Teoria-cinematica de Cuerpo Rigido en El Plano
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CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO
La descripción de los movimientos del cuerpo rígido es necesaria para: a)Determinar la geometría del diseño del mecanismo y las fuerzas que se desarrollan. b)Tener un conocimiento claro para generar, transmitir, gobernar y/o modificar ciertos movimientos, empleando levas, engranajes, transmisiones y mecanismos. .
CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO
En este nuevo capitulo utilizaremos como base los conocimientos del análisis del de movimiento de una partícula con respecto a otra y la teoría general sobre Polos de Velocidades (Centro Instantáneo de Rotación o Velocidad Nula) y sobre centro instantáneo de aceleración nula.
CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO EN EL PLANO
CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO EN EL PLANO
•TRASLACION PURA: Característica :
A.Traslación Pura Rectilínea: Característica:
B. Traslación Pura Curvilínea : Características:
• B.ROTACION PURA: Característica:
C. TRASLACION + ROTACION (Movimiento General)
En ese instante:
𝜔 ≠ 𝜔𝑇
𝛼 ≠ 𝛼𝑇
A
B
A. Tenemos cuatro métodos de calculo para determinar velocidades: 1.- Método vectorial 2.- Método grafico 3.- Método de equiproyectividad 4.- Método del Centro Instantáneo de Rotación B. Para el calculo de aceleraciones se tienen dos métodos: 1.- Método vectorial 2.- Método grafico
METODOS DE CALCULO EN CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO
METODO I: Método Vectorial (Clásico) Características para un cuerpo rígido en 2D 1.Siempre el sistema móvil estaré solidario (soldado) al cuerpo rígido en A.
METODO PARA EL CALCULO DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES
B
Conclusión: Para el cuerpo rígido:
Se cumple para cuerpos rígidos en 2D y 3 D Idénticamente para aceleraciones; de la ecuación
general:
(Se cumple para cuerpos rígidos en 2D y 3D)
En el plano:
Esta ultima ecuación solo se cumple para cuerpos rígidos en 2D
B/A B/A / /( ) 2B A CR CR CR CR relB A relB Aa a R R v a
PROBLEMA 1 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular antihoraria de 10 rad/s y una aceleración angular horaria de 20 rad/s2. Determine: 1.- La velocidad angular de la barra BC.(rad/s) 2.- La velocidad lineal del punto C.(m/s) 3.- la aceleración angular de la barra BC.(rad/s2) 4.- La aceleración lineal del punto C.(m/s2) 5.- Si la velocidad angular cambiara en 5 rad/s en el mismo sentido, cual seria la velocidad lineal del punto C.(m/s)
1.- 13,3333 rad/s 2.- 53,333 m/s 3.- -91,8518 rad/s2 4.- -2234,074 m/s2
Método II:
Método Gráfico Velocidades :
Aceleraciones:
Método III: Sólo calculo de velocidades (válido en 2D y 3D) Método de Equiproyectividad:
PROBLEMA 1 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular antihoraria de 10 rad/s y una aceleración angular horaria de 20 rad/s2. Determine: La velocidad lineal del punto C.(m/s)
Método IV:
Sólo calculo de velocidades (valido en 2D)
Método del Centro Instantáneo de Rotación (CIR) o Polo de Velocidad Nula:
Cuando un cuerpo esta sujeto a un movimiento Plano General, en cualquier instante las velocidades de las partículas, tendrán el mismo valor, que las que tendrían si el cuerpo o placa estuviese girando con respecto a un eje perpendicular al plano de ellos. Este eje intercepta al plano en un punto C (que en ese instante carece de velocidad).
En cada instante existe por lo menos un punto que no esta en movimiento (Polo de velocidad cero).
Se debe conocer por lo menos dos direcciones de las velocidades y se trazan las respectivas perpendiculares, la intersección da o viene a ser el centro instantáneo C. Nota: El centro instantáneo de rotación puede estar dentro o fuera del cuerpo que gira.
En general durante el movimiento en cada instante, existirá un nuevo centro instantáneo; al lugar geométrico de estos nuevos centros a
través del tiempo se le denomina Centrodo.
DETERMINACION GEOMETRICA DEL CENTRO INSTANTANEO DE
ROTACION
PROBLEMA 1 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular anti horaria de 10 rad/s y una aceleración angular horaria de 20 rad/s2. Determine: 1.- La velocidad lineal del punto C.(m/s) 2.- La velocidad angular de la barra BC.(rad/s)
PROBLEMA 2 En el mecanismo, la barra AB se mueve con 30 rad/s y 10 rad/s2 ambos en sentido horario, cuando = 60, determine: 1.- La velocidad angular de la barra BC.(rad/s) 2.- La velocidad angular del disco.(rad/s) 3.- La aceleración angular de la barra BC.(rad/s2) 4.- La aceleración angular del disco.(rad/s2)
PROBLEMA 3 En el mecanismo, el eslabón C se mueve hacia abajo con la rapidez y la aceleración que se indica, para el instante mostrado, determine: 1.- La velocidad angular de la barra AB.(rad/s) 2.- La aceleración angular de la barra AB.(rad/s2) 3.- La aceleración angular de la barra CB.(rad/s2)
ANALISIS DE CUERPOS RODANTES
𝑎 𝑃2 =𝜔22𝜌1𝜌2
𝜌1 + 𝜌2𝑒 𝑛
ANALISIS DE CUERPOS RODANTES
𝑎 𝑃2 =𝜔22𝜌1𝜌2
𝜌1 + 𝜌2𝑒 𝑛
Cuando las superficies son cóncavo – convexo:
𝒆 𝒏
𝒂𝑷𝟐
𝑎 𝑃2 =𝜔22𝜌1𝜌2
𝜌1 − 𝜌2𝑒 𝑛
Los científicos estudian el mundo tal como es, los ingenieros crean el mundo que nunca ha existido. Theodore Von Karman
𝑎 𝑂 = 𝛼. 𝑟𝑖
𝑎 𝑂 = 𝛼. 𝑟𝑢
𝒖
𝒖
𝒖
O O
O
𝒂𝑶
𝒂𝑶
𝒂𝑶 Tomar consideración en cinética de Cuerpos rígidos.
PROBLEMA 1
El disco de la figura, rueda sobre la superficie curva fija a Tierra. La barra gira a 10 rad/s y 5 rad/s2 en dirección horaria. En el piñón, el punto C es periférico (el segmento CB es horizontal y forma un ángulo de 37º con la dirección de la barra AB). Determine:
1.- La magnitud de la velocidad del punto C.(m/s)
2.- La magnitud de la aceleración del punto C.(m/s2)
PROBLEMA 2
La rueda gira sin patinar sobre la superficie horizontal. En la posición mostrada,
la velocidad angular de la rueda es = 10K (rad/s) y una aceleración angular =
6K (rad/s2). Explique en forma breve y clara:
6.- La hipótesis que planteará para resolver el problema.
Determine:
7. La velocidad angular de la barra AB.(rad/s).
8. La velocidad del eslabón B.(m/s)
9. La aceleración angular de la barra AB.(rad/s2)
10. La aceleración del eslabón B.(m/s2)
PROBLEMA 3
La rueda dentada grande esta
fija. La barra AB tiene una
velocidad angular antihoraria de
2 rad/s y una aceleración angular
en el mismo sentido de 4 rad/s2.
Determine:
1.- La velocidad angular de la
barra CD.(rad/s)
2.- La velocidad angular de la
barra DE.(rad/s)
3.- La aceleración angular de la
barra CD.(rad/s2)
4.- La aceleración angular de la
barra DE.(cm/s2)
5.- La aceleración lineal del punto
D.(cm/s2)
1.- 3 rad/sd 2.- 2 rad/s 3.- 22,9642 rad/s2 4.- 31,1428 rad/s2
En el mecanismo, el engranaje 2 gira alrededor de O2 y se mueve con w =8 rad/s constante y el engranaje 3 rueda sobre 2 sin deslizar. Para el instante indicado, calcule:
1. La velocidad angular de la barra . 2. La velocidad angular del engranaje 3 3. La magnitud de la velocidad del punto B. 4. La aceleración angular de la barra . 5. La aceleración angular del engranaje 3. 6. La aceleración angular relativa del engranaje 3 respecto de 2.
Hallando ángulos correspondientes al triangulo
Por Vectores:
Igualando:
Por ley de cosenos en el Triángulo
CALCULO DE LAS VELOCIDADES:
• En
•En el Engranaje 2
+
• En el Engranaje 3
+
• En la barra
• Igualando I y II :
•Reemplazando en la ecuación II :
=
CALCULO DE LAS ACELERACIONES:
• En
•En el Engranaje 2
• En el Engranaje 3
+
• En la barra
• Igualando III y IV :
• ACELERACIONES
Ponemos mentalmente en reposo absoluto al engranaje 2:
Nº RESPUESTAS Unidades
1.
2.
3.
4.
5.
6.
En el mecanismo mostrado la barra AB se mueve con ω1=10 rad/s y α1= 5 rad/s2 en sentido horario, calcule:
• La velocidad angular relativa de la barra CD respecto de la rueda. (rad/s)
• La velocidad del eslabón D. (cm/s) • La aceleración angular relativa de la barra CD respecto de
la rueda (rad/s) • La aceleración del eslabón D. (cm/s2)
•Primero con ayuda de los poderosos vectores hallamos la distancia QP que es también la distancia del radio de la rueda 2, así mismo calculamos el valor de h. •Luego hallamos fácilmente la velocidad de B, pues esta velocidad nos ayudará a hallar la rapidez angular de 2 tomando como sistema móvil en el punto Q, observando tenemos que Q es conocida y es cero. •Hallada la rapidez angular de 2, hallamos la velocidad de C. •Siguiendo ponemos un sistema móvil en C y hacemos la ecuación de velocidad para D respecto de C, así se tendrá 2 ecuaciones independientes con dos incógnitas estas son rapidez angular de 3 y la magnitud de velocidad de D pues su dirección es conocida. •Terminado el análisis de Velocidades pasamos al análisis de aceleraciones que es un procedimiento similar.
•Hallamos de forma rápida la aceleración de B usando la aceleración de la barra AB, esta aceleración va a ser la misma si la hallamos respecto a Q, así podemos igualar y hallar la aceleración angular de 2. Ojo que acá hay un detalle la aceleración de Q “NO ES CERO”, tiene un valor, esta es igual a la aceleración del punto Q respecto del punto P, pero no hay que preocuparse y sabemos que esta aceleración la hallamos con ayuda de los radios de curvatura y la velocidad angular de 2 respecto de 1, pero 1 es fijo. •Ahora si seguimos y con la aceleración angular de 2, hallamos la aceleración de C. •Por último ponemos nuestro sistema en el punto C, y hacemos la ecuación de aceleración de D respecto de este sistema C, tendremos nuevamente 2 ecuaciones y 2 incógnitas que son la aceleración angular de 3 y la magnitud de la aceleración del punto D pues nuevamente su dirección es conocida.
cmh
cmQB
hQBQB
CBZCAZAB
3893.20
.20
:oResolviend
966.1410355.45º45cos30º45cos30
jiji
ji
jijik
5533.3535533.353
5533.3535533.3533553.353553.3510
0
/1
/1
B
AB
A
ABAB
V
r
V
rVV
25
1421.141421.145533.3535533.353
:anterior resultado el con Igualando
1421.141421.141421.141421.14
0
2
22
222/2
/2
jiji
jijik
B
QB
pQ
QBQB
V
r
VV
rVV
ji
jijik
ji
5533.6036116.20
250165.3749666.141025
5533.3535533.353
/2
/2
C
BC
B
BCBC
V
r
V
rVV
8244.0
2872.628
tenemos Igualando
30252530
5533.6036116.20
3
333/3
/3
D
CD
C
DD
CDCD
V
r
V
VV
rVV
jijik
ji
j
ji
jiji
jijik
3106.37127572.3358
53.353553.35353553.353553.3510
7765.1767765.1763553.353553.355
0
2
/
2
1
/1
/
2
1/1
B
AB
AB
A
ABABAB
a
r
r
a
rraa
5.12
:tenemos Igualando
1421.145339.35351421.145339.3535
8347.88388347.8838
1421.141421.141421.141421.14
3008.53033008.5303
3008.53033008.5303
7071.07071.03020
302025
0
2
22
/
2
2
222/2
2
/
/
21
21
2
2/
/
/
2
2/2
ji
ji
jijik
ji
ji
ji
B
QB
QB
Q
AB
ABQrelP
P
QrelPPQ
QBQBQB
a
r
r
a
r
ra
a
aaa
rraa
ji
ji
jijik
ji
8327.551684.9795
1434.93546250
1250828.1879666.14105.12
3106.37127572.3358
/
2
2
/2
/
2
2/2
C
BC
BC
B
BCBCBC
a
r
r
a
rraa
5927.6279
6483.392
:resulta Igualando
9744.163692.20
30252530
8327.551684.9795
3
/
2
3
333/3
/
2
3/3
D
CD
CD
C
DD
CDCDCD
a
r
r
a
aa
rraa
ji
jijik
ji
j
2
2
2
2
Nº RESPUESTA UNIDADES
07. 24.1756 rad/s
08. 628.2872 cm/s
09. 392.6483 rad/s2
10. 6279.5928 cm/s2
“La mas larga caminata
comienza con un paso”