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Contenido

OBJETIVO ......................................................................................................................................... 2

INTRODUCCIN ............................................................................................................................... 2

MARCO TERICO ..................................................................................................................... 3 TEOREMA DE MAXWELL SOBRE LOS DESPLAZAMIENTOS RECIPROCOS; LEY DE BETTY ..

EJERCICIO 1 ............................................................................................................................... 5 EJERCICIO 2 ............................................................................................................................... 7

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OBJETIVO

Analizar, entender, describir el Teorema de Maxwell y Betti.

INTRODUCCIN A continuacin se desarrolla la aplicacin de los mtodos energticos basados en laley de flexibilidad de las estructuras al anlisis de armaduras, vigas y marcosestticamente indeterminados. El diseo de estructuras implica un profundoconocimiento del comportamiento de las mismas, lo cual hace imprescindible el estudiode las cargas permanentes y accidentales, los materiales a utilizar ya que suspropiedades hacen a las condiciones de diseo.

El anlisis de estructuras de numerosas tcnicas se clasifica bajo el encabezadogeneral de mtodos energticos. Estos mtodos estn modelados en una variedad deformas y cada uno posee ventajas y desventajas.

a continuacin se enunciaran los teoremas de Betti y Maxwell o de losdesplazamientos recprocos, y se discutir un intento de aplicacin al clculo de

deflexiones. se presentan los teoremas de Castigliano que proporcionan una tcnicapara determinar pendientes y deflexiones de vigas y marcos utilizando derivadas

parciales de energa interna de deformacin, as como un mtodo poderoso pararesolver problemas que involucran estructuras estticamente indeterminadas;particularmente, estructuras articuladas con un nmero grande de indeterminacin.

estos teoremas involucran los principios de la energa de la deformacin descritos en elcapitulo anterior y son notablemente semejantes al mtodo del trabajo virtual o de lacarga unitaria, que tambin se presentan. Es importante notar que encada uno de estosmtodos basados sobre conceptos de energa se deducen de alguna manera del

principio del trabajo, virtual.

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MARCO TERICO

TEOREMA DE MAXWELL SOBRE LOS DESPLAZAMIENTOSRECIPROCOS; LEY DE BETTY

DESPLAZAMIENTO

Maxwell pblico un teorema que relaciona los coeficientes de flexibilidad de dos puntoscualesquiera de una estructura elstica, sea esta una armadura, una viga o un marco. aeste teorema se le llama teorema de los desplazamientos recprocos y puedeenunciarse como; el desplazamiento de un punto b sobre una estructura debido a unacarga unitaria que acta en el punto a es igual al desplazamiento del punto a cuando la

carga unitaria acta en el punto b, esto es,

DEMO STRA CIN

La demostracin de este teorema es fcil si se utiliza el principio de trabajo virtual. Porejemplo considerando la viga de la siguiente figura a , cuando una carga real unitariaacta en a, suponga que los momentos internos de la viga estn representados por ,para determinar el coeficiente de flexibilidad en b, esto es, , se coloca una carga

virtual unitaria en b (figura b) y se calculan los momentos internos ,aplicamos laecuacin y se obtiene:

De la misma manera si va a determinarse el coeficiente de flexibilidad cuando

actual una carga real unitaria en b (figura b), entonces representan los momentos

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internos en la viga debido a la carga real unitaria. Adems representa los momentosinternos debido a una carga virtual unitaria en a. (figura a). Por tanto

Ambas integrales dan el mismo valor por lo que se demuestra el teorema.

ROT ACIN

La rotacin en el punto b sobre una estructura debido a un momento concentradounitario que acta en el punto a es igual a la rotacin en el punto a cuando el momentoconcentrado unitario acta en b. Adems usando una fuerza unitaria y un momentoconcentrado unitario aplicado en puntos separados sobre la estructura podemos

tambin enunciar: la rotacin en radianes en el punto b sobre una estructura debido auna carga unitaria que acta en el punto a es igual al desplazamiento en el punto acuando un momento concentrado unitario acta sobre el punto b.

Cuando el teorema de desplazamientos recprocos se formaliza en un sentido msgeneral, se le conoce como ley de Betti. brevemente enunciado: el trabajo virtual realizado por un sistema de fuerzas que sufre un desplazamiento provocado por unsistema de fuerzas es igual al trabajo virtual causado por las fuerzas

cuando una estructura se deforma debido al sistema de fuerzas . es decir

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EJERCICIO 1

Determine la reaccin en el soporte b de rodillo en la viga mostrada. EI es constante.

SOLUCIN

Principio de superposicin. por inspeccin, la viga estticamente indeterminada de primer

grado. Se considera que es la redundante, por lo que esta fuerza puede determinarsedirectamente. Ntese que retirara la redundante requiere que el soporte de rodillo o la accinrestrictiva en la viga en la direccin de quede cancelada. Aqu hemos supuesto que haciaarriba sobre la viga.

Ecuacin de compatibilidad. Considerando los desplazamientos hacia abajo como positivos setiene:

(

Los trminos de y se obtienen facilmente con ayuda de la tabla. (paginassuplementarias). Note que

( )

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Sustituyendo los resultados en la ecuacin 1

( Si esta reaccin se coloca sobre el diagrama de cuerpo libre de la viga, las reacciones en apueden obtenerse a partir de las tres ecuaciones de equilibrio.

Una vez determinadas todas las reacciones, puede construirse el diagrama de momentosflexionantes.

Podemos determinar tambin la deflexin de la viga en cualquier punto. Si se quiere determinarla deflexin bajo la carga de 50 KN tenemos;

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EJERCICIO 2

Determine el momento en el empotramiento para la viga ilustrada. EI es constate

SOLUCIN

PRINCIPIO DE SUP ERPO SICIN

Se considerara como redundante ya que este momento puede entonces determinarsedirectamente. La aplicacin del principio de superposicin. Aqu se ha quitado a la viga lacapacidad de soportar un momento en a . Esto requiere insertar un pasador vez delempotramiento en a . Se ha supuesto que actua en sentido contrario a las manecillas delreloj.

ECUAC IN DE COM PATIBIL IDAD

Considerando como positiva una rotacin consentido opuesto a las manecillas del reloj.

Tenemos

(1)Los trminos y puede determinarse de la tabla que aparece en los anexos del libro.Tenemos:

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Sustituyendo esos resultados en la ecuacin 1, obtenemos

( )

El signo negativo indica que actua en sentido opuesto al que semuestra en la figura.

Cuando esta reaccin se coloca sobre la viga, las otras reacciones pueden determinarse apartir de las ecuaciones de equilibrio

DIAGRAMA DE MOMENTOS

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CONCLUSIN

El teorema de Maxwell-Betti, o de forma ms completa, teorema de reciprocidad deMaxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemtico italiano Enrico Betti,

quien en 1872 generaliz un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Esteteorema pertenece a una serie de Teoremas energticos , entre los que se encuentrantambin los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energticosradica en su potencia en el anlisis de estructuras, que se debe a su sencillez ygeneralidad.