Teorema de Stokes
Transcript of Teorema de Stokes
![Page 1: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/1.jpg)
Teorema de Stokes
Cálculo IV (Ing)Prof. Antonio Syers
![Page 2: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/2.jpg)
IntroducciónEl teorema de Stokes puede considerarse como una versión del teorema de Green para una dimensión más alta. El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva frontera de S ( que es una curva en el espacio ). La orientación de S induce la orientación positiva de la curva frontera C. Esto significa que si uno camina alrededor de C en sentido positivo entonces la superficie siempre estará a la izquierda de uno.
![Page 3: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/3.jpg)
Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, que está acotada por una curva frontera C suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en IR3 que contiene a S. Entonces la circulación del campo F alrededor de la frontera C, está dada por
SC
dS rotd nFrF
![Page 4: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/4.jpg)
Ejemplo 1
Calcular donde C es la curva intersección de
Solución:De acuerdo con el teorema de Stokes ,
Calculemos el rotacional de F:
C
2 xzdzxydydxy
zy ,y2yx 22
SC
2 ndSrotFxzdzxydydxy
![Page 5: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/5.jpg)
x
y
z
Curva C
y2yx 22
zy
![Page 6: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/6.jpg)
Ejemplo 1
y,z,0
xzxyy
zyx
kji
F
2
y,z,0
xzxyy
zyx
kji
FF Rot
2
Tomando S como la parte del plano
z = y=g(x,y) acotada por C, entonces :
2
1,1,0
1gg
1,g,g
gg
n2y
2x
yx
![Page 7: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/7.jpg)
0ndSrotFxzdzxydydxy
SC
2
02
yz
2
1,1,0y,z,0nrotF
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Calcular kjiFF xyzxy donde ,dr 33
C
y C es la curva de intersección de
4 ,y ,3 2222 yxxyz
orientado en sentido contrario a las manecillas del reloj.
![Page 8: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/8.jpg)
Curva C
x
z
y
22 xy3z
4y x 22
![Page 9: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/9.jpg)
Solución.La curva intersección está en el plano z=1 . Si tomamos S como la parte del plano dentro de C, entonces
Calculemos el rotacional de F
Ejemplo 2
SC
33 ndSrotFxyzdzdyxdxy
![Page 10: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/10.jpg)
22
33
y3x3,yz,xz
xyzxy
zyx
kji
FF Rot
Ejemplo 2
Tomando n = K, resulta
SC
33 ndSrotFxyzdzdyxdxy
S y,Dx
2222 dAyx3dSy3x3
2
0
2
0
2 24rdrdr3
![Page 11: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/11.jpg)
Ejemplo 3
Calcular
y C es la frontera de la porción del plano 2x + y + z = 2, en el primer octante, recorrida en el sentido antihorario.
xzkxyjiF donde ,drFC
3 xz
![Page 12: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/12.jpg)
Porción del plano
2x + y + z = 2
x
z
y
Curva C fomada por C1,C2,C3
C1
C2
C3
![Page 13: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/13.jpg)
Podemos ver el plano 2x + y + z = 2, como la superficie z= f(x,y) = 2 – 2x –yLuego, fx = -2 , fy = -1. Así:
claro que
Por otra parte, el rotacional de F, está dado por:
6
1,1,2
1ff
1,f,f
2y
2x
yx
ff
n
dA 6dS
Ejemplo 3
![Page 14: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/14.jpg)
yzx
xzxyxzzyx
kji
,3,0
3
FRot
F
Pero, como sobre el plano z = 2 – 2x – y, se tiene que:
y)6,3y7x (0,y ,y2x2 3-x 0,F de esta manera,
6476
1637
6
1 yxyyx nF
Ejemplo 3
![Page 15: Teorema de Stokes](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082315/5571f89849795991698dbc14/html5/thumbnails/15.jpg)
Por lo tanto, utilizando el teorema de Stokes, tenemos
SC
dS rotdr nFF
1dydx 66y4x76
11
0
2x- 2
0
Ejemplo 3