PROBLEMA 434Sea un tringulo rectngulo en A, de hipotenusa a, catetos b y c, semipermetro p y rea S. 1. Calcular los catetos en funcin de la hipotenusa y el rea. 2. Demostrar geomtricamente que si los ngulos agudos son de 15 y 75, el producto de los catetos es equivalente al cuadrado de la mitad de la hipotenusa. 3. Hallar los ngulos sabiendo que:4. Sea M el punto medio de la altura por A. Se traza por M una recta DE cuyo punto medio es M, y est limitada por los catetos. Se pide el valor de los ngulos en E y D en funcin de los del tringulo. 5. Trazada la perpendicular por A a esta recta DE, determinar la distancia OP siendo P el punto de interseccin de dicha perpendicular con la hipotenusa y O el punto medio de la hipotenusa. Pedret, J. M. (2007): Comunicacin personal. Solucin (1) Pide los catetos en funcin de la hipotenusa y el rea

En el tringulo rectngulo se cumple el Teorema De Pitgoras: (*)Adems se sabe que el rea: CLCULO DEL CATETO (b)Sumando miembro a miembro (m. a. m.) 2bc en la ecuacin (*) se tiene: Entonces ; pero bc = 2S; Entonces. (**)Ahora en esta expresin reemplacemos el valor de c y tendremos: operando se obtiene: yResolviendo la ecuacin se llega a los valores de b: como podemos observar b toma 2 valores y ambos son positivos, por lo tanto se acepta ambos valores.CLCULO DEL CATETO (c)Con los mismos procedimientos realizados en el clculo de b se obtiene lo siguiente: ste tambin toma dos valores y ambos son positivos por lo tanto se aceptan los dos valores.A simple vista se puede concluir que b = c; pero de la ecuacin (**) por simple inspeccin podemos concluir que b debe ser diferente de c o sea si: Entonces y si Entonces Estos seran las respuestas.Solucin (2) Se traza la altura AH (relativo a la hipotenusa), luego se traza la mediana AM (relativo a la hipotenusa), se sabe que en un tringulo rectngulo la mediana relativa a la hipotenusa mide la mitad de dicha hipotenusa. O sea (BC = MC = AM = a/2); entonces si BC mide a; por lo tanto la mediana medir a/2; adems el tringulo AMC es issceles (AM = MC, m< MAC = m< MCA = 15) entonces la medida del ngulo AMB ser 30.Luego en el tringulo rectngulo notable AHM (30, 60) se cumple que el cateto opuesto a 30 mide la mitad de la hipotenusa o sea a/4. Con esto se est demostrando que la altura mide la cuarta parte de la hipotenusa.

Finalmente sabemos por relaciones mtricas en un tringulo rectngulo se cumple:EL PRODUCTO DE LOS CATETOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LA ALTURA (Relativo A La Hipotenusa) Y LA HIPOTENUSA.

Entonces del problema se tiene que: Por la tanto: LQQD.Solucin 3 Sean los ngulos.

Se sabe que: 2P = a+ b+ c y por dato se sabe que: reemplazando 2P se tiene ; entonces cancelando 1 m.a. m. se tiene: (1)Pero es claro que reemplazando estos valores en (1) se tiene: elevando al cuadrado m.a m. Se tieneAplicando identidad pitagrica se tiene: y por arcos dobles se tiene: Y de ah se tiene que: Por lo tanto el ngulo ya que la suma de estos ngulos debe ser 90 Y . RPTAS.Solucin 4De acuerdo a los datos se tiene la siguiente grfica y sea X e Y los ngulos que se pide calcular en funcin de los ngulos del tringulo.

Se une los puntos H con A, C con H; as obteniendo el cuadriltero ADHE.Luego se observa que el tringulo DMA es congruente HME (DM = ME; AM=MH; m< AMD = m< EMH); Entonces m< ADE = m< DEH = X y m< DAH=m< AHE= con esto se demuestra que AB//EHAdems el tringulo DMH es congruente con AME (DM = ME; AM = MH; m< AED = m< EDH = Y); Entonces m< EAH =m< AHD = .Con todo esto se esta demostrando que el cuadriltero ADHE tiene los ngulos rectos; entonces sus diagonales son iguales.

Y como estos diagonales se cortan en sus puntos medios se tiene que: X = y Y = . RPTAS.Con estos resultados tambin se ha demostrado que el cuadriltero es un CUADRADO. Ya que X = por lo tanto en el tringulo DMA se cumple que M es un ngulo recto (90). Es por eso que el cuadriltero ADHE es un cuadrado.Solucin 5Pide PO = X ; pero sabemos que P y M son el mismo punto, por el problema anterior.(EM = MD o EP = PD). Y tambin AM = MO AP = PO = XAdems AO es perpendicular a BC, O (recto).O sea que AO es una mediana y altura; dicha mediana es la mitad de la hipotenusa.

Entonces 2X = a/2 de donde se tiene que: X = a/4..... RESPUESTA.

En este tema vamos a estudiar los teoremas o resultados aplicables a TRINGULOS RECTNGULOS: el teorema de Pitgoras, que ya deberais conocer, y otros teoremas que se demuestran a partir de l y que reciben el nombre de teorema del Cateto y teorema de la Altura.Hay que tener mucho cuidado cuando se utilicen estos teoremas, y asegurarse de que el tringulo a quien se lo estamos aplicando sea rectngulo, bien porque nos lo diga el enunciado del problema, o bien porque nos tomemos la molestia de comprobarlo matemticamente. En ningn caso, se puede decir que un tringulo es rectngulo porque "me lo parece en el dibujo..." (un ngulo de 88 "se parece" mucho grficamente a un recto y, desde luego, no es recto). Teorema de Pitgoras Teorema de la Altura Teorema del CatetoTeorema de PitgorasEste teorema, enunciado por el matemtico griego Pitgoras en el siglo V a.C., es uno de los resultados ms conocidos e importantes de la geometray posee gran cantidad de aplicaciones tanto en distintas partes de las matemticas como en situaciones de la vida diaria.El teorema se aplica a los tringulos rectngulos, y dice los siguiente:"En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" Si llamamos "a" a la hipotenusa de un tringulo rectngulo y "b", "c" a los catetos a2=b2+c2 A los grupos de tres nmeros "a", "b" y "c" que verifican a2=b2+c2 se les llama "ternas pitagricas" Grficamente, el teorema de Pitgoras se expresa de la forma siguiente:

"En un tringulo rectngulo, el rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa, es la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos" El teorema de Pitgoras es sencillo de probar, y tiene muchas demostraciones de diversos tipos, pero la ms sencilla puede ser la siguiente: Mira las dos figuras siguientes:

Ambas son dos cuadrados de lado (b+c), y en las dos puedes ver que aparecen cuatro tringulos rectngulos de lados "a", "b" y "c", en color rosa todos ellos. Eso quiere decir, que las partes restantes en cada uno de los cuadrados de lado (b+c) deben tener el mismo rea. = En el primero, la parte restante son los cuadrados amarillo y azul, de reas b2 y c2; en el segundo el cuadrado verde, de rea a2. Esas reas deben ser iguales, es decir: a2 = b2 +c 2

Teorema de la AlturaSea un tringulo rectngulo, cuyos catetos denotaremos por "b" y "c", siendo "a" la hipotenusa (lado opuesto al ngulo recto) y"h" la altura del tringulo sobre la hipotenusa:

De las tres alturas que tiene un tringulo rectngulo, dos de ellas son los catetos; y la tercera, la altura sobre la hipotenusa, est relacionada con los lados del tringulo por la siguiente relacin: "El producto de los dos catetos, de un tringulo rectngulo, coincide con el producto de la hipotenusa por la altura sobre ella"En efecto:La expresin del rea de un tringulo ("rea igual a base por altura dividido entre dos") vamos a aplicarla dos veces al tringulo rectngulo ABC. Considerando un cateto como base (el otro sera la altura correspondiente)

Considerando la hipotenusa como base, se tiene la siguiente igualdad:

Luego, igualando ambas expresiones, se obtiene:El teorema de la altura nos da otra relacin: la relacin entre la altura sobre la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre la misma: Denotaremos por "h" la altura del tringulo sobre la hipotenusa y por "m", "n" a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

A parte del tringulo ABC, que por definicin es rectngulo, al trazar la altura sobre la hipotenusa, aparecen dos nuevos tringulos rectngulos (por ser la altura perpendicular a la base), a saber, ADC y ADB.

Aplicamos Pitgoras al ADC b2 = h2 + m2 Aplicamos Pitgoras al ADC c2 = h2+ n2 Adems, dado que ABC era un tringulo rectngulo, aplicando de nuevo Pitgoras a2 = b2 + c2 Sustituyendo en la ltima expresin b2 y c2 por las expresiones obtenidas anteriormente, resulta: a2 = b2 + c2 = (h2 + m2) + (h2 + n2) = 2h2 + m2 +n2 Por otra parte, a = m + n, de donde:a2 = (m + n)2 = m2 + n2 + 2nm Igualando ambas expresiones equivalentes a a2:2h2 + m2 + n2 = m2 + n2 + 2nm 2h2 = 2 mn h2 = mn El resultado anterior se conoce con el nombre de Teorema de la Altura, y se enuncia de la siguiente manera "En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa"

Teorema del CatetoConsiderando de nuevo el tringulo ADC:

y aplicando Pitgoras: b2 = h2 + m2 Por el teorema de la altura, que acabamos de demostrar, se cumple: h2 = mn Y sustituyendo la segunda expresin en la primera, se obtiene:b2 = m n + m2 b2 = m (n + m) = m a b2 = m a Considerando ahora el tringulo ADB:

y aplicando Pitgoras: c2 = h2 + n2 Por el teorema de la altura, que acabamos de demostrar, se cumple: h2 = mn Y sustituyendo la segunda expresin en la primera, se obtiene:c2 =mn + n2 c2 = n(m + n) = na c2= na Ambos resultados:b2= mac2; c2= na Se conocen con el nombre de Teorema del cateto que se enuncia de la siguiente forma:"El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccin del cateto sobre la hipotenusa"

Segundo teorema de EuclidesEn un tringulo obtusngulo, el lado opuesto al ngulo obtuso al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ms el doble de la base por la proyeccin de la altura trazada desde uno de los ngulos menores.

DemostracinEuclides not que al trazar la altura exterior se generan dos tringulos rectngulos (AHC y BCH).Nos fijamos en el ms pequeo (AHC):.Despejando la altura resulta:.Pasemos al tringulo BHC:.Despejando la altura queda:.Eso quiere decir que:.Elevando el binomio al cuadrado,y simplificando.Despejando a:

Clculo de las lneas notables de un tringuloA partir de los dos teoremas anteriores se deriva frmulas para el clculo de las lneas notables de un tringulo. A continuacin vamos a ver estos 5 teoremas con su comprobacin.Teorema de Stewart (clculo de la ceviana)

Artculo principal: Teorema de stewartStewart dice que el producto resultante entre una ceviana de un tringulo al cuadrado y de la base de este es igual a la al cuadrado por la proyeccin del cateto opuesto ms la suma del segundo cateto al cuadrado por la proyeccin del cateto opuesto a este menos el producto resultante entre las multiplicacin de las proyecciones de los catetos y la base.Su formulacin matemtica es:

Donde b y c son los lados "laterales" respecto a la ceviana d correspondiente al lado a, n y m los segmentos de la base designados por la misma ceviana.Teorema de la mediana

fig.m1: Esquema con reas ( ).Artculo principal: Teorema de ApolonioEn geometra, el teorema de Apolonio, tambin llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un tringulo con las longitudes de sus lados.Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)Para todo tringulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado ms el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.

Apolonio de Perga

Para cualquier tringulo ABC (vase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = c, entonces:

Del teorema de Apolonio, tambin llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias frmulas prcticas (vlidas para cualquier tringulo), stas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestin son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notacin acorde a la figura de la propia tabla):Tringulos Medianas ( frmulas prcticas II )

( Lados: a, b y c ) ( Medianas: Ma, Mb y Mc )2 ( Semilados: ma=na = a , mb=nb = b y mc=nc = c ).

Caso particularArtculo principal: Teorema de TalesEn un tringulo rectngulo la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esta, (vase Corolario 1 del teorema segundo de Tales), asumiremos para la ecuacin siguiente que dicha hipotenusa se denomina c).

Donde M es la mediana correspondiente a la hipotenusa denominada c.Teorema de la bisectriz interiorTeorema de la bisectriz interiorLa bisectriz interior de un tringulo al cuadrado es igual al producto de los lados menos el producto de los segmentos de la base determinados por la bisectriz.

Donde:X:Bisectriz interiorDemostracinpor el teorema de semejanza en la bisectriz interior

despejando

por el teorema de Stewart:

reemplazando an por cn

despejando

Teorema de la bisectriz exteriorLa bisectriz exterior de un tringulo al cuadrado es igual al producto de los segmentos deteriminados por la bisectriz menos el producto de los lados.

Donde:X:Bisectriz exterior:DemostracinRecordando el teorema de semejanza en la bisectriz interior

despejando

Luego, ejecutando el teorema de Stewart:

reemplazando an por cn:

luego

despejando, resulta que:

Teorema de la alturaTambin conocido como el teorema de Hern. La altura de un tringulo es igual a:

DemostracinAplicando el primer teorema de Euclides:

despejando HC:

Aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo BHC:

Aplicando diferencia de cuadrados

transformando HC

Sumando:

ejecutando el binomio al cuadrado:

ejecutando la diferencia de cuadrados y transponiendo el

para a+b+c = 2p

despejando la altura expulsa que

Teoremas auxiliares en los cuadrilterosTeorema de PtolomeoEn todo cuadriltero inscriptible el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos del cuadriltero

Donde:D1, D2: Diagonales del cuadrilteroa, b, c, d: Lados del cuadrilteroTeorema de VietteEn todo cuadriltero inscrito la relacin de las diagonales es igual a la relacin entre la suma de los productos de las longitud de sus lados que forman a los extremos de las diagonales.

Donde:D1, D2: Diagonales del cuadrilteroa, b, c, d: Lados del cuadrilteroTeorema de EulerEn todo cuadriltero la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales adicionado con el cudruple del segmento que une los puntos medios de las diagonales

Donde:D1, D2: Diagonales del cuadrilteroa, b, c, d: Lados del cuadrilteroX: Segmento que une los puntos medios de las diagonales.