Teoría cinética de los gasesTeoría cinética de los gases

ContenidoContenido

• Modelo molecular del gas idealModelo molecular del gas ideal

• Interpretación molecular de la temperaturaInterpretación molecular de la temperatura

• Calor específico de un gas idealCalor específico de un gas ideal

• Procesos adiabáticos para un gas idealProcesos adiabáticos para un gas ideal

• Equipartición de la energíaEquipartición de la energía

• Ley de distribución de BoltzmannLey de distribución de Boltzmann

Modelo molecular del gas idealModelo molecular del gas ideal

•El número de moléculas es grande, así como la separación promedio entre ellas comparada con sus dimensiones.

•Las moléculas obedecen las leyes del movimiento de Newton, pero como un todo se mueven aleatoriamente.

•Las moléculas están sujetas a colisiones elásticas entre ellas y con las paredes del recipiente que en promedio son elásticas.

•Las fuerzas entre moléculas son despreciables excepto durante una colisión.

•El gas bajo consideración es una sustancia pura.

Al desarrollar este modelo, haremos las siguientes suposiciones:

Una caja cúbica con lados de longitud d que contiene un gas ideal.

Una molécula choca elásticamente con la pared del recipiente.

px = mux (mux) = 2 mux

F1t p = 2 mux

x

mu

ux2

mu2

t

mu2F

2x

x

xx1

22x

21x uu

x

mF

El cambio de momento debido a una molécula es:

px = mux (mux) = 2 mux

La fuerza que se ejerce en la pared es: F1t p = 2 mux

x

mu

ux2

mu2

t

mu2F

2x

x

xx1

N

uuuu

2xN

22x

21x2

x

Se puede escribir como:

Para todas las moléculas del gas:

El valor promedio de la velocidad en la dirección x es para N moléculas es:

Así pues, la fuerza total sobre la pared puede escribirse

2xu

x

NmF

El teorema de Pitágoras relaciona el cuadrado de la velocidad con el cuadrado de sus componentes:

2z

2y

2x

2 uuuu

En consecuencia, el valor promedio de v2 es: 2z

2y

2x

2 uuuu

En virtud de que el movimiento es completamente aleatorio, los valores promedio de las componentes de velocidad son iguales entre sí. Entonces, encontramos que:

2x

2 u3u

Así, la fuerza sobre la pared es:

x

um

3

NF

2

Esta expresión nos permite encontrar la presión total sobre la pared:

221

32

2312

331

2

umV

NP

umV

Num

x

N

x

F

A

FP

Este resultado muestra que la presión es proporcional al número de moléculas por unidad de volumen y a la energía cinética traslacional promedio de la molécula, 2

21 um

Interpretación molecular de la Interpretación molecular de la temperaturatemperatura

Es posible comprender más profundamente el significado de la temperatura si escribimos la ecuación anterior la escribimos como:

2

21

23 umNPV

Comparándola con la ecuación de estado de un gas ideal:

PV = NkBT

De aquí encontramos que

2

21

B

umk3

2T

Podemos despejar la energía cinética molecular como:

Tkum B232

21

Puesto que , se concluye que2312

x uu

Tkum B212

x21

El siguiente teorema, llamado el teorema de la equipartición de la energía, establece que:

La energía de un sistema en equilibrio térmico se divide por igual entre todos los grados de libertad.

La energía cinética traslacional de N moléculas es simplemente N veces la energía promedio por molécula, entonces:

nRTTNkumNE23

B232

21

K

La raíz cuadrada de se conoce como velocidad cuadrática media de las moléculas (rms, por sus siglas en inglés). Para la velocidad rms tenemos:

2u

M

RT3

m

Tk3uv B2

rms

 Gas

Masa molecular (g/mol)

vrms a 20ºC

(m/s)H2 2.02 1,902

He 4.0 1,352

H2O 18 637

Ne 20.1 603

N2 o CO 28 511

NO 30 494

CO2 44 408

SO2 64 338

Algunas velocidades rms

EjemploEjemplo

nRTTNkumNE23

B232

21

K

Un tanque usado para inflar globos de helio tiene un volumen de 0.3 m3 y contiene 2 moles de helio a 20ºC. Suponga que el helio se comporta como un gas ideal a) ¿Cuál es la energía cinética traslacional total de las moléculas del gas? b) ¿Cuál es la energía promedio por molécula?

Tkum B232

21

TareaTarea

Un recipiente cúbico sellado de 20.0 cm de lado contiene tres veces el número de Avogadro de moléculas de He (masa molecular = 4 g/mol, vrms = 1352 m/s) a una temperatura de 20.0°C. Encuentre la fuerza ejercida por el gas sobre una de las paredes del recipiente.

x

um

3

NF

2

DiscusiónDiscusión

¿viajan con más rapidez, en promedio, las moléculas de oxígeno o las de nitrógeno, en un recinto?

Cuando se caliente un gas, ¿permanece igual la proporción de moléculas rápidas, decrece o aumente?

¿podemos asignar temperatura a una sola molécula? Explique su respuesta.

Procesos adiabáticos para un gas Procesos adiabáticos para un gas idealideal

Un proceso adiabático reversible es aquel que es suficientemente lento para permitir que el sistema siempre esté cerca del equilibrio, pero rápido comparado con el tiempo que tarda el sistema en intercambiar energía térmica con sus alrededores.

Consideremos un cambio infinitesimal en el volumen igual a dV y el cambio infinitesimal en la temperatura como dT.

El trabajo efectuado por el gas es PdV. Puesto que la energía interna de un gas ideal depende sólo de la temperatura, el cambio en la energía interna es dU = nCVdT

Por lo tanto la ecuación de la primera ley, se vuelve

 dU = nCVdT = - PdV

Tomando la diferencial total de la ecuación de estado del gas ideal, PV = nRT, vemos que

PdV + VdP = nRdT

Eliminando dT de las dos ecuaciones

PdV + VdP = -RPdV/CV

De aquí es fácil llegar a 0V

dV

P

dP

integrando se obtiene

ln P + ln V = constante

o

 PV = constante

Mediante el empleo de la ecuación del gas ideal se puede llegar fácilmente a

 TV = constante

Diagrama PV para una expansión adiabática reversible. Tf < Ti

Isotermas

Procesos adiabáticos

P

V

Pi

Pf

Vi Vf

i

f Ti

Tf

EjemploEjemplo

El aire en un cilindro de un motor Diesel a 20°C se comprime desde una presión inicial de 1 atm y un volumen de 800 cm3 hasta un volumen de 60 cm3. Suponga que el aire se comporta como un gas ideal con = 1.40 y que la compresión es adiabática. Encuentre la presión final y la temperatura.

P1V1 = P2V2

P1V1/T1 = P2V2/T2

TareaTarea

Dos moles de un gas ideal (= 1.40) se expanden lenta y adiabáticamente desde una presión de 5.00 atm y un volumen de 12.0 L hasta un volumen final de 30.0 L. a) ¿Cuál es la presión final del gas? b) ¿Cuáles son las temperaturas inicial y final? c) Encuentre Q, W y U.

P1V1 = P2V2

P1V1/T1 = P2V2/T2

dU = nCVdT = - PdV

Proceso isobáricoProceso isobárico

Un proceso a presión constante se denomina isobárico, el trabajo realizado es: if

V

V

V

VVVPdVPPdVW

f

i

f

i

P

Vi Vf

P

Para mantener la presión constante deberá haber flujo de calor, y por lo tanto, incremento en la energía interna (temperatura)

El flujo de calor en este caso es:

δQ = Cp dT

El subíndice indica que es capacidad calorífica a presión constante.

Proceso isocóricoProceso isocórico

Un proceso a volumen constante se llama isovolumétrico (o isocórico), en tal proceso el trabajo es cero y entonces: U = Q

W = 0

Pf

V

P

Pi

Para incrementar la presión deberá haber flujo de calor, y por lo tanto, incremento en la energía interna (temperatura)

El flujo de calor en este caso es:

δQ = CV dT

El subíndice indica que es capacidad calorífica a volumen constante.

V

Un proceso a temperatura constante se llama isotérmico. Si consideramos un gas ideal es trabajo es:

i

f

V

V

V

V

V

VnRTW

dVV

nRTPdVW

f

i

f

i

ln

Pi

Pf

Vi Vf

P

i

Proceso isotérmicoProceso isotérmico

f

PV = cte.

Isoterma

Proceso adiabáticoProceso adiabáticoEn un proceso adiabático no hay flujo de calor entre el sistema y sus alrededores.

El trabajo efectuado es igual al negativo del cambio en la energía interna.

Se puede demostrar que la curva que describe esta transformación es

.cteVPPV 00 adiabáticas

Donde = (Cp/CV) = 1.67, para gas ideal

isotermas