Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Tema: Aplicacin de la derivada.Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Crecimiento

Si f es derivable en a:

Decrecimiento

Si f es derivable en a:

Clculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimientode:

f(x) = x3 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1.Derivar la funcin.f '(x) = 3x23

2.Obtener las races de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.3x23 = 0x = -1x = 1

3.Formamos intervalos abiertos con los ceros (races) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

4.Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.Si f'(x) > 0 es creciente.Si f'(x) < 0 es decreciente.Del intervalo (, 1) tomamos x = -2, por ejemplo.

Del intervalo (, 1) tomamos x = 2, por ejemplo.

f'(2) = 3(2)23 > 0

Del intervalo (1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.

f'(0) = 3(0)23 < 0

Del intervalo (1, ) tomamos x = 2, por ejemplo.

f'(2) = 3(2)23 > 0

5.Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De crecimiento:(, 1)(1, )De decrecimiento:(1,1)Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Extremos relativos o locales

Si f es derivable en a,a es un extremo relativo o localsi:

1.Si f'(a) = 0.

2.Si f''(a) 0.

Mximos locales

Si f y f' son derivables en a,aes unmximo relativo o localsi se cumple:

1.f'(a) = 02.f''(a) < 0Mnimos locales

Si f y f' son derivables en a,aes unmnimo relativo o localsi se cumple:

1.f'(a) = 02.f''(a) > 0Clculo de mximos y mnimos

Estudiar los mximos y mnimos de:

f(x) = x3 3x + 2

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1.Hallamos la derivada primera y calculamos sus races.f'(x) = 3x2 3 = 0

x = 1x = 1.

2.Realizamos la 2 derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:f''(x) > 0Tenemos un mnimo.f''(x) < 0Tenemos un mximo.f''(x) = 6x

f''(1) = 6Mximo

f'' (1) = 6Mnimo

3.Calculamos la imagen (en la funcin) de los extremos relativos.f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 0

Mximo(1, 4)Mnimo(1, 0)Concavidad y convexidad

Hemos tomado el criterio que el valle tiene forma cncava y la montaa forma convexa.

Intervalos de concavidad y convexidad

Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la funcin:

f(x) = x3 3x + 2

Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:

1.Hallamos la derivada segunda y calculamos sus races.f''(x) = 6x6x = 0x = 0.

2.Formamos intervalos abiertos con los ceros (races) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).3.Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.Si f''(x) > 0 es cncava.Si f''(x) < 0 es convexa.Del intervalo ( , 0) tomamos x = 1, por ejemplo.

f''(1) = 6(1) < 0Convexa.

Del intervalo (0, ) tomamos x = 1, por ejemplo.

f''(1) = 6 (1) > 0Cncava.

4.Escribimos los intervalos:

Concavidad: (0, )Convexidad: (, 0)Ejemplo de intervalos de concavidad y convexidad

Puntos de inflexin de una funcin

En ellos la funcin no es cncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Estudio de los puntos de inflexin

Calcular los puntos de inflexin de:

f(x) = x3 3x + 2

Para hallar los puntos de inflexin, seguiremos los siguientes pasos:

1.Hallamos la derivada segunda y calculamos sus races.

f''(x) = 6x6x = 0x = 0.

2.Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) 0Tenemos un punto de inflexin.f'''(x) = 6Ser un punto de inflexin.

3.Calculamos la imagen (en la funcin) del punto de inflexin.f(0) = (0)3 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexin: (0, 2)Optimizacin de funciones

Pasos para la resolucin de problemas de optimizacin

1.Se plantea la funcin que hay que maximizar o minimizar.2.Se plantea una ecuacin que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya ms de una variable.

3.Sedespejaunavariablede laecuaciny sesustituyeen lafuncinde modo que nos quedeuna sola variable.

4.Se deriva la funcin y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5.Se realiza la 2 derivadapara comprobar el resultado obtenido.

Ejemplo

De todos los tringulos issceles de 12 m de permetro, hallar los lados del que tome rea mxima.

La funcin que tenemos que maximizar es el rea del tringulo:

Relacionamos las variables:

2x + 2y = 12

x = 6 y

Sustituimos en la funcin:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las races.

Realizamos la 2 derivada y sustituimos por 2, ya que la solucin y = 0 la descartamos porque no hay un tringulo cuyo lado sea cero.

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un mximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) tambin miden 4 m, por lo que el triangulo de rea mxima sera un triangulo equilatero.