teoremadepitagoras 2-bueno

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1 4 Teorema de Pitágoras 1 Matemáticas 1º ESO Triángulos rectángulos Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto. C B A a c b Ángulo recto Los catetos son perpendiculares Hipotenu sa C B A a c b Catetos

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Teorema de Pitágoras1

Matemáticas

1º ESO Triángulos rectángulos

Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto.

C B

A

a

cb

Ángulo recto

Los catetosson perpendiculares

Hipotenusa

C B

A

a

cb

Catetos

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Teorema de Pitágoras2

Matemáticas

1º ESO Triángulos rectángulos: propiedades

Dos propiedades de interés:

C B

A

a

cb

Primera

En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos vale 90º

90ºBA

Segunda

La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos rectángulos iguales.

A

B CM

BM = MC

CB

Los triángulosABM y AMC

son iguales By A son complementarios

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Teorema de Pitágoras3

Matemáticas

1º ESO Teorema de Pitágoras: idea intuitiva

En un triángulo rectángulo:

ac

b

Área = a2

Área = c2

Área = b2

el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa

es igual

a la suma de las áreas de los cuadrados

construidos sobre los catetos

c2 = a2 + b2

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Teorema de Pitágoras4

Matemáticas

1º ESO Teorema de Pitágoras: comprobación

Por tanto: 32 + 42 = 52

3

4

Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm

El área del cuadradoconstruido sobre elprimer cateto vale 9

Hay 3·3 = 9 cuadraditos

El área del cuadradoconstruido sobre el

segundo cateto vale 16

Hay 4·4 = 16 cuadraditos

Hallemos el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Observa:1. El área del triángulo es 6

2. El cuadrado sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos de área 6. Además contiene un cuadradito de área 1.

3. Su área total es 6·4 + 1 = 25. Luego es un cuadrado de lado 5

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Teorema de Pitágoras5

Matemáticas

1º ESO Teorema de Pitágoras: segunda comprobación

Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2

Cuatro triángulos rectángulos de

catetos 3 y 4 cm.Cuyas áreas valen

6 cm2 cada uno.

4

3

7

Observa que en esecuadrado caben:

Además cabe un cuadrado de lado c,cuya superficie es c2.

Se tiene pues:

49 = 4·6 + c2

c2 = 49 - 24 = 25

c2 = 25 = 52

c2

25 cm2

25 = 9 + 16

Por tanto, 52 = 32 + 42

6 cm2

c

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Teorema de Pitágoras6

Matemáticas

1º ESO Teorema de Pitágoras: ejercicio primero

En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la hipotenusa.

5

12

c?

Como c2 = a2 + b2 se tiene:

c2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm

Haciendo la raíz cuadrada

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Teorema de Pitágoras7

Matemáticas

1º ESO Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo

En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. Calcula el valor del otro cateto.

6

a?

10

Como c2 = a2 + b2 se tiene:

a2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64

a = 8 cm

a2 = c2 - b2

Luego:

Haciendo la raíz cuadrada:

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Teorema de Pitágoras8

Matemáticas

1º ESO Los triángulos “sagrados”

Fueron muy utilizados por los arquitectos y agrimensores egipcios.

Las medidas de sus lados son: 3, 4 y 5 o 5, 12 y 13

(También las proporcionales

a estas)

5 4

3

13

5

12

Todos ellos son rectángulos, pues cumplen

la relación:a2 + b2 = c2

32 + 42 = 52

62 + 82 = 102

92 + 122 = 152

52 +122 = 132

10

6

8

15

9

12

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Teorema de Pitágoras9

Matemáticas

1º ESO Reconociendo triángulos rectángulos

Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60 cm de ancho y 80 de largo.

Como los lados de la ventana y la diagonal deben formar un triángulo rectángulo, tiene que cumplirse que:

a2 + b2 = c2

Pero 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está mal construida

80 cm¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm?

a

b

c

Mientras que 1022 = 10404Son distintos

60 c

m

102 cm

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Teorema de Pitágoras10

Matemáticas

1º ESO Cálculo de la diagonal de un cuadrado

Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado.

La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm cada uno.

Luego, d2 = 49 + 49 = 98

¿Cuánto mide su diagonal?

7

7

d

Cumplirá que: d2 = 72 + 72

9,998d

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Teorema de Pitágoras11

Matemáticas

1º ESO Cálculo de la diagonal de un rectángulo

Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm.

La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, respectivamente.

Luego, d2 = 36 + 64 = 100

¿Cuánto mide su diagonal?

6

8

d

Cumplirá que: d2 = 62 + 82

d = 10

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Teorema de Pitágoras12

Matemáticas

1º ESO Cálculo de la altura de un triángulo isósceles

Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm.

La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo hipotenusa miden 8 cm y el otro cateto 3 cm.

Luego, 64 = 9 + h2

¿Cuánto mide su altura?

6

8 Cumplirá que: 82 = 32 + h2

Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y

la divide en dos partesiguales

h

3 3

h2 = 55

4,755h

8

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Teorema de Pitágoras13

Matemáticas

1º ESO Cálculo de la apotema de un hexágono regular

Tenemos un hexágono regular de lado 6 cm. ¿Cuánto mide su apotema?

a2 = 36 - 9 = 27

Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 6 cm y otro cateto 3.

Recuerda:

Cumplirá que: 62 = a2 + 32

1. La apotema es la medida desde el centro del hexágono a la mitad de un lado.

2. En un hexágono regular la distancia del centro a cualquiera de los vértices es igual al lado.

27a

3 3

6

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Teorema de Pitágoras14

Matemáticas

1º ESO Cálculo del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia

En una circunferencia de radio 5 cm se inscribe un cuadrado. ¿Cuánto mide su lado?

Luego, el lado del cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 5 y 5 cm

Observa:

Entonces: c2 = 52 + 52 = 50

1. La distancia del centro del cuadrado a cada uno de sus vértices es igual al radio: 5 cm.

2. Se forman cuatro ángulos de 90º grados cada uno.

50c

90º

5

5

c

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Teorema de Pitágoras15

Matemáticas

1º ESO Cálculo de la apotema de un hexágono regular inscrito

a2 = 64 -16 = 48

Recuerda:

Por tanto: 82 = a2 + 42

2. La apotema es la medida desde el centro del círculo a la mitad de un lado.

1. En un hexágono regular el lado es igual al radio de la circunferencia.

48a

En una circunferencia de radio 8 cm se inscribe un hexágono regular. ¿Cuánto mide su apotema?

rl = 8

Equilátero

Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de

hipotenusa 8 cm y otro cateto de 4 cm.

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Teorema de Pitágoras16

Matemáticas

1º ESO Cálculo del lado de un triángulo regular inscrito

a2 = 64 -16 = 48

Observa:

Luego: 82 = a2 + 42

2. Los lados perpendiculares de ambos triángulos se cortan en el punto medio..

1. A partir de uno de los vértices del triángulo se construye otro triángulo equilátero, con un segundo vértice en el centro de la circunferencia.

48a

En una circunferencia de radio 8 cm se inscribe un triángulo regular. ¿Cuánto mide su lado?

3. Se obtiene un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y un cateto de 4 cm. El cateto a desconocido es la mitad del lado del triángulo inscrito: l = 2a.

l = 2a.

482l

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Teorema de Pitágoras17

Matemáticas

1º ESOLa escuadra pitagórica. Rectas perpendiculares

El teorema de Pitágoras permite trazar una recta perpendicular a otra dada.

Para ello se siguen los pasos que indicamos:

1º. Marcamosun punto A sobre la

recta dada.

2º. Con centroen A trazamos un arco de circunferencia.

3º. A 3 unidadesde A, desde B, se traza otroarco de radio 5.Así se obtiene C

4º. Observamos que:AB = 3, AC = 4 y BC = 5.Luego, ABC es un triángulo rectángulo, con el ángulo

recto en el vértice A..

4

4

32 + 42 = 52

La recta pedida es AC