguida demostraremos que siempre existe un sistema de Sturmpara un polinomio de coe�cientes reales, que sólo posee raíces sim-ples. Con tal �n, damos primero el siguiente

Lema (4.6.2).� Sea h(x) un polinomio de coe�cientes reales, ysea c 2 R: Si h(c) 6= 0; entonces existe � > 0 tal que sig h(t) = sig h(c)para cada t 2 ]c� �; c+ � [:

Demostración: Es consecuencia inmediata de los resultadosIII (i) y III (ii) dados en el teorema (4.3.1). Una demostración alter-nativa es la siguiente:

Si h(x) no tiene raíces reales, el resultado es evidente, pues sihubiera cambio de signo entonces h(x) tendría al menos una raízreal. Supongamos ahora que h(x) tiene raíces reales y sean éstasc1; c2; : : : ; ck: Sea

� = mínfjci � cj�� i = 1; 2; : : : ; kg:

Claramente � > 0; pues ci 6= c para cada i = 1; 2; : : : ; k: Además,por como se de�ne �; h(x) no tiene raíces en ]c� �; c+ �[; de dondese sigue, por el corolario (4.3.4), que sigh(t) = sigh(c) para cadat 2 ]c� �; c+ �[:

q.e.d.

Proposición (4.6.3).�Cualquier polinomio f(x) de coe�cientesreales y que sólo tiene raíces simples, posee un sistema de Sturm.


Demostración: Construiremos una sucesión de polinomios dife-rentes de cero y coe�cientes reales

f0(x) = f(x); f1(x); f2(x) ; : : : ; fs(x);

y luego demostraremos que esta satisface las cuatro condiciones deun sistema de Sturm. Por hipótesis f(x) es no constante, pues debetener raíces.

Sabemos que f0(x) = f(x): Sea f1(x) = f 0(x): Aplicando el al-goritmo de división a f0(x) y f1(x); tenemos que

f0(x) = f1(x)q1(x) + r1(x):

Si r1(x) 6= 0; sea f2(x) = �r1(x): Aplicando el algoritmo dedivisión a f1(x) y f2(x); se tiene que

f1(x) = f2(x)q2(x) + r2(x):

Si r2(x) 6= 0; sea f3(x) = �r2(x):

En general si ya se tienen los polinomios fk�1(x) y fk(x); el poli-nomio fk+1(x) será el residuo, si éste no es cero, de dividir fk�1(x)por fk(x); tomado con signo contrario (multiplicado por �1).

El método para construir la sucesión f0(x); f1(x); f2(x); : : : sediferencia del algoritmo de Euclides, aplicado a los polinomios f(x)y f 0(x); solamente en que cada vez se cambia el signo del residuo yla división siguiente se efectúa por este residuo con signo cambiado.Como en el cálculo del mcd de dos polinomios, el cambio de signoen el residuo no afecta, entonces el proceso de construir la sucesiónterminará en un polinomio fs(x) que será el mcd de f(x) y f 0(x):

Así pues, ya tenemos una sucesión de polinomios diferentes decero y de coe�cientes reales

f0(x) = f(x); f1(x); f2(x) ; : : : ; fs(x);

dondef1(x) = f 0(x) y fk+1(x) = �rk(x)


si por el algoritmo de división

fk�1(x) = fk(x)qk(x) + rk(x);

o sea,fk�1(x) = fk(x)qk(x)� fk+1(x): (I)

Sólo falta probar que esta sucesión satisface las cuatro condicionesde un sistema de Sturm:

1) Como f(x) sólo tiene raíces simples, entonces f(x) y f 0(x)no tienen raíces comunes, y por el teorema (3.7.1) fs(x); el mcd deambos, es una constante y en consecuencia no tiene raíces reales.

2) Si los polinomios consecutivos fk(x) y fk+1(x); tienen una raízc en común, entonces por (I), c también es raíz de fk�1(x): Como

fk�2(x) = fk�1(x)qk�1(x)� fk(x);

resulta que c también es raíz de fk�2(x): Continuando este procesocon

fk�3(x); fk�4(x); : : : ; f1(x); f0(x);

concluimos que c es raíz de f 0(x) = f1(x) y de f(x) = f0(x); lo quecontradice que f(x) sólo tiene raíces simples.

3) Si c es raíz de fk(x); con 1 � k � s � 1, entonces por (2)fk�1(c) 6= 0 y fk+1(c) 6= 0; y por (I) se sigue que fk�1(c) = �fk+1(c):Por lo tanto fk�1(c) y fk+1(c) tienen signos diferentes.

4) Supongamos que f(x) tiene raíces reales, y digamos que éstasson c1; c2; : : : ; ck; donde c1 < c2 < : : : < ck:

Puesto que f(x) sólo tiene raíces simples, dada una raíz ci deéste, se tiene que f 0(ci) 6= 0; y por el lema (4.6.2), existe � > 0 talque sig f 0(t) = sig f 0(ci) para cada t 2 ]ci��; ci+�[: Observemos quesegún el teorema de Rolle, � <mínfjci � ci�1j; jci � ci+1jg; si éstefuera el caso.


Por otro lado

f(x) = (x� c1)(x� c2) : : : (x� ci) : : : (x� ck)q(x)

donde q(x) es diferente de cero, de coe�cientes reales y no tiene raícesreales, por lo que sig q(�) = sig q(�) para cualesquiera �; � 2 R:

Derivando a f(x) tenemos que

f 0(x) = (x� c2)(x� c3) : : : (x� ci) : : : (x� ck)q(x) + : : :++(x� c1)(x� c2) : : : (x� ci�1)(x� ci+1) : : : (x� ck)q(x)+ : : :+ (x� c1)(x� c2) : : : (x� ci) : : : (x� ck)q0(x);

por lo tanto

f 0(ci) = (ci � c1) : : : (ci � ci�1)(ci � ci+1) : : : (ci � ck)q(ci):

a) Supongamos que f 0(ci) > 0; es decir, supongamos que

(ci � c1) : : : (ci � ci�1)(ci � ci+1) : : : (ci � ck)q(ci) > 0: (II)

Por lo tanto para cada t 2 ]ci� �; ci+ �[; se tiene que f 0(t) > 0y también tenemos, por (II) y según la regla de los signos, que

(t� c1) : : : (t� ci�1)(t� ci+1) : : : (t� ck)q(t) > 0: (III)

Si t 2 ]ci � �; ci[; entonces por (III) tenemos que

f(t) = (t� c1) : : : (t� ci�1)(t� ci)(t� ci+1) : : : (t� ck)q(t) < 0

pues se agregó el factor negativo (t� ci):

Si t 2 ]ci; ci + �[; también por (III) se tiene que

f(t) = (t� c1) : : : (t� ci�1)(t� ci)(t� ci+1) : : : (t� ck)q(t) > 0

pues se agregó el factor positivo (t� ci):


b) Supongamos ahora que f 0(ci) < 0; es decir, supongamos que

(ci � c1) : : : (ci � ci�1)(ci � ci+1) : : : (ci � ck)q(ci) < 0: (IV )

Entonces para cada t 2 ]ci� �; ci+ �[; se tiene que f 0(t) < 0 ytambién tenemos, por (IV ) y según la regla de los signos, que

(t� c1) : : : (t� ci�1)(t� ci+1) : : : (t� ck)q(t) < 0: (V )

Si t 2 ]ci � �; ci[; por (V ) se tiene que

f(t) = (t� c1) : : : (t� ci�1)(t� ci)(t� ci+1) : : : (t� ck)q(t) > 0

pues se agregó el factor negativo (t� ci):

Si t 2 ]ci; ci + �[; también por (V ) tenemos que

f(t) = (t� c1) : : : (t� ci�1)(t� ci)(t� ci+1) : : : (t� ck)q(t) < 0

pues se agregó el factor positivo (t� ci):

De (a) y (b) se sigue que si c es raíz real de f(x); entonces elproducto f(t)f1(t) cambia su signo de menos a más, cuando al crecert pasa por c:

q.e.d.

Si f(x) es un polinomio de coe�cientes reales que sólo posee raícessimples y

f0(x) = f(x); f1(x); : : : ; fs(x)

es un sistema de Sturm para f(x); entonces claramente

a0f0(x); a1f1(x); : : : ; asfs(x)

donde a0; a1; : : : ; as son números reales positivos, es también un sis-tema de Sturm para f(x): Por lo tanto, en el método expuesto, segúnla proposición anterior, para construir un sistema de Sturm de f(x);con el �n de facilitar la obtención de éste, se pueden multiplicar lospolinomios que intervienen como divisor y dividendo, y también losresiduos parciales, por constantes positivas. El efecto de ésto sobre el


residuo �nal es que éste también aparece multiplicado por una con-stante positiva [Recordemos que para hallar solamente el mcd de dospolinomios, se puede multiplicar por cualquier constante diferente decero].

Si en el proceso de construir un sistema de Sturm para f(x);según la proposición anterior, llegamos a un polinomio fm(x); elcual se sabe de algún modo que no tiene raíces reales, entonces lasucesión truncada

f0(x) = f(x); f1(x); : : : ; fm(x)

es también un sistema de Sturm para f(x); pues claramente satisfacelas condiciones 1, 2, 3, y 4 de la de�nición (4.6.1).

De�nición (4.6.4).�Sea f(x) un polinomio de coe�cientes realesque sólo posee raíces simples, y sea

f0(x) = f(x); f1(x); : : : ; fs(x) (1)

un sistema de Sturm para f(x): Si el número real c no es raíz de f(x);al número de variaciones de signo en la sucesión �nita ordenada

f0(c); f1(c); : : : ; fs(c) (2)

lo denotaremos porW (c); y se le llama el número de variaciones de signoque presenta el sistema de Sturm (1), del polinomio f(x); en x = c:

Recuérdese que si algunos términos de la sucesión (2) son igualesa cero, sus variaciones de signo se cuentan en la sucesión que resultade descartar éstos.

Teorema (4.6.5) [Teorema de Sturm].�Sea f(x) un polinomiode coe�cientes reales que sólo posee raíces simples. Si los númerosreales a y b; con a < b; no son raíces de f(x); entonces respecto a unsistema de Sturm

f0(x) = f(x); f1(x); : : : ; fs(x)


para f(x); W (a) � W (b) y la diferencia W (a) � W (b) es igual alnúmero de raíces reales de f(x) en ]a; b[:

Demostración: Veamos como cambia el número W (t) al crecert: Mientras t no pase por alguna raíz de alguno de los polinomios delsistema de Sturm

f0(x) = f(x); f1(x); : : : ; fs(x);

los signos de éstos no cambiarán, y por lo tanto no variará el númeroW (t): En virtud de esto y debido a que el polinomio fs(x) no tieneraíces reales, sólo queda examinar el paso de t por una raíz de unode los polinomios intermedios fk(x); 1 � k � s � 1; y el paso de tpor una raíz de f(x):

Si c es una raíz del polinomio fk(x); 1 � k � s � 1; entoncespor la condición (2), fk�1(c) y fk+1(c) son diferentes de cero. Dedonde se sigue, por el lema (4.6.2), que existe � > 0; posiblementemuy pequeño, de tal modo que en el intervalo [c� �; c+ �]; los poli-nomios fk�1(x) y fk+1(x) conservan, cada uno, su signo constante,que además son diferentes por la condición (3). Por lo anteriortenemos que cada uno de los sistemas de números

fk�1(c� �); fk(c� �); fk+1(c� �)

yfk�1(c+ �); fk(c+ �); fk+1(c+ �)

presentan exactamente una variación de signo, independientementede los signos que tengan los números fk(c� �) y fk(c+ �):

Por lo tanto, al pasar t por una raíz de uno de los polinomiosintermedios del sistema de Sturm, la variación de signos en este sis-tema sólo puede trasladarse, más no puede aparecer de nuevo nidesaparecer, por lo que durante tal paso W (t) no varía.

Supongamos ahora que c es una raíz de f(x): Entonces por lacondición (2), c no es raíz de f1(x): Luego por el lema (4.6.2), existe


� > 0 tal que en el intervalo ]c � �; c + �[; f1(t) mantiene su signoconstante.

Si el signo de f1(t) en ]c � �; c + �[ es positivo, por la condición(4), f(t) cambia su signo de menos a más, cuando al crecer t por c:Por lo tanto, a los sistemas de números

f(c� �); f1(c� �) y f(c+ �); f1(c+ �)

les corresponden los sistemas de signos

� ; + y + ; +;

o sea, en el sistema de Sturm se pierde una variación de signo.

Si el signo de f1(t) en ]c � �; c+ �[ es negativo, nuevamente porla condición (4), f(t) cambia su signo de más a menos, cuando alcrecer t pasa por c: Por lo tanto, a los sistemas de números

f(c� �); f1(c� �) y f(c+ �); f1(c+ �)

les corresponden los sistemas de signos

+ ; � y � ; �;

es decir, el sistema de Sturm pierde una variación de signo.

Así pues, W (t) varía al crecer t, solamente cuando t pasa poruna raíz de f(x); disminuyendo exactamente, en este caso, en unaunidad.

q.e.d.

Para decidir cuántas raíces reales tiene un polinomio f(x) decoe�cientes reales que sólo posee raíces simples, basta aplicarle elteorema de Sturm en el intervalo ] �1;1[; y aplicándoselo en losintervalos ] �1; 0[ y ]0;1[; si 0 no es raíz, se decide su númerode raíces negativas y positivas, respectivamente. Si estamos intere-sados en separar las raíces reales de f(x); entonces acotamos éstas,obteniéndose una cota inferior m y una cota superior M: Enseguida


subdividimos el intervalo ]m;M [ en nuevos intervalos, los que a suvez pueden ser subdivididos, tomando puntos convenientes, hastaque la diferencia de variaciones de signo del sistema de Sturm, en losextremos de algunos intervalos, sea 1; lo cual se logra en una �nitudde pasos. Tales subintervalos separan las raíces reales de f(x):

Ejemplo: Separar las raíces reales de

f(x) = x5 + 5x4 � 20x2 � 10x+ 2:

Solución: Aplicando el proceso del resultado (4.6.3), y el hechode poder multiplicar los polinomios que en él intervienen por cons-tantes positivas, obtenemos el siguientes sistema de Sturm para f(x) :

f0(x) = x5 + 5x4 � 20x2 � 10x+ 2;f1(x) = x4 + 4x3 � 8x� 2;f2(x) = x3 + 3x2 � 1;f3(x) = 3x2 + 7x+ 1;

f4(x) = 17x+ 11;

f5(x) = 1:

Se aplicó el proceso indicado para obtener un sistema de Sturm def(x); aún sin saber que éste sólo posee raíces simples, lo que resultaser cierto debido a que el último residuo diferente de cero, f5(x); esuna constante. Si esto último no ocurriera, entonces los polinomiosobtenidos no formarían un sistema de Sturm para f(x); y en tal casohabría que aplicar 3.7 [capítulo 3, sección 7].

Acotando las raíces reales de f(x); obtenemos que �5 es cotainferior y 2 es cota superior.

Para aplicar el teorema de Sturm, hacemos la siguiente tabla:

4.7. EJERCICIOS 199

c f0(c) f1(c) f2(c) f3(c) f4(c) f5(c) W

�1 � + � + � + 50 + � � + + + 21 + + + + + + 0�5 � + � + � + 5�3 + � � + � + 4�2 � + + � � + 3�1 � + + � � + 30 + � � + + + 21 � � + + + + 12 + + + + + + 0

Por lo tanto f(x) tiene sus cinco raíces reales, de las cuales tresson negativas y dos son positivas. Están separadas en los intervalos

]� 5;�3[; ]� 3;�2[; ]� 1;�0[; ]0; 1[ y ]1; 2[:

4.7 EJERCICIOS

1. Sea f(x) = anxn + : : : + a1x + a0 un polinomio de coe�-

cientes reales, con an 6= 0. Si c =máxn��an�1an

�� ; : : : ; �� a1an �� ; �� a0an ��o ;pruebe que M = 2c+ 1 es cota superior para las raíces positi-vas de f(x); y que m = �2c� 1 es cota inferior para las raícesnegativas de f(x):

2. Aplicando el ejercicio (1), encuentre una cota superior para lasraíces positivas, y una cota inferior para las raíces negativas,de los siguientes polinomios:

2.1 f(x) = �3x5 + 9x4 � 21x3 + 48x2 � x+ 5:2.2 f(x) = 7x4 � 7x2 � 3x+ 1:



reales, con a0 6= 0: Si c =máxn��ana0 �� ; : : : ; ��a2a0 �� ; ��a1a0 ��o ; pruebe

quem1 =1

2c+1 es cota inferior para las raíces positivas de f(x);y que m2 = � 1

2c+1 es cota superior para las raíces negativas def(x):

4. Aplicando el ejercicio (3), encuentre una cota inferior para lasraíces positivas, y una cota superior para las raíces negativas,de los siguientes polinomios:

4.1 f(x) = 4x5 � 7x4 � 2x3 + 8x+ 1:4.2 f(x) = �3x4 + 6x3 � 5x2 + 30:

5. Sea f(x) = am+kxm+k+ : : :+am+1x

m+1+amxm un polinomio

de coe�cientes reales, con am 6= 0 y m � 1: Si

c = máx��am+kam

�� ; : : : ; ��am+2am

�� ; ��am+1am

�� ;pruebe que m1 =

12c+1 es cota inferior para las raíces positivas

de f(x); y que m2 = � 12c+1 es cota superior para las raíces

negativas de f(x):

6. Aplicando el ejercicio (5), encuentre una cota inferior para lasraíces positivas, y una cota superior para las raíces negativas,de los siguientes polinomios:

6.1 f(x) = 2x7 � 4x6 + 9x4 + 6x3:6.2 f(x) = �12x5 � 8x4 + 6x3 � 2x2:

7. Calcule f(+1) y f(�1) en los siguientes casos:

7.1 f(x) = 3x7 � 9x4 + 28x2 + 3x+ 86:7.2 f(x) = x6 + 18x5 � 32x2 � 123:7.3 f(x) = �x5 � 46x3 + 78x2 � 95:7.4 f(x) = �7x8 + 63x5 � 97x+ 54:

8. Compruebe que los siguientes polinomios tienen raíces en losintervalos indicados:

4.7. EJERCICIOS 201

8.1 f(x) = 8x3 � 4x2 � 18x+ 9 en ]� 2;�1[; ]0; 1[ y ]1; 2[:

8.2 g(x) = x3 � 3x2 � 4x+ 13 en ]� 3;�2[; ]1; 83 [ y ]83 ; 3[:

8.3 h(x) = x4 � 12x2 � 12x� 3 en ]� 3;�2[ y ]3; 4[:

8.4 p(x) = 5x4+16x3�9x2�12x+2 en ]�1; 0[; ]0; 12 [; ]12 ; 1[:

Aísle la cuarta raíz.

9. Compruebe que los siguientes polinomios tienen al menos dosraíces reales:

9.1 f(x) = 5x6 � 4x3 + 6x2 � 7x� 8:9.2 g(x) = �x4 + 6x3 � 3x2 + 2x+ 23:

10. Compruebe que el polinomio de coe�cientes reales

f(x) = 7x4 + ax3 + bx2 + cx� 3

tiene al menos dos raíces reales.

11. Compruebe que el polinomio de coe�cientes reales

f(x) = 2x3 + ax2 + bx+ 5

tiene al menos una raíz negativa.

12. Si f(x) = anxn+ : : :+a1x+a0 es un polinomio de coe�cientes

reales tal que sig an 6= sig a0; pruebe que f(x) tiene un númeroimpar de raíces positivas.

13. Demuestre que para cada número real �; el polinomio f(x) =(x� 2)(x� 5)(x� 7)(x� 9) + �(x� 4)(x� 6)(x� 8)(x� 11)tiene todas sus raíces reales y simples. Sepárelas [Observe quesi � = �1; gr f(x) = 3]:

14. Demuestre que para cada � 2 R; el polinomio

f(x) = x(x2 � 1)(x� 2) + �(2x+ 1)(3x� 2)(2x� 3)

tiene todas sus raíces reales y simples. Sepárelas.


15. Si a1; a2; : : : ; an y b1; b2; : : : ; bn�1 son números reales tales quea1 < b1 < a2 < b2 < : : : < an�1 < bn�1 < an; pruebe que paracada � 2 R; el polinomio

f(x) = (x� a1) : : : (x� an) + �(x� b1) : : : (x� bn�1)


16. Si a1; a2; : : : ; an y b1; b2; : : : ; bn son números reales tales quea1 < b1 < a2 < b2 < : : : < an < bn; pruebe que para cada� 2 R; el polinomio

f(x) = (x� a1) : : : (x� an) + �(x� b1) : : : (x� bn)


17. Si a1; a2; : : : ; an son números reales tales que a1 < a2 < : : : <an y A1; A2; : : : ; An son números reales positivos y A 2 R;pruebe que la ecuación

A+A1

x� a1+

A2x� a2

+ : : :+An

x� an= 0

tiene todas sus raíces reales y simples. Encuentre intervalosque contengan exactamente una raíz.

18. Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales y sea r raíz realde f(x): Describa la grá�ca de f(x) en una vecindad de r; enlos casos siguientes:

18.1 r es raíz de multiplicidad par.

18.2 r es raíz de multiplicidad impar.

19. Sea f(x) = ax2 + bx + c un polinomio de coe�cientes reales,con a 6= 0:

19.1 Si f(t) = at2+ bt+ c � 0 para cada número real t; pruebeque b2 � 4ac � 0:

19.2 Pruebe que f(t) tiene el mismo signo para cada númeroreal t; si y sólo si, b2 � 4ac < 0:

4.7. EJERCICIOS 203

20. Sean a; b 2 R; con a < b: Si f(x) y g(x) son polinomios decoe�cientes reales tales que f(a) < g(a) y g(b) < f(b); pruebeque existe r entre a y b tal que f(r) = g(r):

21. Aplicando el teorema de Rolle, y sus corolarios, diga cuántasraíces reales tiene cada uno de los siguientes polinomios y deéstas, cuántas son positivas y cuántas son negativas. Separedichas raíces.

21.1 f(x) = x5 � 5x+ 1:21.2 f(x) = x3 � 3x2 + 3x� 2:21.3 f(x) = �4x3 + 5x2 � 2x� 1:21.4 f(x) = x3 + (6�

p2)x2 + (10� 4

p2)x+ 4� 2

p2:

21.5 f(x) = 4x5 + 25x4 + 40x3 � 40x2 � 160x+ 1:21.6 f(x) = 3x4 � 8x3 � 24x2 + 96x+ 8:21.7 f(x) = x6 � 6x5 + 4:21.8 f(x) = 3x5 � 25x3 + 60x� 10:

21.9 f(x) = x5 � 3x3 + 2x2 � 5:21.10 f(x) = 2x5 + 5x4 � 10x3 � 20x2 + 40x+ 5:21.11 f(x) = �x4 + 4x3 � 4x2 + 24x+ 1:21.12 f(x) = 5x6 + 24x5 + 30x4 � 20x3 � 75x2 � 60x+ 3:

22. Determine los valores reales de A para los cuales el polinomiof(x) = (x+ 3)3 �A(x� 1) tiene sus tres raíces reales.

23. Pruebe que una condición necesaria y su�ciente, para que elpolinomio de coe�cientes reales f(x) = x3 + px+ q; tenga sustres raíces reales y distintas, es que 4p3 + 27q2 < 0:

24. Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales, con gr f(x) � 1:Si f 0(x) no tiene raíces reales, pruebe que f(x) es de gradoimpar y tiene sólo una raíz real simple.

25. Pruebe que las raíces del polinomio

f(x) =1

nxn + : : :+

1

2x2 + x+ 1

son:


25.1 Todas imaginarias, si n es par.

25.2 Una real y las demás imaginarias, si n impar.

26. Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales. Si todas las raícesde f(x) son reales y de ellas p son positivas, pruebe que en-tonces f 0(x) tiene p ó p� 1 raíces positivas.

27. Si f(x) es un polinomio de coe�cientes reales tal que su k�ésimaderivada f (k)(x) tiene raíces imaginarias, pruebe que entoncesf(x) tiene raíces imaginarias.

28. Aplicando el terorema de Descartes, decida cuántas raíces realespositivas y cuántas raíces reales negativas, tienen cada uno delos siguientes polinomios. Sepárelas.

28.1 f(x) = x3 + x� 1:28.2 f(x) = x6 + x4 � x3 � x� 2:38.3 f(x) = xn � 1 si n es par.28.4 f(x) = xn � 1 si n es impar.28.5 f(x) = xn + 1 si n es impar.

28.6 f(x) = 2x5 + 4x3 � x2 � 2x:28.7 f(x) = �x4 � 3x2 + 4x+ 6:28.8 f(x) = 3x6 + x4 + 6x2 + 1:

28.9 f(x) = x3 + 3x2 + 1:

28.10 f(x) = x3�x2+2x+1 [Sugerencia: multiplique por x+1]28.11 f(x) = x4�x2+x�2 [Sugerencia: multiplique por x+2]28.12 f(x) = 1� 2x+ 3x2 � : : :� 2nx2n�1 [Sugerencia: multi-

plique por (x+ 1)2].

29. Sea f(x) = a0xn + a1x

n�1 + : : : + akxn�k un polinomio de

coe�cientes reales, y sea g(x) = a0xk + a1x

k�1 + : : : + ak: SiVf ; V

0f ; Vg y V

0g son los números de variaciones de signo en la

sucesión de coe�cientes de f(x); f(�x); g(x) y g(�x); respec-tivamente, pruebe que Vf + V 0f = Vg + V

0g :

30. Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales. Si f(x) tieneal menos un término con coe�ciente cero, entre dos términos

4.7. EJERCICIOS 205

cuyos coe�cientes tienen el mismo signo, ó f(x) tiene más deun término con coe�ciente cero, entre dos términos cuyos co-e�cientes tienen signos opuestos, pruebe que f(x) tiene raícesimaginarias. [Sugerencia: use (29) y que si gr f(x) = n y V y V 0

son los números de variaciones de signo en la sucesión de coe�-cientes de f(x) y f(�x); respectivamente, entonces V+V 0 � n]:

31. Aplicando los ejercicios (27) ó (30), decida si los siguientespolinomios tienen raíces imaginarias:

31.1 f(x) = x3 + x2 + x� 1:31.2 f(x) = x4 + 2x2 � x+ 1:31.3 f(x) = 3x5 � 4x2 + 2x� 5:31.4 f(x) = x4 � x3 + x2 � x+ 1:

32. Aplicando el teorema de Sturm, decida cuántas raíces realestiene cada uno de los siguientes polinomios, y sepárelas.

32.1 f(x) = x3 + 3x2 � 1:32.2 f(x) = 3x4 � 6x2 + 8x� 3:32.3 f(x) = x4 � 4x3 + x2 + 6x+ 2:32.4 f(x) = x6 + 2x5 � 3x4 � 6x3 + 2x2 + 4x+ 1:32.5 f(x) = x5 � 5x4 + 10x3 � 5x2 + 1:32.6 f(x) = x10�4x9�5x8+26x7�6x6�40x5+40x4 �12x3�

8x2 + 6x� 1:32.7 f(x) = x5 + 5x4 � 20x2 � 10x+ 2:32.8 f(x) = x4 � 4x3 + 12x2 � 12x+ 5:32.9 f(x) = x6 � 6x5 + 16x4 � 24x3 + 22x2 � 12x+ 4:

33. Los siguientes polinomios sólo tienen raíces simples. Aplicandoel teorema de Sturm separe sus raíces reales, si tienen.

33.1 f(x) = x4 + 4x3 + 3x2 � 2x� 5:33.2 f(x) = x4 � 4x3 + 3x2 � 6x� 6:33.3 f(x) = x5 � 2x4 + x3 � 8x+ 6:


34. Aplicando el método que considere más conveniente, en cadacaso, separe las raíces reales de los siguientes polinomios:

34.1 f(x) = x4 + 32x� 60:34.2 f(x) = x5 � 5x� 2:34.3 f(x) = x4 + x3 + x� 1:34.4 f(x) = x3 � 7x+ 7:34.5 f(x) = x3 + x2 � 2x� 1:34.6 f(x) = x5 � 2x4 + x3 � 8x+ 6:34.7 f(x) = x4 � 4x2 + 8x� 4:34.8 f(x) = x4 + 12x� 5:34.9 f(x) = �x3 + 7x2 + 1:34.10 f(x) = x5 + x4 + 2x2 � 1:

Capítulo 5

APROXIMACIÓN DERAÍCES

Después de separar las raíces reales de un polinomio de coe�-cientes reales f(x); lo que puede hacerse con los métodos expuestos enel capítulo anterior, seguramente nos interesará determinar el valorde alguna o de todas estas raíces. Supongamos que ya se establecióque f(x) tiene sólo una raíz simple � en el intervalo ]a; b[ (siemprepueden elegirse a y b racionales), generalmente no es posible de-terminar el valor exacto de �; pero existen diferentes métodos pormedio de los cuales puede aproximársele tanto como se desee. Eneste capítulo expondremos tres métodos para aproximarse al valorde la raíz �: El primero de ellos nos produce una sucesión de inter-valos ]a1; b1[; ]a2; b2[; ]a3; b3[; : : : cada uno de los cuales contiene a�; además de que ]a; b[ � ]a1; b1[ � ]a2; b2[ � : : : ; y de tal forma quela distancia jbn � anj se hace arbitrariamente pequeña al crecer n;por lo que si deseamos aproximarnos a la raíz � con un error menorque " > 0; bastará construir la sucesión hasta un intervalo ]ak; bk[ talque jbk � akj < "; y elegir como aproximación a �; cualquiera de losnúmeros ak; bk ó

ak+bk2 : Los otros dos métodos nos producen, cada

uno, una sucesión de números reales a1; a2; a3; : : : tales que la distan-cia jan � �j se hace arbitrariamente pequeña al crecer n; por lo quesi deseamos aproximarnos a la raíz � con un error menor que " > 0;basta construir la sucesión hasta un número ak tal que jak � �j < ";y elegir precisamente a ak como la aproximación.

207

208 CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES

En las siguientes tres secciones, damos algunas de�niciones y re-sultados útiles para la demostración de los teoremas de aproximación,que veremos posteriormente. Si el lector lo desea, puede darles sólouna rápida lectura y pasar luego a las secciones que siguen.

5.1 Sucesiones monótonas y acotadas

De�nición (5.1.1).�Una sucesión ini�nita � de números reales, esuna regla que asocia a cada número natural n un único número real �n:A los números reales �1; �2; �3; : : : se les llama términos de la sucesión;y a �n se le llama término general de la sucesión.

Notación: En lugar de decir sucesión in�nita de números reales,diremos simplemente sucesión, o sucesión de números reales. A unasucesión cuyos términos son �1; �2; �3; : : : la denotaremos por f�ng:Así, los términos de la sucesión f ng son 1; 2; 3; : : : Particular-mente, los términos de la sucesión

�n+1n

son 2; 32 ;

43 ; : : : .

De�nición (5.1.2).� Sean f�ng y f�ng sucesiones de númerosreales.

i) De�nimos la suma de las sucesiones f�ng y f�ng ; como la suce-sión f�n + �ng :

ii) De�nimos la diferencia de las sucesiones f�ng y f�ng ; como lasucesión f�n � �ng :

iii) De�nimos el producto de las sucesiones f�ng y f�ng ; como lasucesión f�n�ng :

iv) Si �n 6= 0 para cada n; de�nimos el cociente de las sucesiones

f�ng y f�ng ; como la sucesiónn�n�n

o:

5.1. SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS 209

De�nición (5.1.3).� Decimos que un número real L es límitede la sucesión f�ng ; si para cada " > 0 existe un número natural k;que depende de "; tal que si n es número natural y n > k; entoncesj�n � Lj < ":

Notación: Para decir que L es límite de la sucesión f�ng ; es-cribiremos lim

n!1�n = L:

En lugar de decir que L es límite de la sucesión f�ng; tambiéndecimos que la sucesión f�ng converge a L; o que �n tiende a L: Unasucesión se llama convergente si tiene límite, y se llama divergente sino tiene límite.

Proposición (5.1.4).� Si una sucesión f�ng tiene un límite L;éste es único.

Demostración: Puede verse en [4] y [7].

Teorema (5.1.5).�Si f�ng y f�ng son sucesiones convergentes,entonces:

i) f�n+�ng es convergente y limn!1(�n+�n) = lim

n!1�n+ lim

n!1�n

ii) f�n��ng es convergente y limn!1(�n��n) = lim

n!1�n� lim

n!1�n

iii) f�n � �ng es convergente y limn!1

(�n � �n) = limn!1

�n � limn!1

�n:

iv)n�n�n

oes convergente y lim

n!1�n�n=

limn!1

�n

limn!1

�n; en el caso que �n 6= 0

para cada n y limn!1

�n 6= 0:

Demostración: Puede verse en [4] y [7].


Dado un número real c; siempre podemos construir una sucesiónf�ng tal que �n = c; para cada n: Esta se dice ser la sucesión contérmino constante �n = c; o sucesión constante fcg: Claramentelimn!1

c = c: Si en el teorema anterior, f�ng es la sucesión con términoconstante �n = c; entonces tenemos que:

limn!1

c+ �n = c+ limn!1

�n;

limn!1

c� �n = c� limn!1

�n;

limn!1

c�n = c limn!1

�n;

limn!1

c�n

= climn!1

�n:

Observación (5.1.6).� Si f�ng es una sucesión convergente,entonces para cada " > 0 existe un número natural k tal que

j�n � �mj < "

si n > k y m > k: En efecto: sea " > 0 y supongamos queL = lim

n!1�n; entonces existe un número natural k tal que

j�n � Lj < "2 y j�m � Lj < "

2si n > k y m > k: Por lo tanto

j�n � �mj = j�n � L+ L� �mj � j�n � Lj+ j�m � Lj < "

si n > k y m > k:

De�nición (5.1.7).�Sea f�ng una sucesión de números reales.

i) Decimos que f�ng es no decreciente si �n � �n+1 para cada n:En el caso particular de que �n < �n+1 para cada n; decimos quef�ng es creciente.

ii) Decimos que f�ng es no creciente si �n+1 � �n para cada n: Enel caso particular de que �n+1 < �n para cada n; decimos quef�ng es decreciente.

5.1. SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS 211

Las sucesiones no decrecientes y las no crecientes, se llaman, engeneral, sucesiones monótonas.

En el capítulo 4, sección 4.3, dijimos que un conjunto A denúmeros reales está acotado superiormente, si existe r 2 R tal quea � r para cada a 2 A; y que un número real r con esta propiedad, sellama cota superior de A: Dijimos también que r0 es el supA; si r0 escota superior de A y r0 � r; para cada r que sea cota superior de A:Además, dimos por axioma que todo conjunto no vacío de númerosreales, acotado superiormente, tiene sup. Claro que el sup es único.En seguida hablaremos de conjuntos acotados inferiormente.

De�nición (5.1.8).�Sea A un conjunto de números reales. De-cimos que s 2 R es una cota inferior de A; si s � a para cada a 2 A:Se dice que A está acotado inferiormente si A tiene cota inferior.

Es claro que si s es cota inferior de A y t < s; entonces tambiént es cota inferior de A:

De�nición (5.1.9).�Sea A un conjunto de números reales. De-cimos que s0 es cota inferior máxima de A; y escribimos s0 = inf A;si:

i) s0 es cota inferior de A:

ii) Si s es también cota inferior de A; entonces s � s0:

Obsérvese que si A tiene cota inferior máxima, ésta es única.

Proposición (5.1.10).�Si A es un conjunto no vacío de númerosreales y está acotado inferiormente, entonces A tiene cota inferior máx-ima.


Demostración: Se deja como ejercicio al lector [sugerencia: de-fínase B = fx j x es cota inferior de Ag: Pruebe que B es no vacíoy que está acotado superiormente. En consecuencia B tiene sup,digamos x0: Pruebe que x0 = infA].

De�nición (5.1.11).�Decimos que un conjunto A de númerosreales está acotado, si está acotado tanto superior como inferiormente.

De�nición (5.1.12).�Sea f�ng una sucesión de números realesy sea A = f�n j n 2 Ng el conjunto de sus términos.

i) Decimos que f�ng está acotada superiormente, si el conjunto Ade sus términos está acotado superiormente, es decir, si existeM 2 R tal que �n �M; para cada n:

ii) Decimos que f�ng está acotada inferiormente, si el conjunto A desus términos está acotado inferiormente, es decir, si existe m 2 Rtal que m � �n; para cada n:

iii) Decimos que f�ng está acotada, si el conjunto A de sus tér-minos está acotado, es decir, si existen m;M 2 R tales quem � �n �M; para cada n:

Teorema (5.1.13).�Si f�ng es una sucesión monótona y acotada,entonces f�ng es convergente.

Demostración: Sea A = f�n j n 2 Ng el conjunto de lostérminos de f�ng: Por hipótesis A está acotado, y como A 6= �;entonces existen `; L 2 R tales que L = supA y ` = infA: Por lo tanto` � �n � L; para todo n 2 N:

Supongamos que f�ng es no decreciente, es decir, �n � �n+1para cada n 2 N: Probaremos que f�ng converge a L: En efecto:para cada " > 0; existe k 2 N tal que L� " < �k; pues en caso con-trario L no sería supA: Como �n � �n+1 para cada n 2 N; entoncesL � " < �k � �n � L < L + " para cada n > k; es decir,

5.2. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO 213

L� " < �n < L+ " para cada n > k: Por lo tanto �" < �n � L < "para todo n > k; y en consecuencia j�n � Lj < " para cada n > k;es decir, f�ng converge a L:

Supongamos ahora que f�ng es no creciente, es decir, �n+1 � �npara cada n 2 N: Probaremos que en este caso f�ng converge a `:En efecto: para cada " > 0; existe k 2 N tal que �k < `+ "; pues encaso contrario ` no sería infA: Como �n+1 � �n para cada n 2 N,entonces ` � " < ` � �n � �k < ` + " para cada n > k; es decir,`� " < �n < `+ " para cada n > k: Por lo tanto, �" < �n � ` < "para cada n > k; y en consecuencia j�n � `j < " para cada n > k:

q.e.d.

Teorema (5.1.14).�Sea f(x) 2 R[x]: Si f�ng es una sucesiónque converge a L; entonces la sucesión ff(�n)g converge a f(L):

Demostración: Sea " > 0: Por lo visto en (4.3.1)(II), existe� > 0; que depende de "; tal que si jt� Lj < �; entoncesjf(t)� f(L)j < ": Como � > 0 y f�ng converge a L; entonces existek 2 N tal que j�n � Lj < � para cada n > k: Por lo tanto, existek 2 N tal que jf(�n)� f(L)j < " para cada n > k; es decir, ff(�n)gconverge a f(L):

q.e.d.

5.2 El teorema del valor medio

Lema (5.2.1).�Si a; b 2 R; con a < b; son raíces de f(x) 2 R[x];entonces existe r 2 ]a; b[ tal que f 0(r) = 0:

Demostración: Sea c 2 [a; b] la raíz de f(x) consecutiva de a;entonces a < c � b; luego por teorema (4.4.2) [Teorema de Rolle],existe r 2 ]a; c[ � ]a; b[ tal que f 0(r) = 0:

q.e.d.


Lema (5.2.2).�Sea f(x) 2 R[x] y sean a; b 2 R; con a < b: Sif(a) = f(b); entonces existe r 2 ]a; b[ tal que f 0(r) = 0:

Demostración: Sea g(x) = f(x) � f(a): Entonces g(a) = 0 ytambién g(b) = 0; pues f(b) = f(a): Por lo tanto, según el lema(5.2.1), existe r 2 ]a; b[ tal que g0(r) = 0: Como g0(x) = f 0(x); en-tonces f 0(r) = 0:

q.e.d.

Teorema (5.2.3) [Teorema del valor medio para polinomios].�Si f(x) 2 R[x] y a; b 2 R; con a < b; entonces existe r 2 ]a; b[ tal que

f 0(r) =f(b)� f(a)

b� a :

Demostración: Sea

h(x) = f(x)��f(b)� f(a)

b� a

�(x� a):

Claramente h(x) 2 R[x] y h(a) = h(b): Además

h0(x) = f 0(x)� f(b)� f(a)b� a :

Entonces por el lema (5.2.2) aplicado a h(x); existe r 2 ]a; b[ tal que

0 = h0(r)

= f 0(r)� f(b)� f(a)b� a ;

es decir, existe r 2 ]a; b[ tal que

f 0(r) =f(b)� f(a)

b� a :

q.e.d.

5.2. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO 215

De�nición (5.2.4).�Sea f(x) 2 R[x] y sean a; b 2 R; con a < b:

i) Decimos que f(x) es decreciente en el intervalo [a; b]; si para todot1; t2 2 [a; b] tal que t1 < t2; se tiene que f(t2) < f(t1):

ii) Decimos que f(x) es creciente en el intervalo [a; b]; si para todot1; t2 2 [a; b] tal que t1 < t2; se tiene que f(t1) < f(t2):

Corolario(5.2.5).�Sea f(x) 2 R[x] y sean a; b 2 R; con a < b:

i) Si f 0(t) < 0 para cada t 2 [a; b]; entonces f(x) es decreciente enel intervalo [a; b]:

ii) Si f 0(t) > 0 para cada t 2 [a; b]; entonces f(x) es creciente en elintervalo [a; b]:

Demostración:

De (i): Sean t1; t2 2 [a; b] tales que t1 < t2: Entonces, por elteorema (5.2.3), existe r 2 ]t1; t2[ tal que

f 0(r) =f(t2)� f(t1)

t2 � t1:

Como f 0(t) < 0 para cada t 2 [a; b]; entonces f 0(r) < 0; es decirf(t2)� f(t1)

t2 � t1< 0:

De donde se sigue que f(t2) < f(t1); pues t2 � t1 > 0:De (2): Sean t1; t2 2 [a; b] tales que t1 < t2: Entonces por el

teorema(2.5.3), existe r 2 ]t1; t2[ tal que

f 0(r) =f(t2)� f(t1)

t2 � t1:

Como por hipótesis f 0(t) > 0 para cada t 2 [a; b]; entonces f 0(r) > 0;es decir

f(t2)� f(t1)t2 � t1

> 0:

De donde concluimos que f(t1) < f(t2):q.e.d.


5.3 Concavidad y convexidad

De�nición (5.3.1).�Sea f(x) 2 R[x]; y sean a; b 2 R con a < b:

i) Decimos que f(x) es cóncavo en el intervalo [a; b]; si para todo�; t; � 2 [a; b] tales que � < t < �; se tiene que

f(t)� f(�)t� � >

f(�)� f(�)� � � :

ii) Decimos que f(x) es convexo en el intervalo [a; b]; si para todo�; t; � 2 [a; b] tales que � < t < �; se tiene que

f(t)� f(�)t� � <

f(�)� f(�)� � � :

Observemos que si f(x) es cóncavo en [a; b]; geométricamente sugrá�ca corresponde al tipo de la �gura (16.1); y si f(x) es convexo en[a; b]; el dibujo de su grá�ca corresponde al tipo de la �gura (16.2).

5.3. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 217

Lema (5.3.2).�Sea g(x) 2 R[x]; y sean a; b 2 R con a < b:

i) Si g(a) = g(b) y g0(x) es decreciente en [a; b]; entoncesg(t) > g(a) = g(b) para cada t 2 ]a; b[:

ii) Si g(a) = g(b) y g0(x) es creciente en [a; b]; entoncesg(t) < g(a) = g(b) para cada t 2 ]a; b[:

Demostración:

De (i): Supongamos que existe t 2 ]a; b[ tal que g(t) � g(a) =g(b). Entonces, por el teorema del valor medio, existe t1 2 ]a; t[ yexiste t2 2 ]t; b[ tales que

g0(t1) =g(t)� g(a)t� a y g0(t2) =

g(b)� g(t)b� t :

Claramente t1; t2 2 [a; b] y t1 < t2: Como hemos supuesto queg(t) � g(a) = g(b); entonces g0(t1) � 0 y g0(t2) � 0; y por lo tantog0(t1) � g0(t2); lo que contradice que g0(x) es decreciente en [a; b]: Enconsecuencia, g(t) > g(a) = g(b) para todo t 2 ]a; b[:

De (ii): Se procede en forma análoga a la demostración de (i).q.e.d.

Teorema (5.3.3).�Sea f(x) 2 R[x]; y sean a; b 2 R con a < b:

i) Si f 0(x) es decreciente en [a; b]; entonces f(x) es cóncavo en [a; b]

ii) Si f 0(x) es creciente en [a; b]; entonces f(x) es convexo en [a; b]

Demostración:

De (i): Dados �; � 2 [a; b] con � < �; sea

g(x) = f(x)� f(�)� f(�)� � � (x� �):


Claramente g(�) = g(�) = f(�): Además, como f 0(x) es decrecienteen [a; b] y

g0(x) = f 0(x)� f(�)� f(�)� � � ;

entonces g0(x) es también decreciente en [a; b]; y particularmente en[�; �]: Aplicando el lema (5.3.2) (i) a g(x); en el intervalo [�; �];tenemos que g(t) > g(�) = g(�) = f(�) si t 2 ]�; �[; es decir

f(t)� f(�)� f(�)� � � (t� �) > f(�)

si t 2 ]�; �[; y por lo tanto

f(t)� f(�)t� � >

f(�)� f(�)� � �

si �; t; � 2 [a; b] son tales que � < t < �; lo que quiere decir que f(x)es cóncavo en [a; b]:

De (ii): Se procede en forma análoga a la demostración de (i).q.e.d.

5.4 El método de bisección

Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales y sean a y b númerosreales, con a < b; tales que f(a)f(b) < 0: Por lo tanto f(x) tienenal menos una raíz en el intervalo ]a; b[: El método de bisección paraaproximarnos a una raíz de f(x) en ]a; b[; consiste en hacer bisec-ciones sucesivas de intervalos, empezando con el intervalo ]a; b[; paraobtener una sucesión de intervalos ]a1; b1[; ]a2; b2[; ]a3; b3[; : : : quecontienen en común al menos una raíz de f(x); además de que lalongitud jbn � anj se hace arbitrariamente pequeña al crecer n: Dehecho, como veremos enseguida, se cumplirá que

]a1; b1[ � ]a2; b2[ � ]a3; b3[ : : : .

5.4. EL MÉTODO DE BISECCIÓN 219

Los intervalos Ik = ]ak; bk[; k = 1; 2; 3; : : : ; se obtienen recursiva-mente del modo siguiente:

Elegimos ]a1; b1[ como el intervalo ]a; b[; es decir, a1 = a y b1 = b:Para obtener el intervalo ]a2; b2[; bisectamos a ]a1; b1[ en los inter-valos ]a1;m1[ y ]m1; b1[; donde m1 =

a1+b12 : Si f(m1) = 0; nada

más hay que hacer, pues habremos encontrado una raíz de f(x) en]a1; b1[ = ]a; b[: Si f(m1) 6= 0; entonces el intervalo ]a2; b2[ es aqueldonde a2 = a1 y b2 = m1 si f(a1)f(m1) < 0; ó a2 = m1 y b2 = b1 sif(m1)f(b1) < 0: Claro que ]a1; b1[� ]a2; b2[; y estos intervalos con-tienen al menos una raíz en común de f(x): En general, si ya tene-mos el intervalo ]ak; bk[; k � 1; construímos el intervalo ]ak+1; ak+1[;bisectando el intervalo ]ak; bk[ en los intervalos ]ak;mk[ y ]mk; bk[;donde mk =

ak+bk2 : Si f(mk) = 0; nada más hay que hacer, pues

hemos encontrado una raíz de f(x) en ]a; b[: Si f(mk) 6= 0; entoncesel intervalo ]ak+1; bk+1[ es aquel donde

ak+1 = ak y bk+1 = mk si f(ak)f(mk) < 0

ó

ak+1 = mk y bk+1 = bk si f(mk)f(bk) < 0:

Claro que los intervalos ]a1; b1[; ]a2; b2[; ]a3; b3[; : : : antes con-struídos, cumplen que ]a1; b1[ � ]a2; b2[ � ]a3; b3[ : : : y contienen encomún al menos una raíz de f(x):


Observemos ahora que:

b2 � a2 = b1�a12 ;

b3 � a3 = b2�a22 ;

...bk+1 � ak+1 = bk�ak

2 ;...

Por lo tanto

bk+1 � ak+1 =b� a2k

para cada k = 1; 2; 3; : : : ; pues a1 = a y b1 = b:

Como limn!1

b�a2n�1 = 0; entonces para cada " > 0 existe un número

natural k tal que jbn � anj =�� b�a2n�1

�� < "; para cada n > k:

En consecuencia, si deseamos aproximarnos a una raíz de f(x) enel intervalo ]a; b[; con un error menor que " > 0; debemos construir lasucesión de intervalos ]a1; b1[; ]a2; b2[; ]a3; b3[; : : : hasta un intervalo]an; bn[; existe tal número n; de modo que jbn � anj < "; y elegircomo valor aproximado a cualquiera de los números an; bn ó an+bn

2 :

Es importante hacer notar que si además de que f(a)f(b) < 0;sabemos que f(x) tiene sólo una raíz � en el intervalo ]a; b[; entoncespor el método anterior nos aproximamos justamente a �:

Ejemplo: El polinomio f(x) = x3� 3x+1 tiene una raíz simple� en el intervalo ]1:5; 2[: Aproximarse a ella con un error menor que" = 1

106:

Solución: f(1:5) = �0:125 < 0 y f(2) = 3 > 0; por lo tantof(1:5)f(2) < 0:

5.4. EL MÉTODO DE BISECCIÓN 221

a1 = 1:5, b1 = 2; m1 = 1:75, f(m1) = 1:09375:

a2 = a1, b2 = m1; m2 = 1:625, f(m2) = 0:41601563:

a3 = a2, b2 = m2; m3 = 1:5625, f(m3) = 0:12719727:

a4 = a3, b4 = m3; m4 = 1:53125, f(m4) = 0:0033274521:

a5 = m4, b5 = b4; m5 = 1:54687, f(m5) = 0:060771943:

a6 = a5, b6 = m5; m6 = 1:5390625, f(m6) = 0:028410434:

a7 = a8, b7 = m6; m7 = 1:5351563, f(m7) = 0:012441218:

a8 = a7, b8 = m7; m8 = 1:5332031, f(m8) = 0:0045093382:

a9 = a8, b9 = m8; m9 = 1:5322266, f(m9) = 0:00055655837:

a10 = a9, b10 = m9; m10 = 1:5317383, f(m10) = �1:0014165426:

a11 = m10, b11 = b10; m11 = 1:5319824, f(m11) = �0:00043026358:

a12 = m11, b12 = b11; m12 = 1:5321045, f(m12) = 0:000063077547:

a13 = a12, b13 = m12; m13 = 1:5320435, f(m13) = �0:00018361211:

a14 = m13, b14 = b13; m14 = 1:532074, f(m14) = �0:000060269609:

a15 = m14, b15 = b14; m15 = 1:5320892, f(m15) = 1:4035031� 10�6:

a16 = a15, b16 = m15; m16 = 1:5320316, f(m16) = �2:9432587� 10�5:

a17 = m16, b17 = b16; m17 = 1:5320854, f(m17) = �1:4016405� 10�5:

a18 = m17, b18 = b17; m18 = 1:5320873, f(m18) = �6:3069165� 10�6:

a19 = m18, b19 = b18; m19 = 1:5320883, f(m19) = �2:4521723� 10�6:

Como jb19 � a19j < 9107

< 1106; entonces m = 1:5320888 es la

aproximación deseada, es decir, � � 1:5320888:


5.5 El método de regula falsi

Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales, con gr f(x) � 2; ysean a y b números reales, con a < b; tales que:

1) f(a)f(b) < 0:

2) f 00(x) no tiene raíces en [a; b]:

De las condiciones (1) y (2) se sigue que f(x) tiene justamenteuna raíz simple en ]a; b[: En efecto: por (1), (4.3.1) y (4.3.5)(ii), f(x)tiene, contando multiplicidad, un número impar de raíces en ]a; b[:Por (2), (3.3.5) y (4.4.2), f 0(x) tiene a lo más una raíz simple en [a; b]:En consecuencia, f(x) no tiene en ]a; b[ raíces de multiplicidad igualo mayor que 3. Además, si f(x) tuviera en ]a; b[ alguna raíz doble,entonces tendría al menos otra raíz simple en tal intervalo; pero eneste caso f 0(x) tendría al menos dos raíces en ]a; b[; contradiciendoque f 0(x) tiene a lo más una raíz simple en ]a; b[: Así pues, f(x)tampoco tiene raíces dobles en ]a; b[: Finalmente, si f(x) tuviera másde una raíz simple en ]a; b[; entonces tendría al menos tres, por lo queentonces f 0(x) tendría al menos dos raíces en ]a; b[; contradiciendoque tiene a lo más una raíz simple en [a; b]: De lo anterior se concluyeque f(x) tiene justamente una raíz simple en ]a; b[:

Observemos también que de la condición (2), se deduce que f(x)es cóncavo o convexo en [a; b]: En efecto: como f 00(x) no tiene raícesen [a; b]; entonces conserva su signo en todo este intervalo, es decir,f 00(t) < 0 para cada t 2 [a; b]; ó f 00(t) > 0 para cada t 2 [a; b]: Enconsecuencia, según el corolario (5.2.5), se tiene, respectivamente,que f 0(x) es decreciente en [a; b]; ó f 0(x) es creciente en [a; b]: Dedonde se sigue, debido al teorema (5.3.3), que f(x) es cóncavo oconvexo en [a; b]; respectivamente.

Como por la condición (1), f(a) y f(b) tienen signos opuestos,y por la condición (2), f 00(a) y f 00(b) tienen el mismo signo, en-tonces ocurre una y sólo una de: [ f(a)f 00(a) > 0 y f(b)f 00(b) < 0 ] ó[ f(a)f 00(a) < 0 y f(b)f 00(b) > 0 ]:

5.5. EL MÉTODO DE REGULA FALSI 223

Para obtener las condiciones (1) y (2), podemos suponer, debido ala sección 3.7, que f(x) sólo tiene raíces simples. Una vez establecidala condición (1), con el teorema de Sturm, por ejemplo, para obtenerla condición (2), debemos decidir, con el teorema de Sturm, porejemplo, si f 00(x) tiene raíces en [a; b]; si no tiene, ya tenemos lascondiciones (1) y (2) sobre el intervalo [a; b]: Si f 00(x) tiene raíces en[a; b]; entonces calculamos d(x) =mcd ff(x); f 00(x)g: Si d(x) no tieneraíces en [a; b]; lo que puede averiguarse con el teorema de Sturm, porejemplo, entonces f(x) y f 00(x) no tienen raíces en común en [a; b];y sólo debemos estrechar este intervalo, aplicando algunos pasos delmétodo de bisección, tanto a f(x) como a f 00(x); hasta obtener unintervalo en que se cumplan las condiciones (1) y (2), a la vez. Sid(x) tiene alguna raíz en [a; b]; entonces tiene justamente una y esla que tiene f(x) en [a; b] y que también será, por lo tanto, raíz def 00(x); en este caso, reemplazamos al polinomio f(x) por d(x); pueseste tiene la raíz que nos interesa de f(x) en [a; b]; además de quegr d(x) � gr f(x)� 2: Una vez reemplazado f(x) por d(x); repetimoscon éste el proceso anterior, mismo que terminará, pues los gradosde los polinomios reemplazantes van decreciendo.

Si se satisfacen las condiciones (1) y (2), elegimos �1 como elextremo del intervalo [a; b]; tal que f(�1)f 00(�1) > 0; y elegimos�1 como el extremo del intervalo [a; b]; tal que f(�1)f

00(�1) < 0: Elmétodo de regula falsi para aproximarnos a la raíz � de f(x) en [a; b];consiste en tomar como primer valor aproximado de � al número �1;y como segundo valor aproximado de � al número

�2 = �1 �f(�1)

f(�1)� f(�1)(�1 � �1);

el cual se obtiene al intersecar el eje X con la recta

y � f(�1) =f(�1)� f(�1)

�1 � �1(x� �1)

denominada recta secante a la grá�ca de f(x); y que pasa por lospuntos (�1; f(�1)) y (�1; f(�1)) : Efectivamente, como se verá en lademostración del teorema que sigue, �2 estará más próximo a � que�1; y de hecho � quedará entre los números �2 y �1: Como el intervalono vacío, formado por los números �2 y �1; es un subintervalo de [a; b]que contiene a �; entonces f(x) satisface las condiciones (1) y (2) en


este subintervalo, y además debe cumplirse que f(�2)f00(�2) < 0: Por

lo que si deseamos una mejor aproximación a la raíz �; la tomamoscomo

�3 = �1 �f(�1)

f(�2)� f(�1)(�2 � �1);

la cual se obtiene al intersecar el eje X con la recta

y � f(�1) =f(�2)� f(�1)

�2 � �1(x� �1)

secante a la grá�ca de f(x); y que pasa por los puntos (�1; f(�1)) y(�2; f(�2)) :

En general probaremos que la sucesión f�ng; donde �1 es comoya dijimos y

�n+1 = �1 �f(�1)

f(�n)� f(�1)(�n � �1)

para n = 1; 2; 3; : : : ; el cual se obtiene al intersecar el eje X con larecta

y � f(�1) =f(�n)� f(�1)

�n � �1(x� �1)

secante a la grá�ca de f(x); y que pasa por los puntos (�1; f(�1)) y(�n; f(�n)) ; converge monótonamente a �: Enseguida ilustramos loantes dicho con el dibujo de la grá�ca de un caso particular.


Teorema (5.5.1) [regula falsi ].�Sea f(x) un polinomio de coe�-cientes reales, con gr f(x) � 2; y sean a; b números reales, con a < b;tales que:

1) f(a)f(b) < 0:


Si �1 es el extremo del intervalo [a; b]; tal que f(�1)f00(�1) < 0 [es

decir, �1 = a si f(a)f 00(a) < 0 ó �1 = b si f(b)f 00(b) < 0] y �1 es elextremo del intervalo [a; b] tal que f(�1)f 00(�1) > 0 [es decir, �1 = a sif(a)f 00(a) > 0 ó �1 = b si f(b)f 00(b) > 0], entonces la sucesión f�ng;donde �1 es como ya dijimos, y

�n+1 = �1 �f(�1)

f(�n)� f(�1)(�n � �1)

para n = 1; 2; 3; : : : ; converge a la única raíz � de f(x) en [a; b]:

Demostración: De las condiciones (1) y (2) se tienen los siguien-tes cuatro casos:

i) f(a) < 0; f(b) > 0 y f 00(t) < 0 para todo t 2 [a; b]: En estecaso �1 = a y �1 = b:

ii) f(a) > 0; f(b) < 0 y f 00(t) > 0 para todo t 2 [a; b]: En estecaso �1 = a y�1 = b:

iii) f(a) < 0; f(b) > 0 y f 00(t) > 0 para todo t 2 [a; b]: En estecaso �1 = b y �1 = a:

iv) f(a) > 0; f(b) < 0 y f 00(t) < 0 para todo t 2 [a; b]: En estecaso �1 = b y �1 = a:

El dibujo de la grá�ca de f(x) en el intervalo [a; b]; de acuerdo conlos casos anteriores, corresponde, respectivamente, a las siguientes�guras:


El caso (ii) se reduce al caso (i), considerando el polinomio �f(x)en lugar de f(x): Este cambio no modi�ca a la sucesión f�ng; pues

f(�1)

f(�n)� f(�1)=

�f(�1)�f(�n)� (�f(�1))

:

El caso (iii) se reduce al caso (ii), reemplazando el polinomio f(x)


por el polinomio g(x) = f(�x); el cual satisface las condiciones (1)y (2) en el intervalo [�b;�a]: Claro que �� es la única raíz de g(x)en [�b;�a]; si y sólo si, � es la única raíz de f(x) en [a; b]: Además,f��ng es la sucesión que se obtiene para g(x) en [�b;�a]; si y sólosi, f�ng es la sucesión que se obtiene para f(x) en [a; b]. Finalmente,f��ng converge a ��; si y sólo si, f�ng converge a �:

El caso (iv) se reduce al caso (iii) considerando el polinomio�f(x) en lugar de f(x): Este cambio no modi�ca a la sucesión f�ng;pues como ya dijimos

f(�1)

f(�n)� f(�1)=

�f(�1)�f(�n)� (�f(�1))

:

Como consecuencia de los comentarios anteriores, bastará demos-trar el teorema para el caso (i). Con este �n, primero demostraremosque la sucesión f�ng converge, por mostrar que es monótona y aco-tada; luego demostraremos que converge precisamente a la raíz � def(x):

Recordemos que las hipótesis para el caso (i) son: f(a) < 0;f(b) > 0 y f 00(t) > 0 para todo t 2 [a; b]: Por lo tanto, �1 = a y�1 = b:

Como f 00(t) < 0 para todo t 2 [a; b]; entonces por el corolario(5.2.5)(i), f 0(x) es decreciente en [a; b]; y en consecuencia, según elteorema (5.3.3)(i), f(x) es cóncavo en [a; b]:

A�rmamos que a = �1 < � < �n+1 < �n � �1 = b para cadan 2 N: En efecto: procedemos por inducción sobre n:

Si n = 1; veamos que a = �1 < � < �2 < �1 � �1 = b: Claroque a = �1 < � < �1 � �1 = b: Sólo resta probar que � < �2 < �1:Como

�n+1 = �1 �f(�1)

f(�n)� f(�1)(�n � �1)

para cada n 2 N; entonces

�2 = �1 �f(�1)

f(�1)� f(�1)(�1 � �1): (I)


Puesto que f(�1) < 0 y f(�1) > 0; entonces

0 < �f(�1) < f(�1)� f(�1);

y por lo tanto

0 < � f(�1)

f(�1)� f(�1)< 1:

Consecuentemente

0 < � f(�1)

f(�1)� f(�1)(�1 � �1) < �1 � �1 (II)

pues 0 < �1 � �1: Por lo tanto

�1 �f(�1)

f(�1)� f(�1)(�1 � �1) < �1;

es decir, �2 < �1: Además, puesto que

�2 � �1 = �f(�1)

f(�1)� f(�1)(�1 � �1);

entonces por (II), �2 � �1 > 0; es decir �1 < �2:

Hasta este momento hemos probado que

a = �1 < �2 < �1 � �1 = b:

Puesto que f(x) es cóncavo en [a; b]; entonces

f(�2)� f(�1)�2 � �1

>f(�1)� f(�1)

�1 � �1> 0;

y por lo tanto

f(�2) >f(�1)� f(�1)

�1 � �1(�2 � �1) + f(�1) = 0

pues

�2 � �1 = �f(�1)

f(�1)� f(�1)(�1 � �1):


Como f(�2) > 0 y f(�1) < 0; donde a = �1 < �2 < �1 = b;entonces f(x) tiene al menos una raíz en [�1; �2]: Pero la única raízde f(x) en [a; b] es �; por lo tanto a = �1 < � < �2 < �1 � �1 = b;como queríamos probar.

Supongamos ahora que a = �1 < � < �n+1 < �n � �1 = b; paraalguna n 2 N: Probaremos que

a = �1 < � < �n+2 < �n+1 � �1 = b:

Por hipótesis de inducción es claro que

a = �1 < � < �n+1 � �1 = b:

Sólo resta probar que � < �n+2 < �n+1: Como f(x) no tiene raícesen ]�; �1[; entonces sig f(�n+1) = sig f(�1); es decir, f(�n+1) > 0:Por lo tanto, 0 < �f(�1) < f(�n+1)� f(�1); y en consecuencia

0 < � f(�1)

f(�n+1)� f(�1)< 1;


0 < � f(�1)

f(�n+1)� f(�1)(�n+1 � �1) < �n+1 � �1 (III)

pues 0 < �n+1 � �1:

Por lo tanto

�1 �f(�1)

f(�n+1)� f(�1)(�n+1 � �1) < �n+1;

es decir, �n+2 < �n+1:

Puesto que

�n+2 � �1 = �f(�1)

f(�n+1)� f(�1)(�n+1 � �1);

entonces por (III), �n+2 � �1 > 0; es decir, �1 < �n+2:


Hasta aquí hemos probado que

a = �1 < �n+2 < �n+1 � �1 = b:

Debido a que f(x) es cóncavo en [a; b]; tenemos que

f(�n+2)� f(�1)�n+2 � �1

>f(�n+1)� f(�1)

�n+1 � �1;

por lo tanto

f(�n+2) >f(�n+1)� f(�1)

�n+1 � �1(�n+2 � �1) + f(�1) = 0

pues

�n+2 � �1 = �f(�1)

f(�n+1)� f(�1)(�n+1 � �1):

Como f(�n+2) > 0 y f(�1) < 0; donde

a = �1 < �n+2 < �n+1 � �1 = b;

entonces f(x) tiene al menos una raíz en [�1; �n+2]: Pero la únicaraíz de f(x) en [a; b] es �; por lo tanto

a = �1 < � < �n+2 < �n+1 � �1 = b;

como queríamos probar.

Hemos demostrado que f�ng es una sucesión acotada y monó-tona decreciente. Entonces, según el teorema (5.1.13), f�ng es con-vergente y converge a ` = inf f�n j n 2 Ng: En consecuencia

a = �1 < � � ` � �n � �1 = b;

para cada n 2 N; pues � es cota inferior de f�ng: Como f�ng con-verge a `; entonces según el teorema (5.1.14), la sucesión ff(�n)gconverge a f(`): A�rmamos que f(`) 6= f(�1): En efecto: como` 2 [�; �1]; entonces f(`) � 0; y como f(�1) < 0; entoncesf(`) 6= f(�1):

5.6. EL ERRORDE APROXIMACIÓN EN ELMÉTODODE REGULA FALSI231

Puesto que

�n+1 = �1 �f(�1)

f(�n)� f(�1)(�n � �1);

aplicando el teorema (5.1.5) tenemos que

` = limn!1

�n+1

= limn!1

��1 �

f(�1)

f(�n)� f(�1)(�n � �1)

�= �1 �

f(�1)

f(`)� f(�1)(`� �1):

De donde se sigue que f(`) = 0; y por lo tanto ` = �; pues � es laúnica raíz de f(x) en [a; b]:

q.e.d.

5.6 El error de aproximación en el método deregula falsi

Según el teorema (5.5.1), si f(x) es un polinomio de coe�cientesreales, con gr f(x) � 2; y a y b son números reales, con a < b; talesque:

1) f(a)f(b) < 0:


Entonces la sucesión f�ng; donde �1 es el extremo del intervalo [a; b]tal que f(�1)f

00(�1) < 0 [�1 = a si f(a)f 00(a) < 0 ó �1 = b sif(b)f 00(b) < 0] y

�n+1 = �1 �f(�1)

f(�n)� f(�1)(�n � �1)

con �1 el extremo del intervalo [a; b] tal que f(�1)f 00(�1) > 0 [�1 = asi f(a)f 00(a) > 0 ó �1 = b si f(b)f 00(b) > 0], converge, creciendo odecreciendo, a la única raíz � de f(x) en [a; b]:


Además de las condiciones (1) y (2) del teorema (5.5.1), agregue-mos la condición:


Una vez satisfechas sobre [a; b] las condiciones (1) y (2), por estaúltima, f 0(x) tiene a lo más una raíz simple en [a; b]: En caso detenerla, lo que puede decidirse con el teorema de Sturm, por ejem-plo, podemos estrechar el intervalo [a; b] aplicando algunos pasos delmétodo de bisección a f 0(x) y a f(x); para conseguir un intervalo enque se cumplan las tres condiciones.

Sea [a; b] un intervalo en que se satisfacen las tres condicionesmencionadas. Como

�n+1 = �1 �f(�1)

f(�n)� f(�1)(�n � �1);

entonces

�n+1 � �n = �1 � �n �f(�1)

f(�n)� f(�1)(�n � �1)

=�f(�n)

f(�n)� f(�1)(�n � �1);

por lo tanto

�f(�n) =f(�n)� f(�1)

�n � �1(�n+1 � �n);

y por tanto

f(�)� f(�n) =f(�n)� f(�1)

�n � �1(�n+1 � �n): (IV )

Por el teorema (5.2.3), existe x1 en el intervalo abierto no vacíoformado por � y �n; y existe x2 en el intervalo abierto no vacíoformado por �1 y �n; tales que

f 0(x1) =f(�n)� f(�)

�n � �=f(�)� f(�n)

� � �n

5.6. EL ERRORDE APROXIMACIÓN EN ELMÉTODODE REGULA FALSI233

y

f 0(x2) =f(�n)� f(�1)

�n � �1:

En consecuencia, (IV) puede escribirse como

f 0(x1)(� � �n) = f 0(x2)(�n+1 � �n):

Puesto que f 0(t) 6= 0 para cada t 2 [a; b]; entonces

� � �n =f 0(x2)

f 0(x1)(�n+1 � �n);

y por lo tanto

� � �n+1 + �n+1 � �n =f 0(x2)

f 0(x1)(�n+1 � �n);

o sea,

� � �n+1 =f 0(x2)� f 0(x1)

f 0(x1)(�n+1 � �n):


��n+1 � �� = jf 0(x2)� f 0(x1)jjf 0(x1)j

��n+1 � �n�� : (V )

Como f 00(x) no tiene raíces en [a; b]; entonces conserva su signo entodo [a; b]; es decir, f 00(t) > 0 ó f 00(t) < 0 para cada t 2 [a; b]: Luego,por el corolario (5.2.5), f 0(t) es creciente o decreciente en el intervalo[a; b]: Por lo tanto f 0(a) < f 0(t) < f 0(b) ó f 0(b) < f 0(t) < f 0(a); paracada t 2 ]a; b[: En consecuencia, si

M = máx��f 0(a)�� ; ��f 0(b)��

ym = mín

��f 0(a)�� ; ��f 0(b)�� ;entonces m < jf 0(t)j < M; para cada t 2 ]a; b[; ya que al no tenerf 0(x) raíces en [a; b]; conserva su signo en este intervalo.


Por otro lado, como f 0(x) conserva su signo en [a; b]; entonces

��f 0(x2)� f 0(x1)�� = �� f 0(x2)�� f 0(x1)�� :De las observaciones anteriores y de (V), se sigue que

��n+1 � �� M �mm

��n+1 � �n�� : (V I)

Dada � > 0; por la observación (5.1.6), existe un número naturalk tal que

��n+1 � �n�� < �; si n � k: Por lo tanto, si deseamos unaaproximación con un error menor que " > 0; a la raíz � de f(x) en[a; b]; basta construir la sucesión f�ng; hasta un término �k+1; talque ��k+1 � �k�� < m"

M �mdonde M =máx fjf 0(a)j ; jf 0(b)jg y m =mín fjf 0(a)j ; jf 0(b)jg ; y ele-gir a �k+1 como la aproximación deseada, pues en este caso��k+1 � �� < ":

Ejemplo: El polinomio f(x) = x3� 3x+1 tiene una raíz simple� en el intervalo [1:5; 2]: Aproximarse a dicha raíz con un error menorque " = 1

106:

Solución:

f(x) = x3 � 3x+ 1;f 0(x) = 3x2 � 3;f 00(x) = 6x:

1) f(1:5) = �0:125 y f(2) = 3; por lo tanto f(1:5)f(2) < 0:

2) Como f 00(x) = 6x; claro que f 00(x) no tiene raíces en [1:5; 2]:

3) Las raíces de f 00(x) = 3x2 � 3 son 1 y �1; por lo tanto f 0(x)no tiene raíces en [1:5; 2]:

5.7. EL MÉTODO DE NEWTON 235

Por otro lado f 0(1:5) = 3:75 y f 0(2) = 9; por lo tanto m = 3:75y M = 9:

Como f(1:5)f 00(1:5) < 0 y f(2)f 00(2) > 0; entonces �1 = 1:5 y�1 = 2:

Debemos construir la sucesión f�ng; donde �1 = 1:5 y

�n+1 = �1 �f(�1)

f(�n)� f(�1)(�n � �1)

para n = 1; 2; 3; : : : ; hasta un término �k+1 tal que��k+1 � �k�� < m"

M �m;

es decir, j�k+1 � �kj < 7107; pues en este caso

��k+1 � �� < 1106:

Haciendo los cálculos tenemos que:

�1 = 1:5;�2 = 1:52;�3 = 1:527588813;�4 = 1:530421282;�5 = 1:531471955;�6 = 1:531860794;�7 = 1:532004576;�8 = 1:532057725;�9 = 1:532077369;�10 = 1:532084630;�11 = 1:532087313;�12 = 1:532088305;�13 = 1:532088672:

Como j�13 � �12j < 7107; entonces �13 = 1:532088672 es la

aproximación deseada, es decir, � � 1:532088672:

5.7 El método de Newton

Sea f(x) un polinomio de coe�cientes reales, con gr f(x) � 2; ysean a y b números reales, con a < b; tales que:


1) f(a)f(b) < 0:



De las condiciones (1) y (2), según vimos en la sección 5.5, sesigue que f(x) tiene justamente una raíz simple en ]a; b[: En estecaso, ésto también se sigue de las propiedades (1) y (3), lo que puedededucirse fácilmente.

Como también vimos en la sección 5.5, de la condición (2) sesigue que f(x) es cóncavo o convexo en [a; b]:

Por otro lado, según la condición (1), f(a) y f(b) tienen sig-nos opuestos. Por la condición (2), f 00(a) y f 00(b) tienen el mismosigno. En consecuencia, ocurre una y sólo una de f(a)f 00(a) > 0 óf(b)f 00(b) > 0:

Para obtener las condiciones (1), (2) y (3), podemos procedercomo indicamos, al principio y cuando hablamos del error, en lasección 5.5.

Si se satisfacen las condiciones (1), (2) y (3), y elegimos �1 comoel extremo del intervalo [a; b]; tal que f(�1)f 00(�1) > 0; el métodode Newton para aproximarse a la raíz � de f(x) en [a; b]; consisteen elegir como primer valor aproximado de � a �1; y como segundovalor aproximado de �; al número

�2 = �1 �f(�1)

f 0(�1)

que se obtiene al intersecar el eje X con la recta

y � f(�1) = f 0(�1)(x� �1);

denominada recta tangente a la grá�ca de f(x) en el punto (�1; f(�1)).Efectivamente, como veremos en la demostración del terorema quesigue, �2 está más próximo a � que �1; y de hecho � quedará entrelos números �2 y �1; donde �1 es el extremo del intervalo [a; b] talque f(�1)f

00(�1) < 0: Como la raíz � queda en el intervalo no vacío


formado por los números �2 y �1; y éste es un subintervalo de [a; b];entonces f(x) satisface las condiciones (1), (2) y (3) en este subinter-valo, y además debe cumplirse que f(�2)f 00(�2) > 0: Por lo tanto, sideseamos una mejor aproximación a �; la elegimos como el número

�3 = �2 �f(�2)

f 0(�2)

el cual, como antes, se obtiene al intersecar el eje X con la recta

y � f(�2) = f 0(�2)(x� �2);

tangente a la grá�ca de f(x) en el punto (�2; f(�2)) : En general,probaremos que la sucesión f�ng; donde �1 es como ya dijimos, y

�n+1 = �n �f(�n)

f 0(�n)

para n = 1; 2; 3; : : : ; el cual se obtiene al intersecar el eje X con larecta

y � f(�n) = f 0(�n)(x� �n);tangente a la grá�ca de f(x) en el punto (�n; f(�n)) ; converge monó-tonamente a la raíz �:

Enseguida ilustramos geométricamente lo antes dicho, con uncaso particular.


Teorema (5.7.1) [Método de Newton].�Sea f(x) un polinomiode coe�cientes reales, con gr f(x) � 2; y sean a y b números reales, cona < b; tales que:

1) f(a)f(b) < 0:



Entonces la sucesión f�ng; donde �1 es el extremo del intervalo[a; b] tal que f(�1)f 00(�1) > 0 [�1 = a si f(a)f 00(a) > 0 ó �1 = b sif(b)f 00(b) > 0] y

�n+1 = �n �f(�n)

f 0(�n)

para n = 1; 2; 3; : : : ; converge a la única raíz � de f(x) en el intervalo[a; b]:

Demostración: De las condiciones (1) y (2) se tienen los siguien-tes cuatro casos:

i) f(a) < 0; f(b) > 0 y f 00(t) < 0 para cada t 2 [a; b]: En estecaso �1 = a:

ii) f(a) > 0; f(b) < 0 y f 00(t) > 0 para cada t 2 [a; b]: En estecaso �1 = a:

iii) f(a) < 0; f(b) > 0 y f 00(t) > 0 para cada t 2 [a; b]: En estecaso �1 = b:

iv) f(a) > 0; f(b) < 0 y f 00(t) < 0 para cada t 2 [a; b]: En estecaso �1 = b:

El dibujo de la grá�ca de f(x) en el intervalo [a; b]; de acuerdo conlos casos anteriores, corresponde, respectivamente, a las siguientes�guras:


El caso (ii) se reduce al caso (i), considerando el polinomio �f(x)en lugar de f(x): Este cambio no modi�ca a la sucesión f�ng; pues

f(�n)

f 0(�n)=�f(�n)�f 0(�n)

:


El caso (iii) se reduce al caso (ii) reemplazando el polinomio f(x)por el polinomio g(x) = f(�x); el cual satisface las condiciones (1),(2) y (3) en el intervalo [�b;�a]: Claro que �� es la única raíz deg(x) en [�b;�a]; si y sólo si, � es la única raíz de f(x) en [a; b]:Además, f��ng es la sucesión que se obtiene para g(x) en [�b;�a];si y sólo si, f�ng es la sucesión que se obtiene para f(x) en [a; b]:Finalmente, f��ng converge a ��; si y sólo si, f�ng converge a �:

El caso (iv) se reduce al caso (iii), considerando el polinomio�f(x) en lugar de f(x). Este cambio no modi�ca a la sucesiónf�ng; pues como ya dijimos

f(�n)

f 0(�n)=�f(�n)�f 0(�n)

:

Como consecuencia de los comentarios anteriores, bastará demos-trar el teorema para el caso (i). Con este �n, primero demostraremosque la sucesión f�ng converge, por mostrar que es monótona y aco-tada; luego demostraremos que converge precisamente a la raíz � def(x):

Recordemos que las hipótesis para el caso (i) son: f(a) < 0;f(b) > 0 y f 00(t) < 0 para cada t 2 [a; b]: Por lo tanto �1 = a:

Puesto que f 00(t) < 0 para cada t 2 [a; b]; entonces por el corolario(5.2.5)(i), f 0(x) es decreciente en [a; b]; es decir, f 0(t2) < f 0(t1) sit1; t2 2 [a; b] y t1 < t2:

Observemos también que f 0(t) > 0 para cada t 2 [a; b]: En efecto:Por el teorema (5.2.3), existe c 2 [a; b] tal que

f 0(c) =f(b)� f(a)

b� a :

Como f(a) < 0; f(b) > 0 y a < b; entonces f 0(c) > 0; y por lo tantof 0(t) > 0 para cada t 2 [a; b]; pues como f 0(x) no tiene raíces en[a; b]; conserva su signo en todo este intervalo.

A�rmamos que

a = �1 � �n < �n+1 < � < b


para cada n 2 N: En efecto: procedemos por inducción sobre n:Si n = 1; veamos que a = �1 � �1 < �2 < � < b: Claro quea = �1 � �1 < � < b: Sólo resta probar que �1 < �2 < �: Como�1 < �; por el teorema (5.2.3), existe t1 2 ]�1; �[ tal que

f 0(t1) =f(�)� f(�1)

� � �1;

es decir, �f(�1) = f 0(t1)(� � �1); pues f(�) = 0: Puesto que f 0(x)es decreciente en [a; b]; entonces f 0(t1) < f 0(�1); y por lo tanto�f(�1) = f 0(t1)(� � �1) < f 0(�1)(� � �1); o sea,

�f(�1) < f 0(�1)(� � �1):

Como f 0(t) > 0 para cada t 2 [a; b]; entonces f 0(�1) > 0; y por lotanto

� f(�1)

f 0(�1)< � � �1;


�2 = �1 �f(�1)

f 0(�1)< �:

Además, como �1 = a y f(a) < 0; entonces

�2 � �1 = �f(�1)

f 0(�1)> 0;

es decir, �1 < �2: Por lo tanto

a = �1 � �1 < �2 < � < b:

Supongamos ahora que

a = �1 � �n < �n+1 < � < b

para alguna n 2 N: Probaremos que entonces

a = �1 � �n+1 < �n+2 < � < b:


Por hipótesis de inducción, a = �1 � �n+1 < � < b; por lo tanto,sólo resta probar que �n+1 < �n+2 < �: Como �n+1 < �; entoncespor el teorema (5.2.3), existe t2 2 ]�n+1; �[ tal que

f 0(t2) =f(�)� f(�n+1)

� � �n+1;

es decir,�f(�n+1) = f 0(t2)(� � �n+1)

pues f 0(�) = 0: Puesto que f 0(x) es decreciente en [a; b]; entoncesf 0(t2) < f 0(�n+1); y por lo tanto

�f(�n+1) = f 0(t2)(� � �n+1) < f 0(�n+1)(� � �n+1);

o sea,�f(�n+1) < f 0(�n+1)(� � �n+1):

Como f 0(t) > 0 para cada t 2 [a; b]; entonces

� f(�n+1)

f 0(�n+1)< � � �n+1:


�n+2 = �n+1 �f(�n+1)

f 0(�n+1)< �:

Además, como f(x) no tiene raíces en [a; �[; y f(a) < 0; entoncesf(�n+1) < 0; y por lo tanto

�n+2 � �n+1 = �f(�n+1)

f 0(�n+1)> 0;

es decir, �n+1 < �n+2: Entonces

a = �1 � �n+1 < �n+2 < � < b;

como queríamos probar.


Hasta aquí tenemos probado que la sucesión f�ng es acotada ymonótona creciente. Por lo tanto, según el teorema (5.1.13), f�ng esconvergente, y converge a L = supf�n j n 2 Ng: Consecuentemente

a = �1 � �n � �n+1 � L � � < b

para cada n 2 N:

Como f�ng converge a L; entonces, según el teorema (5.1.14), lassucesiones ff(�n)g y ff 0(�n)g convergen a f(L) y a f 0(L); respec-tivamente. Además, f 0(L) 6= 0; pues f 0(x) no tiene raíces en [a; b]:

Puesto que

�n+1 = �n �f(�n)

f 0(�n);

aplicando el teorema (5.1.5) tenemos que

L = limn!1

�n+1

= limn!1

��n �

f(�n)

f 0(�n)

�= lim

n!1�n �

limn!1

f(�n)

limn!1

f 0(�n)

= L� f(L)

f 0(L):

De donde se sigue que f(L) = 0; y por lo tanto L = �; pues � es laúnica raíz de f(x) en [a; b]:

q.e.d.


5.8 El error de aproximación en el método deNewton

Según el teorema (5.7.1), si f(x) es un polinomio de coe�cientesreales, con gr f(x) � 2; y a y b son números reales, con a < b; talesque:

1) f(a)f(b) < 0:



Entonces la sucesión f�ng; donde �1 es el extremo del intervalo [a; b]tal que f(�1)f 00(�1) > 0 y

�n+1 = �n �f(�n)

f 0(�n)

para n = 1; 2; 3; : : : ; converge, creciendo o decreciendo, a la únicaraíz � de f(x) en ]a; b[:

Como

�n+1 = �n �f(�n)

f 0(�n)

para cada n = 1; 2; 3; : : : ; entonces

f 0(�n)(�n+1 � �n) = f(�)� f(�n) (I)

pues f(�) = 0: Por el teorema (5.2.3), existe t1 en el intervalo abiertono vacío formado por los números � y �n tal que

f 0(t1) =f(�)� f(�n)

� � �n:

Por lo tantof(�)� f(�n) = f 0(t1)(� � �n):

En consecuencia, (I) puede escribirse como

f 0(�n)(�n+1 � �n) = f 0(t1)(� � �n):

5.8. EL ERRORDE APROXIMACIÓN EN ELMÉTODODE NEWTON245

Como f 0(t) 6= 0 para cada t 2 [a; b]; entonces

� � �n =f 0(�n)

f 0(t1)(�n+1 � �n):

Por lo tanto

� � �n + �n+1 � �n+1 =f 0(�n)

f 0(t1)(�n+1 � �n):


� � �n+1 =f 0(�n)� f 0(t1)

f 0(t1)(�n+1 � �n): (II)

Puesto que f 00(x) no tiene raíces en [a; b]; entonces conserva susigno en todo este intervalo, es decir, f 00(t) > 0 ó f 00(t) < 0 para cadat 2 [a; b]: Y por lo tanto, según el corolario (5.2.5), f 0(x) es crecienteo decreciente en el intervalo [a; b]: En consecuencia

f 0(a) < f 0(t) < f 0(b) ó f 0(b) < f 0(t) < f 0(a);

para cada t 2 ]a; b[: Así que, si

M = máx��f 0(a)�� ; ��f 0(b)��

ym = mín

��f 0(a)�� ; ��f 0(b)�� ;entonces m < jf 0(t)j < M; para cada t 2 ]a; b[; ya que al no tenerf 0(x) raíces en [a; b]; conserva su signo en este intervalo.

Como f 0(x) conserva su signo en el intervalo [a; b]; pues no tieneraíces en el mismo, entonces��f 0(�n)� f 0(t1)�� = �� f 0(�n)�� f 0(t1)�� :

De las observaciones anteriores y por (II), tenemos que

j�n+1 � �j �M �mm

j�n+1 � �nj : (III)


Dada � > 0; por la observación (5.1.6), existe un número naturalk tal que j�n+1 � �nj < �; si n > k: Por lo tanto, si deseamos unaaproximación con un error menor que " > 0; a la raíz � de f(x) en[a; b]; basta construir la sucesión f�ng hasta un término �k+1; talque

j�k+1 � �kj <m"

M �m;

dondeM = máx

��f 0(a)�� ; ��f 0(b)��y

m = mín��f 0(a)�� ; ��f 0(b)�� ;

y elegir a �k+1 como la aproximación deseada, pues en este caso

j�k+1 � �j < ":

Ejemplo: El polinomio f(x) = x3� 3x+1 tiene una raíz simple� en el intervalo [1:5; 2]: Aproximarse a � con un error menor que" = 1

106:

Solución: f(x) = x3 � 3x+ 1; f 0(x) = 3x2 � 3 y f 00(x) = 6x:

1) f(1:5) = �0:125 y f(2) = 3; por lo tanto f(1:5)f(2) < 0:

2) Como f 00(x) = 6x; claro que f 00(x) no tiene raíces en [1:5; 2]:

3) Las raíces de f 0(x) = 3x2� 3 son 1 y �1; por lo tanto f 0(x) notiene raíces en [1:5; 2]:

Por otro lado f 0(1:5) = 3:75 y f 0(2) = 9; por lo tanto m = 3:75y M = 9:

Como f(2)f 00(2) > 0; entonces �1 = 2:

Debemos construir la sucesión f�ng; donde �1 = 2 y

�n+1 = �n �f(�n)

f 0(�n)

5.9. EL ERRORDE APROXIMACIÓN AL COMBINAR LOSMÉTODOS247

para n = 1; 2; 3; : : : ; hasta en término �k+1 tal que

j�k+1 � �kj <m"

M �m;

es decir, j�k+1 � �kj < 7107; pues en este caso j�k+1 � �j < 1

106:

Haciendo los cálculos tenemos que:

�1 = 2;�2 = 1:666666667;�3 = 1:548611111;�4 = 1:532390162;�5 = 1:532088989;�6 = 1:532088886:

Como j�6 � �5j < 7107; entonces �6 = 1:532088886 es la aproxi-

mación deseada, es decir, � � 1:532088886:

5.9 El error de aproximación al combinar losmétodos de regula falsi y de Newton

De las demostraciones de los teoremas (5.5.1) y (5.7.1), se sigueque la sucesión f�ng; que se obtiene por el método de regula falsi,converge decreciendo a la raíz �; si y sólo si, la sucesión f�ng; quese obtiene por el método de Newton, converge creciendo a la raíz�: Inversamente, la sucesión f�ng converge creciendo a �; si y sólosi, la sucesión f�ng converge decreciendo a �: En consecuencia, paracualesquiera números naturales m y k; la raíz � se encuentra entrelos números �m y �k:

Sea " > 0: Como f�ng y f�ng convergen a �; entonces existennúmeros naturales n1 y n2 tales que j�m � �j < "

2 ; para cadam � n1;y j�k � �j < "

2 ; para cada k � n2: Por lo tanto, existenm y k númerosnaturales tales que j�m � �kj < "; pues

j�m � �kj = j�m � � + � � �kj � j�m � �j+ j�k � �j <"

2+"

2= "


si m � n1 y k � n2:

De lo anterior se sigue que, si deseamos una aproximación con unerror menor que " > 0; a la raíz � de f(x) en [a; b]; bastará construirlas sucesiones f�ng y f�ng hasta los términos �m y �k; respectiva-mente, tales que j�m � �kj < "; y elegir como aproximación de �; acualquiera de los números �m; �k ó

�m+�k2 ; pues como ya dijimos, �

se encuentra entre los números �m y �k:

Ejemplo: El polinomio f(x) = x3� 3x+1 tiene una raíz simple� en el intervalo [1:5; 2]: Aproximarse a ella con un error menor que" = 1

106:

Solución: Siendo éste el mismo ejemplo que se trabajó el métodode regula falsi y en el método de Newton, sólo hacemos notar quelas sucesiones f�ng y f�ng deben construirse hasta los términos�12 = 1:532088305 y �5 = 1:532088989; respectivamente, pues eneste caso j�12 � �5j < 1

106; y elegimos como aproximación de � al

número 12 (�12 + �5) = 1:532088647:

5.10 Comentarios

El método de Newton para aproximarse a una raíz de un poli-nomio, es un caso particular de los conocidos como Métodos itera-tivos, que se aplican en general a funciones de variable real.

Para los métodos iterativos, se plantea resolver la ecuaciónx = g(x); donde g(x) es una función. En este sentido es posibledemostrar que: Si g(x) es continuamente diferenciable en un inter-valo ]a; b[ y a � g(x) � b; para cada x 2 [a; b]; y además

� = máxa�x�b

��g0(x)�� < 1;entonces:

1) x = g(x) tiene una única solución � en [a; b]:

5.10. COMENTARIOS 249

2) Para cualquier x1 2 [a; b]; si xn+1 = g(xn) para n = 1; 2; 3; : : : ;la sucesión fxng converge a �:

3) j� � xnj � �n j� � x1j y limn!1

��xn+1��xn = g0(�):

Si por otro lado se sabe que � es solución de la ecuación x = g(x);que g(x) es continuamente diferenciable en un intervalo vecindad de �y que jg0(�)j < 1; entonces se puede demostrar que los tres resultadosanteriores se cumplen escogiendo a x1 su�cientemente próximo a �:

Para el caso del Método de Newton, g(x) = x � f(x)f 0(x) : Por lo

que si f(x) es un polinomio que tiene una raíz � en un intervalo[a; b]; basta pedir que g(x) esté de�nida y que jg0(�)j < 1; para que,eligiendo x1 su�cientemente próximo a �; la sucesión fxng; dondexn+1 = g(xn) = xn � f(xn)

f 0(xn)para n = 1; 2; 3; : : : ; converja a �:

Si � es raíz de multiplicidad p > 1 de f(x); entoncesf(x) = (x� �)ph(x); y por lo tanto

g(x) = x� (x� �)h(x)ph(x) + (x� �)h0(x) ;


g0(x) = 1� h(x)

ph(x) + (x� �)h0(x) � (x� �)q0(x)

donde

q(x) =h(x)

ph(x) + (x� �)h0(x) :

En consecuencia, g0(�) = 1� 1p < 1; pues p > 1; y por lo tanto el

método de Newton sigue siendo convergente aún cuando � sea raízmúltiple.


5.11 EJERCICIOS

1. Aplicando el método de bisección, aproxímese con un errormenor que " = 10�6; a cada una de las raíces, que se encuentranen los intervalos indicados, de los siguientes polinomios:

1.1 f(x) = 8x3 � 4x2 � 18x+ 9; ]� 2;�1[; ]0; 1[ y ]1; 2[:

1.2 f(x) = x3 � 7x+ 7; ]� 4;�3[; ]1; 32 [ y ]32 ; 2[:

1.3 f(x) = x4 � 12x2 � 12x� 3; ]� 3;�2[ y ]3; 4[:

1.4 f(x) = �x5+2x4�x3+8x�6; ]�2;�1[; ]0; 1[ y ]2; 3[:1.5 f(x) = x5 � 3x3 + 2x2 � 5; ]� 2;�3

2 [; ]�32 ;�1[ y ]1; 2[

2. Aplicando el método de regula falsi, haga lo que se pide en elejercicio (1).

3. Aplicando el método de Newton, haga lo que se pide en elejercicio (1).

4. Aplicando los métodos que considere más convenientes, en cadacaso, separe las raíces reales de los siguientes polinomios, yaproxímese a cada una de ellas con un error menor que" = 10�6:

4.1 f(x) = x3 + 9x� 6:4.2 f(x) = x4 + x3 + x� 1:4.3 f(x) = x4 � 4x+ 1:4.4 f(x) = x4 � 80x+ 35:4.5 f(x) = x6 + 6x5 + 9x4 � 2x3 � 6x2 + 1:4.6 f(x) = 3x4 � 6x2 + 8x� 3:4.7 f(x) = x5 � 5x4 + 10x3 � 5x2 + 1:

Capítulo 6

SISTEMAS DEECUACIONESLINEALES

6.1 Sistemas de ecuaciones lineales

En la primera parte de este trabajo hemos estado interesados enresolver la ecuación

anxn + an�1x

n�1 + : : :+ a1x+ a0 = 0;

en donde la única incógnita es x; teniendo grado n: Ahora estamosinteresados en resolver un sistema de m ecuaciones lineales con nincógnitas, es decir, un sistema de m ecuaciones, cada ecuación conn incógnitas y cada incógnita de grado 1:

De�nición (6.1.1).�Una ecuación lineal con n incógnitas y decoe�cientes complejos, es una expresión de la forma

a1x1 + a2x2 + : : :+ anxn = b; (I)

donde los números complejos a1; a2; : : : ; an; y b son los coe�cientes dela ecuación, y x1; x2; : : : ; xn son las n incógnitas.

251

252 CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Observemos que, particularmente, los coe�cientes de la ecuaciónpueden ser números reales, en cuyo caso la ecuación lineal se dice serde coe�cientes reales.

De�nición (6.1.2).�Decimos que la n�ada S = (c1; c2; : : : ; cn);con ci número complejo para cada i = 1; 2; : : : ; n; es solución de laecuación (I); si al sustituir x1; x2; : : : ; xn por c1; c2; : : : ; cn; respecti-vamente, la ecuación se reduce a la identidad numérica

a1c1 + a2c2 + : : :+ ancn = b:

De�nición (6.1.3).�Un sistema de m ecuaciones lineales, con nincógnitas y de coe�cientes complejos, es una expresión de la forma:

a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1a21x2 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2...

......

...am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm

9>>>=>>>; (II)

donde las constantes aij y bi; con i = 1; 2; : : : ;m y j = 1; 2; : : : ; n;llamadas coe�cientes del sistema, son números complejos; x1; x2; : : : ; xnson las n incógnitas; y m puede ser mayor, menor o igual que n:

Hemos de�nido un sistema de m ecuaciones lineales, en general,con coe�cientes complejos; particularmente los coe�cientes puedenser reales, tomando en cuenta que si la parte imaginaria de un númerocomplejo es cero, éste es un número real.

De�nición (6.1.4).�Decimos que el sistema de ecuaciones lineales(II) es homogéneo, si bi = 0 para cada i = 1; 2; : : : ;m; y si bi 6= 0 paraalguna i = 1; 2; : : : ;m; entonces decimos que es no homogéneo.

De�nición (6.1.5).�Decimos que la n�ada S = (c1; c2; : : : ; cn);con ci número complejo para cada i = 1; 2; : : : ; n; es solución del sis-tema de ecuaciones lineales (II), si dicha n�ada es solución de cadaecuación del sistema.

6.2. MATRIZ DE COEFICIENTES 253

Observemos que la n�ada S = (c1; c2; : : : ; cn) es una solución delsistema, y no n soluciones.

Para cualquier sistema de ecuaciones lineales, hay tres posibili-dades de solución:

a) Tiene una solución única.

b) Tiene más de una solución.

c) No tiene solución alguna.

Si un sistema de ecuaciones lineales tiene al menos una solución,se dice ser consistente; y si no tiene solución, se dice ser inconsistente.Si el sistema tiene justamente una solución se dice ser determinado;y si tiene más de una solución, se dice ser indeterminado.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales, signi�ca encontrar sussoluciones o decidir que no tiene solución.

Un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial

S = (x1 = 0; x2 = 0; : : : ; xn = 0);

pero puede tener otras soluciones.

6.2 Matriz de coe�cientes

De�nición (6.2.1).� Sean cij 2 C; con i = 1; 2; : : : ;m yj = 1; 2; : : : ; n: Al arreglo rectangular26664

c11 c12 : : : c1nc21 c22 : : : c2n...

......

cm1 cm2 : : : cmn

37775


se le denomina matriz de m renglones o �las, y n columnas. Losnúmeros cij se llaman elementos o entradas de la matriz.

Notación: A las matrices se les denota, generalmente, con letrasmayúsculas A;B;C; : : : Para decir que A es una matriz de m ren-glones y n columnas, se escribe Am�n: Escribimos [cij ]m�n para re-presentar una matriz de m renglones y n columnas con entradas cij :

Ejemplo:

A =

24 3 �5 2 01 0 3 �18 6 5 4

35es una matriz de tres renglones y cuatro columnas.

De�nición (6.2.2).�Sea

a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2...

......

...am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm

un sistema de ecuaciones lineales, con coe�cientes en C: A las matrices:

A =

26664a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

am1 am2 : : : amn

37775 y B =26664a11 a12 : : : a1n b1a21 a22 : : : a2n b2...

......

...am1 am2 : : : amn bm

37775se les llama matriz principal y matriz ampliada, respectivamente, delsistema de ecuaciones dado.

Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones

3x1 + 2x2 � 7x3 = 0�x1 + 3x2 = 17x1 + 2x3 = �2

6.3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODODEGAUSS255

Entonces

A =

24 3 2 �7�1 3 07 0 2

35 y B =

24 3 2 �7 0�1 3 0 17 0 2 �2

35son las matrices principal y ampliada, respectivamente, de dicho sis-tema.

6.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales.Método de reducción de Gauss

Por medio del método de reducción de Gauss, dado cualquier sis-tema de ecuaciones lineales, siempre garantizamos encontrar, si hay,sus soluciones, o decidir que no tiene solución, es decir, garantizamosresolverlo.

De�nición (6.3.1).�Dos sistemas de m ecuaciones lineales, conn incógnitas y de coe�cientes en C; se dicen ser equivalentes, si poseenel mismo conjunto de soluciones.

Observación: Claro que si un sistema A es equivalente a unsistema B; y éste es equivalente a un sistema C; entonces los sistemasA y C son equivalentes.

Ejemplo: El sistema

9x1 + 3x2 = �2�3x1 + 6x2 = 12

es equivalente al sistema

3x1 + x2 = �23

x1 � 2x2 = �4

!�Compruébese!


El método de reducción de Gauss para resolver un sistema deecuaciones lineales, consiste en hacer reemplazamientos sucesivos delsistema, por otro equivalente, hasta obtener uno que esté en formaesencialmente resuelto, y que desde luego será equivalente al sistemaoriginal. Las operaciones permitidas sobre las ecuaciones de un sis-tema, para obtener otro sistema equivalente, se llaman operacioneselementales [sobre renglón] y son las siguientes:

i) Intercambiar cualesquiera dos ecuaciones del sistema.

ii) Reemplazar una ecuación del sistema por un r�múltiplo de ellamisma [r 2 C; r 6= 0]:

iii) Reemplazar una ecuación del sistema, por la ecuación que re-sulta de sumarle a sus correspondientes miembros, unr�múltiplo de otra ecuación [r 2 C; r 6= 0]:

Proposición (6.3.2).�Después de efectuar cualesquiera de las o-peraciones (i), (ii) y (iii), mencionadas anteriormente, sobre un sistemade ecuaciones lineales, el sistema que resulta le es equivalente, es decir,tienen el mismo conjunto de soluciones.

Demostración: Sea

a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1...

......

...ak1x1 + ak2x2 + : : : + aknxn = bk...

......

...a`1x1 + a`2x2 + : : : + a`nxn = b`...

......

...am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm

9>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>;(A)

un sistema de ecuaciones lineales, y supongamos que S = (c1; c2; : : : ; cn)es una solución de éste.

i) Intercambiando la `�ésima ecuación con la k�ésima, obtenemosel sistema


a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1...

......

...a`1x1 + a`2x2 + : : : + a`nxn = b`...

......

...ak1x1 + ak2x2 + : : : + aknxn = bk...

......

...am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm

9>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>;(B)

Claro que, S = (c1; c2; : : : ; cn) es solución del sistema (A), si ysólo si, S es solución del sistema (B). Es decir, los sistemas (A) y(B) son equivalentes.

ii) Reemplazando la k�ésima ecuación del sistema (A), por unr�múltiplo de ella misma, r 6= 0; obtenemos el sistema

a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1...

......

...rak1x1 + rak2x2 + : : : + raknxn = rbk...

......

...a`1x1 + a`2x2 + : : : + a`nxn = b`...

......

...am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm

9>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>;(C)

Para probar que los sistemas (A) y (C) son equivalentes, bastaprobar que S = (c1; c2; : : : ; cn) es solución de la k�ésima ecuación de(A), si y sólo si, S es solución de la k�ésima ecuación del sistema(C), lo cual es evidente.

iii) Reemplazando la k�ésima ecuación del sistema (A), por laecuación que resulta de sumarle, a sus correspondientes miembros,un r�múltiplo (r 6= 0) de la l�ésima ecuación, obtenemos el sistema


a11x1 + : : : + a1nxn = b1...

......

(ra`1 + ak1)x1 + : : : + (ra`n + akn)xn = rb` + bk...

......

a`1x1 + : : : + a`nxn = b`...

......

am1x1 + : : : + amnxn = bm

9>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>;(D)

Para probar que los sistemas (A) y (D) son equivalentes, bastaprobar que si S = (c1; c2; : : : ; cn) es solución de (A), entonces S essolución de la k�ésima ecuación de (D); y que si S = (c1; c2; : : : ; cn)es solución de (D), entonces S es solución de la k�ésima ecuación de(A). En ambos casos la prueba es evidente.

q.e.d.

Enseguida veremos que siempre es posible, mediante la aplicaciónde las operaciones elementales un número �nito de veces, llevar unsistema de ecuaciones lineales a otro que le sea equivalente y que estéen forma esencialmente resuelto. Para ello, observemos que efectuarlas operaciones elementales sobre las ecuaciones de un sistema, eslo mismo que hacerlo sobre los renglones de la matriz ampliada delsistema, obteniéndose una matriz equivalente por renglones, que esla matriz ampliada de un sistema equivalente al inicial. Por tanto,para probar que siempre es posible llevar un sistema de ecuacioneslineales, mediante la aplicación de las operaciones elementales unnúmero �nito de veces, a otro sistema que es equivalente y que estéen forma esencialmente resuelto, basta probar que la matriz ampliadadel sistema se puede llevar, mediante la aplicación de las operacioneselementales [sobre renglón] un número �nito de veces, a una matrizequivalente por renglones, que será la matriz ampliada de un sis-tema que es equivalente al inicial y que está en forma esencialmenteresuelto.

De�nición (6.3.3).�Sea A = [aij ]m�n una matriz. Los númerosai1; ai2; : : : ; ain se llaman entradas del i�ésimo renglón; y los númerosa1`; a2`; : : : ; am` se llaman entradas de la `�ésima columna. Se dice


que un renglón de A es diferente de cero, si alguna de sus entradas esdiferente de cero. Se llama entrada principal de un renglón, al primernúmero diferente de cero del renglón, contando de izquierda a derecha.

De�nición (6.3.4).�Decimos que una matriz, de m renglones y kcolumnas, está en forma normal de Hermite, o escalonada por renglones,si satisface las condiciones siguientes:

1) Los renglones cero están abajo de todos los renglones diferentesde cero.

2) La entrada principal de un renglón diferente de cero, es 1:

3) La columna que contiene la entrada principal de un renglón, tieneceros en sus demás entradas.

4) Si la entrada principal del i�ésimo renglón, está en la ti�ésimacolumna, entonces t1 < t2 < : : : < tr; donde r es el número derenglones diferentes de cero.

Ejemplo: Sean las matrices

A =

24 1 0 0 30 0 1 �20 0 0 0

35 y B =

24 0 1 0 30 0 1 31 0 0 �1

35En este caso, A está en forma normal de Hermite, no así B:

Por como se de�ne, una matriz en forma normal de Hermitepuede verse como la matriz ampliada de un sistema de ecuacioneslineales que está en forma esencialmente resuelto. En consecuencia,dado un sistema de ecuaciones lineales, para encontrar otro que le seaequivalente y que esté en forma esencialmente resuelto, basta aplicarlas operaciones elementales, sobre renglón, a la matriz ampliada delsistema dado, hasta obtener una matriz en forma normal de Hermite,lo que siempre puede hacerse en una �nitud de pasos. En efecto:


Teorema (6.3.5).�Si A es la matriz ampliada de un sistema de mecuaciones lineales con n incógnitas, entonces, mediante la aplicación,un número �nito de veces, de las operaciones elementales sobre renglón,A puede llevarse a una matriz que esté en forma normal de Hermite.

Demostración: Sea

A =

26664a11 a12 a13 : : : a1n b1a21 a22 a23 : : : a2n b2...

......

......

am1 am2 am3 : : : amn bm

37775Podemos suponer a11 6= 0; pues si no es así, intercambiamos el

primer renglón con otro cuya primera entrada sea diferente de cero[operación (i)]. Aplicando la operación (ii), multiplicamos el primerrenglón por 1

a11y obtenemos una matriz de la forma

A1 =

266641 c12 c13 : : : c1n d1a21 a22 a23 : : : a2n b2...

......

......

am1 am2 am3 : : : amn bm

37775que es equivalente por renglones a A:

Si ai1 es diferente de cero, i � 2; aplicando la operación (iii),reemplazamos el i�ésimo renglón de A1; por el que resulta de sumarlea él mismo, el producto de �ai1 por el primer renglón. Así obtenemosuna matriz de la forma

A2 =

266641 c12 c13 : : : c1n d10 c22 c23 : : : c2n d2...

......

......

0 cm2 cm3 : : : cmn dm

37775que es equivalente por renglones a A1; y por lo tanto a A:

Los renglones cero, si hay, se colocan abajo de todos los renglonesdiferentes de cero.


Nos �jamos ahora cuál es el renglón, entre el segundo y elm�ésimo, cuya entrada principal aparece primero. Este renglónpuede ser el segundo, si no lo es, se intercambia con el apropiado.Enseguida se hace con él, lo que se hizo con el primer renglón. Acontinuación, como se hizo con la primera columna, aplicando la ope-ración (iii) se anulan las demás entradas de la columna que contengala entrada principal, igual a 1; del segundo renglón. Así obtenemosuna matriz del tipo

A3 =

26666641 0 e13 : : : e1n f10 1 e23 : : : e2n f20 0 e33 e3n f3......

......

...0 0 em3 : : : emn fm

3777775que es equivalente por renglones a A2; y por lo tanto a A:

Los renglones cero, si hay, se colocan abajo de todos los renglonesdiferentes de cero.

Continuamos el proceso anterior, el cual terminará cuando lo apli-quemos al último renglón diferente de cero, que puede ser a lo másel m�ésimo.

q.e.d.

Ejemplo 1 : Resolver el sistema

3x + 2y � z = 1x � 2y + z = 3

Solución:�3 2 �1 11 �2 1 3

�(i)

~

�1 �2 1 33 2 �1 1

�(iii)

~

�1 �2 1 30 8 �4 �8

�(ii)

~

�1 �2 1 30 1 �1

2 �1

�(iii)

~

�1 0 0 10 1 �1

2 �1

�


La última matriz está en forma normal de Hermite. Por lo tanto

x = 1

y � 12z = �1

Es decir

x = 1

y = �1 + 12z

Si z = c; las soluciones del sistema dado son de la formaS = (1;�1 + 1

2c; c): Particularmente, (1;�1; 0) es una solución.


x � y + 2z = 03x + y + 2z = 8

�2x + 4y + 6z = �4

Solución:24 1 �1 2 03 1 2 8

�2 4 6 �4

35 (iii)~24 1 �1 2 00 4 �4 80 2 10 �4

35 (ii)~24 1 �1 2 00 1 �1 20 2 10 �4

35 (iii)~24 1 0 1 20 1 �1 20 0 12 �8

35 (ii)~24 1 0 1 20 1 �1 20 0 1 �2

3

35(iii)

~

24 1 0 0 83

0 1 0 43

0 0 1 �23

35La última matriz está en forma normal de Hermite. Por lo tanto

x =8

3

y =4

3

z = �23


Así que la única solución del sistema dado, es S =�83 ;43 ;�

23

�:


x � 4y + z = 02x + 2y � 3z = 03x + 2y � 4z = 0

Solución:24 1 �4 1 02 2 �3 03 2 �4 0

35 (iii)~24 1 �4 1 00 10 �5 00 14 �7 0

35 (ii)~24 1 �4 1 00 1 �1

2 00 14 �7 0

35(iii)

~

24 1 0 �1 00 1 �1

2 00 0 0 0

35La última matriz está en forma normal de Hermite. Por lo tanto

x� z = 0

y � 12z = 0

Consecuentemente

x = z

y =1

2z

Si z = c; las soluciones del sistema dado, son de la formaS =

�c; 12c; c

�: En particular, (2; 1; 2) es una solución.

Observación: Si la matriz en forma normal de Hermite, de unsistema de ecuaciones, tiene un renglón cuyas entradas, excepto laúltima contando de izquierda a derecha, son ceros, claro que talsistema es inconsistente, es decir, no tiene solución.


6.4 EJERCICIOS

1. Diga cuáles de los siguientes, son sistemas de ecuaciones li-neales:

1.12x1 + 3x2 + x3 = 0x1x2 � 2x2 + x2x3 = 1

1.2x � 3y + z = 3x + 1

y � z = �1

1.3x = y �

p2z

x = z

1.43x1 � 3x4 = 04x3 � 3x4 = 0

1.5 2x � 3y + z = 4

1.6ix + (1� i)y = �i3x � iy = 1

1.75x � 2y + z = 3x�x + 3y + z = 3y2x + y � 4z = 3z

2. Escriba la matriz ampliada de cada uno de los siguientes sis-temas de ecuaciones lineales:

2.1x1 + x3 = 1x1 + 2x2 � x3 = 0

2.2x1 + x4 = 12x2 � x3 + x5 = 0

2x3 + x4 = �1

6.4. EJERCICIOS 265

2.3x1 � 3x2 = 02x1 + 4x2 = �13x1 � x2 = 2

2.42ix1 � (2� i)x2 = i3x1 + ix2 = 3� 2i

2.5

2x � y + z � w = 0x + y + 2z + w = 03x + � 4z � w = 0�x + y + + w = 0

2.6 x1 + 3x2 � 7x3 = �3

3. Escriba el sistema de ecuaciones lineales correspondiente a cadauna de las siguientes matrices ampliadas:

3.1

24 1 0 1 02 �1 1 30 3 �2 0

35

3.2

24 1 0 01 �1 0

�1 1 1

35

3.3

26641 0 0 0 10 1 0 0 30 0 1 0 �10 0 0 1 4

3775

3.4�1 0 3 1 50 1 0 3 �2

�

3.5�1� i 2 �i

1 1 + i i

�


4. Diga cuáles de las siguientes matrices están en forma normalde Hermite:

4.1

24 1 0 00 0 00 1 0

35

4.2

24 0 1 01 0 00 0 1

35

4.3

24 1 2 0 3 00 0 1 0 00 0 0 0 1

35

4.4

24 1 0 0 3 20 1 0 �1 40 0 1 1 0

35

4.5�1 �i 2 + i i0 0 1 2� i

�

5. Halle la forma normal de Hermite asociada a cada una de lassiguientes matrices:

5.1

24 3 �1 2 02 1 1 11 �3 0 0

35

5.2

24 i �1� i 0 01 �2 1 01 2i �1 0

35

5.3

24 1 0 4 7 100 1 �3 �4 �20 0 1 1 2

35

6.4. EJERCICIOS 267

5.4

24 1 0 0 50 0 1 30 1 0 4

35

6. Cada una de las siguientes matrices representa un sistema deecuaciones lineales. Resuelva el sistema.

6.1

24 1 0 0 00 1 0 �10 0 1 0

35

6.2

24 1 0 0 3 20 1 0 �1 40 0 1 1 0

35

6.3

24 1 2 0 00 0 1 00 0 0 1

35

6.4

26641 0 0 0 3 10 1 1 0 5 �10 0 0 1 2 40 0 0 0 0 0

3775

6.5�1 i 0 2i0 0 1 3� i

�

7. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

7.12x1 + x2 + x3 = 83x1 � 2x2 � x3 = 14x1 � 7x2 + 3x3 = 10

7.2(1� i)x + 2y = �i

x + (1� i)y = i


7.32x1 � 3x2 = �22x1 + x2 = 13x1 + 2x2 = 1

7.42x � y + z = 0x + 2y � 3z = 0

7.5x1 � 2x2 + x3 � 4x4 = 1x1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2x1 � 12x2 � 11x3 � 16x4 = 5

7.6ix � (1� i)y + z = �i3x + (3 + 3i)y + (2� 3i)z = 0

(1� i)x � 2y � (3� i)z = 2i

7.7

3x + 2y � z = 5x � y � w = 03x � 2y � z � w = 4

y � w = 1

7.8

x1 + x2 � x3 = 1x2 + x3 � x4 = 1x3 + x4 � x5 = 1x5 + x4 � x3 = 1x4 + x3 � x2 = 1

7.93x1 + x2 + x3 + x4 = 05x1 � x2 + x3 � x4 = 0

7.10

� 3x2 � 7x3 + 5x4 + 2x5 = 0x1 � 2x2 � 4x3 � x5 = 02x1 � 4x3 + 2x4 + x5 = 0x1 � 5x2 � 7x3 + 6x4 = 0x1 + x2 + x3 + � x5 = 0

7.11ix � (1 + i)y = 0x � 2y + z = 1x + 2iy � z = �1

6.4. EJERCICIOS 269

7.126x � 4y + z = 2x4x � 2y � z = 2y�x + y + 3z = 2z

8. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, dondea; b y c son constantes:

8.12x + y = ax + 2y = b

8.2x + y + z = ax + z = b

y + z = c

9. Demuestre que la forma normal de Hermite asociada a unamatriz, es única.

10. Demuestre que ad � bc 6= 0; si y sólo si, la forma normal deHermite asociada a la matriz

�a bc d

�es

�1 00 1

�11. Demuestre que el sistema de ecuaciones lineales

ax + by = 0cx + dy = 0

tiene únicamente la solución trivial x = 0 y y = 0; si y sólo si,ad� bc 6= 0:

12. Demuestre que el sistema de ecuaciones lineales

ax + by = ecx + dy = f

tiene solución única, si y sólo si, ad� bc 6= 0:


13. Si S1 = (c1; c2; : : : ; cn) y S2 = (d1; d2; : : : ; dn) son soluciones deun sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógni-tas, y de coe�cientes en C; pruebe que

S1 + S2 = (c1 + d1; c2 + d2; : : : ; cn + dn)

yrS1 = (rc1; rc2; : : : ; rcn)

para cada r 2 C; son también soluciones de dicho sistema.

14. Considere los siguientes sistemas de ecuaciones lineales decoe�cientes en C:

a11x1 + : : : + a1nxn = b1a21x1 + : : : + a2nxn = b2...

......

am1x1 + : : : + amnxn = bm

9>>>=>>>; (I)

ya11x1 + : : : + a1nxn = 0a21x1 + : : : + a2nxn = 0...

......

am1x1 + : : : + amnxn = 0

9>>>=>>>; (II)

Si S1 = (c1; : : : ; cn) y S2 = (d1; : : : ; dn) son soluciones de (I),y S0 = (e1; : : : ; en) es solución de (II); pruebe que

S1 � S2 = (c1 � d1; : : : ; cn � dn)

es solución de (II), y que

S1 + S0 = (c1 + e1; : : : ; cn + en)

es solución de (I).

15. Si un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas y decoe�cientes en C; tiene dos soluciones diferentes, pruebe queentonces tiene una in�nidad de soluciones.

16. Encuentre la relación entre a; b y c; para que el siguiente sistemade ecuaciones lineales sea consistente.

x + y + 2z = ax + z = b2x + y + 3z = c

6.4. EJERCICIOS 271

17. Determine para qué valores de �; el siguiente sistema de ecua-ciones lineales tiene soluciones no triviales.

(�� 3)x + y = 0x + (�� 3)y = 0

18. En los casos siguientes, determine para qué valores de k; elsistema de ecuaciones lineales es:

i) inconsistente (no tiene solución).

ii) determinado (tiene solución única).

iii) indeterminado (tiene más de una solución).

18.1x � y = 1x � k2y = k

18.22x � y � kz = 0x � y � 2z = 1

�x + 2y = k

18.3kx + y + z = 1x + ky + z = 1x + y + kz = 1

18.4x + 2y � 3z = 43x � y + 5z = 24x + y + (k2 � 14)z = k + 2

19. Si las ecuaciones lineales

a1x1 + a2x2 + : : :+ anxn = c

yb1x1 + b2x2 + : : :+ bnxn = d

tienen el mismo conjunto de soluciones, pruebe que entoncesexiste una constante r tal que d = rc y bi = rai; para cadai = 1; 2; : : : ; n:

Apéndice A

SOLUCIÓN PORRADICALES DE LASECUACIONES DESEGUNDO, TERCER YCUARTO GRADOS

De acuerdo con la versión de diferentes autores, mientras las ecua-ciones generales de primer y segundo grados fueron resueltas desdela antigüedad, la ecuación general de tercer grado había resistido to-dos los esfuerzos de los matemáticos anteriores al italiano Scipio DelFerro, quien �nalmente logró resolverla a principios del siglo XVI,durante el renacimiento en Italia. De acuerdo a la costumbre de sutiempo, Del Ferro no publicó sus resultados, sino que se los comunicóa uno de sus discípulos, mismo que, tras la muerte de aquel, retó algran matemático Tartaglia (1500-1557), también italiano, a que re-solviera un cierto número de ecuaciones de tercer grado. Tartagliaaceptó el reto y, antes del plazo �jado en éste, encontró un métodopara resolver cualquier ecuación cúbica de la forma x3 + px+ q = 0:Así como Del Ferro, Tartaglia no publicó su método; pero un profesorde física y matemática de Milán, Cardan (1501-1576), lo convencióde que se lo comunicara, bajo la promesa de mantenerlo en secreto.Cardan violó su promesa y publicó el resultado de Tartaglia en su

273

274 APÉNDICE A: SOLUCIÓN POR RADICALES

trabajo Ars Magna (El arte sumo) en 1545. Desde entonces, las fór-mulas para resolver una ecuación de tercer grado se conocen comofórmulas de Cardan.

Poco después de la resolución de la ecuación cúbica, el tambiénmatemático italiano, alumno de Cardan, Ferrari (1522-1565) resolvióla ecuación general de cuarto grado.

Los procesos que aquí exponemos, para obtener las fórmulas pararesolver las ecuaciones de tercer y cuarto grados, se sustentan enlos trabajos de los matemáticos italianos mencionados, y se basanen transformaciones especiales y complicadas de la ecuación respec-tiva, que bien pueden parecer arti�ciales y accidentales, pero queocurrieron en la intensa búsqueda de métodos para resolver dichasecuaciones.

De la ecuación de primer grado ax + b = 0; sólo diremos que su

única solución es x = � ba�

A.1 El discriminante de una ecuación

De�nición (A.1.1).�Sea

anxn + : : :+ a1x+ a0 = 0 (1)

una ecuación de grado n � 2 y de coe�cientes complejos; y seanx1; x2; : : : ; xn sus raíces, no necesariamente diferentes. El discriminantede dicha ecuación se de�ne como:

D = a2n�2n

Y1�i<j�n

(xi � xj)2: (2)

A.2. LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 275

Observación: En lugar de la ecuación (1) de la de�nición ante-rior, podemos hablar del polinomio

f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0:

En este caso se dice que (2) es el discriminante del polinomio f(x):

A.2 La ecuación de segundo grado

Consideremos la ecuación general de segundo grado, de coe�-cientes complejos a; b; c; (a 6= 0); y con incognita x

ax2 + bx+ c = 0: (1)

Si el número complejo t es raíz de (1), entonces

at2 + bt+ c = 0: (2)

Multiplicando ambos miembros de (2) por 4a; se obtiene

4a2t2 + 4abt+ 4ac = 0: (3)

Sumando b2 � 4ac en ambos miembros de (3), se obtiene

4a2t2 + 4abt+ b2 = b2 � 4ac;

es decir,(2at+ b)2 = b2 � 4ac;

por tanto2at+ b = �

pb2 � 4ac;

y en consecuencia

t =�b�

pb2 � 4ac2a

:

Para evitar confusión con la expresiónpb2 � 4ac; recordemos que

por ser b2�4ac número complejo, entonces tiene dos raíces complejas


�1 y �2; donde �2 = ��1: Así que la expresiónpb2 � 4ac representa

a cualquiera, pero sólo a una, de �1 y �2:

En resumen, las dos raíces (no necesariamente diferentes) de laecuación ax2 + bx+ c = 0 vienen dadas por la fórmula

x =�b�

pb2 � 4ac2a

:

A.3 El discriminante de la ecuación de se-gundo grado

Las raíces de la ecuación ax2 + bx+ c = 0 son

x1 =�b+

pb2 � 4ac2a

y x2 =�b�

pb2 � 4ac2a

:

Por tanto, el discriminante de dicha ecuación es D = a2(x1�x2)2; osea,

D = b2 � 4ac:

Observemos que si la ecuación de segundo grado ax2+ bx+ c = 0es de coe�cientes reales, entonces:

i) Tiene dos raíces reales diferentes, si y sólo si, D > 0:

ii) Tiene una raíz real doble, si y sólo si, D = 0:

iii) Tiene dos raíces imaginarias diferentes, si y sólo si, D < 0:

A.4. LA ECUACIÓN DE TERCER GRADO 277

A.4 La ecuación de tercer grado

Consideremos ahora la ecuación general de tercer grado

Ax3 +Bx2 + Cx+D = 0 (1)

con coe�cientes complejos A;B;C y D; (A 6= 0); y con incógnita x:Como A 6= 0; y puesto que la ecuación

1

A(Ax3 +Bx2 + Cx+D) = 0

tiene las mismas raíces que la ecuación (1), entonces no se pierdegeneralidad si en lugar de ésta, escribimos

x3 + bx2 + cx+ d = 0 (2)

con b; c y d números complejos.

Sustituyendo x = y � b

3en (2), se tiene que

�y � b

3

�3+ b

�y � b

3

�2+ c

�y � b

3

�+ d = 0;

por tanto

y3 +

�c� b2

3

�y +

�d� bc

3+2b3

27

�= 0:

En consecuencia, resolver la ecuación cúbica (2) se reduce a re-solver la ecuación

y3 + py + q = 0;

donde

p = c� b2

3y q = d� bc

3+2b3

27:

Si y1; y2 y y3 son las raíces de y3 + py + q = 0; entonces:

x1 = y1 �b

3;


x2 = y2 �b

3;

x3 = y3 �b

3;

son las raíces de (2).

Resolveremos ahora la ecuación

y3 + py + q = 0: (3)

Escribiendo y = u+ v en (3) (esto es, transformando la ecuación deuna incógnita en otra con dos incógnitas), tenemos que

(u+ v)3 + p(u+ v) + q = 0:

Desarrollando la expresión anterior, y escribiendo sus términosen forma apropiada, se tiene que

u3 + v3 + q + (3uv + p)(u+ v) = 0: (4)

Cualquiera que sea el valor numérico de la suma de u y v (eneste caso una raíz de la ecuación (3)), siempre podemos determinara u y v imponiéndoles la condición adicional que su producto uvsea un número pre�jado. En efecto: Supongamos que u + v = r eimpongamos la condición adicional uv = s; entonces v = r � u yuv = s; por tanto v = r � u y u(r � u) = s; por tanto v = r � uy u2 � ru + s = 0: En cosecuencia v = r � u; y u puede calcularsepor la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado. Estodemuestra lo que se a�rmó.

Enseguida determinaremos a u y v; sabiendo que la suma u+ ves raíz de la ecuación y3 + py + q = 0; e imponiendo la condiciónadicional

uv = �p3: (5)

Sustituyendo (5) en (4) tenemos que

u3 + v3 + q = 0: (6)

A.4. LA ECUACIÓN DE TERCER GRADO 279

De (5) y (6) se sigue que

u3v3 = �p3

27(7)

yu3 + v3 = �q: (8)

Puesto que

(z � u3)(z � v3) = z2 � (u3 + v3)z + u3v3;

entonces, por (7) y (8), u3 y v3 son las dos soluciones de la ecuaciónde segundo grado

z2 + qz � p3

27= 0: (9)

Por otro lado, las soluciones de la ecuación (9), vienen dadas por:

z1 = �q

2+

rq2

4+p3

27

y

z2 = �q

2�rq2

4+p3

27:

Por tanto, podemos escribir

u3 = z1 y v3 = z2: (10)

Las ecuaciones (10) pueden resolverse por el método expuesto enla sección 1.8 del capítulo 1. Cada una de dichas ecuaciones tienetres raíces, digamos u1; u2 y u3; para u3 = z1; y v1; v2 y v3; parav3 = z2:

Por lo expuesto en las secciones 1.8 y 1.10 del capítulo 1, lasraíces de la ecuación

x3 = 1


son:w0 = 1;

w =�1 + i

p3

2;

w2 =�1� i

p3

2:

Es fácil comprobar (Ver ejercicio 24 del capítulo 1) que las raícesde

u3 = z1

son:u1; u2 = wu1 y u3 = w2u1;

y las raíces dev3 = z2

son:v1; v2 = wv1 y v3 = w2v1:

No perdamos de vista que estamos determinando valores de u yv; de modo que la suma u + v sea raíz de y3 + py + q = 0; y queademás u y v satisfagan la condición adicional uv = �p

3� Hemos

determinado tres posibles valores u1; u2 y u3 para u; y tres posibles

valores v1; v2 y v3 para v: Pero observemos que (uivj)3 = �p3

27no

implica que uivj = �p

3; para cada i; j = 1; 2; 3: Si elegimos u1 y v1

de modo que u1v1 = �p

3; y a los que denotaremos por

u1 =3

s�q2+

rq2

4+p3

27

y

v1 =3

s�q2�rq2

4+p3

27:

Entonces las raíces de

y3 + py + q = 0

A.5. EL DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN DE TERCERGRADO281

son:y1 = u1 + v1;y2 = wu1 + w

2v1;y3 = w2u1 + wv1:

Las expresiones anteriores son conocidas como f �ormulas deCardan; para calcular las raíces de la ecuación y3 + py + q = 0:

A.5 El discriminante de la ecuación de tercergrado

De acuerdo a las fórmulas de Cardan, y de acuerdo a la de�nición(A.1.1), el discriminante de la ecuación

y3 + py + q = 0

esD = (y1 � y2)2(y1 � y3)2(y2 � y3)2: (1)

Enseguida calcularemos D: Para esto recordemos que

w = �12+1

2

p3i

es raíz de la ecuaciónx3 � 1 = 0;

y por tantow3 = 1 y w2 + w + 1 = 0:

Entonces

y1 � y2 = (u1 + v1)� (wu1 + w2v1)= (1� w)u1 � w2v1 + w3v1= (1� w)u1 + (1� w)(�w2v1)= (1� w)(u1 � w2v1);


y1 � y3 = (u1 + v1)� (w2u1 + wv1)= (1� w2)u1 � wv1 + w3v1= (1� w2)u1 + (1� w2)(�wv1)= (1� w2)(u1 � wv1);

y2 � y3 = (wu1 + w2v1)� (w2u1 + wv1)

= (w � w2)u1 � wv1 + w2v1= (w � w2)u1 + (w � w2)(�v1)= (w � w2)(u1 � v1):

Además,

(1� w)(1� w2) =�32 �

p32 i��

32 +

p32 i�

= 3

yw � w2 =

p3i:

Puesto que (x� 1)(x� w)(x� w2) = x3 � 1; entonces�u1v1� 1��

u1v1� w

��u1v1� w2

�=

�u1v1

�3� 1;

por tanto

(u1 � v1)(u1 � wv1)(u1 � w2v1) = u31 � v31: (2)

Por (10) de la sección A.4, de (2) se sigue que

(u1 � v1)(u1 � wv1)(u1 � w2v1) = 2rq2

4+p3

27:

En consecuencia,

A.5. EL DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN DE TERCERGRADO283

D = [(y1 � y2)(y1 � y3)(y2 � y3)]2

=�(1� w)(u1 � w2v1)(1� w2)(u1 � wv1)(w � w2)(u1 � v1)

�2=

�(1� w)(1� w2)(w � w2)(u1 � v1)(u1 � wv1)(u1 � w2v1)

�2=

�3�p3i��2q

q2

4 +p3

27

��2= �108

�q2

4 +p3

27

�= �27q2 � 4p3:

Resumiendo, el discriminante de la ecuación

y3 + py + q = 0

esD = �4p3 � 27q2:

Si y1; y2 y y3 son las raíces de

y3 + py + q = 0;

donde

p = c� b2

3y

q = d� bc

3+2b3

27;

se sabe que

x1 = y1 �b

3;

x2 = y2 �b

3;

y

x3 = y3 �b

3

son las raíces dex3 + bx2 + cx+ d = 0:


Por tantox1 � x2 = y1 � y2;

x1 � x3 = y1 � y3;

yx2 � x3 = y2 � y3:

En consecuencia, el discriminante de

x3 + bx2 + cx+ d = 0

es� = �4p3 � 27q2;

es decir,� = 18bcd� 4b3d+ b2c2 � 4c3 � 27d2:

Consideremos el caso en que la ecuación cúbica

x3 + bx2 + cx+ d = 0

es de coe�cientes reales (y por tanto, también su ecuación asociaday3+ py+ q = 0 es de coe�cientes reales). Como dicha ecuación es degrado impar, entonces tiene al menos una raíz real. En consecuencia,exiten las siguientes tres posibilidades en cuanto a sus raíces:

i) Tiene tres raíces reales diferentes.

ii) Tiene tres raíces reales y por lo menos dos de ellas iguales.

iii) Tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.

En el primer caso, claramente, el discriminante � es positivo.En el segundo caso, el discriminante � es cero. En el tercer caso, eldiscriminante � es negativo, pues si x1 = �+ �i y x2 = �� i sonlas dos raíces complejas conjugadas, entonces

� = (x1 � x2)2(x1 � x3)2(x2 � x3)2= [2�i]2 [(�� x3) + �i]2 [(�� x3)� �i]2

= �4�2�(�� x3)2 + �2

�2< 0:

A.6. LA ECUACIÓN DE CUARTO GRADO 285

Debido a las tres posibilidades anteriores, si una ecuación cúbicaes de coe�cientes reales, entonces:

a) Tiene sus tres raíces reales diferentes, si y sólo si, su discrimi-nante es positivo.

b) Tiene sus tres raíces reales y al menos dos iguales, si y sólo si,su discriminante es cero.

c) Tiene una raíz real y dos complejas conjugadas, si y sólo si, sudiscriminante es negativo.

A.6 La ecuación de cuarto grado

Consideremos ahora la ecuación general de cuarto grado,

Ax4 +Bx3 + Cx2 +Dx+ E = 0 (1)

donde los números complejos A; B;C; D; E (A 6= 0) son los coe�-cientes de la ecuación y x es la incógnita.

Puesto que

1

A(Ax4 +Bx3 + Cx2 +Dx+ E) = 0

tiene las mismas soluciones que la ecuación (1), entonces podemosexpresar la ecuación general de cuarto grado en la forma

x4 + ax3 + bx2 + cx+ d = 0: (2)

Si la ecuación (2) la escribimos en la forma

x4 + ax3 = �bx2 � cx� d


y sumamos a2

4 x2 a ambos miembros de esta expresión, entonces

x4 + ax3 +a2

4x2 =

a2

4x2 � bx2 � cx� d;

por tanto �x2 +

a

2x�2=

�a2

4� b�x2 � cx� d: (3)

Si el miembro derecho de la expresión (3) fuera un cuadradoperfecto, esto es, si fuera de la forma (ex + f)2; entonces resolverdicha expresión, y por tanto resolver (2), sería inmediato. Pero engeneral dicho miembro derecho no es un cuadrado perfecto.

Sumando�x2 +

a

2x�y +

y2

4a ambos miembros de (3) tenemos

que

�x2 + a

2x�2+�x2 + a

2x�y + y2

4=

�a2

4� b

�x2 � cx� d+

�x2 + a

2x�y + y2

4;

por tanto�x2 + a

2x+ y

2

�2=

�a2

4� b+ y

�x2 +

��c+ 1

2ay�x+

��d+ 1

4y2�: (4)

Vamos a determinar y de modo que el miembro derecho de laexpresión (4) sea un cuadrado perfecto. Para esto observemos que

Ax2 +Bx+ C = (ex+ f)2;

si y sólo si,B2 � 4AC = 0:

En efecto:Ax2 +Bx+ C = (ex+ f)2 =)

Ax2 +Bx+ C = e2x2 + 2efx+ f2 =)

A = e2; B = 2ef y C = f2 =)

B2 � 4AC = 0:

A.6. LA ECUACIÓN DE CUARTO GRADO 287

Recíprocamente, si B2 � 4AC = 0; entonces

Ax2 +Bx+ C = A�x2 + B

Ax+ C

A

�= A

�x+ B

2A�pB2�4AC2A

��x+ B

2A+

pB2�4AC2A

�= A

�x+ B

2A

�2=

�pAx+ B

2pA

�2= (ex+ f)2

con e =pA y f =

B

2pA:

En consecuencia, el miembro derecho de (4) será un cuadradoperfecto, es decir,�

a2

4� b+ y

�x2 +

��c+ 1

2ay

�x+

��d+ 1

4y2�= (ex+ f)2;

si y sólo si,��c+ 1

2ay

�2� 4

�a2

4� b+ y

��d+ 1

4y2�= 0;

si y sólo si,

c2 � acy + 14a2y2 � 4

��a

2d

4+a2y2

16+ bd� 1

4by2 � dy + 1

4y3�= 0;

si y sólo si,

�y3 + by2 + (4d� ac)y + a2d� 4bd+ c2 = 0;

si y sólo si,

y3 � by2 + (ac� 4d)y + (4bd� a2d� c2) = 0: (5)

Si y0 es una es una solución , cualquiera, de la ecuación cúbica(5), la cual es llamada la resolvente de la ecuación (2) de gradocuatro, entonces por (4) tenemos que�

x2 +a

2x+

y02

�2= (ex+ f)2;


por tantox2 +

a

2x+

y02= ex+ f (6)

yx2 +

a

2x+

y02= �ex� f : (7)

Las cuatro soluciones que se obtienen al resolver (6) y (7), sonlas raíces de (2).

Apéndice B

EL USO DE LACOMPUTADORA

Considerando que las computadoras son poderosas herramientas,particularmente, para ahorrarse tiempo y esfuerzo en el trabajo decalcular, enseguida proporcionamos algunos programas, escritos enlenguaje PASCAL, para hacer el cálculo que en cada caso se indica.

Es ocioso decir que en el mercado existen varios programas paracomputadora, con los cuales pueden realizarse gran cantidad decálculos, y también sobra decir la importancia que tiene para elestudiante de ciencias, saber, o por lo menos tener la idea, de cómose hacen dichos programas.

289

290 APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA

{PROGRAMA #1}

{ESTE PROGRAMA CALCULA EL MCD DE DOS NUMEROS ENTEROS}

PROGRAM MCD (INPUT,OUTPUT);VARa,b,a1,b1,r1,r2:integer;BEGINWRITELN(�ESCRIBA LOS NUMEROS DE LOS QUE QUIERE HALLAR

EL MCD:�);

read(a,b);a1:=abs(a);b1:=abs(b);

r1:=a1 mod b1;

if r1>0 thenbegin

repeatr2:=b1 mod r1;b1:=r1;r1:=r2;

until r2=0;writeln(�EL MCD ES:�,b1);

endelse

writeln(�EL MCD ES:�,b1);

readln;readln;

END.

APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA 291

{PROGRAMA #2}

{ESTE PROGRAMA CALCULA LAS RAICES DE UNA ECUACION DESEGUNDO GRADO}

PROGRAM RAIZ (input, output);VARa,b,c,d,d1,x1,x2,r1,r2:real;BEGIN

writeln(�ESCRIBA LOS COEFICIENTES a, b, c DE LAECUACION�);

read(a,b,c);d:=sqr(b) - 4*a*c;

if d < 0 thenbegin

d1:= abs(d);r1:= -b/(2*a);r2:=sqrt(d1)/(2*a);writeln(�LAS SOLUCIONES SON:�);writeln(�x1 = �,r1:8:8, � + �, r2:8:8,�i�);writeln(�x2 = �,r1:8:8, � - �, r2:8:8,�i�);

end

elsebegin

x1:=(-b+sqrt(d))/(2*a);x2:=(-b-sqrt(d))/(2*a);writeln(�LAS SOLUCIONES SON:�);writeln(�x1= �,x1:8:8);writeln(�x2= �,x2:8:8);

end;

readln;readln;END.


{PROGRAMA #3}

{ESTE PROGRAMA CALCULA EL MCD DE DOS POLINOMIOS}

PROGRAM MCDPOLIN (INPUT,OUTPUT);

USES CRT;typevector=array[-2..100] of real;VARa,b,f,g,h,r:vector;m,n,i,j,k,z,p,q,pasa:integer;

BEGINCLRSCR;writeln(�ESCRIBA EL GRADO DEL DIVIDENDO�);read(m);writeln(�ESCRIBA EL GRADO DEL DIVISOR�);read(n);writeln(�ESCRIBA LOS COEFICIENTES am,...,a1,a0 DEL

DIVIDENDO�);for i:=0 to m dobegin

read (a[m-i]);end;writeln(�ESCRIBA LOS COEFICIENTES bn,...,b1,b0 DEL

DIVISOR�);for j:=0 to n dobegin

read (b[n-j]);end;

if not(m<n) thenbegin

for i:=0 to m dof[i]:=a[i];for j:=0 to n do


g[j]:=b[j];end

elsebegin

k:=m;m:=n;n:=k;for i:=0 to m dof[i]:=b[i];for j:=0 to n dog[j]:=a[j];

end;

z:=m;

pasa:=1;while pasa=1 doBegin

If n=0 thenbegin

textcolor(15);writeln(�EL MCD DE LOS POLINOMIOS ES 1�);pasa:=2;

endelseBEGIN

while not(z<n) dobegin

for i:=1 to n dor[z-i]:=f[z-i]-(f[z]/g[n])*(g[n-i]);for i:=1 to (z-n) dor[(z-n)-i]:=f[(z-n)-i];for i:=1 to z dobegin

f[z-i]:=r[z-i];end;

z:=z-1;

end;


p:=n;

for i:=0 to p doh[i]:=g[i];q:=z;repeat

if not(f[q]=0) thenbegin

for i:=0 to q dobegin

g[i]:=f[i];end;n:=q;z:=p;for i:=0 to z dof[i]:=h[i];f[-1]:=8;pasa:=pasa+1;

endelsebegin

q:=q-1;f[-q-2]:=8;

end;until f[-1]=8;

if pasa=2 thenpasa:=pasa-1

elseBEGIN

pasa:=2;textcolor(15);writeln(�EL MCD TIENE LOS COEFICIENTES

dp,...,d1,d0�);for i:=0 to p dowriteln(h[p-i]:8:8);

END;END;

End;READLN;


READLN;END.

{PROGRAMA #4}

{ESTE PROGRAMA TAMBIEN CALCULA EL MCD DE DOS POLINOMIOS}

PROGRAM MCDPOLIN (INPUT,OUTPUT);USES CRT;typevector=array[0..100] of real;VARa,b,f,g,h,r :vector;cont,m,n,i,j,k,z,p,q,pasa:integer;tol :real;

{ procedimientos para el cálculo del m.c.d. de dospolinomios }

Procedure division;begin

WHILE NOT(n>z) DOBEGIN

for i:=1 to n dor[z-i]:=f[z-i]-(f[z]/g[n])*(g[n-i]);for i:=1 to (z-n) dor[(z-n)-i]:=f[(z-n)-i];for i:=1 to z dobegin

f[z-i]:=r[z-i];end;

z:=z-1;


END;

p:=n;for i:=0 to p doh[i]:=g[i];q:=z;

end;Procedure residuos;begin

cont:=q;repeat

if not ((f[q]=0) OR (ABS(f[q]) < tol)) thenbegin

for i:=0 to q dobegin

g[q-i]:=f[q-i];end;n:=q;q:=q-i;for j:=0 to p do

f[p-j]:=h[p-j];z:=p;pasa:=pasa+1;

endelsebegin

q:=q-1;cont:=cont-1;

enduntil (cont=-1) or (pasa=2);

if pasa=2 thenpasa:=pasa-2

elsebegin

writeln(�EL MCD TIENE LOS COEFICIENTESdp,...,d1,d0�);

for i:=0 to p dowriteln(h[p-i]:8:8);

end;


end;BEGINCLRSCR;writeln(�ESCRIBA EL GRADO DEL DIVIDENDO�);READ(M);WRITELN(�ESCRIBA EL GRADO DEL DIVISOR�);READ(N);WRITELN(�ESCRIBA LA TOLERANCIA�);READ(TOL);WRITELN(�ESCRIBA LOS COEFICIENTES am,...,a1,a0 DEL

DIVIDENDO�);FOR i:=0 to m dobegin

read (a[m-i]);end;WRITELN(�ESCRIBA LOS COEFICIENTES bn,...,b1,b0 DEL

DIVISOR�);for j:=0 to n dobegin

read (b[n-j]);end;

if not(m<n) thenbegin

for i:=0 to m dof[i]:=a[i];for j:=0 to n dog[j]:=b[j];

endelsebegin

k:=m;m:=n;n:=k;for i:=0 to m dof[i]:=b[i];for j:=0 to n dog[j]:=a[j];

end;


z:=m;

Repeatpasa:=1;if not (n=0) thenbegin;

division;residuos;

endelsebegin

writeln(�EL M.C.D. ES 1�);pasa:=1;

end;until pasa=1;readln;readln;END.

{PROGRAMA # 5}

{PROGRAMA PARA APROXIMAR RAICES DE POLINOMIOS, POR ELMETODO DE NEWTON}

PROGRAM APROXNWT (INPUT, OUTPUT);USES CRT;VARf,g,h,p,q,r,s,u,v,y,z:array [-1..100] of real;n,i:integer;a,b,e,k,m,w,x1,x2,x3:real;BEGINclrscr;textcolor(7);


writeln(�ESCRIBA EL GRADO n>1 DEL POLINOMIO�);readln(n);writeln(�ESCRIBA LOS COEFICIENTES an,...,a1,a0 DEL

POLINOMIO�);for i:=0 to n doreadln(f[n-i]);WRITELN(�ESCRIBA LOS EXTREMOS a y b, CON a<b, DEL

INTERVALO�);READ(a,b);Writeln(�ESCRIBA EL ERROR DE APROXIMACION e DESEADO�);

read(e);

for i:=0 to (n-1) dop[n-i-1]:=(n-i)*f[n-i]; {primera derivada}

for i:=1 to (n-1) doq[n-i-1]:=(n-i)*p[n-i]; {segunda derivada}

g[n-1]:=f[n];

for i:=1 to n dog[n-i-1]:=f[n-i]+(a*g[n-i]); { g[-1]=f(a) }

h[n-1]:=f[n];for i:=1 to n do

h[n-i-1]:=f[n-i]+(b*h[n-i]); { h[-1]=f(b) }

r[n-2]:=p[n-1];for i:=2 to n do

r[n-i-1]:=p[n-i]+(a*r[n-i]); { r[-1]=f�(a) }

s[n-2]:=p[n-1];for i:=2 to n dos[n-i-1]:=p[n-i]+(b*s[n-i]); { s[-1]=f�(b) }

if n=2 thenu[-1]:=q[0]

elsebegin

u[n-3]:=q[n-2];for i:=3 to n dou[n-i-1]:=q[n-i]+(a*u[n-i]); { u[-1]=f��(a) }

end;


if n=2 thenv[-1]:=q[0]elsebegin

v[n-3]:=q[n-2];for i:=3 to n dov[n-i-1]:=q[n-i]+(b*v[n-i]); { v[-1]=f��(b) }

end;

if abs(r[-1])>abs(s[-1]) thenbegin

k:=abs(r[-1]);m:=abs(s[-1]);

endelsebegin

k:=abs(s[-1]);m:=abs(r[-1]); { k=MAX f�(a),f�(b) y

m=MIN f�(a),f�(b) }end;

w:=(m*e)/(k-m);textcolor(15);WRITELN(W);

if g[-1]*u[-1]>0 thenx1:=a

elsex1:=b;

textcolor(15);WRITELN(X1);repeat

y[n-1]:=f[n];for i:=1 to n do

y[n-i-1]:=f[n-i]+(x1*y[n-i]); { y[-1]=f(x1) }

z[n-2]:=p[n-1];for i:=2 to n do

z[n-i-1]:=p[n-i]+(x1*z[n-i]); { z[-1]=f�(x1) }

x2:=x1-(y[-1]/z[-1]);


x3:=x1;x1:=x2;writeln(x1);

until abs(x1-x3)<W;gotoxy(15,20); {colocación del texto}

WRITELN(�LA APROXIMACION DESEADA ES X=�,X1);

READLN;READLN;END.

BIBLIOGRAFÍA

[1] Atkinson, Kendall E.: An Introduction to NumericalAnalysis. Editorial John Wiley & Sons., 1978.

[2] Cárdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco; Tomás,Francisco: Algebra Superior. Editorial Trillas. México. PrimeraEdición. Reimpresión 1976.

[3] Dickson, Leonard Eugene: New First Course in theTheory of Equations. Editorial John Wiley & Sons. Inc. NewYork�London. Decimotercera edición, 1960.

[4] Kuratowski, Kazimierz: Introducción al Cálculo. EditorialLimusa-Wiley, S. A. Primera edición, México, 1970.

[5] Kurosch, A. G.: Curso de Algebra Superior. Editorial Mir.Moscú. Segunda edición, 1975.

[6] Moore, John T.: Elements of Linear Algebra and MatrixTheory. Editorial McGraw�Hill Book Company, 1968.

[7] Spivak, Michael: Calculus (Cálculo In�nitesimal). Editorial Re-verté, S. A. 1977.

[8] Uspensky, J. V.: Theory of Equations. Editorial McGraw�HillBook Company, Inc. 1948.

303

Teoría de ECUACIONES ALGEBRAICAS - WordPress.com · El primer objetivo sólo se alcanza totalmente...

Documents

Transcript of Teoría de ECUACIONES ALGEBRAICAS - WordPress.com · El primer objetivo sólo se alcanza totalmente...