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 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Aplicado a las Ecuaciones Diferenciales

En este artículo mostraremos un eemplo !ue te permitir" entender claramenteel c#mo interpretar el Teorema de E$istencia de una soluci#n %nica aplicado a

las Ecuaciones Diferenciales &ED' Ordinarias de (rimer Orden)

En el caso de las Ecuaciones Diferenciales &ED*s'+ e$isten , casos particulares!ue se pueden presentar al o-tener las soluciones de una ED Ordinaria de(rimer Orden+ so-re todo si estas soluciones no se encuentran dentro de loslímites !ue enuncia el Teorema de E$istencia . Unicidad+ . es en estacircunstancia particular+ cuando se presentan los casos en donde la soluci#n delas ED*s Ordinarias de (rimer Orden+ pueden ser/

0)1 Una soluci#n 2nica &c#mo en el caso en donde la soluci#n si est" dentro delos límites del Teorema de E$istencia . Unicidad'

3)1 Una in4nidad de soluciones

,)1 Nin5una soluci#n

6eamos estos casos para entender conceptos como el de inter7alo de soluci#n

&representado por la letra . la re5i#n de continuidad o de4nici#n de los

7alores/ &o lado derec8o de una ED Ordinaria de (rimer

Orden+ ' . &o deri7ada parcial del lado derec8o de la EDOrdinaria de (rimer Orden')

RA9ONAMIENTO INTUITI6O (ARA ENTENDER E: TEOREMA DE EXISTENCIA YUNICIDAD/

(rimero+ recordemos las si5uientes de4niciones/

;orma 5eneral de un Ecuaci#n :ineal de 0er Orden

;orma est"ndar de una ED lineal de 0er Orden

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D#nde/

 .

Otra forma de representar una Ecuaci#n Diferencial de 0er Orden/

A8ora podemos leer con m"s claridad el Teorema+ para entenderlo/

 Teorema de E$istencia . Unicidad de una Soluci#n

<Sup#n5ase !ue tanto la funci#n . su deri7ada parcial

son continuas en al5%n rect"n5ulo en el plano $. !ue contiene el

punto en su interior) Entonces+ para al5%n inter7alo

a-ierto conteniendo el punto + el pro-lema del 7alor inicial

 +

 Tiene una . solo una soluci#n !ue est" de4nida en el inter7alo )&Como se ilustra en la 45ura 0+ el inter7alo de soluci#n puede no ser

tan <anc8o <en continuidad como el rect"n5ulo ori5inal '=):os conceptos importantes a considerar son/

0)1 ;unci#n de dos 7aria-les

3)1 Continuidad de una funci#n de dos 7aria-les+ .

,)1 Soluci#n de una ED Ordinaria de (rimer Orden

con > esto es un pro-lema de 7alores iniciales &(6I')

Interpretaci#n del Teorema de E$istencia . unicidad

En 5eneral+ lo !ue nos indica el Teorema de E$istencia . unicidad es !uesiempre 8a-r" una soluci#n para el pro-lema de 7alores iniciales de una ED

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;i5ura 0) r"4cade la funci#n

. )

Esto nos indica !uecomo las 5r"4casson continuas eninter7alo !uedelimita el

rect"n5ulo +

  +entonces e$isteuna soluci#n para

el pro-lema del7alor inicial &la cual.a conocemos' .es %nica> entonces5ra4camos+

conser7ando los límites para corro-orar el resultado) :a 5r"4ca de la ;i5ura 3+nos muestra el resultado)

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