7/23/2019 Teoremas para solucionar ecuaciones diferenciales.

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ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENENAS

Al resolver ecuaciones diferenciales de orden 2 nos podemos dar cuenta

que depende la forma de el polinomio caracterstico que surja, es posibleencontrar los tipos de soluciones que puede llegar a tener la educacin

diferencial

A continuacin mostrare el tipo de solucin que puede arrojar la E.D.O

(ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA).

CASO 1: Que las races del polinomio caracterstico que nos arroje la

edo sean diferentes con lo cual su solucin ser de la siguiente manera.

Ejemplo:

Su polinomio caracterstica ser de la siguiente manera, adems de

suponer una posible solucin la cual ser de la siguiente forma

k1et+k2e

t=0

2

+5+6al factorizarlo

( ! "# ( ! 2# $ sus respectivas racessern %2 & %"

'eniendo esto presente podemos ver la solucin general de la .).* de

la siguiente manera

+ (t# $ k1e3 t+ 2e%2t

CASO 2: s posible que las races del polinomio caracterstico

de la edo puedan ser iguales lo cual nos sugiere que la

segunda solucin no puede ser la misma que +- acompaada

de una constante por lo cual /abra una dependencia lineal.

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Ejemplo:1=

2

0uede ocurrir cuando el polinomio caracterstico tenga la

forma de un trinomio cuadrado perfecto.

''- 6 ' +9 = 0

)e lo cual resulta( x32

# por lo que vemos que las races sern

iguales,

Se supone la +- solucin, la cual ser et

, si decimos que +2 es la

misma acompaada de una , esto nos sugiere que la division de las

soluciones nos debe arrojar como resultado una funcin para asegurar

su independencia lineal.

0or lo tanto la segunda solucin deber estar acompaada de una

funcin1

y2 c2 tet

a solucin general ser de este tipo1 y (T)=et (c1+c 2t)

Aunque /a& que aclarar que el valor de =a

2 si deseamos encontrar

sus races podramos usar la ecuacin cuadrtica para averiguarlo1

x=aa

2

4b

2

Que vine de este tipo de polinomio x2+ax+b

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Caso :3uando obtenemos de un polinomio ( 2+a+b en

donde

-$ +iq & 2 $ iq , con lo cual observamos que las

races del polinomio posen una parte real & otra compleja, al suponer

las soluciones serian de la siguiente manera y1=e+iqt

c 1 & +2 $

eiqt

c1

Aunque si lo observamos de otra manera & gracias a la identidad que

nos sugiere que1

eio=cos+isen

3on lo cual la respuesta general ser de la siguiente manera

pt

c1 sen pt+c 2cos

Y( t)=ept