Capítulo 1

Estudio de ceros de ecuacionesfuncionales

Problema 1.1 Calcular el número de ceros de la ecuación arctang(x) =45x, dando un intervalo

donde se localicen.

•

Solución:

De�nimos f(x) = arctan(x)− 45x. Esta es una función continua y derivable en todo IR. Por

tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle para conocer el número máximo de ceros de estafunción, es decir, buscamos en primer lugar los ceros de la función derivada.

f ′(x) =1

1 + x2− 4

5

Esta función tiene 2 ceros, en x = ±1/2, por tanto la función f(x) tiene a lo sumo tres ceros.Vamos hora a buscar en qué intervalos. Hay uno muy fácil que esf(0) = 0. Probamos algunosvalores sencillos.

f(1) = arctan(1)− 45

=π

4− 4

5> 0

f(√

33

) = arctan(√

33

)− 45

√3

3=

π

6− 4

√3

15> 0

por tanto en el intervalo [√

33 , 1] hay un cero. Como además f es antisimétrica, es decir,f(−x) =

−f(x), si f tiene un cero en [√

33 , 1] , también tiene uno en [−1,−

√3

3 ], con lo cual quedademostrado que f tiene tres ceros, x = 0 y uno en cada uno de los intervalos [−1,−

√3

3 ] y[√

33 , 1].

5

6 Índice general

Problema 1.2 ¾En cuántos puntos se intersectan las curvas y = ln(x) e y =19x2? ¾ Por qué?

•

Solución:

De�nimos f(x) = ln(x) − 19x2. Esta es una función continua y derivable en (0, +∞). Si

derivamos resulta quef ′(x) =

1x− 2

9x

que tiene dos ceros en IR, x = ±3/√

2, pero en el intervalo (0, +∞) sólo tiene uno. Por tanto, endicho intervalo la función f(x) a lo sumo puede tener dos ceros. Vamos a intentar localizarlosaplicando el Teorema de Bolzano.

f(1) = −19

< 0

f(e) = 1− e2

9> 0

f(e2) = 2− e4

9< 0

Por tanto, f tiene un cero en el intervalo (1, e) y otro en el intervalo (e, e2).

Problema 1.3 ¾En cuántos puntos se intersectan las curvas y = ex e y = 3x2? ¾ Por qué?

•

Solución: De�nimos f(x) = ex−3x2 y vamos a analizar el número de ceros de esta funcióncon la aplicación combinada de los teoremas de Rolle y Bolzano. Para ello derivamos la función.

f ′(x) = ex − 6x

Pero nos encontramos con un problema, como no es una ecuación que podamos resolver analíti-camente, no resulta inmediato conocer el número de ceros de esta función. Para solucionar estepunto, previamente analizamos el número de ceros de f ′ aplicando también los teoremas deRolle y Bolzano. Calculamos f ′′

f ′′(x) = ex − 6

Esta función se anula en x = ln(6), por tanto f ′ se anula en a lo sumo 2 puntos (puede anularseen uno, dos o ningun punto). Es decir, quef se anula en a lo sumo tres puntos. Vamos a intentarprimero localizar los ceros de f ′ para precisar un poco mejor el número máximo de ceros def .Aplicando el Teorema de Bolzano, resulta:

f ′(0) = 1 > 0

f ′(1) = e− 6 < 0

Índice general 7

f ′(3) = e3 − 18 > 0

es decir, que f ′ se anula una vez en el intervalo (0, 1) y otra vez en (1, 3). Vamos ahora conf(x), que ya sabemos que a lo sumo tiene 3 ceros.

f(−1) = e−1 − 3 < 0f(0) = 1 > 0 =⇒ existe x0 ∈ (−1, 0) tal que f(x0) = 0

f(1) = e− 3 < 0f(0) = 1 > 0 =⇒ existe x1 ∈ (0, 1) tal que f(x1) = 0

f(1) = e− 3 < 0f(4) = e4 − 48 > 0 =⇒ existe x2 ∈ (1, 4) tal que f(x2) = 0

Por tanto f tiene al menos tres ceros. Como ya habíamos visto que como máximo tenía 3, esees el número exacto de ceros que tiene y, por tanto, las curvasy = ex e y = 3x2 se cortan entres puntos.

Problema 1.4 (i) Demostrar que la ecuación x = n ln(x) tiene a lo sumo dos raíces para todon ≥ 1, x > 0.

(ii) Demostrar que si n = 4 la ecuación tiene exactamente dos raíces.

•

Solución: (i) Para demostrar que la ecuación x = n ln(x) tiene a lo sumo dos raíces paratodo n ≥ 1, x > 0, basta aplicar el Teorema de Rolle. Para ello de�nimos en primer lugar lafunción fn : IR+ −→ IR, dada por:

fn(x) = x− n ln(x).

Esta función es continua y derivable en IR+ (teniendo en cuenta que IR+ no contiene el cero), yaque es composición de funciones elementales. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle.Calculamos f ′n y estudiamos sus ceros:

f ′n(x) = 1− n

x= 0 ⇐⇒ x = n.

Como f ′n sólo se anula una vez, obtenemos que fn se anulará a lo sumo dos veces.

(ii) Si n = 4, la función que consideramos es f(x) = x − 4 lnx. Por el apartado anteriorsabemos que se anula a lo sumo en dos puntos. Para demostrar que lo hace exactamente endos puntos basta que apliquemos el Teorema de Bolzano para encontrar dos intervalos dondela función cambie de signo en los extremos.

Probamos con [1, e],

f(1) = 1 > 0

f(e) = e− 4 < 0=⇒ existe x0 ∈ (1, e) tal que f(x0) = 0.

8 Índice general

Ahora en [e, e3],

f(e) = e− 4 < 0

f(e3) = e3 − 12 > 0=⇒ existe x1 ∈ (e, e3) tal que f(x1) = 0.

Problema 1.5 Demostrar que la ecuación x = tan x tiene una única raíz en el intervalo[−π/4, π/4].

•

Solución: (i) Para demostrar que la ecuaciónx = tan(x) tiene una única raíz en el intervalo[−π/4, π/4], basta aplicar el Teorema de Rolle. Para ello de�nimos en primer lugar la funciónf : [−π/4, π/4] −→ IR, dada por:

f(x) = x− tan(x).

Esta función es continua y derivable en [−π/4, π/4], ya que es composición de funciones elemen-tales. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle. Calculamosf ′ y estudiamos su signo ysus ceros:

f ′(x) = 1− 1cos2 x

=⇒ (f ′ = 0 ⇐⇒ x = 0) y f ′ < 0.

Como f ′ sólo se anula una vez, obtenemos que f se anulará a lo sumo dos veces. Pero al ser festrictamente decreciente y anularse en x = 0, sólo hay un cero de f , x = 0.

Problema 1.6 (i) Demostrar que la ecuación x4 − 4x − 1 = 0 tiene exactamente dos raícesreales y dar un intervalo al que pertenece cada una de ellas.

(ii) Hallar las rectas tangente y normal a la curvay(x) = x4 − 4x− 1 en el punto x = −1.

•

Solución: (i) Aplicamos los Teoremas de Bolzano y Rolle conjuntamente. Para ello de�ni-mos en primer lugar la función f : IR −→ IR, dada por

f(x) = x4 − 4x− 1.

Esta función es continua y derivable enIR ya que es una función polinómica. Por tanto, podemosaplicar el Teorema de Rolle. Calculamos f ′ y estudiamos sus ceros:

f ′(x) = 4x3 − 4 = 0 ⇐⇒ x = 1.

Por tanto como f ′ se anula una sóla vez, f tendrá a lo sumo dos ceros. Para demostrar queefectivamente los tiene basta que apliquemos el Teorema de Bolzano para encontrar un intervalodonde la función cambie de signo en los extremos.

Probamos con [−1, 0],

f(−1) = 1 + 4− 1 = 4 > 0

f(0) = −1 < 0=⇒ existe x0 ∈ (−1, 0) tal que f(x0) = 0.

Índice general 9

Ahora probamos con [0, 2],

f(0) = −1 < 0

f(2) = 16− 8− 1 = 7 > 0=⇒ existe x1 ∈ (0, 2) tal que f(x1) = 0.

(ii) Recordamos en primer lugar que la recta tangente a una curvay = f(x) en el puntox = a está dada por y − f(a) = f ′(a)(x− a). Por tanto, teniendo en cuenta que y′ = 4x3 − 4,la recta tangente a y(x) = x4 − 4x− 1 en x = −1 es

y − 4 = −8(x + 1) =⇒ y = −8x− 4.

Por otro lado, la ecuación de la recta normal a una curvay = f(x) en el punto x = a está dadapor y − f(a) =

−1f ′(a)

(x− a). Por tanto, la recta normal a y(x) = x4 − 4x− 1 en x = −1 es

y − 4 =18(x + 1) =⇒ 8y = x + 33.

Problema 1.7 (i) Demostrar que las curvas y = ex−2 e y = −x2 +4 se cortan exactamente endos puntos y dar un intervalo al que pertenece cada uno de ellos.(ii) Hallar las rectas tangente y normal a la curvay = ex−2 + x2 − 4 en el punto x = 2.

•

Solución: (i) Aplicamos los Teoremas de Bolzano y Rolle conjuntamente. Para ello de�ni-mos en primer lugar la función f : IR −→ IR, dada por

f(x) = ex−2 + x2 − 4.

Esta función es continua y derivable en IR por ser suma de funciones elementales. Por tanto,podemos aplicar el Teorema de Rolle. Calculamosf ′ y estudiamos sus ceros.

f ′(x) = ex−2 + 2x = 0.

Como no podemos hallar directamente los ceros de esta función calculamos su derivada y usamoslos teoremas de Rolle y Bolzano.

f ′′(x) = ex−2 + 2 > 0.

Por tanto, f ′ tiene a lo sumo un cero. Como lımx→−∞

f ′(x) = −∞ y lımx→+∞

f ′(x) = +∞, lafunciòn f ′ se anula una vez en IR. Por tanto, f tendrá a lo sumo dos ceros. Para demostrarque efectivamente los tiene basta que apliquemos el Teorema de Bolzano para encontrar unintervalo donde la función cambie de signo en los extremos.

Probamos con [−2,−1],

f(−2) = e−4 > 0

f(−1) = e−3 − 3 < 0=⇒ existe x0 ∈ (−2,−1) tal que f(x0) = 0.

10 Índice general

Ahora probamos con [0, 2],

f(0) = e−2 − 4 < 0

f(2) = 1 > 0=⇒ existe x1 ∈ (0, 2) tal que f(x1) = 0.

(ii) Recordamos en primer lugar que la recta tangente a una curvay = f(x) en el puntox = a está dada por y− f(a) = f ′(a)(x− a). Por tanto, teniendo en cuenta que y′ = ex−2 +2x,la recta tangente a y(x) = ex−2 + x2 − 4 en x = 2 es

y − 1 = 5(x− 2) =⇒ y = 5x− 9.

Por otro lado, la ecuación de la recta normal a una curvay = f(x) en el punto x = a está dadapor y − f(a) =

−1f ′(a)

(x− a). Por tanto, la recta normal a y(x) = ex−2 + x2 − 4 en x = 2 es

y − 1 = −15(x− 2) =⇒ −5y = x− 7.

Problema 1.8 (i) Demostrar que la ecuaciónx4 +x3 +x2−2 = 0 tiene exactamente dos raícesreales y dar un intervalo al que pertenece cada una de ellas.

(ii) Hallar las rectas tangente y normal a la curvay(x) = x4 +x3 +x2−2 en el punto x = 1.

•

Solución: (i) Para demostrar que la ecuación dada tiene exactamente dos raíces bastaaplicar los Teoremas de Bolzano y Rolle. Para ello de�nimos en primer lugar la funciónf :IR −→ IR, dada por:

f(x) = x4 + x3 + x2 − 2.

Esta función es continua y derivable enIR ya que es una función polinómica. Por tanto, podemosaplicar el Teorema de Rolle. Calculamos f ′ y estudiamos sus ceros:

f ′(x) = 4x3 + 3x2 + 2x = x(4x2 + 3x + 2) = 0 ⇐⇒ x = 0 o x =−3±√9− 32

8.

Por tanto como f ′ se anula una sola vez en IR, f tendrá a lo sumo dos ceros. Para demostrarque efectivamente los tiene basta que apliquemos el Teorema de Bolzano para encontrar unintervalo donde la función cambie de signo en los extremos.

Probamos con [−2, 0],

f(−2) = 16− 8 + 4− 2 = 10 > 0

f(0) = −2 < 0=⇒ existe x0 ∈ (−2, 0) tal que f(x0) = 0.

Ahora probamos con [0, 1],

f(0) = −2 < 0

f(1) = 1 + 1 + 1− 2 = 1 > 0=⇒ existe x1 ∈ (0, 1) tal que f(x1) = 0.

Índice general 11

(ii) Recordamos en primer lugar que la recta tangente a la curvay = f(x) en el punto x = aestá dada por y − f(a) = f ′(a)(x− a). Por tanto, teniendo en cuenta que y′ = 4x3 + 3x2 + 2x,la recta tangente a y(x) = x4 + x3 + x2 − 2 en x = 1 es

y − 1 = 9(x− 1) =⇒ y = 9x− 8.

Por otro lado, la ecuación de la recta normal a la curvay = f(x) en el punto x = a está dadapor y − f(a) =

−1f ′(a)

(x− a). Por tanto, la recta normal a y(x) = x4 + x3 + x2 − 2 en x = 1 es

y − 1 = −19(x− 1) =⇒ 9y = −x + 10.

Problema 1.9 (i) Demostrar que la ecuación 8 ln(x)−x2 +4 = 0 tiene exactamente dos raícesreales en (0,+∞) y dar un intervalo al que pertenece cada una de ellas.

(ii) Hallar las rectas tangente y normal a la curvay(x) = 8 ln(x)−x2 +4 en el punto x = 1.

•

Solución: (i) Para demostrar que la ecuación dada tiene exactamente dos raíces bastaaplicar los Teoremas de Bolzano y Rolle. Para ello de�nimos en primer lugar la funciónf :(0,+∞) −→ IR, dada por:

f(x) = 8 ln(x)− x2 + 4.

Esta función es continua y derivable en (0, +∞) ya que es la suma de una función polinómicay un logarítmo. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle. Calculamosf ′ y estudiamossus ceros:

f ′(x) =8x− 2x = 0 ⇐⇒ x = 2 en (0, +∞).

Por tanto como f ′ se anula una sola vez en (0, +∞), f tendrá a lo sumo dos ceros. Para demostrarque efectivamente los tiene basta que apliquemos el Teorema de Bolzano para encontrar unintervalo donde la función cambie de signo en los extremos.

Probamos con [e−1, 1],

f(e−1) = −8− e−2 + 4 = −4− e−2 < 0

f(1) = 3 > 0=⇒ existe x0 ∈ (e−1, 1) tal que f(x0) = 0.

Ahora probamos con [1, e2],

f(1) = 3 > 0

f(e2) = 16− e4 + 4 = 20− e4 < 0=⇒ existe x1 ∈ (1, e2) tal que f(x1) = 0.

(ii) Recordamos en primer lugar que la recta tangente a la curvay = f(x) en el punto x = a

está dada por y− f(a) = f ′(a)(x− a). Por tanto, teniendo en cuenta que y′ =8x− 2x, la recta

tangente a y(x) en x = 1 es

y − 3 = 6(x− 1) =⇒ y = 6x− 3.

12 Índice general

Por otro lado, la ecuación de la recta normal a la curvay = f(x) en el punto x = a está dadapor y − f(a) =

−1f ′(a)

(x− a). Por tanto, la recta normal a y(x) en x = 1 es

y − 3 = −16(x− 1) =⇒ 6y = −x + 19.

Problema 1.10 (i) Demostrar que la ecuación x3 − 5x2 + 3x + 2 = 0 tiene exactamente tresraíces reales y dar un intervalo al que pertenece cada una de ellas.

(ii) Hallar las rectas tangente y normal a la curva y(x) = x3 − 5x2 + 3x + 2 en el puntox = 0.

•

Solución: (i) Una vez más vamos a aplicar combinadamente los teoremas de Rolle yBolzano. Derivamos la función f(x) = x3 − 5x2 + 3x + 2:

f ′(x) = 3x2 − 10x + 3

La función f ′ es un polinomio de segundo grado, por tanto es fácil hallar sus raíces y vemos quetiene dos, que son 3 y 1

3 , por lo cual la función f tiene a lo sumo tres ceros. Vamos a intentarlocalizarlos mediante la aplicación del Teorema de Bolzano:

f(−1) = −9 < 0

f(0) = 2 > 0=⇒ existe x1 ∈ (−1, 0) tal que f(x1) = 0

f(0) = 2 > 0

f(2) = −4 < 0=⇒ existe x2 ∈ (0, 2) tal que f(x2) = 0

f(5) = 17 > 0

f(2) = −4 < 0=⇒ existe x3 ∈ (2, 5) tal que f(x3) = 0

Por tanto f tiene al menos tres ceros según el Teorema de Bolzano y por lo visto anteriormente,f tiene exactamente tres ceros.

(ii) La ecuación de la recta tangente a una curva y = f(x) en el punto x = a es y − f(a) =f ′(a)(x− a). Por tanto, en nuestro caso la ecuación será:

y − 2 = 3x

La ecuación de la recta normal a una curvay = f(x) en el punto x = a es y−f(a) = −1f ′(a) (x−a).

Por tanto, en nuestro caso la ecuación será:

y − 2 =−13

x