Rotacional y Teorema de Stokes

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL.

MÓDULO DE CÁLCULO VECTORIAL.

Nivel y Paralelo: 4° “B” Electrónica

Docente: Ing. Freddy Robalino.

INTEGRANTES:

Iza Mesías Lucero Estefani Villarroel Lizbeth

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial.

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL

PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014

Título: Campo Rotacional.

Carrera: Electrónica y Comunicaciones.

Área Académica: Análisis matemático vectorial.

Ciclo Académico y Paralelo: Cuarto “B” Electrónica

Alumnos participantes: Iza Mesìas Lucero Estefani

Villarroel Lizbeth

Módulo: Cálculo Vectorial

Docente: Ing. Freddy Robalino.

2013-2014

FACULTAD

DE F . I . S .

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I. INFORME DEL PROYECTO1. PP2. YY

2.1 Título

Campo Rotacional.

2.2 Objetivos:

Objetivo General:

Determinar el rotacional de un campo vectorial en los sistemas de coordenadas: cartesianas, esféricas y cilíndricas. Junto a sus aplicaciones.

Objetivos Específicos:

Conocer la definición del campo rotacional y sus propiedades. Aplicar cada teorema del rotacional en un campo vectorial. Explicar matemáticamente la expresión del rotacional en los diferentes

sistemas de coordenadas, (cartesianas, esféricas y rectangulares). Desarrollar ejercicios a fin de comprobar las aplicaciones y utilidad del campo

rotacional.

2.3 Resumen

El rotacional de una función vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto y se lo obtiene a partir del producto vectorial del operador Nabla con una función vectorial:

2.4 Palabras clave:

Operador Nabla, sistemas de coordenadas, rotacional.

2.5 Introducción

De manera real existen diferentes fuerzas que actúan sobre cada uno de los puntos en el espacio. Cada uno de los conjuntos de dichas fuerzas se lo denominan campo vectorial. A través del tiempo el hombre ha estudiado los efectos y comportamientos causados por

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dichos campos vectoriales a fin de utilizarlos a su favor, es decir cómo aprovechar sus efectos y como minimizar situaciones arbitrarias que impidan obtener los resultados deseados, como el movimiento de los cuerpos por ejemplo. Entre dichos comportamientos encontramos un fenómeno en el cual inducido por un campo de fuerzas provoca un estado rotación sobre un punto, a este fenómeno lo conocemos como campo rotacional o rotacional simplemente, el mismo que será objeto de estudio en el presente trabajo de investigación.

A través del desarrollo de este trabajo se explica la definición del rotacional así como sus propiedades y teoremas y también su relación física-matemática en la aplicación a condiciones ideales (de fin didáctico) y reales (como la dinámica de fluidos y cargas por ejemplo).

2.6 Marco teórico.

CAMPO ROTACIONAL.

Rotacional

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la

tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo

vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto.

U . rot F=U .∇× F= lim∆ S →0

1∆ S∮ F . d r

Dónde: ∆ S es el área de la superficie apoyada en una curva C, que se reduce a un

punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (el cuál es un vector),

sino solo su componente según la dirección normal a ∆ S y orientada según la regla de

la mano derecha. Para obtener el rotacional completo se calculan tres límites,

considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no

implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por

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ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido

como perfil de Poiseville) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje

central, pese a que la corriente fluye en línea recta:

La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior

del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma

dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.

Fuente vectorial y escalar.

Al campo vectorial J, que se obtiene calculando el rotacional de un campo F en cada

punto,

J=∇× F

Se conoce como las fuentes vectoriales de F (siendo las fuentes escalares las que se

obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se

denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido

sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como

el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un

potencial:

∇× f =0enΩ simplemente conexo⇒ f =∇ϕ

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Expresión en coordenadas cartesianas.

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión,

en coordenadas cartesianas, del rotacional es:

∇× F=( ∂ F z

∂ y−

∂ F y

∂ z ) x+( ∂ Fx

∂ z−

∂ F z

∂ x ) y+( ∂ F y

∂ x−

∂ Fx

∂ y ) z

Tomando en cuenta que el operador nabla es igual a la derivada parcial de cada

componente por su campo acorde al sistema coordenado utilizado.

∇=^x

∂∂ x

+¿ y∂

∂ y+z

∂∂ z

¿

Se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un

producto vectorial, calculable mediante un determinante:

∇× F=| x y z∂

∂ x∂

∂ y∂∂ z

F x F y F z|

La notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del

rotacional.

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civeta se escribe como

(∇× F)k=∈klm∂l Fm

Expresión en los diferentes sistemas de coordenadas.

Si se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión debe

generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la posición. Para

un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las

esféricas, la expresión general precisa de los factores de escala:

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∇× F=1

h1h2h3|h1 q1 h2 q2 h3 q3

∂∂ q1

∂∂ q2

∂∂ q3

h1 F1 h2 F2 h3 F3|

Dónde:

En cartesianas: hx=h y=hz=1 y reobtenemos la expresión anterior.

En coordenadas cilíndricas hρ=hz=1∧hφ=ρ .

En coordenadas esféricas hr=1 ;hθ=r ;hφ=rsenθ

Propiedades.

Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es

irrotacional y viceversa, esto es:

E=−∇ ϕ⇔∇× E=0

Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es

irrotacional.

E=f (r ) r⇒∇× E=0

En particular, el campo electrostático de una carga puntual (y por superposición,

cualquier campo electrostático) es irrotacional.

El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su

divergencia siempre es nula:

∇ ∙ (∇× F )≡ 0

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Ejemplos sobre el sentido del rotacional.

En un tornado los vientos están rotando sobre el ojo, y un campo vectorial que

muestra las velocidades del viento tendría un rotacional diferente de cero en el

ojo, y posiblemente en otras partes.

En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte

individual de un disco que rota, el rotacional tendrá un valor constante en todas

las partes del disco.

Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles tuvieran

diversos límites de velocidad, el rotacional en las fronteras entre los carriles

sería diferente de cero.

Aplicaciones.

La ley de Faraday de la inducción y la ley de Ampère-Maxwell, dos de las ecuaciones

de Maxwell, se pueden expresar muy simplemente usando el rotacional. La primera

indica que el rotacional de un campo eléctrico es igual a la tasa de variación de la

densidad del flujo magnético, con signo opuesto debido a la Ley de Lenz; la segunda

indica que el rotacional de un campo magnético es igual a la suma de la densidad de

corrientes y la derivada temporal de la densidad de flujo eléctrico.

Síntesis:

El rotacional de una función vectorial es un operador vectorial que muestra la

tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto y se lo obtiene

a partir del producto vectorial del operador Nabla con una función vectorial:

∇× F=( ∂ F z

∂ y−

∂ F y

∂ z ) x+( ∂ Fx

∂ z−

∂ F z

∂ x ) y+( ∂ F y

∂ x−

∂ Fx

∂ y ) z

Donde x , y , z son los vectores unitarios en las direcciones x, y, z. También se puede

expresar en la forma de un determinante:

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∇× F=| x y z∂

∂ x∂

∂ y∂∂ z

F x F y F z|

Y se lo puede expresar en sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas de la siguiente

manera aplicando determinantes:

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cilíndricas

CoordenadasEsféricas

∇× F=| x y z∂

∂ x∂

∂ y∂∂ z

F x F y F z| ∇× F=|

1r

r1θ

zr

∂∂ r

∂∂θ

∂∂ z

F r r Fθ F z

| ∇× F=|1r

r2 senθ

1θ

rsenθ

1ϕ

r∂

∂ r∂

∂ θ∂

∂ ϕF r r Fθ r senθ Fϕ

|Teoremas del Rotacional.

Teorema 1

Si f es una función de tres variables, con derivadas parciales de segundo orden continuas, entonces:

rot (∇ f )=0

Teorema 2

F Campo vectorial conservativo en R³ F=∇ fSus componentes tienen derivadas parciales de primer orden continuas.Entonces: Fes irrotacional.

rot F=rot (∇ f )=0

Teorema 3

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Si Festá definido en todo R³ entonces se cumple el recíproco del teorema 2 si: -Festá definido en todo R³ - Sus funciones componentes tienen derivadas parciales de primer orden

continuas en todo R³ rot F=0

Entonces F es un campo vectorial conservativo.

Teorema de Stokes

Sea S una superficie orientada, suave a trozos, limitada por la curva simple cerrada C, suave a trozos, con orientación positiva. Sea F(x, y, z) un campo vectorial cuyas componentes tienen primeras derivadas parciales continuas en alguna región abierta D⊆R³ que contiene a S, entonces:

∫C

❑

F (x , y , z ) . dr=∬S

❑

(∇∗F ) . nds

Aplicación: permite calcular una integral de línea de un campo vectorial en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo.

Partiendo de una curvatura C y teniendo su superficie S que forma una normal, teniendo cada una funciones paramétricas.

Por lo que el teorema de Stokes permite encontrar la integral de línea de un campo vectorial a través de una integral de superficie.

∫C

❑

F . dr=∬S

❑

rot F . ds

Siendo:-F: el campo vectorial.

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-dr=rdz-r=( x ; y )-ds=dr∗dA (diferencial de superficie)

2.7 Procedimiento

Procedimiento para encontrar el rotacional.

1) Plantear el producto cruz entre el operador Nabla y una función vectorial.

Rotacional=∇× F

2) Escribir el producto cruz indicado aplicando un determinante, tomando en cuenta que en la primera fila se ubicará el sistema coordenado que queremos desarrollar, en la segunda fila las derivadas parciales del sistema coordenado y en la tercera fila la función vectorial intervenida.

∇× F=| x y z∂

∂ x∂

∂ y∂∂ z

F x F y F z|

3) Resolución de la matriz determinante (Método de Crammer, Gauss Jordan).

∇× F=( ∂ F z

∂ y−

∂ F y

∂ z ) x+( ∂ Fx

∂ z−

∂ F z

∂ x ) y+( ∂ F y

∂ x−

∂ Fx

∂ y ) z

Procedimiento para resolver el teorema de Stokes.

1) Determinar el campo vectorial a intervenir.2) Formar el determinante respectivo para calcular su rotacional.3) Determinar el diferencial de superficie.4) Realizar el producto entre el rotacional del campo vectorial y el diferencial de

superficie.5) Resolver la integral de superficie.6) En caso de que el resultado sea nulo implica que es irrotacional.

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2.8 Ejercicios.

1. Encontrar el rotacional del siguiente campo vectorial: F ( x , y , z )=x i+ y j

∇× F=| i j k∂

∂ x∂

∂ y∂∂ z

x y 0|

∇× F=( ∂ F z

∂ y−

∂ F y

∂ z ) x+( ∂ Fx

∂ z−

∂ F z

∂ x ) y+( ∂ F y

∂ x−

∂ Fx

∂ y ) z

¿ [0−0 ,−(0−0 ) , 0−0 ]=[ 0,0,0 ]

Resultado: El valor del rotacional es 0 por lo que es irrotacional.

2. Encontrar el rotacional del siguiente campo vectorial. G ( x , y , z )= y i+x j

∇× G−| i j k∂

∂ x∂

∂ y∂

∂ zy −x 0

|∇× F=( ∂ F z

∂ y−

∂ F y

∂ z ) x+( ∂ Fx

∂ z−

∂ F z

∂ x ) y+( ∂ F y

∂ x−

∂ Fx

∂ y ) z

Resultado¿ [0−0 ,−(0−0 ) ,−1−1 ]=[ 0,0 ,−2 ]

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3. Evalué el ∫C

❑

Fdr donde F=− y2 i+x j+z2 k donde C es la curva de la

intersección del plano y+z=2 con el cilindro y2+z2=1 orientado en sentido contrario a las manecillas del reloj cuando se ve desde arriba.

rot F=| i j k∂

∂ x∂

∂ y∂

∂ z− y2 x z2 |(1+2 y )k

∫C

❑

Fdr=∬s

❑

(∇× F ) ds

∬D

❑

(1+2 y )dA

¿∬00

2 π 1

(1+2r sin θ )rdr dθ

¿∫0

2 π [ r2

2+2

r3

3sin θ](1

0)dθ

∫0

2 π

[ 12+ 2

3sin θ ]dθ

¿ 12

(2 π )+0=π

4. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral ∬s

❑

(∇× F ) ds donde

F ( x , y , z )= yz i+ xz j+xy k

Y S es la parte de la esferax2+ y2+z2=4 que se encuentra dentro del cilindro

x2+ y2=1 y arriba del plano xy.

Para hallar la curva frontera C resolvemos las ecuaciones x2+ y2+z2=4

y x2+ y2=1 Restando, obtenemos z2=3 y por tanto z=√3 . Así C es el círculo dado por las ecuaciones x2+ y2=1 , z=√3 . La ecuación vectorial de C es:

r (t )=cos ( t ) i+sin (t ) j+√3 k ,≤ 2π Por lo que r ' (t)=−sin ( t )i+cos ( t ) j. Del mismo modo tenemos: r ' (t)=−sin ( t ) i+cos ( t ) j :

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F (r ( t ) )=√3sin ( t ) i+√3cos (t ) j+cos (t )sin (t ) k en consecuencia del teorema de Stokes.

∬s

❑

(∇× F ) ds=∫C

❑

Fdr=∫0

2 π

F (r (t ) ) r ' ( t ) d t

¿∫0

2 π

¿¿

¿√3∫0

2 π

cos (2 t ) dt=0

2.9 Conclusiones

El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

Un campo rotacional resulta del producto cruz entre el operador nabla y una función vectorial lo cual es igual al determinante entre el sistema de coordenadas, las derivadas parciales de este y la función que interviene.

Para conocer el sentido que tomará un campo rotacional se aplica la regla de la mano derecha.

El teorema de Stokes está fuertemente relacionado con el rotacional, puesto que consigue una integral de línea a través de una integral de superficie, lo cual es igual a la integral de superficie del rotacional del campo vectorial por el diferencial de superficie.

2.10 Referencias bibliográficas.

Libros: N. Kemmer (1986) Reimpresión 2001 Análisis Vectorial Volumen 1. España:

Editorial Reverté. Plonus A. Martin Capitulo 8: Descripción del campo magnético en forma

diferencial. Título: Electromagnetismo aplicado (1994). Barcelona: Editorial Reverté S.A.

Referencias electrónicas:

Cárdenas Páez Javier, Cálculo integral de varias variables. Recuperado de: http://intermat.fciencias.unam.mx/notas_calc_iv.pdf

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Wikimatemática 27 de julio del 2009 : http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Teorema_de_Stokes

Rotacional Pg 9... Teorema de Stokes pg 25 ... http://share.pdfonline.com/69a05e94939f4e29aaafc4ef696c48a1/Teoria12_12.pdf

Fundamentos y ejemplos Teorema de Stokes http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/07_2.pdf

2.11 Índice

Datos informativos……………………………………………………………..………1

Objetivos……………………………………………………………………………….2

Resumen…………………………………………………………………..……………2

Palabras clave ………………………………………………………………………….2

Introducción…………………………………………………………………………2 - 3

Marco Teórico………………………………………………………………………3-10

Campo rotacional……………………………………………………………………………...3-4

Rotacional en coordenadas cartesianas………………………………………………….……5

Rotacional en distintos sistemas de coordenadas………………………………………...5-6

Propiedades del rotacional………………………………………………………………….….6

Ejemplos sobre el sentido del rotacional…………………………………………….………..7

Aplicaciones del rotacional………………………………………………………………….….7

Síntesis y fórmulas……………………………………………………………………………..7-8

Teoremas de rotacional……………………………………………………………………….8-9

Teorema de Stokes……………………………………………………………………...…….9-10

Procedimiento para encontrar el rotacional…………………………………………….10

Procedimiento para resolver el teorema de Stokes………………………...………..10-11

Ejercicios……………………………………………………………………………11-13

Conclusiones……………………………………………………………………….…...13

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Referencias bibliográficas……………………………………………………………...13

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