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RESOLUCION DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA

TEORIA DE CIRCUITOS - 2013

Leyes de KirchhoffLas reglas enunciadas por Kirchhoff tienen como finalidad la obtención de un sistema de ecuaciones cuya resolución, por cualquier método matemático adecuado, nos permita conocer las intensidades de corriente (en valor y sentido) existentes en un circuito.

Antes de adentrarnos en el desarrollo eléctrico y matemático de las leyes de Kirchhoff, conviene establecer las siguientes definiciones:

Red: será el conjunto de fuerzas electromotrices, contra electromotrices, resistencias y conductores, unidos entre sí de forma arbitraria, de forma que por ellos circulan corrientes de iguales o distintas intensidades.

Nudo : será cada punto de conexión de más de dos conductores. Como los conductores se consideran sin resistencia eléctrica, sus puntos de conexión también se consideran ideales: en ellos no existe calentamiento, ni almacenamiento de energía.

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Rama : es la parte de la red comprendida entre dos nudos consecutivos y recorridos por la misma intensidad de corriente. En el caso de la red anterior se considerarán ramas los trayectos EDCB, BE y EFAB, recorridos, respectivamente, por las intensidades I1, I2 e I3.

Línea cerrada o lazo : Conjunto de ramas que forman un bucle cerrado. En la red anterior ABEFA, ABCDEFA, CDEBC, etc. son líneas cerradas.

Malla : es un circuito que puede recorrerse sin pasar dos veces por el mismo punto. Es decir, partiendo de un nudo volvemos a él sin pasar dos veces por una misma rama. Un ejemplo de malla sería la siguiente figura:

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En el caso de la red definida anteriormente tendríamos tres mallas: ABEFA, BCDEB y ABCDEFA.

Primera ley de Kirchhoff o regla de los nudos: La suma algebraica de las intensidades en un nudo es cero

Para aplicar esta ley debemos fijar arbitrariamente un sentido positivo, por ejemplo, consideramos positivas las intensidades de entrada al nudo. De esta forma el nudo dibujado anteriormente quedaría de la siguiente forma:

O lo que es lo mismo:

Esta regla se puede resumir diciendo que la suma de corrientes que llega a un nudo es igual a la suma de corrientes que salen de dicho nudo.

Segunda ley de Kirchhoff o regla de las mallas: La suma algebraica de las fuerzas electromotrices aplicadas a una malla es igual a la suma de las caídas de tensión en dicha malla.

Veamos cómo se obtiene esa expresión. Si consideramos la malla BCDEB de la red anterior y aplicamos en cada una de las ramas de dicha malla la ecuación:

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(La diferencia de potencial entre dos puntos será igual a la caída de tensión producida en las resistencias más/menos la fuerza electromotriz existente entre esos puntos)

Sumando ambas ecuaciones resulta:

Que sería lo mismo que teníamos al principio:

Aplicación de las leyes de Kirchhoff a un circuito

Para resolver un circuito mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff debemos tener en cuenta los siguientes aspectos:

1. Debemos asignar sentido a cada una de las intensidades que circulan por las ramas del circuito. El sentido que tomemos no afectará a la resolución del circuito y lo único que puede ocurrir es que alguna intensidad se obtenga con valor negativo que significará que su sentido es el contrario al que habíamos determinado en un primer momento.

2. Debemos contar los nudos que tiene el circuito y aplicar la primera ley de Kirchhoff a n-1 nudos cualesquiera. Se suelen considerar positivas las intensidades que entran en el nudo y negativas las que salen aunque se puede tomar el criterio contrario sin que esto afecte al desarrollo del circuito.

3. Aplicaremos la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas independientes de la red. En un circuito tendremos tantas mallas independientes como el número de ramas menos el número de nudos disminuido en una unidad.

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Cuando apliquemos esta ley deberemos elegir como positivo un sentido de recorrido de la malla, horario o anti horario, considerando positivas todas las intensidades y fuerzas electromotrices del mismo sentido que el elegido y negativas las de sentido contrario.

Método de mallas

Ahora veamos un método que nace de las leyes de Kirchhoff y que simplifica la resolución de redes, pues se obtiene un número de ecuaciones menor que utilizando las 2 leyes de kirchhoff.

El método de trabajo es muy similar al utilizado en el apartado anterior pero ahora vamos a asignar intensidades a cada una de las mallas en vez de rama por rama como hicimos anteriormente.

Consiste en aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada una de la R-(n-1) mallas independientes de la red, considerando como incógnitas las intensidades de cada una de las mallas, cuyo sentido determinaremos arbitrariamente con antelación.

R=ramas

n=nudos

Una vez obtenidas las intensidades de cada malla será fácil obtener la intensidad de cada rama mediante la suma algebraica de las intensidades de las mallas a las que pertenece esa rama.

Las ramas exteriores tendrán una intensidad + o - según la intensidad de la malla a la que pertenecen. El signo positivo o negativo dependerá de si coincide o no con la referencia de la intensidad de malla.

Cuando la rama pertenezca a dos mallas la intensidad vendrá como suma algebraica de las intensidades de dicha malla.

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Veamos el ejercicio anterior pero ahora resuelto por mallas:

Tenemos 3 ramas y 1 nudos, por tanto aplicaremos la segunda ley a Kirchhoff a 2 mallas independientes (3-(2-1))

Tomamos dos intensidades arbitrarias IA e IB, una para cada una de las mallas

Malla izquierda: 24*IA-2*IB=6-4 Malla derecha: 104*IB-2*IA=8-6

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

IA=85*10-3 A (al ser positivo observamos que el sentido previsto por nosotros es correcto)IB= 20,8*10-3 A (al ser positivo observamos que el sentido previsto por nosotros es correcto)

Nos faltaría obtener la intensidad que circula por la rama central que llamaremos IC. Para obtener este valor restaremos al valor de IA el valor de IB:

IC= 64,2*10-3 A (el sentido será el mismo que tiene IA)

Se puede observar que los resultados coinciden tanto si utilizamos Kirchhoff como si se utiliza el método de mallas.

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Ejercicio resuelto

Utilizando el método de mallas obtener las intensidades que circulan por la red de la figura.

En primer lugar conviene observar la colocación de los nudos y la presencia de dos asteriscos en el circuito. Con esos asteriscos se pretende llamar la atención del alumno de forma que pueda comprobar que dichos asteriscos no son considerados nudos al tener el mismo potencial que B (no consideramos resistencia en los conductores de unión y por tanto no existe caída de tensión con respecto a B). Es decir, a efectos de nuestro ejercicio los asteriscos equivalen al nudo B.

Si asignamos intensidades a cada malla nos queda algo así:

Malla AFEBA: 5*IA + 3*IB =13

Malla ED*BE: 3*IA+5*IB+IC=16

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Malla DC**D: IB+4*IC=21

Una vez resuelto este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas obtenemos los siguientes valores:

IA=2 A IB=1 A IC=5 A

Veamos los valores de las intensidades de cada una de las ramas:

Por la rama AB circularán 2 A.

Por la rama BE circularán 2 A+1 A=3 A

Por la rama ED circulará 1 A

Por la rama *D circularán 1 A +5 A=6 A

Por la rama DC**D circularán 5 A

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Teorema de superposición

La idea que intenta transmitir este teorema es muy sencilla, cuando tengas varios generadores en un circuito lo puedes resolver por partes considerando en cada una de esas partes un solo generador y el resto anulados. El resultado final vendrá uniendo los resultados de todas esas partes. La respuesta de un circuito que contenga más de un generador es la suma algebraica de las respuestas obtenidas para cada uno de los generadores, suponiendo los demás generadores nulos.

Es decir, en una red que contenga varios generadores la intensidad de corriente que circulará por una rama cualquiera será igual a la suma algebraica de las producidas por cada generador actuando independientemente (sustituiremos los demás por sus resistencias internas).

Nota: puede darse el caso de que los generadores no se sustituyan por sus resistencias internas al considerarse estos valores despreciables, en ese caso cada generador será sustituido por un cortocircuito o conductor de resistencia nula.

Veamos un ejemplo con el siguiente circuito:

Se puede observar que tenemos dos generadores y según el principio de superposición la intensidad resultante I será la suma algebraica de las intensidades obtenidas actuando cada uno de los generadores de forma independiente. Para aplicar este principio primero cortocircuitaremos E2 (dejando actuar a E1 de forma independiente) y posteriormente cortocircuitaremos E1 (actuando E2 de forma independiente).

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De este esquema podemos obtener que:

I= I'+I" I1=I'1+I"1 I2=I'2+I"2

Calcular todas las intensidades de corriente que recorren el circuito aplicando el teorema de superposición.

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Cálculo de las intensidades de corriente, según teorema de superposición

Una vez conocido el valor de I deberemos volver sobre nuestros pasos para determinar el valor de la intensidad dé cada una de las ramas cuando solo actúa V1. Aplicando la Ley de Ohm y los conocimientos sobre asociación de resistencias obtendremos los siguientes valores.

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Cálculo de las intensidades de corriente, según el teorema de superposición

si ahora sumamos algebraicamente las tres intensidades que tenemos en cada rama obtendremos las intensidades de rama reales en cada rama.

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Teorema de Thevenin

¿Y si sólo nos interesa saber la intensidad o caída de tensión en un receptor o resistencia de un circuito eléctrico?"

Con lo que ya sabéis: las leyes de Kirchhoff, el método de las mallas, superposición... habréis comprobado que cualquier modificación de una resistencia repercute en el cálculo de la intensidades de corriente, ¿verdad?

Imaginad por un momento que queremos saber el comportamiento de un circuito simplemente cambiando en un punto del mismo un receptor o resistencia, de entre varios que tenemos. Si a eso unimos que es un circuito de por ejemplo 4 mallas, pues su resolución es larga y tediosa, pues cada vez que cambiamos de resistencia en ese punto, tendremos que volver a hacer los cálculos.

Hasta ahora hemos estudiado y resuelto circuitos completos con todas sus intensidades y tensiones pero existen circuitos en los que surge la necesidad de variar solo una de las resistencias que lo forman manteniendo intacto el resto de elementos del circuito. Al realizar esta modificación estaremos alterando los valores de las intensidades que circulan por las distintas ramas del circuito y por tanto deberemos recalcular esas nuevas intensidades.

¿Te parece lógico y funcional tener que calcular todos los parámetros cada vez que varíe la misma resistencia?

No parece lógico y cuando estamos ante un caso como el citado anteriormente podemos recurrir al Teorema de Thevenin que nos permitirá sustituir el circuito que se mantiene intacto por un generador (su fuerza electromotriz será la que presente el circuito abierto entre los dos terminales) y por una resistencia (su valor será el obtenido entre los dos terminales con los generadores suprimidos).

Es decir, mediante este método podemos reducir un circuito complejo con resistencias interconectadas entre si y encontrar un circuito equivalente sencillo, en el que solo aparezcan un generador y una resistencia en serie.

El enunciado del Teorema de Thevenin sería el siguiente:

Un circuito que tenga dos terminales, se comporta respecto de una resistencia de carga colocada entre ellos como un simple generador de fuerza electromotriz Ex y una resistencia interna Rx.

Ex será la diferencia de potencial entre los dos terminales cuando se quita R.

Rx será la resistencia equivalente entre los terminales si se anulan todas las fuerzas electromotrices del circuito.

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Ejercicio resuelto

Veamos un ejemplo mediante un circuito. Supongamos que tenemos que calcular la corriente para diferentes valores de la carga RL que se encuentra conectada entre los extremos A y B de un circuito como el de la figura.

Con los métodos trabajados hasta ahora habría que reducir el circuito hasta encontrar uno equivalente con una sola resistencia para cada uno de los valores de la carga RL.

Mediante Thevenin sólo tendremos que calcular una vez un circuito con un generador, una resistencia en serie con este generador y los terminales de conexión con RL abiertos.

Teorema de Thevenin - Circuito equivalente de Thevenin

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Al circuito de la figura se le conoce como circuito equivalente de Thevenin.A partir de este circuito nos resultará bastante fácil determinar las intensidades para los distintos valores de RL.

A la tensión aparecida al desconectar la resistencia de carga se la conoce por el nombre de tensión de Thevenin (Vth).

A la resistencia situada en serie con esta fuente de tensión y obtenida al cortocircuitar todas las fuentes de tensión del circuito se le denomina resistencia de Thevenin (Rth).

El circuito de la figura muestra el circuito equivalente de una fuente de alimentación. Obtener los valores de corriente y tensión de la resistencia de carga RL. a) RL= 10Ω b) RL= 20Ω.

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El primer paso consistirá en determinar el circuito equivalente de Thevenin entre los extremos de la carga RL.

Obtendremos en primer lugar la resistencia equivalente de Thevenin para lo que cortocircuitaremos la fuente de 5V.

Nos quedaría un circuito como el de la figura:

Imagen 20. Imagen de elaboración propia

Se observa que R1 y R2 se encuentra en paralelo y su equivalente vendrá determinado por la fórmula:

Si ahora sobre el circuito original eliminamos la resistencia de carga obtenemos el siguiente circuito:

La tensión de Thevenin será la obtenida entre los terminales A y B, es decir, la tensión a la que se encuentre sometida la resistencia 2.

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Aplicando la ley de Ohm tenemos:

Y una vez que tenemos la intensidad que circula por la resistencia 2 es sencillo obtener su tensión:

La tensión de la resistencia 2 coincide con la tensión entre los terminales AB y por tanto es la tensión de Thevenin que estábamos buscando.

El circuito equivalente de Thevenin nos quedaría así:


A partir de este circuito podremos ir calculando tensión e intensidad para cada uno de los valores de RL.

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Teorema de Norton

Este teorema, al igual que el de Thevenin, nos permitirá simplificar un circuito comprendido entre dos terminales.

El teorema dice lo siguiente:

Un circuito que tenga dos terminales, se comporta respecto de una resistencia de carga colocada entre ellos como un simple generador de intensidad Ix en paralelo con una resistencia Rx.

Si partimos del mismo circuito utilizado para explicar el teorema de Thevenin.

Teorema de Norton - Circuito inicial

Aplicando el teorema de Norton nos quedaría el siguiente circuito equivalente.

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El valor de Ix lo obtenemos cortocircuitando los terminales A y B, obteniendo el circuito siguiente.

. Teorema de Norton - Circuito cortocircuitado

R34 es el resultado del paralelo de las resistencias 3 y 4

Y la intensidad que circulará por este circuito será:

Nos restaría conocer la intensidad que circula por RL. Para ello volveremos al circuito equivalente de Norton visto anteriormente.

Imagen 26. Teorema de Norton - Circuito equivalente de Norton

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Imagen de elaboración propia

La intensidad Ix se repartirá por las dos ramas cumpliendo la siguiente igualdad:

Además, sabemos que al estar en paralelo Rx y RL están sometidas a la misma tensión y se cumple que:

Ejercicio resuelto

Obtener el equivalente Norton, entre los terminales A y B, del circuito de la figura y la intensidad que circula por la resistencia de carga RL=10Ω.

Lo primero que haremos será cortocircuitar la resistencia de carga, quedando un circuito como el de la figura:

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Este circuito lo podemos resolver por cualquiera de los métodos explicados en este tema. En este caso hemos optado por resolverlo mediante mallas.


Fijamos las intensidades de malla y planteamos las ecuaciones correspondientes.

Malla izquierda: 50+30=40*IA-20*IB

Malla derecha: 230-30=40*IB-20*IA

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Despejando IB de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda.

Obtenemos el siguiente resultado:

y sustituyendo obtendremos el valor de IB= 8A que es el valor de I0 que buscábamos.

El valor de la resistencia equivalente entre los terminales A y B se obtendrá cortocircuitando los generadores existentes. El circuito sería el siguiente:


R1 y R2 se encuentran en serie, formando una resistencia equivalente de 20Ω. Este resistencia R12 estará en paralelo con R5 dando una resistencia equivalente R12-5 de 10Ω. Por último R3, R4 y R12-5 estarán en serie dando como resultado una resistencia equivalente total de 30Ω.

Por tanto, el equivalente Norton entre A y B quedará:

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Si entre los terminales A y B colocamos una resistencia de carga de R L=10Ω, la intensidad que circule por esta resistencia será:

Por el divisor de corriente será:

Teorema de Kennelly

El teorema de Kennelly consiste en transformar circuitos eléctricos en forma de estrella a triángulo y, viceversa. Esto nos puede ser muy útil para analizar circuitos eléctricos complejos al poder transformarlos de tal manera que se nos pueda convertir, dicho circuito, en otro circuito equivalente en forma de estrella o de triángulo. Todo dependerá de la dificultad del circuito a analizar.

Transformación de triángulo a estrella.

Como podemos observar en el dibujo, estamos transformando las tres resistencias que están en triángulo, en resistencias de un sistema en estrella. Las fórmulas para poder calcular las nuevas resistencias: Ra, Rb y Rc son las siguientes:

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Transformación de estrella a triángulo.

En cambio, en el siguiente gráfico podemos ver cómo transformamos un sistema de resistencias en estrella en otro sistema de resistencias en triángulo.

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¿Soís capaces de ver el triángulo y la estrella en los siguientes circuitos?

Teorema de Transferencia de máxima potencia

El teorema de máxima transferencia de potencia establece que, dada una fuente, con una resistencia de fuente fijada de antemano, la resistencia de carga que maximiza la transferencia de potencia es aquella con un valor óhmico igual a la resistencia de fuente.

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El teorema establece cómo escoger (para maximizar la transferencia de potencia) la resistencia de carga, una vez que la resistencia de fuente ha sido fijada, no lo contrario. No dice cómo escoger la resistencia de fuente, una vez que la resistencia de carga ha sido fijada. Dada una cierta resistencia de carga, la resistencia de fuente que maximiza la transferencia de potencia es siempre cero, independientemente del valor de la resistencia de carga.El teorema fue originalmente malinterpretado (notablemente por Joule) para sugerir que un sistema que consiste de un motor eléctrico comandado por una batería no podría superar el 50% de eficiencia pues, cuando las impedancias estuviesen adaptadas, la potencia perdida como calor en la batería sería siempre igual a la potencia entregada al motor. En 1880, Edison (o su colega Francis Robbins Upton) muestra que esta suposición es falsa, al darse cuenta que la máxima eficiencia no es lo mismo que transferencia de máxima potencia. Para alcanzar la máxima eficiencia, la resistencia de la fuente (sea una batería o un dínamo) debería hacerse lo más pequeña posible. Bajo la luz de este nuevo concepto, obtuvieron una eficiencia cercana al 90% y probaron que el motor eléctrico era una alternativa práctica al motor térmico.

En esas condiciones la potencia disipada en la carga es máxima y es igual a:

Pmax = V2/4Ri

La condición de transferencia de máxima potencia no resulta en eficiencia máxima. Si definimos la eficiencia como la relación entre la potencia disipada por la carga y la potencia generada por la fuente, se calcula inmediatamente del circuito de arriba que:

Ƞ = RL/(RL + Ri) = 1/1 + (Ri/RL)

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La eficiencia cuando hay adaptación es de solo 50%. Para tener eficiencia máxima, la resistencia de la carga debe ser infinitamente más grande que la resistencia del generador. Por supuesto en ese caso la potencia transferida tiende a cero. Cuando la resistencia de la carga es muy pequeña comparada a la resistencia del generador, tanto la eficiencia como la potencia transferida tienden a cero. En la curva de la derecha hemos representado la potencia transferida relativa a la máxima posible (cuando hay adaptación) con respecto al cociente entre la resistencia de carga y la del generador. Se supone que las reactancias están compensadas completamente. Nótese que el máximo de la curva no es crítico. Cuando las dos resistencias están desadaptadas de un factor 2, la potencia transferida es aún 89% del máximo posible.Cuando la impedancia de la fuente es una resistencia pura (sin parte reactiva), la adaptación se hace con una resistencia y es válida para todas las frecuencias. En cambio, cuando la impedancia de la fuente tiene una parte reactiva, la adaptación solo se puede hacer a una sola frecuencia. Si la parte reactiva es grande (comparada a la parte resistiva), la adaptación será muy sensible a la frecuencia, lo que puede ser un inconveniente.

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