teoremadepitagoras 2-bueno
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1 4 Teorema de Pitágoras 1 Matemáticas 1º ESO Triángulos rectángulos Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto. C B A a c b Ángulo recto Los catetos son perpendiculares Hipotenu sa C B A a c b Catetos
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Teorema de Pitágoras1
Matemáticas
1º ESO Triángulos rectángulos
Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto.
C B
A
a
cb
Ángulo recto
Los catetosson perpendiculares
Hipotenusa
C B
A
a
cb
Catetos
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Teorema de Pitágoras2
Matemáticas
1º ESO Triángulos rectángulos: propiedades
Dos propiedades de interés:
C B
A
a
cb
Primera
En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos vale 90º
90ºBA
Segunda
La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos rectángulos iguales.
A
B CM
BM = MC
CB
Los triángulosABM y AMC
son iguales By A son complementarios
14
Teorema de Pitágoras3
Matemáticas
1º ESO Teorema de Pitágoras: idea intuitiva
En un triángulo rectángulo:
ac
b
Área = a2
Área = c2
Área = b2
el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa
es igual
a la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos
c2 = a2 + b2
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Teorema de Pitágoras4
Matemáticas
1º ESO Teorema de Pitágoras: comprobación
Por tanto: 32 + 42 = 52
3
4
Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm
El área del cuadradoconstruido sobre elprimer cateto vale 9
Hay 3·3 = 9 cuadraditos
El área del cuadradoconstruido sobre el
segundo cateto vale 16
Hay 4·4 = 16 cuadraditos
Hallemos el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Observa:1. El área del triángulo es 6
2. El cuadrado sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos de área 6. Además contiene un cuadradito de área 1.
3. Su área total es 6·4 + 1 = 25. Luego es un cuadrado de lado 5
14
Teorema de Pitágoras5
Matemáticas
1º ESO Teorema de Pitágoras: segunda comprobación
Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2
Cuatro triángulos rectángulos de
catetos 3 y 4 cm.Cuyas áreas valen
6 cm2 cada uno.
4
3
7
Observa que en esecuadrado caben:
Además cabe un cuadrado de lado c,cuya superficie es c2.
Se tiene pues:
49 = 4·6 + c2
c2 = 49 - 24 = 25
c2 = 25 = 52
c2
25 cm2
25 = 9 + 16
Por tanto, 52 = 32 + 42
6 cm2
c
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Teorema de Pitágoras6
Matemáticas
1º ESO Teorema de Pitágoras: ejercicio primero
En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la hipotenusa.
5
12
c?
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
c2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm
Haciendo la raíz cuadrada
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Teorema de Pitágoras7
Matemáticas
1º ESO Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo
En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. Calcula el valor del otro cateto.
6
a?
10
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
a2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64
a = 8 cm
a2 = c2 - b2
Luego:
Haciendo la raíz cuadrada:
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Teorema de Pitágoras8
Matemáticas
1º ESO Los triángulos “sagrados”
Fueron muy utilizados por los arquitectos y agrimensores egipcios.
Las medidas de sus lados son: 3, 4 y 5 o 5, 12 y 13
(También las proporcionales
a estas)
5 4
3
13
5
12
Todos ellos son rectángulos, pues cumplen
la relación:a2 + b2 = c2
32 + 42 = 52
62 + 82 = 102
92 + 122 = 152
52 +122 = 132
10
6
8
15
9
12
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Teorema de Pitágoras9
Matemáticas
1º ESO Reconociendo triángulos rectángulos
Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60 cm de ancho y 80 de largo.
Como los lados de la ventana y la diagonal deben formar un triángulo rectángulo, tiene que cumplirse que:
a2 + b2 = c2
Pero 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está mal construida
80 cm¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm?
a
b
c
Mientras que 1022 = 10404Son distintos
60 c
m
102 cm
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Teorema de Pitágoras10
Matemáticas
1º ESO Cálculo de la diagonal de un cuadrado
Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado.
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm cada uno.
Luego, d2 = 49 + 49 = 98
¿Cuánto mide su diagonal?
7
7
d
Cumplirá que: d2 = 72 + 72
9,998d
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Teorema de Pitágoras11
Matemáticas
1º ESO Cálculo de la diagonal de un rectángulo
Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm.
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, respectivamente.
Luego, d2 = 36 + 64 = 100
¿Cuánto mide su diagonal?
6
8
d
Cumplirá que: d2 = 62 + 82
d = 10
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Teorema de Pitágoras12
Matemáticas
1º ESO Cálculo de la altura de un triángulo isósceles
Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm.
La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo hipotenusa miden 8 cm y el otro cateto 3 cm.
Luego, 64 = 9 + h2
¿Cuánto mide su altura?
6
8 Cumplirá que: 82 = 32 + h2
Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y
la divide en dos partesiguales
h
3 3
h2 = 55
4,755h
8
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Teorema de Pitágoras13
Matemáticas
1º ESO Cálculo de la apotema de un hexágono regular
Tenemos un hexágono regular de lado 6 cm. ¿Cuánto mide su apotema?
a2 = 36 - 9 = 27
Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 6 cm y otro cateto 3.
Recuerda:
Cumplirá que: 62 = a2 + 32
1. La apotema es la medida desde el centro del hexágono a la mitad de un lado.
2. En un hexágono regular la distancia del centro a cualquiera de los vértices es igual al lado.
27a
3 3
6
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Teorema de Pitágoras14
Matemáticas
1º ESO Cálculo del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia
En una circunferencia de radio 5 cm se inscribe un cuadrado. ¿Cuánto mide su lado?
Luego, el lado del cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 5 y 5 cm
Observa:
Entonces: c2 = 52 + 52 = 50
1. La distancia del centro del cuadrado a cada uno de sus vértices es igual al radio: 5 cm.
2. Se forman cuatro ángulos de 90º grados cada uno.
50c
90º
5
5
c
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Teorema de Pitágoras15
Matemáticas
1º ESO Cálculo de la apotema de un hexágono regular inscrito
a2 = 64 -16 = 48
Recuerda:
Por tanto: 82 = a2 + 42
2. La apotema es la medida desde el centro del círculo a la mitad de un lado.
1. En un hexágono regular el lado es igual al radio de la circunferencia.
48a
En una circunferencia de radio 8 cm se inscribe un hexágono regular. ¿Cuánto mide su apotema?
rl = 8
Equilátero
Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de
hipotenusa 8 cm y otro cateto de 4 cm.
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Teorema de Pitágoras16
Matemáticas
1º ESO Cálculo del lado de un triángulo regular inscrito
a2 = 64 -16 = 48
Observa:
Luego: 82 = a2 + 42
2. Los lados perpendiculares de ambos triángulos se cortan en el punto medio..
1. A partir de uno de los vértices del triángulo se construye otro triángulo equilátero, con un segundo vértice en el centro de la circunferencia.
48a
En una circunferencia de radio 8 cm se inscribe un triángulo regular. ¿Cuánto mide su lado?
3. Se obtiene un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y un cateto de 4 cm. El cateto a desconocido es la mitad del lado del triángulo inscrito: l = 2a.
l = 2a.
482l
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Teorema de Pitágoras17
Matemáticas
1º ESOLa escuadra pitagórica. Rectas perpendiculares
El teorema de Pitágoras permite trazar una recta perpendicular a otra dada.
Para ello se siguen los pasos que indicamos:
1º. Marcamosun punto A sobre la
recta dada.
2º. Con centroen A trazamos un arco de circunferencia.
3º. A 3 unidadesde A, desde B, se traza otroarco de radio 5.Así se obtiene C
4º. Observamos que:AB = 3, AC = 4 y BC = 5.Luego, ABC es un triángulo rectángulo, con el ángulo
recto en el vértice A..
4
4
32 + 42 = 52
La recta pedida es AC
